Ατομική και Μοριακή Φυσική

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Λιαροκάπης Ευθύμιος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ 1.1 Η κυματική εξίσωση του Schrodiger Είναι φανερό από μια σειρά από πειράματα (ακτινοβολία μέλανος σώματος, ατομικά φάσματα εκπομπής και απορρόφησης, φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, κ.ά.) η κλασική Φυσική δεν είναι ικανή να περιγράει τα φαινόμενα του μικρόκοσμου. Επί πλέον από την παραδοχή του de Broglie, που επαληθεύται από τα πειράματα, φαίνεται ότι τα σώματα έχουν διπλή ιδιότητα κυματική και σωματιδιακή. Τέλος, η κυματική φύση των σωματιδίων οδηγεί σε μια απροσδιοριστία στην θέση και ορμή ή στην ενέργεια και τον χρόνο παρατήρησης, που υποδηλώνουν μια ενδογενή ιδιότητα των φαινομένων να μην μπορούμε να τα περιγράουμε επακριβώς αλλά μόνον μέσω των αρχικών και τελικών καταστάσεών τους. Έτσι μια νέα θεωρία θα πρέπει απλά να μπορεί να περιγράφει στατιστικά τα αποτελέσματα μιας αλληλεπίδρασης. Π.χ. κατά την περίθλαση σωματιδίων από μία ή δύο σχισμές, θα υπάρχει μια εικόνα συμβολής, χωρίς να μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά των σωματιδίων. Δηλαδή, μόνο η πιθανότητα παρουσίας των σωματιδίων σε κάποια τελική θέση είναι δυνατό να προβλεφθεί, χωρίς να γνωρίζουμε την ακριβή τροχιά τους. Ετσι, η θεωρία θα περιγράφει μόνο τις αρχικές και τελικές σταθερές καταστάσεις, ενώ η αλληλεπίδραση θα εκφράζεται ως ένας τρόπος σύνδεσης αυτών των καταστάσεων. Επί πλέον, οι προβλέεις της θεωρίας θα πρέπει να είναι στατιστικής φύσης. Θα υπάρχει όμως μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στην κλασική Στατιστική Φυσική και στη νέα θεωρία. Στην πρώτη, η στατιστική συμπεριφορά αφορά ένα μεγάλο αριθμό σωμάτων, ενώ στην δεύτερη θα αφορά ένα μόνο σωματίδιο. Δηλαδή θα εκφράζει την πιθανότητα να καταλήξει το σωματίδιο σε μια συγκεκριμένη τελική κατάσταση, όταν ξεκινήσει από μια δεδομένη αρχική. Γνωρίζουμε από την δυική μορφή σωματιδίου-κύματος και τις σχέσεις de Broglie ότι pk και Εω. Θα άξουμε για μια κυματική εξίσωση σε αντιστοιχία με την κλασική Κυματική. Στην κλασική Κυματική ένα επίπεδο κύμα που κινείται παράλληλα με τον άξονα x με ταχύτητα cω/k, περιγράφεται από την εξίσωση i( kx ωt) ( xt, ) oe (1.1) όπου η εκφράζει κάποια διαταραχή (όπως π.χ. η μετατόπιση, με την ευρεία έννοια του όρου, από τη θέση ισορροπίας, ή η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου). Αντικαθιστώντας τη μορφή αυτή στην κλασική κυματική εξίσωση c (1.) t x βλέπουμε ότι για να είναι λύση η, θα πρέπει να ισχύει η σχέση ω oω cko ή c (1.3) k Για φωτόνια και γενικά για σωματίδια με μηδενική μάζα ηρεμίας που κινούνται επομένως με την ταχύτητα του φωτός, ισχύουν οι σχέσεις ω E/ και k p/ και επομένως η (1.3) ανάγεται στην E /p c, δηλαδή E cp. Για ένα σωματίδιο με μάζα ηρεμίας m και μη σχετικιστική ταχύτητα, ισχύει η σχέση E p /m. Επομένως, η κλασική κυματική εξίσωση δεν μπορεί να είναι η ζητούμενη για τα υλοκύματα. Θα πρέπει να άξουμε να βρούμε μια νέα κυματική 1-1

4 εξίσωση που να είναι συμβιβαστή με τις σχέσεις de Broglie και να ικανοποιεί τη σχέση E p /m ή ισοδύναμα την ω k /m. Η διαδικασία που θα ακολουθηθεί είναι ουσιαστικά αντίθετη από αυτήν που ακολουθήθηκε στην εξαγωγή της κλασικής κυματικής εξίσωσης. Εδώ γνωρίζουμε τη μορφή των λύσεων, από την υπόθεση του de Broglie, και ζητείται η κυματική εξίσωση από την οποία οι λύσεις πηγάζουν. Η εξίσωση αυτή βρέθηκε από τον Schrödiger. Η εξίσωση που ζητείται πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες προυποθέσεις: (a) Να έχει λύσεις της μορφής (x,t) o e ikx ( ω t), όπου ωe/ και kp/. (b) Να ικανοποιεί την εξίσωση της ενέργειας E p /m για ελεύθερο σωματίδιο, ή E p /m + V(x) για σωματίδιο με δυναμική ενέργεια V(x). (c) Να είναι γραμμική, ούτως ώστε να ισχύει η αρχή της επαλληλίας όπως στην κλασική περίπτωση (δηλ. το άθροισμα λύσεων να είναι επίσης λύση). (d) Να έχει σταθερούς συντελεστές, ώστε για ελεύθερο σωματίδιο όλα τα σημεία του χώρου και χρόνου να είναι ισοδύναμα (ομοιογένεια χώρου και χρόνου). Οι απαιτήσεις που αναφέρθηκαν περιορίζονται στην περίπτωση της μίας διάστασης, της x, αλλά η γενίκευση σε τρεις διαστάσεις είναι απλή. Επίσης, το ότι οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα επίπεδα κύματα της Εξ.(1.1) δεν περιορίζει τη γενικότητα της εξίσωσης γιατί λύσεις άλλων μορφών μπορούν να δημιουργηθούν με την επαλληλία όρων της μορφής (1.1), σύμφωνα με τις μεθόδους Fourier. Η διαδικασία που ακολούθησε ο Schrödiger και αυτή που θα ακολουθηθεί εδώ δεν αποτελεί βεβαίως απόδειξη της εξίσωσης. Το μόνο για το οποίο μπορεί να είναι κανείς σίγουρος είναι ότι η εξίσωση που θα βρεθεί θα ικανοποιεί τις συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν στην εξαγωγή της. Μόνο η επιτυχής εφαρμογή της στην εύρεση πειραματικά επαληθεύσιμων λύσεων σε φυσικά προβλήματα μπορεί να είναι το κριτήριο για την ορθότητα της εξίσωσης. Παρατηρούμε αρχικά ότι για τη λύση (x,t) o e ikx ( ωt) ισχύουν οι σχέσεις: iω ik k (1.4) t x x από τις οποίες, με χρήση των σχέσεων Eω και pk, προκύπτουν οι εξισώσεις i E t i x p p (1.5) x Επίσης, από τη σχέση για την ολική ενέργεια E p /m + V(x) προκύπτει η σχέση p V( x) E m + η οποία με αντικατάσταση από τις (1.5) δίνει την + V( x) i (1.6) m x t η οποία είναι η εξίσωση του Schrödiger σε μία διάσταση. Για τρεις διαστάσεις, σε πλήρη αντιστοιχία, αντικαθιστούμε όλες τις συνιστώσες της ορμής στη σχέση E ( px + py + pz)/ m+ V( x, y, z) (1.7) με p x p y p z (1.8) x y z οπότε και προκύπτει η τριδιάστατη μορφή της εξίσωσης του Schrodiger: 1-

