ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA Τριγωνική νισότητ Γι οποιδήποτε δινύσµτ κι ισχύει: + + Ιδιότητες πολλπλσισµού ριθµού επί διάνυσµ () λ ( + ) = λ + λ () (λ + µ) = λ + µ (3) λ(µ) = (λµ) (4) λ = λ = ή = (5) ( λ ) = λ( ) = ( λ ) Μέσο ευθυγράµµου τµήµτος (6) λ( ) = λ λ (7) (λ µ) = λ µ (8) Αν λ = λ κι λ, τότε = (9) Αν λ = µ κι, τότε λ = µ. ΟΑ + ΟΒ Αν το σηµείο Μ είνι µέσο του ευθυγράµµου τµήµτος ΑΒ τότε ΟΜ=, όπου Ο οποιοδήποτε σηµείο του επιπέδου Συντετγµένες θροίσµτος κι γινοµένου Αν = (, ) κι = (, ), τότε + = ( +, + ) κι λ = (λ, λ ) Συντετγµένες µέσου ευθυγράµµου τµήµτος Έστω Α(, ) κι Β(, ) δύο σηµεί του κρτεσινού επιπέδου. Τότε οι συντετγµένες του κι = + µέσου Μ του ΑΒ είνι: = + Συντετγµένες δινύσµτος Οι συντετγµένες (, ) του δινύσµτος µε άκρ τ σηµεί A(, ) κι Β(, ) δίνοντι πό τις σχέσεις: = κι =. Μέτρο δινύσµτος Αν = (, ), τότε = + Απόστση σηµείων Η πόστση των σηµείων Α(, ) κι Β(, ) είνι ίση µε (ΑΒ) = ( ) + ( ). Φροντιστήρι

2 Συγγρµµικά δινύσµτ Ισχύει η ισοδυνµί : // det (, ) = Συντελεστής διεύθυνσης δινύσµτος Το πηλίκο της τετγµένης προς την τετµηµένη του δινύσµτος = (, ), µε, το λέµε συντελεστή διεύθυνσης του κι τον συµολίζουµε µε λ. Εποµένως: λ = = εφφ Συγγρµµικά δινύσµτ Ισχύει η ισοδυνµί : // λ = λ Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών δινυσµάτων κι τον πργµτικό ριθµό = συν φ, όπου φ η γωνί των δινυσµάτων κι. Αν = ή =, τότε ορίζουµε = Ιδιότητες εσωτερικού γινοµένου δινυσµάτων () = τετράγωνο του. Ισχύει () Αν = =. (3) Αν = (6) Γι τ µονδιί δινύσµτ i κι του κρτεσινού επίπεδου ισχύουν: (4) Αν = i j = j i = κι i = j = (5) Το εσωτερικό γινόµενο συµολίζετι µε κι λέγετι Ανλυτική έκφρση εσωτερικού γινοµένου Το εσωτερικό γινόµενο δύο δινυσµάτων είνι ίσο µε το άθροισµ των γινοµένων των οµώνυµων συντετγµένων τους. ηλδή: = + j Άλλες ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου () λ = ( λ ) = λ( ), λ R () ( + γ) = + γ (3) λ λ = Γωνί δυο δινυσµάτων Αν = (, ) κι = (, ) είνι δύο µη µηδενικά δινύσµτ του επιπέδου που σχηµτίζουν γωνί θ, τότε συν θ = = Προολή δινύσµτος σε διάνυσµ Γι το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων κι ν ισχύει: ν = προ ν = ν προ ν Φροντιστήρι

