υςτήματα αναμονήσ τυχαίων διακυμάνςεων

Transcript

1 ΤΣΗΜΑΣΑ ΑΝΑΜΟΝΗ 1

2 υςτήματα αναμονήσ Οι ουρζσ αναμονισ αποτελοφν κακθμερινό και ςυνθκιςμζνο φαινόμενο και εμφανίηονται ςε ςυςτιματα εξυπθρζτθςθσ, ςτα οποία θ ηιτθςθ για κάποια υπθρεςία δεν μπορεί να ικανοποιθκεί μερικζσ φορζσ άμεςα από τθ δυναμικότθτα του ςυςτιματοσ που παρζχει τθν εξυπθρζτθςθ, λόγω των τυχαίων διακυμάνςεων που παρατθροφνται τόςο ςτον ρυκμό προςζλευςθσ όςο και ςτον χρόνο εξυπθρζτθςθσ κάκε πελάτθ από το ςφςτθμα. Θ γνϊςθ των λειτουργικϊν χαρακτθριςτικϊν των ςυςτθμάτων εξυπθρζτθςθσ και των ουρϊν αναμονισ μπορεί να οδθγιςει ςε κεαματικζσ βελτιϊςεισ τθσ απόδοςισ τουσ. 2

3 Σο πρόβλημα τησ αναμονήσ Ηιτθςθ: πικανολογικό μζγεκοσ που χαρακτθρίηει το χρόνο, κατά τον οποίο ηθτοφνται οι υπθρεςίεσ του ςυςτιματοσ κατά τθν κακθμερινι του λειτουργία, κακϊσ και τθ διάρκεια τθσ εξυπθρζτθςθσ τθσ ηιτθςθσ. Ο πελάτθσ που φκάνει για να εξυπθρετθκεί χρειάηεται να παραμείνει ςτο ςφςτθμα για χρόνο, που είναι κατά κανόνα μεγαλφτεροσ από το μζςο χρόνο που απαιτείται για να εκτελεςτοφν οι υπθρεςίεσ που παρζχει το ςφςτθμα. Αυτό οφείλεται ςτον τυχαίο τρόπο με τον οποίο εκδθλϊνεται θ ηιτθςθ ι/και ςτθν τυχαία διάρκεια εξυπθρζτθςθσ τθσ. Παραδείγματα ςυςτιματοσ αναμονισ: τράπεηεσ, κυκλοφοριακά ςυςτιματα, νοςοκομεία, υπεραγορζσ, πυροςβεςτικοί ςτακμοί, ςυνεργεία επιςκευϊν κλπ. 3

4 Αξιολόγηςη ςυςτήματοσ αναμονήσ Θ απόδοςθ του ςυςτιματοσ αξιολογείται με βάςθ τισ τιμζσ οριςμζνων βαςικϊν δεικτϊν (δείκτεσ απόδοςθσ - μζτρα λειτουργικότθτασ), όπωσ για παράδειγμα ο μζςοσ χρόνοσ αναμονισ ενόσ πελάτθ ςτθν ουρά, ο ςυνολικόσ μζςοσ χρόνοσ παραμονισ ενόσ πελάτθ ςτο ςφςτθμα, το μζςο πλικοσ πελατϊν ςτθν ουρά, το μζςο πλικοσ πελατϊν ςτο ςφςτθμα, το ποςοςτό απαςχόλθςθσ τθσ κζςθσ εξυπθρζτθςθσ ι των κζςεων εξυπθρζτθςθσ, κλπ. Θ δυναμικότθτα ενόσ ςυςτιματοσ αναμονισ ςυνικωσ μετριζται είτε με το πλικοσ των παράλλθλων ςτακμϊν εξυπθρζτθςθσ τθσ ηιτθςθσ είτε με το μζςο ρυκμό εξυπθρζτθςθσ (εξυπθρετοφμενοι πελάτεσ ανά μονάδα χρόνου), που αντιςτοιχεί ςε ζνα μζςο χρόνο εξυπθρζτθςθσ. τόχοσ τησ μελζτησ ενόσ ςυςτήματοσ εξυπηρζτηςησ είναι ο προςδιοριςμόσ τησ δυναμικότητασ του ώςτε να ελαχιςτοποιείται το κόςτοσ λειτουργίασ του υπό τον όρο ότι οι τιμζσ των δεικτών απόδοςησ του ςυςτήματοσ ικανοποιοφν κάποιεσ ελάχιςτεσ προδιαγραφζσ. 4

5 Ευχάριςτο διάλειμμα!!!!! ΣΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ! 5

6 Κατανομζσ Πιθανότητασ Tυχαίασ Μεταβλητήσ Οριςμόσ: Ζςτω Ω δειγματικόσ χϊροσ. Μια ςυνάρτθςθ Χ: Ω R καλείται τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (ςε κάκε δειγματικό ςθμείο ωω αντιςτοιχεί ζναν πραγματικό αρικμό). Οριςμόσ : Ζςτω Χ μια τ.μ. οριςμζνθ ςτον δειγματικό χϊρο Ω. Θ ςυνάρτθςθ F θ οποία ορίηεται από τθ ςχζςθ F(x) P(X x) P[{ωΩ : X(ω) x}], x R λζγεται ςυνάρτηςη κατανομήσ (ς.κ.) ή αθροιςτική ςυνάρτηςη κατανομήσ (α.ς.κ.) τησ τ.μ. Χ. Ζςτω F θ ς.κ. μιασ τ.μ. Χ. Τότε : P(α<Χβ)=F(β)-F(α), για κάκε πραγματικοφσ αρικμοφσ α, β, α β. 6

7 Διακριτή τ.μ. Μια τ.μ. Χ καλείται διακριτή ι απαρικμθτι αν παίρνει με πικανότθτα 1 πεπεραςμζνο ι αρικμιςιμο ςφνολο τιμϊν, x 0, x 1,x 2, -. Τότε θ ςυνάρτθςθ f: f(x k )=P(X=x k ), k=0,1,2, καλείται ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ ι απλϊσ ςυνάρτηςη πιθανότητασ τθσ τ.μ. Χ. Είναι φανερό ότι f(x k )>0, k=0,1,2, και k 0 f( x ) 1 Συνικωσ οι τιμζσ που παίρνουν οι διακριτζσ τ.μ. είναι φυςικοί αρικμοί (0,1,2,...). Πωσ κα υπολογίςουμε τθν ς.κ. μίασ διακριτισ τ.μ.; k 7

8 υνεχήσ τ.μ. Μια τ.μ. Χ καλείται ςυνεχήσ αν υπάρχει μθ αρνθτικι ςυνάντθςθ f, δθλαδι f(x) με τζτοια ϊςτε 0, x R, με f(x)dx, R α β, 1 Θ f καλείται ςυνάρτηςη πυκνότητασ πιθανότητασ ή απλώσ ςυνάρτηςη πυκνότητασ τησ τ.μ. Χ. Είναι εμφανζσ ότι για ςυνεχι τ.μ. Χ με ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ f, θ ςυνάρτθςθ κατανομισ F δίνεται από τον τφπο : F(x) x f (t)dt d F(x) dx P(α f (x) Χ ( η f β) β α συνεχής f(x)dx στο x) 8

9 υνεχήσ τ.μ. Παρατήρηςη : Αν Χ ςυνεχισ τ.μ. θ ζκφραςθ P(X=x) δεν ζχει νόθμα. Σφποσ : Αν θ f παίρνει τιμζσ μόνο ς ζνα διάςτθμα *α,β+r, κζτω f(x)=0 για x [α,β], και ζχουμε : β f (x)dx 1 με α f(x)dx 0 α - β f(x)dx 9

10 Χρήςιμεσ κατανομζσ πιθανοτήτων ςτα ςυςτήματα αναμονήσ Κατανομή Poisson : Χ~P(λ) Όταν ςε ζνα πείραμα τφχθσ δίνεται ο μζςοσ όροσ λ των ςυμβάντων ς ζνα χρονικό ι χωρικό διάςτθμα π.χ. ο αρικμόσ των κλιςεων ς ζνα τθλεφωνικό κζντρο ςτο χρονικό διάςτθμα 10 με 11 το πρωί. Τότε αν θ τ.μ. Χ ςυμβολίηει τον αρικμό των ςυμβάντων, θ πικανότθτα να ςυμβοφν κ γεγονότα δίνεται από τθν κατανομι Poisson : Μζςθ τιμι : Ε(Χ)=λ Διαςπορά : V(Χ)=λ P(X κ) -λ e λ κ κ! κ 0,1,2,... 10

11 Κατανομή Poisson Θ κατανομι αφορά τυχαία διακριτά γεγονότα ι ςτοιχεία που ςυμβαίνουν ςπάνια ι εμφανίηονται με πολφ μικρι ςυχνότθτα ςε ζνα πλθκυςμό, όπωσ το γεγονόσ: να περάςει ζνα όχθμα από ζνα ςθμείο μιασ οδοφ τθ ςτιγμι t. να βρεκεί ζνα ςκάρτο δοκίμιο ςε ζνα δείγμα Ν προϊόντων. να γίνει κλιςθ ςε τθλεφωνικό κζντρο τθ ςτιγμι t - να ςυμβεί βλάβθ ςε μια μθχανι τθ ςτιγμι t. να πουλθκεί ζνα προϊόν τθ ςτιγμι t. να «χτυπθκεί» λάκοσ ςτοιχείο κατά τθ δακτυλογράφθςθ ενόσ κειμζνου από μια ζμπειρθ δακτυλογράφο. να ςυμβεί ατφχθμα ςε ζνα ςθμείο μιασ οδοφ. 11

12 Κατανομή Poisson Θ κατανομι Poisson χαρακτθρίηεται από το ότι κάκε γεγονόσ ςυμβαίνει εντελϊσ τυχαία και ανεξάρτθτα από τα άλλα γεγονότα. από το ότι θ πικανότθτα να ςυμβοφν δφο ι περιςςότερα γεγονότα ταυτόχρονα ι ςχεδόν ταυτόχρονα είναι αμελθτζα. 12