5 όπου m ( ) + V r + + i (1.9) t x y z Για ελεύθερο σωματίδιο, V(x,y,z) 0, και i (1.10) m t η οποία είναι η ελεύθερη εξίσωση του Schrodiger. 1. Η φυσική σημασία της κυματοσυνάρτησης Υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά ανάμεσα στην κλασική κυματική εξίσωση (1.) και την εξίσωση του Schrödiger (1.9) ή (1.10). Η πρώτη δέχεται ως λύσεις και πραγματικές συναρτήσεις (π.χ. cos(ωt-kx)), αφού είναι μια διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές. Αυτό δεν ισχύει για τη δεύτερη που έχει ένα μιγαδικό συντελεστή. Θα πρέπει λοιπόν να προσδιοριστεί τι παριστάνει η λύση της εξίσωσης του Schrödiger που θα είναι μια μιγαδική συνάρτηση. Για να βρούμε κάποια καθοδήγηση στην αναζήτηση αυτή, θα πρέπει να ανατρέξουμε στα πειραματικά δεδομένα. Είναι φανερό από τα μέχρι τώρα λεχθέντα ότι μόνο αρχικές και τελικές καταστάσεις θα περιλαμβάνονται στις λύσεις. Ακόμη, ότι η επαλληλία δύο επί μέρους λύσεων δεν ισχύει όσον αφορά τις παρατηρούμενες κατανομές των σωματιδίων. Ομως η (1.9) είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση και επομένως οι λύσεις της, προστιθέμενες, δίνουν μια νέα λύση. Για τους λόγους αυτούς, το παρατηρούμενο μέγεθος δεν μπορεί να είναι γραμμικά εξαρτημένο από τη λύση της εξίσωσης του Schrödiger. Οπωσδήποτε, κάθε μετρούμενη ποσότητα πρέπει να καταλήγει σε μια πραγματική τιμή και να είναι συνδεδεμένη με τις λύσεις της (1.9). Από τα πειραματικά αποτελέσματα γνωρίζουμε ότι ένα σωματίδιο μπορεί να έχει κυματικές ιδιότητες στη συμπεριφορά του, αλλά δεν παύει να διατηρεί τη σωματιδιακή του υπόσταση. Ανιχνεύεται ή αντιδρά με άλλα σωματίδια ως αδιαίρετη μονάδα και όχι ως ένα διεσπαρμένο στο χώρο κλασικό κύμα. Η κυματοσυνάρτηση, ή κάποιο μέγεθος που παράγεται από αυτήν, δεν μπορεί να παριστάνει μια κατανομή της ύλης στο χώρο, όπως θα μπορούσε να υποθέσει κάποιος έχοντας κατά νουν την αντίστοιχη κλασική κατανομή της ενέργειας ενός κύματος στο χώρο. Μια κλασική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης είναι επομένως αδύνατη. Μια δυνατή ερμηνεία είναι η στατιστική ερμηνεία, η οποία διατυπώθηκε αρχικά από τον Μ. Bor το 196. Σύμφωνα με αυτήν: Η κυματοσυνάρτηση αντιπροσωπεύει ένα κύμα πιθανότητας. Το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης δίνει την πυκνότητα πιθανότητας να βρίσκεται το σωματίδιο σε κάποιο σημείο του χώρου. Η αποδοχή της στατιστικής ερμηνείας δικαιολογείται από την πειραματική επιβεβαίωση των θεωρητικών προβλέεων που βασίζονται σε αυτήν. Η επιλογή του ως πυκνότητας πιθανότητας εξασφαλίζει επίσης και τη διατήρηση της ολικής πιθανότητας, η οποία πρέπει να είναι ανεξάρτητη του χρόνου. 1-3

6 Θα εξετάσουμε το θέμα της στατιστικής ερμηνείας με περισσότερη λεπτομέρεια. Λόγω της γραμμικότητας της εξίσωσης του Schrödiger, αν μια συνάρτηση f(x,t) είναι λύση της εξίσωσης (σε μία διάσταση στην προκειμένη περίπτωση), τότε και η Α f(x,t) είναι λύση της εξίσωσης για κάθε σταθερά Α. Η τιμή της σταθεράς αυτής μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε η νέα κυματοσυνάρτηση (x,t) Α f(x,t) να είναι κανονικοποιημένη και να ισχύει: dp(πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο στο διάστημα x και x+dx) dx (1.11α) Σε τρεις διαστάσεις, αν η κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση είναι (x,y,z,t), τότε dp [πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο σε όγκο dv γύρω από το σημείο (x,y,z)] dv (1.11β) Η κανονικοποίηση (δηλαδή ο προσδιορισμός της σταθεράς Α που αναφέρθηκε πιο πάνω) βασίζεται στην απαίτηση η ολική πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο κάπου στο χώρο να είναι ίση με τη μονάδα. Σε μία διάσταση, η κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης (x,t) υπαγορεύει: dx 1 ή dx 1 (1.1) όπου η ολοκλήρωση εκτείνεται από x - μέχρι x +, ή όπου η (x,t) είναι διάφορη του μηδενός. Η κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης Ψ(x,y,z,t) σε τρεις διαστάσεις εκφράζεται από τη σχέση dv 1 ή dv 1 (1.13) όπου dv είναι το στοιχείο όγκου και η ολοκλήρωση εκτείνεται σε ολόκληρο το χώρο, ή όπου η (x,y,z,t) είναι διάφορη του μηδενός. Η απαίτηση για κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης, σημαίνει ότι αυτή πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη, δηλαδή τα ολοκλήρωμα dx σε μία διάσταση, ή dv σε τρεις διαστάσεις, πρέπει να είναι πεπερασμένα. Για κανονικοποιημένες κυματοσυναρτήσεις, η πυκνότητα πιθανότητας είναι: P (1.14) Πρέπει να σημειωθεί ότι: Σε μία διάσταση, η πυκνότητα πιθανότητας P(x), ως πιθανότητα ανά μονάδα μήκους, έχει διαστάσεις (μήκος) -1 και μονάδες m -1, η δε κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση (x,t) έχει διαστάσεις (μήκος) -1/ και μονάδες m -1/. Σε τρεις διαστάσεις, η πυκνότητα πιθανότητας P(x,y,z), ως πιθανότητα ανά μονάδα όγκου, έχει διαστάσεις (μήκος) -3 και μονάδες m -3, η δε κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση (x,y,z,t) έχει διαστάσεις (μήκος) -3/ και μονάδες m -3/. Θα πρέπει επίσης να τονιστεί ότι, αφού η πιθανότητα ανίχνευσης των σωματιδίων σε κάποια θέση εξαρτάται από το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης, υπάρχει μια απροσδιοριστία φάσης στην κυματοσυνάρτηση της μορφής exp(iα), όπου α είναι κάποια σταθερή φάση. Η τιμή της φάσης δεν μπορεί 1-4

7 να προκύει από την κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης και θα αγνοηθεί από τώρα και στο εξής, μολονότι η παρουσία της είναι ιδιαίτερα σημαντική. Η μιγαδική συνάρτηση (x,y,z,t) εκφράζει όση γνώση μπορούμε να έχουμε για μια κατάσταση. Εξ αιτίας της μη γραμμικής εξάρτησης της μετρούμενης πιθανότητας κατανομής των σωματιδίων από την κυματοσυνάρτηση, προκύπτουν τα φαινόμενα συμβολής που περιγράφτηκαν στα προηγούμενα καφάλαια. Ετσι, αν 1 και είναι δύο κυματοσυναρτήσεις που περιγράφουν την κατανομή ενός σωματιδίου κατά την δίοδό του από τη μία ή την άλλη σχισμή, τότε η επαλληλία των δύο θα περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση 1 +. Τότε, η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί σε κάποια θέση το σωματίδιο θα δίνεται από το τετράγωνο του μέτρου +. Αυτό περιλαμβάνει εκτός από τα τετράγωνα των μέτρων και τους όρους 1 + 1, που εκφράζουν την αλληλεπίδραση ανάμεσα στις δύο καταστάσεις, δηλαδή τα φαινόμενα συμβολής. 1.3 Βασικές αρχές της κβαντομηχανικής: τελεστές, ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές Είναι φανερό από αυτά που αναφέραμε, ότι δεν μπορούμε να περιγράουμε επ ακριβώς π.χ. τί συμβαίνει κατά την διάρκεια μιας αλληλεπίδρασης ενός φωτονίου με το ηλεκτρόνιο μιας στιβάδας ενός ατόμου, ώστε αυτό να διεγερθεί στην ανώτερη στιβάδα. Επομένως δεν θα είναι αναγκαίο να δημιουργήσουμε μια θεωρία που να περιγράφει αυτό το μεταβατικό φαινόμενο. Θα ήταν αρκετό να μπορούσαμε να φτιάχναμε μια θεωρία που θα μπορεί να προβλέπει το αποτέλεσμα του περάσματος του ηλεκτρονίου στην ανώτερη στιβάδα. Αναγκαστικά η περιγραφή θα περιλαμβάνει τις σταθερές καταστάσεις σαν αρχική θέση και τελικό προορισμό και η αλληλεπίδραση θα εκφράζει την σύνδεση ανάμεσα στις δύο καταστάσεις. Θα πρέπει όμως να έχουμε υπ όη ότι κατά την περίθλαση σωματιδίων από μία ή δύο σχισμές, θα έχουμε εικόνα συμβολής και όχι έναν ακριβή προσδιορισμό της τροχιάς των. Δηλαδή μόνο την πιθανότητα παρουσίας σε μια τελική θέση του σωματιδίου μπορούμε να γνωρίζουμε και όχι την ακριβή τροχιά του. Θα πρέπει λοιπόν οι προβλέεις της ΚΜ να είναι στατιστικές αλλά με σημαντική διαφορά ανάμεσα στην κλασσική στατιστική και εκείνη της ΚΜ. Στην δεύτερη περίπτωση η στατιστική θα αφορά το ένα και διακριτό σωματίδιο. Δηλαδή θα εκφράζει την πιθανότητα να καταλήξει σε μια συγκεκριμένη κατάσταση όταν ξεκινήσει από μια αρχική. Αν έχουμε π.χ. δύο δυνατές καταστάσεις Α και Β στις οποίες μπορεί να καταλήξει το σωματίδιο, θα υπάρχουν οι αντίστοιχες πιθανότητες p A και p B να καταλήξει εκεί. Αν ξέρουμε ότι η κατάσταση Α αντιστοιχεί σε κάποια συγκεκριμένη τιμή α ενός δυναμικού μεγέθους (ενέργεια, ορμή, στροφορμή, κλπ) και η Β στην τιμή β, τότε η μέτρηση της τελικής κατάστασης του σωματιδίου θα οδηγήσει στις α ή β με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ας δούμε πώς μπορούμε όμως να εκφράσουμε μαθηματικά αυτά τα δεδομένα. Οι εξισώσεις (1.5) μπορούν να γραφούν ως: i p x (1.15) i E t (1.16) 1-5

8 p Επίσης, οι εξισώσεις p και V( x) E x m + V( x) E m x (1.17) Οι εξισώσεις (1.15) - (1.17) είναι όλες της μορφής A α α α (1.18) η οποία είναι γνωστή στα μαθηματικά ως εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή A. Σε κάθε εξίσωση ιδιοτιμών ενός τελεστή A, αντιστοιχεί ένας αριθμός ιδιοτιμών α και οι αντίστοιχες σε αυτές ιδιοσυναρτήσεις α, οι οποίες είναι λύσεις της εξίσωσης. Στην εξίσωση (1.15), ο τελεστής της ορμής είναι i, ο οποίος έχει ως x ιδιοτιμές τις τιμές της ορμής p, σε κάθε μια από τις οποίες αντιστοιχεί μια ιδιοσυνάρτηση p. Τα αντίστοιχα ισχύουν για την εξίσωση (1.16) και την ενέργεια. Η (1.10) είναι η εξίσωση του Schrödiger για ελεύθερο σωματίδιο στη τριδιάστατη περίπτωση. Ουσιαστικά, για να οδηγηθούμε σε αυτήν, ξεκινούμε από τη p σχέση της κλασικής Μηχανικής για την ενέργεια E όπου p px + py + pz m και αντικαθιστούμε E i t (1.19) px i py i pz i x y z (1.0) px pxpx i i x x x (1.1) κλπ για τα p y και p z, ενώ για την ολική ορμή p p + p + p, x y z p + + (1.) x y z Δηλαδή, τα μετρήσιμα μεγέθη της ενέργειας και της ορμής αντικαθίστανται από τελεστές, οι οποίοι δρουν πάνω στη συνάρτηση που περιγράφει την κατάσταση του σωματιδίου. Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή για όλα τα μετρήσιμα μεγέθη. Με βάση τις κλασικές παραστάσεις τους, τα μεγέθη αυτά εκφράζονται στην Κβαντική Φυσική με κατάλληλους τελεστές. Αυτοί είναι γραμμικοί μιγαδικοί τελεστές, που έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα να έχουν πραγματικές ιδιοτιμές (είναι ερμιτιανοί τελεστές). Ενα ερώτημα που ανακύπτει είναι για την τιμή που θα προκύει αν μετρηθεί κάποιο από τα μεγέθη της Κλασικής Φυσικής. Ποιες δηλαδή θα είναι οι επιτρεπτές τιμές του μεγέθους αυτού και πώς μπορούν να υπολογιστούν στην Κβαντική Φυσική. Χωρίς να αναφερθούν λεπτομέρειες, μπορούμε να πούμε ότι αυτές δίνονται από τις ιδιοτιμές του τελεστή που εκφράζει το μετρούμενο μέγεθος στην Κβαντική Φυσική. Επειδή, όπως είπαμε παραπάνω, οι τελεστές αυτοί είναι ερμιτιανοί, αποδεικνύεται 1-6

9 παρακάτω ότι οι ιδιοτιμές τους θα είναι πραγματικοί αριθμοί, όπως οφείλουν να είναι αφού εκφράζουν μετρήσιμα μεγέθη. Σύμφωνα με τα γνωστά από τα Μαθηματικά, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις ενός τελεστή βρίσκονται όπως αυτές των πινάκων. Οι ιδιοτιμές της ορμής π.χ., δίνονται από τη λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών p x p p p (1.3) η οποία οδηγεί στη διαφορική εξίσωση: i p p p x (1.4) όπου p είναι μια από τις ιδιοτιμές της ορμής και p η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση. Εύκολα προκύπτει από τη λύση της παραπάνω, ότι οι ιδιοσυναρτήσεις της ορμής δίνονται από τη σχέση p p ( x) Aexp i x Aexp( ikx) (1.5) Κατά τα γνωστά από τους μετασχηματισμούς Fourier, οι συναρτήσεις exp(ikx) αποτελούν ένα πλήρες σύνολο συναρτήσεων, έτσι ώστε οποιαδήποτε πεπερασμένη συνάρτηση να μπορεί να αναλυθεί σε αυτές. Αυτό είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό για τις ιδιοσυναρτήσεις κάθε τελεστή που εκφράζει στην Κβαντική Φυσική ένα μετρούμενο μέγεθος. Ετσι η κάθε κυματοσυνάρτηση μπορεί να αναλυθεί μονοσήμαντα στις ιδιοσυναρτήσεις αυτές των τελεστών. Για τις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας θα έχουμε E E() t i E() t E E() t (1.6) t οπότε θα ισχύει E E ( t) Bexp i t Bexp( iωt) (1.7) Και εδώ, οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας αποτελούν ένα πλήρες σύνολο συναρτήσεων στις οποίες μπορούν να αναλυθούν οι κυματοσυναρτήσεις που εξαρτώνται από τον χρόνο. Το αποτέλεσμα της ανάλυσης μιας κυματοσυνάρτησης Ψ(x,t) στις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας οδηγεί σε κυματοσυναρτήσεις σταθερής ενέργειας που εκφράζουν μόνιμες καταστάσεις. Αν το σωματίδιο έχει μια συγκεκριμένη τιμή για κάποιο μετρήσιμο μέγεθος (π.χ. έχει σταθερή ενέργεια), τότε η κατάσταση του σωματιδίου θα εκφράζεται από μια κυματοσυνάρτηση που θα ταυτίζεται με την ιδιοσυνάρτηση του αντίστοιχου τελεστή (δηλαδή του τελεστή της ενέργειας). Μπορεί όμως το σωματίδιο να βρίσκεται σε μια επαλληλία δύο ή περισσοτέρων καταστάσεων. Ετσι μπορεί να είναι a1+ β (1.8) όπου 1 και είναι οι ιδιοκαταστάσεις του μετρήσιμου μεγέθους. Τότε η μέτρηση του μεγέθους αυτού μπορεί να δώσει μία από τις τιμές που αντιστοιχούν στις ιδιοσυναρτήσεις 1 ή. Δηλαδή το σωματίδιο μπορεί να ανιχνευθεί σε μια από τις δύο καταστάσεις. Η πιθανότητα να βρεθεί σε κάθε μία δίνεται από τα πραγματικά μεγέθη α και β. Από την στιγμή που το σωματίδιο θα ανιχνευθεί σε μια κατάσταση, θα περιγράφεται από την αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση. Από την κυματοσυνάρτηση μπορούν να υπολογιστούν οι μέσες τιμές μετρήσιμων μεγεθών. Η συζήτηση θα περιοριστεί για απλότητα σε μία διάσταση. Για τη συντεταγμένη x του σωματιδίου, η μέση τιμή βρίσκεται από τη σχέση: 1-7

10 x (πιθανότητα να βρίσκεται το σωματίδιο μεταξύ x και x+dx) x ( dx) x x dx x dx (1.9) Για να βρούμε τη μέση τιμή μιας άλλης μετρήσιμης ποσότητας, που εκφράζεται από κάποιον τελεστή A, σε μια κατάσταση που ορίζεται από την κυματοσυνάρτηση, θα πρέπει να αναλύσουμε την στις ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή A του μετρήσιμου μεγέθους. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αρκεί να υπολογίσουμε την ποσότητα <Α> A dv (1.30) η οποία είναι μια γενίκευση της σχέσης (1.9). Με αυτόν τον γενικό τρόπο μπορεί να οριστεί π.χ. η μέση τιμή της θέσης x (για την οποία ο τελεστής A είναι x x), ως <x> x dx (1.31) της συνιστώσας της ορμής p x (τελεστής p x i ) x <p > i dx x (1.3) και της ενέργειας Ε (τελεστής E i ) t <Ε> i dx t (1.33) και αντίστοιχα για οποιαδήποτε άλλη ποσότητα που θα εκφράζεται από κάποιον τελεστή. p Για παράδειγμα, στη συνάρτηση H( x, p) + V( x) που δίνει την ολική m ενέργεια Ε ενός σωματιδίου σε μία διάσταση και είναι γνωστή ως Χαμιλτωνιανή, αντιστοιχεί ο τελεστής H + V( x) (1.34) m x ο οποίος δρα πάνω στην κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t)(x) e -iωt και δίνει την εξίσωση H ( x, t) E( x, t) ή + V( x) ( x) E( x) (1.35) m x Αυτή είναι η εξίσωση ιδιοτιμών της ολικής ενέργειας ενός σωματιδίου μέσα σε ένα δυναμικό V(x) ανεξάρτητο του χρόνου και είναι γνωστή ως χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödiger. Οπως θα δούμε παρακάτω, περιγράφει τις δέσμιες καταστάσεις ενός συστήματος. Εξίσωση συνέχειας Αν έχουμε Ν σωματίδια κατανεμημένα σε χώρο V με πυκνότητα σωματιδίων ρ ανά μονάδα χρόνου τότε θα ισχύει ότι N ρdv (1.36) V 1-8

11 Αν ορίσουμε ως j την πυκνότητα ρεύματος των σωματιδίων, δηλαδή την ροή σωματιδίων από επιφάνεια S ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου, τότε από την ανάγκη διατήρησης του συνολικού αριθμού των σωματιδίων, θα πρέπει ο αριθμός εκείνων των σωματιδίων που περνούν από μια κλειστή επιφάνεια να ισούται με την μεταβολή του συνολικού αριθμού των σωματιδίων που περικλείονται από την επιφάνεια. Δηλαδή θα πρέπει ρ ρ dv j ds ( j ) dv + j dv 0 t t V S V V (1.37) Επειδή αυτή η σχέση ισχύει για κάθε όγκο V θα πρέπει να ισχύει η εξίσωση συνέχειας ρ + j 0 t (1.38) Για να δούμε πως μπορούμε να ορίσουμε την αντιστοιχία με την κβαντομηχανική, ας εξετάσουμε την μονοδιάστατη περίπτωση οπότε η εξίσωση συνέχειας λαμβάνει την ρ j μορφή + x 0 t x (1.39) Από την εξίσωση του Schrödiger έχουμε ότι H i p + V και t m i i p H + V. Επομένως t m ρ ( ) i p i p + + V + + V t t t t m m i m x x x Δηλαδή ρ j + x + 0 t x mi x x t x (1.40) Όπου έχουμε ορίσει j x mi x x (1.41) και γενικά ότι j ( ) mi (1.4) Που είναι μια πραγματική ποσότητα ( j j ). Το ποσοστό (συντελεστής) διάδοσης μέσα από μια διαχωριστική επιφάνεια θα ορίζεται ως T jtras ji (1.43) Ενώ το ποσοστό (συντελεστής) ανάκλασης R jrefl j (1.44) Ιδιότητες τελεστών Οι ερμιτιανοί τελεστές πληρούν την ιδιότητα i T (1.45) A A 1-9

12 T όπου με A έχει οριστεί ο ανάστροφος τελεστής. Αναφέραμε ήδη ότι οι ερμιτιανοί τελεστές έχουν πραγματικές ιδιοτιμές. Πραγματικά, αν α είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή και η ιδιοσυνάρτηση, τότε A a Τότε θα ισχύει ότι A T a. Όμως A A T A a (1.46) Προκύπτει ότι αφ ενός μεν T A dv T ( A ) dv A a a a dv dv (1.47) και αφ ετέρου A a A dv a dv a a (1.48) Εξ αιτίας αυτής της ιδιότητας και της ανάγκης οι μετρήσιμες ποσότητες να είναι πραγματικές, ορίζουμε ότι οι τελεστές που εκφράζουνε μτρήσιμες ποσότητες είναι ερμιτιανοί. Μια άλλη ιδιότητα των ερμιτιανών τελεστών είναι η ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων τους. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα για άνισες ιδιοτιμές a, a m. Θα πρέπει A a A a m m m (1.49) Προκύπτουν οι σχέσεις A a a mdv ma dv ma dv A mdv A m amm am mdv A mdv am mdv Επειδή οι ιδιοτιμές είναι άνισες, θα πρέπει dv 0, m (1.50) Όταν υπάρχει εκφυλισμός, μπορούμε με κατάλληλη επιλογή των ιδιοσυναρτήσεων να τις κάνουμε ορθογώνιες. Αν παραγωγίσουμε την σχέση (1.30) ως προς τον χρόνο θα προκύει ότι d A A AdV + dv + A dv dt t t t (1.51) Από την εξίσωση του Schrödiger γνωρίζουμε ότι i H, i H t t (1.5) Με αντικατάσταση θα έχουμε ότι d A 1 A 1 HA dv + dv + AH dv dt i t i A 1 + AH HA dv AdV t i (1.53) Επομένως ότι A + i H, A dt t (1.54) Όπου έχουμε ορίσει τον μεταθέτη A, B ÃB BA (1.55) Αποδεικνύεται ότι, όταν δύο τελεστές AB,, που περιγράφουν κάποιες μετρήσιμες ποσότητες, αντιμετατίθενται τότε έχουν κοινές ιδιοσυναρτήσεις και τα αντίστοιχα μεγέθη μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα. Ενώ, αν δεν αντιμετατίθενται (π.χ. 1-10

13 τελεστές ορμής και θέσης), τότε οι αντίστοιχες ποσότητες δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα και οι μέσες τιμές τους ικανοποιούν την αρχή της απροσδιοριστίας του Heiseberg. Παραδείγματα μεταθετών που δημιουργούνται από τους τελεστές της θέσης και ορμής ή των συνιστωσών της στροφορμής είναι τα εξής: ( zp z pzz ) z i i z i z + i ( z) z z z z z iz + iz + i i (1.56) z z z και επομένως, z p zp p z i (1.57) [ ] ( ), z z z, x i και y, p y i. (1.58) Οι τελεστές L x, L y και L z δίνουν z zp y zp x xp z) ( zp x xp z yp z zp y L x, L y L xl y L yl x ( yp )( )( ) yp zzp x z p yp x yxp z + zxp yp z zyp xp z + xyp z + z p xp y xp zzp y yp xpz z+ xpzp yz ypzp xz xppz y z ( xp y yp x)( zp z p zz) i( xp y yp x) i L z. (1.59) Επομένως, L x, L y i L z. (1.60) Ομοίως αποδεικνύονται και οι κυκλικά συμμετρικές σχέσεις: L y, L z i L x και L z, L x i L y. (1.61) Οι άλλες σχέσεις για την συνολική στροφορμή αποδεικνύονται ως εξής: L, L z L x + L y + L z, L z L x, L z + L y, L z LL x z LL z x + LL y z LL z y L x( LL x z LL z x) + ( LL x z LL z x) L x + L y( LL y z LL z y) + ( LL y z LL z y) L y il xl y il yl x + il yl x + i L xl y 0 (1.6) Παρομοίως αποδεικνύονται και οι κυκλικά συμμετρικές σχέσεις: Ομοίως αποδεικνύονται και οι σχέσεις [ x p ] L, L x 0 και L, L y 0. (1.63) Οι παραπάνω σχέσεις υπονοούν ότι δεν είναι δυνατόν να παρατηρηθούν ταυτόχρονα παρά μόνο η συνολική στροφορμή και η μία συνιστώσα της σε κάποιον άξονα. 1.4 Συμβολισμός του Dirac Ο Dirac εισήγαγε έναν απλό συμβολισμό των κυματοσυναρτήσεων στηριγμένος στο ότι αποτελούν συναρτήσεις (διανύσματα) σε έναν χώρο Hilbert. Έτσι συμβόλισε μια κυματοσυνάρτηση με το σύμβολο, ενώ την συζυγή της με το συμμετρικό. Από την αγγλική λέξη bracket, ονόμασε το πρώτο ket και το δεύτερο bra. Το (εσωτερικό) γινόμενο των δύο διανυσμάτων το όρισε με το. Έτσι για 1-11

