γ λυκειου κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο3 ολοκληρωτικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ

Transcript

1 γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος ειμελει : τκης τσκλκος T Ш τ 017

2 ... ρχικη συρτηση... ορισμεο ολοκληρωμ... η συρτηση F()=... εμδο ειεδου χωριου T Ш τ

3 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Θ Ε Ω Ρ Ι Α... ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f μί συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ], με f() 0 γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της f, το άξο τω κι τις ευθείες,. Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υοδι - στήμτ, μήκους με τ σημεί - Δ=, Σε κάθε υοδιάστημ [, ] ειλέγουμε υθί- κ-1 κ ρετ έ σημείο κι σχη- μτίζουμε τ ορθογώι ου έχου άση Δ κι ύψη τ f(ξ ). κ Το άθροισμ τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι S = f(ξ )Δ+f(ξ )Δ+...+f(ξ )Δ=[f(ξ ) +...+f(ξ )]Δ` 1 1 v S =Δ f(ξ )= Δ f(ξ ) i κ i = 1 κ=1 Yολογίζουμε το lim S. Αοδεικύετι ότι το lim S υάρχει στο κι είι ε- ξάρτητο ό τη ειλογή τω σημείω. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Σύμφω με τ ράω οομάζετι εμδό του είεδου χωρίου Ω χωρίο ου ο - ρίζετι ό τη γρφική ράστση της f, το άξο τω κι τις ευθείες χ=, χ=, το lim κ=1 συμολίζετι με Ε(Ω) με Ε(Ω) 0 f(ξ )Δ κ Τκης Τσκλκος Κερκυρ 017 6

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός κι ΟΡΙΣΜΟΣ Σύμφω με τ ράω οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης f ό το στο, το συμολίζετι με f()d κι lim κ=1 f(ξ )Δ διάζετι ολοκλήρωμ της f ό το στο. Δηλδή, f()d= lim κ=1 f(ξ )Δ κ κ Ερμηεί (Γεωμετρί) Α f() 0 γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμ f()d δίει το εμδό E(Ω) του χωρίου Ω ου ερικλείετι - ό τη γρφική ράστση της f το άξο τω χ κι τις ευθείες κι (σχήμ 1). Δηλδή, f()d= E(Ω) ΣΧΟΛΙΟ Γι κάθε [, ], τότε Α f() 0 (f()>0) : f()d 0 ( f()d 0 ) (σχήμ 1) Α f() 0 (f()<0) : f()d 0 ( f()d 0 ) (σχήμ ) Τκης Τσκλκος Κερκυρ 017 7

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡIΟΥ Ω (ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Αό τη θεωρί το εμδό του χωρίου Ω, ου ερικλεί- ετι ό τις γρφικές - ρστάσεις τω συρτήσε- ω f,g το άξο χ χ κι τις ευθείες χ=, χ= δίε- τι ό το τύο: Ε(Ω)= δηλδή Ε(Ω)= f() Ε(Ω)= f() f()-g() d g() g() (f()-g())d, (g()-f())d, Σύμφω με τ ράω ρίτητο είι oι συρτήσεις f, g είι συεχείς. γωρίζουμε το ρόσημο της διφοράς f()-g(). έχουμε δύο σημεί του άξο χ χ, ου θ οτελέσου τ άκρ ολοκλήρωσης. Αυτά μορεί είι: δύο δοσμέ σημεί (σημεί του χ χ ου διέρχοτι οι ευθείες χ=, χ=) δύο τετμημέες τω σημείω τομής τω C f κι C g (λύσεις του συστήμτος τω εξισώσεω τους) μι τετμημέη του σημείου τομής τω C f κι C g (λύση του συστήμτος τω εξισ ώσεω τους) κι έ δοσμέο. Π ρ τ η ρ ή σ ε ι ς Έ ό τ ράω σημεί μορεί είι το χ=0 (άξος y y) Τκης Τσκλκος Κερκυρ

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 14. Τ ο ε μ δ ό χ ω ρ ί ο υ ο ρ ί ζ ο υ ο ι : C f, C g, ο άξος χ χ κι οι ευθείες =, = Σ κ ο ό ς : Ν ρούμε το ρόσημο της h() = f() - g() στ διστήμτ ου σχημτίζοτι τις ρίζες της h() = 0 κι τ,. A τ ι μ ε τ ώ ι σ η : Γεικά ισχύει στο [, ] με ρουόθεση η f είι συεχής: Ε(Ω) =, f() > 0 Ε(Ω) = -, f() < 0 1. Bρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης h() = 0. A έχει μι ρίζ ρ κι ρ [, ]. Βρίσκουμε το ρόσημο της h στ διστήμτ: [, ρ ], [ ρ, ] 4. Βρίσκουμε τ: 5. Ε(Ω) = άλογ με ρόσημο της f στ τίστοιχ διστήμτ. Τκης Τσκλκος Κερκυρ

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Δίοτι οι συρτήσεις f, g με τύο f()=εφ συ κι g()=ημ. N ρείτε το εμδό του χωρίου, ου ερικλείετι ό τη C f, το άξο χ χ κι τις ευθείες χ=, χ=. Θεωρούμε τη συάρτηση με τύο h()=f()-g()= = εφσυ-ημ ημσυ = -ημ συ = ημ Η h είι συεχής στο διάστημ (ημίτοο) [, ] Οι ρίζες της h()=0` ημ=0 είι ρ= ρ [, ] Η h είι θετική γι δηλδή < < κι ρητική γι < < h()>0 στο διάστημ [,] κι h() d= ημ d = (- συ)' d =[- συ] 1 =- συ+συ =- (-1) + = h()<0 στο διάστημ [,] κι Άρ h() d= ημ d = (- συ)' d =[- συ] =- συ +συ= 0 +1= 1 = h() d- h() d= - 1= 1 Ε(Ω) τ.μ. Τκης Τσκλκος Κερκυρ

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Ε λ λ κ τ ι κ ά Θεωρούμε τη συάρτηση με τύο h()=f()-g()= = εφσυ-ημ Οι h είι συεχής στο διάστημ [, ] σ ράξεις συεχώ Οι ρίζες της f()=0` εφσυ=0 είι ρ= Οι ρίζες της g()=0` ημχ=0 είι ρ= ρ [, ] Οι f, g είι θετικές γι < < Ε (Ω)= f() d- f() d 1 κι ρητικές γι < < = d- d = (- συ)' d- (- συ)' d = [- συ] -[- συ] = [- συ+συ ]- [- συ +συ]= - = 1 Ε (Ω)= g() d- g() d= ημ d - ημ d Άρ = (- συ)' d- (- συ)' d =[- συ] -[- συ] 1 1 =- συ+ συ -(- συ + συ)= - = 1 1 Ε(Ω) = Ε (Ω)-Ε (Ω) = τ.μ. 1 Τκης Τσκλκος Κερκυρ

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η Δίετι η γησίως μοότοη συάρτηση f:[0,] κι η h: γι τις οοίες ισχύει : -f()+f(0) lim = - f(h ()+h())-f()=-h ()-h(),γι κάθε ) N ρείτε το είδος της μοοτοίς της f ) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της συάρτησης -1 g()=f (-)-f () γ) Ν οδείξετε ότι η h ()+h()= γι κάθε συέχει ότι είι γησίως ύξουσ κι ότι h( )= Είσης ρείτε το ρόσημο της h. κι στη δ) Ν οδείξετε ότι η h είι συεχής κι ργωγίσιμη στο εδίο ορισμού της κι στη συέχει ρείτε το σημείο κμής της. ε) N υολογίσετετο εμδό ου σχημτίζετι ό τη γρφική ράστση της h τη εξίσωση της εφτομέ - ης στο σημείο κμής της κι τις ευθείες χ=- κι χ= με τη ρουόθεση ότι η h - 1 είι συεχής στο.. Θεωρούμε ργωγίσιμη συάρτηση f: με τη ιδιότητ (f'()) >-6ημ(f'()) γι κάθε ) Ν οδείξετε ότι η f είι γησίως ύξουσ στο ) Α ειλέο ισχύου : f()+f(-)=-1 γι κάθε Η ευθεί με εξίσωση τωτη της C στο - f 1) Ν λύσετε τη εξίσωση + f() = e ) Ν ρείτε το ημf() f() e -e lim ημ(f())-f() + 1 y= f()d είι οριζότι σύμ - -1 Τκης Τσκλκος Κερκυρ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός. Δίοτι οι συρτήσεις f,g: γι τις οοίες ισχύου οι σχέσεις: e -1 g()=, e - f(0) (e -) d= 0 0 f'()-f()= f() d-e +5,γι κάθε Ν οδείξετε ότι 1 0 ) η g έχει δύο τοικά κρόττ στις θέσεις ), 0 1 < 1< κι ροσδιορίσετε το είδος τους. 0 1 γ) 1) f()=e -1, γι κάθε ) f()-f() f()-f() < γι κάθε (, ) f() d< (f() + f()) δ) υάρχει [0, ]: 1 f(ξ )= 0 (ημ f( )) d με 4. Δίετι η συεχής συάρτηση f:[0, ) η οοί ικοοιεί τις σχέσεις: f() e γι κάθε 0, f ()-e f()+e συ γι κάθε f() d= e 0 f()=e +συ γι κάθε, Ν οδείξετε ότι ) f()=e +συ γι κάθε [0, ) ) γι κάθε >0 η εξίσωση τουλάχιστο ρίζ στο [0, ) 0, e -+ημ=-συ έχει μί γ) 0 e +e e f() d= -1 δ) υάρχει, : ξ e +e = e f() d+ 0 Τκης Τσκλκος Κερκυρ

12 ` κεφλιο 017 τκης τσκλκος T Ш τ κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο