ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω πραγματικώ αριθμώ συμβολίζουμε με και στο οποίο : το οποίο Eπεκτείοται οι γωστές πράξεις της πρόσθεσης - πολ/μου στο και στο και έχου τους ίδιους καόες λογισμού. Το περιέχει έα στοιχείο που το συμβολίζουμε με i τέτοιο ώστε i -. Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοαδικό τρόπο ως α + βi όπου α, β Για κάθε μιγαδικό α + βi (α, β ) οομάζουμε : Πραγματικό μέρος του και συμβολίζουμε με Re() το α Φαταστικό μέρος του και συμβολίζουμε με Im() το β. Πως παριστάουμε γεωμετρικά έα μιγαδικό αριθμό, πότε δύο μιγαδικοί είαι ίσοι; á o Im() M(á+âi) M(á,â) â Re() Σε κάθε μιγαδικό α + βi μπορούμε α ατιστοιχίσουμε το μοαδικό σημείο Μ(α,β) εός καρτεσιαού επιπέδου και ατίστροφα. Το Μ λέγεται εικόα του. Ο μιγαδικός α + βi παριστάεται επίσης και με το διάυσμα. Δύο μιγαδικοί είαι ίσοι α και μόο α έχου ίσα πραγματικά και φαταστικά μέρη. α + βi γ + δi α β και γ δ 3. Πως γίοται οι πράξεις της πρόσθεσης - αφαίρεσης, του πολ/μου και της διαίρεσης στο ; Πρόσθεση : (α + βi) + (γ + δi) (α + γ) + (β + δ)i Αφαίρεση : (α + βi) - (γ + δi) (α - γ) + (β - δ)i Πολ/μος : (α + βi). (γ + δi) α (γ + δi) + βi (γ + δi) αγ + αδi + βγi + βδi (αγ - βδ) + (αδ + βγ)i

2 Διαίρεση : Για α βρούμε το πηλίκο α + β i (γ + δi 0) πολ/ζουμε αριθμητή, παροομαστή με γ + δi (γ - δi) α + βi γ + δi i i i i i i i αγ + βδ βγ αδ + i (Βλέπε συζυγής) γ + δ γ + δ 4. Πώς ορίζοται οι δυάμεις στο, πως βρίσκουμε τις δυάμεις i N* Οι δυάμεις στο ορίζοται όπως και στο o ( o) -. ( N, > ) ( o) Παρατηρούμε ότι i o, i i, i -, i 3 i. i (-). i -i, i 4 i. i (-). (-). Για κάθε 4 η ταυτότητα της διαίρεσης : 4 δίει 4ρ + υ όπου 0 υ < 4 υ N α υ 0 i α υ Άρα i i 4ρ+υ i 4ρ. i υ (i 4 ) ρ. i υ. i υ i υ α υ i α υ 3 Σχόλιο : Παρατηρούμε ότι οι γωστές πράξεις του R διατηρούται και στο. Όμως δε διατηρείται και η διάταξη. Στο είαι χωρίς όμιμα οι έοιες : θετικός μιγαδικός, αρητικός μιγαδικός, δε μπορούμε α πούμε ότι έας μιγαδικός είαι μεγαλύτερος εός άλλου. Το μόο που μπορούμε α πούμε είαι α είαι ίσοι ή διαφορετικοί δύο μιγαδικοί αριθμοί. 5. Είαι σωστό ή λάθος ότι : (i) Η εξίσωση + α 0 έχει λύση στο (α α ) (ii) Για κάθε o, >o στο (iii) Η εξίσωση α + β + γ 0 (α,β γ, α ο) Έχει πάτα λύση στο (i) Σωστό γιατί + α 0 - (-) α 0 - i α 0 - (αi) 0 ( - αi) ( + αi) 0 - αi 0 ή + αi 0 αi ή -αi (ii) Λάθος γιατί το τετράγωο του είαι και αυτός έας μιγαδικός, (α + βi) α + αβi + (βi) α + αβi + β i (α - β ) + αβi και στους μιγαδικούς δε ισχύει διάταξη (δε υπάρχου θετικοί, αρητικοί μεγαλύτερο, μικρότερο)

3 (iii) Η εξίσωση αυτή, με Δ β - 4αγ, ότα Δ > ο ή Δ ο, έχει τις γωστές μας λύσεις στο R. Ότα Δ β ± i ( ) < ο τότε έχουμε Δ (-). (-Δ) i. (-Δ) και οι λύσεις είαι, β ± i το -Δ > ο άρα έχω (Βλέπε συζυγής) Παρατηρώ ότι ισχύει + β α,. γ α (VIETA) α α 6. Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγαδικού α + βi. Ποιες είαι οι ιδιότητες τω συζυγώ μιγαδικώ. Συζυγή εός μιγαδικού α + βi οομάζουμε το μιγαδικό α - βi. Οι εικόες δύο συζυγώ μιγαδικώ είαι συμμετρικά σημεία ως προς. Είαι φαερό ότι i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ : + + Γεικά Γεικά v ( o) v (v N *) και (Αποδείξεις : Σχολικό βιβλίο) Σχόλια : Ισχύου επίσης : α, α I α + βi και i i + α - βi α + β (όπου α + βi) Οι μιγαδικές λύσεις της α + β + γ 0 (α.β,γ, α ο) είαι συζυγείς μιγαδικοί 3

4 â Ì(á, â) ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7. Τι οομάζουμε μέτρο εός μιγαδικού αριθμού α + βi και με τι ισούται ;Ποιες είαι οι ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού; ï á Μέτρο εός μιγαδικού α + βi με εικόα στο μιγαδικό επίπεδο το Μ λέμε τη απόσταση (ΟΜ) και συμβολίζουμε με i Είαι φαερό ότι ο για κάθε και > ο α o ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ : Α,, τότε ισχύου : (i) (ii) (iii) (iv) ( o) (Αποδείξεις Σχολικό βιβλίο) Επίσης αποδεικύεται ότι και Ακόμα ισχύει : + + που είαι η γωστή μας τριγωική αισότητα. 8. Τι παριστάει το όπου, M ( ) Το μέτρο της διαφοράς - παριστάει τη απόσταση τω σημείω M, M που είαι οι εικόες τω μιγαδικώ, ατίστοιχα. M ( ) Σχόλιο : Στηριζόμεοι στο ορισμό του με, ως απόσταση του τυχαίου από το ï σταθερό μιγαδικό. Έχουμε : () Ότα λ όπου α + βi λ, λ > ο Τότε ο γεωμετρικός τόπος (Γ.Τ.) είαι κύκλος με κέτρο Κ(α,β) και ακτία ρ λ () Ότα όπου α + βi γ + δi Τότε ο Γ.Τ. είαι η μεσοκάθετος ευθεία του τμήματος ΑΒ με Α(α,β) Β(γ,δ) (3) Ότα ± λ α + βi γ + δi λ > ο 4

5 Τότε ο Γ.Τ. είαι έλλειψη (+), υπερβολή (-) με εστίες Α(α,β) Β(γ.δ) ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9. Είαι σωστό ή λάθος ότι : () (4) για κάθε () o o (5) (3) (6) I () ΛΑΘΟΣ γιατί α τότε α δε ισχύει π.χ. - i και 5i και () ΣΩΣΤΟ α o ο και α ο α + β ( α + βi) α + β ο α ο και β ο (3) ΣΩΣΤΟ (3) ΛΑΘΟΣ γιατί + o o ή άρα I ( ) Im â ï ñ è á Ì(á, â) Re 0. Έστω ο μη μηδεικός μιγαδικός αριθμός α + βi. Τι οομάζουμε (α) Πρωτεύο όρισμα του (β) Όρισμα του (γ) Τριγωομετρική ή πολική μορφή του Έστω Μ η εικόα του * (α) Πρωτεύο Όρισμα Arg() οομάζουμε τη γωία θ [0,π) με αρχική πλευρά O και τελική τη ΟΜ (β) Όρισμα του οομάζουμε κάθε γωία ˆ με αρχική πλευρά τω O και τελική τω ΟΜ. Δηλ. ˆ ˆ + κπ κ Ζ (γ) Α θεωρήσουμε ως ρ > ο, ρ α + β, και ˆ έα οποιοδήποτε όρισμα του τότε τριγωομετρική μορφή του α + βi είαι ρ(συφ + iημφ) ρ α + β, συφ α ρ, ημφ β ρ Τοίζουμε ότι για τη γραφή εός μιγαδικού στη τριγωομετρική του μορφή, δε απαιτείται το πρωτεύο όρισμα, αλλά έα οποιοδήποτε, από τα άπειρα ορίσματα. 5

6 Σχόλιο : Α Α I * Arg() π * Arg() o (θετικός) ή Arg () π (αρητικός) (με φαταστικό μέρος θετικό) ή Arg() 3 π (με φαταστικό μέρος αρητικό) π.χ. i συ π ηµ π + i. Πώς βρίσκουμε το πρωτεύο όρισμα εός μιγαδικού o Γράφουμε το στη μορφή α + βi (α,β ) ρ α + β. Τώρα παρατηρώτας τα πρόσημα συφ α ρ, ημφ β ρ τοποθετούμε τη εικόα του σε έα από 4 τεταρτημέα, Ç Å Ï Ó χρησιμοποιώτας το μημοικό καόα ΟΗΕΣ. Δηλ. α - + i + ( ) συφ ημφ Το συφ < ο το ημφ > ο Άρα η γωία φ είαι στο ο 3 Arg() 4 4 τεταρτημόριο. Πότε είαι ίσοι δύο μη μηδεικοί μιγαδικοί; Έστω ρ (συθ + iημθ ) και ρ (συθ + iημθ ) με ρ, ρ > ο. Λέμε ότι ρ ρ και θ - θ κπ κ Ζ 3. Είαι σωστό α πούμε ότι ο μιγαδικός λ(συθ + iημθ) με λ < ο έχει μέτρο -λ και όρισμα π + θ; ΣΩΣΤΟ. Ο μιγαδικός αυτός δε είαι σε τριγωομετρική μορφή. Πρέπει το μέτρο α είαι θετικό, έτσι λ(συθ + iημθ) -(-λ) (συθ + iημθ) -λ(-συθ - iημθ) -λ(συ(π + θ) + iημ(π + θ)) Η τελευταία παράσταση είαι τριγωομετρική μορφή με μέτρο -λ (λ < ο) και όρισμα π + θ. 6

7 4. Έστω ρ (συθ + iημθ ), ρ (συθ + iημθ ) (ρ, ρ ) > ο)γράψτε τους τύπους που δίου.,, M ( ) o o M ( ) è +è è è M ( ). è è è è Ì ( ) (ó. ) M( / ) Ì ( ). ρ ρ [συ(θ + θ ) + iημ(θ + θ )] ρ [συ(θ - θ ) + iημ(θ - θ )] ρ ρ [συ(-θ ) + iημ(-θ )] Ο πολ/σμός του με το σημαίει στροφή της διαυσματικής ακτίας του κατά γωία θ και μετά πολ/σμό της με ρ (σχ. ) Α πολ/με το με το μιγαδικό συθ + iημθ ( ) τότε απλά στρέφω το κατά γωία θ. Ειδικότερα ο πολ/σμός του με το i στρέφει τη διαυσματική ακτία του κατά π αφού i συ π + iημ π. Η διαίρεση του με το σημαίει στροφή της διαυσματικής ακτίας του κατά γωία -θ και μετά πολ/σμό με ρ σχ. (ó. ) 5. Πώς υψώουμε έα μιγαδικό αριθμό, που βρίσκεται σε τριγωομετρική σε μία ακέραια δύαμη. Έστω ο ρ(συθ + iημθ) (ρ >ο). Τότε από το θεώρημα De Moivre ρ (συ(θ) + iημ(θ) Ζ Ακριβέστερα το θεώρημα De Moivre ισχύει για Ζ αλλά αποδεικύεται ότι ισχύει και ότα ο εκθέτης είαι αρητικός ακέραιος. (Βλέπε σχολικό βιβλίο). Σχόλιο: Τοίζουμε ότι το θεώρημα του De Moivre ισχύει για τη τριγωομετρική μορφή εός μιγαδικού και όχι για οποιαδήποτε άλλη μορφή συατήσουμε. π.χ. ότα έχουμε ημθ + iσυθ πρέπει πρώτα α μετατρέψουμε το σε τριγωομετρική μορφή. Δηλ. ημθ + iσυθ συ( π - θ) + iημ ( π - θ) (συ( π - θ) + iημ( π - θ)) συ[ ( π - θ)] + iημ[( π - θ)] 7