2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2"

Νικόλαος Νικολάκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b, c) şi raza sferei R. Teorema 1.1 Punctul M (, y, z) aparţine sferei dacăşi numai dacă coordonatele sale verifică ecuaţia: ( a) +(y b) +(z c) = R (.1.1) q Demonstraţie: diatanţa de la M la C este egală cu ( a) +(y b) +(z c) care egalată cur este echivalentă cu (.1.1). Dacă în ecuaţia de mai sus se fac calculele şi se reduc termenii asemenea obţinem: + y + z + m + ny + pz + q = (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul C q m, n, p şi de rază R = m + n + p q dacă epresia de sub radical este pozitivă. Remarca 1.1 Sfera se mai poate da şi folosind ecuatiile parametrice: = R cos ϕ sin ϑ + a y = R sin ϕ sin ϑ + b, ϕ [, π],ϑ [,π] (EPS) z = R cos ϑ + c unde parametrii sunt unghiurile ϕ, ϑ din figura de mai jos: z q O f M y pentru ϕ constant se obţin pe sferă jumătăţi de cecuri mari ("meridiane"), iar pentru ϑ constant se obţin pe sferă cercuri ("paralele"). -1-

2 Legat de sferă ne propunem să determinăm ecauţia unui plan tangent la sferă într-un punct de pe sferă. Fie M (,y,z ) un punct pe sferă. Teorema 1. Ecuaţia planului tangent la sferăînpunctulm este: ( a)( a)+(y b)(y b)+(z c)(z c) =R (EPTS) Demonstraţie: Planul tangent la sferăînm este determinat de M şi normala CM (planul este perpendicular pe rază), deci ecuaţiasaeste: ( )( a)+(y y )(y b)+(z z )(z c) = Dar =( a) ( a),..care înlocuite în ecuaţiademaisusdau: ( a)( a)+(y b)(y b)+(z c)(z c) ³( a) +(y b) +(z c) = Ţinând cont de faptul că coordonatele lui M verifică ecauţia sferei, rezultă (EPTS). Remarca 1. Ecuatia planului tangent la sferăseobţine din (EGS) prin dedublare : ( a) =( a)( a) ( a)( a),... Remarca 1.3 Dacă sfera este dată subformă generală atunci ecuatia planului tangent în punctul M de pe sferă este: + yy + zz + m + + n y + y + p z + z + q = dedublarea fiind: =,=

3 M r t r s Remarca 1.4 In general un plan este tangent la sferădacădistanţa de la centrul sferei la plan este egală cu raza.. Cuadrice pe ecuaţii reduse..1 Elipsoid Definitia.1 Se numeşte elipsoid mulţimea punctelor din spaţiu care într-un sistem de coordonate bine ales verifică ecuaţia: a + y b + z c =1. (Elips) -3-

4 1 Oz - -1 O -1 Oy 1 Pentru a studia suprafaţa dată vom afla intersecţiile ei cu planele de coordonate şi cu plane paralele cu planele de coordonate. Un calcul simplu ne conduce la: Teorema.1 cu Oy,z = γ, este elipsa de ecuaţie a γ >c. Intersecţia elipsoidului cu planul Oy este elipsa de ecuaţie a + y b + y b =1, iar cu plane paralele =1 γ c, pentru γ <c,un punct pentru γ = c şi vidă pentru Remarca. Aeledecoordonateşiplaneledecoordonatesuntae,respectiv plane de simetrie pentru elipsoid. (adic dacă un punct se află pe elipsoid şi simetricu său faz de ae, respectiv plane se află pe elipsoid (două puncte sunt simetrice fată deodreaptă sau plan dacă mijlocul segmentului care le uneşteestepedreapă sau plan şi acest segment este perependicular pe dreaptă, respectiv plan). DacăavemunpunctM (,y,z ) pe elisoid, atunci: Teorema. Este devăratăoteoremăanaloagăpentruintersecţia cu plane paralele cu celelate plane de coordo- Remarca.1 nate. -4- Ecuaţia planului tangent la elipsoid în M este: a + yy b + zz c =1.

5 .. Hiperboloidul cu o pânză Definitia. Se numeşte hiperboloid cu o pânză mulţimea punctelor din spaţiu care într-un sistem de coordonate bine ales verificăecuaţia: a + y b z c =1. (HIP1) - Oy -4 - O 4 4 Oz - -4 Un calcul simplu ne conduce la: Intersecţia hiperboloidului cu o pânză cu plane paralele cu yoz, = α, este o familie de hiper- Teorema.3 Teorema.4 bole: Teorema.5 bole: Intersectia hiperboloidului cu o pânză cu plane paralele cu Oy, z = γ, este o familie de elipse: a + y b =1+γ c. Intersecţia hiperboloidului cu o pânză cu plane paralele cu Oz, y = β, este o familie de hiper- a z c b. =1 β y b z c =1 α a. -5-

