- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N."

Σάββας Δελή
7 χρόνια πριν
Προβολές:

Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.

1 Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµική Σχέση για την ακολουθία a n } είναι: - εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N. Λύση Αναδροµικής Σχέσης: ακολουθία που οι όροι της ικανοποιούν τη σχέση. Αρχικές Συνθήκες: Είναι οι τιµές των όρων της ακολουθίας που προηγούνται του a n0. Μια αναδροµική σχέση µε δεδοµένες αρχικές συνθήκες ορίζουν µοναδική λύση (αποδεικνύεται επαγωγικά). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 1 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις / 4 Παραδείγµατα Η ακολουθία Fibonacci a n = Αναδροµική Σχέση a n αν n 1 αν n = 0 Ακολουθία 5, 8, 11, 14,... Ορισµός Αναδροµική Σχέση: f n = f n 1 + f n, για κάθε n Αρχικές Συνθήκες: f 0 = 0, f 1 = 1 a n = a n 1 a n αν n 5 αν n = 1 3 αν n = 0, 3, 5, 8,... f = f 1 + f 0 = = 1 f 3 = f + f 1 = = a n = n a n 1 αν n 1 αν n = 1 a n = n! f 4 = f 3 + f = + 1 = 3 f 5 = f 4 + f 3 = 3 + = 5 Ποιές εκδοχές της a n } ικανοποιούν την a n = a n 1 a n (για n ); a n = 3n, a n = n, a n = 5 f 6 = f 5 + f 4 = = 8 Leonardo Fibonacci, Την επινόησε ο L. Fibonacci για την εκτίµηση του πληθυσµού κουνελιών. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 3 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 4 / 4

2 Εκτίµηση Πληθυσµού Κουνελιών Επίλυση Αναδροµικών Σχέσεων Ενα κουνέλι είναι σε αναπαραγωγική ηλικία στον 3ο µήνα της Ϲωής του Ξεκινάµε µε ένα Ϲευγάρι νεογνών Γραµµική Οµογενής Αναδροµική Σχέση τάξης k µε σταθερούς συντελεστές a n = c 1 a n 1 + c a n + + c k a n k, c 1,..., c k R, c k 0 Μήνας Ωριµα Ζεύγη Ζεύγη Νεογνών Ολικά Ζεύγη P n = 1.11P n 1 1ης τάξης. - f n = f n 1 + f n ης τάξης. - a n = a n 5 5ης τάξης. - a n = a n 1 + a n όχι γραµµική. - H n = H n όχι οµογενής. - B n = n B n 1 όχι σταθ. συντελ Μια γραµµική οµογενής αναδροµική σχέση τάξης k και k αρχικές συνθήκες: a 0 = C 0, a 1 = C 1,..., a k 1 = C k 1 προσδιορίζουν µοναδική ακολουθία που τις ικανοποιεί. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 5 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 6 / 4 Χαρακτηριστική Εξίσωση Γραµµικές Οµογενείς Αναδροµικές Σχέσεις ης Τάξης Εστω γραµµική οµογενής αναδροµική σχέση µε σταθερούς συντελεστές: a n = c 1 a n 1 + c a n + + c k a n k Χαρακτηριστική Εξίσωση (χ.ε.): r k c 1 r k 1 c r k c k = 0 a n = r n λύση της αναδροµικής σχέσης αν και µόνο αν r είναι λύση της χ.ε. Πράγµατι, πολλαπλασιάζοντας µε r n k τη χ.ε., έχουµε: r n c 1 r n 1 c r n c k r n k = 0 δηλαδή, η a n = r n ικανοποιεί την αναδροµική σχέση. Αναδροµική Σχέση Χαρακτηριστική Εξίσωση a n = c 1 a n 1 + c a n r c 1 r c = 0 Θεώρηµα Εστω δύο ρίζες r 1 r της χ.ε. a n } είναι λύση αν και µόνο αν: a n = A 1 r n 1 + A r n, όπου A 1 και A είναι σταθερές. Θεώρηµα Εστω r 0 διπλή ρίζα της χ.ε. a n } είναι λύση αν και µόνο αν: a n = A 1 r n 0 + A n r n 0, όπου A 1 και A είναι σταθερές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 7 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 8 / 4

3 Παραδείγµατα Να επιλυθούν οι αναδροµικές σχέσεις: a n 1 + a n, αν n a n = 7, αν n = 1, αν n = 0 6a n 1 9a n, αν n a n = 6, αν n = 1 1, αν n = 0 f n 1 + f n αν n f n = 1, αν n = 1 0, αν n = 0 Παράδειγµα 1 a n 1 + a n, αν n Να επιλυθεί η αναδροµική σχέση: a n = 7, αν n = 1, αν n = 0 Χαρακτηριστική Εξίσωση: r r = 0. Ρίζες: r = και r = 1, εποµένως η λύση είναι της µορφής: a 0 = = A 1 + A a n = A 1 n + A ( 1) n a 1 = 7 = A 1 A } A 1 = 3 A = 1 Εποµένως, a n = 3 n ( 1) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 9 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 10 / 4 Παράδειγµα : η Ακολουθία Fibonacci f n 1 + f n αν n Να επιλυθεί η αναδροµική σχέση: f n = 1, αν n = 1 0, αν n = 0 Χαρακτηριστική Εξίσωση: r r 1 = 0. Ρίζες: r 1 = (1 + 5)/ και r = (1 5)/, εποµένως η λύση είναι: f n = A 1 ( ) n + A ( 1 5 ) n Παράδειγµα 3 6a n 1 9a n, αν n Να επιλυθεί η αναδροµική σχέση: a n = 6, αν n = 1 1, αν n = 0 Χαρακτηριστική Εξίσωση: r 6r + 9 = 0. Μοναδική Ρίζα: r = 3, εποµένως η λύση είναι της µορφής: a n = A 1 3 n + A n3 n f 0 = 0 = A 1 + A f 1 = 1 = A 1 ( 1+ 5 ) + A ( 1 ) 5 Εποµένως, f n = 1 ( ) n ( ) n } A 1 = 1/ 5 A = 1/ 5 a 0 = 1 = A 1 a 1 = 3 = 3A 1 + 3A Εποµένως, a n = 3 n + n3 } A 1 = 1 A = 1 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 11 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 1 / 4

4 Γενική Γραµµική Οµογενής Αναδροµική Σχέση (1/) Γενική Γραµµική Οµογενής Αναδροµική Σχέση (/) Αναδροµική Σχέση Χαρακτηριστική Εξίσωση Αναδροµική Σχέση Χαρακτηριστική Εξίσωση a n = c 1 a n c k a n k r k c 1 r k 1 c k = 0 a n = c 1 a n c k a n k r k c 1 r k 1 c k = 0 Θεώρηµα Εστω ότι η χ.ε. έχει k διαφορετικές ρίζες r 1, r,..., r k. a n } είναι λύση αν και µόνο αν: Θεώρηµα Εστω ότι η χ.ε. έχει t διαφορετικές ρίζες r 1, r,..., r t, µε πολλαπλότητες m 1, m,..., m t (όπου i m i = k). a n } είναι λύση αν και µόνο αν: a n = A 1 r n 1 + A r n + + A kr n k, A 1, A,..., A k σταθερές. a n = (A 1,0 + A 1,1 n + + A 1,m1 1n m1 1 ) r n 1 + (A,0 + A,1 n + + A,m 1n m 1 ) r n + + (A t,0 + A t,1 n + + A t,mt 1n mt 1 ) r n t Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 13 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 14 / 4 Παραδείγµατα Παράδειγµα 6a n 1 11a n + 6a n 3, αν n 3 15, αν n = Να λυθεί η: a n = 5, αν n = 1, αν n = 0 ίνονται οι ϱίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης:,,, 5, 5, 9. Ποιά η γενική µορφή λύσης της αναδροµικής σχέσης που αντιστοιχεί στην εξίσωση; 3a n 1 3a n a n 3, αν n 3 1, αν n = Να λυθεί η: a n =, αν n = 1 1, αν n = 0 ίνονται οι ϱίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης µιας οµογενούς γραµµικής αναδροµικής σχέσης µε σταθερούς συντελεστές:,,, 5, 5, 9 Να καταγραφεί η µορφή της γενικής λύσης της αναδροµικής σχέσης. Είναι: (A 1,0 + A 1,1 n + A 1, n ) n + (A,0 + A,1 n) 5 n + A 3,0 9 n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 15 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 16 / 4

