ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν ποδείξετε το πρκάτω θεώρημ: «Αν πό έν εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε το εφπτόμενο τμήμ ΡΕ κι μι ευθεί που τέμνει τον κύκλο στ σημεί Α κι Β, τότε ισχύει ότι: ΡΕ = ΡΑ ΡΒ Δ) Ν χρκτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις: 1 Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ ν Α > 90, τότε: β + γ > Δύο ισοσκελή τρίγων που έχουν μί γωνί ίση, είνι όμοι 3 Γι τυχίο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ, ισχύει: ΑΒ = ΒΓ ΒΔ Ρ Το Ρ είνι εξωτερικό σημείο του κύκλου (Ο,R), ν κι μόνο ν:δ (Ο,R) < 0 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: = β + γ + βγσυνα (Μονάδες 10) Θέμ ο A Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος ΑΔ της γωνίς Α τέμνει την πλευρά ΒΓ σε σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΒΔ ΔΓ = 3 Α) Ν ποδείξετε ότι: ΑΒ = 3 ΑΓ (Μονάδες 6) Β) Αν επιπλέον ισχύει ότι ΒΓ = 5 ΑΓ, ν εξετάσετε εάν το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς (Μονάδες 7) B Στο πρκάτω σχήμ τ τμήμτ ΑΕ κι ΒΔ τέμνοντι στο Γ Ν ποδείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ κι ΕΔΓ είνι όμοι σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις:

2 β) ΒΓ=ΔΓ κι ΕΓ = 1 ΑΓ (Μονάδες 6) ) ΑΒ//ΔΕ (Μονάδες 6) Θέμ 3 ο Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ με γ = 6, = 9 κι Β = 60, εγγεγρμμένο σε κύκλο (Ο,R) ) Ν ποδείξετε ότι β = 3 7 (Μονάδες 6) β) Ν βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του (Μονάδες ) γ) Ν υπολογίσετε την προβολή της γ πάνω στην (Μονάδες 7) δ) Εάν η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον κύκλο στο Ε, ν υπολογίσετε τ ευθύγρμμ τμήμτ ΜΕ κι ΕΓ (Μονάδες 8) Θέμ ο Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει: β + γ = Αν ΒΔ κι ΓΕ είνι ύψη κι Ζ το μέσο της διμέσου ΑΜ, ν ποδείξετε ότι: ) ΑΕ = γ β) ΕΖ = β γ κι ΑΜ = 3 (Μονάδες 8) γ) ΕΔ = 3 βγ (Μονάδες 7) δ) Τ σημεί Δ, Ε κι Ζ είνι συνευθεικά ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 3 ΩΡΕΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! ΕΣΠΕΡΙΔΩΝ 10 ΚΑΛΛΙΘΕΑ ΤΗΛ: ΑΙΓΑΙΟΥ 109 ΝΣΜΥΡΝΗ ΤΗΛ:

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμ 1 ο Α) Σχολικό βιβλίο, σελ Β) Σχολικό βιβλίο, σελ 197 Γ) Σχολικό βιβλίο, σελ 01 Δ) 1 Λ Λ 3 Λ Λ 5 Λ Θέμ ο Α) ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΔ είνι εσωτερική διχοτόμος Άρ ισχύει η νλογί Επομένως, β) Από τη σχέση Από τη σχέση προκύπτει ότι ΑΒ<ΑΓ 5 προκύπτει ότι ΒΓ>ΑΓ Άρ ΑΒ<ΑΓ<ΒΓ, δηλ η ΒΓ είνι η μεγλύτερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ Υπολογίζουμε λοιπόν ΒΓ = ( 5 ΑΓ) = 5 16 ΑΓ κι ΑΒ + ΑΓ = ( 3 ΑΓ) + ΑΓ = 9 16 ΑΓ + ΑΓ = 5 16 ΑΓ Άρ ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ, οπότε σύμφων με το ντίστροφο του Πυθγορείου Θεωρήμτος το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο με Α = 90 Β) ) Αφού ΑΒ//ΔΕ τότε οι γωνίες ΑΒ Γ κι ΓΔ Ε είνι ίσες ως εντός ενλλάξ κθώς κι οι γωνίες ΒΑ Γ κι ΓΕ Δ είνι ίσες κι υτές ως εντός ενλλάξ Επίσης οι γωνίες ΑΓ Β κι ΔΓ Ε είνι ίσες ως κτκορυφήν, κι φού τ δύο τρίγων έχουν κι τις τρεις γωνίες ίσες, θ είνι όμοι β) Έχουμε ότι ΒΓ = ΔΓ δηλδή ΔΓ = 1 ΕΓ κι φού = 1 ΔΓ, προκύπτει ότι = ΕΓ Τ ΒΓ ΑΓ ΒΓ ΑΓ δύο τρίγων έχουν δύο πλευρές νάλογες κι την περιεχόμενη γωνί ίση, φού οι γωνίες ΑΓ Β κι ΔΓ Ε είνι ίσες ως κτκορυφήν, άρ είνι όμοι Θέμ 3 ο ) ΝΣυνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ γι την πλευρά β: β = 3 7 β = + γ γσυνβ β = β = 63 β) η μεγλύτερη πλευρά κι ισχύει: < β + γ, φού = 81, β + γ = 99 Άρ Α < 90 κι φού γνωρίζουμε πως σε έν τρίγωνο πένντι πό την μεγλύτερη πλευρά βρίσκετι η μεγλύτερη γωνί, το τρίγωνο είνι οξυγώνιο γ) Φέρνω ύψος ΑΔ Εφρμόζω Γενίκευση Πυθγορείου Θεωρήμτος γι την πλευρά β (Β < 90 ):

4 β = + γ ΒΔ ΒΔ = + γ β ΒΔ = 9 ΒΔ = 3 δ) Από 1 ο ΘΔιμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει: ΑΜ = β +γ ΑΜ = ΑΜ = ΑΜ = 3 13 ΑΕ, ΒΓ χορδές κι τέμνοντι στο Μ Άρ : ΑΜ ΜΕ = ΒΜ ΜΓ ΒΜ=ΜΓ= ΜΕ = ΑΜ ΜΕ = ΜΕ = ΜΕ = Τ τρίγων ΑΒΜ κι ΜΕΓ είνι όμοι, φού ΑΜ Β = ΕΜ Γ (ως κτκορυφήν) κι ΑΒ Μ = ΜΕ Γ (ως εγγερμμένες γωνίες που βίνουν στο ίδιο τόξο) Άρ: ΕΓ ΑΒ = ΜΓ ΑΜ ΕΓ ΕΓ = ΘΕΜΑ ο γ = ΑΜ ΕΓ = ΕΓ = γ ΑΜ ΕΓ = ΕΓ = Ισχύει: β + γ = = β +γ Άρ < β + γ Α < 90 ΒΔ = 5 18 ) ΑΕ: η προβολή της β πάνω στην γ Άρ εφρμόζω Γενίκευση Πυθγορείου Θεωρήμτος γι την πλευρά (Α < 90 ): = β + γ γ ΑΕ β +γ = Γι την ΑΜ εφρμόζω 1 ο ΘΔιμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ: ΑΜ = β +γ = (β +γ ) = γ ΑΕ γ ΑΕ = ΑΕ = γ β +γ = ΑΜ = 3 β) Στο τρίγωνο ΑΕΜ, ΕΖ διάμεσος, 1 ο ΘΔιμέσων: ΕΖ = ΑΕ + ΕΜ ΑΜ ΕΖ = γ ΕΜδιάμεσος στο ορθτρίγωνο ΕΒΓ,άρ ΕΜ= ΕΖ = 16γ ΕΖ = ( γ ) 16γ ΑΜ = 3 γ + 3 γ =β ΕΖ = β 16γ ΕΖ = β γ γ) Το ΕΔΓΒ είνι εγγράψιμο, φού η ΒΓ «φίνετι» πό τις πένντι κορυφές Ε κι Δ υπό ίσες γωνίες Συνεπώς: ΑΒ Γ + ΕΔ Μ = 180 Όμως ΑΔ Ε + ΕΔ Μ = 180 Άρ: ΑΔ Ε = ΑΒ Γ Τ τρίγων ΑΔΕ κι ΑΒΓ είνι όμοι, φού: Α κοινή κι ΑΔ Ε = ΑΒ Γ Άρ: ΑΕ β = ΕΔ ΑΕ ΕΔ = β 3 ΕΔ = βγ δ) Αφού τ τρίγων ΑΔΕ κι ΑΒΓ είνι όμοι, θ ισχύει: ΑΔ γ Στο τρίγωνο ΑΔΜ, ΔΖ διάμεσος, 1 ο ΘΔιμέσων: ΔΖ = ΑΔ + ΔΜ ΑΜ ΔΜδιάμεσος στο ορθτρίγωνο ΔΒΓ,άρ ΔΜ= ΔΖ = = ΕΔ ΑΔ = β β + 3

5 ΔΖ = β 16β ΔΖ = ( β ) β =γ 16β ΔΖ = γ 16β ΔΖ = γ β ΔΖ + ΕΖ = γ + β = γ +β = (γ +β ) β +γ = ΔΖ + ΕΖ = 3 β γ βγ βγ βγ ΔΖ + ΕΖ = ΕΔ Άρ τ σημεί Δ, Ε κι Ζ είνι συνευθεικά