Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών"

Ιωάννα Βασιλειάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το λόγο των ντίστοιχων υψών. ν δύο τρίγων έχουν ίσ ύψη, τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το λόγο των ντίστοιχων βάσεων. ν δύο τρίγων είνι όµοι, τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς. ν δύο πολύγων είνι όµοι, τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς.. ν µί γωνί ενός τριγώνου είνι ίση ή πρπληρωµτική µε µι γωνί ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εµβδών των δύο τριγώνων είνι ίσος µε το λόγο των γινοµένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες υτές. 5. ν µι κορυφή τριγώνου µεττοπισθεί πράλληλ προς την πένντι πλευρά, το εµβδόν του τριγώνου πρµένει στθερό.

2 ΣΚΗΣΕΙΣ. Σε ρόµβο δίνετι ότι = κι = 5 ο. Ν υπολογίσετε το εµβδόν του ρόµβου. Ν υπολογίσετε την πόστση των πένντι πλευρών του ρόµβου. Είνι () = ηµ = ηµ5ο Κ = Οπότε () = () = Φέρνουµε Κ. Τότε () = Κ = Κ Κ =

3 . Έν ορθογώνιο έχει περίµετρο κι εµβδόν. Ν υπολογιστούν τ µήκη των διγωνίων του ορθογωνίου. Ν βρεθεί το µέτρο της γωνίς των διγωνίων Έστω x, y οι διστάσεις του ορθογωνίου µε x > y Τότε x + y = x + y = () Κι Ε = x y xy = () Λύνοντς το σύστηµ των () κι () βρίσκουµε x = Οπότε = x + y ( ) = = ( ) άρ = = + ( ) x ( ) Ο ω, y = y Έστω ω η γωνί των διγωνίων. (Ο) = () Ο Ο ηµω = ηµω = ηµω = = = ( ) Άρ ω= 60 ο

4 . Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου είνι =0, β =, γ =. Ν υπολογίσετε τ ύψη του κι τις κτίνες του εγγεγρµµένου κι περιγεγρµµένου κύκλου. Είνι Ε = τ( τ )( τ β)( τ γ ) = 8(8 0)(8 )(8 ) = 6 Άρ υ = υ β = β υ γ = γ τ( τ )( τ β)( τ γ ) = 6 = 0 5 τ( τ )( τ β)( τ γ ) = 6 = 6 τ( τ )( τ β)( τ γ ) = Ε = τ ρ 6 = 8ρ ρ = 6 βγ Ε= R 6 = 680 R 6 = 7 R=

5 5. Έν τρπέζιο έχει βάσεις =, = κι ύψος υ =. Ν υπολογίσετε τ εµβδά των τριγώνων στ οποί χωρίζετι το τρπέζιο πό τις διγώνιες του. Έστω ΗΟΘ το ύψος του τρπεζίου. Επειδή // τ τρίγων Ο κι Ο είνι όµοι µε λόγο οµοιότητς λ = = = Θ ( Ο) Εποµένως ( Ο ) = ( Ο) λ ( Ο ) = (Ο) = (Ο) ΟΘ κόµ = λ = ΟΘ = ΟΗ ΟΗ ΟΘ= (ΗΘ ΟΘ) Συνεπώς ΟΘ= ΗΘ (Ο) = ΟΘ = = ΟΘ= ΗΘ ΟΘ = = Ο Η (Ο) = (Ο) = (Ο) (Ο) = Ο + Ο = 80 ο ( Ο) ( Ο ) =Ο Ο Ο Ο =Ο Ο = λ = Οπότε ( Ο ) = (Ο) = Οµοίως (Ο) =

6 6 5. ν ύψος στην υποτείνουσ ορθογωνίου τριγώνου, δείξτε ότι Τ ορθογώνι τρίγων, έχουν ω= ɵ ϕ επειδή είνι οξείες µε κάθετες πλευρές. ( ) γ = ( ) β Άρ τ τρίγων είνι όµοι µε λόγο οµοιότητς λ = γ β ( ) Οπότε ( ) = λ ( ) γ = ( ) β β ω γ φ 6. Το τρπέζιο έχει βάσεις =, = 8 κι µη πράλληλες πλευρές = 5 κι = 7. Ν βρείτε το εµβδόν του τρπεζίου. πό το φέρνουµε τη Η//. Τότε το Η είνι πρλληλόγρµµο. Οπότε Η = =, Η = = 5 κι Η = Η = Το ύψος Θ του τριγώνου Η είνι κι ύψος του τρπεζίου. Είνι δε Θ = τ( τ Η)( τ Η)( τ ) Η 5 Η Θ 7 = 8(8 5)(8 )(8 7) = 6 () = ( + ) Θ (+ 8) 6 = = 6

7 7 7. Θεωρούµε τ σηµεί κι Ε των πλευρών κι τριγώνου, έτσι ώστε = κι Ε=. ν Μ είνι το µέσο της, ν υπολογίσετε το εµβδόν του τριγώνου ΕΜ συνρτήσει του εµβδού του τριγώνου. ( Ε) κοινή ( ) = Ε = Άρ (Ε) = () Οµοίως (Μ) = () = Ε κι (ΕΜ) = 8 () Μ Οπότε (ΕΜ) = () (Ε) (Μ) (ΜΕ) = () () () 8 () = 5 () 8. Σε τρίγωνο δίνετι ότι () = ( τ β )( τ γ ). είξτε ότι β+ γ =. () = ( τ β )( τ γ ) τ( τ )( τ β)( τ γ ) = ( τ β)( τ γ ) τ( τ ) = τ(τ )= +β+γ +β+γ = +β+γ β+γ = (β + γ) = (β + γ) = β + γ =

8 8 9. ίνετι οξυγώνιο τρίγωνο µε µήκη πλευρών γ =, β = + κι εµβδόν βγ Ε = Ν δείξετε = Ν υπολογίσετε την κτίν R του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου i Ν υπολογίσετε το µήκος της προβολής της πλευράς πάνω στην πλευρά Ε = βγ β γ ηµ = βγ ηµ = πό τον νόµο των συνηµιτόνων έχουµε = β + γ βγσυν = 5 ο = (+ ) + (+ ) συν5 ο = ( + ) = άρ = βγ βγ βγ Ε = = R = = R R = 6 i ν είνι η προβολή της στη, πό την γενίκευση του Πυθγορείου στο οξυγώνιο τρίγωνο έχουµε = + (+ ) = + = 6

9 9 0. Μί ευθεί πράλληλη στην πλευρά τριγώνου τέµνει τις, στ, κι Ε ντίστοιχ,. έτσι ώστε =. είξτε ότι : (Ε) = ()() = () Ν βρείτε το εµβδόν του τρπεζίου Ε συνρτήσει του εµβδού του (Ε) = ()() ( Ε) ( Ε ) = ( ) ( Ε) () Επειδή κοινή, η () γίνετι Ε Ε = Ε Οµοίως ()() = () κοινή Όµως = = Ε ( Ε) ( ) = Ε () + = + Κι επειδή Ε //, θ είνι κι Η () γίνετι ( Ε) ( ) = 9 που ισχύει, φού Ε// Ε = = (Ε) = 9 () Ε Οπότε (Ε) = () (Ε ) = () 9 () = 8 9 (). ν σε τρίγωνο ισχύει βγ = 6Rρ, ν ποδείξετε ότι β + γ =. βγ Ε = R βγ R = E Ε = τρ ρ = E τ βγ E βγ = 6Rρ βγ = 6 E τ τ = + β + γ = β + γ =

10 0. Στο πρκάτω σχήµ, τ Μ, Ν είνι µέσ των, ντίστοιχ. είξτε ότι ( Ν) ( Μ ) = (ΝΚ) = (ΚΜ) Τ τρίγων Μ κι Ν έχουν την γωνί κοινή άρ πό το προηγούµενο ερώτηµ έχουµε ( Ν) ( Μ ) = (Ν) = (Ν) Ν Κ Μ ( Ν) ( Μ ) = Ν Μ = Μ Ν Μ Ν = (ΜΚΝ) + (ΚΜ) = (ΜΚΝ) + (ΝΚ) (ΚΜ) = (ΝΚ). Στο διπλνό σχήµ είνι Ο, ΟΕ, ΟΖ κι Ο =, ΟΕ =, ΟΖ = είξτε ότι () = ( ΖΟΕ) Ζ Λ Ο Κ Ε Ν υπολογίσετε το εµβδόν του τριγώνου ΕΖ συνρτήσει του εµβδού του τριγώνου. Στο τετράπλευρο Λ Ο Κ του πρπάνω σχήµτος είνι Κ = Λ = 90 ο, άρ + Ζ ΟΕ = 80 ο ( ) ( ΖΟΕ ) = ΖΟ ΟΕ Άρ () = ( ΖΟΕ) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι Οπότε = ΖΟ ΟΕ ΖΟ ΟΕ = () = ( ΖΟ) κι () = ( ΟΕ) (ΕΖ) = (ΖΟΕ) + (ΖΟ) + ( ΟΕ) = ()

11 . ίνετι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς. Φέρουµε τη διχοτόµο της εξωτερικής γωνίς κι πό το, την Μ. είξτε ότι (Μ) = (Μ) = 8 ν Η ύψος του τριγώνου Μ, τότε Η =. Επειδή η είνι διχοτόµος της εξ γωνίς, 0 ο θ είνι ɵ = 60 ο, οπότε = 0 ο, Η Μ άρ Μ = = 60 ο60ο 60 ο (Μ) = Μ ηµ ɵ Μ = = ηµ0 ο = = 8 (Μ) = Μ ηµ ɵ Μ = ηµ60 ο = Νόµος συνηµιτόνων : 8 Μ = + Μ Μ συν0 ο = Άρ Μ = (Μ) = Μ Η = 8 7 = 7 Η Η =

12 5. Έστω πρλληλόγρµµο. Στις προεκτάσεις των πλευρών του,,, θεωρούµε τµήµτ Ε =, Ζ =, Η = κι Θ =. Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είνι πρλληλόγρµµο (ΕΖΗΘ) = 5() Τ τρίγων ΗΘ κι ΕΖ έχουν ) Η = Ε, ίσες προεκτάσεις των ίσων τµηµάτων κι. β) Θ = Ζ, σν θροίσµτ ίσων τµηµάτων γ) =, σν πρπληρώµτ των ίσων γωνιών κι του πρλλη- λογράµµου. Άρ τ τρίγων είνι ίσ, οπότε ΘΗ = ΕΖ. Οµοίως ποδεικνύετι ότι ΘΕ = ΗΖ. Συνεπώς το ΕΖΗΘ είνι πρλληλόγρµµο φού έχει νά δύο τις πένντι πλευρές του ίσες. Προφνώς, τρίγωνο = τρίγωνο άρ () = () = () Η Θ Ζ Ε Στο τρίγωνο Θ, η είνι διάµεσος, άρ (Θ) = () = () Εποµένως (ΘΕ) = () Οµοίως Οµοίως ποδεικνύετι ότι (ΗΘ) = (ΗΖ) = (ΕΖ) = () (ΘΕ) = (Θ) = (ΘΕ) = () Οπότε (ΕΖΗΘ) = (ΗΘ) + (ΗΖ) + (ΕΖ) +(ΘΕ) +() = 5()

13 6. ίνετι τρίγωνο κι ο κύκλος (Ο, ρ) που έχει το κέντρο του στην κι εφάπτετι των κι. ν, β, γ είνι οι πλευρές του τριγώνου είξτε ότι ρ = β+γ Προφνώς είνι τ( τ )( τ β)( τ γ ) () = (Ο) + (Ο) () = ΟΚ + ΟΛ Κ Λ () = γ ρ + β ρ Ο () = ρ(β + γ) τ( τ )( τ β)( τ γ ) = ρ (β + γ) ρ = β+γ τ( τ )( τ β)( τ γ )

Σχετικά έγγραφα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι