Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Transcript

1 1 Conice pe ecuaţii reduse 2

2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă e. Punctul F se numeşte focar, dreapta d directoare, iar e excentricitate. Alegem un reper în plan R(0, i, j ) astfel ca Ox d, F Ox, iar F are coordonatele F(c, 0). Directoarea are ecuaţia x = d. Distanţele din enunţ sunt d(m, (D)) = x d şi d(m, F) = (x c) 2 + y 2. Punem condiţia d(m, F) = e > 0. (1) d(m, (D))

3 Deducem ecuaţia (1 e 2 )x 2 + y 2 2(c de 2 )x + c 2 d 2 e 2 = 0. (2) Pentru intersecţia cu Ox, punem condiţia y = 0 şi avem (1 e 2 )x 2 2(c de 2 )x + c 2 d 2 e 2 = 0. (3) Avem două cazuri: Cazul ( 1. Dacă) e 1( găsim punctele ) c + ed c ed A e, 0 A 2 1 e, 0 Cazul 2. Dacă e = 1, găsim punctul A ( ) c + d 2, 0.

4 Fie A 1, A 2 cele două puncte de intersecţie cu axa Ox. Alegem originea reperului mijlocul segementului A 1 A 2. Din x 1 + x 2 = 0 şi (2) rezultă c de 2 = 0, deci Înlocuim în (2) şi avem d = c e 2. (4) Deducem (1 e 2 )x 2 + y 2 c2 e 2 (1 e2 ) = 0. x 2 + c 2 e 2 y 2 c 2 (1 e e 2 ) 1 = 0. 2

5 Notăm a 2 = c2 e 2, a > 0, Ecuaţia conicei devine: εb 2 = c2 e 2 (1 e2 ), b > 0, ε { 1, 1}. (5) x 2 a 2 + y 2 1 = 0. (6) εb2

6 Cazuri particulare Conice pe ecuaţii reduse 1. Dacă ε = 1, condiţie echivalentă cu e < 1 conica este o elipsă x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = Dacă ε = 1, condiţie echivalentă cu e > 1 conica este o hiperbolă x 2 a 2 y 2 b 2 1 = 0.

7 Proprietăţi ale elipsei şi hiperbolei 1. Dacă (x, y) aparţine conicei, atunci ( x, y) aparţine conicei. Spunem că O este centru de simetrie. 2. Dacă (x, y) aparţine conicei, atunci ( x, y) aparţine conicei. Spunem că Oy este axă de simetrie. 3. Dacă (x, y) aparţine conicei, atunci (x, y) aparţine conicei. Spunem că Ox este axă de simetrie.

8 Definiţia cercului Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim cerc locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix, numit centru. Alegem centrul C(x 0, y 0 ) şi distanţa R. Definiţia conduce la ecuaţia redusă (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 (7) Ecuaţia generală este x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c, a 2 + b 2 c > 0. (8)

9 Conice pe ecuaţii reduse Dacă ( e = 1, ) avem punctul de intersecţie cu Ox de forma c + d A 2, 0. Alegem originea reperului O, astfel ca să coincidă cu A, de unde deducem d = c. Deducem ecuaţia unde p = 2c. Proprietate Axa Ox este axă de simetrie. O se numeşte vârful parabolei. y 2 = 2px (9)

10 1. admite o reprezentare parametrică de forma: { x = x0 + R cos ϕ, ϕ [0, 2π). y = y 0 + R sin ϕ 2. Elipsa admite o reprezentare parametrică de forma { x = a cos ϕ, ϕ [0, 2π). y = b sin ϕ

11 3. Hiperbola admite o reprezentare parametrică de forma: { x = a ch t, t R. y = b sh t Reamintim definiţia funcţiilor hiperbolice: ch t = et + e t 2, sh t = et e t Parabola admite o reprezentare parametrică de forma: x = t2 2p, t R y = t

12 Tangenta într-un punct al cercului Fie cercul de ecuaţie (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2, cu centru C(x 0, y 0 ) şi M 1 (x 1, y 1 ) un punct de pe cerc. Deoarece tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangenţă, pentru P(x, y) este un punct de pe tangentă avem Se obţine echivalent cu M 1 P CM 1 (x 1 x 0 )(x x 1 ) + (y 1 y 0 )(y y 1 ) = 0. (x 1 x 0 )(x x 0 ) + (y 1 y 0 )(y y 0 ) R 2 = 0. Caz particular Dacă x 0 = y 0 = 0 se obţine ecuaţia xx 1 + yy 1 R 2 = 0.

13 Tangenta într-un punct la elipsă, hiperbolă, parabolă 1. Tangenta la elipsa în punctul (x 0, y 0 ) al ei xx 0 a 2 + yy 0 b 2 1 = Tangenta la hiperbolă în punctul (x 0, y 0 ) al ei xx 0 a 2 yy 0 b 2 1 = Tangenta la parabolă în punctul (x 0, y 0 ) al ei yy 0 = p(x + x 0 ).

14 Ecuaţia generală Ecuaţia generală a unei conice este: a 11 x 2 +2a 12 xy +a 21 y 2 +2a 10 x +2a 20 y +a 00 = 0, a ij R. (10) Asociem forma pătratică h : R 2 R, h(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 21 y 2. Forma pătratică admite forma canonică h(x, y ) = λ 1 x 2 + λ 2 y 2, unde λ 1, λ 2 sunt valorile proprii ale matricei formei pătratice ( ) a11 a 12. a 12 a 22

15 Rotaţia Fie { i, j } baza ortonormală de vectori proprii şi fie C matricea (ortogonală) de trecere de la baza { i, j } la baza { i, j }. Facem schimbarea de variabile ( x y ) ( x = C y care transformă ecuaţia generală în ) λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + 2ax + 2by + c = 0, a, b, c R. (11)

16 Translaţia În ecuaţia (11) formăm pătrate perfecte în x şi y. Dacă λ 1, λ 2 0, facem translaţia x = X a λ 1 y = Y b λ 2 şi găsim forma redusă λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 + d = 0, d R.