14 μια κυματοσυνάρτηση θα έχουμε το διάνυσμα, για την το και η κανονικοποίηση θα γράφεται dv 1. (1.64) Η επίδραση κάποιου τελεστή A στην θα εκφράζεται ως A, ενώ η αναμενόμενη τιμή στην κατάσταση αυτή ως A dv A A. (1.65) Η ανάπτηξη μιας κυματοσυνάρτησης σε μια πλήρη βάση ιδιοσυναρτήσεων φ θα γραφτεί ως c ϕ ή και πιο απλά ως c, όπου με θα έχουμε συμβολίσει τις ιδιοσυναρτήσεις φ. Η συνιστώσα c της κυματοσυνάρτησης θα δίνεται από την σχέση c συζυγής ποσότητά της από την c, ενώ η. (1.66) Γενικά θα ισχύει πάντα ότι φ φ. (1.67) Επίσης, το εσωτερικό γινόμενο δύο κυματοσυναρτήσεων φ και θα είναι φ dv φ (1.68) Αν αναλύσουμε τις δύο κυματοσυναρτήσεις στην πλήρη βάση θα έχουμε ότι c, φ b m m, οπότε το εσωτερικό γινόμενο θα είναι m bm c m bm c m bc m m (1.69) φ δ φ Επειδή αυτή η σχέση ισχύει για κάθε συναρτήσεις φ και, θα πρέπει να ισχύει η ταυτότητα 1 (1.70) 1.5 Λύση της εξίσωσης του Schrödiger για χρονικά σταθερές καταστάσεις Για ένα σωματίδιο που έχει δυναμική ενέργεια V(x,y,z), η εξίσωση του Schrödiger γράφεται ως + V i (1.71) m t Αν άξουμε να βρούμε καταστάσεις που εκφράζουν στάσιμα κύματα, θα πρέπει κατά τα γνωστά από την κλασική Κυματική να άξουμε για λύσεις που θα είναι της μορφής: E ( x, yzt,, ) φ( xyz,, ) exp i t (1. 7) όπου με φ συμβολίζεται η χωρική εξάρτηση της κυματοσυνάρτησης, μόνο, ενώ το παριστάνει ολόκληρη την κυματοσυνάρτηση. Την ίδια μορφή με την Εξ.(1.7) μπορούσαμε να βρούμε αν ξεκινούσαμε από τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, όπως αναλύθηκε παραπάνω (1.7). Οπως δηλαδή και στα στάσιμα κύματα της κλασικής Φυσικής, έτσι και εδώ έχουμε να κάνουμε με τις καταστάσεις σταθερής ενέργειας. Στην παραπάνω σχέση δεν χρειάζεται να συμπεριλάβουμε κάποια φάση στον εκθετικό όρο όπως κάνουμε στην Κυματική, γιατί η συνάρτηση είναι μιγαδική και μπορεί να απορροφήσει αυτόν τον όρο. Από την (1. 7), με παραγώγιση βρίσκουμε: 1-1

15 E E E i φ exp i t και exp i t φ (1.73) t και η εξίσωση του Schrodiger (1.9) δίνει, μετά από απλοποίηση του παράγοντα exp(- iεt/), την δηλαδή + m V E φ m ( E ) φ 0 + V (1.74) (1.75) που περιγράφει την πιο γενική μορφή της εξίσωσης του Schrödiger στη μόνιμη κατάσταση. Σε μία διάσταση, η (1.75) ανάγεται στην εξίσωση: d φ m + ( E V) φ 0 (1.76) dx Με τη λύση των εξισώσεων (1.75) και (1.76) θα ασχοληθούμε στα περισσότερα προβλήματα που θα εξετάσουμε. Θα πρέπει να έχουμε υπόη ότι E ( x, yzt,, ) φ( xyz,, ) exp i t (1.77) και επομένως φ φ ή φ (1.78) που εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας για ανίχνευση του σωματιδίου σε κάποια θέση στο χώρο (δηλαδή πιθανότητα ανά μονάδα όγκου σε τρεις διαστάσεις, ή ανά μονάδα μήκους σε μία διάσταση). Επομένως, η κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης θα εκφραστεί στην τριδιάστατη περίπτωση από το ολοκλήρωμα φφ dv 1 (1.79) όπου η ολοκλήρωση γίνεται σε ολόκληρο τον χώρο. Για τη μονοδιάστατη περίπτωση, φφdx 1 (1.80) όπου η ολοκλήρωση εκτείνεται από x - μέχρι x + ή, ισοδύναμα, σε κάθε τιμή του x όπου η φ ( x) είναι διάφορη του μηδενός. 1.6 Γενικές ιδιότητες της κυματοσυνάρτησης και οριακές συνθήκες που αυτή ικανοποιεί Η συζήτηση που θα ακολουθήσει για τις γενικές ιδιότητες και τις οριακές συνθήκες που ικανοποιεί η κυματοσυνάρτηση, θα περιοριστεί σε μια διάσταση στο χώρο, αλλά μπορεί εύκολα να γενικευθεί σε τρεις διαστάσεις. Ας σημειωθεί επίσης ότι οι ιδιότητες και οι οριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται από την φ ( x) είναι ίδιες με αυτές της (x,t). 1-13

16 Η ερμηνεία που δόθηκε στο ως πυκνότητα πιθανότητας, υπαγορεύει να είναι η τετραγωνικά ολοκληρώσιμη ώστε η ολική πιθανότητα να βρεθεί κάπου το σωματίδιο να είναι ίση με τη μονάδα, δηλαδή για μια διάσταση, x, να είναι ( x, t) dx φ( x) dx 1 (1.81) Για το λόγο αυτό, αποκλίνουσες λύσεις, π.χ. της μορφής e x για x ή e -x για x -, δεν είναι αποδεκτές. Αρχικά θα διερευνηθούν οι ιδιότητες της κυματοσυνάρτησης για την περίπτωση που η δυναμική ενέργεια V(x) είναι μια συνεχής συνάρτηση της x. Από τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων είναι γνωστό ότι μια διαφορική εξίσωση όπως η d φ m + ( E V) φ 0 (1.8) dx της οποίας οι συντελεστές (η συνάρτηση Ε - V(x) εδώ) είναι συνεχείς, έχει, για δεδομένες οριακές συνθήκες, μία μοναδική λύση, την φ (x) έστω, η οποία είναι συνεχής. Συνεχής είναι επίσης και η παράγωγος dφ /dx. Η ιδιότητα της φ (x) να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και να είναι συνεχής, τόσο αυτή όσο και η παράγωγός της, συνεπάγεται να είναι επίσης η φ (x) πεπερασμένη παντού. Αυτές είναι οι ιδιότητες της φ (x) και της (x,t) και καλύπτουν όλες τις φυσικά πραγματοποιήσιμες καταστάσεις. Για πληρότητα όμως θα πρέπει να διερευνηθούν και οι φυσικά μη πραγματοποιήσιμες περιπτώσεις στις οποίες, για μαθηματική ευκολία, η συνάρτηση V(x) δεν είναι συνεχής, αλλά έχει μία ή περισσότερες πεπερασμένες ή άπειρες ασυνέχειες. Θα εξετασθεί αρχικά η περίπτωση μιας πεπερασμένης ασυνέχειας, οριακή περίπτωση της οποίας θα θεωρηθεί η περίπτωση της άπειρης ασυνέχειας. Εστω συνάρτηση V(x) η οποία μεταβάλλεται με συνεχή τρόπο στο διάστημα 0<x<ε από τη σταθερή τιμή V για x<0 στη σταθερή τιμή V για x>ε. Σύμφωνα με τις ιδιότητες της φ (x) για συνεχή V(x), η φ (x) και επομένως και το γινόμενο [E- V(x)]φ (x) είναι πεπερασμένα παντού, συμπεριλαμβανομένου και του διαστήματος 0<x<ε. Επομένως, από την Εξ.(1.8), η δεύτερη παράγωγος d φ /dx της κυματοσυνάρτησης είναι πεπερασμένη. Παραμένει δε πεπερασμένη και καθώς το διάστημα ε τείνει στο μηδέν οπότε και δημιουργείται μια πεπερασμένη ασυνέχεια στην V(x). Η πρώτη παράγωγος d/dx της (x) ως ολοκλήρωμα μιας πεπερασμένης συνάρτησης (της d φ /dx ) είναι συνεχής. Η φ (x), ως ολοκλήρωμα της dφ /dx, είναι επίσης συνεχής. Προκύπτει επομένως ότι οι οριακές συνθήκες για τις φ (x) και (x,t) σε μια πεπερασμένη ασυνέχεια στην V(x) είναι η συνέχεια τόσο αυτών όσο και των παραγώγων τους ως προς x. Τέλος θα πρέπει να διερευνηθεί η περίπτωση της άπειρης ασυνέχειας στη V(x) [V 1 για x<0 και για x>0]. Αρχίζοντας από μια πεπερασμένη ασυνέχεια για την συνάρτηση V(x) [V 1 για x<0 και V για x>0] με ενέργεια Ε, V 1 < E < V, οι λύσεις της (1.8) για τις δύο περιοχές με σταθερή τιμή της δυναμικής ενέργειας θα είναι: me ( V1 ) Για x 0 φ 1 (x) A siαx + B cosαx όπου α (1.83) mv ( E) Για x>0 φ (x) C exp(-βx) + D exp(βx) όπου β (1.84) 1-14

17 Τα α και β έχουν ορισθεί έτσι ώστε να είναι πραγματικά. Καθώς V, επίσης β και για να μείνει πεπερασμένη η φ (x) θα πρέπει να είναι D0. Ταυτόχρονα όμως exp(-βx) 0 και επομένως φ (x) 0 σε όλα τα σημεία όπου απειρίζεται η δυναμική ενέργεια. Επομένως, λόγω της συνέχειας της φ (x), θα πρέπει να είναι και φ 1 (x) 0 στο σημείο x 0 όπου απειρίζεται η δυναμική ενέργεια. Η συνέχεια της παραγώγου dφ /dx στο σημείο x0 θα έδινε (για D0) τη συνθήκη αa - βc, η οποία όμως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί γιατί η C δεν ορίζεται. Τίποτα δεν μπορεί επομένως να ειπωθεί για την παράγωγο dφ /dx στο σημείο όπου η V(x) έχει μια άπειρη ασυνέχεια. Αυτή προκύπτει από τις άλλες συνθήκες του προβλήματος. Το τελικό συμπέρασμα επομένως είναι ότι η κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται στις περιοχές άπειρης δυναμικής ενέργειας. Αυτό είναι αναμενόμενο γιατί ένα σωματίδιο δεν μπορεί να έχει άπειρη δυναμική ενέργεια. Συνοίζοντας, οι ιδιότητες και οι οριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η φ (x) και επομένως και η (x,t) είναι οι ακόλουθες: (i) Η φ (x) είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη. (ii) Η φ (x) είναι παντού πεπερασμένη. (iii) H φ (x) είναι παντού συνεχής. Σε περιοχές όπου η δυναμική ενέργεια V(x) απειρίζεται, η φ (x) μηδενίζεται (iv) Η παράγωγος dφ /dx είναι παντού συνεχής. Στις περιοχές όπου η δυναμική ενέργεια V(x) απειρίζεται, η παράγωγος δεν ορίζεται. Οι ιδιότητες αυτές είναι αρκετές για τον πλήρη προσδιορισμό των λύσεων για δεδομένη συνάρτηση V(x). Οι ιδιότητες (c) και (d) παίζουν το ρόλο οριακών συνθηκών στα σημεία όπου υπάρχουν ασυνέχειες στην V(x), όπως θα δούμε στη λύση συγκεκριμένων περιπτώσεων. 1-15

18 ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΠΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1.7 Μονοδιάστατο πηγάδι δυναμικού απείρου ύους Ας υποθέσουμε ότι ένα σωματίδιο κινείται μέσα σε ένα δυναμικό (Σχ.1.1), όπου η δυναμική του ενέργεια είναι: Σχ.1.1 μονοδιάστατο V 0 για 0 < x < L για x < 0 ή x > L (1.85) Στις περιοχές x<0 και x>l, η κυματοσυνάρτηση (x) πρέπει να μηδενίζεται αφού το σωματίδιο δεν μπορεί να υπάρξει σε κάποια θέση με άπειρη δυναμική ενέργεια. Επίσης η (x) πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία x0 και xl. Ετσι, (0) (L) 0 (1.86) Η εξίσωση του Schrödiger στην περιοχή 0 < x <L έχει τη μορφή d m + E 0 dx 0 L (1.87) Η γενική της λύση είναι (x) A cos kx + B si kx (1.88) όπου k me (1.89) Από την σχέση (0) 0 προκύπτει ότι A0 και επομένως (x) B sikx (1.90) Απο την (L) 0 προκύπτει ότι sikl 0 και kl π (1,,3,... ) οπότε η (1.89) δίνει π me και η ενέργεια του σωματιδίου είναι L π E (1,,3,...) (1.91) ml Η ενέργεια του σωματιδίου παίρνει διάκριτες τιμές (άπειρες σε πλήθος). Για τις κυματοσυναρτήσεις βρίσκουμε ότι π x Bsi (1,,3,...) (1.9) L Aπό την κανονικοποίηση της κάθε μιας, προκύπτει ότι 1-16

19 l 0 1 dx B πx π L dx B x si si L dx B L (1.93) και τελικά B (1.94) L που είναι ανεξάρτητο του. Ετσι, ( ) si π x x (1.95) L L Σχ.1. Οι κυματοσυναρτήσεις και οι πυκνότητες πιθανότητας για σωματίδιο που είναι παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού άπειρου ύους. Είναι φανερό από τη λύση (1.95) και το Σχ.1., ότι υπάρχουν σημεία στον χώρο όπου δεν μπορεί να υπάρξει το σωματίδιο. Για παράδειγμα, για την ενεργειακή κατάσταση, στο ενδιάμεσο σημείο xl/ η κυματοσυνάρτηση παίρνει τιμή μηδέν. Σε αυτή την κατάσταση το σωματίδιο έχει πιθανότητα να βρεθεί αριστερά ή δεξιά του κέντρου με πιθανότητα 50%, ενώ η πυκνότητα πιθανότητας μηδενίζεται στο κεντρικό σημείο, ένα αποτέλεσμα που είναι παράλογο στην κλασική Μηχανική. 1.8 Πεπερασμένο τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού Η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου σε αυτή την περίπτωση είναι: V 0 για - a x a V o για x < - a ή x > a (1.96) 1-17

20 V V o -a 0 a x Σχ.1.3 Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού πεπερασμένου ύους. Η εξίσωση του Schrodiger για την μόνιμη κατάσταση θα είναι d m me ( E V) για - a x a dx mv ( o E) για x - a και για x a (1.97) Θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση E V ο. Αφού το δυναμικό έχει σταθερή τιμή, η λύση της παραπάνω εξίσωσης θα είναι: me - a x a 1 (x) A cosk 1 x + B sik 1 x όπου k 1 (1.98) x -a (x) C exp(k x) + D exp(-k x) όπου m k ( Vo E) (1.99) x a 3 (x) F exp(k x) + G exp(-k x) (1.100) Για x ±, θα πρέπει η κυματοσυνάρτηση να είναι πεπερασμένη και επομένως θα πρέπει D F 0. Στα σημεία x ± a η κυματοσυνάρτηση και η παράγωγός της είναι συνεχείς. Επομένως: 1 (-a) (-a) (1.101) 1 (a) 3 (a) (1.10) d1( x) d( x) dx x a dx x a (1.103) d 1 ( x) d 3( x) dx x a dx x a (1.104) Οι οριακές αυτές συνθήκες δίνουν: Συνέχεια της (x): (x-a) A cos(k 1 a) - B si(k 1 a) C exp(-k a) (1.105) (xa) A cos(k 1 a) + B si(k 1 a) G exp(-k a) (1.106) Συνέχεια της d/dx: (x-a) k 1 A si(k 1 a) + k 1 B cos(k 1 a) k C exp(-k a) (1.107) 1-18

21 (xa) -k 1 A si(k 1 a) + k 1 B cos(k 1 a) -k G exp(-k a) (1.108) Ανά δύο, οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν: (1.105) + (1.106): A cos(k 1 a) (C+G) exp(-k a) (1.109) -(1.105) + (1.106): k 1 A si(k 1 a) k (C+G) exp(-k a) (1.110) (1.107) - (1.108): B si(k 1 a) -(C-G) exp(-k a) (1.111) (1.107) + (1.108): k 1 B cos(k 1 a) k (C-G) exp(-k a) (1.11) Για τη λύση του συστήματος των εξισώσεων (1.109)-(1.11) υπάρχουν τέσσερα ενδεχόμενα: (α) Α 0 και Β 0 Τότε όμως έπεται ότι C 0 και G 0 η οποία είναι μια χωρίς φυσικό ενδιαφέρον λύση στην οποία μηδενίζονται όλες οι κυματοσυναρτήσεις. (β) Α 0 και Β 0 Από τους λόγους των παραπάνω σχέσεων προκύπτει ότι (1.110) / (1.109): k 1 ta(k 1 a) k (1.113) και (1.11) / (1.111): k 1 cot(k 1 a) - k (1.114) Για να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι (1.113) και (1.114) θα πρέπει k1 k, που είναι αδύνατο σύμφωνα με τους ορισμούς των k 1 και k [(1.98), (1.99)] και το γεγονός ότι E V ο. (γ) Α 0 και Β 0 Τότε επίσης C G A cos(k 1 a) exp(k a) (1.115) και ο λόγος των εξισώσεων δίνει τις άρτιες λύσεις: k ta( k a) k (1.116) 1 1 (δ) Α 0 και Β 0 Τότε επίσης C - G - Β si(k 1 a) exp(k a) (1.117) και ο λόγος των εξισώσεων δίνει τις περιττές λύσεις: k cot( k a) k (1.118) 1 1 Οι επιτρεπόμενες ενέργειες δίνονται από τις λύσεις των (1.116) και (1.118). Μπορούμε να βρούμε τις λύσεις των υπερβατικών αυτών εξισώσεων γραφικά, αν ορίσουμε τις μεταβλητές me ξ ka 1 a (1.119) m η ka ( Vo Ea ) (1.10) που σημειωτέον είναι καθαροί αριθμοί, oπότε προκύπτει η σχέση ma ξ + η V o R σταθερό (1.13) Αυτή είναι εξίσωση κύκλου (ξ,η) με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα 1-19

