( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

Transcript

1 . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική συνάρτηση µε βάση α Όταν α > f() α Έχει πεδίο ορισµού το R Έχει σύνολο τιµών το (0, + ) Είναι γνησίως αύξουσα Τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (0, ) Έχει ασύµπτωτη τον αρνητικό ηµιάξονα των O Όταν 0 < α < f() α Έχει πεδίο ορισµού το R Έχει σύνολο τιµών το (0, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα Τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (0, ) Έχει ασύµπτωτη τον θετικό ηµιάξονα των O

2 . Μια συµµετρία Οι γραφικές παραστάσεις των f() α, g() α είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα O 6. Σηµαντικές ισοδυναµίες α α α α Όταν α > : α > α > Όταν α < : α > α < 7. Ο αριθµός e e lim ( ν + ) ν + ν,7... (άρρητος, άπειρα δεκαδικά ψηφία και όχι περιοδικός) 8. Η εκθετική συνάρτηση f() e O 9. Ο νόµος της εκθετικής µεταβολής Q(t) ct Q0 e όπου t ο χρόνος 0 Q Q(0) c σταθερά

3 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Κάτι προφανές α α ( α). Οι ιδιότητες στη γραφική παράσταση Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() συµπεραίνουµε τις ιδιότητές της α µπορούµε να. Παρατήρηση Όταν α, η f() α δε λέγεται και δεν είναι εκθετική. (Είναι η γνωστή ευθεία f() ). Προσοχή στην ιδιότητα Όταν α < : α > α < (αντιστρέφεται η φορά, όταν α < ). Μέθοδος Για να λύσουµε εκθετική εξίσωση ή ανίσωση ή σύστηµα, προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε δυνάµεις που να έχουν ίδιες βάσεις 6. Ιδιαίτερη περίπτωση Αν η εξίσωση έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή (f()) g(), τότε οι ρίζες της είναι α) οι ρίζες της εξίσωσης f() β) οι λύσεις του συστήµατος {g() 0 και f() 0} γ) οι λύσεις του συστήµατος {f() και g() άρτιος}

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 6-6 i) ii) iii) ii) ( ) + 6 Σχόλιο iii) ( ) ( )

5 . Να λυθούν οι ανισώσεις i) ii) 6 + > 6 < iii) i) 6 + > > 0 < ή > ii) 6 < iii) < > 6 + > 0 < ή > Σχόλιο Σχόλιο < ( ) < < ( ) < + + < >

6 6. Να λυθούν οι εξισώσεις i) ii) 9 0 iii) i) Θέτουµε, οπότε + 0 Η εξίσωση γίνεται ή Για 8, η 8 Για, η ii) Αφού 9 ( ) ( ) η εξίσωση γράφεται ( ) 0. Θέτουµε, οπότε η εξίσωση γίνεται 0 ή Για, η Για, η η οποία είναι αδύνατη iii) Αφού, η εξίσωση γίνεται + 0 Θέτουµε οπότε Η εξίσωση γίνεται + 0 ή Για, η Για, η Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) Θέτουµε, οπότε η εξίσωση Horner ή ή 8 ή ή 8 0 ή ή

7 7. Να λυθεί η εξίσωση

8 8 6. Να λυθεί η εξίσωση (7 + ) (7 + ) (7 ) ( + ) ( ) 7 7

9 9 7. Να λυθεί η εξίσωση Θέτουµε + 0 () και η εξίσωση γίνεται + 0 ή. Για, η () Για η () Να λυθεί η εξίσωση ( +) +6 Λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι τα εκείνα για τα οποία ισχύει + () και + 0 () ή ή + και + 6 άρτιος () () 0 0 ή () 6 και + 0 και () + και + 6 άρτιος + 0 και + 6 άρτιος ή, και + 6 άρτιος ή Σχόλιο 6 Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης είναι 0,,,,.

