ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Intuitionistic Fuzzy Sets. Ανέστης Χατζημιχαηλίδης Μαθηματικός, Υπ. Διδάκτορας

Transcript

1 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Intuitionistic Fuzzy Sets Αέστης Χατζημιχαηλίδης Μαθηματικός, Υ. Διδάκτορας Τα Διαισθητικά Ασαφή Σύολα ( τα οοία χάρι συτομίας θα αοκαλούμε IFSs ), είαι μια εέκταση τω Ασαφώ Συόλω και ρωτοαρουσιάσθηκα αό το K.T.tanassov στις αρχές τις δεκαετίας του 80 ([1 4]). Η οομασία «διαισθητικά» ροκάλεσε (και συεχίζει α ροκαλεί ακόμα και σήμερα) ατιδράσεις αό μεγάλη μερίδα μαθηματικώ ου ασχολούται με τη ασαφή λογική (D. Dubois κ.α.). 1. Διαισθητικά Ασαφή Σύολα ( IFSs ) 1.1 Ορισμός της έοιας του IFS Έστω έα σύολο ααφοράς. Έα IFS * στο είαι έα ατικείμεο με το ακόλουθο τύο: * =, µ ( ), v ( ) / { } όου οι συαρτήσεις µ : [0,1] και v : [0,1] ορίζου το βαθμό συμμετοχής και το βαθμό μη συμμετοχής του στοιχείου στο ατίστοιχα, και για κάθε είαι 0 µ ( ) + v ( ) 1. Προφαώς κάθε κοιό ασαφές σύολο έχει το τύο: {, µ ( ),1 µ ( ) / Εά ( ) = 1 µ ( ) v ( ) τότε ( ) είαι ο βαθμός της μη αοφασιστικότητας του στο *. Στη ερίτωση τω ασαφώ συόλω είαι ( ) = 0,. Έα IFS είαι σύολο με τη έοια της κλασικής θεωρίας συόλω ; Ναι, κάθε IFS είαι έα σύολο με τη έοια της κλασικής θεωρίας συόλω. Αόδειξη: Έστω είαι έα σύολο ααφοράς, ορίζουμε για το σύολο το IFS * ως: * =, µ ( ), v ( ) /. Έστω * [ 0,1] [ 0,1 ] { } =, ροφαώς * *, και εομέως μορούμε α ορίσουμε τη χαρακτηριστική συάρτηση Ω *: * {0,1} με:

2 ( α β ) Ω * <,, > 1, α µ ( ) = α και ( )=β = 0, οουδήοτε αλλού Το * λοιό είαι έα σύολο με τη έοια της θεωρίας συόλω μέσα στο γεικευμέο *. Για αλοοίηση τω συμβολισμώ μας, στα εόμεα, θα γράφουμε ατί για *. 1.2 Πράξεις και σχέσεις στα IFSs Σ αυτή τη εότητα θα αρουσιάσουμε μερικές ράξεις και σχέσεις άω στα IFSs, οι οοίες ροκύτου με εέκταση τω ορισμώ τω σχέσεω και ράξεω τω ασαφώ συόλω. Ατίστροφα, οι σχέσεις και οι ράξεις τω ασαφώ συόλω θα μορούσα α θεωρηθού ως ειδικές εριτώσεις αυτώ τω καιούργιω ορισμώ. Για κάθε δύο IFSs και ορίζοται οι ακόλουθες ράξεις [1]: 1. µ ( ) µ ( ) και v( ) v ( ), = µ ( ) = µ ( ) και v ( ) = v ( ), 4. = {, v( ), µ ( ) / 5. = {, min ( µ ( ), µ ( ) ),ma ( v( ), v ( ) ) / 6. = {, ma ( µ ( ), µ ( ) ),min ( v( ), v ( ) ) / 7. + = {, ( µ ( ) + µ ( ) µ ( ) µ ( ) ),( v( ) v ( ) ) / 8. = {, ( µ ( ) µ ( ) ),( v( ) + v ( ) v( ) v ( ) ) / = ( µ ( ) + µ ( ) ) ( ( ) + ( )),, / 2 2 { } 10. $ =, µ ( ) µ ( ), ( ) ( ) / 11. * = µ + µ +,, / 2 ( µ µ + 1) 2 ( + 1) 12. >< = ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ, 2, 2 /, µ + µ + για τη οοία δεχόμαστε ότι: α µ ( ) µ ( ) 0 = =, τότε ( ) ( ) ( ) + ( ) µ µ µ µ = 0

3 και είσης α ( ) ( ) 0 = =, τότε ( ) ( ) ( ) + ( ) = 0 Οι τρεις ρώτες σχέσεις είαι αάλογες ρος τις σχέσεις της εριεκτικότητας και της ισότητας στη θεωρία ασαφώ συόλω. Και εδώ ισχύει ότι για κάθε δύο IFSs Α και Β είαι: και =. Είσης κάθε μία αό τις αραάω οκτώ ράξεις έχει αρόμοια στη θεωρία τω ασαφώ συόλω. Στη βιβλιογραφία, εκτός τω αραάω οκτώ ράξεω, αατώται και αρκετές άλλες [4]. 2 Γεωμετρική ερμηεία τω διαισθητικά ασαφώ συόλω 2.1 Γεωμετρική ερμηεία tanassov Έστω είαι έα σύολο ααφοράς, και έστω F έα ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο στο Ευκλείδειο είεδο, με καρτεσιαές συτεταγμέες: F = { P /( p =< α, β > ), όου α, β 0 και α + β 1 } Έστω, κατασκευάσουμε συάρτηση f : F, έτσι ώστε Εομέως α = µ ( ) και β = ( ) Προφαώς, η f ( ) = p =< α, β > F, 0 α + β 1 f ατιστοιχεί στο <1,0> το για το οοίο είαι µ ( ) = 1 και ( ) = 0, ομοίως στο <0,1> ατιστοιχεί το για το οοίο είαι µ ( ) = 0 και ( ) = 1, όως φαίεται στο αρακάτω Σχήμα 1. < 0, 1> f Ε P < 0, 0 > <1, 0 >

4 Σχήμα 1 Γεωμετρική ερμηεία tanassov 2.2 Άλλες γεωμετρικές ερμηείες Εκτός της γεωμετρικής ερμηείας tanassov [1], ου είαι η λέο διαδεδομέη και εύχρηστη, έχου αρουσιασθεί και άλλες γεωμετρικές ερμηείες ([5], [7]). Στη συέχεια αραθέτουμε μια γεωμετρική ερμηεία εοιώ της θεωρίας τω διαισθητικά ασαφώ συόλω ου θα μορούσε α θεωρηθεί, κατά μια έοια και ως γείκευση της γεωμετρικής ερμηείας του Danchev. Θεωρούμε έα τυχαίο τρίγωο T. Αό τη Ευκλείδεια γεωμετρία, γωρίζουμε ότι α μ Ρ τυχαίο εσωτερικό σημείο του T, τότε ισχύει: + + = 1, όου μ,,, υ υ υ μ είαι οι αοστάσεις του Ρ αό τις λευρές μ,, του τριγώου T ατίστοιχα, και υ, υ, υ, τα ατίστοιχα ύψη. μ Έστω έα σύολο ααφοράς και έστω, κατασκευάζουμε συάρτηση f T, έτσι ώστε α είαι f ( ) = p =< α, β > T, 0 α + β 1 : Εομέως: α µ β = ( ) = και μ = ( ) =, υ μ υ 1 µ ( ) ( ) = ( ) =. υ <1,0> Ε f υ μ υ μ f () υ <0,1> μ <0,0> Σχήμα 2 Η γεωμετρική ερμηεία ου ααφέρεται σε τυχαίο τρίγωο

5 3 Διαισθητικά ασαφείς συεαγωγές 3.1 Γεικά Ας οομάσουμε S το σύολο τω ροτάσεω p και έστω η εκτιμήτρια συάρτηση V : S [ 0, 1 ] [ 0, 1 ] τέτοια ώστε: V ( p ) = µ ( p ), ( p ), όου µ ( p ) + ( p ) 1. Η V δίει τους βαθμούς αληθείας και ψεύδους όλω τω ροτάσεω του S. Είσης η V ορίζει τη τιμή «αληθής» T, ως V (T) = 1, 0 και τη τιμή «ψευδής» F, ως V (F ) = 0, 1. Έστω p μία ρόταση και p η άρησή της, τότε: V( p) = ( p), µ ( p ). Ότα οι τιμές V( p ) και V( q ) τω ροτάσεω p και q είαι γωστές, η εκτιμήτρια συάρτηση V μορεί α εεκταθεί χρησιμοοιώτας τις ράξεις και ως εξής: ( ( p ), µ ( q )), ma ( ( p ), ( ) ( ( p ), µ ( q )), min ( ( p ), ( ) V ( p q ) = min µ q ), V ( p q ) = ma µ q ). Αό τις συεαγωγές, οι οοίες ορίζοται στα ασαφή σύολα, ορισμέες μόο εεκτείοται στα IFSs. Οι δύο ιο αοδεκτοί ορισμοί συεαγωγώ στα IFSs, είαι οι ακόλουθοι [1]: i) Η ma min συεαγωγή: ( p q ) ii) η sg συεαγωγή: V ( p q ) = V = ma ( ( p), µ ( q) ), min ( µ ( p), v( q )) και 1 ( 1 µ ( q) ) sg ( µ ( p) µ ( q) ), v( q ) sg ( µ ( p) µ ( q) ) sg ( ( q) v( p )), όου 1 α > 0 sg( ) =. 0 α 0 Οι συεαγωγές ου ορίζοται στα IFSs καταλήγου στη κλασσική συεαγωγή ότα οι τιμές εριορίζοται στο 0 και 1, δηλαδή: V ( p ) V (q) V ( p q )

6 0, 1 0, 1 1, 0 0, 1 1, 0 1, 0 1, 0 0, 1 0, 1 1, 0 1, 0 1, Η διαισθητικά ασαφής συεαγωγή " συεαγωγή Η εόμεη Πρόταση 1 αρουσιάζει ([6]) μια συεαγωγή στα IFSs. Η συεαγωγή αυτή είαι μια εέκταση της ασαφούς συεαγωγής ([8]): ( a, b ) 1 sg ( a b ) (1 b ) b, a, b [0,1]. g h =[ ] [ ] Πρόταση 1: Έστω δύο IFSs και. Ορίζουμε τη V( ) ως ακολούθως: {, ma ( µ ( ), v ( ) ), min ( µ ( ), v ( ) ) /, οτα µ ( ) µ ( ) και ( ) v ( ) = {,0,1 / E }, οουδηοτε αλλου. Η συεαγωγή καταλήγει στη κλασσική συεαγωγή, ότα οι τιμές εριορίζοται στο 0 και 1, δηλαδή: V () V () V ( ) 0, 1 0, 1 1, 0 0, 1 1, 0 1, 0 1, 0 0, 1 0, 1 1, 0 1, 0 1, 0 4. Ααφορές [1] K. T. tanassov, Intuitionistic Fuzzy Sets Theory an pplications, Springer Verlag, erlin, [2] tanassov K., Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets an Systems, vol.20 (1986), No.1, p [3] tanassov K., More on intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets an Systems, vol.33 (1989), No.1, p [4] tanassov K., New operations efine over the intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets an Systems, vol.61 (1994), No.2, p [5] Danchev S., new geometrical interpretation of some concepts in the Intuitionistic Fuzzy Logics, Notes on IFS, Vol. 1(1995), No 2, p [6]. G. Hatzimichailiis,. K. Papaopoulos., new implication in the Intuitionistic Fuzzy Sets, Notes on IFS, Vol. 8 (2002), No 4, p

7 [7]. G. Hatzimichailiis,. K. Papaopoulos: «Α new geometrical interpretation of some concepts in the intuitionistic fuzzy logics, Notes on IFS, Vol. 11, No.2. (2005). [8]. G. Hatzimichailiis, V. G. Kaburlasos,. K. Papaopoulos: n Implication in Fuzzy Sets, 2006 IEEE Worl Congress on Computational Intelligence 2006 IEEE International Conference on Fuzzy Systems Vancouver,C, Canaa