1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

Transcript

1 Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας µοαδικός πραγµατικός αριθµός β µε β =α Ο αριθµός αυτός β οοµάζεται ιοστή ρίζα του α στο σύολο R και συµβολίζεται µε α Έτσι, µε α, β R και N, έχουµε: β = α β= α Θεωρούµε έα πραγµατικό αριθµό a Έχουµε: 1 a = a Θέτουµε: α) = (το δε έχει άλλη ιοστή ρίζα στοr ) β) 4= (το 4 δε έχει άλλη τετραγωική ρίζα στοr ) α = α γ) 8= (το 8 δε έχει άλλη κυβική ρίζα στοr ) Στη συέχεια αποδεικύοται όλες οι γωστές ιδιότητες τω ριζώ (ριζικώ) Σηµείωση 1 Για α εισάγουµε έα σύµβουλο στα µαθηµατικά, θα πρέπει προηγουµέως α έχουµε αποδείξει ότι το µαθηµατικό ατικείµεο,που θα συµβολίσουµε µε το έο σύµβολο, υ- πάρχει και είαι µοαδικό (διαφορετικά κάθε φορά που θα το συατάµε δε θα ξέρουµε τι παριστάει) ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R Ορισµός οθέτος, εός αριθµού α R και εός φυσικού αριθµού >, κάθε αριθµός R µε =α οοµάζεται µία (πραγµατική) ιοστή ρίζα του α (στο ορισµό αυτό δε εοούµε καέα σύµβολο) Έτσι µε α, R και N, έχουµε: ( ιοστή ρίζα του α) = α Αποδεικύεται εύκολα ότι: i) Το έχει µια µόο ιοστή ρίζα, το (= ) ii) Έστω ότι α> Τότε: Α ο είαι άρτιος, ο α έχει δυο ιοστές ρίζες, τις: = α και = α Α ο είαι περιττός, ο α έχει µία µόο ιοστή ρίζα, τη: = α iii) Έστω ότι α< Τότε Α ο είαι άρτιος, ο α δε έχει ιοστές ρίζες Α ο είαι περιττός, ο α έχει µία µόο ιοστή ρίζα, τη : = α = α a, όπου α, R και φυσικός θετι- Αυτά προκύπτου από τη επίλυση της εξίσωσης: κός Συοπτικά: =

2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ: =α Σελίδα από 5 α> περιτός: = α = α άρτιος : α ± α = = α< περιτός: = α = - α άρτιος : = α, αδύατη α : = = = α) Το 4 έχει δυο τετραγωικές ρίζες τις και, γιατί: =4 ( = ή = - ) Έχουµε: = 4 και = 4 (και όχι 4=± ) β) Το 7 έχει µια µόο κυβική ρίζα το, γιατί: =7 = Έχουµε = 7 γ) Το 4 δε έχει τετραγωικές ρίζες, γιατί η εξίσωση: = 4 είαι αδύατη δ) Το 8 έχει µια µόο κυβική ρίζα το, γιατί: = 8 = Έχουµε: = 8 = 8 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C Ορισµός οθέτος εός αριθµού α C και εός φυσικού αριθµού >, κάθε αριθµός z C µε z = α οοµάζεται µια ιοστή ρίζα του α ( στο σύολο C) (στο ορισµό αυτό δε εοούµε καέα σύµβολο) Έτσι, µε α,z C και N, έχουµε: (z ιοστή ρίζα του α) z =α Αποδεικύετε το εξής θεώρηµα: Θεώρηµα Κάθε µιγαδικός αριθµός, διάφορος του, έχει (στο σύολο C) ακριβώς ιοστές ρίζες διαφορετικές µεταξύ τους( φυσικός θετικός αριθµός) Στο σύολο C δε ορίζουµε σύµβολο για καµιά ιοστή ρίζα Για παράδειγµα, η έκφραση: i δε έχει όηµα Παράδειγµα: Να βρείτε τις τετραγωικές ρίζες του αριθµού: z = 4i Λύση Έας µιγαδικός αριθµός z=yi,, y R είαι ζητούµεος α, και µόο α: z ( ) yi = 4i y yi= 4i = 4i ( yi) = 4i ( yi) = 4i yi = ( 4 ) y = = 4 ( = ή = -) ( =, y= -1) και 4 1 ( y=1 ή y= - y= y = 1) ( = -, y=1) y 5 y = = y= - Άρα, οι ζητούµεες τετραγωικές ρίζες είαι οι αριθµοί: z= iκαι z= -i

3 Σελίδα από 5 Σηµείωση ε πρέπει α συγχέουµε τη έοια της ιοστής ρίζας εός αριθµού α µε το σύµβολο α Νιοστές ρίζες εός αριθµού α R οοµάζουµε τις λύσεις της εξίσωση = α (όσες έχει) Το σύµβολο α ορίζεται µόο ότα α και παριστάει µία µόο ιοστή ρίζα του α Μπορεί όµως το α α έχει και άλλες ιοστές ρίζες Ερώτηση Ποιες είαι οι τετραγωικές ρίζες του 9; Απάτηση Οι αριθµοί και -( δηλαδή, οι λύσεις της εξίσωσης: = 9 ) Ερώτηση Τι παριστάει το σύµβολο 9 ; Απάτηση Το αριθµό ( δηλαδή, το αριθµό β> µε β = 9 ): 9 = ( και όχι 9 =± ) 4 ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ ΑΡΙΘΜΟ Ορισµός Για κάθε αριθµό α R µε α> και για κάθε μ, Z µε >, ορίζουµε: μ α = μ α α = α μ Επίσης, µε µ, θετικούς ακέραιους, ορίζουµε: = μ (= ) µ Έτσι, µε α και µ, θετικούς ακέραιος, έχουµε: α = α α) 16 = 16 = = = 8 β) = 4 = = 4 4 γ) 4 = 4 = = Αποδεικύεται ότι όλες οι ιδιότητες τω δυάµεω µε εκθέτη ακέραιο αριθµό,ισχύου και για δυάµεις µε εκθέτει ρητό αριθµό Προσοχή υάµεις µε εκθέτη ρητό αριθµό, όχι ακέραιο, και µε βάση αρητικό ή µιγαδικό αριθµό, δε ορίζουµε Για παράδειγµα, οι εκφράσεις: ( 7 ), ( 8 ), ( i), ( συα iηµα) 1 δε έχου όηµα Σηµείωση Μερικοί συγγραφείς ( παλαιότερα σχεδό όλοι, σήµερα ελάχιστοι) τη ιοστή ρίζα εός αριθµού α<, ότα το είαι φυσικός περιττός( δηλαδή τη λύση της εξίσωσης: = α ) τη συµβολίζου µε α Για παράδειγµα, τη κυβική ρίζα του -8 τη συµβολίζου µε 8 Έας τέτοιος συµβολισµός, µόο προβλήµατα δηµιουργεί: ε ισχύου τα γωστά θεωρήµατα τω ριζικώ, δε µετατρέπεται σε δύαµη µε εκθέτη ρητό αριθµό κτλ[ είαι λάθος α γράφουµε: ( ) 1 8= 8, γιατί το δεύτερο µέλος δε έχει όηµα 4] Βεβαίως, δε είαι µαθηµατικό λάθος α εισάγει κάποιος το σύµβολο αυτό Πάτως, είαι έα σύµβολο που µας δηµιουργεί πολλά προβλήµατα,γίεται αιτία πολλώ παρερµηειώ και το σπουδαιότερο δε µας χρειάζεται 5 ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΤΥΧΟΝΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ Θεωρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και µε α> Αποδεικύεται ότι υπάρχου ακολουθίες ρητώ αριθµώ ( r ) µε lim r = Σηµειώουµε ότι α ( ) r r είαι µια ακολουθία ρητώ αριθµώ, οι όροι της ακολουθίας ( α ) είαι δυάµεις µε εκθέτη ρητό αριθµό ( 4) Θεώρηµα και ορισµός Θεωρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και µε α> Για κάθε ακολουθία ρητώ αριθµώ (r )µε lim r =, η ακολουθία( α ) r συγκλίει σε έα πραγµατικό αριθµό, ο οποίος είαι αεξάρτητος από τη εκλογή της ακο- µ

4 Σελίδα 4 από 5 λουθίας ρητώ αριθµώ (r )µε lim r = Το όριο αυτό ( πραγµατικός αριθ - µός) οοµάζεται δύαµη µε βάση το α και εκθέτη το και συµβολίζεται µε Έτσι έχουµε: r α = lim α Επίσης, για κάθε πραγµατικό αριθµό >, ορίζουµε: = Στο παραπάω ορισµό, α ο αριθµός είαι ρητός, η έοια του συµβόλου α µας είαι γωστή Στη περίπτωση αυτή ( που ο αριθµός είαι ρητός), µπορούµε α αποδείξουµε εύκολα, ότι η παλαιά και η έα έοια συµβόλου α (µε τις ακολουθίες), ταυτίζοται Αποδεικύεται ότι οι ιδιότητες τω δυάµεω µε εκθέτες ρητούς αριθµούς, ισχύου γεικά και για τις δυάµεις µε εκθέτες πραγµατικούς αριθµούς 6 ΣΥΝΟΛΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ F ( ) = [ f() ] g() F = f() Για α βρούµε σύολο ορισµού της συάρτησης αυτής F, όπου f και g είαι δύο δοσµέες συατήσεις, βρίσκουµε πρώτα σύολο ορισµού, έστω Α, της f και το σύολο ορισµού, έστω B, της g Σύµφωα µε τα προηγούµεα, έας αριθµός R αήκει το σύολο ορισµό της συάρτηση F α, και µόο α, πληροί µία (τουλάχιστο) από τις παρακάτω τρεις συθήκες: ( Α Β) ( Α Β) ( Α Β) i) ii) f ( ) = iii) f ( ) < f ( ) > g( ) > g( ) Z Παράδειγµα 1 Να βρείτε το σύολο ορισµού της συάρτησης: F( ) = Λύση Έδώ, έχουµε: f ( ) = και g()= Και οι δύο αυτές συαρτήσεις έχου σύολο ορισµού τοr, οπότε Α=Rκαι Β= Rκαι άρα: Α Β=R Έας αριθµός R αήκει το σύολο ορισµό της συάρτηση F α, και µόο α: ( Α Β) R i) (, ) ή f ( ) > > ( Α Β) R ii) f ( ) = =, αδύατο ή g( ) > > ( Α Β) R iii) f ( ) < < { 1,,, } g( ) Z Z Συεπώς, το σύολο ορισµού τη συάρτησης F( ) = είαι το σύολο: { 1,,, } (, ) Παράδειγµα Να βρείτε το σύολο ορισµού της συάρτησης: ( ) 1 1 F( ) = Λύση Όπως προηγουµέως βρίσκουµε ότι το σύολο ορισµό της συάρτησης F είαι το σύολο: κ 1 (,1) [, ) κ Z, κ κ α

5 Σελίδα 5 από 5 7 ΣΧΟΛΙΟ Το βιβλίο τω µαθηµατικώ της Β Γυµασίου δίει το ορισµό της τετραγωικής ρίζας µόο στο σύολο R και µάλιστα χωρίς α ααφέρει τίποτα (έστω και πληροφοριακά) για τη ύ- παρξη (σελίδα 41) Το ίδιο κάει και το βιβλίο της Γ Γυµασίου (σελίδα ) Το ίδιο κάει και το βιβλίο της Α Λυκείου για τη ιοστή ρίζα (σελίδα 44) Μάλιστα, το βιβλίο αυτό στη σελίδα 45 παρατηρεί ότι ο αριθµός α ( α ) είαι η µη αρητική λύση της εξίσωσης =α Έτσι α η εξίσωση αυτή έχει και µια αρητική λύση, τότε αυτή δε είαι µια ιοστή ρίζα του α!!! Με άλλα λόγια, σύµφωα µε τα σχολικά βιβλία, πχ το - δε είαι µια τετραγωική ρίζα του 4, α και ( ) =4 Είαι φαερό ότι έχου µπερδέψει τη έοια της ιοστής ρίζας εός αριθµού α R µε το σύµβολο α Αξίζει α σηµειωθεί ότι το βιβλίο τω µαθηµατικώ της Γ Λυκείου (θετικής και Τεχολογικής Κατεύθυσης, έκδοση 7) στη σελίδα 115 ααφέρει ότι οι λύσεις της εξίσωσης z =1, ό- που z C, λέγοται ιοστές ρίζες της µοάδας Λοιπό: Άλλα λέε στα παιδιά στη Α Λυκείου και άλλα στη Γ Λυκείου;