Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές. Ασκήσεις Παραβολή

Transcript

1 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Προλή 1. Ν ρεθεί η εστί κι η διευθετούσ των προλών: i) = - ii) = 8 iii) = 1 (Απ.: i) E(-1, 0), = 1 ii) E(, 0), = - iii) E(0, 3), = -3). Ν ρεθεί η εξίσωση της προλής που έχει την κορυφή της στην ρχή των ξόνων κι άξον συµµετρίς τον : i) έχει εστί Ε(, 0) (Απ.: = 8) ii) έχει διευθετούσ την ευθεί = 5 (Απ.: = -0) iii) διέρχετι πό το σηµείο Μ(1, ) (Απ.: = ) 3. Ν ρεθεί η θέση του σηµείου Α(1, ) ως προς την προλή i) = ii) = -. ίνετι η προλή c: = p, p > 0. Ν.δ.ο. i) Η πόστση ενός τυχίου σηµείου της Μ( o, o ) πό την εστί Ε είνι ίση ii) µε p o +. Η κορυφή της είνι το πλησιέστερο στην εστί σηµείο της προλής. 5. ίνετι η προλή c: = 16. Ν ρεθούν τ σηµεί της, των οποίων η πόστση πό την εστί είνι ίση µε 8. (Απ.: Μ(, -8), Μ(, 8)) 6. ίνετι η προλή c: =. Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτοµένης: i) που διέρχετι πό το σηµείο Α(8, ) (Απ.: + 8 = 0) ii) που διέρχετι πό το σηµείο B(-, -1) (Απ.: + = 0, = 0) iii) που είνι πράλληλη στην + = 0 (Aπ.: + + 1/ = 0) iv) που είνι κάθετη στην + 3 = 0 (Aπ.: + + 1/ = 0) 7. ίνετι η προλή = κι το σηµείο Α(3, 1). Ν ρεθεί η χορδή της προλής που έχει µέσο το Α. (Απ.: = 5) 8. Έστω η προλή = p κι ΑΕΒ τυχί εστική χορδή µε Α( 1, 1 ),Β(, ). i) Ν υπολογισθούν τ 1, 1 +, 1, 1 +. ii) iii) Ν.δ.ο. οι εφπτοµένες στ Α κι Β τέµνοντι κάθετ. Ν.δ.ο. οι εφπτοµένες στ Α κι Β τέµνοντι πάνω στη διευθετούσ.

2 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Προλή 1. Αν η εφπτοµένη της προλής = p στο σηµείο Τ υτής τέµνει τον στο Α ν.δ.ο. ο διχοτοµεί το ευθύγρµµο τµήµ ΑΤ.. Έστω Μ(ζ, ω) τυχίο σηµείο της = p. Αν Α είνι το σηµείο τοµής της εφπτοµένης της προλής στο Μ µε τον Ο ν.δ.ο. ΑΜ ΑΕ, (Ε εστί). 3. ίνετι η προλή c: = p, p > 0 κι το σηµείο της Μ( o, o ) µε ( o, o ) (0, 0). Έστω (ε) η εφπτοµένη στο Μ. Από την κορυφή Ο φέρνουµε κάθετη στην (ε) που τέµνει την (ε) στο Α κι την (c) στο Β. Ν.δ.ο. ΟΑ ΟΒ = p.. ίνετι η προλή c: = κι το σηµείο της A(t, t). Ν.δ.ο. ο κύκλος µε διάµετρο την ΕΑ (Ε εστί) εφάπτετι του. 5. ίνετι η προλή c: = κι το σηµείο Μ(, 0), > 0. Ευθεί (ε) διερχόµενη πό το Μ τέµνει τη (c) στ Α, Β. Αν Ρ κι Σ οι προολές των Α, Β στον ντίστοιχ ν.δ.ο. ΑΡ ΒΣ = ΟΜ. 6. ίνετι η προλή c: = κι το σηµείο Α(t, t), t R *. Έστω Β η προολή του Α στον κι Μ η προολή του Β στην ευθεί ΟΑ. i) Ν.δ.ο. η ευθεί ΜΒ τέµνει τον σε στθερό σηµείο. (Απ.: Γ(, 0)) ii) Ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Μ. (Απ.: + = 0) 7. ίνετι η προλή c: = κι το σηµείο της Α(t, t), t R *. i) Ν ρεθεί η εξίσωση της διευθετούσς της προλής. ii) Έστω Ε η εστί της προλής κι Β η προολή του Α στη διευθετούσ. ) Ν ρεθούν οι συντετγµένες του Β. ) Αν το τρίγωνο ΑΒΕ είνι ισόπλευρο, ν ρεθούν οι συντετγµένες του Α. 8. ίνετι η προλή c: = κι τ σηµεί της Μ( t 1,t1), Ρ( t,t ) µε t1 t κι t1 t 0. Η εφπτοµένη της (c) στο Μ τέµνει τον στο Α κι η εφπροµένη της (c) στο Ρ τέµνει τον στο Β. Αν Σ το µέσο του ΑΒ ν.δ.ο. ΕΣ ΜΡ = 0.

3 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Έλλειψη 1. Ν ρεθούν τ µήκη των ξόνων, οι εστίες κι η εκκεντρότητ των ελλείψεων: i) = 00 (Απ.: 10, 8, Ε (-3, 0), Ε(3, 0), ε = 3/5) ii) + = (Απ.:,, Ε (- 3, 0), Ε( 3, 0), ε = 3 /) iii) 5 + = 5 (Απ.: 10, 6, Ε (0, -), Ε(0, ), ε = /5). Ν ρεθεί η εξίσωση της έλλειψης + = 1 που έχει: i) Ε (-, 0), Ε(, 0), µεγάλο άξον (Απ.: + = 1) 16 1 ii) Ε (0, -1), Ε(0, 1), εκκεντρότητ /3 (Απ.: = 5) iii) Α (-5, 0), Α(5, 0), µικρό άξον 6 (Απ.: + = 1) 5 iv) µεγάλο άξον 8, εκκεντρότητ 3/ (Απ.: + = 1) 16 7 v) µικρό άξον 6, εστική πόστση 8 (Απ.: = 5) vi) διέρχετι πό τ σηµεί (6, ), (8, 3) (Απ.: vii) διέρχετι πό το σηµείο (6, ) κι = (Απ.: viii) διέρχετι πό το σηµείο Μ(, /5) κι έχει (Ε Ε) = 8 (Απ.: 3. Ν ρεθεί η εκκεντρότητ της έλλειψης της οποίς: + = 1) = 1) = 1) 5 i) ο µικρός άξονς φίνετι πό κάθε εστί υπό γωνί 60 ο (Απ.: ε = 3 /) ii) µι κορυφή του µικρού άξον λέπει υπό ορθή γωνί το τµήµ Ε Ε (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης) (Απ.: ε = /). Ν.δ.ο. οι ελλείψεις µε εξισώσεις έχουν τις ίδιες εστίες. + = 1 κι = 1 5. ίνετι η έλλειψη + = 1 κι το σηµείο Ρ(1, 1). Ν ρεθεί η εξίσωση της χορδής Μ 1 Μ της έλλειψης της οποίς το Ρ είνι µέσο. (Απ.: ε: + 13 = 0) 6. Αν οι ελλείψεις c 1 : + = 1, c : διφορετικά σηµεί, ν.δ.ο. τ σηµεί υτά είνι οµοκυκλικά. + = 1 µε > τέµνοντι σε τέσσερ

4 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Έλλειψη 1. Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων της c: + = 36 που διέρχοντι: 3 i) πό το σηµείο Κ, (Απ.: ε: 6 + = 36) ii) πό το σηµείο Λ(0, ) (Απ.: ε: ± = 36) iii) πό το σηµείο Μ(3, 5) (Απ.: ε: = 3, = ). Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων της c: 3 + = 1 που είνι: i) πράλληλες στην ε: + 1 = 0 (Απ.: + ± 7 = 0) ii) κάθετες στη δ: = (Απ.: + ± = 0) 3. ίνετι η έλλειψη c: + = 1, > κι το σηµείο της Μ(o, o ) µε o 0. Η εφπτοµένη της c στο Μ τέµνει τον στο Ρ. Αν Σ η προολή του Μ στον ν.δ.ο. (ΟΡ)(ΟΣ) =.. Αν Μ( o, o ) τυχίο σηµείο της έλλειψης c: κι κέντρο Ο(0, 0). Ν.δ.ο. (ΜΕ)(ΜΕ ) + (ΟΜ) = ίνετι η έλλειψη c: + = 1, > µε εστίες Ε, Ε + = 1, > κι το σηµείο της Μ(o, o ). Η εφπτοµένη της c στο Μ τέµνει τους άξονες κι στ Ν κι Ρ ντίστοιχ. Ν.δ.ο. ΟΝ + ΟΡ = 1. ( ) ( ) 6. Η εφπτοµένη της έλλειψης σε τυχίο σηµείο της Ρ τέµνει τον στο σηµείο Τ κι οι ευθείες ΡΑ, ΡΑ τέµνουν τη κάθετη που φέρνουµε πό το Τ στον στ σηµεί Μ κι Ν ντίστοιχ. Ν.δ.ο. Τ µέσο του ΜΝ. 7. Ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(ηµθ, 3συνθ), θ R. t 8. Ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων (, ) όπου = 1+ 1 t = 1+ t µε, > 0 κι t R.. ίνετι η έλλειψη c: + = 36 κι το σηµείο της Ρ(3συνθ, ηµθ). Αν Ν είνι η προολή του Ρ στον άξον, πίρνουµε t ΡΜ= ΡΝ. Ν.δ.ο. το Μ κινείτι σε έλλειψη γι κάθε θ R. (Απ = 1),

