ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εφαρμογή & Αξιολόγηση Επίδοσης Συναρτήσεων Ωφέλειας Για Την Αποτελεσματική Ανάθεση Πόρων Σε Ασύρματα Δίκτυα Πολυμέσων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΚΑΣΤΡΙΝΟΓΙΑΝΝΗ Επιβλέπων : Συμεών Παπαβασιλείου Επίκουρος Καθηγητής Αθήνα, Ιούλιος 2007

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εφαρμογή & Αξιολόγηση Επίδοσης Συναρτήσεων Ωφέλειας Για Την Αποτελεσματική Ανάθεση Πόρων Σε Ασύρματα Δίκτυα Πολυμέσων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΚΑΣΤΡΙΝΟΓΙΑΝΝΗ Επιβλέπων : Συμεών Παπαβασιλείου Επίκουρος Καθηγητής Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 10 η Ιουλίου Συμεών Παπαβασιλείου Βασίλειος Μάγκλαρης Τίμος Σελλής Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 2007

4 ... ΚΑΣΤΡΙΝΟΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π All rghts reserved Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

5 Στον Δημήτρη Σούλιο, για την δυνατότητα του να πλαισιώνει με μαθηματικά οποιαδήποτε ιδέα Κωνσταντίνος Καστρινογιάννης

6 Ευχαριστήριο σημείωμα Τον καθηγητή μου Συμεών Παπαβασιλείου, για την δυνατότητα που μου έδωσε να ασχοληθώ με ένα τόσο σημαντικό και ενδιαφέρον θέμα. Οι γνώσεις του και οι πολύτιμες συμβουλές του ήταν πάντα διαθέσιμες. Η εμπιστοσύνη του και η διαρκής ενθάρρυνσή μου, αποτέλεσαν κινητήριο δύναμη για εμένα. Τον αδερφό και φίλο μου Τιμόθεο Καστρινογιάννη, υποψήφιο διδάκτορα Ε.Μ.Π., για τις γνώσεις και τις ιδέες που μου μετέφερε πάνω στις οποίες στηρίχθηκε αυτή η εργασία και για την συμβολή του στην μεταφορά μου από τον χώρο της μάθησης στον χώρο της έρευνας. Μέσα από αυτή την συνεργασία συνειδητοποίησα νέες πτυχές του αδερφού μου, την μεθοδικότητά του, την αστείρευτη έμπνευσή του και την δυναμική του σαν ερευνητής. Ήταν τιμή μου η συνεργασία μαζί τους.

7 Περίληψη Ο στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη του προβλήματος ανάθεσης πόρων για το πρόβλημα του καναλιού καθόδου σε ασύρματα δίκτυα με πολλαπλή πρόσβαση διαίρεσης κώδικα που υποστηρίζουν υπηρεσίες πολυμέσων. Εισάγεται και αναλύεται ένας αλγόριθμος που στηρίζεται στην δυναμική εκχώρηση πόρων ισχύος και ρυθμού μετάδοσης με βάση την έννοια της συνάρτησης χρησιμοποίησης με σκοπό την βελτιστοποίηση της απόδοσης του συστήματος με παράλληλη ικανοποίηση των διάφορων απαιτήσεων ποιότητας υπηρεσίας για διάφορες κλάσεις υπηρεσιών. Για την αποδοτική υποστήριξη χρηστών πραγματικού χρόνου, η προτεινόμενη μεθοδολογία μας λαμβάνει υπόψη τους βραχυπρόθεσμους περιορισμούς ποιότητας των υπηρεσιών τους, που επιτυγχάνεται από την δυναμική μετατροπή των συναρτήσεων χρησιμοποίησης τους με βάση την πληροφορία της ικανοποίησης των βραχυπρόθεσμων περιορισμών τους. Προς αυτήν την κατεύθυνση, ορίζεται ένα μαθηματικό υπόβαθρο που υποστηρίζει και δικαιολογεί τις προτεινόμενες διαδικασίες αλλαγής των συναρτήσεων χρησιμοποίησης των χρηστών πραγματικού χρόνου και επίσης προτείνει αλγορίθμους χαμηλής πολυπλοκότητας για την υλοποίησης των αλλαγών αυτών. Τέλος μέσα από μοντελοποίηση και προσομοίωση δείχνεται ότι επιτυγχάνεται σημαντική βελτίωση της ικανοποίησης των βραχυπρόθεσμων περιορισμών ρυθμαπόδοσης μέχρι και για μεγάλες τιμές του πλήθους χρηστών πραγματικού χρόνου στο σύστημα χωρίς σημαντική απώλεια σε σχέση με τη βέλτιστη συνολική ρυθμαπόδοση του συστήματος Λέξεις Κλειδιά: << Βραχυπρόθεσμοι περιορισμοί, δρομολόγηση, ασύρματα δίκτυα, υπηρεσίες πολυμέσων, ανάθεση πόρων. >>

8

9 Abstract The purpose of ths thess s the analyss of the problem of resource allocaton for the downlnk n code dvson multple access wreless networks supportng multmeda servces s addressed. A utlty based dynamc prcng power and rate allocaton algorthm whch ams at optmzng system s performance whle satsfyng multple servces dverse Qualty of Servce (QoS) requrements s ntroduced and analyzed. For the effcent support of real tme users our proposed methodology takes nto account ther short term throughput QoS constrants satsfacton, whch s acheved by dynamcally adaptng ther utlty functons wth respect to ther correspondng short term servce performance nformaton. Towards that goal, a mathematcal framework s provded that supports and justfes the proposed self tunng procedures of real tme users utlty functons and also, leads to ther mplementaton through low complexty algorthms. Va modellng and smulaton t s demonstrated that sgnfcant performance mprovements are acheved n terms of the short term throughput requrement satsfacton even for large number of realtme users, wthout any consderable loss n the total system s throughput. Keywords: << Short term requrements, schedulng, wreless networks, multmeda servces, resource allocaton. >> 9

10 10

11 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Βασικές αρχές του HDR (Hgh Data Rate) μοντέλου και μελλοντικές επεκτάσεις του Στόχοι των αλγορίθμων χρονοδρομολόγησης Ταξινόμηση κριτηρίων ποιότητας υπηρεσίας χρηστών Eγγυήσεις ελάχιστης επίδοσης μεμονωμένα ανά χρήστη Υπηρεσίες πραγματικού και μη πραγματικού χρόνου Κριτήρια δικαιοσύνης μεταξύ χρηστών Μελέτη απόδοσης αλγορίθμων υψηλής ρυθμαπόδοσης ως προς πιθανοτικούς βραχυπρόθεσμους περιορισμούς καθυστέρησης και ρυθμαπόδοσης Αλγόριθμος UPR Αλγόριθμος UPR για ανάθεση ισχύος Μοντέλο περιγραφής Συνάρτηση χρησιμοποίησης Βασικό Πρόβλημα και απόδειξη βελτιστότητας Αλγόριθμος επιλογής κινητών σταθμών Αλγόριθμος Επιλογής κινητών σταθμών Αλγόριθμος ανάθεσης ισχύος Ασυμπτωτική βελτιστότητα και κατώτερο όριο επίδοσης του αλγορίθμου Επέκταση του αλγορίθμου για συνδυασμένη ανάθεση ισχύος και ρυθμού μετάδοσης Αναγωγή στο πρόβλημα απόδοσης ισχύος