13 Κατανομή Poisson π.χ. Ο μζςοσ όροσ των ατυχθμάτων ς ζνα ςταυροδρόμι είναι 3.5 ατυχιματα το χρόνο. Οι πικανότθτεσ για κανζνα, ζνα, δυο, κοκ ατυχιματα δίνονται από τθν κατανομι Poisson και είναι: p=0,03 p=0,216 p=0,185 p=0,188 p=0,105 p=0,132 p=0,07 Ο Ποια είναι θ πικανότθτα να ςυμβοφν: α) Το πολφ 2 ατυχιματα ςε ζνα ζτοσ; β) Περιςςότερα από 5 ατυχιματα ςε δφο ζτθ; υμβουλή : Ο μζςοσ όροσ λ ςτο χρόνο ι ςτο χϊρο μασ οδθγεί ςτθν κατανομι Poisson. Προςζχουμε μιπωσ ζχουμε πολλαπλάςιο ι υποπολλαπλάςιο χρόνο ι χϊρο, οπότε και θ ςτακερι λ για το αντίςτοιχο διάςτθμα γίνεται αντίςτοιχα πολλαπλάςιο ι υποπολλαπλάςιο. 13

14 Κατανομή Poisson ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1) Όταν για τθν τ.μ. Χ τθσ οποίασ ηθτάμε τθν πικανότθτα ζχουμε αναφορά ςε μζςο όρο ι μζςθ τιμι λ, τότε οδθγοφμαςτε ςτθν κατανομι Poisson. 2) Ελζγχουμε αν ο δοςμζνοσ μζςοσ όροσ λ ζχει τθν ίδια βάςθ αναφοράσ με το ηθτοφμενο (ίςο χρόνο ι χϊρο). Αν όχι τότε κάνουμε αναγωγι του δοςμζνου ςτον ηθτοφμενο. π.χ. Αν κατά μζςο όρο 3 ατυχιματα ςυμβαίνουν ςτθ διάρκεια 2 μθνϊν τότε ο μ.ο. των ατυχθμάτων λ για διάρκεια 30 θμερϊν είναι: λ=1.5 (2 μινεσ = 60 θμζρεσ). 14

15 Εκθετική κατανομή Εκθετική Κατανομή: Χ~ε(λ) Όταν οι αφίξεισ ακολουκοφν τθν κατανομι Poisson με μζςο ρυκμό αφίξεων λ, τότε ο χρόνοσ μεταξφ διαδοχικϊν αφίξεων ακολουκεί τθν αρνθτικι εκκετικι κατανομι με μζςθ τιμι 1/λ. Θ ςυνεχισ τ.μ. X ακολουκεί τθν εκκετικι κατανομι όταν θ ς.π.π. για λ>0 είναι: f(x) λe 0, -λx, x x 0 0 λ μ 1 λ μ λ 1 x o Mζςθ τιμι : E( Χ) 1/ λ 2 Διαςπορά: V( ) 1/ λ Θ ςυνάρτθςθ κατανομισ είναι : 1/λ x o F(x) P(X x) -λx 1-e, x 0 15

16 Μορφή ςυςτημάτων αναμονήσ 16

17 Χαρακτηριςτικά υςτημάτων Ουρών Αναμονήσ Πηγή Πελατών: Ο πλθκυςμόσ από τον οποίο προζρχονται οι αφίξεισ των πελατϊν κεωρείται είτε άπειροσ (πρακτικά πολφ μεγάλου μεγζκουσ) όπωσ π.χ. πελάτεσ τραπεηϊν, αυτοκίνθτα ςε ςτακμοφσ διοδίων κλπ, ι πεπεραςμζνοσ όπωσ για παράδειγμα ςτθν περίπτωςθ των μθχανϊν ενόσ εργοςταςίου που αναμζνουν επιςκευι. 17

18 Αφίξεισ ςτο φςτημα Σε κάκε ςφςτθμα ουράσ αναμονισ υπάρχουν "πελάτεσ" οι οποίοι προςζρχονται για εξυπθρζτθςθ. Με τον γενικό όρο "πελάτθσ" εννοοφμε τα πρόςωπα, αντικείμενα ι ςυμβάντα που ειςζρχονται ςτο ςφςτθμα για εξυπθρζτθςθ. 18

19 Κατανομή Αφίξεων Οι "πελάτεσ" καταφκάνουν ςτο ςφςτθμα είτε ςφμφωνα με κάποιο γνωςτό και ςτακερό ρυκμό (π.χ. ζνα προϊόν ςε ζνα ςτακμό εργαςίασ ακριβϊσ κάκε 15 λεπτά) ι αλλιϊσ, όπωσ ςτισ περιςςότερεσ περιπτϊςεισ, ςε «τυχαίεσ» χρονικζσ ςτιγμζσ (π.χ. αςκενείσ ςε εφθμερίεσ). Οι αφίξεισ κεωροφνται τυχαίεσ όταν είναι ανεξάρτθτεσ θ μία από τθν άλλθ (δεν επθρεάηεται μία άφιξθ από κάποια προθγοφμενθ) και θ χρονικι ςτιγμι πραγματοποίθςθσ τουσ δεν μπορεί να προβλεφκεί ακριβϊσ. Στθν περίπτωςθ αυτι ο μζςοσ ρυκμόσ των αφίξεων χαρακτθρίηεται από το μζςο αρικμό αφίξεων ανά μονάδα του χρόνου (π.χ. "πελάτεσ" ανά ϊρα). Θ τυχαία μεταβλθτι «αρικμόσ των αφίξεων ανά μονάδα χρόνου», μπορεί πολλζσ φορζσ να προςεγγιςκεί από τθν κατανομι Ρoisson. Αν γίνει αυτό, τότε θ μζςθ τιμι τθσ Poisson αντιςτοιχεί ςτθ μζςθ τιμι των αφίξεων ανά μονάδα χρόνου, ςυμβολίηεται με λ και αποτελεί το μζςο ρυκμό αφίξεων ςτθν μονάδα του χρόνου. 19

20 Κατανομή Αφίξεων Σθμειϊνεται ότι όταν ςτθ διαδικαςία ειςόδου παρατθρείται ότι ιςχφει θ κατανομι Poisson με μζςο ρυκμό αφίξεων ίςο με λ, τότε ο χρόνοσ που μεςολαβεί ανάμεςα ςε διαδοχικζσ αφίξεισ ακολουκεί εκκετικι κατανομι με μζςθ τιμι ίςθ με 1/λ. Οι αφίξεισ μπορεί να γίνονται είτε μία-μία είτε κατά ομάδεσ. 20

21 Χρόνοσ εξυπηρζτηςησ O χρόνοσ που απαιτείται για τθν εξυπθρζτθςθ του πελάτθ μπορεί να είναι ςτακερόσ ι όπωσ ςυμβαίνει και ςτα περιςςότερα ςυςτιματα ουρϊν αναμονισ, να παρουςιάηει μεταβλθτότθτα που οφείλεται ςε διάφορουσ παράγοντεσ. Για πολλζσ περιπτϊςεισ ςυςτθμάτων ουράσ αναμονισ, μπορεί να κεωρθκεί ότι ο χρόνοσ εξυπθρζτθςθσ ακολουκεί τθν εκθετική κατανομή, με μζςθ τιμι 1/μ. Ομοίωσ, όταν ο χρόνοσ εξυπθρζτθςθσ ακολουκεί εκκετικι κατανομι με μζςθ τιμι 1/μ, τότε το πλικοσ των πελατϊν που εξυπθρετοφνται ςε ζνα χρονικό διάςτθμα ακολουκεί κατανομι Poisson με μζςθ τιμι ίςθ με μ. Θ εξυπθρζτθςθ των πελατϊν μπορεί να γίνεται είτε ςυνεχϊσ είτε κατά οριςμζνα χρονικά διαςτιματα. 21

22 Θζςεισ εξυπηρζτηςησ Για τον πελάτθ που αναμζνει ςτθν ουρά μπορεί να υπάρχουν περιςςότερεσ από μία παράλλθλεσ κζςεισ εξυπθρζτθςθσ (π.χ. ταμεία ςτθν τράπεηα, διάδρομοι διοδίων, ταμεία ςε υπεραγορζσ κλπ.). Στθν περίπτωςθ αυτι ο πελάτθσ εξυπθρετείται από τθν πρϊτθ διακζςιμθ κζςθ εξυπθρζτθςθσ. Επίςθσ, άλλεσ φορζσ για τθν πλιρθ εξυπθρζτθςθ του πελάτθ απαιτείται θ διαδοχικι προςζλευςι του ςε περιςςότερεσ από μία κζςεισ εξυπθρζτθςθσ, δθλαδι εξυπθρετείται ςε διαδοχικζσ φάςεισ (π.χ. θ διεκπεραίωςθ κάποιασ εργαςίασ που απαιτεί εγκρίςεισ ςε πολλά ςτάδια). 22

23 Λειτουργία τησ Ουράσ Αναμονήσ Θ ουρά ςχθματίηεται από «πελάτεσ» που αναμζνουν τθ ςειρά τουσ να εξυπθρετθκοφν. Ο τρόποσ με τον οποίο επιλζγεται ζνασ πελάτθσ που αναμζνει ςτθν ουρά για να εξυπθρετθκεί είναι ζνα από τα κφρια χαρακτθριςτικά των ςυςτθμάτων ουρϊν αναμονισ και ονομάηεται πεικαρχία. Οι μζκοδοι που εφαρμόηονται είναι κυρίωσ οι εξισ: FIFO ή FCFS (First Ιn First Out, First Come First Served): Οι πελάτεσ εξυπθρετοφνται με βάςθ τθ ςειρά προςζλευςθσ. LIFO ή LCFS (Last Ιn First Out, Last Come First Served): Οι πελάτεσ εξυπθρετοφνται αντίςτροφα με τθν ςειρά προςζλευςθσ. Κανόνεσ προτεραιότητασ Ζνα ακόμθ ενδιαφζρον ςτοιχείο που αφορά τθν ουρά αναμονισ είναι θ χωρητικότητά τθσ. Θ χωρθτικότθτα τθσ ουράσ μπορεί να είναι άπειρθ (πρακτικά, όποιοσ προςζρχεται μπορεί να μείνει) ι πεπεραςμζνθ (όταν κάποιοσ προςζρχεται αφοφ ζχουν καταλθφκεί όλεσ οι κζςεισ αναμονισ, δεν μπορεί να ειςζλκει ςτο ςφςτθμα ι υπάρχουν αποκαρρυνόμενοι πελάτεσ). 23

24 υμβολιςμόσ μοντζλων Ανάλογα με τα χαρακτθριςτικά λειτουργίασ ενόσ ςυςτιματοσ ουράσ αναμονισ χρθςιμοποιείται και ζνα διαφορετικό μοντζλο για τθν ανάλυςι του. Για τθ διάκριςθ των μοντζλων ο D. G. Kendall πρότεινε ζναν εφχρθςτο ςυμβολιςμό με πζντε ςφμβολα που ζχει τθ γενικι μορφι «A/B/s/k/N», όπου τα ςφμβολα παριςτάνουν τα εξισ: Α: κζςθ για το ςφμβολο τθσ κατανομισ ειςόδου πελατϊν. Πικανό ςφμβολο για τθ κζςθ Α είναι το Μ, που παριςτάνει τθ διαδικαςία Poisson. Άλλα ςφμβολα είναι το G που ςθμαίνει γενικι ι οποιαδιποτε κατανομι, και το D που ςθμαίνει προςδιοριςτικι διαδικαςία ειςόδου, δθλαδι με γνωςτό και ςτακερό ρυκμό. 24

25 υμβολιςμόσ μοντζλων Β: κζςθ για το ςφμβολο τθσ κατανομισ του χρόνου εξυπθρζτθςθσ. Χρθςιμοποιοφνται τα ίδια ςφμβολα με τθν περίπτωςθ Α. s: κζςθ για το πλικοσ των παράλλθλων κζςεων εξυπθρζτθςθσ. k: κζςθ για τθ χωρθτικότθτα του ςυςτιματοσ εξυπθρζτθςθσ, όταν οι κζςεισ ςτθν ουρά αναμονισ είναι περιοριςμζνεσ. Το k είναι το πλικοσ των κζςεων αναμονισ μαηί με τισ κζςεισ εξυπθρζτθςθσ. Ν: κζςθ για το πλικοσ των πελατϊν ςτθν πθγι, όταν είναι πεπεραςμζνο. Σχόλιο: Σε οριςμζνεσ περιπτϊςεισ μετά το s δίνεται και το είδοσ τθσ πεικαρχίασ τθσ ουράσ. 25

26 Κατάςταςη ιςορροπίασ Επίςθσ, είναι ςθμαντικό να αναφερκοφμε ςτθν ζννοια τθσ κατάςταςησ ιςορροπίασ. Ζνα ςφςτθμα βρίςκεται ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ, όταν θ ςυμπεριφορά του δεν εξαρτάται από τισ αρχικζσ ςυνκικεσ που υπάρχουν κατά τθν ζναρξθ τθσ λειτουργίασ του. Δθλαδι, ζνα ςφςτθμα εξυπθρζτθςθσ φτάνει ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ, όταν παρζλκει ζνα εφλογο χρονικό διάςτθμα από τθν αρχικι του κατάςταςθ, ςτθ διάρκειά του οποίου εξαλείφεται θ επίδραςθ των ςυνκθκϊν εκκίνθςθσ. Θ περίοδοσ που απαιτείται, ϊςτε το ςφςτθμα να μθν εξαρτάται από τισ αρχικζσ ςυνκικεσ εκκίνθςθσ και να ςυγκλίνει ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ, ονομάηεται παροδική περίοδοσ. Τα μοντζλα που αναφζρονται παρακάτω και οι τφποι που χρθςιμοποιοφνται κεωροφν ότι το ςφςτθμα βρίςκεται ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ. 26

27 Μοντζλο Μ/Μ/1 Χρθςιμοποιείται για τθν μελζτθ ενόσ ςυςτιματοσ αναμονισ όπου ιςχφουν τα εξισ: Θ διαδικαςία αφίξεων των πελατϊν ακολουκεί τθν κατανομι Poisson με μζςο ρυκμό αφίξεων ίςο με λ ανά χρονικι μονάδα. Θ διαδικαςία εξυπθρζτθςθσ ακολουκεί κατανομι Poisson με μζςο πλικοσ πελατϊν που εξυπθρετοφνται ανά χρονικι μονάδα ίςο με μ. (ιςοδφναμα ο χρόνοσ εξυπθρζτθςθσ ακολουκεί τθν εκκετικι κατανομι με μζςθ τιμι 1/μ). Υπάρχει μία κζςθ εξυπθρζτθςθσ. Το πλικοσ των πελατϊν ςτθν πθγι είναι άπειρο, οι πελάτεσ εξυπθρετοφνται με πεικαρχία FIFO, ςχθματίηουν μια ουρά θ οποία ζχει άπειρθ χωρθτικότθτα και δεν αποχωροφν όςο μεγάλθ και αν είναι θ ουρά. Θ κεμελιϊδθσ ςχζςθ που πρζπει να ιςχφει για να μπορεί να υπάρξει κατάςταςθ ιςορροπίασ είναι λ<μ. 27