6 Figura..1. Remarca.3 Aele şi planele e simetrie sunt aceleaşi ca la elipsoid...3 Hiperboloidul cu două pânze Definitia.3 Se numeşte hiperboloid cu două pânze mulţimea punctelor din spaţiu care într-un sistem de coordonate bine ales verifică ecuaţia: a y b z c =1. (HIP) Un calcul simplu ne conduce la: Intersectia hiperboloidului cu o pânză cu plane paralele cu Oy, z = γ, este o familie de hiper- Teorema.6 bole: a y b =1+γ c. a z c =1+β b. Teorema.8 Intersecţia hiperboloidului cu o pânză cu plane paralele cu yoz, = α, (pentru α >a)este o familie de elipse: y b + z c = α a 1. Remarca.4 Aele şi planele e simetrie sunt aceleaşi ca la elipsoid. Intersecţia hiperboloidului cu o pânză cu plane paralele cu Oz, y = β, este o familie de hiper- Teorema.7 bole: -6-

7 ..4 Paraboloidul eliptic Definitia.4 Se numeşte parabiloid eliptic mulţimea punctelor a căror coordonate, într-un sistem bine ales, verifică ecuaţia: z = a + y b. (PE) UN calcul simplu ne conduce la: Teorema.9 Teorema.1 Teorema.11 Remarca.5 Intersecţia parabolidului eliptic cu plane paralele cu Oy, z = γ>, este o familie de elipse: a + y b = γ z = γ Intersecţia paraboloidului eliptic cu plane paralele cu Oz, y = β, este o familie de parabole: a + β b = z y = β. Intersecţia paraboloidului eliptic cu plane paralele cu yoz, = α, este o familie de parabole: α a + y b = z = α. AadesimetrieedoarOz, iar plane de simetrie Oz, yoz...5 Paraboloidul hiperbolic Definitia.5 Se numeşte parabiloid hiperbolic mulţimea punctelor a căror coordonate, într-un sistem bine ales, verifică ecuaţia: z = a y b. (PH) -7-

8 Un calcul simplu ne conduce la: a y b =γ. Intersecţia paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cu Oz, y = β,este formată din parabole: a β b =z. Intersecţia paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cu yoz, = α,este formată din parabole: α a y b =z. AadesimetrieedoarOz, iar plane de simetrie Oz, yoz...6 Generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pânză Fie ecuaţia hiperboloidului cu o pânză (HIP1). Ea se poate pune sub forma: care este echivalentăcu: sau: Intersecţia paraboloidului hiperbolic cu plane paralele cu Oy, z = γ,este formată din hiper- Teorema.1 bole: Teorema.13 Teorema.14 Remarca.6-8- ³ a z ³ c a + z = c a z c 1 y b a z c 1+ y b ³ 1 y b = 1+ y b a + z c = 1 y b a + z c ³ 1+ y b (..1) (..)

9 Dacă egalăm rapoartele din (..1) cu λ, pentru λ fiat ele sunt ecuaţiile unei drepte, aflată în întregime pe suprafaţă. Definitia.6 Se numeşte prima familie de generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pânză mulţimea dreptelor din spaţiu de ecuaţii: a z c = 1+ y b = λ, λ R (G1) 1 y b a + z c şi a doua familie de generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pânză mulţimea dreptelor din spaţiu de ecuaţii: = μ μ R (G) a z c 1+ y b = 1 y b a + z c Proprietăţile generatoarelor rectilinii sunt date de: Teorema.15 Teorema.16 Teorema.17 Prin orice punct de pe hiperboloid trece câte o generatoare din fiecare familie. Două generatoare din aceeaşi familie nu se intersectează. Două generatoare din familii diferite au un sungur punct comun...7 Generatoare rectilini pentru paraboloidul hiperbolic Fie ecuaţia paraboloidului hiperbolic (PH). ea se poate pune sub forma: care este echivalentăcu: sau: ³ z = a y ³ b a + y b a y b a + y b = = a + y b z a y b (..3) (..4) z Dacă egalăm rapoartele din (..3) cu λ, pentru λ fiat ele sunt ecuaţiile unei drepte, aflată în întregime pe suprafaţă. -9-

10 Definitia.7 Se numeşte prima familie de generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pânză mulţimea dreptelor din spaţiu de ecuaţii: a y = a + y b = λ, λ R (G1) b z şi a doua familie de generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pânză mulţimea dreptelor din spaţiu de ecuaţii: a + y = a y b b z = μ μ R (G) Proprietăţile generatoarelor rectilinii sunt date de: Teorema.18 Prinoricepunctdepehiperboloid trece câte o generatoare din fiecare familie. Teorema.19 Două generatoare din aceeaşifamilienuseintersectează. Teorema. Două generatoare din familii diferite au un sungur punct comun. -1-

Σχετικά έγγραφα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu