Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους"

Ηιονη Βονόρτας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική με περίοδο T. αʹ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g : R R όπου g) = +T ft) dt είναι σταθερή. Κάντε ένα απλό σχήμα που να εξηγεί το αποτέλεσμα. βʹ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι επίσης περιοδική. αʹ) Παρατηρούμε πως ) = ft) dt +T +T g ) = ft) dt) = ft) dt ) T ft) dt T ft) dt) = f + T ) f) =. Στον υπολογισμό των παραγώγων χρησιμοποιήσαμε το Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού. Η τελευταία ισότητα προκύπτει λόγω της περιοδικότητας της f. Αφού, λοιπόν, η g έχει μηδενική παράγωγο στο R, θα είναι και σταθερή. Δείτε το Σχήμα. Το αποτέλεσμα ισχύει γιατί αφού το διάστημα ολοκλήρωσης [, + T ] έχει μήκος όσο και η περίοδος T, από όποιο και να ξεκινά αυτό, αφού θα τελειώνει στο + T, ουσιαστικά ολοκληρώνουμε μια πλήρη περίοδο της συνάρτησης, απλώς συνυπολογίζοντας με διαφορετική σειρά διαφορετικά κομμάτια του ίδιου πάντα ολοκληρώματος καθώς μεταβάλλεται το. Παρατηρήστε ότι το θεώρημα θα ίσχυε ακόμα και αν η f δεν ήταν συνεχής, και επομένως δεν μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού. Η απόδειξη όμως είναι αρκετά πιο εύκολη, αν το χρησιμοποιήσουμε. βʹ) Παρατηρούμε πως + T ) = +T ft) dt ) T T +T ) T ft) dt ft) dt = ft) dt ft) dt. T T T Θέτοντας y = t T στο πρώτο ολοκλήρωμα, λαμβάνουμε τελικά ) T ) T + T ) = fy + T ) dy ft) dt = fy) dy ft) dt = ), T T επομένως πράγματι η συνάρτηση ) είναι περιοδική. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την περιοδικότητα της f.. Αόριστα Ολοκληρώματα) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: cos sin cos + sin, cos. Στο δεύτερο ολοκλήρωμα μπορείτε να θέσετε u = sin.)

2 f)!t T T 3T 4T Σχήμα : Άσκηση. Παρατηρήστε ότι τα δύο ολοκληρώματα είναι ίσα. αʹ) Κάνουμε την αντικατάσταση u = cos + sin, άρα έχουμε du = sin + cos ), και επομένως cos sin du cos + sin = = log u + C = log cos + sin + C. u βʹ) Αν θέσουμε u = sin, σύμφωνα με την υπόδειξη, τότε du = cos, επομένως cos = du cos = du u = du u) + u). Παρατηρούμε, όμως, πως + u + u = u + + u + u) u) = u) + u). Επομένως, cos = du + u + du u = log + u log u = log u + u = log sin + sin + C. 3. Καταχρηστικά ολοκληρώματα) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα καταχρηστικά ολοκληρώματα: log ), π/4 sin. αʹ) Παρατηρούμε αρχικά πως: log ) = ) log ) = log ) = log ) log ) = log ) ) log = log ) log + log = log ) log + + C. Επομένως, log ) = + log ) = + [ log ) log + ] = + log ) + + log.

3 3 Σχετικά με τα όρια, έχουμε και επομένως, τελικά, log log ) = + + log ) +log ) = + = + log ) = + ) = ) log ) =. + ) =, = +log ) =, βʹ) Παρατηρούμε πως η ολοκληρωτέα συνάρτηση μηδενίζεται στο =, επομένως το ολοκλήρωμα είναι καταχρηστικό μικτού τύπου, και αποτελείται από δύο καταχρηστικά ολοκληρώματα ως εξής: 4. ΔΕ) π/4 Σχετικά με το πρώτο ολοκλήρωμα, έχουμε sin = sin = [ = cot π 4 π/4 sin + sin. sin = [ cot ] ) ] cot = cot = ) =. Παρόμοια μπορεί να δειχθεί ότι και το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται με εναλλακτικά, με αλλαγή μεταβλητής μπορεί να έρθει στη μορφή του πρώτου), επομένως τελικά έχουμε π/4 sin =. αʹ) Έστω η διαφορική εξίσωση y ) y) sin = e cos που ισχύει παντού στο R. Να βρείτε τη γενική της λύση. βʹ) Nα βρείτε το όριο των λύσεων της άνω ΔΕ καθώς. γʹ) Έστω, τώρα, η διαφορική εξίσωση z ) z) sin = z )e cos. Να βρείτε όλες τις λύσεις της που δεν μηδενίζονται πουθενά στο R. Υπόδειξη: βρείτε τη ΔΕ που ικανοποιεί η συνάρτηση z)).) αʹ) Η ΔΕ είναι γραμμική πρώτης τάξης. Επομένως, κατά τα γνωστά από τη θεωρία, έχουμε: y ) y) sin = e cos e cos y ) e cos y) sin = e cos y)) = ) e cos y) = + C y) = + C e cos, C R. βʹ) Σχετικά με το όριο των λύσεων, παρατηρούμε ότι το e cos > e >, ενώ ο συντελεστής στο άπειρο. Επομένως, τελικά όλες οι λύσεις τείνουν στο άπειρο καθώς. ) + C ) τείνει

4 4 γʹ) Η δοσμένη ΔΕ είναι μια ΔΕ Bernoulli. Παρατηρήστε πως 5. Σειρές) z ) z) sin = z )e cos z ) z ) cos sin = e z) ) y ) y) sin = e cos y) = + C e cos, Στη δεύτερη ισοδυναμία ακολουθήσαμε την υπόδειξη θέτοντας y) = z) y ) = z ) z ), z) = C R ecos + C, C R. κάτι που μπορούμε να κάνουμε αφού μας ενδιαφέρουν οι λύσεις που δεν μηδενίζονται πουθενά. Στην τρίτη ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε το πρώτο σκέλος. Επομένως, τελικά οι λύσεις της άνω ΔΕ που δεν μηδενίζονται πουθενά είναι αυτές που έχουν τη μορφή z) = ecos + C, για κάποιο C R. Παρατηρήστε ότι αν το C, τότε οι λύσεις δεν ορίζονται σε όλο το R, αλλά σε δύο διακριτά του υποσύνολα. αʹ) Να προσδιορίσετε αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά + n log n n 4 + n log n + cos n. βʹ) Έστω η σειρά n= a n για την οποία ) n/, n άρτιος, a n =, n περιττός. n+)/ Υπολογίστε και γράψτε σε απλή μορφή τους πρώτους όρους αυτής της σειράς. Κατόπιν, να προσδιορίσετε αν η σειρά αποκλίνει ή συγκλίνει. αʹ) Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο της Σύγκρισης στο Όριο. Έστω a n η δοσμένη σειρά και έστω η b n με b n = n, που γνωρίζουμε πως συγκλίνει. Παρατηρούμε πως a n b n = n + n 3 log n n 4 + n log n + cos n = n + log n n + log n n =, n 4 + cos n επομένως θα συγκλίνει και η a n. Σχετικά με τα άνω όρια, έχουμε με χρήση του Κανόνα του L Hôpital, log n n n = /n n =, με διπλή χρήση του Κανόνα του L Hôpital, και τέλος log n log n)/n /n n n = = n n n 4n =, cos n n 4 n 4, που τείνει στο, και επομένως θα τείνει στο και το cos n n, από το Κριτήριο της Παρεμβολής. 4

5 5 βʹ) Οι πρώτοι όροι της σειράς είναι οι a 3 = a 5 = a = a 7 = a 9 = + )/ =, a = =, a 4 = 3 + )/ =, a 6 = 5 + )/ )/ =, a 8 = =, a = 9 + )/ 5 ) / =, ) 4/ = 4, ) 6/ = 8, ) 8/ = 6, ) / = 3. Σχετικά με τη σύγκλιση της σειράς, παρατηρούμε πως η σειρά είναι άθροισμα δύο σειρών με θετικούς όρους, μιας αποκλίνουσας και μιας συγκλίνουσας. Άρα τελικά θα πρέπει να αποκλίνει. Πιο αναλυτικά, K n= a n = K k= ) k + Καθώς το K τείνει στο άπειρο, ο πρώτος όρος συγκλίνει σε ένα πραγματικό αριθμό, αφού είναι γεωμετρική σειρά, ενώ ο δεύτερος τείνει στο άπειρο, αφού είναι σειρά της μορφής k με p. Επομένως, το άθροισμα p θα τείνει και αυτό στο άπειρο, και τελικά η σειρά αποκλίνει. K k= k.

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος