ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

Transcript

1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό επίπεδο ισχύει το επόµενο Βσικό Θεώρηµ Αν Α(, ), ( ) Πράδειγµ B, είνι δύο σηµεί ενός κρτεσινού επιπέδου, τότε: ( AB) = ( ) + ( ) = +. Η πόστση των σηµείων Α( 5, ) κι Β (, 8) = είνι: ΑΒ = = = = 00 = 0. Πόρισµ Η πόστση ενός σηµείου M, του κρτεσινού επιπέδου πό την ρχή Ο των ξόνων δίνετι πό τον τύπο: Ο Μ(, ) ( ΟΜ) = + Εφρµογή ( Εξίσωση κύκλου ) ίνετι ο κύκλος µε κέντρο την ρχή O των ξόνων κι κτίν ρ. Έν σηµείο Μ(, ) νήκει στον κύκλο ν κι µόνο ν ισχύει: Πρτήρηση + = ρ. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι ότι ο κύκλος µε K, του κρτεσινού επιπέδου κι κτίν ρ έχει κέντρο έν τυχίο σηµείο εξίσωση: o ο o ο : + = ρ. Ο Μ, ρ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνετι η συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α κι µε τιµές στο R. Γρφική πράστση της λέγετι το σύνολο των σηµείων Μ(, ) του κρτεσινού επιπέδου Ε γι τ οποί ισχύει =, δηλδή το σύνολο των σηµείων M, ( ), A κι συµολίζετι Εποµένως. = { = } ή ( ) M, Ε / A κι { } = M, Ε / A Εξίσωση της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης Η εξίσωση = η οποί επληθεύετι µόνο πό τ ζεύγη (, ) που είνι οι συντετγµένες όλων των σηµείων της, λέγετι εξίσωση της γρφικής πράστσης της. Μ, του κρτεσινού επιπέδου, νήκει στη γρφική πράστση της Το σηµείο συνάρτησης, ν κι µόνο ν ισχύει =, δηλδή ν κι µόνο ν οι συντετγµένες του Μ επληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης. Πρτηρήσεις Ότν δίνετι η γρφική πράστση µις συνάρτησης µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α τότε: (i) Γι ν ρούµε την τιµή της ότν µί ευθεί κάθετη στον άξον στο σηµείο που ντιστοιχεί ο ριθµός, η οποί τέµνει την γρφική πράστση στο σηµείο Μ. Η τετγµένη του Μ είνι ίση µε ( ). = φέρνουµε () O Μ Είνι φνερό ότι κάθε ευθεί κάθετη στον άξον τέµνει την γρφική πράστση της συνάρτησης το πολύ σε έν σηµείο. Σε ντίθετη περίπτωση θ υπάρχει κάποιο στοιχείο του πεδίου ορισµού της στο οποίο θ ντιστοιχίζοντι δύο ή περισσότεροι πργµτικοί ριθµοί. () () Ν Μ (ii) Γι ν ρούµε τ A γι τ οποί η πίρνει την τιµή φέρνουµε µί ευθεί κάθετη στον άξον στο σηµείο που ντιστοιχεί ο ριθµός, η οποί τέµνει την γρφική πράστση στ σηµεί Κ, Λ, Μ µε τετµηµένες,, = = = =.. Τότε ( ) ( ) ( ) Κ Λ Μ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

3 ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ Α. Οι τετµηµένες των σηµείων στ οποί η γρφική πράστση µις συνάρτησης τέµνει τον = 0. Οι άξον είνι οι ρίζες της εξίσωσης τετγµένες των σηµείων υτών είνι µηδέν. Β. Η τετγµένη του σηµείου στο οποίο η γρφική πράστση µις συνάρτησης τέµνει τον άξον 0. Η τετµηµένη του σηµείου υτού είνι είνι προφνώς µηδέν. O Γ. Γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση µις συνάρτησης ρίσκετι πάνω πό τον άξον, λύνουµε την νίσωση () 0 >, ενώ γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η την νίσωση < 0. ρίσκετι κάτω πό τον άξον, λύνουµε ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α. Οι τετµηµένες των σηµείων στ οποί τέµνοντι οι γρφικές πρστάσεις δύο συνρτήσεων, g είνι οι λύσεις της εξίσωσής: = g. A κ Β. Γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση µις συνάρτησης ρίσκετι πάνω πό την γρφική πράστση της συνάρτησης g, λύνουµε την νίσωση () > g, ενώ γι ν ρούµε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση µις συνάρτησης ρίσκετι κάτω πό την γρφική πράστση της συνάρτησης g, λύνουµε την νίσωση g <. g λ B ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

4 ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ:, ΚΑΙ ( ) Θεωρούµε την συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο A.. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το A κι ισχύει: = γι κάθε A. Η γρφική πράστση της συνάρτησης M, τ οποί ποτελείτι πό τ σηµεί ( ) είνι συµµετρικά των σηµείων ( ) M, της γρφικής πράστσης της συνάρτησης ως προς τον άξον. Εποµένως η γρφική πράστση της συνάρτησης είνι συµµετρική της γρφικής πράστσης της συνάρτησης ως προς τον άξον. Ο. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το A κι ισχύει: ν 0 = =. ν < 0 Εποµένως η γρφική πράστση της συνάρτησης ποτελείτι πό τ τµήµτ της γρφικής πράστσης της συνάρτησης που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον κι πό τ συµµετρικά ως προς τον άξον, των τµηµάτων της γρφικής πράστσης της συνάρτησης που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον υτόν, µζί µε τ σηµεί τοµής της µε τον.. Αν το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης είνι συµµετρικό ως προς το µηδέν, δηλδή ν γι κάθε A κι το A, τότε γι ντίθετες τιµές του A οι g = πίρνουν την ίδι συνρτήσεις ( ) κι τιµή. Άρ οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ) κι g = ( ) είνι συµµετρικές ως προς τον άξον. g ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κθεµί πό τις πρκάτω ερωτήσεις ν σηµειώσετε τη σωστή πάντηση.. Αν τ σηµεί Α(, 4) κι Β(, 5) Α. (,4) Β. ( 4, ) Γ. ( 5,). Αν Α(,), Β(, ) κι + ρίσκοντι στο ο 4 τετρτηµόριο, τότε. (, 4) Ε. (,4). ΑΒ = 5, τότε το άθροισµ των τιµών του είνι Α. Β. Γ.. 4 Ε. 5.. Αν Α(, 4), Β(, ) κι Γ(,), τότε η περίµετρος του τριγώνου ΑΒΓ είνι Α. 8 Β. 0 Γ.. 4 Ε Αν Α(,), Β( 0, ), Γ 0, κι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο µε A = 90 τότε το είνι ίσο µε Α. 5 Β. 4 Γ.. Ε.., 5. Αν Ε, Ε είνι τ εµδά των σκισµένων Ε χωρίων στο διπλνό σχήµ, τότε ο λόγος Ε είνι ίσος µε Α Β. 6 Ε. 0. Γ Ε 6 5 Ε 6 6. ίνοντι τ σηµεί Α(,), Β( 0, ) κι Γ( 0,γ ), γ R ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ ν είνι ορθογώνιο στο Α. Το µήκος της πλευράς ΒΓ είνι: Α. 4 Β. 5 Γ Ε. 8. A(,) B( 0, ) Γ( 0,γ ) 7. Αν το σηµείο Μ( 4, ) νήκει στη γρφική πράστση της συνάρτησης = τότε: Α. = Β. = Γ. = 0. = Ε. =. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 5

6 8. Αν το σηµείο Μ(,5 ) νήκει στη γρφική πράστση της συνάρτησης + µ = τότε: Α. µ = Β. µ = Γ. µ = 4. µ = 5 Ε. µ = Αν ( ) = 8+ κι το σηµείο M( κ, ) νήκει στην γρφική πράστση της συνάρτησης, τότε το κ είνι ίσο µε Α. Β. Γ.. Ε.. 0. Αν γι κάθε Rισχύει + 4= κι η γρφική πράστση της συνάρτησης διέρχετι πό το σηµείο A(, ) τότε το είνι Α. 5 Β. 4 Γ.. Ε... Αν ( + 4 ) = µ + κι η γρφική πράστση της συνάρτησης διέρχετι πό το σηµείο Μ(,5 ) τότε το µ είνι ίσο µε Α. Β. Γ.. 4 Ε Αν = κι το σηµείο M νήκει στην γρφική πράστση της συνάρτησης, τότε Α. M, Β. M, Γ. M(,0 ). M, Ε. M,.. Αν γι κάθε Rισχύει ( + ) = µ κι η γρφική πράστση της συνάρτησης διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι Β( 4,6) τότε το Α. Β. Γ Ε.. 5 είνι ίσο µε 4. Στο διπλνό σχήµ δίνετι η γρφική πράστση µις. Η γρφική πράστση της συνάρτησης συνάρτησης είνι: ( B ) A B Γ Ε ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 6

7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ρείτε τ συµµετρικά των πρκάτω σηµείων : B,4 Γ 5, 5, 4 A(, ), ( ), ( ), ( ), Ε(, ), Ζ(, ) κι Η κ,λ. ως προς τον άξον, τον άξον, την ρχή των ξόνων κι ως προς την διχοτόµο των γωνιών του ου κι του ου τετρτηµορίου.. Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο µε κορυφές τ σηµεί Α(, ), Β( 5, ) Γ(,4 ) είνι ορθογώνιο κι ν ρείτε το εµδό του. κι. Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο µε κορυφές τ σηµεί Α(, ), Β( 5, 4 ) κι Γ( 4, ) είνι ισοσκελές κι ορθογώνιο. 4. Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί Α(, 5), Β(, 7) κι συνευθυεικά. Γ 8, είνι 5. Ν ρείτε σηµείο πάνω στον άξον, το οποίο ισπέχει πό τ σηµεί Α 5, Β,4. ( ) κι 6. ίνοντι τ σηµεί Α(, ) κι Β( 5, ), τέτοιο ώστε η γωνί ΑΜΒ ν είνι ορθή.. Ν ρείτε έν σηµείο Μ στον άξον 7. Ν ρείτε την εξίσωση που ικνοποιούν οι συντετγµένες των σηµείων M(, ) του κρτεσινού επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό τον άξον κι πό το σηµείο Ε( 4,0 ). 8. Στο διπλνό σχήµ δίνετι η γρφική πράστση µις συνάρτησης ( ). (i) Ν ρείτε τους ριθµούς: ( ( )) κι ( 0). (ii) Ν λύσετε την εξίσωση: =. ( ) Ν ρείτε τον R ν γνωρίζετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης = διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. 0. Ν ρείτε τον R, ν γνωρίζετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης = διέρχετι πό το σηµείο Μ (, ). + 4 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 7

8 . Ν ρείτε τους, R ν γνωρίζετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης 4 = διέρχετι πό τ σηµεί A, 5. κι Β( 4, 5). Ν ρείτε τους, R ν γνωρίζετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης = + + διέρχετι πό τ σηµεί A(,) κι Β,.. Ν ρεθούν τ σηµεί που οι γρφικές πρστάσεις των πρκάτω συνρτήσεων τέµνουν τους άξονες (i) = (ii) = 5 (iii) = ίνετι η συνάρτηση 5 = ( ) + ( + ) + +, {} Ν ρείτε τον ώστε η γρφική πράστση της συνάρτησης: (i) Ν τέµνει τον άξον σε δύο σηµεί. (ii) Ν έχει µε τον άξον έν µόνο κοινό σηµείο. (iii) Ν ρίσκετι πάνω πό τον άξον. R ίνετι η συνάρτηση =. (i) Ν ρείτε τ σηµεί στ οποί η γρφική πράστση της τέµνει τους άξονες κι. (ii) Ν ρείτε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση της ρίσκετι πάνω, ντίστοιχ κάτω πό τον άξον ίνοντι οι συνρτήσεις = κι g =. (i) Ν ρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων κι g. (ii) Ν ρείτε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης ρίσκετι πάνω, ντίστοιχ κάτω πό την γρφική πράστση της συνάρτησης g. 7. Ν ρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των πρκάτω συνρτήσεων (i) = κι g = + (ii) = κι 8 g =. Επίσης ν ρείτε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης ρίσκετι πάνω, ντίστοιχ κάτω πό την γρφική πράστση της συνάρτησης g. 8. ίνοντι οι συνρτήσεις, g : R R, γι τις οποίες ισχύει: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 8

9 = g + 4 γι κάθε R. (i) Ν ρείτε τις τετµηµένες των κοινών σηµείων των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων κι g. (ii) Ν ρείτε τ διστήµτ στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης ρίσκετι πάνω, ντίστοιχ κάτω πό την γρφική πράστση της συνάρτησης g. 9. Αν = + + κι g = ( + ) + 6, ν ρεθούν οι, R ώστε οι γρφικές πρστάσεις των, g ν έχουν κοινά σηµεί πάνω στον άξον κι στην ευθεί =. 0. ίνοντι οι συνρτήσεις = ( ) κι g = 4,, R. (i) Ν ρείτε τους, ώστε οι γρφικές πρστάσεις των, g ν τέµνοντι πάνω στις ευθείες = κι =. (ii) Γι τις τιµές των, που ρήκτε στο ερώτηµ (i):. Ν ρείτε τ κοινά σηµεί των κι g.. Ν ρείτε τ διστήµτ στ οποί η ρίσκετι πάνω, ντίστοιχ κάτω, πό την g.. Στο διπλνό σχήµ δίνετι η γρφική πράστση. Σε διφορετικά συστήµτ µις συνάρτησης συντετγµένων ν φτιάξετε τις γρφικές πρστάσεις. των συνρτήσεων, ( ) κι Ο ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 9