10 0 9. Έστω οι συναρτήσεις f() και g() i) f(8), f(0), f( ). Να συγκριθούν οι αριθµοί ii) g( ), g( ), g(7) i) Η εκθετική συνάρτηση f() έχει βάση >, άρα είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε : 0 < < 8 f(0) < f() < f(8) ii) Η συνάρτηση g έχει βάση 0 < <, άρα είναι γνησίως φθίνουσα. Οπότε : < < 7 g( ) > g() > g(7). 0. ίνεται η συνάρτηση g(). Να λύσετε την εξίσωση ( 0 ) g() + g( + ) + g( + ) + + g( + 9) Η εξίσωση ( 0 ) ( 0 ) Το πρώτο µέλος είναι το άθροισµα των 0 πρώτων όρων γεωµετρικής προόδου µε πρώτον όρο α και λόγο λ. () Είναι λοιπόν S 0 α λ λ ( 0 ) 0 ( ) 0 ( ) H () γίνεται 0 ( ) ( 0 )

11 . Να λυθεί η ανίσωση < < < 0 Θέτουµε, οπότε η ανίσωση γίνεται + 7< 0 < < 9 < < 9 < < < <.. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f() Πρέπει να ισχύει Θέτουµε + 0 +, οπότε η ανίσωση γίνεται + 0 Σχόλιο Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το Α [0, ] 0 0

12 . Να λυθεί η ανίσωση + + e + e > + e. + + e + e > + e e e + e e > + e Θέτουµε e οπότε η ανίσωση γίνεται e + e > + (e ) + e e e + + e e + (e ) > 0 () e + e + (e + ) Ρίζες του τριωνύµου (e ) ± (e+ ) e e+ + e+ e ή e+ e e e η Η () < ή > e e < ή e > e - αδύνατη ή > >

13 . Έστω η συνάρτηση f() + κ + 8 i) Να βρείτε το κ ώστε να έχει ρίζα το και στη συνέχεια να βρείτε την άλλη ρίζα της ii) Για κ να βρείτε τα διαστήµατα των τιµών του για τα οποία η γραφική παράσταση της f είναι ψηλότερα από τον άξονα. i) Πρέπει f() κ κ 6 Τότε f() + + f() Θέτουµε, οπότε η εξίσωση γίνεται + 0 ηλαδή η δεύτερη ρίζα της συνάρτησης είναι το ii) Πρέπει f() > 0 + > 0 ή 8 ή 8 ή ή Θέτουµε, οπότε η ανίσωση γίνεται + > 0 < ή > 8 < ή > 8 < ή > < ή >

14 . Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() είναι χαµηλότερα από την ευθεία Πρέπει f() < < < < < < 0 Θέτουµε, οπότε η ανίσωση γίνεται < 0 8 < < 8 < < < < < < 6. 7 Να λυθεί το σύστηµα 7 Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις εξισώσεις του συστήµατος έχουµε 7 7 ( 7) ( 7) H πρώτη εξίσωση του συστήµατος γίνεται οπότε και 0

15 7. Να λυθεί το σύστηµα και 6 8. Να λυθεί το σύστηµα 88 Η πρώτη εξίσωση δίνει +, οπότε η δεύτερη γίνεται ( ) Από την + βρίσκουµε Να λυθεί το σύστηµα Θέτουµε ω και φ () ω+ϕ 06 Το σύστηµα γίνεται ω+ ϕ (ω, φ) (7, ) () 7 και και και

16 6 0. Να λυθεί το σύστηµα Θέτουµε ω > 0 Η πρώτη εξίσωση γίνεται ω ω 6 ω ω 6 0 ω Θέτουµε + 6 ϕ > 0 Η δεύτερη εξίσωση γίνεται φ φ φ φ 0 φ + 6 () () 6 Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (), () βρίσκουµε και. Να βρείτε τις τιµές του α ώστε να ορίζεται σ όλο το R η συνάρτηση α f() α+. α Πρέπει και αρκεί α+ Θυµήσου πως λύνουµε ανίσωση ου βαθµού > 0 ( α )( α+ ) > 0 α > 0 α < ή α >

17 7. Να βρείτε τις τιµές του α ώστε η συνάρτηση i) Γνησίως αύξουσα ii) Γνησίως φθίνουσα i) f γνησίως αύξουσα Θυµήσου πως λύνουµε ανίσωση ου βαθµού α > α+ α f () α+ α > 0 α+ α α > 0 α+ α 6 > 0 α+ (α 6)(α + ) > 0 (α )(α + ) > 0 α < ή α > ii) f γνησίως φθίνουσα 0 < α < α+ α Η στα αριστερά ανίσωση γράφεται > 0 α+ (α )( α+ ) > 0 α < ή α > () να είναι Η στα δεξιά ανίσωση γράφεται α < α+ α < 0 α+ α 6 < 0 α+ (α 6)(α + ) < 0 Συναληθεύοντας τις () και () βρίσκουµε < α < () <α<

18 8. Έστω η συνάρτηση f() ( α ) i) Να βρείτε για ποιες τιµές του α ορίζεται η f ii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του α για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα iii) Να βρείτε το α ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Α(, ) iν) Να βρείτε το α ώστε η γραφική παράσταση να διέρχεται από το Β(, ) i) Για να ορίζεται η f, πρέπει και αρκεί α > 0 ( +α )( α ) > 0 α > 0 α < 0 < α < () ii) f γνησίως αύξουσα α > α > 0 α < 0 πράγµα αδύνατο Άρα δεν υπάρχουν τιµές του α για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Πρέπει και αρκεί f () α α α± εκτές και οι δύο τιµές, αφού ικανοποιούν την () iν) Πρέπει και αρκεί f() ( α ) α ή α α 0 ή α α 0 ή α ή α α 0 οι άλλες απορρίπτονται γιατί δεν ικανοποιούν την ()

19 9. Έστω η συνάρτηση f(). είξτε ότι i) f() f() f( + ) ii) f() f( ) f() iii) [f()] ν f(ν) iν) f () f ( ) f () i) f() f(ψ) + f( + ) ii) f( ) f() - + f() iii) [f()] ν ( ) ν ν f(ν) iν) f () f () f ( ). Αν f() ( ) ( ) α +α και g() α α, δείξτε ότι f( + ) f()f() + g()g() f()f() + g()g() ( α +α ) ( ) α +α + ( α α ) ( α α ) ( + + ) α +α +α +α + ( + + α α α +α ) ( + α + α ) ( + ) α +α f( + )

20 0 6. Αν f() e, δείξτε ότι ( ) ( ) < f + f + f ( ) ( ) < f + f + f e + e e < + + e e e < +, όπου. + e < (e + e ) e + < e + e e + e e < e + e + e + + e e + + e > 0 (e e ) > 0 που ισχύει.

21 7. Ο χρόνος υποδιπλασιασµού ενός ραδιενεργού υλικού είναι χρόνια. i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση που εκφράζει τη µεταβολή της αρχικής ποσότητας t Q o του υλικού συναρτήσει του χρόνου είναι η Q(t) Q o ii) Αν η αρχική ποσότητα του υλικού είναι 0gr να βρείτε πόσο υλικό θα έχει µείνει µετά από 00 χρόνια iii) Μετά από πόσα χρόνια θα έχουν µείνει 0 gr υλικού; i) Γνωρίζουµε ότι η µεταβολή της αρχικής ποσότητας Q o συναρτήσει του χρόνου δίνεται από τον τύπο Q(t) Q o e ct. Q Επειδή η ηµιζωή του υλικού είναι χρόνια, θα ισχύει Q() o Όµως από τον τύπο της εκθετικής µεταβολής για t έχουµε Q() Q o e c Qo c Qoe e c (e ) e e c c c e c e c Εποµένως ο τύπος της εκθετικής µεταβολής γίνεται Q(t) Q o (e c ) t Q(t) Q ( ) ii) o Q(t) Q Ο τύπος της εκθετικής απόσβεσης που βρήκαµε παραπάνω, για t 00 και Q o 0 o t t 00 δίνει Q(00) 0 gr Q(00) 0 0 gr iii) Θέλουµε να βρούµε το t ώστε να ισχύει Q(t) 0 t 0 0 t t 0 t 0 t 0 έτη

22 8. Μία ποσότητα ραδιενεργού υλικού θάβεται και µε την πάροδο του χρόνου η ποσότητα µειώνεται µε βάση την συνάρτηση Q(t) Q o e ct, όπου Q o είναι η αρχική ποσότητα του υλικού, c αρνητική σταθερά και t ο χρόνος σε έτη. Αν γνωρίζουµε ότι µετά από δύο χρόνια έχει µείνει το της αρχικής ποσότητας i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ii) Αν µετά τέσσερα χρόνια η ποσότητα του υλικού είναι ένα κιλό, να βρείτε την αρχική ποσότητα. iii) Μετά από πόσα χρόνια θα έχουν µείνει κιλά; 8 i) Είναι Q() Q o Q e e e o c c c Q o Άρα ο τύπος της συνάρτησης είναι ii) Q() iii) o Qo Q Q Qo 9 o Θέλουµε το t ώστε να ισχύει Q(t) 8 e c Q(t) Q o t t 9 8 t Οπότε µετά από χρόνια θα έχουν µείνει κιλά. 8 t t