3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

Transcript

1 Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο είνι µη συρµµικά Ν ρείτε το άθροισµά τους ν το διάνυσµ + είνι συρµµικό µε το κι το διάνυσµ + είνι συρµµικό µε το 4 * Έστω το πρλληλόρµµο κι Μ το µέσο της ν AB = p, A = 3q, ν εκφράσετε τ δινύσµτ B κι Μ ως συνάρτηση των p, q 5 * Έστω ευθύρµµο τµήµ κι έν εσωτερικό του σηµείο τέτοιο ώστε 3 = AB ν τ δινύσµτ θέσης των, είνι OA =, Ο = ν 4 εκφράσετε ως συνάρτηση των, το διάνυσµ θέσης του σηµείου 6 * Σε τρίωνο έχουµε AB + A = 2Ρ, όπου Ρ σηµείο του επιπέδου του Ν ποδείξετε ότι το σηµείο Ρ τυτίζετι µε το µέσο της 85

2 7 * Έστω,,, τέσσερ σηµεί του επιπέδου µη συνευθεικά Ν ρείτε σηµείο Μ του επιπέδου τέτοιο ώστε AB + A + + Μ = 0 8 ** Τ σηµεί Μ κι Ν είνι τ µέσ των πλευρών κι του πρλληλόρµµου Ν εκφράσετε το διάνυσµ ως συνάρτηση των AM = κι AN = Ν Μ 9 ** Έστω ισοσκελές τρπέζιο ( // κι < ) µε µι ωνί ίση µε 60 ο Προεκτείνουµε τις πλευρές κι οι οποίες τέµνοντι στο Ο ν AB =, = κι = ν εκφράσετε τ δινύσµτ,, O κι Ο ως συνάρτηση των κι 10 * Έστω τρίωνο κι σηµείο Μ του επιπέδου του Ν δείξετε ότι το u = Μ + Μ 2Μ είνι νεξάρτητο πό τη θέση του σηµείου Μ 11 * Σε έν τετράπλευρο έχουµε = + 2, = 4 κι = 5 3 Ν ποδείξετε ότι το είνι τρπέζιο 12 ** Στις πλευρές Ο κι Ο ενός ορθοωνίου Ο πίρνουµε µονδιί δινύσµτ i κι j ντιστοίχως ν Ο = 3 κι Ο = 5, ν εκφράσετε τ δινύσµτ OA, OB,, κι Ο ως συνάρτηση των i,j Στη συνέχει ν Μ, Ν είνι τ µέσ των κι ντιστοίχως, ν εκφράσετε τ δινύσµτ OM, ON κι MN ως συνάρτηση των i,j 86

3 13 * ν u = 2i j κι v = 3i + 6 j υπολοίστε το διάνυσµ: 2 w = 2u v + 3 (5u + v) (v + u) 3 14 *** Τ σηµεί,, είνι κορυφές τριώνου κι τ σηµεί Μ, Ν, κι Κ είνι τ µέσ των πλευρών, κι ντιστοίχως ν AB =, = Κ Ν κι = ν ρείτε: ) Tο άθροισµ + + Μ ) Το άθροισµ Μ + Ν + Κ 15 * Τ σηµεί, κι είνι κορυφές τριώνου κι τ, Ε κι Ζ τ µέσ των πλευρών του, κι ντιστοί- χως ν του ΕΖ, τότε: =, = κι Μ το µέσον Ζ Μ Ε ) Ν εκφράσετε τ δινύσµτ κι Μ ως συνάρτηση των κι ) Τι συµπερίνετε ι τ σηµεί, Μ κι ; 16 ** ίνετι πρλληλόρµµο κι επί των πλευρών του τ σηµεί Μ, 1 Ν, Ρ, Σ τέτοι ώστε Μ = , P =, Ν =, Σ = Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΡΣ είνι πρλληλόρµµο 17 * ίνοντι τ δινύσµτ = ( 3, 1), = (1, -2) κι = (1, -7) Ν εκφράσετε το ως ρµµικό συνδυσµό των κι 87

4 18 ** Τ σηµεί Μ κι Ν διιρούν την πλευρά του τριώνου σε τρί ίσ τµήµτ ν AB = κι =, ν εκφράσετε τ δινύσµτ Μ κι Ν συνρτήσει των κι Μ Ν 19 ** Σε έν τρίωνο, κι Ε είνι τ µεσ των κι Προεκτείνουµε το Ε κτά τµήµ ΕΖ = Ε ν A = κι AE =, ν εκφράσετε ως συνάρτηση των κι τ Ε Ζ δινύσµτ: ) Ε ) Ζ ) Ζ Ποιο συµπέρσµ προκύπτει ι το τετράπλευρο Ζ πό τη σύκριση των δινυσµάτων κι Ζ ; 20 ** Στο διπλνό σχήµ ισχύει OA = 4, Ο = 3 κι Ο = 2 + ) Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των,, τ δινύσµτ κι ) Προεκτείνουµε τ τµήµτ Ο, Ο κι Ο µέχρι τ σηµεί, Ε κι Ζ ντιστοίχως έτσι ώστε Ο = Ζ, Ο Ο 1 = = Ν εκφράσετε τ δινύσµτ ΖΕ κι Ε ως Ε 2 συνάρτηση των,, κι ν δείξετε ότι τ σηµεί Ζ, Ε, είνι συνευθεικά Ο 3 Ζ Ε 88

5 21 ** Έστω το διάνυσµ ν = ( 2,5) Ν ρείτε όλ τ δινύσµτ µε πέρς το σηµείο (3, 1) κι τ οποί ν είνι ντίρροπ του ν 22 * ίνοντι τ σηµεί (1, 3), (2, 4) κι (5, 14) Ν ρείτε τ µέτρ των δινυσµάτων AB + κι 23 * ίνοντι τ σηµεί (5, 8), (-6, 3), (9, 4) 1 ) Υπολοίστε τις συντετµένες του v = ( + ) 2 ) Ποιες είνι οι συνιστώσες του v ; 24 * Έστω τ δινύσµτ = (1, 2), = (2, -3), = (3, 2) Ν ρείτε τους πρµτικούς ριθµούς x, y ώστε ν ισχύει x y + = 0 25 * ίνετι τετράωνο Σε κάθε µι πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν ρείτε το άθροισµ ** Έστω τ δινύσµτ = 2i + j, = 4i + 5 j, = 8 i, δ = 8i + 3 j Ν ρείτε δινύσµτ x, y,ω που είνι συρµµικά των,, κι τ οποί ν έχουν άθροισµ το διάνυσµ δ 89

6 27 ** Στο διπλνό σχήµ φίνετι κνονικό εξά- y ωνο ΟΕ µε OA = 4 Ν εκφράσετε τ δινύσµτ OE, Ο, Ο, Ε,, κι Ε ως συνάρτηση των µονδιίων δινυσµάτων j i κι j i Ο x 28 ** Οι κύκλοι που φίνοντι στ σχήµτ είνι χωρισµένοι σε τρί ή τέσσερ ίσ µέρη δ δ δ Σε κάθε περίπτωση ν ρείτε το άθροισµ των τριών ή τεσσάρων δινυσµάτων που έχουν σηµειωθεί 29 * Έστω κύκλος κέντρου Κ κι µι διάµετρος υτού ν τ δινύσµτ θέσης των Κ κι είνι ΟΚ = 3i + 3 j κι OA = 2i + 4 j, ν ρείτε το διάνυσµ θέσης του σηµείου 30 * Έστω τ σηµεί (1, 2), (0, 3) κι (5, x) Ν ρείτε τον πρµτικό ριθµό x έτσι ώστε τ σηµεί,, ν είνι συνευθεικά 90

7 31 ** ίνοντι τέσσερ µη συνευθεικά σηµεί,,, ι τ οποί ισχύει = 2 Έστω Μ το µέσο της κι Ο το σηµείο τοµής των κι Μ ν = κι =, ν εκφράσετε τ δινύσµτ, Μ,, Ο κι Ο ως συνάρτηση των, 32 ** ίνετι τρίωνο κι έστω = κι = ν G είνι το κέντρο άρους του τριώνου, ν εκφράσετε το διάνυσµ AG ως συνάρτηση των κι 33 ** ίνετι τρίωνο Ν ρείτε το ρύκεντρο του τριώνου, ότν στις κορυφές,, έχουν τοποθετηθεί άρη,, ντιστοίχως στις περιπτώσεις ) = = 1, = ) =, =, = * Οι κορυφές ενός τριώνου έχουν συντετµένες (1, 4), (2, 6) κι (2, 1) ν στ,, τοποθετηθούν άρη 2, 3, 4 ντιστοίχως, ν ρείτε τις συντετµένες του ρύκεντρου του τριώνου 35 * Έστω τ σηµεί (-4, 5) κι (1, -5) στ οποί έχουν τοποθετηθεί άρη 2, 3 ντιστοίχως Ν ρείτε το ρύκεντρο των, 36 ** Έν οµοιοενές φύλλο λµρίνς Ο ποτελείτι πό έν τετράωνο Ο κι έν ορθοώνιο κι ισοσκελές τρίωνο µε () = () = 2 κι (Ο) = 4 Ν ρείτε το κέντρο άρους του σώµτος y 2 Ο G 1 G(x,y) G 2 4 x 91

8 37 ** Έστω τρίωνο, στις κορυφές,, του οποίου έχουν τοποθετηθεί άρη 1, 1, 5 ντιστοίχως Ν ρείτε το ρύκεντρο του τριώνου υτού 38 ** Είνι νωστό πό τη Χηµεί ότι έν µόριο νερού (Η 2 Ο) ποτελείτι πό έν άτοµο οξυόνου Ο κι δυο άτοµ υδροόνου Η πό πειρµτική διδικσί διπιστώθηκε ότι τ άτοµ υτά σχηµ- Η Ο =~ 105 ο τίζουν ισοσκελές τρίωνο µε AB = A 0, m κι ˆ 105 ο Θεωρούµε ότι στις κορυφές,, έχουν τοποθετηθεί άρη 16, 1, 1 ντιστοίχως Ν ρείτε το ρύκεντρο του 10 Η 39 ** ) Έστω τ σηµεί (-4, 5) κι (1, -5) στ οποί έχουν τοποθετηθεί άρη 2, 3 ντιστοίχως Ν ρείτε το ρύκεντρο G των, ) ν ίνει ενλλή των ρών, ν ρείτε το νέο ρύκεντρο G ) Ν ρείτε το GG 40 ** Στις κορυφές ενός τριώνου έχουν τοποθετηθεί ίσ άρη Έστω G το ρύκεντρο του τριώνου υτού ν (-7, -1), (-2, -9) κι G (0, 0), ν ρείτε τις συντετµένες της κορυφής 41 ** Έστω,, σηµεί του επιπέδου ) ν στ, έχουν τοποθετηθεί άρη 2,1 ντιστοίχως, ν ρείτε το ρύκεντρο των, ) Ν ρείτε τ σηµεί Μ του επιπέδου ι τ οποί ισχύει 2Μ + Μ + = 0 92

9 42 ** Έστω τρίωνο µε κορυφές (3, 5), (-3κ, 2), (2κ, κ + 1), κ R ν στις κορυφές,, τοποθετηθούν άρη 2, 3, 5 ντιστοίχως κι το ρύκεντρο G του τριώνου ρίσκετι πάνω στον άξον y y, ν ρείτε τον ριθµό κ 43 ** Έστω G 1 το ρύκεντρο ενός τριώνου στις κορυφές του οποίου έχουν τοποθετηθεί ίσ άρη κι G 2 το ρύκεντρο ενός άλλου τριώνου στις κορυφές του οποίου έχουν τοποθετηθεί πάλι ίσ άρη ν G είνι το ρύκεντρο των σηµείων,,,,,, ν ποδείξετε ότι τ σηµεί G 1, G 2, G είνι συνευθεικά y 44 ** Ν ρείτε το κέντρο άρους οµοιοενούς A E φύλλου λµρίνς του διπλνού σχήµτος µε Ο = Ο = 12 cm, B = = 6 cm κι Â = Bˆ = ˆ = Ε ˆ = 90 ο Ο x 45 ** Ν ρείτε το κέντρο άρους οµοιοενούς y φύλλου λµρίνς y του διπλνού σχήµτος µε Ο =, Ο =, B =, = κι 2 2 ˆ = ˆ = ˆ = ˆ = 90 ο B Ο A x 46 ** Έστω οµοιοενής κυκλική πλάκ (Ο, R) στθερού πάχους φιρούµε κυκλική πλάκ (Κ, R/2), όπως φίνετι στο σχήµ Ν ρείτε το κέντρο άρους της πλάκς που πέµεινε O Κ 93

10 47 * Ν ρείτε το έρο που πράετι ότν έν ντικείµενο µεττοπίζετι κτά τη διεύθυνση του δινύσµτος v = 3i + 2 j, ν η δύνµη που ενερεί σ υτό ντιπροσωπεύετι πό το διάνυσµ F = 2i j 48 * ι ν µετκινηθεί έν σώµ κτά 20 cm κι κτά τη διεύθυνση Ο χρειάζετι ν σκηθεί δύνµη F = 200Ν, η οποί σχηµτίζει µε την Ο π ωνί 3 ) Ν ρείτε το έρο που πράει η δύνµη F ) Ποι δύνµη πρέπει ν σκηθεί κτά τη διεύθυνση της Ο, ώστε ν πιτείτι το ίδιο έρο ι τη µεττόπιση του σώµτος; 6 49 ** Σε έν ορθοκνονικό σύστηµ δίνετι η υπερολή y = κι τ σηµεί x της A κι τέτοι ώστε OA i = 2 κι OB i = 3, όπου i το µονδιίο διάνυσµ του άξον x x Ν ρείτε το µέτρο του δινύσµτος 2 OA + 3OB 50 ** ν, είνι µη µηδενικά δινύσµτ κι ισχύει + = +, ν ποδείξετε ότι, είνι συρµµικά 51 * ν =, ν δείξετε ότι + 52 * Ν ρείτε τον λ R ν τ δινύσµτ είνι ορθοώνι = ( λ 2 3λ)i + j κι = i + 2 j 53 * Ν ρείτε τη ωνί των δινυσµάτων = 4i + jκι = i 2 j 94

11 54 ** Στο διπλνό σχήµ έχουν σχεδιστεί τ δινύσµτ, κι ) Ν ράψετε τ δινύσµτ µε τη οήθει των συντετµένων τους ) Ν ρείτε το εσωτερικό ινόµενο ( + ) j O i 55 ** ίνοντι τ δινύσµτ = (3, -2), = (1, 2) κι = (-1, 4) Ν ρείτε τ δινύσµτ δ = κ + λ, κ, λ R που είνι κάθετ στο κι έχουν µέτρο 1 56 ** Έστω τρίωνο µε κορυφές (-2, -1), (-2, 3), (x, -1), x R ) Ν ρείτε το x έτσι ώστε το τρίωνο ν είνι ορθοώνιο µε o  = 90 ) ν = 3, ν ρείτε το µήκος της υποτείνουσς του τριώνου 57 ** Έστω, µη µηδενικά δινύσµτ κι το διάνυσµ = συνω + ηµω, 0 ω 2π Ν ρείτε το ω ώστε: ) Τ δινύσµτ, ν είνι οµόρροπ ) Τ δινύσµτ, ν είνι ντίρροπ ) Το διάνυσµ ν είνι οµόρροπο µε το + δ) Το διάνυσµ ν είνι ντίρροπο µε το + 95

12 58 ** ν θ είνι η ωνί δυο δινυσµάτων = (, ), = (, ) ν ποδείξετε ότι ηµθ = ** ν σε τρίωνο ισχύει AB = 2, = 4 κι η ωνί των AB κι A είνι π, ν ρείτε τη ωνί που σχηµτίζει η διάµεσος Μ του 3 τριώνου µε την πλευρά 60 * Έστω το διάνυσµ = 2i 3 j Ν ποδείξετε ότι τ δινύσµτ του επιπέδου που είνι κάθετ στο, έχουν τη διεύθυνση του δινύσµτος 3i + 2 j 61 ** Έστω το διάνυσµ = i + 2 j Ν ρείτε το διάνυσµ u = (x, y), x, y R µε µέτρο 1 το οποίο είνι κάθετο στο 62 ** Έστω τ δινύσµτ = 2i + 7 j, = i 3 j Ν νλύσετε το διάνυσµ σε δυο συνιστώσες πό τις οποίες η µι ν είνι πράλληλη στο κι η άλλη κάθετη στο 63 ** Τ σηµεί κι έχουν δινύσµτ θέσης 2i + j κι 4i + 3 j ντιστοίχως Τ y σηµεί Κ κι Λ είνι τ µέσ των Ο κι Ν ρείτε τη δινυσµτική εξίσωση i) της ευθείς, ii) της ευθείς ΚΛ O K Λ x 96

13 64 ** Σε έν ορθοκνονικό σύστηµ xoy δίνοντι τ σηµεί κι µε δινυσµτικές κτίνες κι ντιστοίχως, τ οποί δεν είνι συρµµικά µε το Ο Θεωρούµε κι τις δινυσµτικές εξισώσεις ε 1 : = (4 λ) + λ κι ε 2 : = (1 + 3 µ ) + ( µ 5) ) Ν ποδείξετε ότι οι εξισώσεις ε 1 κι ε 2 είνι εξισώσεις ευθειών ) Ν ρείτε το σηµείο τοµής των ευθειών υτών 65 * ίνοντι τ σηµεί (3,-2) κι (1,-4) ) Ν ρείτε τη δινυσµτική εξίσωση της ευθείς ) Ν ρείτε την Κρτεσινή εξίσωση της ευθείς 66 ** Σε έν κρτεσινό σύστηµ έν κινητό κινείτι ευθύρµµ ξεκινώντς πό το σηµείο (-1, 1) κι πράλληλ στο διάνυσµ u = (12, 2) Έν δεύτερο κινητό κινείτι επίσης ευθύρµµ ξεκινώντς πό το σηµείο (2,-1) συχρόνως µε το πρώτο κι πράλληλ στο διάνυσµ v = (6, 6) ) Ν ρείτε την πόστση των δυο κινητών πριν την εκκίνηση ) Ν ρείτε τις εξισώσεις των τροχιών των δυο κινητών ) Ν ρείτε το σηµείο στο οποίο θ συνντηθούν 67 ** Η κρτεσινή εξίσωση µις ευθείς ε είνι 3x 4y + 8 = 0 Ν ρείτε τη δινυσµτική εξίσωση της ευθείς ε 68 ** Ν ρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τετρώνου πλευράς, ν ως σύστηµ συντετµένων πάρουµε υτό που ορίζετι πό τις διωνίους του 69 ** ίνοντι οι ευθείες 97

14 ε 1 : = 2i + λ(i j), λ R, ε 2 : = 2i + µ (3i + 3 j), µ R Έστω το σηµείο τοµής τους, το σηµείο τοµής της ε 2 µε τον άξον xx κι Ε το σηµείο τοµής της ε 1 µε τον άξον x x Ν ρείτε: ) τις συντετµένες των,, Ε ) το εµδό του τριώνου Ε ) τις συντετµένες του κέντρου άρους G του τριώνου Ε ν i) στις κορυφές,, Ε τοποθετηθούν ίσ άρη ii) στις κορυφές,, Ε τοποθετηθούν άρη 5, 4, 7 ντιστοίχως 70 * H δινυσµτική εξίσωση µις ευθείς ε είνι: = 3i + 2 j + λ( i + 3 j), λ R Ν ρείτε τις πρµετρικές εξισώσεις της ε 71 ** Έστω οι ευθείες x = 3 + λ x = 4 2µ, λ R κι y = 4 2λ y = 2 + 5µ, µ R ντιστοίχως ) Ν ρείτε τις συντετµένες των δινυσµάτων που είνι πράλληλ στις ευθείες ) Ν ρείτε το διάνυσµ θέσης του σηµείου τοµής των ευθειών 72 ** Ν ρείτε τη δινυσµτική εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό την 2 ρχή των ξόνων κι είνι πράλληλη στο διάνυσµ u = ( µ, 1), µ R Στη συνέχει ν εξετάσετε ι τις διάφορες τιµές του των ευθειών ε κι δ: 2x - y = 0 µ R τη σχετική θέση 73 * Ισοπλεύρου τριώνου, η πλευρά του = ρίσκετι πάνω στον άξον x x, το δε ύψος τους πάνω στον άξον y y Ν ρείτε: ) τις δινυσµτικές εξισώσεις των πλευρών του τριώνου ) το διάνυσµ θέσης της κορυφής κι την πόστση του πό τη 74 ** Ν ρείτε την πόστση: 98

15 ) του σηµείου µε διάνυσµ θέσης 4i + 6 j πό την ευθεί µε εξίσωση 3 = 2i + j + λ( 3i + 4 j) 2 ) το διάνυσµ που είνι πράλληλο στην πρπάνω ευθεί κι έχει µέτρο 3 µονάδες 75 ** Έστω, σηµεί του επιπέδου µε δινύσµτ θέσης, ντιστοίχως ) Ν ποδείξετε ότι η δινυσµτική εξίσωση της ευθείς είνι = + λ( ) ) Ν ρείτε τ σηµεί της ευθείς στις περιπτώσεις i) λ = - 2, ii) λ = - 1 iii) λ = 1 κι iv) λ = 0 ) Ν ρείτε τις τιµές του λ ι τις οποίες τ σηµεί Ρ της ικνοποιούν τη σχέση Ρ = 2Ρ Στη συνέχει ν ρείτε τ δινύσµτ θέσης των σηµείων Ρ 76 ** Έστω τρίωνο Τ δινύσµτ θέσης των κορυφών του,, είνι,, ντιστοίχως ) Ν ρείτε τις δινυσµτικές εξισώσεις των διµέσων, Ε κι Ζ του τριώνου ) Ν ρείτε το διάνυσµ θέσης του σηµείου τοµής των διµέσων 99

16 100