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Συντελεστής διεύθυνσης ευθείς Ονοµάζουµε συντελεστή διεύθυνσης µις ευθείς ε την εφπτοµένη της γωνίς ω που σχηµτίζει η ε µε τον άξον. Σε κάθε περίπτωση γι τη γωνί ω ισχύει ω < 8. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείς που διέρχετι πό γνωστά σηµεί Ο συντελεστής διεύθυνσης λ µις ευθείς που διέρχετι πό τ σηµεί A (, ) κι B(, ), µε είνι ίσος µε : λ =. Πρλληλί κθετότητ ευθειών Αν ε, ε είνι δύο ευθείες µε ντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ, λ, τότε ισχύουν: ε // ε λ = λ κι ε ε λ λ = Εξίσωση ευθείς µε γνωστό συντελεστή διεύθυνσης Έστω Α( o, o ) έν σηµείο του επιπέδου. Η εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είνι: = λ( ) Έστω ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(, ). Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς είνι λ = κι εποµένως η εξίσωση = = λ( ) γίνετι: ( ) Ειδικές περιπτώσεις () Η εξίσωση µις κτκόρυφης ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο Α( o, o ) είνι = O () Η εξίσωση ευθείς που τέµνει τον άξον στο σηµείο A(, ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είνι = λ +. (3) Αν µι ευθεί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είνι = λ. (4) Οι διχοτόµοι των γωνιών O κι O έχουν εξισώσεις = κι = (5) Τέλος, ν µι ευθεί διέρχετι πό το σηµείο A(, έχει εξίσωση = O. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείς ) κι είνι πράλληλη στον άξον, Κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής A + B + Γ = () µε Α ή Β κι ντιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάνει ευθεί γρµµή. ιάνυσµ πράλληλο κάθετο σε ευθεί Η ευθεί µε εξίσωση A + B + Γ = είνι πράλληλη στο διάνυσµ δ = ( Β, Α ) κι κάθετη στο διάνυσµ η = ( A, B ). Φροντιστήρι

4 Απόστση σηµείου πό ευθεί Έστω ε µ ι ευθεί, µ ε εξίσωση A + B + Γ = κι M (, ) έν σηµ είο εκτός υτής. H πόστση του σηµ είου M πό την ευθεί ε είνι : Εµδόν τριγώνου d(m, ε) = A + B + Γ A + B Έστω A(, ), B(, ) κι Γ( 3, ) τρί σηµ εί του κρτεσινού επιπέδου. Το 3 εµ δόν του τριγώνου ΑΒΓ, δίνετι πό τον τύπο: ( ΑΒΓ) = det (AB, A Γ) Απόστση πρλλήλων ευθειών Η πόστση των ευθειών ε : = λ + κι ε : = λ + είνι: d(ε, ε ) =. + λ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Κύκλος Εξίσωση Κύκλου Ο κύκλος µ ε κέντρο το σηµ είο O (, ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση Ο κύκλος µ ε κέντρο K (, ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση: Εφπτοµένη κύκλου + ( = ρ ) + ( ) Η εφπτοµ ένη του κύκλου + = ρ στο σηµ είο του A(, ) έχει εξίσωση Γενική µορφή εξίσωσης κύκλου = ρ + = ρ Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της µ ορφής + + A + B + Γ =, () µ ε A + B 4 Γ > κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της µ ορφής () πριστάνει κύκλο. Προλή Ορισµός προλής Έστω µ ι ευθεί δ κι έν σηµ είο Ε εκτός της δ. Ονοµ άζετι προλή µ ε εστί το σηµ είο Ε κι διευθετούσ την ευθεί δ ο γεωµ ετρικός τόπος C των σηµ είων του επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό την Ε κι τη δ. Εξίσωση προλής p Η εξίσωση της προλής C µ ε εστί E, p Η εξίσωση της προλής C µ ε εστί E, p κι διευθετούσ δ: = είνι: = p p κι διευθετούσ δ: = είνι: = p Φροντιστήρι

5 Εφπτοµένη προλής Η εφπτοµ ένη της προλής = p στο σηµ είο της M (, ) έχει εξίσωση Η εφπτοµ ένη της προλής = p στο σηµ είο της M (, ) έχει εξίσωση = p( + ) = p( + ) Ανκλστική Ιδιότητ Προλής Η κάθετη στην εφπτοµ ένη µ ις προλής στο σηµ είο επφής M διχοτοµ εί τη γωνί που σχηµ τίζουν η ηµ ιευθεί M E κι η ηµ ιευθεί M t, που είνι οµ όρροπη της ΟΕ, όπου Ε είνι η εστί της προλής. p E, Έλλειψη Ορισµός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σηµ εί ενός επιπέδου. Ονοµ άζετι έλλειψη µ ε εστίες τ σηµ εί E κι Ε ο γεωµ ετρικός τόπος C των σηµ είων του επιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερό κι µ εγλύτερο του E Ε. ` Εξίσωση Έλλειψης Με εστίες τ σηµ εί E ( γ, ), E(γ, ) είνι: Με εστίες τ σηµ εί E (, γ), E(, γ) είνι: + + = κι = = κι = γ γ Εκκεντρότητ Έλλειψης Ονοµ άζουµ ε εκκεντρότητ της έλλειψης + =, το λόγο ε = γ <. Εφπτοµένη έλλειψης Η εφπτοµ ένη της έλλειψης + = στο σηµ είο της M(, ) έχει εξίσωση + = + Η εφπτοµ ένη της έλλειψης + = στο σηµ είο της M(, ) έχει εξίσωση = Ανκλστική ιδιότητ Η κάθετη στην εφπτοµ ένη µ ις έλλειψης στο σηµ είο επφής Μ διχοτοµ εί τη γωνί E ME, όπου E, E οι εστίες της έλλειψης. Φροντιστήρι

6 Ορισµός Υπερολής Υπερολή Έστω E κι Ε δύο σηµεί ενός επιπέδου. Ονοµάζετι υπερολή µε εστίες τ σηµεί E κι Ε ο γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιµή της διφοράς των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη του ( E E ). Εξίσωση υπερολής Η εξίσωση της υπερολής C µε εστίες τ σηµεί E ( γ, ), E(γ, ), κι στθερή διφορά είνι : =, όπου = γ Η εξίσωση της υπερολής C µε εστίες τ σηµεί E (, γ), E(, γ), κι στθερή διφορά είνι : =, όπου = γ. Ισοσκελής υπερολή Αν είνι =, τότε η υπερολή λέγετι ισοσκελής κι η εξίσωσή της γράφετι: =. Ασύµπτωτες υπερολής Οι σύµπτωτες της υπερολής =, είνι οι ευθείες: =, =. Οι σύµπτωτες της υπερολής =, είνι οι ευθείες: Εκκεντρότητ Υπερολής = Ονοµάζουµε εκκεντρότητ της υπερολής =, το λόγο ε = γ >. Η εκκεντρότητ µις ισοσκελούς υπερολής είνι ε = Εφπτοµένη Υπερολής, = Η εφπτοµένη της υπερολής =, στο σηµείο της M(, ) έχει εξίσωση = Η εφπτοµένη της υπερολής =, στο σηµείο της M(, ) έχει εξίσωση =. Ανκλστική ιδιότητ της υπερολής. Η εφπτοµένη µ ις υπερολής σε έν σηµ είο της Μ διχοτοµ εί τη γωνί E ME, όπου E, E οι εστίες της υπερολής. Φροντιστήρι

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Η Αρχή της Μθηµτικής Επγωγής Έστω P(ν) ένς ισχυρισµός που νφέρετι στους θετικούς κερίους. Αν (i) ο ισχυρισµός είνι ληθής γι τον κέριο, δηλδή ο P() είνι ληθής, κι (ii) η λήθει του P(ν) συνεπάγετι την λήθει του P(ν + ) γι κάθε ν τότε ο ισχυρισµός P(ν) ληθεύει γι όλους τους θετικούς κερίους ν. Βσικές εφρµογές ν ( ν + ). Ισχύει ότι ν = γι κάθε θετικό κέριο v.. Γι όλους τους θετικούς κερίους ν µε ν κι γι όλους τους πργµτικούς µε κι > ισχύει: (+ ) ν > + ν. (Ανισότητ του Bernoulli) Ευκλείδει ιίρεση Αν κι είνι φυσικοί ριθµοί µε, τότε υπάρχουν µονδικοί φυσικοί κ κι υ, τέτοιοι, ώστε = κ + υ, υ <. Αν κι είνι κέριοι ριθµοί µε, τότε υπάρχουν µονδικοί κέριοι κ κι υ, τέτοιοι, ώστε = κ + υ, υ <. Βσικές εφρµογές. Το γινόµενο δύο διδοχικών κερίων είνι άρτιος ριθµός.. Το τετράγωνο κάθε περιττού κερίου είνι της µορφής 8λ +, λ Ζ. ιιρετότητ Έστω,, δύο κέριοι µε. Θ λέµε ότι ο διιρεί τον κι θ γράφουµε, ότν η διίρεση του µε τον είνι τέλει, δηλδή ότν υπάρχει κέριος κ, τέτοιος, ώστε = κ. Ιδιότητες. Αν, τότε = κ ή ισοδύνµ = ( κ) ( ).. ± κι ± γι κάθε Z * 3., γι κάθε Z * 4. Αν, τότε κ κ, γι κάθε κ Z * 5. Αν κι, τότε = ή =. 6. Αν κι γ, τότε γ. 7. Αν, τότε λ γι κάθε κέριο λ. 8. Αν κι γ, τότε ( + γ). 9. Αν κι, τότε..) Αν κι γ, τότε (κ+λγ) γι όλους τους κερίους κ κι λ. Φροντιστήρι