Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Transcript

1 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση i) κτός ενλλάξ κι είνι ίσες, φού = γ κι γ = β ii) ίνι πρπληρωµτικές, φού + δ = 80 ο κι = γ. Ν εξηγήσετε γιτί η είνι πράλληλη στην 65 ο ω 45 ο πάντηση Προφνώς η γωνί ω είνι ίση µε ˆω= 360 ο 45 ο =5 ο φού ˆω+= ˆ 5 ο + 65 ο =80 ο θ είνι

2 3. ν ω = 0 ο θ κι φ = 60 ο + θ ν εξηγήσετε γιτί ψ ψ ω σ φ ψ ψ πάντηση σ + φ = ω + φ = 0 ο θ + 60 ο + θ = 80 ο ψ ψ 4. Ν νφέρετε 5 τρόπους γι ν ποδείξουµε ότι δύο ευθείες είνι πράλληλες πάντηση i) ίνι κάθετες στην ίδι ευθεί ii) Τέµνοντι πό τρίτη κι σχηµτίζουν δύο εντός ενλλάξ γωνίες ίσες iii) Τέµνοντι πό τρίτη κι σχηµτίζουν δύο εντός εκτός κι επί τ υτά µέρη γωνίες ίσες iν) Τέµνοντι πό τρίτη κι σχηµτίζουν δύο εντός κι επί τ υτά µέρη γωνίες πρπληρωµτικές ν) ίνι πράλληλες προς µί τρίτη ευθεί 5. ύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους πράλληλες είνι i) Συµπληρωµτικές; ii) Ίσες; iii) Πρπληρωµτικές; iν) Κνέν πό τ πρπάνω; ικιολογήστε την πάντηση σς πάντηση ίνι ίσες διότι έχουν τις πλευρές πράλληλες κι είνι οξείες

3 3 σκήσεις εµπέδωσης. ίνετι ισοσκελές τρίγωνο κι ευθεί ε πράλληλη προς τη βάση του, που τέµνει τις κι στ κι ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές. ε ε ˆ = ˆ κι ˆ = ˆ () τρ. ισοσκελές = ˆ ˆ () (), () ˆ = ˆ άρ τρ, ισοσκελές. ίνετι γωνί ˆΟ y κι σηµείο της διχοτόµου της. ν η πράλληλη πό το προς την Ο τέµνει την Οy στο, ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο Ο είνι ισοσκελές. O A δ y Ο ˆ =Ο ˆ λλά Ο ˆ =Ο ˆ Άρ ˆ =Ο ˆ τρ. Ο ισοσκελές. 3. ίνετι γωνί ˆΟ y κι η διχοτόµος της Ο. πό σηµείο της Οy φέρουµε πράλληλη προς την Ο, που τέµνει την προέκτση της Ο στο. Ν ποδείξετε ότι Ο = Ο. πράλληλη Ο =Ο ˆ ˆ (εντός ενλλάξ) κι ˆ=Ο ˆ (εντός εκτός επί τ υτά) Ο ˆ =Ο ˆ O y λλά άρ = ˆ ˆ τρ. Ο ισοσκελές µε Ο = Ο

4 4 4. ίνετι ισοσκελές τρίγωνο ( = ) κι σηµείο της πλευράς. ν ο κύκλος (, ) τέµνει τη στο, ν ποδείξετε ότι πράλληλη. = (κτίνες) = ˆ ˆ = = ˆ ˆ Άρ ˆ = ˆ 5. Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου πίρνουµε ντίστοιχ τ τµήµτ = κι =. Ν ποδείξετε ότι πράλληλη. (Π--Π) τρ. = τρ. = ˆ ˆ πράλληλη 6. ίνετι κύκλος (Ο, ρ) κι Μ το µέσο χορδής του. Φέρουµε Ο ΟΜ. Ν ποδείξετε ότι Ο πράλληλη. Μ µέσο της χορδής ΟΜ Ο Μ λλά κι ΟΜ Ο άρ Ο πράλληλη

5 5 ποδεικτικές σκήσεις. ίνετι ισοσκελές τρίγωνο ( = ) κι η διάµεσός του Μ. Φέρουµε προς το ηµιεπίπεδο που δεν νήκει το κι πίρνουµε σε υτή τµήµ =. Ν ποδείξετε ότι η είνι διχοτόµος της γωνίς Μ ˆ. M Μ διάµεσος του ισοσκελούς Μ λλά κι άρ Μ ˆ = ˆ () = = τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ () () κι () ˆ = ˆ άρ διχοτόµος. ίνετι τρίγωνο κι η διχοτόµος του. πό την κορυφή φέρουµε που τέµνει την προέκτση της στο. Ν ποδείξετε ότι = + ρκεί ν ποδείξουµε ότι = ˆ= ˆ κι ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ Άρ = ˆ ˆ δηλδή τρ. ισοσκελές µε = 3. ίνετι τρίγωνο µε < κι η εξωτερική διχοτόµος του. πό την κορυφή φέρουµε που τέµνει την στο. Ν ποδείξετε ότι =. ρκεί ν ποδείξουµε ότι = ή ρκεί ˆ = ˆ ˆ = ˆ κι ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ Άρ ˆ = ˆ

6 6 4. πό το έκκεντρο Ι τριγώνου φέρουµε ευθεί πράλληλη της, που τέµνει τις κι στ σηµεί κι ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι = + Ι ˆ I = Bˆ B ˆ = Bˆ I Ι έκκεντρο Άρ ˆ I = Bˆ τρ. Ι ισοσκελές µε Ι = () Οµοίως Ι = () () + () Ι + Ι = + = + 5. πό το έκκεντρο Ι τριγώνου φέρουµε Ι κι Ι. Ν ποδείξετε ότι η περίµετρος του τριγώνου Ι ισούτι µε τη. I Ι ˆ I = Bˆ Ι έκκεντρο B ˆ = Bˆ Άρ ˆ I = Bˆ τρ. Ι ισοσκελές µε Ι = () Οµοίως Ι = () () + () Ι + Ι = + Ι + Ι + = + + Άρ περίµετρος του τρ. Ι =

7 7 Σύνθετ Θέµτ. ίνετι τρίγωνο, η διχοτόµος του κι η εξωτερική διχοτόµος του B. Θεωρούµε δύο σηµεί κι Κ της πλευράς. ν ο κύκλος (, ) τέµνει τη στο Ζ, ενώ ο κύκλος (Κ, Κ) τέµνει τη στο Μ, ν ποδείξετε ότι ΖΜΚ. Πρτηρούµε ότι οι Ζ κι ΜΚ είνι. M K 4 3 Ζ Προσπθούµε ν το ποδείξουµε = Ζ (κτίνες) Z ˆ = Bˆ διχοτόµος B ˆ = Bˆ Άρ Z ˆ = Bˆ κι επειδή είνι εντός ενλλάξ, θ έχουµε Ζ Οµοίως ΜΚ. πό τ άκρ ευθυγράµµου τµήµτος φέρουµε προς το ίδιο ηµιεπίπεδο δύο πράλληλες ηµιευθείες κι y. Πίρνουµε τυχίο σηµείο του, κι στις, y τ σηµεί κι ντίστοιχ, ώστε = κι =. Ν ποδείξετε ότι η γωνί ˆ είνι ορθή. θ y Φέρουµε θ κι y Τότε ˆ = ˆ (εντός ενλλάξ) = ˆ = ˆ Άρ ˆ = ˆ 3 4 διχοτόµος της θ ˆ Οµοίως διχοτόµος της θ ˆ Άρ είνι σν διχοτόµοι δύο εφεξής πρπληρωµτικών γωνιών.

8 8 3. πό το πράκεντρο Ι τριγώνου µε < φέρουµε πράλληλη στην, που τέµνει τις πλευρές κι στ σηµεί κι ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι =. Ι Ι = ˆ ˆ Ι διχοτόµος ˆ = ˆ Άρ Ι =ˆ τρ. Ι ισοσκ. ˆ µε Ι = () Ι Οµοίως Ι.. Ι = () () () =

9 9 4. ίνετι τρίγωνο µε < κι Μ σηµείο της πλευράς. πό το Μ φέρουµε πράλληλη προς τη διχοτόµο της γωνίς ˆ, που τέµνει τις κι στ σηµεί κι Ζ ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι i) Το τρίγωνο Ζ είνι ισοσκελές. ii) + Ζ = στθερό + iii) Aν Μ το µέσο της τότε ) = Ζ = β) = Ζ = Ζ Ζ Μ Μ Κ i) ΖΜ ˆ = ˆ κι ˆΖ = ˆ διχοτόµος ˆ = ˆ Άρ ˆ =Ζ ˆ οπότε τρ. Ζ ισοσκελές µε = Ζ ii) BE + Ζ = + + Ζ = = + = στθερό iii) πό το φέρουµε πράλληλη στην, που τέµνει την ΖΜ σε σηµείο Κ. (-Π-) τρ. ΜΚ = τρ.μ Κ = () πό i) έχουµε =Ζ ˆ ˆ =Ζ ˆ Κ =Κ ˆ ˆ Άρ Ζ ˆ =Κ ˆ τρ. ΖΚ ισοσκελές µε Κ = Ζ () πό () κι () = Ζ (ii) BE = AB + A + = + = = - + = =