P, τότε: P και το μζςο πλικοσ των εμφανίςεων του γεγονότοσ ςτθ μονάδα του. X t το πλικοσ των εμφανίςεων του γεγονότοσ ςτο διάςτθμα. 0, t.

Transcript

1 Η Κατανομή oisson 1. Κατανομή oisson Ζςτω ζνα γεγονόσ, για το οποίο γνωρίηουμε ότι πραγματοποιείται κατά μζςο όρο φορζσ ςτθ μονάδα του χρόνου (ι του μικουσ ι του όγκου). Για παράδειγμα Πλικοσ τθλεφωνθμάτων που δζχεται ζνα τθλεφωνικό κζντρο ςε ζνα 5 λεπτο. Πλικοσ ελαττωματικϊν προϊόντων που παράγει ζνα εργοςτάςιο ςε μία ώρα. Πλικοσ δζνδρων ςε 1 ενόσ δάςουσ. Πλικοσ μικροβίων ςε 1 αζρα. Αν η τυχαία μεταβλητή που μετρά το πλήθοσ των εμφανίςεων του γεγονότοσ ςτη μονάδα του χώρου ή του χρόνου, αποδεικνφεται ότι e,,1,, Οριςμόσ Κατανομή oisson Για μια τυχαία μεταβλθτι, λζμε ότι ακολουκεί τθ Κατανομή oisson, με παράμετρο, και ςυμβολίηουμε αν ζχει ςυνάρτθςθ πικανότθτασ,,1,, e Αποδεικνφεται ότι αν θ τυχαία μεταβλθτι, ακολουκεί τθν Κατανομι oisson E και V, τότε: Διαδικαςία oisson Ζςτω και το μζςο πλικοσ των εμφανίςεων του γεγονότοσ ςτθ μονάδα του χϊρου ι του χρόνου. Ζςτω, t. Τότε, t το πλικοσ των εμφανίςεων του γεγονότοσ ςτο διάςτθμα t t, δθλαδι t t t e.

2 Η Κατανομή oisson Παραδείγματα 1. Οι πελάτεσ που φτάνουν ςε ζνα ςυγκεκριμζνο τμιμα ενόσ καταςτιματοσ ακολουκοφν τθν κατανομι oisson, με μζςο ρυκμό 8 πελάτεσ ανά ϊρα. Να βρεκεί θ πικανότθτα ςε μία δοςμζνθ ϊρα: ( α ) Να φτάςουν ακριβϊσ πελάτεσ. ( β ) Να φτάςουν το πολφ πελάτεσ. ( γ ) Να φτάςουν τουλάχιςτον 3 πελάτεσ. : Ο αρικμόσ των πελατϊν που φτάνουν ςτο κατάςτθμα ςε μία ώρα ( α ) ( β ) 8 πελάτεσ/ϊρα 8 64 e e 3e! e e e 1!! 8 8 e e ( γ ) e. Το πλικοσ των αυτοκινιτων που περνοφν από μία γζφυρα ακολουκεί τθν κατανομι oisson, με μζςο πλικοσ 3 αυτοκίνθτα τθν ϊρα. Να βρεκεί θ πικανότθτα ότι κατά τθ διάρκεια λεπτϊν, κα περάςουν από τθ γζφυρα 3 αυτοκίνθτα. : Ο αρικμόσ των αυτοκινιτων που περνοφν από τθ γζφυρα ςε λεπτά. Γνωρίηουμε ότι από τθ γζφυρα περνοφν, κατά μζςο όρο, 3 αυτοκίνθτα τθν ϊρα, ςε λεπτά κα περνοφν, κατά μζςο όρο, Άρα, 1 αυτοκίνθτα/ λεπτά αυτοκίνθτα e 3! 3. Σε ζνα φαρμακείο, οι πελάτεσ που ηθτοφν ζνα ςυγκεκριμζνο φάρμακο καταφκάνουν ςφμφωνα με τθ διαδικαςία oisson, με μζςο 4 πελάτεσ ςε ϊρεσ. Να υπολογιςτεί θ πικανότθτα ότι: ( α ) Το πολφ 1 πελάτθσ κα ηθτιςει το φάρμακο το επόμενο ωρο. ( β ) Κανείσ πελάτθσ δεν κα ηθτιςει το φάρμακο τθν επόμενθ ϊρα. Μαρίνα Σύρπη

3 Η Κατανομή oisson 3 ( α ) : το πλικοσ των πελατϊν που ηθτοφν το φάρμακο, ςε h 4 πελάτεσ/h 1 1 το πολφ 1 πελάτθσ να ηθτιςει το φάρμακο το επόμενο ωρο e e e 4e 5e 1! ( β ) : το πλικοσ των πελατϊν που ηθτοφν το φάρμακο, ςε 1h πελάτεσ/1h e e κανείσ πελάτθσ να μι ηθτιςει το φάρμακο τθν επόμενθ ϊρα 4. Το πλικοσ των κλιςεων που δζχεται θ γραμμι παραπόνων μιασ μεγάλθσ εταιρείασ, ακολουκεί τθν κατανομι oisson, με μζςο όρο 4 κλιςεισ ςε 1 ϊρα. Να υπολογιςτεί θ πικανότθτα ότι θ ςυγκεκριμζνθ γραμμι: ( α ) Θα δεχτεί τουλάχιςτον κλιςεισ τθν επόμενθ ϊρα. ( β ) Δεν κα δεχτεί καμία κλιςθ το επόμενο τζταρτο. ( α ) : το πλικοσ των κλιςεων, ςε 1h 4 κλιςεισ/1h 1 1 τουλάχιςτον κλιςεισ τθν επόμενθ ϊρα e e 1 e 4e 1 5e 1! ( β ) : το πλικοσ των κλιςεων, ςε 15min 1 κλιςθ/15min να μιν δεχτεί καμία κλιςθ 1 e e 1 1 Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων

4 4 Η Κατανομή oisson 5. Ο αρικμόσ των αφίξεων αεροπλάνων ςε ζνα αεροδρόμιο ακολουκεί τθν κατανομι oisson, με ρυκμό 1 αεροπλάνα ςε 1 ϊρα. Να υπολογιςτοφν οι πικανότθτεσ: ( α ) Να καταφκάςουν το πολφ αεροπλάνα τθν επόμενθ ϊρα. ( β ) Να καταφκάςει τουλάχιςτον 1 αεροπλάνο, το επόμενο τζταρτο. ( α ) : το πλικοσ των αεροπλάνων που καταφκάνουν, ςε 1h 1 αεροπλάνα/1h e e e e 1e 7e 85e 1!! ( β ) : το πλικοσ των αεροπλάνων που καταφκάνουν, ςε 15min το πολφ αεροπλάνα να καταφκάςουν τθν επόμενθ ϊρα 3 αεροπλάνα/15 min να καταφκάςει τουλάχιςτον 1 αεροπλάνο το επόμενο τζταρτο e 1 e 3 Μαρίνα Σύρπη

5 Η Κατανομή oisson 5 Αςκήςεισ 1. Το πλικοσ των βλαβϊν ςτα μθχανιματα ενόσ εργοςταςίου ακολουκεί τθν κατανομι oisson, με μζςο ρυκμό μία βλάβθ ανά δφο θμζρεσ. ( α ) Ποιά θ πικανότθτα να εμφανιςτεί τουλάχιςτον μία βλάβθ το επόμενο διιμερο; ( β ) Ποιά θ πικανότθτα να μθν ζχουμε βλάβθ το επόμενο δεκαπενκιμερο;. Το πλικοσ των ελαττωματικϊν ςυςκευαςιϊν ςε μία γραμμι παραγωγισ ακολουκεί τθν oisson κατανομι με μζςο ρυκμό ελαττωματικζσ ςυςκευαςίεσ ανά 8 ϊρεσ. Να υπολογιςτεί θ πικανότθτα ςε μία θμζρα να μθν υπάρχουν ελαττωματικζσ ςυςκευαςίεσ. 3. Σε ζνα πρατιριο βενηίνθσ, οι πελάτεσ φτάνουν ςφμφωνα με τθ διαδικαςία oisson με μζςο ρυκμό 4 πελάτεσ ανά 1 min. Ποια θ πικανότθτα, να φτάςουν τουλάχιςτον πελάτεσ το επόμενο πεντάλεπτο; 4. Το πλικοσ των μθνυμάτων που φτάνουν ςε ζναν υπολογιςτι, ακολουκεί τθν κατανομι oisson με μζςο ρυκμό 1 μινυμα ανά 15 min. Ποιά είναι θ πικανότθτα να φτάςει το πολφ ζνα μινυμα τθν επόμενθ ϊρα; 5. Το πλικοσ των επιςκζψεων ςε μια ιςτοςελίδα, ακολουκεί τθν κατανομι oisson με μζςο ρυκμό 5 επιςκζψεισ ανά 1 min. Ποιά είναι θ πικανότθτα, το επόμενο 15-λεπτο να γίνουν τουλάχιςτον δφο επιςκζψεισ ςτθ ςελίδα; 6. Το πλικοσ των αιτιςεων για κρατιςεισ δωματίων τθν εποχι τθσ τουριςτικισ αιχμισ ςε ζνα ξενοδοχείο, ακολουκεί τθν κατανομι oisson, με μζςο όρο 4 αιτιςεισ κάκε 15 λεπτο. Να υπολογιςτεί θ πικανότθτα ότι το ςυγκεκριμζνο ξενοδοχείο: ( α ) Θα δεχτεί τουλάχιςτον αιτιςεισ το επόμενο 15 λεπτο. ( β ) Δεν κα δεχτεί καμία αίτθςθ τθν επόμενθ ϊρα. 7. Ζνα κακαριςτιριο ροφχων λειτουργεί κακθμερινά 8 ϊρεσ. Το πλικοσ των παραγγελιϊν που δζχεται ακολουκεί τθν κατανομι oisson, με μζςο 3 παραγγελίεσ/h. Να υπολογιςτεί θ πικανότθτα ότι: ( α ) Θα δεχτεί το πολφ 1 παραγγελία τθν επόμενθ ϊρα. ( β ) Θα δεχτεί παραγγελίεσ τθν επόμενθ θμζρα. 8. Σε μια τθλεφωνικι γραμμι υποςτιριξθσ πελατϊν μιασ μεγάλθσ εταιρείασ παροχισ ςφνδεςθσ με το Διαδίκτυο οι κλιςεισ καταφκάνουν με ρυκμό 48 κλίςεισ ανά ϊρα. Να υπολογιςτοφν οι πικανότθτεσ. ( α ) Η γραμμι υποςτιριξθσ να δεχτεί το πολφ 1 κλίςθ τθν επόμενθ ϊρα. ( β ) Να δεχτεί τουλάχιςτον κλιςεισ το επόμενο δεκάλεπτο. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων