ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο αλλά σταθερό όµως σηµείο του. Α τώρα σε κάθε σηµείο o του ατιστοιχίσουµε το µοαδικό πραγµατικό αριθµό F, τότε ορίζεται µια έα συάρτηση µε πεδίο ορισµού το, τιµές στο και τύπο F. Στο τύπο αυτής της συάρτησης, µε το χ συµβολίζουµε τη αεξάρτητη µεταβλητή της, εώ µε το τη µεταβλητή ολοκλήρωσης. ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, µε o έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο αλλά σταθερό όµως σηµείο του. Τότε η συάρτηση όπως ορίσθηκε παραπάω

2 F, είαι παραγωγίσιµη στο και για κάθε χ του ισχύει: d F d Μέσα από το θεώρηµα αυτό φαίεται η σχέση µεταξύ της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης. Επίσης βλέπουµε ότι κάθε συεχής συάρτηση είαι παράγωγος µιας άλλης συάρτησης F που είαι και αυτή συεχής. Η συεχής αυτή συάρτηση ορίζει µε µοαδικό τρόπο τη παραγωγίσιµη συάρτηση F χωρίς α ισχύει το ατίστροφο διότι για κάθε σταθερά c του ισχύει Fc. Τέλος, ας παρατηρήσουµε ότι : β αφού εκφράζου διαφορετικά εµβαδά στο καρτεσιαό επίπεδο. Όµως ισχύει : d d d d β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Μπορούµε α γεικεύσουµε το προηγούµεο θεώρηµα όπως παρακάτω : Α είαι συεχής συάρτηση και g παραγωγίσιµη στο τότε η F g, α, gχ είαι παραγωγίσιµη στο µε F g. g χ.

3 Απόδειξη : Α και HgF H H Hg F gg F χ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ : F I. Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο και, τότε α βρεθεί η τιµή της F στη θέση χ στη περίπτωση που είαι 995 και 5. II. Α είαι > και > για κάθε χ > τότε : Να αποδειχθεί ότι F 995 > F 99 Να βρεθού οι τιµές του K, K > 6 / 5 για τις οποίες αληθεύει η ισότητα K K : K K 5K K 6 ΑΣΚΗΣΗ : Ορίζουµε τη συάρτηση ln[e -/ ], > Να αποδειχθεί ότι : > Να υπολογισθεί το lim

4 Να παραγωγιθεί η συάρτηση F ΑΣΚΗΣΗ 3 : ίεται η συάρτηση : F. Να βρεθεί το σύολο τιµώ της. ΑΣΚΗΣΗ :. Να βρεθεί ο τύπος µιας συεχούς συάρτησης που ικαοποιεί τη ισότητα : F µε F 8 για κάθε <. Α για τη ταχύτητα U εός κιητού που κιείται πάω σε έα άξοα συτεταγµέω είαι U σε m/sec, α βρεθεί το διάστηµα που διαύει το κιητό από τη χροική στιγµή 3sec µέχρι τη στιγµή 5sec. ΑΣΚΗΣΗ 5 : Έα σωµατίδιο κιείται πάω σε έα άξοα συτεταγµέω µε επιτάχυση γ / - cm/sec. Να υπολογισθεί το διάστηµα που διαύει το σωµατίδιο µεταξύ τω χροικώ στιγµώ sec, sec α είαι γωστό ότι η ταχύτητα του σωµατιδίου τη χροική στιγµή sec είαι cm / sec.

5 ΑΡΤΙΕΣ...ΠΕΡΙΤΕΣ...ΠΕΡΙΟ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Π : Α η συάρτηση [-α, α] είαι συεχής και περιττή τότε : d α, ΑΠΟ. Έχουµε d d d και α θέσουµε - στο ολοκλήρωµα έχουµε και η γίεται :. d d d d d d d d Π : Α η συάρτηση είαι περιττή και συεχής, τότε η συάρτηση είαι άρτια. F ΑΠΟ. Το πεδίο ορισµού της F είαι το και άρα d d F d d d δηλ. άρτια.

6 Π3 : Α η συάρτηση [-α, α] είαι άρτια και συεχής, τότε : d d, α ΑΠΟ. Έχουµε : d d d.όµως ισχύει ότι : και άρα d d d d, α. Π : Α η συάρτηση [-α, α] είαι συεχής τότε : d [ ]d. ΑΠΟ. Είαι d d όπως προηγουµέως έχουµε d και εργαζόµεοι d d οπότε η γίεται d d d [ ]d Π5 : Α η συάρτηση είαι συεχής, τότε η είαι περιττή α και µόο α ισχύει ΑΠΟ. Έστω ότι c για κάθε Cσταθερά. c. Είαι c c c και α

7 F είαι µια παράγουσα της έχουµε : F-F-c F -F - και επειδή F η γίεται - -- για κάθε του δηλ. περιττή στο. Έστω ότι - - για κάθε του.θα δείξουµε ότι c Α H και F είαι µια παράγουσα της έχουµε HF-F- δηλ. H F F --. Αφού H για κάθε του, η H c για κάθε του και έτσι c Σηµείωση : Στη πρόταση αυτή θέτοτας χ προκύπτει C και έτσι d δηλαδή αποδεικύεται η Π µε άλλο τρόπο. Π6 : Α η συάρτηση [ α, b ] είαι περιοδική µε περίοδο Τ, και b συεχής τότε : b K, K Ζ. K d d ΑΠΟ. Προφαώς ισχύει ότι K για κάθε α < χ < b και ακόµη - K για κάθε α < χ < b. Θέτοτας K έχουµε : b b K d K K b K K b K K d

8 Π7 : Α η συάρτηση είαι συεχής και περιοδική µε περίοδο Τ τότε για κάθε ισχύει. ΑΠΟ. Έχουµε: d d. και άρα : Π8 : Α η συάρτηση [-/, / ] είαι περιττή και περιοδική στο, τότε η συάρτηση F είαι περιοδική µε περίοδο Τ. ΑΠΟ. Αρκεί α δείξουµε ότιff Σύµφωα όµως µε τη Π7 για κάθε του ισχύει : άρα θα ισχύει και για - /. Άρα αφού η είαι περιττή και τελικά...

9 Π9 : Α η συάρτηση είαι συεχής τότε είαι περιοδική µε περίοδο Τ α και µόο α c, για κάθε. ΑΠΟ. Αφού η είαι περιοδική µε περίοδο Τ, για κάθε του θα έχουµε. Θεωρούµε τη συάρτηση F, που είαι παραγωγίσιµη γιατί η είαι συεχής.θέτουµε οπότε F- δηλ. F - άρα F - - για κάθε του και άρα F c και έτσι για κάθε χ. c Ατίστροφα, α c για κάθε χ τότε - δηλ. για κάθε χ του δηλαδή περιοδική µε περίοδο Τ.

10 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Θεωρούµε τη µη µηδεική συάρτηση µε τις ιδιότητες : - για κάθε, του και συεχής. Να αποδειχθεί ότι και d d α,. ΛΥΣΗ : Επειδή η συάρτηση είαι µη µηδεική, θα υπάρχει έας τουλάχιστο πραγµατικός αριθµός z ώστε z διαφορετικό του. Για z, η υπόθεση γίεται zzz δηλ. Για χ από τη υπόθεση παίρουµε - δηλ. -, άρα - για κάθε του, άρα η είαι άρτια.επειδή είαι και συεχής στο θα είαι και ολοκληρώσιµη Εποµέως θα είαι ολοκληρώσιµη και άρτια στο [-α, α] και τελικά, σύµφωα µε τη Π3 έχουµε : d d α,.. Η συάρτηση είαι συεχής στο [-, ] µε χ> και χ -χ για κάθε χ του διαστήµατος [-, ]. Να αποδειχθεί ότι: d, θετικός ακέραιος. ΛΥΣΗ : d du u u du u u d I u

11 και επειδή χ -χ έχουµε : d d d I ] [ d d I d d I d I