5 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Υπερολή 1. Ν ρεθούν οι εστίες κι η εκκεντρότητ των υπερολών: i) 16 = 1 (Απ.: Ε (-5, 0), Ε(5, 0), ε = 5/3) ii) 16 = 16 (Απ.: Ε (0, 17 ), Ε(0, 17 ), ε = 17 ). Ν ρεθεί η εξίσωση της υπερολής = 1 που έχει: i) κορυφές Α (-3, 0), Α(3, 0) κι εστική πόστση 10 (Απ.: 16 ii) Ε (-10, 0), Ε(10, 0), (ΑΑ ) = 16 (Απ.: 6 36 iii) Ε (-5, 0), Ε(5, 0), ε = 5/3 (Απ.: iv) σύµπτωτες =, =- κι περνά πό το Μ(10, -) (Απ.: =1) Ν ρεθεί η εξίσωση της υπερολής που διέρχετι πό τ σηµεί Κ(3, 1) κι Λ(, 5). (Απ.: 6. Ν ρεθεί η εξίσωση της υπερολής που έχει εκκεντρότητ κι τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη + = 1. (Απ.: Ν ρεθεί η εξίσωση της υπερολής = 1 που έχει κορυφές τις εστίες της έλλειψης + = 1 κι εστίες τις κορυφές της έλλειψης. (Απ.: Ν ρεθεί η εξίσωση της ισοσκελούς υπερολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη + = 1. (Απ.: = ) ίνετι η εξίσωση + 1+ λ + λ = 1. Ν ρεθεί γι ποιες τιµές του λ η εξίσωση πριστάνει υπερολή. Γι τις τιµές υτές ν ρεθεί ο άξονς της υπερολής κι οι εστίες της.

6 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Υπερολή 1. Ν.δ.ο. η ευθεί = 0 τέµνει την υπερολή = 1. Στη συνέχει ν ρεθούν οι συντετγµένες του µέσου της χορδής που ορίζετι πό τ σηµεί τοµής της ευθείς µε την υπερολή. (Απ.: Μ(, )). ίνετι η υπερολή = 1 κι το σηµείο Μ(, -3). Ν ρεθεί η εξίσωση της χορδής που έχει µέσο το Μ. (Απ.: ε: = 0) 3. Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων της c: = 1 που: i) διέρχοντι πό το K(, 1) (Απ.: = 0) ii) είνι πράλληλες στη + 1 = 0 (Απ.: ± = 0) iii) διέρχοντι πό το Μ(1, 1/) (Απ.: = 0) iv) διέρχοντι πό το N(-, 1) (Απ.: = ). Ν ρεθεί η εκκεντρότητ της υπερολής = 1, >, ν η οξεί γωνί που σχηµτίζουν οι σύµπτωτες είνι 60 ο. (Απ.: ε = ) 5. Αν η υπερολή = 1 έχει εκκεντρότητ ε = ν ρεθεί η οξεί γωνί των σύµπτωτών της. (Απ.: φˆ = 60 ο ) 6. Ν.δ.ο. η πόστση κάθε εστίς της ίση µε. = 1 πό τις σύµπτωτές της είνι 7. Ν.δ.ο. το γινόµενο των ποστάσεων κάθε σηµείου της = 1 πό τις σύµπτωτες είνι στθερό. (Απ.: d 1 d = 8. Ν.δ.ο. το γινόµενο των ποστάσεων των εστιών της υπερολής οποιδήποτε εφπτοµένη της είνι στθερό. (Απ.: d 1 d = ) γ ) = 1 πό. ίνετι η υπερολή c: = 1. Ευθεί διερχόµενη πό το σηµείο Ο(0, 0) τέµνει την (c) στ Μ κι Ν. Ν.δ.ο. οι εφπτοµένες στ Μ κι Ν είνι πράλληλες