28 Μοντζλο M/M/s Χρθςιμοποιείται για τθν μελζτθ ενόσ ςυςτιματοσ αναμονισ όπου ιςχφουν τα εξισ: Θ διαδικαςία αφίξεων των πελατϊν ακολουκεί τθν κατανομι Poisson με μζςο όρο αφίξεων λ ανά χρονικι μονάδα. Υπάρχουν περιςςότερεσ από μία παράλλθλεσ κζςεισ εξυπθρζτθςθσ (s>1). Ο χρόνοσ εξυπθρζτθςθσ ςε κάκε κζςθ ακολουκεί τθν εκκετικι κατανομι με μζςο πλικοσ πελατϊν που εξυπθρετοφνται ςε κάκε κζςθ να είναι μ ανά χρονικι μονάδα. Το πλικοσ των πελατϊν ςτθν πθγι είναι πρακτικά άπειρο, οι πελάτεσ εξυπθρετοφνται με βάςθ τθ ςειρά προςζλευςθσ (FIFO), ςχθματίηουν μια ουρά θ οποία ζχει άπειρθ χωρθτικότθτα και δεν αποχωροφν όςο μεγάλθ και αν είναι θ ουρά και εξυπθρετοφνται από τθν πρϊτθ διακζςιμθ μονάδα εξυπθρζτθςθσ. Θ κεμελιϊδθσ ςχζςθ που πρζπει να ιςχφει για να μπορεί να υπάρξει κατάςταςθ ιςορροπίασ, είναι λ<sμ. 28

29 Βαςικά μεγζθη Μ/Μ/1 L : μζςο πλικοσ πελατϊν που βρίςκονται ςε s κατάςταςθ εξυπθρζτθςθσ L s ρ: Βακμόσ απαςχόλθςθσ του ςυςτιματοσ εξυπθρζτθςθσ (ποςοςτό χρόνου απαςχόλθςθσ του ςυςτιματοσ) L q : μζςο πλικοσ πελατϊν ςτθν ουρά αναμονισ L q 2 ( ) 29

30 Βαςικά μεγζθη Μ/Μ/1 L: μζςο πλικοσ πελατϊν ςτο ςφςτθμα ςυνολικά L L L q L s L q W q : μζςοσ χρόνοσ αναμονισ ενόσ πελάτθ ςτθν ουρά W q ( ) W q L q W: μζςοσ χρόνοσ παραμονισ ενόσ πελάτθ ςτο ςφςτθμα W 1 W L W W q 1 30

31 Βαςικά μεγζθη Μ/Μ/1 P 0 : πικανότθτα να μθν υπάρχει κανζνασ πελάτθσ ςτο ςφςτθμα ι ιςοδφναμα το ποςοςτό του χρόνου που όλεσ οι κζςεισ είναι αδρανείσ P o 1 P W : πικανότθτα ζνασ πελάτθσ που φκάνει ςτο ςφςτθμα να χρειαςτεί να περιμζνει P w 1 P 0 31

32 Βαςικά μεγζθη Μ/Μ/1 P n : πικανότθτα να υπάρχουν n πελάτεσ ςτο ςφςτθμα P n n P 0 P : πικανότθτα να υπάρχουν n k περιςςότεροι από κ πελάτεσ ςτο ςφςτθμα P n k k 1 32

33 Προςδιοριςμόσ δυναμικότητασ ςυςτημάτων εξυπηρζτηςησ Ο αντικειμενικόσ ςκοπόσ τθσ ανάλυςθσ των ςυςτθμάτων αναμονισ είναι ςυνικωσ ο προςδιοριςμόσ εκείνθσ τθσ δυναμικότθτασ του ςυςτιματοσ, δθλαδι του πλικουσ των κζςεων εξυπθρζτθςθσ, για τθν οποία ελαχιςτοποιείται το ςυνολικό προςδοκϊμενο (=μζςο) μεταβλθτό κόςτοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ. Το κόςτοσ αυτό για μία επιχείρθςθ αποτελείται από δφο επιμζρουσ ςτοιχεία κόςτουσ, το κόςτοσ από τθν αναμονι των πελατϊν και το κόςτοσ δυναμικότθτασ από τθν παροχι τθσ εξυπθρζτθςθσ. Όταν αυξάνεται θ δυναμικότθτα του ςυςτιματοσ με επιπρόςκετεσ κζςεισ εξυπθρζτθςθσ, ο μζςοσ χρόνοσ παραμονισ των πελατϊν ςτο ςφςτθμα μειϊνεται, με αποτζλεςμα να μειϊνεται και το κόςτοσ από τθν αναμονι των πελατϊν. 33

34 Προςδιοριςμόσ δυναμικότητασ ςυςτημάτων εξυπηρζτηςησ Στθν περίπτωςθ όμωσ αυτι, το κόςτοσ παροχισ τθσ εξυπθρζτθςθσ του ςυςτιματοσ αυξάνεται λόγω τθσ προςκικθσ κζςεων εξυπθρζτθςθσ. Αντίκετα, όταν μειϊνεται θ δυναμικότθτα του ςυςτιματοσ, το κόςτοσ παραμονισ των πελατϊν ςτο ςφςτθμα αυξάνεται λόγω αφξθςθσ του χρόνου παραμονισ τουσ, αλλά ςυγχρόνωσ μειϊνεται το κόςτοσ εξυπθρζτθςθσ λόγω μικρότερου αρικμοφ κζςεων εξυπθρζτθςθσ. Ζτςι, το ερϊτθμα είναι πϊσ μπορεί να βρεκεί ιςορροπία ανάμεςα ςτο κόςτοσ αναμονήσ των πελατών και ςτο κόςτοσ εξυπηρζτηςησ από την πλευρά τησ επιχείρηςησ, ςχεδιάηοντασ με τον πλζον κατάλλθλο τρόπο το ςφςτθμα εξυπθρζτθςθσ. 34

