Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

Transcript

1 Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07

2

3 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.

4

5 Περιεχόμενα Πρόλογος vii Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα. Η έννοια της καθόδου για μια μετάθεση Η γ μη αρνητικότητα των πολυωνύμων Euler Αυτοαντίστροφα στοιχεία Young ταμπλώ και αυτοαντίστροφες μεταθέσεις Μερικές διατάξεις και (P, ω)-διαμερίσεις Συμμετρικές Συναρτήσεις 9. Ο δακτύλιος των συμμετρικών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις Schur Η ταυτότητα Cauchy Quasi-συμμετρικές συναρτήσεις Σύνδεση με τη ϑεωρία αναπαραστάσεων της S n Πολυώνυμα Euler για την υπεροκταεδρική ομάδα 4 3. B-κάθοδοι και B-πολυώνυμα Euler Προσημασμένα σύνολα και διμερή Young ταμπλώ Προσημασμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις Σύνδεση με τη ϑεωρία αναπαραστάσεων της B n Η μονοτροπία των πολυωνύμων I n (x) και I B n(x) Γεννήτριες συναρτήσεις των I n (x) και I B n(x) Αναδρομικοί τύποι για τα I n (x) και I B n(x) Η μονοτροπία των I n (x) και I B n(x) Μη λογαριθμική κοιλότητα και γ-μη αρνητικότητα των I n (x) και I B n(x) Βιβλιογραφία 75

6

7 Πρόλογος Τα πολυώνυμα Euler ορίστηκαν από τον ίδιο τον Euler το 775, για να μελετήσει προβλήματα σχετικά με εναλλάσσοντα αθροίσματα δυνάμεων αριθμών. Η μελέτη του συνόλου των καθόδων και του πλήθους των καθόδων μιας μετάθεσης ξεκίνησε από τον P. MacMahon το 90. Η σύνδεση, όμως, μεταξύ των αριθμών Euler και των καθόδων μεταθέσεων έγινε το 953 από τους Carlitz και Riordan. Από τότε τα πολυώνυμα Euler και ειδικότερα η κατανομή Euler έγινε αντικείμενο μελέτης για πολλούς γνωστούς μαθηματικούς. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων (involutions). Πιο συγκεκριμένα, το 980 ο Strehl [45] απέδειξε ότι η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων είναι παλινδρομική και το 006 οι Guo και Zeng [3] απέδειξαν ότι είναι μονότροπη. Στην παρούσα εργασία, χρησιμοποιώντας την μέθοδο των Guo-Zeng αποδεικνύουμε ότι η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας είναι μονότροπη (βλ. Θεώρημα 4.3.4). Μονότροπες ακολουθίες προκύπτουν συχνά στη συνδυαστική, τη γεωμετρία και την άλγεβρα και αποτελούν αντικείμενο εκτενούς μελέτης τα τελευταία χρόνια. Χρησιμοποιώντας μεθόδους της ϑεωρίας των συμμετρικών και των quasiσυναρτήσεων συναρτήσεων υπολογίζουμε τη γεννήτρια συνάρτηση του πολυωνύμου Euler (στο πνεύμα των Gessel και Reutenauer []) και του B-πολυωνύμου Euler περιορισμένα στην κλάση των αυτοαντίστροφων στοιχείων της συμμετρικής και της υπεροκταεδρικής ομάδας αντίστοιχα. Σημαντικό ρόλο παίζει το ανάπτυγμα 3.6 που απέδειξαν πρόσφατα οι Adin et al. [3]. Επίσης, χρησιμοποιώντας κάποια στοιχεία ϑεωρίας αναπαραστάσεων αποδεικνύουμε δυο τύπους του Αθανασιάδη [5] που σχετίζουν τα παραπάνω πολυώνυμα με το πολυώνυμο Euler και το B-πολυώνυμο Euler αντίστοιχα, οι οποίοι έχουν ως πόρισμα την παλινδρομικότητα των πρώτων. Τέλος, μελετώνται δυο ακόμη ιδιότητες, η λογαριθμική κοιλότητα και η γ-μη αρνητικότητα, οι οποίες είναι ισχυρότερες από την μονοτροπία. Απαντώντας αρνητικά σε μια εικασία του Brenti [6], οι Barnabei et al. [6] απέδειξαν, βρίσκοντας αντιπαράδειγμα, ότι η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων δεν είναι εν γένει λογαριθμικά κοίλη. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι ούτε η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας είναι πάντα λογαριθμικά κοίλη. Πιο ενδιαφέρουσα φαίνεται να είναι η ιδιότητα της γ-μη αρνητικότητας, η μελέτη της οποίας έχει προσελκύσει μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια [5, ]. Τα πολυώνυμα Euler και τα B-πολυώνυμα Euler είναι γ-μη αρνητικά. Δεν γνωρίζουμε, όμως, αν οι περιορισμοί τους, στις κλάσεις των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

8 viii Πρόλογος συμμετρικής και της υπεροκταεδρικής ομάδας αντίστοιχα, είναι γ-μη αρνητικοί για κάθε ϑετικό ακέραιο n. Οι Guo-Zeng στο [3] διατύπωσαν την εικασία ότι το πολυώνυμο Euler περιορισμένο στην κλάση των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων είναι γ-μη αρνητικό. Με κίνητρο την εικασία αυτή και την ομοιότητα που παρουσιάζει η συμπεριφορά της κατανομής Euler επί των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων με αυτήν επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας, εικάζουμε ότι και το B-πολυώνυμο Euler περιορισμένο στην κλάση αυτή είναι γ-μη αρνητικό (βλ. Εικασία 4.4.5). Το περιεχόμενο της παρούσας εργασίας δομείται σε τέσσερα κεφάλαια. Ειδικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της καθόδου μιας μετάθεσης και των πολυωνύμων Euler, παρουσιάζεται η απόδειξη της γ-μη αρνητικότητας των πολυωνύμων Euler μέσω της δράσης Foata-Schützenberger-Strehl, μελετώνται οι αυτοαντίστροφες μεταθέσεις και η σύνδεση τους με τα Young ταμπλώ μέσω της αντιστοιχίας Robinson-Schensted και γίνεται μια σύντομη περιγραφή της ϑεωρίας των (P, ω)-διαμερίσεων του Stanley. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετώνται οι συμμετρικές και οι quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, αποδεικνύεται η ταυτότητα Cauchy των συναρτήσεων Schur χρησιμοποιώντας την αντιστοιχία Robinson-Schensted-Knuth και περιγράφεται η σχέση των συμμετρικών συναρτήσεων με τους ανάγωγους χαρακτήρες της συμμετρικής ομάδας. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της B-καθόδου, του B-πολυωνύμου Euler, των προσημασμένων συνόλων, των διμερών Young ταμπλώ και των προσημασμένων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων ακολουθώντας το [3], παρουσιάζεται η απόδειξη της γ-μη αρνητικότητας των B-πολυωνύμων Euler, μελετώνται τα αυτοαντίστροφα στοιχεία της υπεροκταεδρικής ομάδας και ένα B-ανάλογο της αντιστοιχίας Robinson-Schensted και περιγράφονται ορισμένα στοιχεία της ϑεωρίας αναπαραστάσεων της υπεροκτεδρικής ομάδας. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα κύρια αποτελέσματα της εργασίας τα οποία, όπως περιγράφηκαν παραπάνω, είναι ο υπολογισμός της γεννήτριας συνάρτησης για το B-πολυώνυμο Euler περιορισμένο στην κλάση των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας, ο υπολογισμός αναδρομικού τύπου για τους συνετελστές του και η απόδειξη της μονοτροπίας του και της μη λογαριθμικής κοιλότητάς του. Κλείνοντας τον πρόλογο, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον Καθηγητή μου Χρήστο Αθανασιάδη, για την σημαντική του προσφορά, καθοδήγηση και υποστήριξη κατά την επίβλεψη της παρούσας εργασίας. Η διδασκαλία των μαθημάτων Συνδυαστική Θεωρία και Θεωρία Αναπαραστάσεων τα εαρινά εξάμηνα των ακαδημαϊκών ετών και και κυρίως η προσωπικότητά του, όπως μου φανερώθηκε, φώτισαν την αγάπη μου για τη συνδυαστική. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω τον Καθηγητή Παύλο Τζερμιά, για τις γνώσεις που μας μετέδωσε κατά τη διάρκεια των προπτυχιακών μου σπουδών στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας και για τη συνεχή του καθοδήγηση μέχρι και σήμερα. Το μάθημα Διακριτά Μαθηματικά το οποίο δίδαξε το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους ήταν καθοριστικό για την ενασχόλησή μου με τη συνδυαστική. Βασίλης-Διονύσης Μουστάκας, Ιούνιος 07

9 Κεφάλαιο Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα. Η έννοια της καθόδου για μια μετάθεση Για n N ϑα συμβολίζουμε με [n] το σύνολο {,,, n}, όπου [0] = κατά σύμβαση και με S n τη συμμετρική ομάδα των μεταθέσεων του [n]. Γενικότερα, με S(S) συμβολίζουμε τη συμμετρική ομάδα των μεταθέσεων του συνόλου S. Ορισμός... Εστω w S n. Ο ακέραιος i [n ] ονομάζεται κάθοδος της μετάθεσης w αν w(i) > w(i+) και άνοδος διαφορετικά. Το σύνολο των καθόδων της w συμβολίζεται με Des(w) και ϑέτουμε des(w) = # Des(w). Για παράδειγμα, για n = 9 και w = έχουμε Des(w) = {, 3, 6} και des(w) = 3. Το πολυώνυμο A n (x) = x des(w) n = w S n k=0 A n,k x k ονομάζεται n-οστό πολυώνυμο Euler, όπου A 0 (x) = κατά σύμβαση. Το A n,k είναι το πλήθος των μεταθέσεων της S n με ακριβώς k καθόδους, για 0 k n και ονομάζεται αριθμός Euler. Συνήθως συμβολίζεται και ως n k. Το A n(x) είναι μονικό πολυώνυμο βαθμού n. Μερικές τιμές του A n (x) είναι οι εξής: A (x) = A (x) = + x A 3 (x) = + 4x + x A 4 (x) = + x + x + x 3 A 5 (x) = + 6x + 66x + 6x 3 + x 4 A 6 (x) = + 57x + 30x + 30x x 4 + x 5. Η συνάρτηση des n S n N είναι παράδειγμα στατιστικής μεταθέσεων. Άλλες γνωστές στατιστικές μεταθέσεων είναι το πλήθος των αντιστροφών, το πλήθος των κύκλων μια μετάθεσης κ.ά. Για περισσότερες πληροφορίες για τις διάφορες στατιστικές μεταθέσεων παραπέμπουμε στα [, 4]. Οταν απαριθμούμε

10 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα μεταθέσεις σύμφωνα με μια συγκεκριμένη στατιστική επάγεται μια κατανομή. Η κατανομή που επάγεται από τη στατιστική des ονομάζεται κατανομή του Euler. Μια ακολουθία (a 0, a,, a n ) πραγματικών αριθμών ονομάζεται παλινδρομική (ή συμμετρική ) αν a k = a n k για κάθε 0 k n. Ενα πολυώνυμο p(x) R[x] ονομάζεται παλινδρομικό αν p(x) = x n p( x ), για κάποιο n N. Ο αριθμός n ονομάζεται κέντρο συμμετρίας του p(x). Αν το πολυώνυμο p(x) είναι μη μηδενικό, τότε έχει μοναδικό κέντρο συμμετρίας. Πρόταση... Για κάθε n N το πολυώνυμο A n (x) είναι παλινδρομικό με κέντρο συμμετρίας n. Απόδειξη. Η απεικόνιση φ S n S n με φ(w(i)) = n + w(i) για i [n] και κάθε w S n είναι αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από το σύνολο των μεταθέσεων της S n με k καθόδους στο σύνολο εκείνων με k ανόδους, δηλαδή εκείνων με n k καθόδους. Με άλλα λόγια, A n,k = A n,n k, για κάθε 0 k n και έχουμε το ζητούμενο. Η επόμενη πρόταση αποτελεί μια σημαντική ιδιότητα των πολυωνύμων Euler, η οποία ήταν γνωστή στον ίδιο τον Euler. Για μια αλγεβρική απόδειξη παραπέμπουμε στο [4, Πρόταση.4.4] και για μια συνδυαστική στο [, Πρόταση..4]. Πρόταση..3. Για κάθε n N ισχύει (m + ) n x m = A n(x) m 0 ( x) n+. Τα πολυώνυμα Euler έχουν μελετηθεί από πολλούς γνωστούς μαθηματικούς στο παρελθόν, ενδεικτικά αναφέρουμε τους Euler, P. MacMahon, L. Carlitz, J. Riordan, D. Foata και P. Schützenberger. Στην επόμενη πρόταση συγκεντρώνουμε διάφορες ιδιότητες των πολυωνύμων Euler, τις αποδείξεις των οποίων, μπορεί να βρει ο αναγνώστης στα [0, Κεφάλαιο ], [33, Κεφάλαιο ] και [, Παράγραφος 6.]. Πρόταση..4. Ισχύουν τα εξής: (α) Για κάθε n Z >0 και κάθε 0 k n A n,k = (n k)a n,k + (k + )A n,k. ϑα χρησιμοποιούμε τον όρο παλινδρομική, διότι στο κεφάλαιο ϑα μελετήσουμε τις λεγόμενες συμμετρικές συναρτήσεις

11 . - Η γ μη αρνητικότητα των πολυωνύμων Euler 3 (β) (Εκθετική γεννήτρια συνάρτηση) A n (x) tn n 0 n! = x xe ( x)t. (γ) (Ταυτότητα Worpitzky) Για κάθε n N στο C[x]. x n = n A n,k ( x + k k=0 n ) (δ) (Ταυτότητα τύπου Frobenius) Για κάθε n Z >0 A n (x) = n k= k!s(n, k)(x ) n k όπου S(n, k) είναι το πλήθος των διαμερίσεων του [n] με k μέρη και ονομάζεται αριθμός Stirling δεύτερου είδους. (ε) Για κάθε n Z >0 και 0 k n A n,k = k i=0 ( ) i (k + i) n ( n + ). i. Η γ μη αρνητικότητα των πολυωνύμων Euler Μια ακολουθία (a 0, a,, a n ) ϑετικών πραγματικών αριθμών ονομάζεται μονότροπη (unimodal) αν υπάρχει δείκτης 0 k n τέτοιος ώστε a 0 a a k a k+ a n. Ενα πολυώνυμο p(x) = p 0 + p x + + p n x n R >0 [x] ονομάζεται μονότροπο αν η ακολουθία (p k ) n k=0 των συντελεστών του είναι μονότροπη. Αν p(x) είναι παλινδρομικό πολυώνυμο με κέντρο συμμετρίας n, τότε η μονοτροπία του ϑα σήμαινε ότι p 0 p p n. Η ακολουθία των διωνυμικών συντελεστών ( n 0 ), (n ),, (n ), n δηλαδή η n-οστή γραμμή του τριγώνου του Pascal αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα μονότροπης ακολουθίας. Επίσης, μπορεί να δείξει κανείς ότι ακολουθία των αριθμών Euler είναι μονότροπη. Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε ότι είναι και παλινδρομική. Θα εισάγουμε την έννοια της γ μη αρνητικότητας, η οποία είναι ισχυρότερη της μονοτροπίας και ϑα δείξουμε ότι τα πολυώνυμα Euler A n (x) είναι γ-μη αρνητικά πολυώνυμα. Ο γραμμικός χώρος των πολυωνύμων p(x) = p 0 + p x + + p n x n R[x] τα οποία είναι παλινδρομικά με κέντρο συμμετρίας n έχει βάση B n = {x j ( + x) n j 0 j n }.

12 4 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα Αν p(x) = n γ n,j x j ( + x) n j, j=0 τότε το (γ n,j ) n j=0 ονομάζεται γ διάνυσμα του p. Επειδή η ακολουθία των διωνυμικών συντελεστών είναι μονότροπη, έπεται ότι αν ένα πολυώνυμο έχει μη αρνητικό γ διάνυσμα, τότε ϑα είναι μονότροπο. Αν το γ διάνυσμα ενός πολυωνύμου είναι μη αρνητικό, τότε λέμε ότι το πολυώνυμο είναι γ μη αρνητικό. Παρατηρούμε ότι A (x) = A (x) = + x A 3 (x) = ( + x) + x A 4 (x) = ( + x) 3 + 8x( + x) A 5 (x) = ( + x) 4 + x( + x) + 6x A 6 (x) = ( + x) 5 + 5x( + x) x ( + x). Οπως επιβεβαιώνεται από τον παραπάνω υπολογισμό για n 6, τα πολυώνυμα Euler είναι γ μη αρνητικά. Πρώτοι το απέδειξαν οι D. Foata και M. Schützenberger [7] με αλγεβρικές μεθόδους το 970 και μερικά χρόνια αργότερα, οι D. Foata και V. Strehl [8] εισήγαγαν μια φυσική δράση της Z n στο σύνολο των μεταθέσεων της S n με χρήση της οποίας μπορεί να αποδείξει κανείς την γ-μη αρνητικότητα. Η απόδειξη που ϑα δώσουμε βρίσκεται στο []. Για w = w w w n S n, ϑέτουμε w 0 = w n+ = n +. Αν k n, τότε το w k ονομάζεται διπλή κάθοδος της w (αντ. διπλή άνοδος) αν w k > w k > w k+ (αντ. w k < w k < w k+ ), κορυφή της w (αντ. κοιλάδα) αν w k < w k > w k+ (αντ. w k > w k < w k+ ). Πρόταση.. (Foata-Schützenberger [7]). Για κάθε n A n (x) = n j=0 γ n,j x j ( + x) n j (.) όπου γ n,j είναι το πλήθος των w S n οι οποίες δεν έχουν διπλές καθόδους και des(w) = j. Απόδειξη. Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι να ορίσουμε μια φυσική δράση της Z n στο σύνολο των μεταθέσεων S n και στη συνέχεια να μελετήσουμε τις καθόδους των στοιχείων κάθε τροχιάς αυτής της δράσης. Εστω x [n]. Ορίζουμε τη συνάρτηση φ x S n S n ως εξής, για w = w w w n S n (α) αν x είναι διπλή κάθοδος της w, τότε φ x (w) είναι η μετάθεση της S n που προκύπτει από την w, τοποθετώνταςς το x μεταξύ των w k και w k+ όπου k = min{x < j n w j < x < w j+ },

13 . - Η γ μη αρνητικότητα των πολυωνύμων Euler 5 (β) αν x είναι διπλή άνοδος της w, τότε φ x (w) είναι η μετάθεση της S n που προκύπτει από την w, τοποθετώντας το x μεταξύ των w l και w l+ όπου l = max{0 j < x w j > x > w j+ και (γ) αν x είναι κορυφή ή κοιλάδα της w, τότε φ x (w) = w. Υπάρχει μια γεωμετρική ερμηνεία των παραπάνω συναρτήσεων, η οποία δόθηκε το 983 από τους L. Shapiro, W.J. Woan, and S. Getu [37]. Εστω w = w w w n S n και ας ϑεωρήσουμε μπάλες στα σημεία (i, w i ) N N για 0 i n +. Για κάθε 0 i n ενώνουμε τις μπάλες που βρίσκονται στα σημεία (i, w i ) και (i +, w i+ ) με σύρμα. Υποθέτουμε ότι η βαρύτητα δρα στις μπάλες και ότι το x δεν είναι σημείο ισορροπίας (που ϑα αντιστοιχούσε σε κορυφή ή κοιλάδα της w). Αν αφήσουμε το x να κυλήσει, ϑα σταματήσει όταν φτάσει ξανά στο ίδιο ύψος διασχίζοντας τις κοιλάδες αριστερά ή δεξιά ανάλογα με το αν είναι διπλή άνοδος ή διπλή κάθοδος της w αντίστοιχα. Η μετάθεση που προκύπτει είναι η φ x (w). Για παράδειγμα για n = 9 και w = έχουμε τρεις κοιλάδες, δύο κορυφές, μια διπλή κάθοδο και τρεις διπλές ανόδους. Οπότε, έχουμε φ i (w) = w, για i {, 3, 4, 6, 7} και φ (w) = , φ 5 (w) = , φ 8 (w) = και φ 9 (w) = Σχήμα.: Η γραφική παράσταση της w. Οι διακεκομμένες γραμμές δηλώνουν τον προορισμό των διπλών καθόδων και των διπλών ανόδων της w. Οι συναρτήσεις φ x μετατίθενται μεταξύ τους, δηλαδή για x, y [n] και είναι αυτοαντίτροφες, δηλαδή φ x φ y = φ y φ x (.) φ x φ x = I Sn (.3)

14 6 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα για x [n]. Ετσι για κάθε S = {s, s,, s k } [n] ορίζουμε τη συνάρτηση φ S S n S n με φ S (w) = φ s φ s φ sk (w) για w S n. Η απεικόνιση φ Z n S(S n) με S φ φ S είναι ομομορφισμός ομάδων και γι αυτό ορίζεται μια δράση της Z n στο S n αν ϑέσουμε S w = φ S (w) για κάθε S [n] και w S n. Η δράση αυτή συνήθως ονομάζεται δράση Foata- Schützenberger-Strehl. Εστω Orb(w) = {φ S (w) S [n]} η τροχιά μιας μετά- ϑεσης w S n μέσω της παραπάνω δράσης. Μπορούμε να διαλέξουμε έναν κανονικό αντιπρόσωπο της τροχιάς Orb(w) ο οποίος δε ϑα έχει καθόλου διπλές καθόδους, έστω ^w. Πιο συγκεκριμένα, αν οι διπλές κάθοδοι της w είναι οι x, x,, x k τότε ^w = φ x φ x φ xk. Αν συμβολίζουμε με pk(w) το πλήθος των κορυφών της w, τότε είναι προφανές ότι des( ^w) = pk(w). Επίσης, παρατηρούμε ότι τ Orb(w) x des(τ) = x des( ^w) ( + x) n des( ^w) = x pk(w) ( + x) n pk(w). (.4) Πράγματι, αν x είναι διπλή άνοδος της w, τότε des(φ x (w)) = des(w) + και γι αυτό x des(τ) = x des( ^w) ( + x) α, τ Orb(w) όπου α είναι το πλήθος των διπλών ανόδων της ^w. Ομως, αν η w έχει m κορυφές, τότε έχει m + κοιλάδες και n m το πλήθος διπλές ανόδους ή διπλές καθόδους. Από τον ορισμό της ^w έπεται ότι α = n des( ^w) και έτσι προκύπτει η (.4). Τέλος, οι αντιπρόσωποι των τροχιών της παραπάνω δράσης είναι ακριβώς εκείνες οι μεταθέσεις της S n με des(w) = pk(w) και γι αυτό αθροίζοντας πάνω σε όλες αυτές προκύπτει ότι A n (x) = x pk(w) ( + x) n pk(w) = w S n pk(w)=des(w) n j=0 γ n,j x j ( + x) n j, όπου γ n,j = n++j #{w S n pk(w) = i}. Μια μετάθεση w S n ονομάζεται εναλλάσσουσα (αντ. αντιστρόφως εναλλάσσουσα) αν ισχύει Des(w) = {, 3, 5, } [n ] (αντ. Des(w) = {, 4, 6, } [n ]) ή ισοδύναμα αν w() > w() < w(3) > (αντ. w() < w() > w(3) < ). Συμβολίζουμε με E n το πλήθος των εναλλασσουσών μεταθέσεων w S n. Η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία της Πρότασης.. μας πληροφορεί ότι το πλήθος

15 . - Η γ μη αρνητικότητα των πολυωνύμων Euler 7 των αντιστρόφως εναλλασσουσών μεταθέσεων είναι και αυτό ίσο με E n. Οι αριθμοί E n ονομάζονται και αυτοί αριθμοί Euler. Η γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας (E n ) n=0, όπου E 0 = κατά σύμβαση, είναι γνωστή (βλ. [4] και [, Πρόταση..7]) x n E n = tan(x) + sec(x), n 0 n! όπου tan(x) = x+ x3 3 + x5 5 + και sec(x) = x cos(x) = + + 5x4 +. Η επόμενη πρόταση 4 συνδέει την γ μη αρνητικότητα των πολυωνύμων Euler με τις εναλλάσσουσες μεταθέσεις και τους αριθμούς Euler. Πόρισμα... Για n ισχύει 0, n 0 (mod ) A n ( ) = ( ) n+ E n, n (mod ). Απόδειξη. Αν ο n είναι άρτιος, τότε από τη Πρόταση.. έπεται ότι A n ( ) = A n,0 + A n, A n, + + A n,n = 0. Αν ο n είναι περιττός, τότε από τη Πρόταση.. έπεται ότι ( )A n ( ) = ( ) n γn, n ή ισοδύναμα Ομως, γ n, n A n ( ) = ( ) n+ γn, n είναι ακριβώς το πλήθος των μεταθέσεων w S n με w() < w() > w(3) <. που είναι ίσο με το E n. Εκτός από τη μονοτροπία που έπεται από τη γ μη αρνητικότητα υπάρχουν δύο ακόμα σχετικές έννοιες. Μια ακολουθία ϑετικών πραγματικών αριθμών (a 0, a,, a n ) ονομάζεται λογαριθμικά κοίλη (log-concave) αν a k a k+ a k για κάθε k n και λέμε ότι έχεις πραγματικές ρίζες, αν το πολυώνυμο a 0 + a x + + a n x n R[x] έχει μόνο πραγματικές ρίζες. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι αν μια ακολουθία είναι λογαριθμικά κοίλη, τότε είναι και μονότροπη. Επίσης, αποδεικνύεται ότι αν μια ακολουθία έχει πραγματικές ρίζες, τότε είναι λογαριθμικά κοίλη. Το διωνυμικό ϑεώρημα μας πληροφορεί ότι η ακολουθία των διωνυμικών συντελεστών έχει πραγματικές ρίζες. Η ακολουθία των αριθμών Euler (A n,k ) n k=0 είναι λογαριθμικά κοίλη και έχει πραγματικές ρίζες. Για την απόδειξη του προηγούμενου ισχυρισμού παραπέμπουμε στο [0, Θεώρημα.34]. Πολλές ενδιαφέρουσες ακολουθίες στη συνδυαστική, τη γεωμετρία και την άλγεβρα έχουν τις παραπάνω ιδιότητες. Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε στα [40,, ].

16 8 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα.3 Αυτοαντίστροφα στοιχεία Μια μετάθεση w S n ονομάζεται αυτοαντίστροφη αν w = ɛ, όπου ɛ είναι η ταυτοτική μετάθεση. Μια αυτοαντίστροφη μετάθεση έχει μόνο κύκλους μήκους ή στην κυκλική της μορφή και το αντίστροφο. Συμβολίζουμε με I n το σύνολο των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων. Για n ϑεωρούμε το πολυώνυμο Euler περιορισμένο στην κλάση των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων Μερικές τιμές του είναι οι εξής: I (x) = I (x) = + x I 3 (x) = + x + x I n (x) = w I n x des(w). I 4 (x) = + 4x + 4x + x 3 I 5 (x) = + 6x + x + 6x 3 + x 4 I 6 (x) = + 9x + 8x + 8x 3 + 9x 4 + x 5. Το πολυώνυμο I n (x) είναι παλινδρομικό στο n, όπως επιβεβαιώνει ο παραπάνω υπολογισμός για n 6. Αυτό αποδείχτηκε για πρώτη φορά από τον V. Strehl [45], ο οποίος μελέτησε την κλάση των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων σύμφωνα με το πλήθος των καθόδων τους μέσω των Young ταμπλώ. Την απόδειξη αυτή ϑα παρουσιάσουμε στην επόμενη παράγραφο. Από τον παραπάνω υπολογισμό, εκτός από παλινδρομικό, το πολυώνυμο I n (x) φαίνεται να είναι και μονότροπο. Αυτό αποδείχτηκε πρόσφατα από τους V. Guo και J. Zeng [3], ενώ κάποια μερικά αποτελέσματα είχαν επιτευχθεί από τον W. Dukes [6]. Την απόδειξη των Guo-Zeng ϑα παρουσιάσουμε στο κεφάλαιο 4. Στην επόμενη πρόταση υπολογίζουμε την εκθετική γεννήτρια συνάρτηση του πλήθους των αυτοαντίστροφων μεταθέσεων. Πριν από αυτό όμως ϑυμίζουμε τον εκθετικό τύπο (βλ. [, Θεώρημα 3..]). Για συνάρτηση f N C με f(0) = 0, ορίζουμε τη συνάρτηση h N C ϑέτοντας h(0) = και h(#x) = f(#b ) f(#b k ) π Π(X) για κάθε μη κενό πεπερασμένο σύνολο X, όπου στο άθροισμα του δεξιού μέλους, Π(X) είναι το σύνολο των διαμερίσεων π = {B,, B k } του X. Αν E h (x) = h(n) xn n 0 n! και E f (x) = f(n) xn n 0 n! είναι οι εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις των f και h αντίστοιχα, τότε ο εκθετικός τύπος μας πληροφορεί ότι E h (x) = exp(e f (x)).

17 .3 - Αυτοαντίστροφα στοιχεία 9 Πρόταση.3.. Εστω a n = #I n, για n Z >0 και a 0 =. Τότε x n a n n 0 n! = x ex+. (.5) Απόδειξη. Επειδή μια μετάθεση w S n είναι αυτοαντίστροφη αν και μόνο αν κάθε κύκλος στην κυκλική της μορφή έχει μήκος ένα ή δύο, έπεται ότι το a n απαριθμεί το πλήθος των διαμερίσεων του [n] σε μέρη που έχουν ένα ή δύο στοιχεία. Οπότε, αν ϑέσουμε h N C με h(n) = a n για n N και f N C με έχουμε, n {, } f(n) = 0, n N {, } h(n) = π Π n f(#b ) f(#b k ) όπου Π n είναι το σύνολο Π([n]). Επομένως, από τον εκθετικό τύπο έπεται ότι x n a n n 0 n! = E h(x) = exp(e f (x)) = exp( f(n) xn n 0 n! ) = x ex+. Πόρισμα.3.. Εστω a n = #I n, για n Z >0 και a 0 =. Τότε (α) Για n a n+ = a n + na n. (β) Για n N Απόδειξη. a n = n ( n k=0 k )(k)! k k!. (α) Παραγωγίζοντας την (.5) ως προς x έχουμε x n a n+ n 0 n! x x n = ( + x)ex+ = ( + x) a n n 0 n!. Εξισώνοντας τους συντελεστές του x n στα ακραία μέλη της προηγούμενης σχέσης προκύπτει ο ζητούμενος αναδρομικός τύπος. x x+ (β) Αναπτύσσουμε την τυπική δυναμοσειρά e ως εξής x x+ e = e x e x x n = n 0 n! x n n 0 n n! n n 0 k=0 = n n 0 k=0 = k k!(n k)! xn ( n k )(k)! x n k k! n!.

18 0 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα Εξισώνοντας τους συντελεστές του x n στην (.5) χρησιμοποιώντας τον παραπάνω υπολογισμό προκύπτει ο ζητούμενος τύπος..4 Young ταμπλώ και αυτοαντίστροφες μεταθέσεις Διαμέριση λ ενός ακεραίου n ονομάζεται μια ακολουθία (λ, λ,, λ k ) με λ i Z >0 για i k ώστε λ λ λ k και λ + λ + + λ k = n. Οι ακέραιοι λ i ονομάζονται μέρη της λ και γράφουμε λ n ή λ = n. Για κάθε διαμέριση λ έχουμε ένα διάγραμμα Young Y λ, το οποίο έχει n μοναδιαία τετράγωνα παρατεταγμένα σε k σειρές ώστε η i-οστή σειρά να περιέχει λ i το πλήθος τετράγωνα, όπως στο σχήμα Αν αντί για τετράγωνα χρησιμοποιούσαμε τελείες το διάγραμμα που προκύπτει ονομάζεται διάγραμμα Ferrers. Το πλεονέκτημα των διαγραμμάτων Young έναντι των διαγραμμάτων Ferrers είναι ότι τα διαγράμματα Young μπορούμε να τα συμπληρώσουμε με αριθμούς. Για παράδειγμα, το διάγραμμα Ferrers της διαμέρισης (4, 3,, ) είναι Ορισμός.4.. Εστω λ n. Σύνηθες Young ταμπλώ (standard Young tableaux) σχήματος λ ονομάζεται μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία των τετραγώνων του Y λ με το [n] ώστε (α) οι ακέραιοι που αντιστοιχούν στα τετράγωνα οποιασδήποτε γραμμής του Y λ αυξάνουν προς τα δεξιά και (β) οι ακέραιοι που αντιστοιχούν στα τετράγωνα οποιασδήποτε στήλης του Y λ αυξάνουν προς τα κάτω. Συμβολίζουμε με SYT(λ) το σύνολο των Young ταμπλώ σχήματος λ και με f λ το πλήθος αυτών. Υπάρχουν διάφοροι τύποι που υπολογίζουν το πλήθος f λ των Young ταμπλώ σχήματος λ. Στη παρούσα εργασία ϑα μας απασχολήσει μόνο η σχέση που έχει

19 .4 - Young ταμπλώ και αυτοαντίστροφες μεταθέσεις το f λ με το #I n. Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα [, 35, 9]. Ενα σημαντικό γεγονός για τα Young ταμπλώ είναι το ϑεώρημα Robinson- Schensted το οποίο κατασκευάζει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία S n SYT(λ) SYT(λ) λ n η οποία σε κάθε μετάθεση w = w w w n S n αντιστοιχίζει ένα ζεύγος Young ταμπλώ (P(w), Q(w)) ίδιου σχήματος. Για να ορίσουμε την αντιστοιχία αυτή, ϑα χρειαστεί να περιγράψουμε πρώτα τον αλγόριθμο της εισαγωγής ενός ακεραίου σε ένα ταμπλώ. Εστω T ένα Young ταμπλώ του οποίου τα στοιχεία είναι ϑετικοί ακέραιοι (όχι απαραίτητα οι,, n) και x Z >0 το οποίο δεν είναι στοιχείο του T. Το ταμπλώ T x κατασκευάζεται με εισαγωγή του x στις γραμμές του T ως εξής. Αν το x είναι μεγαλύτερο από όλα τα στοιχεία της πρώτης γραμμής του T, τότε προστίθεται ένα τετράγωνο στο τέλος αυτής της γραμμής που περιέχει το x. Διαφορετικά ϑεωρούμε το πρώτο από αριστερά τετράγωνο της πρώτης γραμμής του T που περιέχει στοιχείο x > x. Το x αντικαθιστά το x στι τετράγωνο αυτό και η διαδικασία συνεχίζεται με το x και τη δεύτερη γραμμή του T. Αν αυτή είναι κενή, τότε το x καταλαμβάνει το πρώτο τετράγωνο από αριστερά το οποίο προστίθεται στο σχήμα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται εισαγωγή του x στις γραμμές του T (row insertion). Ορισμός.4.. Εστω μετάθεση w = w w w n S n. Το Young ταμπλώ P(w) = ( (( w ) w ) ) w n ονομάζεται P-ταμπλώ (ή ταμπλώ εισαγωγής) της w. Το Q-ταμπλώ (ή ταμπλώ καταγραφής) της w ορίζεται ως το Young ταμπλώ Q(w) ίδιου σχήματος με το P(w), στο οποίο για i n το i καταλαμβάνει το τετράγωνο στο οποίο καταλήγει η εισαγωγή του w i στο i-οστό βήμα της κατασκευής του P(w). Για παράδειγμα, αν w = 354, τότε ο επόμενος πίνακας καταγράφει τα βήματα κατασκευής του P και Q-ταμπλώ της w. Στοιχείο εισαγωγής P-ταμπλώ Q-ταμπλώ

20 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα Θεώρημα.4.3 (Αντιστοιχία RS). Η απεικόνιση w (P(w), Q(w)) είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το σύνολο των μεταθέσεων της S n στο σύνολο των ζευγών (P, Q) Young ταμπλώ ίδιου σχήματος. Για την απόδειξη του Θεωρήματος αυτού παραπέμπουμε στο [, Θεώρημα 4..]. Ενα άμεσο πόρισμα της αντιστοιχίας Robinson-Schensted για το πλήθος των Young ταμπλώ είναι το εξής (f λ ) = n!. (.6) λ n Από τη ϑεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, γνωρίζουμε ότι η τάξη μιας πεπερασμένης ομάδας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων των ανάγωγων αναπαραστάσεών της. Ο τύπος (.6) εκφράζει αυτή ακριβώς την πληροφορία για τη συμμετρική ομάδα. Στην παράγραφο.5 ϑα δώσουμε περισσότερες λεπτομέρειες για το γεγονός αυτό. Στο τρέχον παράδειγμα, έχουμε w = 453. Ο επόμενος πίκανας καταγράφει τα βήματα κατασκευής του P και Q-ταμπλώ της w. Στοιχείο εισαγωγής P-ταμπλώ Q-ταμπλώ Από τον υπολογισμό αυτόν παρατηρούμε ότι P(w ) = Q(w) και Q(w ) = P(w). Το επόμενο ϑεώρημα καταγράφει αυτό το αξιοσημείωτο φαινόμενο συμμετρίας που παρουσιάζει η αντιστοιχία Robinson-Schensted. Θεώρημα.4.4 (Schützenberger [36]). Εστω w S n. Αν τότε w RS (P, Q), RS w (Q, P). Δηλαδή, P(w ) = Q(w) και Q(w ) = P(w) για κάθε w S n.

21 .4 - Young ταμπλώ και αυτοαντίστροφες μεταθέσεις 3 Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις του παραπάνω Θεωρήματος. Για την απόδειξη του Viennot, η οποία βασίζεται σε μια γεωμετρική ερμηνεία της αντιστοιχίας Robinson-Schensted παραπέμπουμε στο [, Θεώρημα 4.4.], ενώ για την απόδειξη του Fomin, η οποία χρησιμοποιεί τα λεγόμενα διαγράμματα Fomin παραπέμπουμε στο [35, Παράγραφο 5.] ή στο [4, Θεώρημα 7.3.]. Χρησιμοποιώντας τη συμμετρία αυτή μπορούμε να δείξουμε το εξής. Πόρισμα.4.5. Για n #I n = f λ. (.7) λ n Απόδειξη. Από το Θεώρημα.4.4 έπεται ότι w I n αν και μόνο αν P(w) = Q(w). Επομένως, η αντιστοιχία Robinson-Schensted περιορίζεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το I n στο σύνολο των ζευγών Young ταμπλώ (P, P) κάποιου σχήματος και έτσι προκύπτει ο τύπος (.7). Για ένα Young ταμπλώ T, ένας ακέραιος i [n ] ονομάζεται κάθοδος του T αν το i + εμφανίζεται στο T σε χαμηλότερη γραμμή από εκείνη στην οποία εμφανίζεται το i. Συμβολίζουμε με Des(T) το σύνολο καθόδων ενός Young ταμπλώ T και με des(t) = #Des(T) το πλήθος των καθόδων του. Λήμμα.4.6. Εστω T ταμπλώ και a, b ϑετικοί ακέραιοι, διαφορετικοί μεταξύ τους, που δεν είναι στοιχεία του T. Η διαδικασία εισαγωγής του b στις γραμμές του T a καταλήγει σε τετράγωνο χαμηλότερης γραμμής από το τετράγωνο στο οποίο καταλήγει η εισαγωγή του a στις γραμμές του T αν και μόνο αν b < a. Απόδειξη. Θα αποδείξουμε το λήμμα με επαγωγή στο πλήθος των γραμμών του T. Αν το T έχει μια γραμμή, υπάρχουν δυο περιπτώσεις για το T a. Στη πρώτη περίπτωση, ο a είναι μεγαλύτερος από κάθε στοιχείο του T και τοποθετείται στο τέλος της πρώτης (και μοναδικής) γραμμής του T και το ζητούμενο είναι προφανές. Στη δεύτερη περίπτωση, έστω x το μικρότερο στοιχείο του T που είναι μεγαλύτερο από το a και το τοποθετούμε σε μια δεύτερη γραμμή για να σχηματιστεί το T a. Για να σχηματιστεί καινούργια γραμμή κατά την εισαγωγή του b στο ταμπλώ T a πρέπει αναγκαστικά b < a, διότι διαφορετικά ϑα υπήρχε ένα στοιχείο z της πρώτης γραμμής του T a που ϑα ήταν μεγαλύτερο του b και κατά συνέπεια και του a και του x που ϑα τοποθετούνταν στα δεξιά του x στη δεύτερη γραμμή και αυτό ϑα ήταν το ταμπλώ (T a) b πράγμα αδύνατο αν υποθέταμε ότι είχε τρεις γραμμές. Άρα, ισχύει ο ισχυρισμός όταν το T έχει μια γραμμή. Εστω k και υποθέτουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει για όλα τα ταμπλώ με πλήθος γραμμών το πολύ k. Παρατηρούμε ότι κατά την εισαγωγή του a στις γραμμές του T υπάρχουν k + περιπτώσεις για το σχήμα του T a. Καλύπτονται όλες από την επαγωγική υπόθεση εκτός από μία, στην οποία ο T a έχει k + γραμμές όπου στη τελευταία γραμμή υπάρχει το στοιχείο x (k) που ορίζεται επαγωγικά ως εξής x (i) = min{y r i (T) y > x (i ) } για i k, όπου x (0) = a. Υποθέτουμε το ταμπλώ (T a) b έχει k + γραμμές και ότι b > a. Τότε υπάρχουν z (i) = min{y r i (T a) y > z (i ) }

22 4 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα για i k, όπου z (0) = b. Αυτό σημαίνει ότι x (k) < z (k) και γι αυτό το ταμπλώ (T a) b έχει k+ γραμμές, το οποίο είναι άτοπο. Άρα, b < a. Το αντίστροφο είναι προφανές και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Η επόμενη πρόταση συνδέει τις καθόδους μιας αυτοαντίστροφης μετάθεση με τις καθόδους των Young ταμπλώ. Πρόταση.4.7 (Strehl [45]). Για κάθε n I n (x) = x des(q), (.8) Q SYT n όπου SYT n είναι το σύνολο των Young ταμπλώ με εισόδους από το [n] οποιουδήποτε σχήματος. Απόδειξη. Το Λήμμα.4.6 μας πληροφορεί ότι το σύνολο καθόδων μιας μετάθεσης w S n είναι ίσο με το σύνολο καθόδων του αντίστοιχου Q-ταμπλώ της w στην αντιστοιχία Robinson-Schensted. Επομένως, I n (x) = w I n x des(w) = w I n x des(q(w)). Το ζητούμενο έπεται από το τύπο (.7) με αλλαγή μεταβλητών. Αν T είναι ένα Young ταμπλώ, τότε ορίζουμε το ανάστροφο ταμπλώ T t ως το ταμπλώ εκείνο του οποίου οι γραμμές συμπίπτουν με τις στήλες του T. Για παράδειγμα, αν T = τότε T t = Πρόταση.4.8 (Strehl [45]). Για κάθε n το πολυώνυμο I n (x) είναι παλινδρομικό με κέντρο συμμετρίας n. Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι ένας ακέραιος i [n ] είναι κάθοδος ενός Young ταμπλώ Q SYT n αν και μόνο αν το i είναι άνοδος (δηλαδή δεν είναι κάθοδος) του ανάστροφου Young ταμπλώ Q t. Επομένως, η απεικόνιση φ SYT n SYT n με φ(q) = Q t για Q SYT n είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το σύνολο των Young ταμπλώ του SYT n με k καθόδους στο σύνολο εκείνων με k ανόδους, δηλαδή εκείνων με n k καθόδους. Άρα, το πολυώνυμο I n (x) είναι παλινδρομικό με κέντρο συμμετρίας n.

23 .5 - Μερικές διατάξεις και (P, ω)-διαμερίσεις 5.5 Μερικές διατάξεις και (P, ω)-διαμερίσεις Στην παράγραφο αυτή ϑα μελετήσουμε τις απεικονίσεις μεταξύ ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου και του συνόλου των μη αρνητικών ακεραίων N οι ο- ποίες αντιστρέφουν τη διάταξη και το πως σχετίζονται με τις καθόδους των μεταθέσεων. Ορισμός.5.. Εστω w = w w w n S n. Μια συνάρτηση f [n] N ονομάζεται w-συμβατή αν ισχύουν τα εξής (α) f(w ) f(w ) f(w n ) (β) Αν w i > w i+, τότε f(w i ) > f(w i+ ). Μπορεί να αποδείξει κανείς ότι για δοσμένη f [n] N, υπάρχει μοναδική w S n για την οποία η f είναι w-συμβατή (βλ. [4, Λήμμα.4.]). Το γεγονός αυτό μας πληροφορεί ότι αν A(w) είναι το σύνολο όλων των w-συμβατών συναρτήσεων f για w S n, τότε N [n] =, A(w) (.9) w S n όπου N [n] είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων f [n] N και η ένωση είναι ξένη. Επίσης, έχουμε [m] [n] = A m (w), (.0) w S n όπου [m] [n] είναι το σύνολο των συναρτήσεων f [n] [m] και A m (w) είναι το σύνολο όλων των w-συμβατών συναρτήσεων f [n] [m] για w S n, δηλαδή A m (w) = A(w) [m] [n]. Λήμμα.5.. Για w S n και m N έχουμε και #A m (w) = ( m + n des(w) n #A m (w)x m = x+des(w) m ( x) n+, όπου (( m des(w) n )) = 0, αν 0 m < des(w). ) = (( m des(w) )) n Θεωρώντας πληθαρίθμους και στα δυο μέλη της (.0), αθροίζοντας για m 0 και χρησιμοποιώντας το Λήμμα.5. προκύπτει η ταυτότητα της Πρότασης..3. Ο R. Stanley στη διδακτορική του διατριβή [38] γενίκευσε την παραπάνω συζήτηση για μερικώς διατεταγμένα σύνολα σε μια έννοια που ονομάζεται (P, ω)- διαμερίσεις. Εστω (P, P ) μερικώς διατεταγμένο σύνολο με n στοιχεία και ω P [n] μια - και επί αντιστοιχία, η οποία ονομάζεται επιγραφή του P. Ορισμός.5.3. Μια (P, ω)-διαμέριση είναι μια απεικόνιση σ P N τέτοια ώστε (α) Αν s P t, τότε f(s) f(t).

24 6 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα (β) Αν s < P t και ω(s) > ω(t), τότε f(s) > f(t). Αν η επιγραφή ω είναι φυσική, δηλαδή διατηρεί τη διάταξη του P, τότε μια (P, ω)-διαμέριση είναι απλώς μια απεικόνιση σ P N που αντιστρέφει τη διάταξη. Στη περίπτωση αυτή η σ ονομάζεται P-διαμέριση. Συμβολίζουμε με A(P, ω) το σύνολο των (P, ω)-διαμερίσεων. Για παράδειγμα, ένα (φυσικά) επιγεγραμμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο είναι το εξής 3 4 Σχήμα.: Αν P = {a, b, c, d} με a < P b, d και c < P d, τότε ω(a) =, ω(b) = 3, ω(c) = και ω(d) = 4. Η ϑεμελιώδης γεννήτρια συνάρτηση που σχετίζεται με τις (P, ω)-διαμερίσεις είναι η F P,ω = F P,ω (x, x,, x n ) = σ A(P,ω) s P x σ(s) ω(s) = x σ(ω ()) x σ(ω ()) x σ(ω (n)) n σ A(P,ω) και περιέχει όλες τις πληροφορίες για αυτές. Για παράδειγμα, αν P = n είναι η αλυσίδα με n στοιχεία και ω είναι η προφανής φυσική επιγραφή, τότε F n,ω = x r xr xrn n r r r n 0 = (r,r,,r n) N n x r (x x ) r (x x x n ) rn = n i= ( x x x i ) ενώ αν P είναι η αντιαλυσίδα με n στοιχεία και ω οποιαδήποτε φυσική επιγραφή, τότε F P,ω = x r xr xrn n = r,r,,r n 0 n i= ( x i). Εστω L(P, ω) το σύνολο των μεταθέσεων (a, a,, a n ) του [n] με την ιδιότητα ω (a i ) < P ω (a j ) i < j για όλα τα i, j. Το σύνολο L(P, ω) ονομάζεται σύνολο Jordan-Hölder και τα στοιχεία του ονομάζονται γραμμικές επεκτάσεις του P. Στο τρέχον παράδειγμα, έχουμε L(P, ω) = {43, 34, 43, 34, 34}. Για σ A(P, ω), ορίζουμε σ [n] N με σ (i) = σ(ω (i))

25 .5 - Μερικές διατάξεις και (P, ω)-διαμερίσεις 7 για κάθε i [n]. Από τη σχέση (.9) προκύπτει ότι υπάρχει (μοναδική) w S n ώστε η σ να είναι w-συμβατή. Για w S n συμβολίζουμε με S w το σύνολο των συναρτήσεων σ P N για τις οποίες η σ είναι w-συμβατή. Το επόμενο Λήμμα χαρακτηρίζει τις (P, ω)-διαμερίσεις. Λήμμα.5.4. Μια συνάρτηση σ P N είναι (P, ω)-διαμέριση αν και μόνο αν η σ είναι w-συμβατή για κάποια w L(P, ω). Ισοδύναμα έχουμε A(P, ω) = S w. (.) w L(P,ω) Για την απόδειξη του παραπάνω Λήμματος καθώς και την απόδειξη του ε- πόμενου ϑεωρήματος, το οποίο το συμπεριλαμβάνουμε για λόγους πληρότητας, αφού αποτελεί το κεντρικό ϑεώρημα για τη γεννήτρια συνάρτηση F P,ω παραπέμπουμε στη παράγραφο 3.5 του [4]. Θεώρημα.5.5. F P,ω = w L(P,ω) i Des(w) x w x w x wi n i= ( x w()x w() x w(i) ) Στο τρέχον παράδειγμα το Λήμμα.5.4 μας πληροφορεί ότι κάθε (P, ω)- διαμέριση σ P N ικανοποιεί μια εκ των συνθηκών σ () > σ () σ (4) > σ (3) σ () > σ () σ (3) σ (4) σ () σ () σ (4) > σ (3) σ () σ () σ (3) σ (4) σ () σ (3) > σ () σ (4) και το ϑεώρημα.5.5 μας πληροφορεί ότι F P,ω = x x x 3 + x + x x x 3 + x x ( x )( x x )( xx x 3 )( x x x 3 x 4 ). Συνεπώς, η σχέση (.) μας επιτρέπει να διαμερίσουμε το A(P, ω) σε πεπερασμένο πλήθος συνόλων που μπορούμε να μελετήσουμε ξεχωριστά. Συμβολίζουμε με e(p) το πληθάριθμο του L(P, ω). Αποδεικνύεται ότι το e(p) είναι ανεξάρτητο της επιγραφής ω και ότι ισούται με το πλήθος των γραμμικών επεκτάσεων του P, δηλαδή αναδιατάξεων (p, p,, p n ) των στοιχείων του P με την ιδιότητα p i < P p j i < j για όλα τα i, j. Αν για παράδειγμα P = n είναι η αλυσίδα με n στοιχεία, τότε υπάρχει μοναδική γραμμική επέκταση, γι αυτό e(p) =, ενώ αν P είναι η αντιαλυσίδα με n στοιχεία, τότε e(p) = n!, διότι κάθε μετάθεση των στοιχείων του P είναι γραμμική επέκταση του P. Παρατηρείστε ότι μια φυσική επιγραφή είναι γραμμική επέκταση και οι υπολογισμοί για την F P,ω όταν P είναι αλυσίδα και αντιαλυσίδα αντίστοιχα με n στοιχεία είναι σε συμφωνία με το τύπο του Θεωρήματος.5.5.

26 8 Πολυώνυμα Euler για τη συμμετρική ομάδα Ενα υποσύνολο I του P ονομάζεται διατακτικό ιδεώδες αν για κάθε s, t P με s P t I έπεται ότι s I. Το σύνολο των διατακτικών ιδεωδών, μερικώς διατεταγμένο με τη σχέση του εγκλεισμού συμβολίζεται με J(P) και ονομάζεται μερική διάταξη των ιδεωδών του P. Αποδεικνύεται ότι το e(p) ισούται με το πλήθος των μεγιστικών αλυσίδων του J(P) (βλ. []). Κλείνοντας την ενότητα αυτή επισημαίνουμε ότι ο υπολογισμός του πλήθος e(p) των στοιχείων του L(P, ω) σχετίζεται με πολλά προβλήματα απαρίθμησης. Για παράδειγμα, έστω λ = (λ, λ,, λ k ) n μια διαμέριση του n με διάγραμμα Young Y λ. Εστω P λ το μερικώς διατεταγμένο σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι τα τετράγωνα του Y λ με σχέση κάλυψης s t αν και μόνο αν το τετράγωνο t βρίσκεται ακριβώς στα δεξιά ή ακριβώς από κάτω του s. Με άλλα λόγια, τέτοια μερικώς διατεταγμένα σύνολα είναι τα πεπερασμένα διατακτικά ιδεώδη του N N, δηλαδή P λ = {(i, j) N N i k, j λ i }. Για παράδειγμα, για n = 9 και λ = (4,,, ) το διάγραμμα Young είναι και το αντίστοιχο P (4,,,) είναι Πρόταση.5.6. Για λ n, ισχύει ότι e(p λ ) = f λ. Απόδειξη. Μια γραμμική επέκταση του P λ είναι μια απαρίθμηση των τετραγώνων w = (t, t,, t n ) του Y λ για την οποία ισχύει i < j, όταν το t i βρίσκεται αριστερά στην ίδια γραμμή ή παραπάνω στην ίδια στήλη του t j. Αντιστοιχώντας το i στο τετράγωνο t i, για i n παίρνουμε ένα Young ταμπλώ T w σχήματος λ και η απεικόνιση w T w είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία L(P λ ) SYT(λ).

27 Κεφάλαιο Συμμετρικές Συναρτήσεις. Ο δακτύλιος των συμμετρικών συναρτήσεων Ασθενής σύνθεση ενός μη αρνητικού ακεραίου n N ονομάζεται μια ακολουθία α = (α, α, ) μη αρνητικών ακεραίων ώστε α + α + = n. Οι ακέραιοι α i ονομάζονται μέρη της α και γράφουμε α n. Εστω x = (x, x, ) ένα σύνολο (ανεξάρτητων) μεταβλητών. Ορισμός... Η τυπική δυναμοσειρά f(x) = c α x α Q[[x]] α n όπου x α = x α x α και c α Q για σύνθεση α = (α, α, ) ονομάζεται (ομογενής) συμμετρική συνάρτηση βαθμού n αν f(x w, x w, ) = f(x, x, ) για κάθε μετάθεση w S(Z >0 ). Το σύνολο των συμμετρικών συναρτήσεων βαθμού n συμβολίζεται με Λ n Q. Παρατηρούμε ότι αν f, g Λ n Q και λ, µ Q, τότε λf + µg Λn Q. Επομένως, το Λ n Q είναι Q-διανυσματικός χώρος. Επιπλέον, αν f Λn Q και g Λm Q για m N, τότε fg Λ n+m Q ως γινόμενο τυπικών δυναμοσειρών. Οπότε ορίζοντας Λ Q = Λ 0 Q Λ Q Λ Q ως ευθύ άθροισμα Q-διανυσματικών χώρων, όπου Λ 0 Q = Q, η Λ Q έχει δομή μετα- ϑετικής Q-άλγεβρας την οποία ονομάζουμε άλγεβρα των συμμετρικών συναρτήσεων. Για περισσότερες πληροφορίες για την άλγεβρα των συμμετρικών συναρτήσεων παραπέμπουμε στα [4, 30]. Στη συνέχεια της ενότητας αυτής ϑα ορίσουμε ορισμένες χρήσιμες βάσεις της Λ n Q. Εστω λ n. Αν λ λ λ k είναι τα μέρη της διαμέρισης λ, τότε ϑέτουμε λ i = 0, για i > k.

28 0 Συμμετρικές Συναρτήσεις Ορισμός... Η μονωνυμική (monomial) συμμετρική συνάρτηση m λ = m λ (x) Λ n Q ορίζεται ϑέτοντας m λ = x α, α όπου τα α διατρέχει όλες τις διακεκριμένες μεταθέσεις τω μερών του λ. Για παράδειγμα, για τις τρεις διαμερίσεις (3), (, ), (,, ) του 3 έχουμε m (3) = x 3 + x3 + = i x 3 i m (,) = x x + x x x x + x x 3 + m (,,) = x x x 3 + x x x 4 + x x 3 x 4 + x x 3 x 5 + = x i x j x k. i<j<k Είναι εμφανές ότι m λ Λ n Q για κάθε λ n και ότι κάθε συμμετρική συνάρτηση f Λ n Q μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός μονωνυμικών συμμετρικών συναρτήσεων, δηλαδή f(x) = c λ m λ λ n για κάποια c λ Q, με μοναδικό τρόπο. Επομένως, το σύνολο {m λ λ n} αποτελεί βάση του Q-διανυσματικού χώρου Λ n Q και γι αυτό dim Q (Λ n Q ) = p(n), όπου p(n) είναι το πλήθος των διαμερίσεων του n. Αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ δεν υπάρχει κάποιος απλός γενικός τύπος για το p(n), η αντίστοιχη γεννήτρια συνάρτηση υπολογίζεται εύκολα (βλ. [, Πρόταση..6]) και δίνεται από Ορισμός..3. Για n p(n)t n = n 0 i t i. (α) η στοιχειώδης (elementary) συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση e n = e n (x) Λ n Q ορίζεται ϑέτοντας e n = m ( n ) = x i x i x in, i <i < <i n (β) η πλήρης ομογενής (complete homogeneous) συμμετρική συνάρτηση h n = h n (x) Λ n Q ορίζεται ϑέτοντας h n = m λ = x i x i x in, λ n i i i n (γ) η δυναμοπροσθετική (power sum) συμμετρική συνάρτηση ορίζεται ϑέτοντας p n = m (n) = x n i. i Για λ = (λ, λ,, λ k ) n ορίζουμε e λ = e λ e λ e λk, h λ = h λ h λ h λk p λ = p λ p λ p λk αντίστοιχα. και

29 . - Ο δακτύλιος των συμμετρικών συναρτήσεων Για παράδειγμα, για τις τρεις διαμερίσεις (3), (, ), (,, ) του 3 έχουμε e (3) = m (,,) και e (,) = (x x + x x x x 3 + x x 4 + )(x + x + ) = m (,) + 3m (,,) e (,,) = (x + x + ) 3 = m (3) + 3m (,) + 6m (,,). p (3) = x 3 + x3 + = m (3) p (,) = (x + x + )(x + x + ) = m (3) + m (,) p ( 3 ) = (x + x + ) 3 = m (3) + 3m (,) + 6m ( 3 ). Οι συντελεστές στα δεξιά μέλη των παραπάνω αναπτυγμάτων έχουν συνδυαστική ερμηνεία. Πιο συγκεκριμένα, ισχύει ότι e λ = M λµ m µ µ n όπου M λµ είναι το πλήθος των (0, )-πινάκων A = (a ij ) με row(a) = λ και col(a) = µ, όπου με row(a) = (r, r, ) col(a) = (c, c, ) r i = a ij j c j = a ij i για i, j. Για την απόδειξη αυτού και για περαιτέρω αναπτύγματα των πλήρως ομογενών συμμετρικών συναρτήσεων και των δυναμοπροσθετικών συμμετρικών συναρτήσεων παραπέμπουμε στο [4, Κεφάλαιο 7]. Επίσης αποδεικνύεται ότι τα σύνολα {e λ λ n}, {h λ λ n} και {p λ λ n} αποτελούν βάση του Q-διανυσματικού χώρου Λ n Q. Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα δυϊκότητα μεταξύ των e λ και h λ την οποία αξίζει να παρατηρήσουμε. Για f Λ Q και n Z >0 ϑέτουμε f( n ) = f(x = x = = x n =, x n+ = x n+ = = 0). Ετσι, για ϑετικό ακέραιο k έχουμε και e k ( n ) = h k ( n ) = = ( n i <i < <i k n k ) = (( n i i i k n k )) όπου με ( n ) k συμβολίζουμε το πλήθος των συνδυασμών με επανάληψη k από n αντικείμενα και δίνεται από ( n k ) = (n+k k ). Οι δυο αυτοί ακέραιοι όμως συνδέονται με το εξής νόμο (συνδυαστικής) αντιστροφής (( n k )) = ( )k ( n k ).

30 Συμμετρικές Συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις Schur Στην ενότητα αυτή ϑα κατασκευάσουμε μια ακόμη βάση του Λ n Q, τις λεγόμενες συναρτήσεις Schur. Εστω λ n. Γενικευμένο (ή ημισύνηθες) Young ταμπλώ (semistandard Young tableaux) σχήματος λ ονομάζεται κάθε απεικόνιση των τετραγώνων του διαγράμματος Young Y λ της λ με το Z >0 ώστε (α) οι ακέραιοι που αντιστοιχούν στα τετράγωνα οποιασδήποτε γραμμής του Y λ αυξάνουν ασθενώς προς τα δεξιά και (β) οι ακέραιοι που αντιστοιχούν στα τετράγωνα οποιασδήποτε στήλης του Y λ αυξάνουν (αυστηρά) προς τα κάτω. Για παράδειγμα, ένα γενικευμένο Young ταμπλώ σχήματος λ = (4, 3,, ) είναι το εξής T = Το σύνολο των γενικευμένων Young ταμπλώ σχήματος λ συμβολίζουμε με SSYT λ. Για T SSYT λ η ακολουθία cont(t) = (α, α, ) όπου α i = α i (T) είναι το πλήθος των εμφανίσεων του ακεραίου i στο ταμπλώ T για κάθε i ονομάζεται τύπος (ή περιεχόμενο) του T και αποτελεί ασθενή σύνθεση του n. Το σύνολο των γενικευμένων Young ταμπλώ σχήματος λ και τύπου α συμβολίζουμε με SSYT λ,α. Επίσης, για T SSYT λ,α γράφουμε x T = x a xa. Στο τρέχον παράδειγμα έχουμε α(t) = (, 4,, 0, 0, 0, 0,, 0,,, 0, ) και x T = x x4 x 3x 8 x 0 x. Ορισμός... Η συνάρτηση Schur s λ = s λ (x) που αντιστοιχεί στην διαμέριση λ n ορίζεται ϑέτοντας s λ = x T. T SSYT λ Εστω λ = (n) η διαμέριση με ένα μέρος. Κάθε πολυσύνολο του [n] (υποσύνολο του [n] όπου επιτρέπεται η επανάληψη των στοιχείων του) αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα γενικευμένο Young ταμπλώ όπου τα στοιχεία του εμφανίζονται από τα αριστερά προς τα δεξία σε (ασθενώς) αύξουσα σειρά. Συνεπώς, s (n) = i i i n x i x i x in = h n και συμπίπτει με τη πλήρη ομογενή συμμετρική συνάρτηση..

31 . - Οι συναρτήσεις Schur 3 Εστω τώρα ότι λ = ( n ) η διαμέριση με n μέρη ίσα με. Κάθε υποσύνολο του [n] αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα γενικευμένο Young ταμπλώ όπου τα στοιχεία του εμφανίζονται από πάνω προς τα κάτω σε (αυστηρά) αύξουσα σειρά. Συνεπώς, s ( n ) = i <i < <i n x i x i x in = e n και συμπίπτει με τη στοιχειώδη συμμετρική συνάρτηση. Από τον ορισμό δεν είναι άμεσα εμφανές ότι το s λ είναι συμμετρική συνάρτηση. Θα το δούμε αυτό στην επόμενη πρόταση. Η απόδειξη οφείλεται στους Bender και Knuth [7]. Πρόταση... Για διαμέριση λ n, ισχύει ότι s λ Λ n Q. Απόδειξη. Το σύνολο των αντιμεταθέσεων (i i+) παράγει τη συμμετρική ομάδα S n. Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις Schur παραμένουν αναλλοίωτες από μια αντιμετάθεση (i i + ) των μεταβλητών, δηλαδή s λ (x) = s λ (x,, x i+, x i, ). Εστω λ n. Για ασθενή σύνθεση α = (α, α, ) n ϑέτουμε ^α = (α,, α i, α i+, α i, ). Θα κατασκευάσουμε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία φ μεταξύ των συνόλων SSYT λ,α και SSYT λ,^α. Για T SSYT λ,α, ορίζουμε φ(t) να είναι το γενικευμένο Young ταμπλώ που προκύπτει από το T ως εξής : (α) Τα στοιχεία του T που είναι διαφορετικά των i και i + παραμένουν στίς ϑέσεις τους. (β) Η ϑέση που έχουν τα i και i + στις γραμμές του T είναι η εξής Σχήμα.: Η γενική εικόνα της τυχαίας γραμμής του T, όπου r είναι το πλήθος των i που εμφανίζονται σε αυτή και δεν έχουν ακριβώς από κάτω τους i + και s είναι το πλήθος των i + που εμφανίζονται μετά τα i και δεν έχουν ακριβώς από πάνω τους i. Τα r, s εξαρτώνται από τη γραμμή στην οποία βρίσκονται.

32 4 Συμμετρικές Συναρτήσεις Τα ζεύγη (i, i+) που εμφανίζονται στην ίδια στήλη, με το i+ να βρίσκεται ακριβώς κάτω από το i παραμένουν στις ϑέσεις τους και για τις υπόλοιπες εμφανίσεις των i και i + στο T, σε κάθε γραμμή ανταλλάσουμε το πλήθος των i με εκείνο των i +. Είναι προφανές ότι φ(t) SSYT λ,^α και ότι η φ είναι αμφιμονοσήμαντη. Επίσης, από την κατασκευή της, η φ εναλλάσει τους εκθέτες των x i και x i+ και αφήνει όλους τους άλλους σταθερούς. Άρα, έχουμε το ζητούμενο. Εστω λ n. Αν K λα = # SSYT λα για α n, τότε από τον Ορισμό.. έπεται ότι s λ = K λα x α α n και επειδή, από τη πρόταση.., η s λ είναι συμμετρική συνάρτηση έπεται ότι s λ = K λµ m µ. µ n Οι αριθμοί K λµ ονομάζονται αριθμοί Kostka και έχουν ιδιαίτερη σημασία στη ϑεωρία αναπαραστάσεων της συμμετρικής ομάδας, όπως ϑα δούμε στην παράγραφο.5. Γενικός τύπος για τους αριθμούς Kostka δεν είναι γνωστός. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η περίπτωση όπου µ = ( n ). Στη περίπτωση αυτή έχουμε K λ( n ) = f λ το οποίο συναντήσαμε στην Παράγραφο.4 του προηγούμενου κεφαλαίου και απαριθμεί το πλήθος των Young ταμπλώ σχήματος λ. Για να δείξουμε ότι οι συναρτήσεις Schur αποτελούν βάση του Λ n Q αρκεί να δείξουμε ότι ο πίνακας μετάβασης στη βάση των μονωνυμικών συμμετρικών συναρτήσεων είναι αντιστρέψιμος. Μάλιστα, ϑα δείξουμε ότι είναι κάτω τριγωνικός με στοιχεία ϑετικούς ακεραίους και ότι έχει μοναδιαία διαγώνιο. Για παράδειγμα, αν ϑέλουμε να εκφράσουμε το s (,) ως γραμμικό συνδυασμό των m (3), m (,,) και m (,) παρατηρούμε ότι δεν μπορεί να υπάρξει γενικευμένο ταμπλώ σχήματος (, ) με τρεις εισόδους ίσες. Επομένως, ο συντελεστής του m (3) είναι 0. Για την περίπτωση όπου έχουμε x i x j x k με i < j < k έχουμε δυο επιλογές, ανάλογα με το τετράγωνο στο οποίο ϑα τοποθετηθούν τα j και k. Επομένως, ο συντελεστής του m (,,) είναι ίσος με. Τέλος, για i j υπάρχει ένα γενικευμένο ταμπλώ σχήματος (, ) και ίδιου τύπου που δίνει x i x j,,ανάλογα με το αν i < j ή j < i. Οπότε, ο συντελεστής του m () είναι ίσος με. Με παρόμοιο σκεπτικό προκύπτει ότι s (,,) = m (,,) s (,) = m (,,) + m (,) s (3) = m (,,) + m (,) + m (3).

33 . - Οι συναρτήσεις Schur 5 Εστω λ = (λ,, λ k ), µ = (µ,, µ l ) n. Θέτουμε λ j = 0 για j > k και µ j = 0, για j > l. Γράφουμε λ µ αν λ + λ i µ + + µ i για κάθε i. Η σχέση είναι σχέση μερικής διάταξης στο σύνολο των διαμερίσεων του n. (6) (5, ) (4, ) (3, 3) (4,, ) (3,, ) (3,,, ) (,, ) (,,, ) (,,,, ) (,,,,, ) Σχήμα.: Η σχέση δεν είναι ολική διάταξη για n 6. Λήμμα..3. Για διαμερίσεις λ, µ n, αν K λµ 0, τότε λ µ και επιπλέον K λλ =. Απόδειξη. Εστω T SSYT λµ, διότι K λµ 0. Αρχικά υποθέτουμε ότι λ = µ. Τότε υπάρχει μόνο μια επιλογή για το T, τα στοιχεία της i-οστής γραμμής να είναι όλα ίσα με i, για κάθε i. Συνεπώς, K λλ =. Τώρα, υποθέτουμε ότι λ µ. Αυτό σημαίνει ότι στο T κάθε πρέπει να βρίσκεται στη πρώτη γραμμή, κάθε πρέπει να βρίσκεται στη πρώτη ή τη δεύτερη γραμμή κ.ο.κ.. Συνεπώς, για κάθε i που σημαίνει ότι λ µ. λ + λ i µ + + µ i Πόρισμα..4. Το σύνολο {s λ λ n} αποτελεί βάση του Q-διανυσματικού χώρου Λ n Q. Απόδειξη. Από το Λήμμα..3 έπεται ότι ο πίνακας μετάβασης που εκφράζει τις συναρτήσεις Schur στις μονωνυμικές συμμετρικές συναρτήσεις είναι κάτω τριγωνικός με στη διαγώνιο (ως προς οποιαδήποτε γραμμική διάταξη που επεκτείνει την ).

34 6 Συμμετρικές Συναρτήσεις.3 Η ταυτότητα Cauchy Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των συναρτήσεων Schur ϑα προκύψει γενικεύοντας την αντιστοιχία Robinson - Schensted του κεφαλαίου. Η κατασκευή έγινε από τον Knuth [8]. Γενικευμένη μετάθεση μήκους n (ή λεξικογραφική n διάταξη) ονομάζεται ένας n πίνακας w = ( i i i n j j j n ) του οποίου οι στήλες βρίσκονται σε λεξικογραφική διάταξη, δηλαδή ισχύει ότι (α) i i i n (β) αν i k = i k+, τότε j k j k+. Συμβολίζουμε με GP n το σύνολο των γενικευμένων μεταθέσεων μήκους n. Για παράδειγμα, για n = 8 μια γενικευμένη μετάθεση μήκους 9 είναι ( ). Η αντιστοιχία Knuth είναι μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία η οποία σε κάθε γενικευμένη μετάθεση GP n SSYT λ SSYT λ λ n w = ( i i i n j j j n ) GP n αντιστοιχίζει ένα ζεύγος γενικευμένων Young ταμπλώ (P(w), Q(w)) ίδιου σχήματος σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράψαμε στην Παράγραφο.5 διαφοροποιημένη ως εξής: (α) Το P-ταμπλώ P(w) ορίζεται να είναι P(w) = (( (( j ) j ) ) j n ), όπου αν σε κάποια εισαγωγή το j k ισούται με το μεγαλύτερο στοιχείο της πρώτης γραμμής, τότε τοποθετείται στη γραμμή αυτή, προσθέτοντας ένα τετράγωνο στο τέλος της με το j k στο εσωτερικό της. (β) Το Q-ταμπλώ Q(w) έχει ίδιο σχήμα με το P(w) και σε αυτό κάθε i k καταλαμβάνει το τετράγωνο στο οποίο τερματίζεται η εισαγωγή του j k στο ταμπλώ ( (( j ) j ) ) j k, για k n. Για παράδειγμα, για τη γενικευμένη μετάθεση του τρέχοντος παραδείγματος τα βήματα της παραπάνω διαδικασίας είναι τα εξής

35 .3 - Η ταυτότητα Cauchy 7 στοιχείο εισαγωγής P-ταμπλώ Q-ταμπλώ Παρατηρούμε ότι το P-ταμπλώ ϑα έχει στοιχεία j, j,, j n και το Q-ταμπλώ ϑα έχει στοιχεία i, i,, i n. Είναι προφανές ότι w S n αν και μόνο αν τα P(w), Q(w) SYT n. Μια γενικευμένη μετάθεση w = ( i i i n j j j n ) GP n μπορεί να περιγραφεί από ένα N-πίνακα (πίνακα με στοιχεία στο N) A = (a ij ) i,j με πεπερασμένο φορέα, όπου a ij = #{ k n (i k, j k ) = (i, j)} για i, j και αντίστροφα. Στο τρέχον παράδειγμα, έχουμε A = Ετσι, συγκεντρώνουμε την παραπάνω συζήτηση στο παρακάτω ϑεώρημα. Θα

36 8 Συμμετρικές Συναρτήσεις συμβολίζουμε με w A τη γενικευμένη μετάθεση που αντιστοιχεί σε ένα N-πίνακα με πεπερασμένο φορέα. Θεώρημα.3. (Αντιστοιχία RSK). Η απεικόνιση A (P(w A ), Q(w A )) είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το σύνολο των N-πινάκων A = (a ij ) i,j πεπερασμένου φορέα στο σύνολο των ζευγών (P, Q) γενικευμένων Young ταμπλώ ίδιου σχήματος. Με την αντιστοιχία αυτή το j εμφανίζεται ως στοιχείο του P ακριβώς c j = j a ij φορές, δηλαδή cont(p) = col(a) και το i εμφανίζεται ως στοιχείο του Q ακριβώς r i = j a ij φορές, δηλαδή cont(q) = row(a). Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [4, Θεώρημα 7..5]. Η επόμενη πρόταση ονομάζεται ταυτότητα Cauchy και είναι μια σημαντική ιδιότητα των συναρτήσεων Schur που προκύπτει απευθείας από το Θεώρημα.3.. Εστω Par το σύνολο όλων των διαμερίσεων των φυσικών αριθμών. Πρόταση.3. (Ταυτότητα Cauchy). Απόδειξη. Το δεξί μέλος της (.) γράφεται ως i,j s λ (x)s λ (y) =. (.) λ Par i,j x i y j x i y j = i,j a ij 0 (x i y j ) a ij = a ij 0 i,j 0 (x i y j ) a ij. Επομένως, ο συντελεστής του x α y β, όπου α = (α, α, ) και β = (β, β, ) στο παραπάνω ανάπτυγμα ισούται με το πλήθος των N-πινάκων A = (a ij ) i,j με row(a) = α και col(a) = β. Από την άλλη μεριά, ο συντελεστής του x α y β στο αριστερό μέλος της (.) είναι ίσος με το πλήθος των ζευγών γενικευμένων Young ταμπλώ (P, Q) ίδιου σχήματος με cont(p) = α και cont(q) = β. Το Θεώρημα.3. μας πληροφορεί την ισότητα των δυο συντελεστών. Οπως και η αντιστοιχία RS έτσι και η αντιστοιχία RSK εμφανίζει μια αξιοσημείωτη συμμετρία. Πιο συγκεκριμένα, αν ένας N-πίνακας A με πεπερασμένο φορέα, απεικονίζεται στο ζεύγος γενικευμένων ταμπλώ (P, Q), τότε ο ανάστροφος A t απεικονίζεται στο ζεύγος (Q, P). Περιοριζόμενοι στους συμμετρικούς πίνακες προκύπτει η εξής πρόταση. Πόρισμα.3.3. Η απεικόνιση RSK περιορίζεται σε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το σύνολο των συμμετρικών N-πινάκων πεπερασμένου φορέα στο σύνολο των γενικευμένων Young ταμπλώ. Με την αντιστοιχία αυτή το ταμπλώ έχει τύπο α = (α, α, ) αν τα α, α, είναι τα αθροίσματα των γραμμών (ή των στηλών) του πίνακα.

37 .4 - Quasi-συμμετρικές συναρτήσεις 9 Με χρήση του Πορίσματος.3.3 είμαστε σε ϑέση να αποδείξουμε μια ακόμη ιδιότητα των συναρτήσεων Schur η οποία αποδείχτηκε (αλγεβρικά) πρώτα από τον Schur και στη συνέχεια εμφανίστηκε στο βιβλίο του D. E. Littlewood [9]. Πρόταση.3.4. s λ (x) = λ Par i x i i<j Απόδειξη. Το δεξί μέλος της (.) γράφεται i x i i<j = x i x j i = a ij 0 ( a ii 0 ( i=j x i x j. (.) x a ii i ) ( (x i x j ) a ij ) i<j a ij 0 x a ii i )( (x i x j ) a ij ). i<j Επομένως, ο συντελεστής x α, όπου α = (α, α, ) στο παραπάνω ανάπτυγμα ισούται με το πλήθος των συμμετρικών N-πινάκων A με πεπερασμένο φορέα και row(a) = α. Από την άλλη μεριά, ο συντελεστής του x α στο αριστερό μέλος της (.) ισούται με το πλήθος των γενικευμένων Young ταμπλώ τύπου α. Από το Πόρισμα.3.3 έπεται η ισότητα των δυο συντελεστών..4 Quasi-συμμετρικές συναρτήσεις Στην ενότητα αυτή ϑα δώσουμε μια ακόμη περιγραφή των συναρτήσεων Schur, εκφράζοντας αυτές ως γραμμικό συνδυασμό στοιχείων της βάσης ενός χώρου μεγαλύτερου από το Λ Q. Για να το πετύχουμε αυτό ϑα χρειαστούμε τη ϑεωρία των (P, ω)-διαμερίσεων που συναντήσαμε στην Παράγραφο.5. Για μια τυπική δυναμοσειρά f(x) Q[[x]] με [x a xa xa k k ]f(x) συμβολίζουμε τον συντελεστή του x a xa xa k k στο f(x), για a, a,, a k Z >0. Ο επόμενος ορισμός οφείλεται στον I. Gessel [0]. Ορισμός.4.. Μια τυπική δυναμοσειρά f(x) Q[[x]] φραγμένου βαθμού ονομάζεται quasi-συμμετρική συνάρτηση αν για όλα τα a, a,, a k Z >0 έχουμε όταν i < i < < i k και j < j < < j k. [x a i x a i x a k i k ]f(x) = [x a j x a j x a k j k ]f(x) Από τον ορισμό.4. βλέπουμε ότι κάθε συμμετρική συνάρτηση είναι quasiσυμμετρική συνάρτηση, αλλά το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Για παράδειγμα, η τυπική δυναμοσειρά i<j x i x j είναι quasi-συμμετρική, όχι όμως συμμετρική. Εστω QSym n το σύνολο των ομογενών quasi-συμμετρικών συναρτήσεων βαθμού n. Το QSym n είναι Q-διανυσματικός χώρος. Μπορεί, επίσης να δειχθεί ότι αν f QSym n και g QSym m, τότε fg QSym n+m. Οπότε, αν ϑέσουμε QSym = QSym 0 QSym QSym τότε η QSym είναι μια Q-άλγεβρα, η οποία ονομάζεται άλγεβρα των quasiσυμμετρικών συναρτήσεων.

38 30 Συμμετρικές Συναρτήσεις Ορισμός.4.. Για σύνθεση α = (α, α,, α k ) n, η μονωνυμική quasiσυμμετρική συνάρτηση M α = M n,α (x) QSym n ορίζεται ως M n,α = x a i x a i x a k i k. i <i < <i k Είναι εμφανές ότι κάθε f QSym n μπορεί να γραφεί ως f(x) = ([x a i x a i x a k i k ]f(x))m n,α. α=(α,α,,α k ) n Επομένως, το σύνολο {M n,α α n} αποτελεί βάση του Q-διανυσματικού χώρου QSym n. Το πλήθος των συνθέσεων του n είναι ίσο με n. Πράγματι, σε κάθε σύνθεση α = (α, α,, α k ) n, αντιστοιχεί ένα υποσύνολο του [n ] το οποίο συμβολίζουμε S α = {α, α + α,, α + α + + α k } και σε κάθε υποσύνολο S = {s < s < < s k } [n ] αντιστοιχεί μια σύνθεση του n, την οποία συμβολίζουμε ώστε co(s α ) = α και S co(s) = S. Άρα, co(s) = (s, s s, s 3 s,, n s k ), dim Q (QSym n ) = n. Ορισμός.4.3. Για α n, η ϑεμελιώδης quasi-συμμετρική συνάρτηση F n,α = F n,α (x) QSym n ορίζεται ως F n,α = Ισοδύναμα, για S [n ] ορίζεται F n,s = x i x i x. in i i i n j S α i j <i j+ x i x i x. in i i i n j S i j <i j+ Παρατηρούμε ότι για S = έχουμε F n, = h n και για S = [n ] έχουμε F n,[n ] = e n. Για σύνθεση α n, από τον Ορισμό.4.3 προκύπτει η σχέση F n,α = M n,co(t) (.3) S α T [n ] ομαδοποιώντας τις ακολουθίες i i i n ανάλογα αν i j < i j+ ή i j = i j+. Για παράδειγμα, για n = 4 και α = (,, ) έχουμε S α = {, 3} και F 4,(,,) = i <i i 3 <i 4 x i x i x i3 x i4 = x i x i x i4 + x i x i x i3 x i4 i <i =i 3 <i 4 i <i <i 3 <i 4 = M 4,(,,) + M 4,(,,,).

39 .4 - Quasi-συμμετρικές συναρτήσεις 3 Το σύνολο {F n,α α n} αποτελεί βάση του Q-διανυσματικού χώρου QSym n. Για να το δούμε αυτό, ας ϑυμηθούμε την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού. Αν f, g [n] C δυο συναρτήσεις, όπου [n] είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του [n], τότε f(s) = S T [n] g(t) για κάθε S [n] αν και μόνο αν g(s) = ( ) #T S f(t) S T [n] για κάθε S [n]. Η αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού είναι ειδική περίπτωση του ϑεωρήματος αντιστροφής Möbius του G. C. Rota, για τη περίπτωση της άλγεβρας Boole τάξης n. Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε στο [4, Κεφάλαιο 3]. Επομένως, από την σχέση.3 και την αρχή εγκλεισμούαποκλεισμού έπεται ότι M n,α = ( ) T Sα F n,co(t) S α T [n ] και προκύπτει το ζητούμενο. Θα εξετάσουμε τώρα τη σχέση που έχουν οι quasi-συμμετρικές συναρτήσεις με τη ϑεωρία των (P, ω)-διαμερίσεων που είδαμε στην παράγραφο.5. Στα πλαίσια αυτή της παραγράφου είναι βολικό να δουλεύουμε με τις αντίστροφες έννοιες από αυτές της Παραγράφου.5. Για w = w w w n S n, μια συνάρτηση f [n] N ονομάζεται αντιστρόφως w-συμβατή αν (α) f(w ) f(w ) f(w n ) (β) Αν w i > w i+ για κάποιο i n, τότε f(w i ) < f(w i+ ). Εξακολουθεί να ισχύει ότι για κάθε συνάρτηση f [n] N, υπάρχει μοναδική w S n έτσι ώστε η f να είναι αντιστρόφως w-συμβατή. Αν A r (w) είναι το σύνολο όλων των αντιστρόφως w-συμβατών συναρτήσεων, τότε F n,des(w) = x f f A r (w) όπου x f = x f() x f() x f(n). Εστω (P, P ) μερικώς διατεταγμένο σύνολο με #P = n και ω P [n] μια επιγραφή. Μια αντίστροφη (P, ω)-διαμέριση είναι μια απεικόνιση σ P Z >0 έτσι ώστε (α) Αν s P t, τότε σ(s) σ(t). (β) Αν s < P t και ω(s) > ω(t), τότε σ(s) < σ(t).

40 3 Συμμετρικές Συναρτήσεις το σύ- Εστω A r (P, ω) το σύνολο των αντίστροφων (P, ω)-διαμερίσεων και S r w νολο των συναρτήσεων σ P Z >0 για τις οποίες η σ [n] Z >0 με σ (i) = σ(ω (i)) για i [n] είναι αντιστρόφως w-συμβατή για κάποια w S n. Το Λήμμα.5.4 εξακολουθεί να ισχύει στην αντίστροφη μορφή του. Λήμμα.4.4. Μια συνάρτηση σ P Z >0 είναι αντίστροφη (P, ω)-διαμέριση αν και μόνο αν η σ είναι αντιστρόφως w-συμβατή, για κάποια w L(P, ω). Ισοδύναμα, A r (P, ω) = w L(P,ω) S r w. Εστω K P,ω = K P,ω (x) = x σ σ A r (P,ω) η γεννήτρια συνάρτηση που σχετίζεται με τις αντίστροφες (P, ω)-διαμερίσεις, όπου x σ = x σ(s) = x #σ (i) i. s P i Η K P,ω είναι quasi-συμμετρική συνάρτηση. Πράγματι, στο ανάπτυγμα της σε μονωνυμικές γεννήτριες συναρτήσεις, για α = (α, α,, α k ) n ο συντελεστής του M n,α είναι το πλήθος τω αντίστροφων (P, ω)-διαμερίσεων σ P Z >0 ώστε #σ () = α, #σ () = α,, #σ (k) = α k. Από το Λήμμα.4.4 έπεται ότι K P,ω = x σ σ A r (P,ω) = x σ w L(P,ω) σ S r w = w L(P,ω) σ(ω (w )) σ(ω (w n)) j Des(w) σ(ω (w j ))<σ(ω (w j+ )) = F n,des(w). w L(P,ω) x σ(s) s P Για παράδειγμα, αν P = {a, b, c, d} με σχέσεις κάλυψης a < P b, d και c < P d και επιγραφή ω όπως παρακάτω 3 4 Σχήμα.3: Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο P με επιγραφή ω(a) =, ω(b) = 3, ω(c) = και ω(d) = 4.

41 .4 - Quasi-συμμετρικές συναρτήσεις 33 τότε το σύνολο Jordan-Hölder του P είναι L(P, ω) = {34, 34, 34, 34, 34}. Το Λήμμα.4.4 μας πληροφορεί ότι κάθε αντίστροφη (P, ω)-διαμέριση σ P Z >0 πρέπει να ικανοποιεί μια εκ των παρακάτω συνθηκών σ (3) < σ () σ (4) < σ () σ (3) < σ () σ () σ (4) σ () σ (3) σ (4) < σ () σ () σ (3) < σ () σ (4) σ () σ () σ (3) σ (4) σ(c) < σ(a) σ(d) < σ(b) σ(c) < σ(a) σ(b) σ(d) σ(a) σ(c) σ(d) < σ(b) σ(a) σ(c) < σ(b) σ(d) σ(a) σ(b) σ(c) σ(d). (.4) Άρα, Συμπερασματικά, K P,ω = x σ σ A r (P,ω) = x σ(a) x σ(b) x σ(c) x σ(d) σ όπως στις σχέσεις.4 = F 4,{,3} + F 4,{} + F 4,{3} + F 4,. K P,ω = F n,des(w). (.5) w L(P,ω) Θέλουμε τώρα να εφαρμόσουμε την σχέση.5 για τις συναρτήσεις Schur. Εστω λ n και P λ το μερικώς διατεταγμένο σύνολο της Παραγράφου.5, του οποίου τα στοιχεία είναι τα τετράγωνα του διαγράμματος Young Y λ με τη μερική διάταξη της γειτνίασης. Θεωρούμε την επιγραφή ω λ P λ [n] η οποία δίνει τις τιμές,, στα τετράγωνα της πρώτης στήλης του P λ ξεκινώντας από κάτω προς τα πάνω και συνεχίζει στα τετράγωνα της δεύτερης στήλης κ.ο.κ. μέχρι να εξαντληθούν οι στήλες του P λ. Η ω λ ονομάζεται επιγραφή Schur. Για παράδειγμα, για n = 9 και λ = (4,,, ) η επιγραφή Schur ω (4,,,) ως διάγραμμα Young είναι και ως μερικώς διατεταγμένο σύνολο είναι

42 34 Συμμετρικές Συναρτήσεις Παρατηρούμε ότι μια αντίστροφη (P λ, ω λ )-διαμέριση δεν είναι παρά ένα γενικευμένο Young ταμπλώ σχήματος λ. Επομένως, η γεννήτρια συνάρτηση που αντιστοιχεί στις αντίστροφες (P λ, ω λ )-διαμερίσεις είναι η συνάρτηση Schur, δηλαδή K Pλ,ω λ = s λ. (.6) Από την άλλη μεριά, κάθε γραμμική επέκταση ξ P λ [n] (δηλαδή - και επί απεικόνιση που διατηρεί τη διάταξη) αντιστοιχεί σε ένα Young ταμπλώ T ξ SYT λ όπως είδαμε στην Πρόταση.5.6 καθώς και σε μια μετάθεση w ξ S n που δίνεται από w ξ = (ω λ (ξ ()), ω λ (ξ ()),, ω λ (ξ (n))). Λήμμα.4.5. Αν ξ P λ [n] είναι γραμμική επέκταση του P λ, τότε Des(T ξ ) = Des(w ξ ). Απόδειξη. Εστω i n και s = (a, b), t = (a, b ) τα τετράγωνα του T ξ που περιέχουν τα i και i + αντίστοιχα. Εχουμε τις εξής περιπτώσεις (α) a a και b > b και (β) a > a και b b όπως φαίνονται στο σχήμα.4. Σχήμα.4: Οι πιθανές ϑέσεις των i και i + στο T ξ. Στην πρώτη περίπτωση είναι προφανές ότι i Des(T ξ ) και ότι ω λ (s) < ω λ (t). Συνεπώς, i Des(w ξ ). Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε i Des(T ξ ) και ότι ω λ (s) > ω λ (t). Οπότε i Des(w ξ ), όπως ϑέλαμε.

43 .5 - Σύνδεση με τη ϑεωρία αναπαραστάσεων της S n 35 Σχήμα.5: Οι πιθανές ϑέσεις των s και t σχεδιάζοντας το P λ ως υποσύνολο του N N. Οι ϑέσεις του t συμβολίζονται με κενές τελείες. Στο τρέχον παράδειγμα, ας διαλέξουμε ξ P (4,,,) [n] τη γραμμική ε- πέκταση του P (4,,,) που δίνει τις τιμές,, 3, 4 στα τετράγωνα της πρώτης στήλης του P (4,,,) από πάνω προς τα κάτω, τις τιμές 5, 6, 7 στα τετράγωνα της δεύτερης στήλης από πάνω προς τα κάτω κ.ο.κ. Τότε T ξ = και w ξ = (4, 3,,, 7, 6, 5, 8, 9) και έχουμε Des(T ξ ) = Des(w ξ ) = {,, 3, 5, 6} σε συμφωνία με το Λήμμα.4.5. Αντικαθιστώντας τη σχέση (.6) στη (.5) και εφαρμόζοντας το Λήμμα.4.5 έχουμε το ζητούμενο ανάπτυγμα των συναρτήσεων Schur. Θεώρημα.4.6. Για διαμέριση λ n, s λ = F n,des(t). T SYT(λ).5 Σύνδεση με τη ϑεωρία αναπαραστάσεων της S n Η τελευταία περιγραφή των συναρτήσεων Schur που ϑα δώσουμε περιέχει τους ανάγωγους χαρακτήρες της συμμετρικής ομάδας S n. Για το σκοπό αυτό ϑα χρειαστεί να περιγράψουμε τα (ανάγωγα) S n -πρότυπα Specht. Θεωρούμε τη βασική ϑεωρία αναπαραστάσεων γνωστή και παραπέμπουμε για οποιοδήποτε συμβολισμό και έννοια δεν εξηγούμε στα [7, 35]. Για w S n, κυκλικός τύπος της w ονομάζεται η διαμέριση (a, a,, a l ), όπου a i είναι το μήκος του i-οστού κύκλου της w, στην κυκλική της μορφή, όταν

44 36 Συμμετρικές Συναρτήσεις οι κύκλοι έχουν διαταχθεί σύμφωνα με τα μήκη τους σε φθίνουσα σειρά. Είναι γνωστό ότι δυο μεταθέσεις είναι συζυγείς αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο κυκλικό τύπο. Οπότε το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της συμμετρικής ομάδας S n είναι ίσο με p(n). Ομως, το πλήθος των κλάσεων συζυγίας μιας πεπερασμένης ομάδας είναι ίσο με το πλήθος των ανάγωγων χαρακτήρων της. Άρα, το πλήθος των ανάγωγων χαρακτήρων της S n είναι και αυτό ίσο με p(n). Για διαμέριση λ n, ταμπλώ σχήματος λ ονομάζεται μια αρίθμηση των τετραγώνων του διαγράμματος Young της Y λ, δηλαδή μια - και επί αντιστοιχία των τετραγώνων του Y λ με το [n] χωρίς περιορισμούς. Δυο ταμπλώ ίδιου σχήματος λέμε ότι είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες γραμμές των ταμπλώ περιέχουν τα ίδια στοιχεία. Για παράδειγμα ενώ Μια κλάση ισοδυναμίας ταμπλώ σχήματος λ ονομάζεται ταμπλοειδές σχήματος λ και γράφουμε {t} για το ταμπλοειδές, όπου t είναι αντιπρόσωπος της κλάσης ισοδυναμίας. Για παράδειγμα, και είναι δυο ταμπλοειδή σχήματος (4,, ). Αν λ = (λ, λ,, λ k ), τότε το πλήθος των ταμπλοειδών σχήματος λ είναι ίσο με n! λ!, όπου λ! = λ!λ! λ k!. Η S n δρα στο σύνολο των ταμπλώ t = (t ij ) σχήματος λ ως εξής: w t = (w(t ij )) για κάθε w S n. Η δράση αυτή επάγει μια δράση της S n στο σύνολο των ταμπλοειδών σχήματος λ w {t} = {w t} για κάθε w S n. Συμβολίζουμε με M λ την αναπαράσταση μεταθέσεων της παραπάνω δράσης. Τότε dim C M λ = n! λ! και μπορεί να αποδείξει κανείς ότι το M λ είναι κυκλικό S n -πρότυπο που παράγεται από κάθε ταμπλοειδές σχήματος λ. Παράδειγμα.5.. Για λ = (n) έχουμε μόνο ένα ταμπλοειδές n

45 .5 - Σύνδεση με τη ϑεωρία αναπαραστάσεων της S n 37 και το M (n) δεν είναι άλλο από την τετριμμένη αναπαράσταση της S n. Για λ = ( n ), κάθε ταμπλοειδές σχήματος λ αντιστοιχεί σε μια μετάθεση της S n και γι αυτό το M n είναι η κανονική αναπαράσταση της S n. Τέλος, αν λ = (n, ), τότε κάθε ταμπλοειδές σχήματος λ καθορίζεται μοναδικά από το στοιχείο που βρίσκεται στη δεύτερη γραμμή του. Με άλλα λόγια, το M (n,) είναι ισόμορφο με την αναπαράσταση μεταθέσεων που αντιστοιχεί στη συνήθη δράση της S n στο [n]. Για παράδειγμα, για n = 3 έχουμε τις διαμερίσεις (3), (, ) και (,, ). Από το Παράδειγμα.5. τα πρότυπα M (3), M (,) και M (,,) αντιστοιχούν στο τετριμμένο, το C[3] και την κανονική αναπαράσταση αντίστοιχα, των οποίων τις τιμές των χαρακτήρων φ (3), φ (,) και φ (,,) μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε Σχήμα.6: Οι τιμές των χαρακτήρων της S 3 που αντιστοιχούν στα πρότυπα M (3), M (,) και M (,,), όπου K ( 3 ), K (,) και K (3) είναι οι κλάσεις συζυγίας που αντιστοιχούν στις διαμερίσεις των υποδεικτών αντίστοιχα. Η ομοιότητα των τιμών του Σχήματος.6 με τους συντελεστές στο ανάπτυγμα των δυναμοπροσθετικών συμμετρικών συναρτήσεων στη βάση των μονωνυμικών συναρτήσεων που βρήκαμε στην Παράγραφο. δεν είναι τυχαία, όπως μας πληροφορεί η επόμενη πρόταση. Πρόταση.5.. Για λ n p λ (x) = φ µ (λ)m µ (x) µ n όπου φ µ (λ) είναι η τιμή του χαρακτήρα του προτύπου M µ στην κλάση συζυγίας της S n κυκλικού τύπου λ. Απόδειξη. Εστω λ = (λ, λ,, λ k ) n. Τότε p λ (x) = ( x λ i ) ( x λ i ) ( i i i x λ k i ) = b λµ m µ (x) µ n όπου για µ = (µ, µ., µ l ), το b λµ είναι ο συντελεστής του x µ = x µ xµ xµ l l