22 m R Va o Γραφικά, οι λύσεις (ξ,η ) και επομένως και οι ενέργειες E ma ξ (1.14) (1.15) βρίσκονται από τα σημεία τομής του κύκλου με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα R, με τις καμπυλες η ξ taξ (1.16) και η - ξ cotξ (1.17) Να σημειωθεί ότι, σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση, μόνο λύσεις για θετικά ξ και η είναι φυσικά αποδεκτές. Υπάρχει οπωσδήποτε τουλάχιστον μία λύση, ο δε αριθμός των λύσεων εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου R, δηλαδή του γινομένου V o a (για δεδομένη μάζα σωματιδίου m). Για παράδειγμα, όταν R 4 υπάρχουν τρεις λύσεις, οι οποίες δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί, μαζί με τις αντίστοιχες ενέργειες E (σε μονάδες του /ma ) καθώς και τους λόγους E /V ο : ξ η E E /ma Vo 1 1,5 3,799 1,568 0,098,475 3,143 6,14 0, ,595 1,753 1,96 0, Ο αρμονικός ταλαντωτής Στον γραμμικό αρμονικό ταλαντωτή η δύναμη εκφράζεται ως F - kx, και η δυναμική ενέργεια V(x) - kx, όπου η σταθερά k είναι η κατευθύνουσα δύναμη και x η απομάκρυνση από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας. Επομένως, η εξίσωση του Schrödiger θα είναι (στη μόνιμη κατάσταση), d 1 + kx E (1.18) mdx ή d mkx me + 0 (1.19) dx Κατ' αναλογία με την κλασική Κυματική, θέτουμε ή d me m ω dx + x 0 k ω, οπότε m (1.130) 1-0

23 d ( λ ξ ) 0 dξ (1.131) όπου E λ ω (1.13) και ξ mω x (1.133) Οι οριακές συνθήκες είναι (μεταξύ άλλων) 0 για ξ ± (1.134) + 1 ξ 0 είναι η Αν λ 1, τότε μια λύση της διαφορικής εξίσωσης ( ) δοκιμάζουμε λύσεις της μορφής Ce ξ /. Αυτή είναι η συμπεριφορά για κάθε λ για μεγάλες τιμές του ξ. Έτσι ξ / ( ξ) H( ξ) e H( ξ)exp( mωx / ) (1.135) όπου η Η(ξ) θα είναι μια συνάρτηση του ξ. Από την αντικατάσταση της (1.135) στην (1.131), προκύπτει ότι η Η(ξ) πρέπει να ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση H ξ H + ( λ 1) H 0 (1.136) Ψάχνουμε για λύση ακέραιου πολυωνύμου H a + aξ + a ξ + + a ξ o 1 Από την αντικατάσταση στην διαφορική εξίσωση για την Η(ξ) προκύπτουν οι σχέσεις ( λ + 1) ( + )( + 1) a+ ( λ + 1) a 0 a+ a (1.137) ( )( ) Για να συγκλίνει θα πρέπι κάπου να τερματίζει, δηλαδή για κάποιο να έχουμε ότι λ+1. Τότε η εξίσωση αυτή έχει ως λύσεις τα πολυώνυμα του Hermite, τα οποία έχουν πεπερασμένο αριθμό όρων. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μία λύση για κάθε ακέραιο και σε αυτήν αντιστοιχεί ενέργεια ίση με E λ ωλ/, ή E ω ( + ½) ( 0,1,,3,...) (1.138) Οι λύσεις Η τώρα, ικανοποιούν την εξίσωση H ξ H + H 0 (1.139) από την οποία προκύπτουν οι εξής ιδιότητες των συναρτήσεων Η : ξ H H 1, H+ 1 ξ H H 1, H( ξ ) ( 1) e e ξ Οι πρώτες τέσσερις συναρτήσεις Hermite είναι: ξ (1.140) H 0 (ξ) 1 H 1 (ξ) ξ H (ξ) 4ξ - H 3 (ξ) 8ξ 3-1ξ (1.141) Οι κανονικοποιημένες κυματοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή δίνονται από τον γενικό τύπο: 1-1

24 1/4 mω H ( ) ξ ξ / ( ξ ) e 1/ π (!) (1.14) Οι κυματοσυναρτήσεις και οι αντίστοιχες ενέργειες του αρμονικού ταλαντωτή είναι, σύμφωνα με τις (1.141) και (1.138), με ξ mω x : 0 1/4 mω / o ξ e ξ π E ω/ (1.143) 1 1/4 mω / 1 ξ ξe ξ π E 3ω/ (1.144) 1/4 mω 1 / 1( ξ) (ξ 1) e ξ π E 5ω/ (1.145) 3 1/4 mω 1 3 / 3( ξ) (ξ 3 ξ) e ξ E 7ω/ π 3 (1.146) και γενικά: 1/4 mω H ( ) ξ ξ / ( ξ ) e 1/ π (!) E (+ ½)ω (1.147) Το βασικό συμπέρασμα λοιπόν είναι ότι έχουμε διάκριτες ενεργειακές στάθμες που απέχουν μεταξύ τους κατά ω. Η βασική (η πιο χαμηλή) στάθμη δεν έχει ενέργεια ίση με μηδέν αλλά ω/, σε πλήρη συμφωνία με την αρχή της απροσδιοριστίας. Μηδενική ενέργεια θα σήμαινε απόλυτη γνώση της ορμής του συστήματος (p0) και απόλυτη απροσδιοριστία της θέσης του. Αποδεικνύεται ότι: <x> <p> 0 (1.148) V 1 E ω 1 kx + (1.149) p V E m p E E V m (1.150) οπότε αν ορίσουμε τη μέση τετραγωνική απόκλιση από τη μέση τιμή της θέσης και της ορμής κατά τα γνωστά ως (Δx) <(x-<x>) > < x + <x> -x<x> > <x > + <x> - <x> <x > - <x> (1.151) (Δp) <(p - <p>) > < p + <p> - p<p> > <p > + <p> - <p> <p > - <p> (1.15) τότε έπεται ότι για τον αρμονικό ταλαντωτή, E 1 ( ) ω Δ x x V + k k k (1.153) 1 ( Δ p) p me m ω + (1.154) οπότε 1-

25 και ( Δx) ( Δ p) x p + (1.155) 1 Δx Δ p στη χαμηλότερη στάθμη (για 0) (1.156) ( ) ( ) 4 δηλαδή (Δx)(Δp) /, που εκφράζει την αρχή της απροσδιοριστίας για τον απλό αρμονικό ταλαντωτή. Η ίδια σχέση μπορεί να προκύει από πολύ γενικές σχέσεις αλλά δεν θα αποδειχθεί εδώ. Ένας διαφορετικός τρόπος να βρούμε λύση στο πρόβλημα του απλού αρμονικού ταλαντωτή βασίζεται στην χρήση των τελεστών p imω x + p + imω x a a mω mω (1.157) + Αφού x x, + p p. Έπεται ότι ( p )( ) + + imωx p imωx p + m ω x + imω( xp px ) aa mω mω (1.158) p m Επειδή H ω + x m (1.159) θα έχουμε ότι ω aa H ω (1.160) Παρόμοια προκύπτει ότι ω aa H + ω (1.161) Επομένως θα ισχύει ότι aa, aa aa 1 (1.16) Έστω E μια ιδιοκατάσταση του τελεστή της ενέργειας με ιδιοτιμή Ε. Από την H E E E προκύπτει ότι E ω a a E ω ω E H E E (1.163) Όμως + ω EaaE 0 E. (1.164) Παρατηρούμε επίσης ότι ω + ωaaa Ha a Ha a ( H + ω) Ha E ( E + ω) a ω + ωaaa ah + a E (1.165) + Δηλαδή η a E Παρόμοια αποδεικνύεται ότι είναι ιδιοσυνάρτηση με ιδιοτιμή ( E ω) ( ω) ( ω) +. Ha a H Ha E E a E (1.166) Δηλαδή η ae είναι ιδιοσυνάρτηση με ιδιοτιμή ( E ω). 1-3

26 + Επομένως οι τελεστές a, a αυξάνουν ή μειώνουν την ενέργεια κατά ω, ονομάζονται δε τελεστές δημιουργίας και καταστροφής ενός αντίστοιχου κβάντα. ω Επειδή E, η μείωση της ενέργειας θα καταλήγει σε ελάχιστη ενέργεια E ω 1 και οι ενεργειακές καταστάσεις θα έχουν ενέργεια E ω Σκέδαση από ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Εστω σωματίδιο ενέργειας Ε που κινείται από τα αριστερά προς τα δεξιά και συναντά φράγμα δυναμικού, ύους V o >E και πλάτους L, μεταξύ x0 και xl. Ι V o ΙΙ ΙΙΙ E 0 L x Σχ.1.4 Σκέδαση από ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Στην περιοχή 0<x<L η ολική ενέργεια του σωματιδίου είναι Ε<V o και σύμφωνα με την κλασική Φυσική η ύπαρξη του σωματιδίου στην περιοχή αυτή απαγορεύεται, γιατί εκεί θα είχε αρνητική κινητική ενέργεια. Αναμένεται επομένως ότι το σωματίδιο θα ανακλαστεί. Στην κβαντική μηχανική τα φαινόμενα είναι διαφορετικά. Οπως θα δούμε παρακάτω, υπάρχει πιθανότητα το σωματίδιο να περάσει μέσα από το φράγμα δυναμικού (Σχ.1.4). Το κύμα, στη γενική του μορφή, περιγράφεται όπως και στην κλασική Φυσική από ένα προσπίπτον και ένα ανακλώμενο κύμα, δηλαδή από μια συνάρτηση της μορφής Ψ(x,t) A exp[i(kx-ωt)] + B exp[-i(kx+ωt)] (1.167) η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του Schrödiger σε κάθε σημείο του χώρου, με τα κατάλληλα Α, Β και k. Αντικαθιστώντας τη σχέση αυτή στη γενική (χρονοεξαρτημένη) εξίσωση του Schrödiger, βρίσκουμε τη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται για να είναι η (1.167) αποδεκτή λύση: i{-iωa exp[i(kx-ωt)] - iωb exp[-i(kx+ωt)]} 1-4

27 m {-k A exp[i(kx-ωt)] - k B exp[-i(kx+ωt)]} + + V { A exp[i(kx-ωt)] + B exp[-i(kx+ωt)]} (1.168) η οποία γράφεται ως: k ω V {A exp[i(kx-ωt)] + B exp[-i(kx+ωt)] } 0 m (1.169) Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται αν E ω k m + V, (1.170) από την οποία προκύπτει ότι m k ( E V ) ή m k ( E V ) (1.171) Στις περιοχές I και III όπου V0 το k είναι πραγματικό, ενώ στην περιοχή II όπου E<V o το k είναι μιγαδικό. Επομένως, Ψ I A exp[i(k 1 x-ωt)] + B exp[-i(k 1 x+ωt)] όπου me k 1 (1.17) Ψ II C exp[i(ik x-ωt)] + D exp[-i(ik x+ωt)] όπου m k ( Vo E) (1.173) Ψ III F exp[i(k 1 x-ωt)] + G exp[-i(k 1 x+ωt)] (1.174) Σε όλες τις οριακές συνθήκες οι χρονικές μεταβολές θα απλοποιηθούν, άρα μπορούμε να τις αγνοήσουμε από τώρα. Επίσης, στην περιοχή III παραδεχόμαστε ότι δεν υπάρχει κύμα που να ανακλάται. Επομένως G0. Οι άλλες οριακές συνθήκες θα είναι: x0 Ψ I Ψ II A + B C + D (1.175) x0 dψi dψii dx dx ik 1 A - ik 1 B - k C + k D (1.176) xl Ψ II Ψ III Cexp(-k L) + Dexp(k L) Fexp(ik 1 L) (1.177) xl dψi dψii -k Cexp(-k L) + k Dexp(k L) ik 1 Fexp(ik 1 L) (1.178) dx dx Από τις Εξ.(1.175) και (1.176) προκύπτουν οι σχέσεις (k +ik 1 )A + (k -ik 1 )B k D (1.179) (k -ik 1 )A + (k +ik 1 )B k C. (1.180) Από τις Εξ.(1.177) και (1.178) προκύπτουν οι σχέσεις (k +ik 1 )F exp(ik 1 L) k D exp(k L) (1.181) (k -ik 1 )F exp(ik 1 L) k C exp(-k L) (1.18) Αυτές, σε συνδυασμό με τις δύο προηγούμενες, δίνουν (k +ik 1 )A + (k -ik 1 )B (k +ik 1 )F exp(ik 1 L-k L) (1.183) (k -ik 1 )A + (k +ik 1 )B (k -ik 1 )F exp(ik 1 L+k L) (1.184) οπότε 1-5

28 ( k + ik1) ( k ik1) exp ( + 1) ( 1) exp( ) 4ik k exp( ik L) exp( k L) F A k ik k ik k L ( ik L k L) 1 F 1 1 A ( k k1 ) 1 exp( kl) + ikk exp( kl) F 16kk 1 exp( kl ) A ( k k1 ) 1 exp( kl) + 4k1k 1 + exp( kl) 4kk 1 k k sih k L + 4k k cosh k L ( 1 ) ( ) 1 ( ) 4kk 1 (1.185) (1.186) F (1.187) A ( k + k1 ) sih ( kl) + 4k1k Ο λόγος αυτός είναι ο συντελεστής διάδοσης, 1 F 1 k1 k T 1+ + sih ( kl) (1.188) A 4 k k 1 Με αντικατάσταση των k 1 και k προκύπτει ότι: 4EV ( o E) T (1.189) 4EV ( o E) + Vo sih ( kl ) Για E V o ισχύει η προσέγγιση sih[k L] k L και επομένως χρησιμοποιώντας και k την Vo E προκύπτει ότι : m T (1.190) + mvol Για E>V o ο k είναι μιγαδικός και τότε sih(k L) i si( k L) (1.191) m όπου k ( E Vo ). (1.19) Τότε, όπως προκύπτει από την Εξ.(1.186), ο συντελεστής διάδοσης είναι: 4E( E Vo ) T (1.193) 4E( E Vo) + Vo si ( k l) και έχουμε μέγιστη και πλήρη διάδοση (Τ 1) όταν το ημίτονο στον παρονομαστή μηδενίζεται, δηλαδή όταν είναι: k L π (0,1,,3,...). (1.194) Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα φαινόμενο συντονισμού, όπου παρατηρείται μέγιστη διάδοση μέσα από το φράγμα δυναμικού όταν το πλάτος του φράγματος είναι π π ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους, ή L λ. Στις περιπτώσεις αυτές, η k k διάδοση είναι πλήρης (Τ1) και η πιθανότητα ανάκλασης μηδενίζεται. 1-6

29 Για k L >> 1 και V o >>E, έχουμε sih(k L) 1 exp(k L) και επομένως ( E) 16EVo T exp m ( Vo E) L (1.195) Vo που είναι ένας συντελεστής διάδοσης εκθετικά φθίνων με το πλάτος L του φράγματος δυναμικού. Στις περιπτώσεις που έχουμε κάποιο σταθερό δυναμικό V o >>E, η δυνατότητα να περάσει το σωματίδιο μέσα από το δυναμικό (που ονομάζεται φαινόμενο σήραγγας) δίνεται κατά προσέγγιση από αυτόν τον τύπο. Στην πιο γενική περίπτωση, όπου το δυναμικό V(x) είναι συνάρτηση του x, ο συντελεστής διάδοσης είναι περίπου ίσος με L T ( σταθ ) exp m V( x) Edx. (1.196) 0 Η σχέση αυτή ερμηνεύει το φαινόμενο της ραδιενεργού διάσπασης με εκπομπή σωματιδίου α. Το σωματίδιο α βρίσκεται παγιδευμένο στον πυρήνα μέσα σε ένα πηγάδι δυναμικού, που οφείλεται στο συνδυασμό των ισχυρών ελκτικών πυρηνικών δυνάμεων και των απωστικών δυνάμεων Coulomb. Σύμφωνα με την κλασική φυσική είναι αδύνατο για το σωματίδιο α, το οποίο δεν διαθέτει την απαιτούμενη ενέργεια, να υπερπηδήσει το φράγμα δυναμικού που δημιουργείται. Η Κβαντομηχανική πρόβλεη όμως είναι ότι υπάρχει μια πιθανότητα, μέσω του φαινομένου σήραγγας, να διαφύγει το σωματίδιο. Η ερμηνεία αυτού του φαινομένου υπήρξε ιστορικά η πρώτη μεγάλη επιτυχία της Κβαντομηχανικής. 1-7

30 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.