5 Παράδειγµα 3 Να επιλυθεί η ακόλουθη: αναδροµική σχέση: a n = 3a n 1 3a n a n 3 µε αρχικές συνθήκες: a 0 = 1, a 1 =, a = 1 Χαρακτηριστική Εξίσωση: r 3 + 3r + 3r + 1 = 0. Επειδή r 3 + 3r + 3r + 1 = (r + 1) 3, έχουµε τριπλή ϱίζα r = 1. Η λύση της αναδροµικής σχέσης είναι της µορφής: a n = A 1,0 ( 1) n + A 1,1 n( 1) n + A 1, n ( 1) n a 0 = 1 = A 1,0 a 1 = = A 1,0 A 1,1 A 1, a = 1 = A 1,0 + A 1,1 + 4A 1, Εποµένως, a n = (1 + 3n n ) ( 1) A 1,0 = 1 A 1,1 = 3 A 1, = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 17 / 4 (Μη Οµογενείς) Γραµµικές Αναδροµικές Σχέσεις a n = c 1 a n 1 + c a n + + c k a n k + F(n) (1) Θεώρηµα: Η ολική της λύση είναι της µορφής: a (h) n a (h) n } είναι λύση της οµογενούς εξίσωσης διαφορών: + a (p) n }, όπου: a n = c 1 a n 1 + c a n + + c k a n k a (p) n } είναι ειδική λύση της (1). Παρατήρηση: Γιατί χρειαζόµαστε την ειδική και την οµογενή λύση; Η αναδροµική σχέση καθεαυτή έχει εν δυνάµει πολλές λύσεις. Μία µόνο από αυτές ικανοποιεί και τις δεδοµένες αρχικές συνθήκες. Η ειδική λύση δε µπορεί εν γένει να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 18 / 4 (Μη Οµογενείς) Γραµµικές Αναδροµικές Σχέσεις Ειδικές Λύσεις - Παραδείγµατα a n = c 1 a n 1 + c a n + + c k a n k + F(n), (1) Θεώρηµα: Εστω: F(n) = (b t n t + b t 1 n t b 1 n + b 0 ) s n, όπου b 0, b 1,..., b t, s πραγµατικοί αριθµοί. 1. Αν s όχι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της σχετικής οµογενούς γραµµικής αναδροµικής σχέσης, η (1) έχει µια ειδική λύση της µορφής: (p t n t + p t 1 n t p 1 n + p 0 ) s n. Αν s ρίζα πολλαπλότητας m της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς γραµµικής αναδροµικής σχέσης, η (1) έχει ειδική λύση της µορφής: n m (p t n t + p t 1 n t p 1 n + p 0 ) s n (1) Μορφή ειδικής λύσης της a n = 6 a n 1 9 a n + F(n), όταν: F(n) = 3 n ; F(n) = n n ; F(n) = n 3 n ; F(n) = (n +1) 3 n ; () Ολική Λύση της a n = 3a n 1 + n, για a 1 = 3; (3) Ειδική Λύση και Μορφή Ολικής Λύσης της a n = 5a n 1 6a n + 7 n ; (4α) Ειδική Λύση της a n + 5a n 1 + 6a n = 3n ; (4β) Μορφή Ειδικής Λύση της a n + 5a n 1 6a n = 3n ; (5) Ολική Λύση της a n = a n 1 + n, για a 1 = 1; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 19 / 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 0 / 4

6 Παράδειγµα (1) Ποια η µορφή της ειδικής λύσης της a n = 6 a n 1 9 a n + F(n), όταν: Παράδειγµα () Ολική Λύση της a n = 3a n 1 + n (για n ), µε αρχική συνθήκη a 1 = 3. F(n) = 3 n ; F(n) = n 3 n ; F(n) = n n ; F(n) = (n + 1) 3 n ; Χαρακτηριστική Εξίσωση Οµογενούς Σχέσης: r 6r + 9 = 0 Μία διπλή χαρακτηριστική ϱίζα r = 3. F(n) = 1 3 n a (p) n = p 0 n 3 n διότι 3 = r (διπλή) F(n) = n 3 n a (p) n = n (p 1 n + p 0 )3 n διότι 3 = r (διπλή) Χαρακτηριστική Εξίσωση Οµογενούς Σχέσης: r 3 = 0, µία απλή ϱίζα r = 3. Ειδική Λύση της µορφής: a (p) n = c n + d. Αντικαθιστώντας στην αναδροµική σχέση, έχουµε: c n + d = 3 ( c (n 1) + d ) + n ( + c) n + (d 3c) = 0 (για κάθε n ) = c = 1 και d = 3/ Οµογενής Λύση της µορφής: a (h) n = A 3 F(n) = n n a (p) n = (p n + p 1 n + p 0 ) n r = 3 Ολική Λύση της µορφής: a n = a (h) n + a (p) n = A 3 n n (3/) F(n) = (n + 1) 3 n a (p) n = n (p n + p 1 n + p 0 )3 n διότι 3 = r (διπλή) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 1 / 4 Από αρχική συνθήκη a 1 = 3: 3A (5/) = 3 A = 11/6. Αρα, µοναδική ολική λύση: a n = n (3/) + (11/6) 3 n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις / 4 Σύνοψη Μεθοδολογίας Για την εύρεση ολικής λύσης: Βρίσκουµε τις χαρακτηριστικές ϱίζες. Προσδιορίζουµε τη µορφή της ειδικής λύσης a (p) Αντικαθιστούµε την a (p) n στην αναδροµική σχέση για να ϐρούµε τους (σταθερούς) συντελεστές που περιλαµβάνει. Προσδιορίζουµε τη µορφή της οµογενούς λύσης, a (h) Η ολική λύση είναι της µορφής a n = a (h) n + a (p) Από αρχικές συνθήκες για την a n, ϐρίσκουµε τους συντελεστές στην a (h) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµικές Σχέσεις 3 / 4

Σχετικά έγγραφα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις