ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ : Η/Υ : Ε VLSI Δ Ε

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ : Η/Υ : Ε VLSI Δ Ε του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Π -Σ Γ : 7362 Θέμα Αρχιτεκτονικές Υλικού Χαμηλής Κατανάλωσης για Διόρθωση Λαθών σε Ασύρματα Δίκτυα Επιβλέπων Παλιουράς Βασίλης Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Δεκέμβριος 2016

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα Αρχιτεκτονικές Υλικού Χαμηλής Κατανάλωσης για Διόρθωση Λαθών σε Ασύρματα Δίκτυα του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Περρή-Σάμιου Γεώργιου (Α.Μ.: 7362) παρουσιάτηκε δημόσια και εξετάστηκε στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις / / Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Παλιουράς Βασίλης Χούσος Ευθύμιος

4

5 Στοιχεία διπλωματικής εργασίας Θέμα: Αρχιτεκτονικές Υλικού Χαμηλής Κατανάλωσης για Διόρθωση Λαθών σε Ασύρματα Δίκτυα Φοιτητής: Περρής-Σάμιος Γεώργιος Ομάδα επίβλεψης Παλιουράς Βασίλης Μπίρμπας Μιχάλης Εργαστήρια Εργαστήριο VLSI

6

7 Ευχαριστίες Φτάνοντας στο τέλος αυτής της διαδικασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Βασίλη Παλιουρά για τη βοήθεια που μου προσέφερε και μέσα από τις συζητήσεις μας μου κίνησε το ενδιαφέρον για περαιτέρω μελέτη του αντικειμένου. Να ευχαριστήσω επίσης τα μέλη του εργαστηρίου VLSI τα οποία με υποστήριξαν για ότι χρειάστηκα.

8

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή Το τηλεπικοινωνιακό Μοντέλο Shannon Πομπός Το μέσο μετάδοσης Ο δέκτης Το απλοποιημένο ψηφιακό μοντέλο μετάδοσης Κωδικοποίηση καναλιού Κώδικες ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων Γραμμικοί κώδικες μπλοκ Το αντικείμενο και η συνεισφορά της παρούσας εργασίας Στόχοι και μεθοδολογία Προτεινόμενη τεχνική για μείωση της πολυπλοκότητας και κατανάλωσης του decoder Κώδικες LDPC Ιστορική αναδρομή και γενικές πληροφορίες Πλεονεκτήματα - Μειονεκτήματα Περιγραφή των κωδίκων LDPC Αναπαράσταση των LDPC με τον Πίνακα Ελέγχου Ισοτιμίας Διάγραμμα Tanner Αποκωδικοποίηση Hard decision Soft Decision Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης 19 ix

10 x 3.1 Message passing Εισαγωγικά για του αλγόριθμους Συμβολισμοί των μηνυμάτων της αποκωδικοποίησης Μέθοδος σύγκρισης των αλγορίθμων Ο αλγόριθμος Sum-Product και οι παραλλαγές του Sum-Product και Log Sum-Product αλγόριθμοι Min-Sum (MS) Normalized Min-Sum Belief Propagation Απλοποιήσεις του αλγορίθμου BP BP λ-min αλγόριθμος Συγκριτικό BER plot Χρήση Αριθμητικής Σταθερής Υποδιαστολής Fixed-point αναπαράστασης Αναπαράστση Fixed-point αριθμών Μετατροπή αριθμού από floating σε fixed point Πράξεις με Fixed-point Πρόσθεση και Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός και Αφαίρεση Saturation Απαιτήσεις μήκους λέξης για τους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης Αλγόριθμος Log-SP Min-Sum Normalized Min-Sum Belief Propagation Τεχνικές Χαμηλής Κατανάλωσης για αποκωδικοποιητές LDPC Απαιτήσεις για χαμηλή κατανάλωση Παράλληλες Αρχιτεκτονικές Αποκωδικοποιητή για μείωση της κατανάλωσης Κριτήρια τερματισμού για μείωση κατανάλωσης Με χρήση των συναρτήσεων Check Node Mean Magnitude και Check Node Meam Checksum Με παρατήρηση των soft λέξεων των προηγούμενων επαναλήψεων Μείωση της κατανάλωσης ενέργειας με εκτίμηση του SNR Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Περιγραφή Προτεινόμενα δίκτυα Δίκτυο με 13 συγκριτές Δίκτυο με 7 συγκριτές Προτεινόμενη αρχιτεκτονική και απαιτήσεις hardware... 58

11 xi 6.4 Συμπεράσματα Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Σχηματικό Διάγραμμα Υλικού Finite state-machine Components του αποκωδικοποιητή Top Level Περιγραφή υλικού με VHDL Shift Register Serial in Parallel out (SIPO) Row counter Check to Bit RAM Row process Υπολογισμός Bit to Check Check node process Variable node process Προετοιμασία λέξης για αποθήκευση στη RAM Συμπεράσματα Γενικά για τους αποκωδικοποιητές LDPC Για τα προσεγγιστικά δίκτυα εύρεσης λ ελαχίστων τιμών. 82 Βιβλιογραφία 83

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Το τηλεπικοινωνιακό Μοντέλο Shannon Το 1948 ο Claude Shannon [1] ανέπτυξε μία μαθηματική θεωρία η οποία άλλαξε τα ως τότε δεδομένα στις επικοινωνίες. Η εργασία του αφορούσε τα όρια μέσα στα οποία η μετάδοση είναι αξιόπιστη μέσα από ένα τηλεπικοινωνιακό κανάλι με θόρυβο και βασίστηκε μερικώς σε ιδέες και προηγούμενες εργασίες των H.Nyquist και R.Hartley. Απέδειξε πως η πιθανότητα λανθασμένης μετάδοσης δεδομένων μέσω ενός τέτοιου καναλιού μπορεί να περιοριστεί όσο επιθυμούμε αρκεί ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων πληροφορίας να μην υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο όριο, το οποίο χαρακτηρίζει το κανάλι και το ονόμασε χωρητικότητα του καναλιού. Ενδιαφέρον έχει ότι ανάμεσα σε άλλα η εργασία του τυποποίησε την ιδέα για την θεωρία πληροφοριών. Τα σύγχρονα τηλεπικοινωνιακά ακόμα χρησιμοποιούν τις αρχές τις οποίες εισήγαγε τότε ο Shannon σε μία συνεχή προσπάθεια να επιτευχθούν τα όρια τα οποία προκύπτουν από τη θεωρία την οποία τεκμηρίωσε στην εργασία του. Το μοντέλο αυτό που όρισε ο Shannon φαίνεται στο Σχ Η πηγή της πληροφορία βρίσκεται πριν τον πομπό και ο τελικός προσδιορισμός της μετά τον δέκτη. Η πηγή αλλά και ο τελικός προορισμός ενδέχεται να είναι κάποιο φυσικό πρόσωπο (π.χ., ο συνομιλητής σε μία τηλεφωνική κλήση) ή κάποια μηχανή (π.χ., ένας υπολογιστής συνδεδεμένος στο δίκτυο) και δεν αποτελούν κύριο μέρος του τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Ο Shannon εισήγαγε στις επικοινωνίες την έννοια της κωδικοποίησης του μηνύματος σε δύο φάσεις, μία από την πηγή (source coding) και 5

14 6 Εισαγωγή Σχήμα 1.1: Το τηλεπικοινωνιακό μοντέλο του Shannon μία στο κανάλι (channel coding). Αυτός είναι ο τρόπος για να επιτευχθεί πιο αξιόπιστη μετάδοση δεδομένων. Όσο πιο πολύπλοκη είναι η κωδικοποίηση τόσο μικρότερη θα είναι και η πιθανότητα λάθους. Ο στόχος της κωδικοποίησης του αρχικού μηνύματος στο πηγαίο τμήμα του μηνύματος είναι να μειώσει στο ελάχιστο τον αριθμό των bits που χρειάζονται για την αναπαράσταση ανεβάζοντας έτσι την ακρίβεια. Η κωδικοποίηση στο κανάλι μεγιστοποιεί τον ρυθμό μετάδοσης της πληροφορίας που μπορεί να μεταδοθεί αξιόπιστα μέσα από το συγκεκριμένο κανάλι. Η χρήση κωδικοποίησης και κωδίκων για διόρθωση λαθών έχει στόχο την αύξηση εύρους ζώνης και την ελαχιστοποίηση των λανθασμένων μηνυμάτων στο δέκτη. Το χαρακτηριστικό όριο που τεκμηριώνει ο Shannon στη θεωρία του είναι η χωρητικότητα C το καναλιού. Διατυπώθηκε ότι αν είναι δυνατόν να αναγνωριστούν Μ διαφορετικά σύμβολα διάρκειας που έχουν μεταδοθεί μέσα από το κανάλι, τότε το κανάλι μπορεί να μεταδώσει log 2 M bits μέσα στο χρόνο Τ. Ο ρυθμός μετάδοσης είναι και η χωρητικότητα είναι, log 2 M/T C = lim log 2 M/T C = W log 2 (1 + P /N) bits/sec Όπου W το εύρος του καναλιού και Ρ/Ν είναι ο λόγος σήματος προς θόρυβο (SNR). Αν R ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων θα έχουμε αξιόπιστη μετάδοση εφόσον: R < C Το τηλεπικοινωνιακό μοντέλο στο Σχ. 1.1 αποτελείται από τρία μέρη: τον πομπό, το μέσο μετάδοσης και το δέκτη. Κάθε ένα από αυτά τα μέρη αποτελείται από άλλα επιμέρους στοιχεία.

15 Το τηλεπικοινωνιακό Μοντέλο Shannon Πομπός Ο πομπός αναλαμβάνει να μετατρέψει την έξοδο της πηγής σε δεδομένα κατάλληλα προς μετάδοση στο μέσο μετάδοσης. Αυτός αποτελείται από τον κωδικοποιητή πηγής, τον κωδικοποιητή καναλιού και το διαμορφωτή. Η είσοδος στον πομπό μπορεί να είναι μία συνεχής κυματομορφή η μία ακολουθία διακριτών συμβόλων. Στις ψηφιακές επικοινωνίες μεταδίδονται και επεξεργάζονται ψηφιακά σύμβολα άρα πρέπει η έξοδος της πηγής να μετατραπεί σε δυαδικά ψηφία. Ο Shannon τεκμηρίωσε τη σημασία της μετατροπής ορίζοντας την έννοια της πληροφορίας και θέτοντας το όριο του ελάχιστου μέσου αριθμού δυαδικών ψηφίων για την αναπαράσταση της πηγής, ώστε να φτάσει δίχως σφάλματα στον τελικό προορισμό Το μέσο μετάδοσης Το φυσικό στρώμα αποτελείται από το κανάλι τον προστιθέμενο θόρυβο και όλες τις συσκευές στις οποίες εισέρχεται η διαμορφωμένη κυματομορφή και τη μετατρέπουν σε κατάλληλο σήμα για μετάδοση. Τέτοιες συσκευές υπάρχουν στην πλευρά του πομπού όσο και στην πλευρά του δέκτη. Μεταξύ αυτών των συσκευών υπάρχει το κανάλι μετάδοσης. Το κανάλι μπορεί να εξασθενήσει το μεταδιδόμενο σήμα η και να του εισάγει θόρυβο. Η εξασθένηση σημαίνει τη μείωση της ισχύος στο μέσο μετάδοσης. Στην περίπτωση των ασύρματων επικοινωνιών η εξασθένηση είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης που διανύει το σήμα και είναι πολύ μεγαλύτερη από τις ενσύρματες. Επίσης η εισαγωγή θορύβου αυξάνεται κατά πολύ στις ασύρματες επικοινωνίες. Αυτό είναι το μεγάλο μειονέκτημα τους. Ενδιαφέρον έχει ότι στις οπτικές επικοινωνίες η εξασθένηση του σήματος περιορίζεται σε μεγάλο βαθμό ενώ ο θόρυβος καναλιού είναι σχεδόν ανύπαρκτος. Το μοντέλο που θα χρησιμοποιήσουμε στις εξομοιώσεις είναι εκείνο του καναλιού χωρίς μνήμη (memoryless channel), του οποίου η έξοδος δεν εξαρτάται από προηγούμενες τιμές του σήματος. Για το θόρυβο θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο λευκού gaussian-ου προσθετικού θορύβου Additive White Gaussian Noise (AWGN) Ο δέκτης Ο δέκτης αναλαμβάνει την αντίστροφη διαδικασία από τον πομπό, δηλαδή τη μετατροπή των δεδομένων που λαμβάνει από το φυσικό μέσο στη μορφή που είχαν πριν την είσοδο στον πομπό. Ο δέκτης αποτελείται από τον αποδιαμορφωτή, τον αποκωδικοποιητή καναλιού και τον αποκωδικοποιητή πηγής. Ο αποδιαμορφωτής λαμβάνει στην είσοδό του ό,τι σήμα έρχεται από το κανάλι, το οποίο έχει τη μορφή του σήματος που δίνει ο διαμορ-

