Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε

Transcript

1

2

3 0 ΓΕΝΙΚΕΣ Θέµ ο Τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Ν δειχθεί ότι: ΒΕ = ΕΓ Ε Θέµ ο Στη διγώνιο Β τετργώνου ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ο. Ν δειχθεί ότι: Γ - ΓΟ = Ο Ο Θέµ ο Η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγρµµένο κύκλο του ΑΒΓ στο Ε, ν δειχθεί ότι: ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ ΑΕ Θέµ 4 ο Αν Ο το µέσο της πλευράς Α τρπεζίου ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ), ν δειχθεί ότι: (ΟΑΒ) + (ΟΓ ) = (ΟΒΓ) Θέµ 5 ο ΑΒΓ ΕΖ είνι κνονικό εξάγωνο κι Σ το σηµείο τοµής των ΑΓ, Β. Ν δειχθεί:. ΑΓ = ΓΣ β. H Γ = ΕΗ, όπου Η το σηµείο τοµής των Β, ΓΕ. Θέµ 6 ο Αν Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων Α, ΓΕ κνονικού πεντγώνου ΑΒΓ Ε, τότεq ΟΓ = ΕΟ ΕΓ Θέµ 7 ο Με διµέτρους τ τρί ίσ µέρη Α = Ε = ΕΒ που χωρίζετι η διάµεσος ΑΒ κύκλου (Ο, R), γράφουµε τρί ηµικύκλι τ δύο προς το ίδιο µέρος τη ΑΒ. Ν βρεθί ο λόγς των εµβδών των δύο µερών που ο κύκλος (Ο, R) χωρίζετι πό τ τρί ηµικύκλι.

4 58. Επνληπτικά θέµτ Θέµ 8 ο Αν τυχίο σηµείο στη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, ν δειχθεί ότι: ΑΒ = Α + Β Γ Θέµ 9 ο Σε κύκλο (Ο,R) µε διάµετρο ΑΒ, η χορδή Γ // ΑΒ. Αν Μ τυχίο σηµείο της ΑΒ ν δειχθεί ότι: ΜΓ + Μ = ΜΑ + ΜΒ Θέµ 0 ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ, το Η είνι ορθόκεντρο. Ν δειχθεί ότι: ΗΒ - ΗΓ = ΑΒ - ΑΓ. Θέµ ο Σε κύκλο (Ο,R) το σηµείο Γ βρίσκετι στην προέκτση της διµέτρου ΑΒ. Αν Γ το εφπτόµενο τµήµ κι η Α τέµνει την κάθετη στην ΑΓ, τη Γx, στο Ε, ν δειχθεί ότι: Γ = ΑΓ - Α Ε Θέµ ο Αν Ο τυχίο σηµείο εκτός της γωνίς Α κι της κτ κορυφήν της στο πρλληλόγρµµο ΑΒΓ, ν δειχθεί ότι: (ΟΑΓ) = (ΟΑΒ) + (ΟΑ ). Θέµ ο Αν Μ το σηµείο επφής του εγγεγρµµένου κύκλου κι της υποτείνουσς ΒΓ ορθ. τριγώνου ΑΒΓ, ν δειχθεί ότι: (ΑΒΓ) = ΒΜ ΜΓ. Θέµ 4 ο Αν ΚΛ κι ΜΝ χορδές κάθετες στον κύκλο (Ο,R), ν δειχθεί ότι: (ΟΚΜ) = (ΟΛΝ). Θέµ 5 ο Σε κύκλο (Ο,R) έχουµε τις χορδές ΑΒ = R, ΑΓ = R προς το ίδιο µέρος του Α. Ν δειχθεί ότι ΒΓ = λ κι ν βρεθεί το εµβδόν του µικτόγρµµου ΑΒΓ. ΕΜΒΑ Α Θεµ 6 ο Αν Κ είνι το βρύκεντρο τριγώνου ΑΒΓ, τότε: ( KAB ) = ( KBΓ) = ( ΚΑΓ) = ( ΑΒΓ)

5 Επνληπτικά θέµτ 59. Θέµ 7 ο Πρλληλόγρµµου οι δυο προσκείµενες πλευρές έχου µήκη 6m, 8m κι σηχµτίζουν γωνί 60 ο. Ν βρεθούν οι διγώνιοι κι το εµβδόν του. Θέµ 8 ο Από σηµείο Σ µις διγωνίου πρλληλογράµµου φέρνουµε πράλληλες προς τις πλευρές οπότε σχηµτίζοντι τέσσερ πρλληλόγρµµ. Ν ποδειχθεί ότι δύο πό τ 4 πρλληλόγρµµ είνι ισοδύνµ. Θέµ 9 ο Από τις κορυφές τετρπλεύρου φέρουµε πράλληλες προς τις διγώνιες. Ν δειχθεί ότι σχηµτίζετι πρ/µο µε διπλάσιο εµβδόν πό το τετράπλευρο. ( ΕΖΗ) = (ΑΒΓ ) Θέµ 0 ο Τ µέσ των πλευρών τετρπλεύρου ορίζουν πρ/µο που έχει εµβδόν το µισό πό το εµβδόν του τετρπλεύρου ( ΕΖΗ) = (ΑΒΓ ). ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ - ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Θέµ ο Ν βρεθεί το εµβδόν του µικρότερου κυκλικού τµήµτος, που ορίζει σε κύκλο (Ο,R) η πλευρά:. ισοπλεύρου τριγώνου β. τετργώνου γ. εξγώνου Θέµ ο Ν δειχθεί ότι το εµβδόν της κυκλικής στεφάνης δύο οµόκεντρων κύκλων, είνι ίσο µε το εµβδόν του κύκλου, που έχει διάµετρο τη χορδή του µεγλύτερου που εφάπτετι στον µικρότερο κύκλο. Θέµ ο Σε κύκλο (Ο, R) είνι εγγεγρµµένο κνονικό εξάγωνο. Ν βρεθεί το εµβδόν του µέρους του κύκλου που βρίσκετι εκτός του εξγώνου. Θέµ 4 ο Κνονικό εξάγωνο είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R). Με κέντρο την κορυφή Α κι κτίν R γράφουµε τόξο ΒΖ µέσ στο εξάγωνο. Ν βρεθεί το εµβδόν του µικτόγρµµου πεντγώνου.

6 60. Επνληπτικά θέµτ Θέµ 5 ο Ν βρεθεί το εµβδόν του κύκλου που είνι εγγεγρµµένος σε κυκλικό τοµέ κτίνς R κι γωνίς:. 60 ο β. 0 ο γ. 90 ο Θέµ 6 ο Προεκτείνουµε τυχί κτίν ΟΑ κύκλου (Ο,R) κτά τµήµ ΑΒ = R κι φέρνουµε την εφπτοµένη ΒΓ. Ν βρεθεί το εµβδόν του µικτόγρµµου τριγώνου ΑΒΓ. Θέµ 7 ο ίνετι κύκλο (Ο, R) κι διάµετρος ΑΒ. Γράφουµε κύκλο (Α, λ4). Ν βρεθεί το εµβδόν του κοινού µέρους των δύο κύκλων. Θέµ 8 ο Έν κνονικό ν-γωνο είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο κτίνς 0. Το σύστηµ του ν-γωνου έχει µήκος 75.. Ν βρείτε το µήκος της πλευράς του ν-γωνου κι το είδος του. β. Ν βρείτε το εµβδόν του. γ. Έν άλλο κνονικό ν-γωνο σχηµτίζετι πό τις εφπτόµενες στις κορυφές του πρώτου. Ν βρείτε το είδος του κνονικού ν-γωνου που σχηµτίζετι µε υτόν τον τρόπο κι ν υπολογίσετε της κτίν του. Θέµ 9 ο. Έν ρολόι έχει λεπτοδείκτη 5cm. Ποιά πόστση θ δινύσει η µύτη του λεπτοδείκτη πό τις 9 το πρωί εώς τις το πόγευµ; β. Ο κυλιόµενος διάδροµος σε έν εροδρόµιο λµβάνει κίνηση πό έν τροχό κτίνς 0cm. Ποι πόστση θ δινύσει µι βλίτσ επάνω στο διάδροµο ν ο τροχός εκτελέσει 0 περιστροφές; Θέµ 0 ο Η Ελλάδ έχει έκτση.000km. Η έκτση υτή είνι περίπου ίση µε το εµβδόν κυκλικού δίσκου κτίνς: Α. 05km B. 405km Γ. 505km. 005km E. 55km Θέµ ο ίνετι κύκλος (Ο,R) κι δύο κτίνες ΟΑ, ΟΒ που σχηµτίζουν γωνί 60 ο. Αν ΒΓ είνι η πόστση του Β πό την εφπτοµένη στο Α, ν υπολογισθεί το εµβδόν του µικτόγρµ- µου τριγώνου ΑΒΓ.

7 Επνληπτικά θέµτ 6. Θέµ ο Πρ/µου ΑΒΓ προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α κτά τµήµτ ΒΕ = ΑΒ, ΓΖ = ΒΓ, Η = Γ κι ΑΘ = Α. Ν δειχθεί ότι (ΕΖΗΘ) = 5(ΑΒΓ ). Θέµ ο ίνετι τετράπλευρο ΑΒΓ κι σηµείο Ο στο εσωτερικό του. Από το Ο φέρνουµε τις κάθετες, ΟΚ στην ΑΒ ώστε ΟΚ = ΑΒ, ΟΛ στη ΒΓ, ώστε ΟΛ = ΒΓ, ΟΜ στη Γ, ώστε ΟΜ = Γ κι ΟΝ στη Α, ώστε ΟΝ = Α. Ν δειχθεί ότι: (ΚΛΜΝ) = (ΑΒΓ ). Θέµ 4 ο Ν δειχθεί ότι το εµβδόν του τρπεζίου, που έχει κορυφές τ άκρ διµέτρου ΑΒ κύκλου (Κ, R) κι τις προβολές τους κι Ε στην εφπτοµένη σε τυχίο σηµείο Γ του κύκλου, είνι διπλάσιο πό το εµβδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Θέµ 5 ο Αν έν τρπέζιο ΑΒΓ είνι ισοσκελές κι οι µη πράλληλες πλευρές του τέµνοντι κάθετ, τότε ( ) β ΑΒΓ = (όπου (ΑΒ) =, (Γ ) = β κι > β). 4 Θέµ 6 ο Στο τρπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) δίνοντι (ΑΒ) = κι (Γ ) = β. Αν Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων, ν δειχθεί ότι ( Ο Γ) ( ΟΑΒ) υ β =, όπου υ το ύψος του τρπεζίου κι β >. Θέµ 7 ο ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι Η το ορθόκεντρο. Με διάµετρο τη ΒΓ γράφουµε κύκλο, που τέµνει το ύψος Α στο Ρ. Ν δειχθεί ότι: (ΒΓΡ) = (ΑΒΓ) (ΒΗΓ). Θέµ 8 ο Αν Σ σηµείο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ κι οι ευθείες ΑΣ, ΒΣ κι ΓΣ τέµνουν τις ΒΓ, ΑΓ κι Σ ΣΕ ΣΖ ΑΒ στ, Ε κι Ζ, τότε ισχύει: + + =. Α ΒΕ ΓΖ Θέµ 9 ο Σε κάθε τρίγωνο µε πλευρές, β, γ κι διµέσους µ, µ β, µ γ ισχύει: ( β γ ) µ + ( γ ) µ + ( β ) µ = 0 β γ

8 6. Επνληπτικά θέµτ Θέµ 40 ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ ν δειχθούν οι σχέσεις: R ρ R ρ R ρ = 4Rρ β. υ. ( )( )( ) β γ R R β γ = R + R β γ γ. ρr Ε = δ. β = γ = 4ρR R ρ Στο τρίγωνο ΑΒΓ ν δειχθούν οι σχέσεις: Θέµ 4 ο β γ γ β. + + = 0 R R R β γ β. Ε = ρr β R R + R β γ ρ Θέµ 4 ο Αν Ο κι Ο το έγκεντρο κι το πράκεντρο της ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ, ν δειχθεί ότι: β γ( τ ). ( ΑΟ) = β. ( ΑΟ ) τ = Θέµ 4 ο β γ τ τ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση = β + γ, ν δειχθεί ότι: δ = βγ Θέµ 44 ο ίνετι κύκλος (Ο,R) κι τ σηµεί Α, Β συµµετρικά ως προς το Ο. Αν ΜΝ τυχί χορδή του κύκλου, που περνάει πό το Β ν δειχθεί ότι: ( ΑΜ) + ( ΑΝ) + ( ΜΝ) = στθ. Θέµ 45 ο Αν τ σηµεί Α, Β είνι συµµετρικά ως προς το κέντρο Ο κύκλου (Ο, R) κι πό τ Α κι Β δύο τµήµτ ΑΜ κι ΒΝ οµόρροπά πρ/λ µέχρι το κύκλο, ν δειχθεί ότι: ( ΑΜ )(. ΒΝ) = στθ. Θέµ 46 ο Αν Μ τυχίο σηµείο του κύκλου (Κ, R) κι (Λ, ρ) κύκλος που δεν τέµνει τον (Κ, R), ν δειχθεί ότι: υν( Λ, ρ) Μ = ( ΚΛ)( ΜΟ) όπου ΜΟ η πόστση του Μ πό τον ριζικό άξον των δύο κύκλων.

9 Επνληπτικά θέµτ 6. Θέµ 47 ο ύο κύκλοι τέµνοντι ορθογώνι στ Α, Β ότν κι µόνον ότν οι χορδές ΣΑ, ΣΒ, πό τυχίο σηµείο Σ του ενός, τέµνουν τον άλλο κύκλο σε ντιδιµετρικά σηµεί. Θέµ 48 ο Αν ΑΒΓ ΕΖ είνι κνονικό εξάγωνο κι Σ το σηµείο που τέµνοντι οι ΑΓ κι Β, ν δειχθεί ότι: ΑΓ = ΓΣ. Αν Η το σηµείο που τέµνοντι οι Β κι ΓΕ, ν δειχθεί ότι: ΗΓ = ΕΗ Θέµ 49 ο Κνονικού εξγώνου ΑΒΓ ΕΖ οι πλευρές ΑΒ κι Γ τέµνοντι στο Ο. Ν βρεθεί το εµβδόν του τριγώνου ΟΑ, ν είνι γνωστή η κτίν R. Θέµ 50 ο Αν Η το µέσο της πλευράς Γ κνονικού εξγώνου ΑΒΓ ΕΖ πλευράς, ν βρεθεί το εµβδόν των µέρων ΑΒΓΗ κι ΑΗ ΕΖ του εξγώνου. Θέµ 5 ο Ν δειχθεί ότι: 5 = λ 0 λ 6 λ + Θέµ 5 ο Ν δειχθεί ότι το άθροισµ των ποστάσεων τυχίου σηµείου Μ πό τις πλευρές πολυγώνου είνι στθερό. Θέµ 5 ο Σε κύκλο (Ο, R) πίρνουµε διδοχικά τόξ 0 AB = 60, 0 BΓ = 90, 0 Γ = 0. Ν δειχθεί ότι το ΑΒΓ είνι ισοσκελές τρπεζίο, ότι ΑΓ Β κι ν βρεθεί το µήκος των πλευρών κι των διγωνίων του. Θέµ 54 ο Σε κύκλο (Ο,R) οι διάµετροι ΑΒ, Γ είνι κάθετοι. Αν Μ το µέσο της κτίνς ΟΒ κι ο κύκλος (Μ, ΜΓ) τέµνει την ΟΑ στο Ν, ν δειχθεί ότι: ΝΟ = λ0 κι ΝΓ = λ5.

10 64. Επνληπτικά θέµτ Θέµ 55 ο Αν Π κι Π είνι οι περίµετροι Ε, Ε τ εµβδά δύο κνονικών πολυγώνων µε το ίδιο Ε Π πλήθος πλευρών, ν δειχθεί ότι: =. Ε Π Θέµ 56 ο R Σε σηµείο Α κύκλου (Ο,R) φέρνουµε την εφπτοµένη κι ορίζουµε τµήµ ( ΑΒ ) =. Γράφωουµε τον κύκλο (Ο, ΟΒ), που τέµνει την ΒΑ στο Γ. Ν δειχθεί ότι ΑΓ = λ0 του κύκλου (Ο, R). Θέµ 57 ο ίνετι τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R). Με κέντρ τις κορυφές του τετργώνου κι κτίν γράγω τόξ, που τέµνουν τις πλευρές του τετργώνου κι ορίζουν οκτάγωνο. Ν δειχθεί ότι το οκτάγωνο είνι κνονικό κι ν βρεθεί το εµβδόν του. Θέµ 58 ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ρ της ΒΓ κι στο Α φέρνουµε ευθεί ε ΑΡ,, ΡΒ Γ = ΑΒΓ. ΒΒ εγγ ε. Ν ποδειχθεί ότι: ( ) ( ) Θέµ 59 ο Έστω ΑΒ κι Γ χοεδές ενός κύκλου ( Ο, R ) που τέµνοντι κάθετ στο Ρ. Ν ποδειχθεί ότι: (ΟΑΓ) = (ΟΒ ). Θέµ 60 ο ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α = Β Ε = ΑΓ. 8 Ε ΒΓ. Ν δειχθεί ( ) ( ) 0 κι Β= 0. Φέρνουµε τη διάµεσο Γ κι την ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ Θέµ 6 ο κι σηµεί, Ε των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ ντίστοιχ, έτσι ώστε

11 Επνληπτικά θέµτ 65. Α = ΑΒ κι ΑΕ = ΑΓ. Από το µέσο Μ της πλευράς ΑΓ φέρουµε πράλληλη προς 4 ΑΒΗ = Β ΓΕ = ΑΒΓ. την ΑΒ που τέµνει τη ΒΓ στο Η. Ν δειχθεί ( ) ( ) ( ) Θέµ 6 ο ίνετι πρλληλόγρµµο ΒΓ Ε κι σηµείο Α στο εσωτερικό του. Κτσκευάζουµε τ πρλληλόγρµµ Γ ΖΑ κι ΒΕΖΑ. Ν δειχθεί ότι: ( ΒΓ Ε ) = ( ΓΑΖ ) + ( ΒΕΖΑ ). Θέµ 6 ο ίνετι κύκλος (Ο,R) κι δύο κάθετες κτίνες του ΟΑ κι ΟΒ. Με διάµετρο την ΑΒ γράφουµε εκτός του κύκλου ηµιπεριφέρει. Ν δείξετε ότι ο µηνίσκος που σχηµτίστηκε έχει ίδιο εµβδό µε το τρίγωνο ΟΑΒ. Μηνίσκος είνι το σχήµ που περικλείετι πό δύο τόξ που έχουν κοινή χορδή κι βρίσκοντι προς το ίδιο µέρος της. Θέµ 64 ο 0 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ µε Α= 0. Αν ο κύκλος διµέτρου ΒΓ τέµνει τις ΑΒ κι ΑΓ στ κι Ε ντίστοιχ δείξτε ότι ( Α Ε ) = ( ΑΒΓ ). 4 Θέµ 65 ο Σε έν κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ θεωρούµε επί των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α τ σηµεί ΑΕ ΒΖ ΓΗ Θ µ Ε, Ζ, Η, Θ ντίστοιχ κι τέτοι ώστε: = = = = ΕΒ ΖΓ Η ΘΑ ν, όπου µ ν δοσµένος λόγος. Ν υπολογιστεί το εµβδόν του τετρπλεύρου ΕΖΗΘ ως συνάρτηση του εµβδού του τετρπλεύρου ΑΒΓ. Θέµ 66 ο Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου =β + γ, εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R), την διάµεσο Α υτού που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Μ κι Θ στο κ. βάρους του τριγώνου. Ν ποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΘΓΜ είνι πρλληλόγρµµο. Θέµ 67 ο Αν ΑΒΓ τρπέζιο κι Ε, Ζ τ µέσ των βάσεων του ΑΒ, Γ. Ν ποδειχθεί ότι: (ΗΑ )=(ΗΒΓ), ν Η σηµείο της ΕΖ.

12 66. Επνληπτικά θέµτ Θέµ 68 ο Στις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ πίρνουµε τ σηµεί Α Β Γ ώστε,, ΑΒΓ = ΑΒΓ. ΒΑ = ΒΓ ΓΒ = ΓΑ ΑΓ = ΑΒ. Ν ποδειχθεί ότι: ( ) ( ) Θέµ 69 ο Από εσωτερικό σηµείο Ο κυρτού τετράπλευρου ΑΒΓ φέρω ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο κάθετες κι ίσες προς τις ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α ντίστοιχ. Ν ποδειχθεί ότι: ( ) ( ) ΑΒΓ = ΑΒΓ. Θέµ 70 ο ίνετι κύκλος διµέτρου ΑΒ = ρ. Έν σηµείο Γ χωρίζει την ΑΒ σε λόγο. Με διµέτρους ΑΓ κι ΓΒ γράφουµε ηµικύκλι εκτέρωθεν της ΑΒ. Ν βρεθεί ο λόγος των εµβ- δών των δύο χωρίων που ορίζοντι πό τον κύκλο (Ο, ρ) κι τ δύο ηµικύκλι. Θέµ 7 ο Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο, R). Αν το εµβδόν του µη κοινού µέρους του κυκλ. δίσκου (Ο, R) κι του τριγώνου ΑΒΓ είνι 4 Ε= π, ν υπολογισθούν τ κι R.