1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Transcript

1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη Γι το όριο κι τη διάτξη οδεικύετι ότι ισχύου τ ρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α >, τότε > κοτά στο Σχ 8 Α <, τότε < κοτά στο Σχ 8β l C C 8 O β O β l ΘΕΩΡΗΜΑ ο a β Α οι συρτήσεις, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε C C 9 C C O β O β a β Όρι κι ράξεις Τ δύο βσικά όρι, c c κι το θεώρημ ου κολουθεί διευκολύου το υολογισμό τω ορίω

2 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 58 ΘΕΩΡΗΜΑ Α υάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο, τότε:, γι κάθε στθερά κ κ κ, εφόσο 5 6 k k, εφόσο κοτά στο Οι ιδιότητες κι του θεωρήμτος ισχύου κι γι ερισσότερες ό δυο συρτήσεις Άμεση συέει υτού είι: ] [, * Γι ράδειγμ, Έστω τώρ το ολυώυμο P L κι Σύμφω με τις ράω ιδιότητες έχουμε: P L L L P L Εομέως, P P

3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59 Γι ράδειγμ, Έστω η ρητή συάρτηση με Q Τότε, P, όου P, Q ολυώυμ του κι Q P P P Q Q Q Εομέως, P P Q Q, εφόσο Q Γι ράδειγμ, ΣΧΟΛΙΟ Ότ Q, τότε δε εφρμόζετι η ιδιότητ του ράω θεωρήμτος Στη ερίτωση υτή εργζόμστε όως στη εφρμογή ii, ου κολουθεί ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 8 9 N βρεθού τ ρκάτω όρι: 9 i [ ] ii 5 6 iii ΛΥΣΗ i Έχουμε 9 9 [ ] 9 [ ] 9

4 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 ii Εειδή, δε μορούμε εφρμόσουμε το κό του ηλίκου ιδιότητ Πρτηρούμε όμως ότι γι μηδείζοτι κι οι δύο όροι του κλάσμτος Οότε η συάρτηση 6 5, γι, γράφετι: 6 5 Εομέως, iii Γι μηδείζοτι οι όροι του κλάσμτος Στη ερίτωση υτή εργζόμστε ως εξής: Πολλλσιάζουμε κι τους δύο όρους του κλάσμτος με κι έτσι έχουμε: Εομέως, 6 N βρεθεί, υάρχει, το όριο στο της συάρτησης <,, ΛΥΣΗ Α, τότε, οότε <

5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Α >, τότε, οότε Εομέως Κριτήριο ρεμβολής Υοθέτουμε ότι κοτά στο μι συάρτηση εγκλωβίζετι Σχ 5 άμεσ σε δύο συρτήσεις h κι Α, κθώς το τείει στο, οι κι h έχου κοιό όριο l, τότε, όως φίετι κι στο σχήμ, η θ έχει το ίδιο όριο l Αυτό δίει τη ιδέ του ρκάτω θεωρήμτος ου είι γωστό ως κριτήριο ρεμβολής ΘΕΩΡΗΜΑ l O C C C h 5 β Έστω οι συρτήσεις,, h Α τότε h κοτά στο κι h l, l Γι ράδειγμ, ημ Πράγμτι, γι έχουμε οότε Εειδή ημ ημ, ημ, σύμφω με το ράω κριτήριο, έχουμε: Tριγωομετρικά όρι ημ Το κριτήριο ρεμβολής είι ολύ χρήσιμο γι το υολογισμό ορισμέω τριγωομετρικώ ορίω Αρχικά οδεικύουμε ότι:

6 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ημ, γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι ροφώς ισχύει η ισότητ Γι, ό το διλό σχήμ έχουμε Άρ ημ MM < MA < τοξma ημ <, γι κάθε, 5 M O A M Γι, είι,, οότε λόγω της έχουμε, ή, ισοδύμ, ημ < ημ < Γι, είι > ημ, οότε ημ < Σε όλες, λοιό, τις εριτώσεις ισχύει ημ, με τη ισότητ ισχύει μόο γι Με τη βοήθει της ράω ισότητς κι του κριτηρίου ρεμβολής θ - οδείξουμε ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ ημ ημ συ συ Αρχικά θ οδείξουμε ότι ημ κι συ Πράγμτι: Σύμφω με τη ροηγούμεη ισότητ έχουμε ημ, οότε ημ Εειδή, σύμφω με το κριτήριο ρεμβολής, θ είι ημ

7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Γωρίζουμε ότι συ ημ, οότε Εομέως συ ημ, γι κάθε,, συ ημ ημ Θ οδείξουμε, τώρ, ότι ημ ημ Πράγμτι έχουμε ημ ημ h ημσυh συημh h h ημ συh συ ημh h h ημ συ ημ Αάλογ οδεικύετι κι ότι συ συ ημ β συ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α < <, τότε ό το διλό σχήμ ροκύτει ότι εμβτριγ ΟΑΜ < εμβτομ ΟΑΜ < εμβτριγ ΟΑΝ, oότε έχουμε διδοχικά: ημ < < εφ ημ < < εφ N 5 M εφ ημ O A M < < ημ συ ημ συ < <

8 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α < <, τότε κι άρ ημ < <, οότε έχουμε συ < < ημ συ < < Εομέως, γι κάθε Εειδή,, ισχύει ημ συ < < συ, ό το κριτήριο ρεμβολής ροκύτει ότι ημ ημ O β Έχουμε συ συ συ συ συ συ ημ συ ημ ημ συ ημ ημ συ Όριο σύθετης συάρτησης Με τις ιδιότητες ου φέρουμε μέχρι τώρ μορούμε ροσδιορίσουμε τ όρι λώ συρτήσεω Α, όμως, θέλουμε υολογίσουμε το, της σύθετης συάρτησης o στο σημείο, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u Υολογίζουμε υάρχει το u κι Υολογίζουμε υάρχει το l u uu

9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65 Αοδεικύετι ότι, u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με l, δηλδή ισχύει: ΠΡΟΣΟΧΗ u uu Στη συέχει κι σε όλη τη έκτση του βιβλίου τ όρι της μορφής με τ οοί θ σχοληθούμε θ είι τέτοι, ώστε ικοοιείτι η συθήκη: u κοτά στο κι γιυτό δε θ ελέγχετι Γι ράδειγμ: Έστω ότι θέλουμε υολογίσουμε το όριο ημ Α θέσουμε u, τότε u, οότε ημ ημu ημ u β Έστω ότι θέλουμε υολογίσουμε το όριο Είι ημ ημ ημ Έτσι, θέσουμε u, τότε u, οότε ημ ημ ημu u u ΑΣΚΗΣΕΙΣ

10 66 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ όρι: 5 i 5 ii iii 8 iv [ 5 ] v 5 vi vii viii Έστω μι συάρτηση με Ν βρείτε το : i 5 ii iii Ν βρείτε τ όρι i 6 ii 8 ii iii iv 7 Ν βρείτε τ όρι i iii ii 9 9 iv Ν βρείτε υάρχει, το όριο της στο :, i κι 5, >

11 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 67 ii, < κι, 6 Ν βρείτε τ όρι: i iv ημ ii εφ iii ημ ημ v vi εφ ημ ημ5 5 7 Ν βρείτε τ όρι: i ημ συ ii συ ημ iii ημ ημ 8 N βρείτε το, : i γι κάθε ii γι κάθε συ, β, 9 Δίετι η συάρτηση Ν βρείτε τις τιμές β, > τω, β, γι τις οοίες ισχύει Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ όρι: i 8 iii ii N βρείτε όσ ό τ ρκάτω όρι υάρχου i iii ii 5 5 iv

12 68 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στο διλό σχήμ το τρίγωο ΑΒΓ είι ορθογώιο με γ Ν υολογίσετε τ όρι: i β, ii β iii θ θ β Ν βρείτε το, : θ i ii Γ β θ Α γ Β