16 8 Εισαγωγή φωτής στην έξοδό του. Επεξεργάζεται την κυματομορφή αυτή με τέτοιο τρόπο ώστε, εάν δεν υπάρχουν λάθη, η έξοδός του θα είναι ίδια με την έξοδο του κωδικοποιητή στον πομπό. Αυτή εισέρχεται στον αποκωδικοποιητή του δέκτη. Ο αποκωδικοποιητής καναλιού πρέπει να αφαιρέσει την πλεονάζουσα πληροφορία που προσέθεσε ο κωδικοποιητής καναλιού και να μετατρέψει την ακολουθία που θα προκύψει σε δυαδική αξιοποιώντας την πληροφορία αυτή. Η αποκωδικοποίηση στην ιδανική περίπτωση η έξοδος του θα είναι ίδια με την έξοδο του κωδικοποιητή καναλιού. Βέβαια αυτό είναι δεν είναι πάντα δυνατό λόγω της ύπαρξης υψηλού θορύβου. Ο αποκωδικοποιητής πηγής εκτελεί τις κατάλληλες πράξεις ώστε να επαναφέρει την δυαδική ακολουθία σε μορφή που παράγει η πηγή. Αν δεν υπάρχει θόρυβος το σήμα θα έχει μεταδοθεί αυτούσιο από την έξοδο της πηγής στην είσοδο του τελικού προορισμού. Τότε η μετάδοση θεωρείται επιτυχημένη Το απλοποιημένο ψηφιακό μοντέλο μετάδοσης Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη το σχεδιασμό και την αρχιτεκτονική μίας συγκεκριμένης κατηγορίας κωδικοποιητών καναλιού. Συνεπώς η διαδικασία κυρίως της αποκωδικοποίησης καναλιού θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια. Το σύστημα το οποίο χρησιμοποιούμε για τη μελέτη μας φαίνεται στο Σχ Σε αυτό ο κωδικοποιητής πηγής και πομπού έχουν ενσωματωθεί στην αρχική πηγή και στον τελικό προορισμό αντίστοιχα. Το κανάλι μας είναι τύπου AWGN και ο θόρυβος εισάγεται μέσω μίας σταθεράς. 1.2 Κωδικοποίηση καναλιού Σκοπός της κωδικοποίησης είναι να ελαχιστοποιηθεί η πιθανότητα λανθασμένης μετάδοσης. Από τη θεωρία πληροφορίας, γνωρίζουμε πως όποια και αν είναι η πιθανότητα λάθους κατά τη μετάδοση δεδομένων, υπάρχει τρόπος κατασκευής κωδίκων διόρθωσης λαθών, οι οποίοι έχουν πολύ μικρή πιθανότητα αποτυχίας. Με το θεώρημα κωδικοποίησης ενθόρυβου καναλιού, ο Shannon απέδειξε πως είναι εφικτό να μειωθεί οσοδήποτε η πιθανότητα λάθους κατά τη μετάδοση αρκεί ο ρυθμός της μεταδιδόμενης πληροφορίας να μην υπερβαίνει την χωρητικότητα του καναλιού. Η δουλειά ενός σχεδιαστή τηλεπικοινωνιακού συστήματος είναι να καταφέρει να προσεγγίσει όσο το δυνατόν πιο πολύ το όριο του Shannon κατά τη μετάδοση περιορίζοντας την πιθανότητα σφάλματος. Για να γίνει αυτό χωρίς να μειωθεί ο θόρυβος ή να αλλάξει ο ρυθμός μετάδοσης θα πρέπει να αυξηθεί η υπολογιστική πολυπλοκότητα της κωδικοποίηση

17 Κώδικες ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων 9 Σχήμα 1.2: Απλοποιημένο Ψηφιακό Μοντέλο Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος. καναλιού. Έτσι προκύπτει ένα trade-off ανάμεσα στην αξιοπιστία του συστήματος και της πολυπλοκότητας του αλγορίθμου κωδικοποίησης. Η αύξηση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας και της ισχύος βελτιώνουν την αξιοπιστία αλλά ταυτόχρονα αυξάνουν και το κόστος μετάδοσης. Όσο το όριο του Shannon δεν επιτυγχάνεται η αναζήτηση του τρόπου ο οποίος θα πραγματοποιεί αποδοτικότερη κωδικοποίηση με το μικρότερο κόστος είναι διαρκής. 1.3 Κώδικες ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων Η επιλογή του κώδικα που χρησιμοποιείται και οι διαδικασίες που ακολουθούνται κατά τις φάσεις της κωδικοποίησης και της αποκωδικοποίησης καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό την απόδοση του συστήματος. Οι κώδικες διόρθωσης λαθών που χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση καναλιού χωρίζονται κατά κύριο λόγο σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τους κώδικες μπλοκ (Block Codes) και τους συνελικτικούς κώδικες (Convolutional Codes). Κύριο χαρακτηριστικό των μπλοκ κωδίκων είναι ο τεμαχισμός της προς μετάδοση πληροφορίας σε μπλοκ των k συμβόλων και η αντιστοίχηση του μπλοκ αυτού σε ένα μεγαλυτέρου μήκους n συμβόλων, το οποίο απο-

18 10 Εισαγωγή καλείται κωδική λέξη, codeword. Η διαφορά με τους συνελικτικούς κώδικες είναι πως η αντιστοίχηση σε μπλοκ μήκους n > k συμβόλων εξαρτάται και από προηγούμενα από αυτό μπλοκ πληροφορίας, δηλαδή οι κώδικες αυτοί έχουν μνήμη. Μία άλλη διάκριση κωδίκων είναι ο τρόπος διαχείρισης σφαλμάτων. Υπάρχουν κώδικες οι οποίοι απλά ανιχνεύουν την ύπαρξη σφαλμάτων χωρίς να κάνουν κάτι γι αυτά και κώδικες που πέρα από την ανίχνευση των σφαλμάτων έχουν και την ικανότητα να τα διορθώσουν. Το επιπλέον κόστος των τελευταίων στην υπολογιστική πολυπλοκότητα είναι σαφώς μεγαλύτερο. Η επιλογή του τρόπου αποκωδικοποίησης εξαρτάται και από τη δομή του υπόλοιπου συστήματος. Οι κώδικες μόνο ανίχνευσης για παράδειγμα θα έχουν αποτέλεσμα άμα χρησιμοποιηθούν σε περίπτωση που υπάρχει δυνατότητα επαναμετάδοσης των δεδομένων. Ωστόσο σε εφαρμογές πραγματικού χρόνου χρησιμοποιούνται κώδικες με δυνατότητα διόρθωσης. Στην κατηγορία των μπλοκ κωδίκων ανήκουν πολλοί ευρέως χρησιμοποιούμενοι, κυρίως κατά το παρελθόν, κώδικες όπως κώδικες Hamming, κυκλικοί κώδικες, BHC και οι Reed-Solomon. Με το συνδυασμό τέτοιων απλών κωδίκων έχουν δημιουργηθεί πολύ πετυχημένοι κώδικες όπως οι Κώδικες-Γινομένου, οι αλυσιδωτοί κώδικες και οι τούρμπο κώδικες. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία θα ασχοληθούμε με μία άλλη κατηγορία κωδίκων, τους LDPC κώδικες (Low Density Parity-Check Codes). Πρόκειται για γραμμικούς κώδικες μπλοκ και παρουσιάζουν σημαντικά πλεονεκτήματα. 1.4 Γραμμικοί κώδικες μπλοκ Ένας κώδικας ορίζεται ως μία διαδικασία μονοσήμαντης απεικόνισης στοιχείων από ένα σύνολο A σε ένα σύνολο B. Στην περίπτωση της κωδικοποίησης καναλιού και των κωδίκων που χρησιμοποιούνται για αυτήν, τα στοιχεία του συνόλου A ονομάζονται λέξεις πληροφορίας (u i, i = (1, 2,..., M)), ενώ τα στοιχεία του B ονομάζονται κωδικές λέξεις (codewords c i ). Το Μ ισούται με τους δυνατούς συνδυασμούς των k δυαδικών ψηφίων, = 2 k. Δυαδικός ονομάζεται ο κώδικας όταν τα στοιχεία και των δύο συνόλων είναι ακολουθίες δυαδικών ψηφίων (0 ή 1). Το πλήθος των στοιχείων δύο συνόλων δε μπορεί να διαφέρει. Ένας (n, k) δυαδικός κώδικας μπλοκ αποτελείται από το σύνολο με ακολουθίες μήκους k και σύνολο με μήκος ακολουθιών n. Ένας τέτοιος κώδικας θα είναι γραμμικός αν κάθε γραμμικός συνδυασμός δύο κωδικών του λέξεων είναι επίσης κωδική του λέξη. Αυτό σημαίνει πως το αποτέλεσμα της λογικής πράξης XOR συνιστώσα προς συνιστώσα μεταξύ των κωδικών λέξεων είναι επίσης κωδική λέξη του κώδικα. Η μετατροπή της ακολουθίας των k bits σε ακολουθία n bits πραγ-

19 Το αντικείμενο και η συνεισφορά της παρούσας εργασίας 11 ματοποιείται με τη βοήθεια του γεννήτορα πίνακα G του κάθε κώδικα. Η κωδική λέξη παράγεται μέσω πολλαπλασιασμού, c i = u i G. Τα n δυαδικά ψηφία που συνιστούν την κωδική λέξη ορίζουν ένα χώρο n διαστάσεων. Ο χώρος αυτός αποτελείται από 2 n στοιχεία εκ των οποίων μόνο τα 2 k είναι έγκυρες κωδικές λέξεις. Ο υπόχωρος αυτός ονομάζεται C με βάση τις γραμμές του γεννήτορα πίνακα. Κάθε δυαδική ακολουθία μήκους n έχει τη ιδιότητα : h c T i = 0 (1.1) όπου i = 1, 2,..., 2 k, h είναι μία από τις ορθογώνιες αυτές ακολουθίες, c T i είναι η ανάστροφη της έγκυρης κωδικής λέξης. Αποδεικνύεται ότι το πλήθος των μήκους n ακολουθιών που έχουν την παραπάνω ιδιότητα είναι 2 n k. Αυτές μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι έγκυρες κωδικές λέξεις ενός (n, n k) γραμμικού κώδικα μπλοκ, ο οποίος συμβολίζεται με C T και καλείται δυϊκός (dual) του αρχικού (n, k) κώδικα C. Αν θεωρήσουμε τον γεννήτορα του C T αυτός αποτελείται από (n k) γραμμές n στοιχείων οι οποίες είναι τα διανύσματα βάσης του (n-k)- διάστατου χώρου. Κάθε h i i = 1, 2,..., n k είναι μία έγκυρη κωδική λέξη του κώδικα C T. Άρα ο πίνακας Η έχει γραμμές ορθογώνιες ως προς τις έγκυρες λέξεις του C σύμφωνα με την Σχέση. (1.1). Επομένως ο πίνακας H μας παρέχει (n k) σχέσεις, τις οποίες θα πρέπει να επαληθεύει μία κωδική λέξη για να είναι έγκυρη σύμφωνα με τη σχέση, c i H T = 0. Στην περίπτωση του δυαδικού κώδικα κάθε γραμμή ελέγχει αν μεταξύ των συγκεκριμένων ψηφίων της κωδικής λέξεις υπάρχει άρτιο πλήθος άσσων. Ο πίνακας ελέγχει την ισοτιμία των άσσων και γι αυτό το λόγο ονομάζεται Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας (Parity Check Matrix) του αρχικού C και μαζί με τον γεννήτορα G είναι οι χαρακτηριστικοί πίνακες του κώδικα. 1.5 Το αντικείμενο και η συνεισφορά της παρούσας εργασίας Στόχοι και μεθοδολογία Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι η μελέτη των κωδίκων LDPC και των κατάλληλων αλγορίθμων για την αποκωδικοποίηση μηνύματος το οποίο στέλνεται μέσω ενθόρυβου καναλιού AWGN και τη διόρθωση των λαθών τα οποία προκύπτουν. Επιλέχθηκαν μερικοί από τους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης όπως θα παρουσιαστούν παρακάτω, των οποίων μελετάται η απόδοσή για διάφορες τιμές θορύβου συγκρίνοντας τη χρησιμότητα

20 12 Εισαγωγή του καθενός με trade-off ανάμεσα στην βέλτιστη απόδοση και την πολυπλοκότητα κατά την υλοποίηση. Η επιλογή αυτών πρέπει να γίνει με βάση τις απαιτήσεις του συστήματος στο οποίο χρησιμοποιούνται κάθε φορά. Οι αλγόριθμοι αυτοί υλοποιήθηκαν σε MATLAB, όπως και το κανάλι AWGN το οποίο μπορεί να δεχτεί ως είσοδο διαφορετικές τιμές θορύβου. Εξομοιώνοντας τη διαδικασία αποστολής επανειλημμένων μηνυμάτων από τον πομπό μέχρι τον τελικό προορισμό συγκρίνουμε την απόδοση των αλγορίθμων. Μετά μελετάται η συμπεριφορά και οι απαιτήσεις κάθε αλγόριθμου με αναπαράσταση των αριθμών ως fixed-point. Αναφέρονται κάποιες τεχνικές μείωσης την κατανάλωσης για χρήση σε κώδικες LDPC και τελικά προτείνεται μία αρχιτεκτονική hardware για υλοποίηση του αποκωδικοποιητή και μελέτη του μέσω του εργαλείου Xilinx ISE Προτεινόμενη τεχνική για μείωση της πολυπλοκότητας και κατανάλωσης του decoder Μετά τη μελέτη των αλγορίθμων ακολουθεί το στάδιο της σχεδίασης του hardware που απαιτείται για την υλοποίηση του αλγορίθμου αποκωδικοποίησης ο οποίος χαρακτηρίζεται από μεγάλη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Σε αυτή την εργασία στο Κεφ. 6, προτείνεται μία προσεγγιστική τεχνική η οποία μπορεί να μειώσει τις απαιτήσεις σε υλικό και το χρόνο που απαιτείται για την ολοκλήρωση της αποκωδικοποίησης χωρίς να υπάρχει σημαντική πτώση της απόδοσης στο τελικό αποτέλεσμα.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΩΔΙΚΕΣ LDPC 2.1 Ιστορική αναδρομή και γενικές πληροφορίες Οι κώδικες LDPC ανήκουν στην κατηγορία των γραμμικών μπλοκ κωδίκων. Οι LDPC προτάθηκαν πρώτη φορά από τον R.Gallager στις αρχές της δεκαετίας του 60 [2][3] και δεν αξιοποιήθηκαν μέχρι τη δεκαετία του 90 καθώς η υλοποίησή τους σε υλικό δεν ήταν δυνατή. Τη διαφορά έκανε ο Tanner το 1982 [4], ο οποίος δημιούργησε έναν καινούριο γραφικό τρόπο αναπαράστασης των LDPC, το διάγραμμα Tanner. Κάποιες φορές οι LDPC ονομάζονται και Gallager codes. Για χρόνια οι πιο διαδεδομένοι κώδικες ήταν οι Turbo codes. Βέβαια οι LDPC κώδικες έχουν απόδοση η οποία ξεπερνάει αυτή των πρώτων, σε κάποιες περιπτώσεις, έχοντας μικρότερη πολυπλοκότητα ανά επανάληψη [5]. Αυτός ο οποίος έφερε τους LDPC στο προσκήνιο, μετά από 30 χρόνια, με τις μελέτες του είναι ο MacKay [6][7][8] αποδεικνύοντας ότι είναι ικανοί να φτάσουν πολύ κοντά στα όρια του καναλιού. Συγκεκριμένα κάποια σχήματα LDPC μπορούν να προσεγγίσουν το όριο της χωρητικότητας με ταχύτητα εκθετική σε σχέση με το μέγεθος του κώδικα. Όπως φαίνεται και από το όνομά τους, οι LDPC είναι κώδικες ελέγχου ισοτιμίας. Χαρακτηρίζονται από τον γεννήτορα πίνακα είτε από τον πίνακα ελέγχου ισοτιμίας. Αυτός έχει το χαρακτηριστικό ότι τα περισσότερα στοιχεία του είναι μηδενικά και ένα πολύ μικρό ποσοστό του είναι άσσοι. Για αυτό λέγεται και αραιός (sparse) πίνακας γι αυτό και η ονομασία των κωδίκων (Low density). Ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας καθορίζει το κύκλωμα του αποκωδικοποιητή και ανάλογα με τον αριθμό των μη μηδενικών στοιχείων και την πολυπλοκότητα. 13

22 14 Κώδικες LDPC 2.2 Πλεονεκτήματα - Μειονεκτήματα Βασικό πλεονέκτημα των κωδίκων LDPC είναι οι επιδόσεις τους οι οποίες όπως αναφέραμε στην, παράγραφο 2.1, ξεπερνάν και αυτές των προκατόχων τους (Turbo codes). Έχουν σχεδιαστεί κώδικες τέτοιου τύπου οι οποίοι λειτουργούν σχεδόν πάνω στα όρια του Shannon με αρνητικό στοιχείο ότι απαιτείται κώδικας πολύ μεγάλου μήκους (τάξης 10 7 ) [9] το οποίο σημαίνει και μεγάλης πολυπλοκότητας. Επιπλέον οι LDPC μπορούν να αναγγείλουν μία αποτυχία αποκωδικοποίησης όταν δε έχουν τη δυνατότητα να αποκωδικοποιήσουν επιτυχώς χωρίς επιπλέον κόστος, ενώ οι Turbo codes χρειάζονται επιπλέον πράξεις για να τερματίσουν τη λειτουργία τους όταν χρειάζεται. Επίσης κώδικας LDPC σχεδόν κάθε αναλογίας (άσσων-προς-μηδενικά) και μήκους μπορεί να κατασκευαστεί απλά άμα ορίσουμε το σχήμα του πίνακα ισοτιμίας. Ένα επιπλέον χαρακτηριστικό είναι πως δεν είναι πατενταρισμένοι. Στα αρνητικά των LDPC, αυτοί οι κώδικες έχουν αρκετά πιο μεγάλη πολυπλοκότητα σε στάδιο της κωδικοποίησης σε σχέση με τους Turbo. Όπως επίσης ότι, κατά την αποκωδικοποίηση, απαιτούνται πολλές περισσότερες επαναλήψεις με αποτέλεσμα να δημιουργείται καθυστέρηση [5]. 2.3 Περιγραφή των κωδίκων LDPC Η κωδικοποίηση ενός κώδικα μπλοκ γίνεται με πολλαπλασιασμό των προς μετάδοση δεδομένων με τον γεννήτορα πίνακα. Τα δεδομένα τεμαχίζονται σε μπλοκ μήκους k. Κάθε ένα από αυτά λέγεται λέξη πληροφορίας. Μετά τον πολλαπλασιασμό με τον γεννήτορα μήκους k n προκύπτει οι κωδικές λέξεις μήκους n. Ο γεννήτορας πίνακας είναι ένας τρόπος περιγραφής του κώδικα Αναπαράσταση των LDPC με τον Πίνακα Ελέγχου Ισοτιμίας Οι κώδικες LDPC μπορούν να περιγραφούν πλήρως και από τον πίνακα Parity Check. Κάθε έγκυρη λέξη πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση (1.1). Έγκυρες είναι οι 2 k από τις 2 n λέξεις που προκύπτουν. Ένας Parity Check πίνακας είναι ένας γραμμικός μπλοκ κώδικας ο οποίος έχει μία πολύ αραιή δομή. Σε κάθε τέτοιο πίνακα πρέπει να είναι φτιαγμένος έτσι ώστε ανά δύο οι στήλες του να μην έχουν σε πάνω από μία γραμμή του πίνακα μη μηδενικά στοιχεία. Το βάρος ενός δυαδικού διανύσματος είναι ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων του. Το βάρος στήλης w c ενός πίνακα είναι τα μη μηδενικά στοιχεία του διανύσματος στήλης του πίνακα, αντίστοιχα υπάρχει και το βάρος γραμμής w r. Ένας πίνακας Ισοτιμίας Ελέγχου ή Γεννήτορας αποκαλείται κανονικός (regular) όταν τα βάρη στηλών και γραμμών είναι

23 Περιγραφή των κωδίκων LDPC 15 σταθερά για όλο το μήκος του. Έχει καθιερωθεί ο συμβολισμός (n, w r, w c ). Υπάρχουν και οι μη κανονικοί (irregular) οι οποίοι έχουν πάνω από μία τιμή βάρους για τις γραμμές και στήλες τους. Για τα βάρη ισχύουν οι σχέσεις: m w c = n w r ο ρυθμός σχεδίασης ενός κανονικού (n, w r, w c )πίνακα θα είναι: R = k n R = 1 w r w c. Ένα παράδειγμα κανονικού πίνακα Ελέγχου Ισοτιμίας (20, 4, 3) είναι αυτός στο Σχ 2.1 όπως φαίνεται στον πίνακα υπάρχουν 13 γραμμικά ανεξάρτητες Σχήμα 2.1: Παράδειγμα Parity Check matrix (20, 4, 3) [5,σελ.637] γραμμές η διάστασή του είναι = 7 και ο ρυθμός R = Ο Gallager έδειξε ότι η ελάχιστη απόσταση ενός τυπικού κανονικού κώδικα αυξάνεται γραμμικά με τον αριθμό των στηλών και θα πρέπει w c > 2. Γενικά οι μη κανονικοί κώδικες έχουν καλύτερες επιδόσεις από τους κανονικούς Διάγραμμα Tanner Το 1981 ο Tanner, προσδιόρισε έναν πολύ πρακτικό τρόπο περιγραφής των μπλοκ κωδίκων, ο οποίος χρησιμοποιείται και στους LDPC. Το διάγραμμα σχετίζεται με τον Parity Check πίνακα και περιλαμβάνει δύο ομάδες κόμβων (nodes). Η πρώτη ομάδα αποτελείται από n (αριθμός στηλών) κόμβους και αποκαλούνται bit (ή variable) nodes. Η δεύτερη αποτελείται από m κόμβους και αποκαλούνται κόμβοι ελέγχου (Check nodes). Ένα παράδειγμα τέτοιου διαγράμματος για έναν μικρό κώδικα (Σχ. 2.2) φαίνεται παρακάτω στο Σχ Μία άλλη ονομασία του Tanner graph είναι διμερής γράφος (biparite graph) λόγω των δύο ομάδων κόμβων.

24 16 Κώδικες LDPC Σχήμα 2.2: Parity Check matrix [5, σελ. 636] Ουσιαστικά η αναπαράσταση αυτή δείχνει πόσοι variable κόμβοι (γραμμές πίνακα) συνδέονται σε κάθε check κόμβο (στήλη πίνακα). Ο αριθμός των στοιχείων που συνδέονται σε έναν άλλον κόμβο ονομάζεται βαθμός (degree) του κόμβου. 2.4 Αποκωδικοποίηση Κατά την αποκωδικοποίηση, με ένα δυαδικό κώδικα, ελέγχεται η άρτια ή περιττή ισοτιμία άσσων της κάθε ομάδας στοιχείων. Οι ομάδες αυτές ορίζονται από τις γραμμές (check nodes) του πίνακα και τη συσχέτισή τους με τις στήλες (variable nodes). Αρχικά ο κώδικα ελέγχει αν υπάρχει σφάλμα στην κωδική λέξη. Αυτό επιτυγχάνεται με την εκτέλεση των n k ελέγχων. Εάν έστω και ένας από αυτούς δεν ικανοποιείται τότε καταλαβαίνουμε πως υπάρχει λάθος στην λέξη που δεχτήκαμε από το κανάλι. Βέβαια υπάρχει και η περίπτωση όπου όλοι οι έλεγχοι ικανοποιούνται αν και η λέξη δεν είναι η σωστή. Αυτό εξαρτάται από την απόσταση κώδικα την οποία έχουμε επιλέξει για κάθε σύστημα. Εφόσον ανιχνευτούν σφάλματα ξεκινά η διαδικασία διόρθωσής τους με τη χρήση των αντίστοιχων αλγορίθμων αποκωδικοποίησης. Κατά τη μετάδοση της κωδικής λέξης από το κανάλι είναι πολύ πιθανό να προστεθεί θόρυβος αλλάζοντας τα μπιτ της λέξης με διαφορετικό τρόπο το καθένα, περισσότερο ή λιγότερο. Ο ρόλος του αλγόριθμου αποκωδικοποίησης είναι, με τη βοήθεια του πίνακα ισοτιμίας και ανάλογα με τα επίπεδα θορύβου, να πάρει απόφαση για τις σωστές τιμές των στοιχείων της λέξης που παρέλαβε. Αυτή η διαδικασία έχει δύο τρόπους αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος: τη Δύσκαμπτη απόφαση (Hard decision) και την Ευέλικτη απόφαση (Soft decision) Hard decision Σε αυτή την περίπτωση θεωρούμε πως το πρόσημο του λαμβανόμενου κωδικού συμβόλου είναι αρκετό για να πάρουμε απόφαση για το μεταδιδόμενο σύμβολο. Η διαδικασία που ακολουθούμε κατά την αποκωδικοποίηση με Δύσκαμπτη απόφαση είναι [10]:

25 Αποκωδικοποίηση 17 Σχήμα 2.3: Tanner του πίνακα. 2.2 Έστω ότι ο Parity-Check matrix είναι ο 2.4 και η λέξη που απο- Σχήμα 2.4: Πίνακας Ελέγχου-Ισοτιμίας, [10] στέλλεται από τον πομπό είναι c = [ ] T, ενώ η λέξη που παραλαμβάνεται είναι y = [ ] T. Τότε η διαδικασία φαίνεται παρακάτω. ΒΗΜΑ 1: Όλοι οι variable κόμβοι στέλνουν στους κόμβους ελέγχου που είναι συνδεδεμένοι, την τιμή που θεωρούν πως είναι σωστή γι αυτούς. ΒΗΜΑ 2: Όλοι οι check κόμβοι υπολογίζουν μία απάντηση για κάθε variable κόμβο που είναι συνδεδεμένη, με την τιμή που θεωρούν πως είναι η σωστή για τον καθένα. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στο Σχ Εάν όλοι οι έλεγχοι ικανοποιούνται ο αλγόριθμος τερματίζει με επιτυχία.

26 18 Κώδικες LDPC ΒΗΜΑ 3: Οι variable κόμβοι αποφασίζουν για τη σωστή τιμή τους με βάση τα μηνύματα που δέχονται από τους check κόμβους. Αυτή η διαδικασία φαίνεται στην Εικόνα ΒΗΜΑ 4: Επαναλαμβάνεται το βήμα 2 μέχρι τον προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων ή μέχρι να διορθωθεί πλήρως η κωδική λέξη. Σχήμα 2.5: Βήμα 2 Σχήμα 2.6: Βήμα Soft Decision Η διαδικασία του Soft decoder βασίζεται στην ίδια λογική με τον Hard decoder με τη διαφορά ότι δεν επεξεργάζεται μπιτ αλλά ανταλλάσσει τις πιθανότητες τα μπιτ να είναι 0 ή 1 μέσω του Tanner graph. Έτσι η λαμβανόμενη soft τιμή αξιοποιείται από τον αποκωδικοποιητή ως έχει για καλύτερη τελική απόφαση. Aν o έλεγχος δείξει ότι η κωδική λέξη είναι έγκυρη, γίνεται κβάντιση των soft τιμών ενώ αν αυτός αποτύχει ο αλγόριθμος ξεκινά τη διαδικασία αποκωδικοποίησης με χρήση των νέων soft τιμών. Αυτός ο τρόπος είναι σαφώς αποτελεσματικότερος από τον hard decoder αλλά με σαφώς μεγαλύτερη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Θα αναφερθούμε αναλυτικότερα σε αλγόριθμους soft decision στα επόμενα κεφάλαια της παρούσας εργασίας.

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 3.1 Message passing Οι αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης LDPC χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες τους Message-passing και τους Bit-flipping. Οι Bit-flipping βασίζονται σε hard decision λογική επιδιώκοντας τη χαμηλότερη δυνατή υπολογιστική πολυπλοκότητα για την αποκωδικοποίηση. Στην παρούσα εργασία θα μας απασχολήσουν οι Message-Passing αλγόριθμοι. Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι ένα σύνολο αλγορίθμων χαμηλής πολυπλοκότητας που υλοποιούνται με κατανεμημένη λογική για να αποκωδικοποιήσουν την κωδική λέξη που παραλαμβάνεται. Η λογική αυτών των αλγορίθμων φαίνεται στην Σχήμα. 3.2 στην οποία υλοποιείται ο κώδικας με πίνακα Ελέγχου- Ισοτιμίας του Σχήματος. 3.1 Σχήμα 3.1: Πίνακας Ελέγχου Ισοτιμίας 19

28 20 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Οι κόμβοι στο πάνω μέρος αναπαριστούν τις γραμμές του πίνακα ενώ οι κάτω κόμβοι αναπαριστούν τις στήλες του. Ανάμεσά τους είναι τα στοιχεία της κωδικής λέξης. Ένας κύκλος αποκωδικοποίησης θα ολοκληρωθεί εφόσον γίνουν οι υπολογισμοί της νέας τιμής κάθε στοιχείου πρώτα από τους επάνω κόμβους (check nodes) του διαγράμματος και μετά από τους κάτω (variable nodes) και μετά σταλεί η νέα τιμή πίσω στο κάθε στοιχείο. Σχήμα 3.2: Διαδικασία Message-Passing 3.2 Εισαγωγικά για του αλγόριθμους Συμβολισμοί των μηνυμάτων της αποκωδικοποίησης Πριν ξεκινήσουμε την περιγραφή των διάφορων αλγορίθμων θα πρέπει να ορίσουμε πρώτα τον τρόπο παρουσίασης των στοιχείων. Η κωδική λέξη η οποία στέλνεται προς μετάδοση συμβολίζεται με u και u j είναι το j-οστό στοιχείο της λέξης μήκους n. Αντίστοιχα y και y j αναφέρονται στην κωδική λέξη που φτάνει στον πομπό. Επειδή όμως η λέξη έχει υποστεί αλλαγές λόγω του θορύβου στην είσοδο του πομπού τελικά παραλαμβάνουμε μία πιθανότητα για την τιμή του κάθε στοιχείου που ονομάζεται likelihood ratio (LR). Η πιθανότητα το j-οστό στοιχείο της αρχικής κωδικής λέξης να είναι 1 αφού παραλάβουμε μία λέξη συμβολίζεται: P r(u j = 1 y) (3.1) τελικά η τιμή που παραλαμβάνουμε είναι το likelihood ratio, δηλαδή η τιμή: l(u j y) = P r(u j = 1 y) P r(u j = 1 y). (3.2) Έστω ότι P i η τιμή της (3.1), τότε αποδεικνύεται ότι για την περίπτωση του AWGN καναλιού ότι: 1 P i P i = 1 + e 2y i σn e 2y i σ 2 i

29 Ο αλγόριθμος Sum-Product και οι παραλλαγές του 21 Οι συμβολισμοί : 2y i σ 1 + e i 2 2y i 1 + e σn 2 e 2y i σ 2 n = e 2y i σ 2 n (3.3) L i j υποδεικνύει τα μηνύματα που πρόκειται να σταλούν από τις i γραμμές (κόμβοι check) στις j στήλες (κόμβοι variable). L j i είναι το αντίστροφο του προηγούμενου δηλαδή variable προς check κόμβοι. (i) και N(j) είναι το σύνολο των γραμμών και στηλών αντίστοιχα. j ϵn(i) {j} είναι το σύνολο των κόμβων i χωρίς το συγκεκριμένο κόμβο j. i ϵn(j) {i} αντίστοιχα με το προηγούμενο Μέθοδος σύγκρισης των αλγορίθμων Η εξομοίωση του καναλιού μετάδοσης του σήματος όπως και των αλγορίθμων των οποίων τα αποτελέσματα θα παρουσιαστούν σε αυτό το κεφάλαιο πραγματοποιήθηκαν σε MATLAB. Το συγκεκριμένο κανάλι που υλοποιήθηκε είναι κανάλι λευκού gaussian θορύβου (AWGN) και χρησιμοποιείται διαμόρφωση BPSK. Για τη σύγκριση της απόδοσης των αποκωδικοποιητών μελετάται ο ρυθμός εμφάνισης λανθασμένων bits στα μηνύματα που στέλνει ο πομπός σε σχέση με αυτά που λαμβάνει ο δέκτης σε επίπεδο δυαδικών αριθμών. Ο λόγος αυτός ονομάζεται Bit Error Rate (BER), δηλαδή ο λόγος των σφαλμάτων που μετρήθηκαν κατά τη διαδικασία προς το συνολικό αριθμό των bits που μεταδόθηκαν. BER = N umber of errors N umber of transmitted bits Ο κώδικας που χρησιμοποιείται για την αποκωδικοποίηση είναι μη κανονικός wifi code με coderate 0.5 με βάρος γραμμής w r = 7 για 216 check κόμβους και w r = 8 για τους υπόλοιπους 108 κόμβους. 3.3 Ο αλγόριθμος Sum-Product και οι παραλλαγές του Sum-Product και Log Sum-Product αλγόριθμοι Το 1960, ο Gallager παρείχε επίσης και έναν αλγόριθμο ο οποίος είναι σχεδόν ιδανικός, τον Sum-Product (SP). Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος χρησιμοποιεί τον λόγο πιθανοτήτων της σχέσης (3.3) για να πραγματοποιήσει τις πράξεις αποκωδικοποίησης. Ο αλγόριθμος αν και πολύ αποδοτικός στη διόρθωση λαθών έχει ως αρνητικό την πολύ υψηλή υπολογιστική πολυπλοκότητα. Αυτό συμβαί-

30 22 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης νει λόγω των πολλών πολλαπλασιασμών μεταξύ των likelihood ratios που απαιτούνται κατά την εκτέλεσή του. Η λύση για μία ίδια, από άποψη απόδοσης, υλοποίηση είναι να μεταφερθούν οι πράξεις στο πεδίο των λογαρίθμων. Αυτό συμβαίνει γιατί όλοι οι πολλαπλασιασμοί θα μετατραπούν σε προσθέσεις οπότε και η υλοποίηση θα είναι λιγότερο πολύπλοκη. Αυτός ο αλγόριθμος ονομάστηκε Log Sum-Product (log-sp). Έτσι αντί για το λόγο πιθανοτήτων της σχέσης (3.2) χρησιμοποιείται ο λογάριθμός της. Και με βάση την (3.3) θα είναι: log( 1 P i P i ) = log(e 2y i σ 1 n ) log( 1 P i P i ) = 2y i σ 2 n (3.4) Ο λόγος αυτός αποκαλείται Log likelihood ratio (LLR). Ο αλγόριθμος Log SP είναι ο παρακάτω: 1. Αρχικοποίηση: Για κάθε j, εισάγουμε τις τιμές των Llr στο L j. Για κάθε i, j, για τα οποία ο Parity-Check έχει άσσο αρχικοποιούμε τον πίνακα L j i = L j. 2. Ενημέρωση των check nodes: υπολογίζεται το μήνυμα το οποίο στέλνει ο κάθε check κόμβος στους variable κόμβους κατά τον συγκεκριμένο κύκλο με την εξής πράξη: L j i = 2 tanh 1 ( j ϵn(i) {j} )tan( 1 2 L j i) (3.5) 3. Ενημέρωση variable nodes: υπολογίζονται τα μηνύματα που στέλνει ο variable node στον check node: L j i = L j + L i j (3.6) i ϵn(j) {i} 4. Υπολογισμός του καινούριου LLR: Για κάθε j υπολογίζουμε = L j + L i j (3.7) L total j iϵn(j) 5. Hard-decision και έλεγχος τερματισμού: Για όλα τα j εκτελούμε { } 1, if L total j 0, û j = = xy (3.8) 0, else αυτές είναι οι τιμές που εκτιμά ο αλγόριθμος πως είναι σωστές κατά το τέλος του συγκεκριμένου κύκλου. Εάν είναι όντως σωστές ο αλγόριθμος τερματίζει με επιτυχία, αλλιώς επαναλαμβάνει τη διαδικασία από το βήμα 2 μέχρι να διορθώσει όλα τα λάθη είτε να συμπληρώσει τον προκαθορισμένο αριθμό κύκλων. Ο έλεγχος πραγματοποιείται με τον εξής τρόπο: Έστω ότι H είναι ο πίνακας ελέγχου-ισοτιμίας τότε εάν û H = 0 σημαίνει πως ο αλγόριθμος κατασκεύασε τη σωστή λέξη.

31 Ο αλγόριθμος Sum-Product και οι παραλλαγές του 23 Με βάση αυτόν τον αλγόριθμο μπορούν να δημιουργηθούν διάφορες παραλλαγές για τη μείωση της πολυπλοκότητας. Για παράδειγμα [11] το πλήθος των πράξεων που χρειάζονται μειώνεται εφόσον το βήμα 4 πραγματοποιηθεί πριν το βήμα 3 και το τελευταίο μετατραπεί σε L j j = L total j L i j Bit Error Rate plot Στο Σχήμα. 3.3 παρουσιάζεται η απόδοση του αλγορίθμου log SP ανάλογα με το προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων. Ο αλγόριθμος φαίνεται πως λειτουργεί με σωστό τρόπο αφού όσο αυξάνεται ο αριθμός των επαναλήψεων τόσο βελτιώνεται απόδοσή του. Βέβαια ο αριθμός επαναλήψεων προσφέρει σημαντική βελτίωση μέχρι κάποιο συγκεκριμένο σημείο. Πάνω από αυτό το σημείο, το κέρδος στην απόδοση είναι αρκετά μικρό έως μηδενικό και τελικά επιβαρύνει τη διαδικασία. Γι αυτό το λόγο επιλέγεται ένας μέγιστος αριθμός επαναλήψεων ο οποίος ικανοποιεί την εφαρμογή που θέλουμε να υλοποιήσουμε. Ο αλγόριθμος φαίνεται να έχει σημαντική Σχήμα 3.3: Συμεριφορά του log SP σε σχέση με το μέγιστο αριθμό επαναλήψεων βελτίωση μέχρι και τις 50 επαναλήψεις Min-Sum (MS) Μία παραλλαγή του log SP είναι ο αλγόριθμος Min-Sum ο οποίος διαφέρει από τον αρχικό μόνο στο στάδιο της ενημέρωσης των check κόμβων ενώ όλη η υπόλοιπη διαδικασία παραμένει ίδια. Για να περιγράψουμε τον αλγόριθμο θα πρέπει να χωρίσουμε τον τα στοιχεία του πίνακα L j i

32 24 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης ως εξής: L j i = α ij βij, α ij = sign(l j i ), και βij = L i j, το sign σημαίνει πως κρατάμε μόνο το πρόσημο του στοιχείου. Έτσι από από την 3.5 η tanh θα αλλάξει: και τελικά: tanh( 1 2 L i j) = j ϵn(i) {j} α j i j ϵn(i) {j} tanh( 1 2 β j i) (3.9) L i j = j α j i 2 tanh 1 ( j tanh( 1 2 β j i))) = j α j i 2 tanh 1 log 1 log( j tanh( 1 2 )β j i)) = j α j i 2 tanh 1 log 1 j log(tanh( 1 2 β j i)) (3.10) οπότε η ενημέρωση των check nodes θα έχει τη μορφή, Ενημέρωση των check nodes: L i j = j ϵn(i) {j} α j i( j ϵn(i) {j} ϕ(β j i)), (3.11) όπου ϕ(χ) = log [tanh( χ ] 2 ) = log( eχ + 1 e χ ). (3.12) 1 Με λίγα λόγια κατά το βήμα 2 ο αλγόριθμος αφού πάρει τις τιμές όλων των variables στα οποία είναι συνδεδεμένος ο κάθε check κρατάει για κάθε variable την ελάχιστη τιμή των υπολοίπων κόμβων μαζί με το πρόσημο που προκύπτει από το συνδυασμό των προσήμων όλων αυτών των στοιχείων, όπως φαίνεται στην Με αυτό τον τρόπο δε χρειαζόμαστε την πολύ απαιτητική συνάρτηση που χρησιμοποιεί ο log-sp. L i j = j ϵn(i) {j} α ij min β ij (3.13) Bit Error Rate plot Η απόδοση του αλγορίθμου με βάση το μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων φαίνεται στο Σχήμα. 3.4

33 Ο αλγόριθμος Sum-Product και οι παραλλαγές του 25 Σχήμα 3.4: Συμπεριφορά του MS σε σχέση με το μέγιστο αριθμό επαναλήψεων Ο min-sum αν έχει πολύ χαμηλότερη υπολογιστική πολυπλοκότητα, αλλά αποδίδει κατά db χειρότερα σε σχέση με τον log-sp όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα 3.5: Σύγκριση MS με log-sp

34 26 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Normalized Min-Sum O αλγόριθμος Normalized Min-Sum (NMS) είναι μία παραλλαγή του Min-Sum η οποία βελτιώνει κατά πολύ την απόδοσή του και πλησιάζει αυτή του SP χωρίς να αυξάνει την υπολογιστική πολυπλοκότητα σχεδόν καθόλου. Η επιπλέον διαδικασία που χρειάζεται να γίνει στον NMS είναι να βρεθεί και να χρησιμοποιηθεί ένας παράγοντας α, ο οποίος είναι μεγαλύτερος της μονάδας. Κατά τον υπολογισμό κάθε μηνύματος προς τους variables κόμβους συμμετέχει ένας κατάλληλος παράγοντας για το κάθε μήνυμα, ώστε να βελτιώνεται η απόδοση της αποκωδικοποίησης. Για μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας ο παράγοντας αυτός μένει σταθερός για όλα τα μηνύματα. Αυτός ο παράγοντας ουσιαστικά πολλαπλασιάζεται σε κάθε μήνυμα κατά τη διαδικασία ενημέρωσης των check nodes πριν χρησιμοποιηθεί από το επόμενο στάδιο αποκωδικοποίησης. Τα υπόλοιπα βήματα του αλγορίθμου θα είναι ίδια με αυτά του Min-Sum. Ενημέρωση των check nodes: L i j = α α j i( ϕ(β j i)) j ϵn(i) {j} j ϵn(i) {j} αλλιώς, L i j = α α ij min β ij. (3.14) j ϵn(i) {j} Bit Error Rate plot Αρχικά για το συγκεκριμένο αλγόριθμο πρέπει να βρεθεί ο κατάλληλος παράγοντας α ώστε να πετύχουμε την καλύτερη δυνατή απόδοση του. Αυτό γίνεται με διάφορες δοκιμές. Για το συγκεκριμένο κώδικα καλύτερη τιμή είναι α = 0.75 όπως φαίνεται στο Σχήμα Στο ίδιο σχήμα παρατηρείται ότι ο Normalized Min-Sum έχει αρκετά καλύτερη απόδοση από τον Min-Sum και είναι μόνο κατά 0.1db χειρότερος από τον log SP.

35 Belief Propagation 27 Σχήμα 3.6: Συμπεριφορά του NMS για διαφορετικούς παράγοντες α μετά από 50 επαναλήψεις 3.4 Belief Propagation Ο Belief Propagation (BP) [8, p ] είναι ένας ιδανικός επαναληπτικός αλγόριθμος για να επιτευχθούν επιδόσεις κοντά στη χωρητικότητα του καναλιού με LDPC κώδικες. Βασίζεται διάδοση του μπιτ πληροφορίας Θεωρώντας ότι ο πίνακας ελέγχου-ισοτιμίας είναι H, Τα LLRs του καναλιού είναι y n, n {0, 1,.., N 1}, οι Variable nodes είναι u n, n {0, 1,.., N 1}, οι Check nodes είναι c m, m {0, 1,.., M 1}, τα Check-to-Bit μηνύματα είναι L (i) mn, τα Bit-to-Check μηνύματα είναι Z (i) mn, οι Soft τιμές των variables είναι Z (i) n, η αρχικοποίηση της πληροφορίας είναι L (0) n = 2 yn. σ 2 Αυτές οι τιμές χρησιμοποιούνται στην πρώτη επανάληψη ως Z n (i). Ο εκθέτης (i) υποδεικνύει τους υπολογισμούς που γίνονται στην i η επανάληψη. Η επαναληπτική διαδικασία έχει ως εξής: 1. Ενημέρωση Check-to-Bit μηνυμάτων: για όλα τα c m και τα u n που συνδέονται σε αυτά υπολογίζουμε. S (i) mn = sign(z (i) mn) nϵn(m) sign( Z (i) nm) (3.15) Για όλους τους κόμβους πληροφορίας που συνδέονται με τον κόμβο

36 28 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης check εκτός του ενός του οποίου υπολογίζουμε το μήνυμα: M (i) mn = ( Z mn (i) ) (3.16) όπου το σύμβολο είναι η συνάρτηση [12]: I 1 I 2 = exp(i 1) + exp(i 2 ) 1 + exp(i 1 + I 2 ) (3.17) με (I n ) = I 0 I 1... I n. από την (3.15) και την (3.16), Check-to-bit messages υπολογίζονται: L (i) mn = S (i) mn M (i) mn (3.18) 2. Ενημέρωση Bit-to-Check μηνυμάτων: για όλα u m και κάθε c m που συνδέονται σε αυτά υπολογίζουμε Z n (i) = L (0) mn + mϵm(n) L(i) mnκαι Z mn (i) = Z n (i) L (i 1) mn 3. Κριτήρια τερματισμού: ˆx i = sign(z n (i) ) και s i ( ˆx i ) = H ˆx i. Αν s i (ˆx) = 0, η αποκωδικοποιημένη κωδική λέξη είναι σωστή και η διαδικασία σταματά με επιτυχία. Αν όχι, ο αλγόριθμος ξεκινά την επόμενη επανάληψη. Τελικά η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν πραγματοποιηθεί ο προκαθορισμένος αριθμός επαναλήψεων είτε υπάρχει επιτυχής αποκωδικοποίηση Bit Error Rate plot Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος έχει απόδοση κοντά στο όριο του Shannon, με χρήση μεγάλου μήκους κώδικα. Η απόδοσή του φαίνεται στο Σχήμα. 3.7.

37 Belief Propagation 29 Σχήμα 3.7: Συμπεριφορά του BP σε σχέση με το μέγιστο αριθμό επαναλήψεων Απλοποιήσεις του αλγορίθμου BP Κατά καιρούς έχουν προταθεί πολλές απλοποιήσεις για την υλοποίηση του πολύπλοκου κόμβου check για τον BP όπως [13] ή ο πιο διαδεδομένος BP-based [14]. Συγκεκριμένα δε χρειάζεται καθόλου πληροφορία για το είδος του καναλιού και η αρχικοποίηση του είναι πλέον L (0) n = y n και η σχέση. (3.16) αντικαθίσταται με: M mn (i) = min n ϵn(m) n Z(i) mn Το μεγάλο μειονέκτημα του αλγορίθμου αν και είναι απλός εισάγει μία σημαντική μείωση στην απόδοση, ειδικά σε μη κανονικούς κώδικες μεγάλου μήκους εώς και 1 db BP λ-min αλγόριθμος Μία ενδιαφέρουσα απλοποίηση προτείνεται στην εργασία [24] και ονομάζεται BP λ-min. Η συνάρτηση (3.17) μπορεί να γραφτεί: I 0 I 1 = sign(i 0 ) sign(i 1 ) min( I 0 I 1 ) + ln(1 + exp( I 0 I 1 )) ln(1 + exp( I 0 + I 1 )). (3.19) Στην λ-min προσέγγιση, η ενημέρωσης των check nodes μηνυμάτων μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μόνο τα λ ελάχιστα κατά απόλυτη τιμή μηνύματα, με λ > 1. Ένα νέο υποσύνολο δημιουργείται, δηλαδή το N λ (m) =

38 30 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης (n 0, n 1,..., n λ 1 ), το οποίο περιέχει τις λ τιμές. Άρα, η σχέση. (3.16) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μόνο το υποσύνολο των μηνυμάτων. Στην περίπτωση που το bit πληροφορίας που επεξεργαζόμαστε ανήκει στο υποσύνολο N λ (m), για τον υπολογισμό της σχέσης. (3.16) χρησιμοποιούνται μόνο λ 1 τιμές του υποσυνόλου, αλλιώς χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές του N λ (m). Τελικά η σχέση γίνεται: M (i) mn = n ϵn(m)\n ( Z mn (i) ) Επιπλέον μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα offset β το οποίο βοηθά στη βελτίωση της απόδοσης του αλγορίθμου, ώστε να φτάνει και τις επιδόσεις του BP ή ακόμα και να τις ξεπερνά σε κάποιες περιπτώσεις [25]: L (i) mn = S (i) mn max(m (i) mn β, 0), β > 0 (3.20) Η κατάλληλη τιμή του β μπορεί να βρεθεί μέσω δοκιμών μέχρι ο αλγόριθμος να έχει την καλύτερη δυνατή απόδοση και διαφέρει για κάθε κώδικα. Επίσης μπορεί να διαφέρει και για τον ίδιο κώδικα εάν αλλάξουμε την τιμή του λ Bit Error Rate plot Στο Σχήμα. 3.8 φαίνεται η συμπεριφορά του αλγορίθμου για διαφορετικές τιμές του λ. Σχήμα 3.8: Συμπεριφορά του BP λ-min για διάφορα λ

39 Belief Propagation 31 Μέχρι και τα λ = 3 και λ = 4 ο αλγόριθμος συμπεριφέρεται πολύ ικανοποιητικά. Χρησιμοποιώντας και ένα offset η συμπεριφορά του offset BP λ-min φαίνεται στο Σχήμα. 3.9, ξεπερνώντας την απόδοση του BP σε κάποιες περιπτώσεις. Σχήμα 3.9: Συμπεριφορά του OBP λ-min

40 32 Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης 3.5 Συγκριτικό BER plot Σχήμα 3.10: Συγκριτικό BER plot μεταξύ όλων των αλγορίθμων

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ 4.1 Fixed-point αναπαράστασης Όπως παρατηρούμε από τα προηγούμενα αποτελέσματα ο τρόπος και η λεπτομέρεια με την οποία θα υπολογιστούν τα μηνύματα τα οποία στέλνονται από και προς τους κόμβους είναι πολύ σημαντικά. Για τις συγκεκριμένες εξομοιώσεις χρησιμοποιείται η ακρίβεια κινητής υποδιαστολής (floating-point) αναπαράστασης αριθμών που προσφέρει το MATLAB. Στην πραγματικότητα οι συσκευές Field-programmable gate array (FPGA) και οι επεξεργαστές κατά κύριο λόγο δεν υποστηρίζουν την πραγματοποίηση πράξεων με floating-point αναπαράσταση αριθμών λόγω της πολυπλοκότητας και του επιπλέον κόστους κατασκευής [15]. Οπότε θα πρέπει κατά τις εξομοιώσεις των αλγορίθμων να χρησιμοποιηθεί η αναπαράσταση με fixed-point αριθμούς ώστε να καθοριστούν για του κάθε αλγόριθμο η ορθότητα και η ακρίβεια που απαιτούνται για να προκύπτουν τα επιθυμητά αποτελέσματα. Η ορθότητα (accuracy) [16]δείχνει πόσο κοντά είναι το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού σε σχέση με την τιμή που προκύπτει κατά τη χρήση floating-point αριθμών. Η ακρίβεια (precision) έχει να κάνει με το πλήθος των bit που αποτελούν τις λέξεις που χρησιμοποιούμε. Αν αυτές οι προϋποθέσεις δε ληφθούν υπόψη τότε ο αλγόριθμός μας ενδέχεται να μη μπορεί να πραγματοποιήσει την ανίχνευση και διόρθωση λαθών της κωδικής λέξης και η απόδοσή του να μειωθεί σημαντικά. Γι αυτό πραγματοποιούνται και 33

42 34 Χρήση Αριθμητικής Σταθερής Υποδιαστολής οι συγκεκριμένες εξομοιώσεις, που θα δούμε παρακάτω, με χρήση fixedpoint αναπαράστασης. 4.2 Αναπαράστση Fixed-point αριθμών Αρχικά η δυνατότητα αναπαράστασης του αριθμού έχει να κάνει με το μέγιστο αριθμό bits του bus που υποστηρίζει το σύστημα που θέλουμε να δημιουργήσουμε. Γενικά προσπαθούμε κάθε φορά να χρησιμοποιούμε το μικρότερο δυνατό bus για λόγους μείωσης της πολυπλοκότητας. Κατά την αναπαράσταση σε fixed-point η λέξη αποτελείται από συγκεκριμένο αριθμό bits που αναπαριστούν το ακέραιο και δεκαδικό μέρος αντίστοιχα. Εφόσον το συνολικό μήκος των μηνυμάτων είναι W L και το πλήθος των bits που αναπαριστούν το δεκαδικό μέρος της λέξης είναι F B, τότε τα bits που αντιστοιχούν στο ακέραιο μέρος θα είναι W L F B = IB. Ο αριθμός συμβολίζεται ως Q[IB].[FB]. Σε αυτή την αναπαράσταση και εφόσον θεωρήσουμε ότι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε είναι προσημασμένοι το πιο σημαντικό bit (ΜSB) υποδεικνύει εάν ο κάθε αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός όταν έχει την τιμή 0 ή 1 αντίστοιχα. Τότε το εύρος των τιμών που μπορούν να αναπαρασταθούν θα είναι[17]: Στην περίπτωση μη προσημασμένων αριθμών: Εύρος τιμών: [ 0, 2 IB 1 2 Βήμα: 2 F B F B] Στην περίπτωση προσημασμένων αριθμών: Εύρος τιμών: [ 2 IB 1, 2 IB 1 2 Βήμα: 2 F B F B] Μετατροπή αριθμού από floating σε fixed point Κατά την αναπαράσταση του αριθμού ως fixed-point ουσιαστικά χρησιμοποιούμε ακέραιος αριθμούς για να πραγματοποιήσουμε τις πράξεις μεταξύ μηνυμάτων στις εξομοιώσεις, δηλαδή τη δεκαδική τιμή που αντιστοιχεί στην ακολουθία των bits. Φυσικά πρέπει να προστεθεί και το κατάλληλο πρόσημο. Έστω ο floating point αριθμός, FP. Τότε, Q [IB]. [F B] = F P 2 F B Η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή fixed-point σε floating-point, πραγματοποιείται εάν πολλαπλασιάσουμε τον fixed-point αριθμό με το 2 F B. 4.3 Πράξεις με Fixed-point Κατά την πραγματοποίηση αριθμητικών πράξεων με αριθμούς fixed-point, κατά την εξομοίωση, θα πρέπει να προσέχουμε το αποτέλεσμα

43 Πράξεις με Fixed-point 35 τους να παραμένει εντός των ορίων που θέσαμε. Παρακάτω παρουσιάζονται ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να γίνονται οι πράξεις [18], εφόσον θέλουμε να διατηρήσουμε σταθερό τον αριθμό των bit που αντιστοιχούν σε ακέραιο και δεκαδικό μέρος Πρόσθεση και Αφαίρεση Οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία. Η μόνη προϋπόθεση που πρέπει να ικανοποιείται είναι οι δύο αριθμοί να αναπαριστώνται με τον ίδιο τρόπο όσων αφορά τον αριθμό των συνολικών bit όπως και των bit για το δεκαδικό κομμάτι. Στην περίπτωση που δεν ισχύει αυτό πρέπει ο ένας από τους δύο αριθμούς να μετατραπεί ώστε να έχουν την ίδια αναπαράσταση. Έστω οι αριθμοί N 1, N 2 και d = 2 F B τότε, N 1 d + N 2 d = N 1 + N 2 d N 1 d N 2 d = N 1 N 2 d Όπως φαίνεται η κλίμακα του αποτελέσματος παραμένει ίδια με των αρχικών αριθμών Πολλαπλασιασμός και Αφαίρεση H εκτέλεση αυτών των πράξεων είναι κάπως πιο περίπλοκη και αν δεν γίνει με σωστό τρόπο μπορεί να προκύψει ζήτημα ορθότητας. Γι αυτό το λόγο μετά την πράξη πρέπει να γίνεται επαναφορά στην κλίμακα και έλεγχος εάν ο καινούριος αριθμός παραμένει εντός εύρους και επαναφορά με χρήση μηχανισμού saturation όπου αναλύεται παρακάτω. Στον πολλαπλασιασμό δύο αριθμών συμπληρώματος κατά 2 με μήκος λέξης WL προκύπτει ένα αποτέλεσμα με μήκος 2WL. Για αυτό το λόγο η πράξη γίνεται ως εξής: ( N1 d N ) 2 2 d = N 1 N 2, d ώστε το τελικό αποτέλεσμα να επανέρχεται στη σωστή κλίμακα. Στη διαίρεση εάν δεν εφαρμόσουμε ένα scaling στο αποτέλεσμα αυτό θα εμφανίζεται με αναπαράσταση floating-point. Επειδή οι παράγοντες είναι δυνάμεις του δύο, αυτές οι δύο πράξεις πραγματοποιούνται με ολισθητές για μεγαλύτερη ταχύτητα. Ο πολλαπλασιασμός υλοποιείται με ολίσθηση στα αριστερά ενώ η διαίρεση με ολίσθηση προς τα δεξιά. ( ) N1 d /N 2 d = N 1/N 2 d d

44 36 Χρήση Αριθμητικής Σταθερής Υποδιαστολής 4.4 Saturation Saturation είναι μία διαδικασία κατά την οποία όλα τα αποτελέσματα των αριθμητικών πράξεων περιορίζονται σε συγκεκριμένα όρια ανάμεσα σε μία ελάχιστη τιμή και μία μέγιστη. Αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από την μέγιστη τιμή αλλάζει και γίνεται ίση με αυτό το μέγιστο. Αντίστοιχα γίνεται με τις μικρότερες τιμές, οι οποίες παίρνουν την τιμή του ελαχίστου. Για παράδειγμα στο Σχήμα. 4.1 το ημίτονο 4 sin (χ) φαίνεται με διακεκομμένες γραμμές και με κόκκινο χρώμα στην περίπτωση όπου έχει υποστεί saturate με εύρος [0,4]. Σχήμα 4.1: Διαδικασία Saturation για ψ = 4 sin (χ) 4.5 Απαιτήσεις μήκους λέξης για τους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης Για να βρεθεί ο κατάλληλος αριθμός bit που απαιτείται για την λειτουργία του κάθε αλγορίθμου θα πρέπει να υπολογιστούν συγκεκριμένες τιμές κατά την προσομοίωση. Συγκεκριμένα χρειάζεται να ελέγξουμε το εύρος των τιμών στις μεταβλητές που μας ενδιαφέρουν για να καταλήξουμε σε σωστά αποτελέσματα. Αρχικά για να διαπιστωθεί η σωστή λειτουργία του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας fixed-point αναπαράσταση εκτελείται η προσομοίωση με μεγάλου μήκους λέξη.

45 Απαιτήσεις μήκους λέξης για τους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης 37 Σχήμα 4.2: Log-SP με χρήση fixed-point αναπαράστασης Αλγόριθμος Log-SP Ο αλγόριθμος log-sp όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, χαρακτηρίζεται από υψηλή υπολογιστική πολυπλοκότητα κατά τον υπολογισμό του check κόμβου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να απαιτείται μεγάλη ακρίβεια κατά τους υπολογισμούς. Αρχικά με λέξη μήκους 32 bit το αποτέλεσμα είναι ίδιο με την προσομοίωση με floating-point αριθμούς όπως φαίνεται στην Σχήμα. 4.2 Μειώνοντας το μήκος λέξης το BER plot παραμένει παρόμοιο μέχρι και για λέξη μήκους 23bit με 19 bit για το δεκαδικό μέρος Σχήμα. 4.3.

46 38 Χρήση Αριθμητικής Σταθερής Υποδιαστολής Σχήμα 4.3: Log-SP με χρήση fixed-point αναπαράστασης Min-Sum Επειδή ο αλγόριθμος MS χρησιμοποιεί μόνο προσθέσεις για την απόφαση των τελικών μηνυμάτων, οι απαιτήσεις σε ακρίβεια είναι σαφώς μικρότερες από του SP. Μετά από δοκιμές με διάφορα μήκη, Σχήμα. 4.4, το μικρότερο μήκος λέξης κατά το οποίο ο αλγόριθμος λειτουργεί σωστά είναι 5 bits με 3 bits για το fractional μέρος Σχήμα 4.5. Σχήμα 4.4: Min-Sum με χρήση fixed-point αναπαράσταση Γενικά παρατηρείται ότι δεν απαιτείται μεγάλο μήκος λέξης και

47 Απαιτήσεις μήκους λέξης για τους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης 39 δίνεται έμφαση στο fractional μέρος. Σχήμα 4.5: Min-Sum με χρήση fixed-point αναπαράσταση Οι χαμηλές απαιτήσεις του Min-Sum σε μήκος λέξης τον καθιστούν προσιτό για υλοποίηση σε πραγματικές εφαρμογές Normalized Min-Sum Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος φαίνεται να μην επηρεάζεται ιδιαίτερα από το μήκος λέξης λόγω της ομοιότητας του με τον min-sum Σχήμα. 4.6 και η απόδοσή του είναι κοντά στον log-sp γεγονός που τον κάνει επιθυμητό για εφαρμογές. Σχήμα 4.6: Normalized Min-Sum με χρήση αναπαράστασης fixed-point

48 40 Χρήση Αριθμητικής Σταθερής Υποδιαστολής Belief Propagation Λόγω της υψηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας του αλγορίθμου οι απαιτήσεις σε μήκος λέξης είναι αρκετά μεγάλες όπως φαίνεται στο Σχ Σχήμα 4.7: BP με χρήση αναπαράστασης fixed-point

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΧΑΜΗΛΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΓΙΑ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ LDPC 5.1 Απαιτήσεις για χαμηλή κατανάλωση Η εξέλιξη των απαιτήσεων των ασύρματων επικοινωνιών τα τελευταία χρόνια συνεχώς αυξάνονται. Η ανάγκη για μετάδοση μεγάλου όγκου δεδομένων, όπως υψηλής ευκρίνειας βίντεο, σε φορητές συσκευές με χρήση 4G αλλά και τηλεοράσεις έχει αυξηθεί ραγδαία. Παράλληλα υπάρχει και η απαίτηση αποδοτικών εξαρτημάτων αποκωδικοποίησης και διόρθωσης λαθών που συνδυάζουν υψηλό throughput rate ( 5.1) και χαμηλή κατανάλωση. Ειδικά στις φορητές συσκευές η απαίτηση για αύξηση της διάρκειας μπαταρίας είναι ιδιαίτερης σημασίας και επιτυγχάνεται και με μείωση της κατανάλωσης ενέργειας του αποκωδικοποιητή. T hroughput = codelength datarate clock frequency (5.1) # of cycles to decode 5.2 Παράλληλες Αρχιτεκτονικές Αποκωδικοποιητή για μείωση της κατανάλωσης Οι κώδικες LDPC έχουν τη δυνατότητα να αξιοποιηθούν, σε αντίθεση με τους turbo codes, με χρήση παράλληλων μπλοκ αποκωδικοποιητή. 41

50 42 Τεχνικές Χαμηλής Κατανάλωσης για αποκωδικοποιητές LDPC Σε μία πλήρως παράλληλη υλοποίηση κάθε κόμβος check και variable αντιστοιχίζεται σε ένα συγκεκριμένο component του αποκωδικοποιητή. Κάθε τέτοια μονάδα χρησιμοποιείται σε κάθε επανάληψη για να υπολογίσει το μήνυμα που στέλνει ο κάθε κόμβος. Οπότε το σχηματικό του αποκωδικοποιητή για τους κόμβους θα αντικατοπτρίζει το Tanner graph του εκάστοτε κώδικα. Για παράδειγμα θα είναι όπως στο Σχ. 5.2 Αυτού του είδους η υλοποίηση απλοποιεί τον αλγόριθμο που θα ακολουθεί το υλικό ως προς τον έλεγχο του συστήματος. Εφόσον οι υπολογισμοί των κόμβων γίνονται παράλληλα για κάθε iteration δεν υπάρχει ανάγκη για εναλλαγή των μονάδων υλικού. Αυτά τα στοιχεία οδηγούν σε χαμηλότερη κατανάλωση ενέργειας [19]. Το περιεχόμενο κάθε μπλοκ φαίνεται στο Σχ Στο συγκεκριμένο o κόμβος variable εξαρτάται από τρεις check κόμβους ενώ ο check από 6 variable κόμβους. Σχήμα 5.1: Block αποκωδικοποιητή [19] Επιπλέον θετικό της παράλληλης υλοποίησης είναι ότι μπορεί να επιτευχθεί πολύ υψηλό throughput, έχοντας ένα κώδικα μεγάλου μήκους, χωρίς να χρειάζεται να αυξήσουμε τη συχνότητα λειτουργίας του κυκλώματος.

51 Παράλληλες Αρχιτεκτονικές Αποκωδικοποιητή για μείωση της κατανάλωσης 43 Σχήμα 5.2: Tanner graph για 5 check και 12 variable κόμβους [19] Βέβαια δεν είναι απαραίτητο, πολλές φορές ούτε εφικτό, να υλοποιηθεί ο αποκωδικοποιητής πλήρως παράλληλα. Δηλαδή να μην ολοκληρωθούν όλοι οι υπολογισμοί σε ένα clock αλλά σε περισσότερα. Το πλήθος των clock που απαιτούνται εξαρτώνται από τον παράγοντα k (parallelism factor). Το k ορίζει το πλήθος των μονάδων επεξεργασίας κόμβων μέσα στον αποκωδικοποιητή. Αποδεικνύεται [20] ότι όσο αυξάνεται το k, μειώνεται η κατανάλωση ισχύος όπως φαίνεται στο Σχ. 5.3 Σχήμα 5.3: Αύξηση παραλληλίας μειώνει την απαιτούμενη ενέργεια [20]

52 44 Τεχνικές Χαμηλής Κατανάλωσης για αποκωδικοποιητές LDPC Μειονεκτήματα Παράλληλης Υλοποίησης Απαιτεί μεγάλη περιοχή υλοποίησης λόγω των πολλαπλών component check και variable κόμβων σε σχέση με τη hardware-sharing τεχνική. Δεν υπάρχει η δυνατότητα υποστήριξης διαφορετικών μηκών κωδίκων ή διαφορετικού coderate. Απαιτούνται πολλά component και πολλές διασυνδέσεις των check κόμβων με variable κόμβους στο top level. 5.3 Κριτήρια τερματισμού για μείωση κατανάλωσης Με χρήση των συναρτήσεων Check Node Mean Magnitude και Check Node Meam Checksum Ο αποκωδικοποιητής πολλές φορές διορθώνει την κωδική λέξη πριν ολοκληρώσει το μέγιστο αριθμό επαναλήψεων, ειδικά όταν λειτουργεί σε χαμηλά SNR. Για να μειωθεί η κατανάλωση υπάρχει μία τεχνική διακοπής της αποκωδικοποίησης [21], πριν την ολοκλήρωση των προκαθορισμένων επαναλήψεων, ελέγχοντας δύο μεταβλητές: την check node mean magnitude (CNMM) και την check node mean checksum (CNMC). Η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται για τον αλγόριθμο Normalized Min-Sum. Έχοντας: Q (i) ij μηνύματα από τον κόμβο check i προς τον variable j κατά την (l) επανάληψη. α < 1 ο παράγοντας κανονικοποίησης του NMS. Μ ο αριθμός των κόμβων ελέγχου. Οι μεταβλητές είναι: CNMM (i) = 1 M α M min i j=1 ϵn(j) ( Q(l 1) i j ), (5.2) και CNMC (i) = 1 M M xor i ϵn(j)( 1 sign(ql 1 i j ) ). (5.3) 2 j=1 Με τη χρήση δύο ελέγχων απαιτούνται λιγότερες επαναλήψεις για αντιληφθεί ο αλγόριθμος την ύπαρξη undecodable block. Επίσης δεν απαιτείται καμία γνώση για το SNR του καναλιού. Ο αλγόριθμος έχει ως εξής: 1. Ορίζουμε δύο όρια, T 1 και T 2,για τις παραπάνω μεταβλητές ανάλογα με την εφαρμογή μας. 2. Δεν εφαρμόζεται τερματισμός πριν την ολοκλήρωση των προκαθορισμένων επαναλήψεων εφόσον CNMM 2 > T 1 ή CNMC 2 < T 2.

53 Κριτήρια τερματισμού για μείωση κατανάλωσης Εάν δεν ενεργοποιηθεί το βήμα 2 τότε εάν CNMM (l) < CNMM (l 1) και CNMC (l) > CNMC (l 1) ή l = μέγιστο αριθμό επαναλήψεων, τερματίζεται η διαδικασία αποκωδικοποίησης, αλλιώς αυξάνεται το l. Όσο λιγότερες επαναλήψεις πραγματοποιηθούν τόσο μικρότερη καθυστέρηση εισάγει ο αποκωδικοποιητής στο συνολικό σύστημα όπως επίσης τόσο μικρότερη είναι και η ενέργεια που καταναλώνει. Φαίνεται από το Σχ. 5.4 ότι χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική δεν υπάρχει μείωση της απόδοσης του αποκωδικοποιητή. Σχήμα 5.4: Απόδοση με χρήση early stopping [21] Με παρατήρηση των soft λέξεων των προηγούμενων επαναλήψεων Κάποιες φορές ο αποκωδικοποιητής δε μπορεί να αποκωδικοποιήσει περαιτέρω συγκεκριμένες λέξεις επειδή επαναλαμβάνονται ανά κάποιο αριθμό επαναλήψεων. Αυτό συμβαίνει πιο συχνά σε χαμηλό SNR. Οπότε πραγματοποιούνται επιπλέον επαναλήψεις χωρίς να επηρεάζουν ουσιαστικά την τελική έξοδο. Με βάση αυτή την παρατήρηση προτείνεται ένα κριτήριο τερματισμού [22]. Με βάση αυτό υπάρχει επανάληψη κάποιας λέξης όταν η λέξη που προκύπτει από κάποια λέξη είναι παρόμοια με μία από προηγούμενη επανάληψη. Το συγκεκριμένο κριτήριο θεωρεί ότι πρέπει να τερματιστεί η διαδικασία όταν για δύο soft λέξεις S 1 και S 2

54 46 Τεχνικές Χαμηλής Κατανάλωσης για αποκωδικοποιητές LDPC ικανοποιείται η σχέση: S 1 S 2 ϵ, δηλαδή όταν δύο λέξεις διαφέρουν λιγότερο από μία τιμή ϵ. Για να αποθηκεύονται οι λέξεις των προηγούμενων επαναλήψεων χρησιμοποιείται μία Content-Addressable Memory (CAM), ώστε να απαιτείται μόνο μία προσπέλαση κάθε φορά. Αυτή η τεχνική έχει ως αποτέλεσμα τη δυνατότητα για υψηλό throughput και ο έλεγχος της είναι απλός. Αρνητικό στοιχείο είναι η μεγάλη απαίτηση σε area. Σχήμα 5.5: Αριθμός επαναλήψεων χωρίς τη χρήση κριτηρίου [22] Με αυτόν τον τρόπο παρατηρείται μείωση των έως επαναλήψεων κατά 75% όπως φαίνεται στο Σχ. 5.5 και Σχ. reffig:tablec2. Σχήμα 5.6: Αριθμός επαναλήωεων με χρήση του κριτηρίου [22] Με μετρήσεις σε παράλληλη υλοποίηση και harware-sharing παρατειρείται μείωση της κατανάλωσης ενέργειας όπως φαίνεται στο Σχ. 5.7.

55 Μείωση της κατανάλωσης ενέργειας με εκτίμηση του SNR 47 Συγκεκριμένα στην παράλληλη υλοποίηση υπάρχει μείωση της κατανάλωσης εώς 78%. Σχήμα 5.7: Μέτρηση κατανάλωσης με χρήση του κριτηρίου [22] 5.4 Μείωση της κατανάλωσης ενέργειας με εκτίμηση του SNR Στις περισσότερες εφαρμογές αποκωδικοποιητών η διαδικασία ολοκληρώνεται εφόσον έχει πραγματοποιηθεί ένας προκαθορισμένος μέγιστος αριθμός επαναλήψεων της διαδικασίας είτε όταν η διαδικασία είναι επιτυχής και η κωδική λέξη που προκύπτει είναι η σωστή. Βέβαια οι διεργασίες υπολογισμού και ελέγχου των κριτηρίων αυτών απαιτεί υπολογιστική δύναμη και εισάγει καθυστέρηση. Γι αυτό τον λόγω υπάρχει η θεωρία [23] να μην πραγματοποιούνται οι έλεγχοι αυτοί σε κάθε iteration του αποκωδικοποιητή. Γνωρίζοντας τα στοιχεία του καναλιού και συγκεκριμένα το SNR μπορούμε να εκτιμήσουμε πότε θα χρειάζεται να πραγματοποιηθούν αυτοί οι έλεγχοι. Για να υλοποιηθεί αυτή η τεχνική χρειάζεται να μελετηθεί η συμπεριφορά του κώδικα πριν υλοποιηθεί ο decoder. Αρχικά καταγράφονται με εξομοιώσεις του αλγορίθμου οι απαιτούμενες επαναλήψεις για επιτυχή αποκωδικοποίηση και μετά εισάγονται σε lookup tables που διαβάζονται κατά την εκτέλεσε του decoder.

56 48 Τεχνικές Χαμηλής Κατανάλωσης για αποκωδικοποιητές LDPC Σχήμα 5.8: Αριθμός iteration με βάση το SNR για rate=1/2 [23] Για παράδειγμα στον Πίνακα. 5.8 μετά από εξομοίωση 10 6 frames με χρήση κώδικα 9216 bit και coderate-1/2 (για άλλα coderates στον Πίνακα. 5.9) για διάφορες τιμές θορύβου παρουσιάζονται οι μέσες και οι ελάχιστες επαναλήψεις που απαιτούνται για επιτυχία του αλγορίθμου. Σχήμα 5.9: Αριθμός iteration με βάση το SNR για rate=1/2 [23] Έτσι οι διεργασίες ελέγχου των κριτηρίων ξεκινούν να πραγματο-

57 Μείωση της κατανάλωσης ενέργειας με εκτίμηση του SNR 49 ποιούνται με βάση τα επίπεδα θορύβου. Έτσι ανάλογα με το SNR επιλέγεται το πιο αποδοτικό coderate κάθε φορά και οι έλεγχοι των κριτηρίων ξεκινάν αφού περάσουν οι ελάχιστες επαναλήψεις, με βάση τον πίνακα. Στον Πίνακα φαίνεται η μείωση του χρόνου εξομοίωσης χρησιμοποιώντας την τεχνική αυτή. Σχήμα 5.10: Χρόνοι εξομοίωσης [23]

58

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ λ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΕ HARDWARE ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΚΟΜΒΟΥΣ CHECK 6.1 Περιγραφή Κατά την επεξεργασία και την υλοποίηση του αλγορίθμου Belief Propagation λ-min [24] σε hardware παρατηρείται η μεγάλη υπολογιστική του πολυπλοκότητα που απαιτείται. Η παρατηρήθηκε ότι μπορεί να μειωθεί αυτή η πολυπλοκότητα αλλάζοντας τον τρόπο με τον οποίο αναγνωρίζονται τα ελάχιστα. Στην εργασία στην οποία προτείνεται ο αλγόριθμος [25] παρουσιάζεται μία υλοποίηση σειριακής εισόδου των μηνυμάτων. Σε αυτή τα μηνύματα προς τον check κόμβο εισέρχονται ένα ανά κάθε clock και ταξινομούνται με ένα είδος insertion sort όπως φαίνεται στο Σχ Έπειτα αφού ταξινομηθούν οι τιμές αυτές ξεκινά η διαδικασία των υπολογισμών εξερχόμενων μηνυμάτων προς τους variable κόμβους. Αυτή η διαδικασία απαιτεί πολλά clocks σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου καθυστερώντας τη διαδικασία. Βέβαια αυτή η υλοποίηση έχει ελάχιστες απαιτήσεις υλικού. 51

60 52 Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Σχήμα 6.1: Ταξινόμηση από [25] Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο προτείνεται μία παράλληλη υλοποίηση του check κόμβου, όπου όλα τα μηνύματα προς τον κόμβο έρχονται παράλληλα. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει πληθώρα επιλογών ως προς το δίκτυο ταξινόμησης. Βέβαια όσο αυξάνονται τα μηνύματα τόσο πιο πολύπλοκο θα γίνει το δίκτυο. Γι αυτό το λόγο προτείνονται δύο δίκτυα τα οποία προσεγγίζουν τα λ ελάχιστα χωρίς να δημιουργούν ιδιαίτερες απώλειες στην απόδοση του αλγορίθμου. Με αυτό τον τρόπο μειώνεται ο χρόνος που απαιτείται για την εύρεση των ελαχίστων όπως και οι συγκρίσεις που απαιτούνται. Οι δοκιμές πραγματοποιούνται σε κώδικα WiFi με coderate 1/2 και βάρη γραμμής 7 και 8. Το λ που επιλέγεται είναι το τρία για το παράδειγμα και η απόδοσή του φαίνεται στο Σχ. 6.2 μετά από 50 επαναλήψεις με χρήση offset = 0.3.

61 Προτεινόμενα δίκτυα 53 Σχήμα 6.2: BER plot OBPλ-min = Προτεινόμενα δίκτυα Η παράλληλη υλοποίηση του check κόμβου, αυτός θα πρέπει να πραγματοποιεί τρεις διεργασίες πριν την ενημέρωση των μηνυμάτων προς τους κόμβους bit όπως φαίνεται στο ΣΧ Το block Sign βρίσκει το συνολικό πρόσημο χρησιμοποιώντας όλα τα μηνύματα όπως περιγράφεται στον αλγόριθμο στο Κεφάλαιο 3 ώστε μετά να χρησιμοποιηθεί από τον check node update όπου θα δημιουργηθεί το πρόσημο του κάθε κόμβου. Το block λ minimum αναγνωρίζει τις λ ελάχιστες τιμές ώστε να χρησιμοποιηθούν στο επόμενο block το οποίο υπολογίζει τις λ+1 πιθανές τιμές των μηνυμάτων με τη χρήση look up tables. Το τελικό block χρησιμοποιώντας τις παραπάνω πληροφορίες καθορίζει την κατάλληλη τιμή του εξερχόμενου μηνύματος. Στο συγκεκριμένο δίκτυο απαιτούνται 19 συγκρίσεις για το πλήρες σορτάρισμα και 17 συγκρίσεις για την ταξινόμηση των 3 ελαχίστων. Στο συγκεκριμένο κώδικα οι τιμές των μηνυμάτων που έρχονται θα είναι 7 ή 8 στο σύνολο ανάλογα με το βάρος της κάθε στήλης. Τα ελάχιστα που ψάχνουμε είναι τρεις και επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε το δίκτυο που φαίνεται στο Σχ. 6.4.

62 54 Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Σχήμα 6.3: Αρχιτεκτονική του Check node process Σχήμα 6.4: Διάγραμμα Knuth για ταξινόμηση 8 μηνυμάτων [26] Επειδή η ταξινόμηση είναι απαιτητική διαδικασία προτείνονται δύο δίκτυα για την προσέγγιση των λ ελαχίστων και χρήση στον BP λ-min αλγόριθμο, αντίστοιχα με δίκτυα για την εύρεση των δύο ελαχίστων για τον Min-Sum αλγόριθμο [27] Δίκτυο με 13 συγκριτές Το διάγραμμα Knuth της πρώτης προσέγγισης που προτείνεται φαίνεται στο Σχ. 6.5 και απαιτεί 13 συγκριτές. Αυτό το δίκτυο μπορεί να ξεχωρίζει πάντα τις δύο ελάχιστες τιμές από το σύνολο των μηνυμάτων αλλά η τρίτη προσεγγίζεται. Πρώτα χωρίζουμε τα εισερχόμενα μηνύματα σε δύο υποσύνολα, το πάνω και το κάτω. Μετά από δέκα συγκρίσεις έχουν αναγνωριστεί τα δύο ελάχιστα των δύο υποσυνόλων. Στο επόμενο στάδιο

63 Προτεινόμενα δίκτυα 55 με τη χρήση δύο συγκριτών, οι δύο ελάχιστες τιμές του αρχικού συνόλου έχουν υπολογιστεί. Η επόμενη σύγκριση προσεγγίζει την τρίτη ελάχιστη τιμή. Η διαδικασία μπορεί να βρει και τις τρεις ελάχιστες τιμές σωστά όταν δεν ανήκουν στο ίδιο υποσύνολο, πάνω ή κάτω. Σχήμα 6.5: Προσέγγιση που χρησιμοποιεί 13 συγκριτές Σχήμα 6.6: Προσέγγιση που χρησιμοποιεί 7 συγκριτές Για παράδειγμα αν έχουμε ένα σύνολο 8 μηνυμάτων S in = {2, 4, 7, 1, 9, 3, 5, 8} η διαδικασία είναι η εξής. Το πάνω υποσύνολο είναι S u = {2, 4, 7, 1} και το άλλο S l = {9, 3, 5, 8}. Μετά από 10 συγκρίσεις θα έχουμε δύο υποσύνολα το S u10 = {2,1} και το S l10 = {3, 5}, τα οποία περιέχουν τις ελάχιστες τιμές των αρχικών υποσυνόλων. Τα ελάχιστα των δύο υποσυνόλων θα είναι το πρώτο και το δεύτερο ελάχιστο S 2 = {1, 3}, του αρχικού συνόλου. Τέλος συγκρίνοντας τα μέγιστα των υποσυνόλων S u10 και S l10 προσεγγίζουμε το τρίτο ελάχιστο. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουν προσδιοριστεί τα πραγματικά ελάχιστα. Χρησιμοποιώντας αυτό το δίκτυο για την αναγνώριση των λ ελαχίστων τιμών στον αλγόριθμο BP λ-min με offset στο check node, η πτώση της απόδοσης είναι σχεδόν μηδενική σε σχέση με τη χρήση της πλήρους ταξινόμησης. Η σύγκριση των δύο φαίνεται στο Σχ. 6.7 στο διάγραμμα Bit Error Rate (BER) ως προς το θόρυβο μετά από 50 επαναλήψεις. Το ιδανικό offset μπορεί να διαφέρει χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις των ελαχίστων και θα πρέπει να επαναπροσδιοριστεί μέσα από δοκιμές.

64 56 Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Σχήμα 6.7: Σύγκριση πλήρους ταξινόμησης με την προσέγγιση χρησιμοποιώντας 13 συγκρίσεις (Approx1) Δίκτυο με 7 συγκριτές Στο Σχ. 6.6 φαίνεται το διάγραμμα Knuth του δεύτερου προσεγγιστικού δικτύου οποίο χρησιμοποιεί επτά συγκριτές. Παρόμοια και αυτό το δίκτυο μπρεί να αναγνωρίσει πάντα τα δύο ελάχιστα σωστά αλλά έχει μικρότερη πιθανότητα να προσεγγίσει το τρίτο επιτυχημένα, σε σχέση με το προηγούμενο δίκτυο. Η σύγκριση των δύο δικτύων φαίνεται στον Πίνακα. 6.1 ως προς την πιθανότητα σωστής προσέγγισης και των τριών ελάχιστων τιμών. Σε αυτό το δίκτυο τα εισερχόμενα μηνύματα αρχικά συγκρίνονται ανά ζεύγη. Στο δεύτερο στάδιο τα ελάχιστα κάθε αρχικού ζευγαριού συγκρίνονται πάλι ανά δύο με αποτέλεσμα να έχουν προσδιοριστεί οι δύο ελάχιστες τιμές των εισερχόμενων μηνυμάτων. Στο τρίτο και τελευταίο στάδιο τα μέγιστα από το προηγούμενο στάδιο συγκρίνονται για να προσεγγίσουν την τρίτη ελάχιστη τιμή. Πίνακας 6.1: Networks comparison Approx1 Approx2 Three minima correct 86% 57% Two minima correct 24% 43%

65 Προτεινόμενα δίκτυα 57 Αν και αυτό το δίκτυο έχει σχετικά χαμηλή πιθανότητα κοντά στο 57% να αναγνωρίσει και τα τρία ελάχιστα, αν χρησιμοποιηθεί με τον αλγόριθμο ΟBP λ-min, παρατηρείται ότι υπάρχει μόνο μία μικρή μείωση της απόδοσης γύρω στο 0.1 db όπως φαίνεται στο Σχ Σχήμα 6.8: Σύγκριση πλήρους ταξινόμησης με την προσέγγιση χρησιμοποιώντας 13 συγκρίσεις (Approx2) Στο Σχ. 6.9 φαίνεται το διάγραμμα BER των αλγορίθμων για λειτουργία με μέγιστο 10 επαναλήψεων.