35 Προςδιοριςμόσ δυναμικότητασ ςυςτημάτων εξυπηρζτηςησ 35

36 Διαμόρφωςη ςχζςησ κόςτουσ λειτουργίασ Το ςυνολικό μεταβλθτό κόςτοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ, που ςυμβολίηεται με Κ, προκφπτει ωσ το άκροιςμα δφο επιμζρουσ ςτοιχείων κόςτουσ, του κόςτουσ αναμονισ των πελατϊν, που ςυμβολίηεται με Κ α και του κόςτουσ εξυπθρζτθςθσ του ςυςτιματοσ, που ςυμβολίηεται με Κ ε. Με k α παριςτάνεται το κόςτοσ αναμονισ ενόσ πελάτθ ςτθ μονάδα χρόνου. Σθμειϊςτε, ότι όταν γίνεται αναφορά ςτο κόςτοσ αναμονισ, ουςιαςτικά εννοοφμε και το ςυνολικό χρόνο παραμονισ του πελάτθ ςτο ςφςτθμα. Κατά ςυνζπεια, αφοφ με W ζχει ςυμβολιςτεί ο μζςοσ ςυνολικόσ χρόνοσ παραμονισ ενόσ πελάτθ ςτο ςφςτθμα, το (μζςο) κόςτοσ από τθν αναμονι του πελάτθ ςτθ μονάδα του χρόνου είναι ίςο με k α W. 36

37 Διαμόρφωςη ςχζςησ κόςτουσ λειτουργίασ Όμωσ, θ ποςότθτα αυτι αναφζρεται ς' ζνα μόνο πελάτθ και δεν αντικατοπτρίηει το ςυνολικό κόςτοσ αναμονισ των πελατϊν. Για να υπολογιςτεί το ςυνολικό προςδοκϊμενο κόςτοσ αναμονισ των πελατϊν, πολλαπλαςιάηεται θ ποςότθτα αυτι, με το μζςο ρυκμό αφίξεων των πελατϊν ςτθ μονάδα του χρόνου, δθλαδι με το λ: Κ α =k α λw= k α L (1) 37

38 Διαμόρφωςη ςχζςησ κόςτουσ λειτουργίασ Αναφορικά με το κόςτοσ εξυπθρζτθςθσ τα πράγματα είναι πιο απλά. Είδαμε ότι ο βαςικόσ παράγοντασ που κακορίηει το κόςτοσ εξυπθρζτθςθσ είναι το πλικοσ των κζςεων εξυπθρζτθςθσ, δθλαδι το s. Αν k ε παριςτάνει το κόςτοσ εξυπθρζτθςθσ τθσ μίασ κζςθσ ςτθ μονάδα του χρόνου, τότε το κόςτοσ εξυπθρζτθςθσ Κ ε για προςφερόμενθ δυναμικότθτα s είναι: Κ ε = k ε s (2) Χρθςιμοποιϊντασ τισ ςχζςεισ (1) και (2) προκφπτει θ ςχζςθ (3) που δίνει το ςυνολικό προςδοκϊμενο (=μζςο) μεταβλθτό κόςτοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ ςτθ μονάδα του χρόνου: Κ= k ε s+k α L (3) 38

39 Παράδειγμα βελτιςτοποίηςησ ςυςτήματοσ αναμονήσ Θ διανομι προϊόντων μιασ επιχείρθςθσ χονδρεμπορίου ςτουσ πελάτεσ τθσ γίνεται από μια αποκικθ που διακζτει μια ράμπα, ςτθν οποία προςεγγίηουν φορτθγά αυτοκίνθτα για να παραλάβουν τα εμπορεφματα. Τα φορτθγά φκάνουν με ρυκμό 8 ανά ϊρα και οι αφίξεισ τουσ ακολουκοφν κατανομι Poisson. Θ φόρτωςθ ενόσ φορτθγοφ διαρκεί κατά μζςο όρο 5 λεπτά, αλλά υπάρχει ςθμαντικι τυπικι απόκλιςθ ίςθ με 6 λεπτά. Οι οδθγοί των φορτθγϊν παραπονοφνται ότι περιςςότερο χρόνο περιμζνουν παρά φορτϊνουν. 39

40 Παράδειγμα βελτιςτοποίηςησ ςυςτήματοσ αναμονήσ Πράγματι, για λ = 8/ϊρα, μ = 60/5 = 12/ϊρα και ς = 6/60 = 1/10 τθσ ϊρασ προκφπτει: λσ λ /μ 8 /10 8 /12 Lq 1,63 21 λ /μ 218 /12 δθλαδι ο μζςοσ όροσ φορτθγϊν ςτθν ουρά είναι 1.63 φορτθγά, L = L q + λ/μ = /12 = 2.3, δθλαδι ο μζςοσ όροσ φορτθγϊν ςτο ςφςτθμα είναι 2.3 φορτθγά, W q = L q /λ = 1.63/8 = τθσ ϊρασ = λεπτά, δθλαδι ο μζςοσ χρόνοσ αναμονισ ςτθν ουρά είναι λεπτά, W = L/λ = 2.3/8 = τθσ ϊρασ = λεπτά, δθλαδι ο μζςοσ χρόνοσ παραμονισ ςτο χϊρο τθσ αποκικθσ κάκε φορτθγοφ είναι λεπτά, όταν ο μζςοσ χρόνοσ φόρτωςθσ είναι μόνο 5 λεπτά. 40

41 Παράδειγμα βελτιςτοποίηςησ ςυςτήματοσ αναμονήσ Ζςτω ότι λόγω καλφτερθσ οργάνωςθσ τθσ αποκικθσ μειϊνεται ςτο μιςό θ τυπικι απόκλιςθ του χρόνου φόρτωςθσ. Αν υποτεκεί ότι ο μζςοσ χρόνοσ φόρτωςθσ παραμζνει ίςοσ με 5 λεπτά, προκφπτει ότι για ς = 3 λεπτά είναι: L q = 0.91 L = 1.57 W q = 6.8 W = 11.8 άρα ο μζςοσ χρόνοσ αναμονισ ενόσ φορτθγοφ ςτθν ουρά ςχεδόν μειϊνεται ςτο μιςό φςτερα από τθ μείωςθ τθσ τυπικισ απόκλιςθσ ςτο μιςό τθσ τιμισ τθσ. 41

42 Παράδειγμα βελτιςτοποίηςησ ςυςτήματοσ αναμονήσ Ζςτω ότι αποφαςίηεται θ προςκικθ μιασ δεφτερθσ ράμπασ. Αν δεχκοφμε ότι ο χρόνοσ φόρτωςθσ ακολουκεί εκκετικι κατανομι με μζςο ρυκμό φόρτωςθσ μ = 12/ϊρα (άρα και τυπικι απόκλιςθ ς = μ), τότε για s = 2 μποροφν να υπολογιςτοφν τα επόμενα: L q = W q = τθσ ϊρασ = 0.64 λεπτά. Επομζνωσ, θ προςκικθ δεφτερθσ ράμπασ βελτιϊνει δραςτικά τθν κατάςταςθ, ςε ςθμείο που να μθν υπάρχει πλζον ςοβαρό πρόβλθμα αναμονισ. Ο βακμόσ απαςχόλθςθσ του ςυςτιματοσ είναι ρ = λ/sμ =

43 ΕΙΡΑ ΑΚΗΕΩΝ V Άςκηςη 1 Σε ζνα από τα τμιματα κατεργαςιϊν μιασ καταςκευαςτικισ εταιρείασ με s ανεξάρτθτουσ ςτακμοφσ εργαςίασ τα κομμάτια φτάνουν με ρυκμό λ < sμ, όπου μ είναι θ μζςθ ικανότθτα κατεργαςίασ ενόσ ςτακμοφ (κομμάτια ανά μονάδα χρόνου). Πϊσ μποροφν να μειωκοφν ο μζςοσ χρόνοσ κατεργαςίασ και οι απαιτιςεισ ςε αποκθκευτικό χϊρο ςτο τμιμα; Άςκηςη 2 Στο ςφςτθμα αναμονισ που περιγράφεται από το μοντζλο (Μ/Μ/1):(FCFS//) οι πελάτεσ φτάνουν με ρυκμό ζνασ κάκε 0.2 λεπτά κατά μζςο όρο, ενϊ θ μζςθ ικανότθτα εξυπθρζτθςθσ είναι 500 πελάτεσ/ϊρα. Μελετάται το ενδεχόμενο προςκικθσ ενόσ ακόμα ςτακμοφ εξυπθρζτθςθσ. Ωσ κριτιριο αποφαςίηεται να χρθςιμοποιθκεί το κριτιριο του επιπζδου εξυπθρζτθςθσ και ςυγκεκριμζνα ο μζςοσ χρόνοσ αναμονισ ςτθν ουρά W q : αν ο χρόνοσ αυτόσ με το υπάρχον ςφςτθμα είναι μεγαλφτεροσ από 5 λεπτά, τότε πρζπει να προςτεκεί ζνασ δεφτεροσ ςτακμόσ. Πρζπει να προςτεκεί δεφτεροσ ςτακμόσ ςτο ςφςτθμα; Άςκηςη 3 Σε μια επιχείρθςθ παραγωγισ υπθρεςιϊν που παρζχονται από όμοιουσ παράλλθλουσ ςτακμοφσ εξυπθρζτθςθσ είναι γνωςτό ότι το κόςτοσ λειτουργίασ ενόσ ςτακμοφ εξυπθρζτθςθσ k ε ιςοφται με 10,000 ευρϊ/μινα, το κόςτοσ αναμονισ ενόσ πελάτθ k α ιςοφται με 30 ευρϊ/ ϊρα, το μζςο πλικοσ πελατϊν ςτο ςφςτθμα δίνεται από τθ ςχζςθ L = 30x0.7 s-1, οι υπθρεςίεσ παρζχονται 8 ϊρεσ/θμζρα, 12 μινεσ (250 θμζρεσ) το χρόνο. Θ επιχείρθςθ διακζτει ιδθ s=6 ςτακμοφσ εξυπθρζτθςθσ. Μπορεί να μειϊςει το μζςο πλικοσ των πελατϊν ςτο ςφςτθμα μεταβάλλοντασ τον αρικμό των ςτακμϊν, χωρίσ όμωσ να αυξιςει το ςυνολικό κόςτοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ; Να λθφκεί υπόψθ θ προςζγγιςθ, ςφμφωνα με τθν οποία, το ςυνολικό κόςτοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ που πρζπει να ελαχιςτοποιθκεί είναι K = k ε s + k α L. 43