CAPITOLUL 5. Extracţia solid-lichid (SLE)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL 5. Extracţia solid-lichid (SLE)"

Transcript

1 5.1. Principiul de bază CAPITOLUL 5 Extracţia solid-lichid (SLE) Această tehnică de separare presupune extracţia unor componenţi dintr-o probă solidă sau semi-solidă într-un solvent adecvat. Pentru alegerea solventului, solubilitatea analiţilor de interes este cel mai important criteriu. De asemenea, alegerea solventului presupune cunoaşterea parţială a matricei în care analiţii de interes se găsesc, pentru a evita pe cât posibil co-extracţia unei părţi din matrice concomitent cu analiţii, deşi de cele mai multe ori această cerinţă nu este posibilă. Astfel, analiţii anorganici sau organici cu caracter hidrofil se pot extrage din probe solide în apă, sau în soluţie apoasă cu ph controlat, în timp ce compuşii organici hidrofobi se extrag în solvenţi organici corespunzători. Astfel, vitaminele hidrosolubile se pot extrage din probe alimentare solide utilizând apa sau soluţii tampon ca solvent, pe când vitaminele liposobile se pot extrage în diverşi solvenţi organici, miscibili sau nemiscibili cu apa. In practică este puţin probabil ca un solvent să extragă numai analiţii de interes şi de aceea, de multe ori, soluţia rezultată urmează în continuare o procedura de prelucrare pentru eliminarea unei părţi din interferenţi. Randamentul de extracţie în această variantă este influenţat de: - mărimea particulelor solide; - timpul de contact între probă şi solvent; - temperatură; - natura solventului; - natura interacţiilor dintre analit şi matricea probei solide. Natura interacţiilor analit-matrice a probei diferă de interacţiile care intervin în cazul extracţiei în fază solidă (SPE), iar prin urmare această metodă nu poate fi privită ca una opusă SPE. Acestea depind de compoziţia şi provenienţa probei, iar în general sunt mai puţin cunoscute. In principiu, analiţii pot fi adsorbiţi pe suprafaţa specifică a particulelor probei, când interacţia poate fi învinsă prin utilizarea unui solvent cu o mare afinitate (solubilitate) pentru analit, sau moleculele de analit pot fi înglobate fizic în matricea probei, iar în acest caz pentru extracţia acestora este nevoie de distrugerea fizică a texturii probei. Adesea, însă, aceste metode sunt aplicate pe baza unor parametrii empirici care ţin de solubilitatea analiţilor în solventul ales şi de modul de lucru aplicat. Natura interacţiilor analit-matrice depinde în mare măsură de provenienţa probei. De exemplu, într-un fel interacţionează hidrocarburile policiclice aromatice (PAHs), provenite din procesele de ardere atmosferică a combustibililor fosili, cu matricea solidă a pulberilor din aer, unde sunt adsorbite pe suprafaţa micro-particulelor de praf. Altfel însă, vor interacţiona aceleaşi hidrocarburi cu matricea solidă a negrului de fum, rezultat în procesele de chimizare a hidrocarburilor alifatice inferioare, unde din cauza unor reacţii incomplete de descompunere elementară se pot forma şi aceste specii PAHs. In acest ultim caz, practic PAHs sunt înglobate în reţeaua solidă a particulelor de carbon, de unde se pot extrage mai greu, datorită forţelor mai puternice dintre aceste molecule şi reţeaua micro-cristalinică a negrului de fum. 82

2 5.2. Extracţia Soxhlet Cea mai cunoscută tehnică de extracţie solid-lichid poartă numele de tehnică Soxhlet, care se efectuează practic într-un aparat de extracţie cu acelaşi nume (Fig. 5.1). Această metodă se bazează pe o diferenţă mare dintre punctele de fierbere ale solventului şi cele ale analiţilor extraşi. Pe baza acestei proprietăţi extrasul este adus la o temperatură de fierbere a solventului, care va condensa într-un refrigerent şi va reveni în cartuşul care conţine proba de extras. Prin realizarea mai multor cicluri de extracţie, randamentul procesului poate fi controlat astfel încât randamentul de extracţia să fie maxim. Practic, procedurile de extracţie Soxhlet trebuie să cuprindă următoarele etape: - uscarea corespunzătoare a probei, dar astfel încât să nu se piardă din cantitatea de analit din probă; - mărunţirea acesteia (de obicei prin mojarare) pentru asigurarea unui contact cât mai bun între matricea probei şi solvent; - estimarea volumului probei (în ml); - alegerea cartuşului de extracţie (se pot folosi cartuşe mici, intermediare şi cu volum mare de extracţie); - alegerea solventului potrivit pentru extracţie, astfel încât acesta să dizolve cât mai selectiv analiţii de interes faţă de alţi componenţi din matricea probei; - estimarea volumului de solvent utilizat pentru extracţie, la care se ţine cont şi de volumul probei extrase; - estimarea timpului de fierbere şi de extracţie; - efectuarea procedurii propriu-zise de extracţie, care are o durată funcţie de numărul ciclurilor de extracţie şi a timpului unui ciclu; - stoparea procedurii se face atunci când analiţii sunt extraşi cantitativ, iar o parte a solventului evaporat va rămâne condensat în cartuş (în felul acesta concentrarea este asigurată printr-un volum mai mic de solvent în balonul în care se culege acesta); - analiza conţinutului extrasului printr-o tehnică analitică adecvată. Randamentul de extracţie este estimat pe amestecuri sau probe sintetice (cu matricea cât mai apropiată de cea a probei de analizat), în care se cunoaşte cantitatea de analit adăugată, m analit (proba). După determinarea cantităţii de analit din solventul utilizat în extracţie, m analit (solvent), randamentului de extracţie este dat de relaţia simplă: manalit (solvent) η% = 100 (5.1) manalit (proba) Extracţia Soxhlet se aplică, de regulă, probelor solide sau semisolide. Probe de analizat, precum plante sau părţi din ele, ţesuturi animale, sol, cărbune şi şisturi sunt mai întâi mărunţite şi aduse într-o formă de pulbere foarte fină pentru a mări suprafaţa de contact în procesul de extracţie. Analiţii extraşi se vor concentra în balonul în care se află solventul de extracţie. Două inconveniente principale pot totuşi interveni în cadrul tehnicii de extracţie Soxhlet. Primul se referă la faptul că extractul este expus pe tot parcursul procesului la temperatura de fierbere a solventului, care dacă este foarte ridicată, poate afecta unii analiţi din probă, labili din punct de vedere termic. Al doilea inconvenient îl constituie 83

3 concentraţia mică în final datorită cantităţii mari de solvent utilizată; o parte din solvent ar putea fi înlăturată prin antrenare cu un curent de gaz inert, dar acesta poate antrena pe lângă solvent şi o parte din analiţii extraşi în el. Utilizarea de solvenţi cu puncte de fierbere foarte joase poate înlătura aceste două inconveniente. Dacă se introduce un extractor Soxhlet într-o cameră de presiune ridicată, astfel încât presiunile din interiorul şi exteriorul extractorului sunt egale, atunci se pot utiliza lichide cu puncte de fierbere mici, precum freon 12 (CCl 2 F 2 ), amoniac sau chiar bioxid de carbon. Avantajele acestei variante sunt în general date de cele atribuite extracţiei în fluide supercritice, discutată în 7.4. Refrigerent Apă de răcire Cartuş pentru probă Solvent de extracţie Sursă de încălzire Fig Componentele de bază ale unui extractor Soxhlet. Aplicaţii analitice Această metodă se poate aplica în cazul probelor alimentare, probe de mediu, probe biologice, etc. [56] Câteva exemple concrete sunt redate sumar în Tabelul 5.1. Un exemplu de aplicaţie a acestei metode se referă la determinarea hidrocarburilor policiclice aromatice (PAHs) sau nitro-derivaţii lor din aer (NO 2 -PAHs, care se pot forma în atmosferă datorită unor reacţii chimice radicalice, v. Fig. 5.2). [57] Concentraţiile determinate pentru aceşti poluanţi sunt de ordinul ng/m 3 aer. Prelevarea probelor în vederea reţinerii particulelor în suspensie din aer ce pot conţine şi NO 2 -PAHs 84

4 se poate realiza prin trecerea aerului timp de 12 ore până la 24 ore, cu debit mare şi măsurat, prin filtre din fibră de cuarţ, capabile să reţină particule până la un diametru de 10 μm. După prelevare, aceste filtre sunt stocate în folii de aluminiu, care la rândul lor sunt păstrate în pungi de plastic, la o temperatură joasă (-10 C). Prelucrarea acestor probe reţinute pe filtre se face prin extracţie Soxhlet, utilizând ca solvent un amestec de CH 2 Cl 2 şi CH 3 Cl. Determinarea NO 2 -PAHs din probele obţinute prin extracţia Soxhlet se face prin cromatografie de gaze pe coloană capilară (CGC) cu detecţie prin spectrometrie de masă (MS) pentru confirmarea structurală a analiţilor determinaţi. Tabel 5.1. Câteva exemple de aplicaţii analitice ale extracţiei Soxhlet. Tehnica Proba Analiţi Solvent Condiţii de extracţie cromatografică 26 compuşi detecţie Propolis Eter de petrol C, 3 h. fenolici UV Seminţe de Saponine Metanol 50 h. TLC legume Sedimente Pesticide Hexan/acetonă 10 h GC-ECD de râu organo-clorurate (1 : 1) Sol Piridină CH 2Cl 2 GC-MS Reţinere Dioxine, Emisii Toluen pe XAD-2, GC-MS Dibenzofurani extracţie 24 h Dioxine, CH Pigmenţi 3Cl/Toluen 24 h GC-MS Peşte Chelidonium majus Peşte Rădăcini de Plumbago Zeylanica Nuca de pecan Tulpini, frunze Dibenzofurani Arsenobetaine Arsenocholine (19 : 1) CHCl 3 şi CH 3OH Alcaloizi CHCl 3 2 h PCBs Hexane/CH 2Cl 2 (1:1) Plumbagin CHCl 3 4 h - HPLC cu AAS off-line 3 h GC-MS Tocoferol Hexane - HPLC-FLD Flavonoide 95% etanol - TLC, Seminţe Carbaril Acetonă, hexan 4 h sau metanol HPLC cu Eter de petrol Seminţe de detecţie de Trigliceride (p.f C) - 4 h cacao indice de dietileter (1:1) refracţie Sol 2,4,6- CH trinitrotoluene 3OH - Filtru de ţigări Benz[c]acridină Clorbenzen - HPLC-FLD Sol Fluazifop Acetonă 18 h 85

5 + X. H X. H + NO 2 H X H NO 2 NO 2 - HX (Piren) (2-Nitropiren) Fig Mecanismul de formare în atmosferă a nitro-pahs, în prezenţa radicalilor X. De cele mai multe ori, în cazul compuşilor organici extraşi prin această metodă, proba rezultată este analizată printr-o tehnică cromatografică, ţinând cont de complexitatea sa. Există situaţii în care proba rezultată poate fi prelucrată în continuare şi analizată în final printr-o tehnică spectrometrică. De exemplu, determinarea parationului (insecticid extrem de toxic, din clasa esterilor tiofosforici) din probe vegetale se bazează pe o extracţie Soxhlet, utilizând dietileterul ca solvent de extracţie. Extrasul final este adus la sec, prin evaporarea solventului, iar reziduul rezultat este supus unei hidrolize bazice, cu formarea p-nitrofenolului, compus ce poate fi determinat prin spectrometrie de absorbţie moleculară în ultraviolet. O 2 N O P S O-C 2 H 5 O-C 2 H 5 (NaOH) O 2 N ONa Atunci când proba conţine apă de umectare randamentele de extracţie sunt mici, deoarece contactul solventului organic cu matricea solidă este împiedicat. De aceea, proba trebuie uscată înaintea extracţiei, încălzirea fiind puţin recomandată pentru a evita pierderile de analit prin încălzire. O soluţie practică este adăugarea la probă a unui agent de uscare (desicant) anorganic (vezi tabelul 3.3). In anul 1994 a fost acceptat de către EPA sistemul de extracţie Soxhlet automat, comercializat sub denumirea de Soxtec. Extracţia cu acest sistem se efectuează în trei etape distincte: 1) aducerea solventului la punctul de fierbere, etapă în care cartuşul conţinând proba este imersat în solvent; 2) ridicarea cartuşului deasupra solventului, iar picăturile de solvent condensat vor cădea în cartuş, preluând analiţii solubilizaţi; 3) etapa de concentrare, în care solventul recuperat este evaporat la un volum mic (1 2 ml) cu ajutorul sistemului de concentrare Kuderna-Danish Extracţia accelerată cu solvent Extracţia accelerată cu solvent (ASE accelerated solvent extraction ) este o metodă nouă de extracţie, bazată pe utilizarea temperaturii şi presiunii înalte pentru a accelera cinetica dizolvării şi a desface legăturile de interacţie analit-matrice. Din acest motiv, această metodă mai este numită şi extracţie presurizată cu lichid (solvent). In plus, prin creşterea temperaturii scade viscozitatea solventului, ceea ce face ca acesta să penetreze mai uşor matricea solidă a probei. In felul acesta, timpul de extracţie se reduce de la zeci de minute la maximum câteva minute, iar probele de extras pot fi în cantităţi 86

6 mici. Această metodă este o alternativă la extracţia Soxhlet sau la extracţia cu fluide supercritice. După cum se menţiona în cap. 5.1 în cazul înglobării moleculelor de analit în textura (structura) fizică a particulelor probei solide acestea pot fi extrase doar dacă textura este distrusă fizic: aceasta se poate realiza mai uşor utilizând procedura ASE. Dispozitivele în care se efectuează o astfel de extracţie trebuie să reziste la presiuni înalte; probele şi solventul fiind introduse într-o incintă închisă şi încălzită. Temperatura mare ( C) accelerează difuzia moleculelor de solvent în textura probei, iar presiunea mare care se obţine menţine solventul în stare lichidă. Operaţia se efectuează într-o celulă de extracţie care trebuie să reziste la presiune înaltă. Volumul acesteia este standardizat: 11; 22 sau 33 ml capacitate. Etapele principale ale unei proceduri ASE (statice) sunt următoarele: - introducerea probei în celula de extracţie; - umplerea cu solvent; - încălzirea şi presurizarea celulei; - golirea celulei prin purjarea cu ajutorul unui flux gazos (N 2 ); - culegerea extractului într-o fiolă în vederea analizei sau a unei alte etape de prelucrare (evaporare solvent, derivatizare). Sistemele ASE sunt total automatizate. Se cunoaşte şi modalitatea dinamică, mai rar utilizată, prin care solventul trece în mod continuu prin celula de extracţie, dar consumul de solvent este mare. Schema unui sistem bazat pe extracţie cu solvent accelerată, realizat pentru prima dată de Dionex Corporation, este redată mai jos N Fig Componentele unui sistem ASE: 1 rezervorul; 2 pompă; 3 valva de pompă; 4 valva de purjare; 5 celula de extracţie; 6 incinta de termostatare; 7 valva statica; 8 fiolă (vial) de colectare. Acest procedeu este recomandat de U.S. EPA pentru extracţia PAHs, [57] pesticidelor şi insecticidelor organoclorurate, compuşilor bifenilpolicloruraţi (PCBs), sau a pesticidelor organofosforice din probe solide din mediu, în vederea analizei lor prin diverse tehnici cromatografice. Solvenţii cei mai recomandaţi pentru extracţie în această variantă a unor poluanţi organici prioritari din probe de mediu sunt redaţi în tabelul următor. Există posibilitatea controlului selectivităţii acestui procedeu, prin introducerea 87

7 alături de probă a unui adsorbant, care să reţină o parte a analiţilor extraşi din probă. De exemplu, la extracţia PCBs din matrici biologice cu conţinut lipidic prin adăugarea unui adsorbant alături de probă permite extracţia selectivă a acestor compuşi poluanţi şi reţinerea gliceridelor pe adsorbant. Se cunosc aplicaţii ale acestei metode şi la extracţia monomerilor şi oligomerilor din matrici polimerice, antioxidanţilor din polietenă de joasă densitate, sau chiar a unor substanţe active din produse farmaceutice. Compuşii graşi din diverse seminţe pot fi extraşi cu randamente mari prin acest procedeu rapid. Tabel 5.2. Solvenţi recomandaţi de EPA pentru extracţia cu solvent accelerată a unor poluanţi organici din probe de mediu. [58] Clasă de poluanţi Solvent de extracţie Pesticide organoclorurate PCBs Compuşi organici semi-volatili Acetonă/hexan (1 : 1)* sau acetonă/diclormetan (1 : 1) Pesticide organofosforice Diclormetan sau acetonă/diclormetan (1 : 1) Erbicide clorurate Dibenzofurani policloruraţi Dibenzo-p-dioxine policlorurate * raport exprimat ca volum/volum. acetonă/diclormetan/soluţie H 3PO 4 (250 : 125 : 15) sau acetonă/diclormetan/cf 3COOH (250 : 125 : 15) Toluen, sau soluţie 5% acid acetic glacial în toluen 5.4. Extracţia cu solvent asistată de microunde Microundele reprezintă radiaţia electromagnetică în domeniul de frecvenţă situat între 0,3 şi 300 GHz (corespunzătoare lungimii de undă între 0,1 şi 100 cm). Ele se situează între frecvenţele radio şi infraroşu. Microundele pot fi utilizate pentru încălzirea materialelor, principiu bazat pe absorbţia radiaţiei şi disiparea căldurii dezvoltate în interiorul materialului. Iniţial, acest procedeu bazat pe microunde a fost utilizat pentru dezagregarea probelor solide cu scopul îndepărtării constituenţilor organici, ca o alternativă la dezagregarea probelor în mediu acid sau puternic bazic. In felul acesta se poate elimina matricea organică interferentă în determinarea speciilor metalice prin spectrometrie de absorbţie atomică cu flacără. Extracţia cu solvent asistată de microunde (MASE Microwave-Assisted Solvent Extraction ) s-a dezvoltat pornind de la aplicaţiile menţionate mai sus, fără însă a îşi propune o dezagregare a probei. Proba solidă şi solventul sunt supuse unui tratament cu microunde, care accelerează procesul de extracţie datorită încălzirii sistemului. In acest caz se utilizează un solvent polar sau un amestec de solvenţi polari miscibili, datorită faptului că solvenţii nepolari nu absorb aproape de loc radiaţia de microunde. Benzile de frecvenţă utilizate în laboratoare pentru aceste aplicaţii sunt următoarele: 915; 2450; 88

8 5800 sau MHz. Puterea dezvoltată de aceste microunde se situează între 300 şi 700 W. In timpul tratamentului cu microunde, două procese principale determină absorbţia radiaţiei de microunde de către probă: rotaţia dipolilor şi conducţia ionică. Maximul de absorbţie a radiaţiei este situat la frecvenţa: 1 ν = 2 π τ (5.2), unde τ este timpul de relaxare dielectric. Conducţia ionică este un proces de migrare al ionilor în soluţie datorat unui câmp electromagnetic aplicat. Frecarea dintre ioni şi moleculele din soluţie generează căldură. Aceasta este echivalentă cu un flux de curent care are ca rezultat o cantitate de căldură dată de legea lui Joule: Q = I 2 R (5.3), unde I este intensitatea curentului electric, iar R rezistenţa la fluxul de ioni. Solvenţii polari, precum acetona, metanolul, sau diclormetanul se încălzesc rapid sub influenţa microundelor. In schimb, hexanul, benzenul sau chiar toluenul nu pot fi încălziţi prin acţiunea microundelor, deoarece neavând moment de dipol nu absorb radiaţia de microunde. Experimental, MASE se aplică probelor solide, care sunt introduse într-un solvent organic sau un amestec de solvent organic şi apos, şi apoi iradiat sistemul pentru un interval scurt de timp (0,5 până la 10 minute). După răcirea sistemului, soluţia de supernatant (extractul) este decantat, iar matricea solidă este spălată de câteva ori cu solventul utilizat, care se adăugă extractului. In cazul în care se utilizează solvenţi nepolari (cum este hexanul), care nu absorb radiaţia de microunde, se procedează la adăugarea unui solvent polar, până în 10%. Componentele de bază ale unui sistem MASE cuprind generatorul de microunde (magnetron), un element de direcţionare a microundelor, o cavitate rezonantă şi o sursă de alimentare cu curent electric. Această procedură se poate aplica la presiune atmosferică şi la punctul de fierbere al solventului (în sistem deschis când pierderea de solvent se evită prin condensarea vaporilor şi revenirea lor în extractor), sau la presiune ridicată (în sistem închis, când presiunea din sistem creşte în timpul extracţiei). [59] Exemple de aplicaţii ale acestei tehnici se referă în special la extracţia unor compuşi poluanţi (PAHs, PCBs, fenoli, pesticide organo-clorurate, erbicide, compuşi organo-stanici) din probe de mediu (sol, sedimente, particule din atmosferă, nisip, cenuşă). Se cunosc aplicaţii referitoare la extracţia unor aditivi din materiale polimerice, a unor contaminanţi sau substanţe nutritive din produse de importanţă alimentară, sau a unor substanţe active din formulaţii farmaceutice. 89

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZE FIZICO-CHIMICE MATRICE APA. Tip analiza Tip proba Metoda de analiza/document de referinta/acreditare

ANALIZE FIZICO-CHIMICE MATRICE APA. Tip analiza Tip proba Metoda de analiza/document de referinta/acreditare ph Conductivitate Turbiditate Cloruri Determinarea clorului liber si total Indice permanganat Suma Ca+Mg, apa de suprafata, apa, apa grea, apa de suprafata, apa grea, apa de suprafata, apa grea, apa de

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 7. Extracţia în fluide supercritice (SFE)

CAPITOLUL 7. Extracţia în fluide supercritice (SFE) CAPITOLUL 7 Extracţia în fluide supercritice (SFE) 7.1. Noţiuni despre fluide supercritice Diagrama de faze a unei substanţe arată dependenţa stării sale de agregare funcţie de temperatură şi presiune.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic

Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08. 1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)

REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE) EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Sisteme de încălzire a locuinţelor Scopul tuturor acestor sisteme, este de a compensa pierderile de căldură prin pereţii locuinţelor şi prin sistemul

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla 2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7

ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7 ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR conf.dr.ing. Liana Balteş baltes@unitbv.ro curs 7 DIAGRAMA Fe-Fe 3 C Utilizarea oţelului în rândul majorităţii aplicaţiilor a determinat studiul intens al sistemului metalic

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Proprietăţile pulberilor metalice

Proprietăţile pulberilor metalice 3 Proprietăţile pulberilor metalice Pulberea reprezintă principala componentă din materia primă folosită la elaborarea pieselor prin tehnologia M.P. (alături de aditivi, lubrefianţi, etc.) Pulberea se

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental.

In cazul sistemelor G-L pentru care nu se aplica legile amintite ale echilibrului de faza, relatia y e = f(x) se determina numai experimental. ECHILIBRUL FAZELOR Este descris de: Legea repartitiei masice Legea fazelor Legea distributiei masice La echilibru, la temperatura constanta, raportul concentratiilor substantei dizolvate in doua faze aflate

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Reactia de amfoterizare a aluminiului

Reactia de amfoterizare a aluminiului Problema 1 Reactia de amfoterizare a aluminiului Se da reactia: Al (s) + AlF 3(g) --> AlF (g), precum si presiunile partiale ale componentelor gazoase in functie de temperatura: a) considerand presiunea

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

Termostat. Coloană de gardă. Fluxul informaţional în sistem. Senzor de. presiune. Pompă de mare. presiune. Purjare de fază mobilă

Termostat. Coloană de gardă. Fluxul informaţional în sistem. Senzor de. presiune. Pompă de mare. presiune. Purjare de fază mobilă Sistemul de distribuire a solvenţilor Sistemul de distribuire a solvenţilor (SDS) este alcătuit din mai multe componente principale, a cărui configuraţie şi loc în cadrul sistemului general HPLC sunt redate

Διαβάστε περισσότερα

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

NOŢIUNI INTRODUCTIVE. Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare

NOŢIUNI INTRODUCTIVE. Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare INSTALAŢII FRIGORIFICE ÎN DOUĂ TREPTE DE COMPRIMARE NOŢIUNI INTRODUCTIVE Necesitatea utilizării a două trepte de comprimare Odată cu scăderea temperaturii de vaporizare t 0, necesară obţinerii unor temperaturi

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

SIGURANŢE CILINDRICE

SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE CH Curent nominal Caracteristici de declanşare 1-100A gg, am Aplicaţie: Siguranţele cilindrice reprezintă cea mai sigură protecţie a circuitelor electrice de control

Διαβάστε περισσότερα

Prin contrast, hidrofilicitatea înseamnă afinitate (solubilitate) faţă de apă. Dacă vom considera o substanţă cu formula generală R-X, în care R este

Prin contrast, hidrofilicitatea înseamnă afinitate (solubilitate) faţă de apă. Dacă vom considera o substanţă cu formula generală R-X, în care R este Prin contrast, hidrofilicitatea înseamnă afinitate (solubilitate) faţă de apă. Dacă vom considera o substanţă cu formula generală R-X, în care R este o catenă sau structură hidrocarbonată, iar X este o

Διαβάστε περισσότερα