66 58 Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Σχήμα 6.9: Σύγκριση πλήρους ταξινόμησης με τις Approx1 και Approx2 για μέγιστο αριθμό επαναλήψεων ίσο με Προτεινόμενη αρχιτεκτονική και απαιτήσεις hardware Για να κατανοηθούν τα κυκλώματα των προτεινόμενων δικτύων θα πρέπει πρώτα να παρουσιαστούν τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται. Χρησιμοποιούνται δύο ειδών συγκριτές. Ο πρώτος, που φαίνεται στο Σχ. 6.10, έχει δύο εισόδους και ως έξοδο μόνο την ελάχιστη τιμής μεταξύ αυτών και συμβολίζεται ως C 2 1. Ο δεύτερος ο οποίος φαίνεται στο Σχ. 6.11, έχει δύο εισόδους και δύο εξόδους και συμβολίζεται ως C 2 2.

67 Προτεινόμενη αρχιτεκτονική και απαιτήσεις hardware 59 Σχήμα 6.10: Κύκλωμα για το C 2 1 Σχήμα 6.11: Κύκλωμα για το C 2 2 Το κύκλωμα για το πρώτο δίκτυο φαίνεται στο Σχ και χρησιμοποιεί οκτώ C 2 2 και πέντε C 2 1 συγκριτές.

68 60 Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Σχήμα 6.12: Κύκλωμα προσέγγισης λ-ελαχίστων τιμών με 13 συγκριτές Το κύκλωμα για το δεύτερο δίκτυο φαίνεται στο Σχ και χρησιμοποιεί δύο C 2 2 και πέντε C 2 1 συγκριτές. Προσεγγίζει τα τρία ελάχιστα σε τρία στάδια. Σχήμα 6.13: Κύκλωμα προσέγγισης λ-ελαχίστων τιμών με 7 συγκριτές Υλοποιώντας όλα τα κυκλώματα που αναφέρθηκαν σε Virtex-6 FPGA XC6VLX240T, με speed grade 1 απαιτούνται οι καθυστερήσεις

69 Συμπεράσματα 61 που φαίνονται στον Πίνακα 6.2. Η σειριακή εκδοχή απαιτεί μικρότερο clock αλλά ολοκληρώνει τη διαδικασία μετά από 89 clock. Αυτό καθυστερεί κατά πολύ τον αποκωδικοποιητή επειδή το κύκλωμα αυτό ενεργοποιείται σε κάθε επανάληψη. Πίνακας 6.2: Σύγκριση καθηστέρησης Full Approx1 Approx2 [25] Delay (ns) clock cycles Επίσης οι απαιτήσεις σε υλικό φαίνονται στον Πίνακα Συμπεράσματα Παρατηρώντας τα αποτελέσματα φαίνεται πως μία παράλληλη υλοποίηση είναι πρακτικά εφικτή για τον check κόμβο. Επίσης χρησιμοποιώντας το δεύτερο προσεγγιστικό δίκτυο η πολυπλοκότητα μειώνεται κατά πολύ σε σχέση με το πλήρες sort απαιτώντας 2.4 φορές λιγότερους συγκριτές, χωρίς να υπάρχει σημαντική μείωση στην απόδοση του αλγορίθμου. Επιπλέον το συγκεκριμένο κύκλωμα προσδιορίζει τα λ ελάχιστα έως και 2.9 φορές πιο γρήγορα από την σειριακή εκδοχή. Πίνακας 6.3: Σύγκριση πολυπλοκότητας υλικού Full Approx1 Approx2 [25] LUTs Slices Registers Comparators Η κατανάλωση των παραπάνω δικτύων μετρήθηκε με χρήση του Xilinx XPower και τα αποτελέσματα φαίνονται στους πίνακες παρακάτω. Σχήμα 6.14: Full sort Σχήμα 6.15: Approx1

70 62 Υλοποίηση προσεγγιστικού υπολογισμού των λ ελάχιστων τιμών σε hardware για τους κόμβους check Σχήμα 6.16: Approx2 Σχήμα 6.17: [25]

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ ΣΕ HARDWARE 7.1 Σχηματικό Διάγραμμα Υλικού Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται μία υλοποίηση αποκωδικοποιητή και της μηχανής ελέγχου για τη σωστή λειτουργία του (FSM) σε υλικό. Τα επιμέρους component περιγράφηκαν σε γλώσσα VHDL. Με βάση αυτό το μοντέλο (Σχ. 7.1) μπορούν να υλοποιηθούν όλοι οι αλγόριθμοι που περιγράφηκαν στην εργασία. Το μόνο που θα πρέπει να τροποποιηθεί είναι το component του check node process ώστε να ικανοποιεί τους υπολογισμούς που απαιτεί κάθε αλγόριθμος. Οι μετρήσεις γίνονται μέσω Xilinx ISE σε FPGA Virtex 6 ML605 (xc6vlx240t). 63

72 64 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Σχήμα 7.1: Σχηματικό του αποκωδικοποιητή Finite state-machine H FSM καθορίζει τη σωστή λειτουργία του κυκλώματός μας ώστε όλα τα επιμέρους κομμάτια να δίνουν τα σωστά αποτελέσματα. Η FSM ουσιαστικά ελέγχει τη ροή των δεδομένων ενεργοποιώντας κάθε φορά τους κατάλληλους registers οι οποίοι βρίσκονται στο τέλος των components. Με αυτόν τον τρόπο όταν χρειάζεται να αλλάξει κατάσταση το κύκλωμα οι νέες τιμές συγκεκριμένων registers προωθούνται στην έξοδό των components. Φαίνεται στο Σχ. 7.2.

73 Σχηματικό Διάγραμμα Υλικού 65 Σχήμα 7.2: FSM του αποκωδικοποιητή

74 66 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware RESET : Η κατάσταση αυτή υπάρχει όσο το κύκλωμα δέχετε το reset=1. Αυτό μπορεί να συμβεί στην εκκίνηση του κυκλώματος, είτε για επανεκκίνηση. Wait inputs : Αυτή την κατάσταση παραμένει μέχρι να εισαχθούν όλα τα LLR-είσοδοι από εξωτερικό component (κανάλι). Read row : Εδώ γίνεται η ανάγνωση νέας γραμμής από τον αποκωδικοποιητή. Row process : Γίνεται η κατάλληλη επεξεργασία στην γραμμή που αναγνώστηκε από τη RAM. Calculate b2cmsgs : Ολοκλήρωση των μηνυμάτων προς τους check κόμβους. Check process : Διαδικασία υπολογισμού των c2b μηνυμάτων. Bit proc + write RAM : Διαδικασία bit κόμβων και προετοιμασία της λέξης που θα γραφτεί στη RAΜ Soft codewοrd : Πρόσθεση του μηνύματος από το κανάλι για τη δημιουργία της soft αποκωδικοποιημένης κωδικής λέξης. Outputs : Όταν ο αποκωδικοποιητής έχει τελειώσει τη διαδικασία ξεκινά να δίνει τις εξόδους προς το σύστημα. Στο Σχ. 7.3 φαίνεται το RTL schematic από όπως το έχει υλοποιήσει το Xilinx ISE. Σχήμα 7.3: RTL FSM του αποκωδικοποιητή Στο Σχ. 7.3 φαίνεται το RTL schematic από όπως το έχει υλοποι-

75 Components του αποκωδικοποιητή 67 ήσει το Xilinx ISE. 7.2 Components του αποκωδικοποιητή Top Level Το top level του αποκωδικοποιητή είναι ένα block, Σχ 7.4, το οποίο αποτελείται από δύο στοιχεία, τον αποκωδικοποιητή και την FSM Σχ 7.5. Σχήμα 7.4: Top level του αποκωδικοποιητή Τα LLR εισέρχονται από το κανάλι ανά δύο ώστε να γίνει οικονομία στις διεπαφές εισόδου του FPGA. Αντίστοιχα ισχύει και στην έξοδο. Επίσης δέχεται από το κανάλι τη διακύμανση του θορύβου. Εισάγεται το clock το οποίο χρησιμοποιείται σε όλα τα components του decoder.

76 68 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Σχήμα 7.5: Components του decoder Πίνακας 7.1: υλοποίηση της FSM Used Utilization Registers 20 1% LUTs 18 1% Slices 15 1% Best case (ns) Clock Περιγραφή υλικού με VHDL Η λογική της συγκεκριμένης υλοποίησης είναι να γίνεται παράλληλη φόρτωση κάθε γραμμής προς τους check κόμβους μέσω μίας RAM. Για να επιτευχθεί αυτό αποθηκεύονται όλα τα LLR κάθε γραμμής ανά μία θέση μνήμης ώστε να διαβάζονται όλα ταυτόχρονα. Μετά χωρίζονται ανάλογα με τον αριθμό των bit ανά λέξη ώστε να πραγματοποιηθούν οι διεργασίες του decoder Shift Register Serial in Parallel out (SIPO) Επειδή το FPGA έχει περιορισμένα pin εισόδου δε γίνεται να φορτωθούν όλα τα LLR του καναλιού (648) παράλληλα. Για αυτό το λόγο στην

77 Περιγραφή υλικού με VHDL 69 είσοδο χρησιμοποιείται ένας καταχωρητής ολίσθησης όπως του Σχ Σχήμα 7.6: Καταχωρητής ολίσθησης Ο συγκεκριμένος shift register έχει δύο σειριακές εισόδους από το κανάλι και δίνει στην έξοδο όλα τα LLRs παράλληλα. Δηλαδή είναι καταχωρητής ολίσθησης Σειριακής Εισόδου και Παράλληλης Εξόδου (ΣΕΠΕ). Η υλοποίηση του καταχωρητή ολίσθησης φαίνεται στο Σχ. 7.7

78 70 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Σχήμα 7.7: RTL SIPO

79 Περιγραφή υλικού με VHDL 71 Πίνακας 7.2: Υλοποίηση SIPO Used Utilization Registers 50 1% LUTs 294 1% Slices 99 1% Best case (ns) Clock Row counter Υλοποιούμε έναν μετρητή ώστε να μετράει τον αριθμό της γραμμής την οποία επεξεργάζεται κάθε φορά ο αποκωδικοποιητής. Σχήμα 7.8: RTL μετρητή γραμμών Πίνακας 7.3: Υλοποίηση Μετρητή γραμμών Used Utilization Registers 10 1% LUTs 12 1% Slices 5 1% Best case (ns) Clock 1.2

80 72 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Check to Bit RAM Υλοποιείται μία μνήμη RAM 324 θέσεων και 8 n bit, όπου n το μήκος λέξης των LLR. Η διεύθυνση της λέξης καθορίζεται από τον μετρητή γραμμών. Σχήμα 7.9: RAM Row process Το συγκεκριμένο component παίρνει σαν είσοδο την λέξη από τη RAM και διαχωρίζει τα LLR με βάση το μήκος λέξης.

81 Περιγραφή υλικού με VHDL 73

82 74 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Πίνακας 7.4: Υλοποίηση Row process Used Utilization Registers 12 1% LUTs 12 1% Slices 5 1% Best case (ns) Clock Υπολογισμός Bit to Check Προσθέτονται τα LLR του προηγούμενου iteration ώστε να δημιουργηθούν τα μηνύματα προς τους check κόμβους. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μέρος του component.

83 Περιγραφή υλικού με VHDL 75 Σχήμα 7.11: Πρόσθεση LLR (i 1) Check node process Το component αυτό διαφέρει ανάλογα με τον αλγόριθμο που υλοποιείται. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο υλοποιείται ο BP λ-min. Έτσι το component αποτελείται από τέσσερα μέρη, τον προσδιορισμό των λ-1, τον υπολογισμό λ+1 μηνυμάτων, υπολογισμό πρόσημου και ένα component το οποίο αντιστοιχίζει τις σωστές τιμές στους κόμβους. Τεχνικές υλοποίησης για το component που καθορίζει τα ελάχιστα μηνύματα, παρουσιάστηκαν στο Κεφ. 6.

84 76 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware Υπολογισμός λ+1 μηνυμάτων Για τον υπολογισμό των μηνυμάτων χρησιμοποιείται lookup table για τις τιμές της συνάρτησης ( 3.16). Σχήμα 7.12: Υπολογισμός λ+1 μηνυμάτων Πίνακας 7.5: Υπολογισμός λ-1 μηνυμάτων Used Utilization Registers 44 1% LUTs 158 1% Slices 54 1% Best case (ns) Clock 8.1

85 Περιγραφή υλικού με VHDL Προσδιορισμός πρόσημου Σχήμα 7.13: Προσδιορισμός πρόσημου Πίνακας 7.6: Προσδιορισμός πρόσημου Used Utilization Registers 1 1% LUTs 2 1% Slices 1 1% Best case (ns) Clock < Αντιστοίχηση τιμών Αυτό το component συνδυάζοντας το πρόσημο και τις υπολογισμένες τιμές των μηνυμάτων επιλέγει τη σωστή τιμή για κάθε κόμβο με βάση θέση τους. Το component αυτό εξυπηρετεί έναν κόμβο vriable ανά clock, οπότε μπορούμε να υλοποιήσουμε το κύκλωμά μας με ένα έως οχτώ

86 78 Υλοποίηση Αποκωδικοποιητή σε Hardware τέτοια components ανάλογα με το βαθμό παραλληλίας που επιθυμούμε να έχει το σύστημά μας. Σχήμα 7.14: Αντιστοίχηση τιμών Πίνακας 7.7: Αντιστοίχηση τιμών Used Utilization Registers 1 1% LUTs 12 1% Slices 5 1% Best case (ns) Clock Variable node process Σχήμα 7.15: Variable process

87 Περιγραφή υλικού με VHDL Προετοιμασία λέξης για αποθήκευση στη RAM Παίρνει ως εισόδους όλα τα μηνύματα check to bit γραμμής και τα ενώνει σε μία λέξη με σωστή σειρά ώστε να εγγραφούν στη RAM Σχήμα 7.16: Προετοιμασία λέξης για εγγραφή στη RAM Used Utilization Registers 7 1% LUTs 7 1% Slices 4 1% Best case (ns) Clock 1.4