12 2.5.2 Μελέτη της φυσικής σημασίας του αλγορίθμου για το πρόβλημα ρυθμαπόδοσης Μελέτη πολιτικής Βασικοί στόχοι Βραχυπρόθεσμοι περιορισμοί ρυθμαπόδοσης (Sort term throughput constrants) Οι προδιαγραφές των νέων συναρτήσεων χρησιμοποίησης Η πληροφορία που θα εκμεταλλευτούμε Προτεινόμενες τροποποιήσεις στις συναρτήσεις χρησιμοποίησης Ανάλυση των τροποποιήσεων της παραμέτρου b Πεδίο τιμών b Συναρτήσεις προσδιορισμού της τιμής της παραμέτρου b(t) Προτεινόμενος αλγόριθμος χρονοδρομολόγησης Μ_UPR Αριθμητικά αποτελέσματα Εισαγωγικές πληροφορίες Πρώτο σενάριο (Χρήστες ιδίου μέσου καναλιού CBR 512 Kbps ) Δεύτερο σενάριο (Χρήστες ιδίου μέσου καναλιού CBR 728 Kbps ) Τρίτο σενάριο (Χρήστες διαφορετικών μέσων καναλιών ) Επίλογος Σύνοψη και συμπεράσματα Μελλοντικές επεκτάσεις Βιβλιογραφία

13 1 Εισαγωγή Οι ψηφιακές ασύρματες επικοινωνίες δεν είναι νέα ιδέα. Ήδη από το 1901 ο Ιταλός φιλόσοφος Γουλιέλμος Μαρκόνι επέδειξε στο κοινό έναν ασύρματο τηλέγραφο ανάμεσα στα πλοία και την ξηρά χρησιμοποιώντας κώδικα μορς (οι τελείες και οι παύλες είναι άλλωστε δυαδικό σύστημα). τα σύγχρονα συστήματα έχουν βέβαια καλύτερη απόδοση αλλά η βασική ιδέα παραμένει ίδια. Το 1970 το πανεπιστήμιο της Χαβάης, υπό την καθοδήγηση του Norman Abramson, ανέπτυξε το πρώτο δίκτυο επικοινωνιών στον κόσμο, ονόματι ALOHAnet. Η τοπολογία αστέρα που χρησιμοποιήθηκε και περιλάμβανε εφτά υπολογιστές, εγκαταστάθηκε σε 4 νησιά έτσι ώστε αυτά να επικοινωνούν με έναν κεντρικό υπολογιστή στο νησί Oahu, χωρίς να χρειάζονται γραμμές τηλεφώνου. Το 1979, οι F.R.Greller και U.Bapst δημοσίευσαν ένα άρθρο στα IEEE Proceedngs που περιέγραφε ένα πειραματικό ασύρματο τοπικό δίκτυο που χρησιμοποιούσε υπέρυθρες ακτινοβολίες. Αμέσως μετά, το 1980, o P.Ferrert περιέγραψε ένα σύστημα ασύρματων επικοινωνιών βασισμένο σε ασύρματο δίαυλο μοναδικού κώδικα απλωμένου φάσματος και η εργασία του δημοσιεύτηκε στο συνέδριο IEEE Natonal Telecommuncatons Conference. Το 1985 ο M. Kavehrad παρουσίασε ένα πειραματικό ασύρματο δίκτυο βασισμένο σε πολλαπλή πρόσβαση διαίρεσης κώδικα. Όλες αυτές οι εργασίες πυροδότησαν πολλές βιομηχανικές δραστηριότητες πάνω στην ανάπτυξη μιας σειράς γενεών τοπικών ασύρματων δικτύων. Η πρώτη γενιά ασύρματων δικτύων αναπτύχθηκε το 1980 από ερασιτεχνικές ομάδες τηλεπικοινωνιών. Αυτά τα ασύρματα δίκτυα πετύχαιναν ρυθμούς μετάδοσης μικρότερους από 9600bts/sec. Η δεύτερη και τρίτη γενιά ασύρματων δικτύων πέτυχαν ρυθμούς μετάδοσης της τάξης εκατοντάδων Kbt/sec και πάνω από 1Mbt/sec αντίστοιχα. Σήμερα, τα ασύρματα δίκτυα έχουν μπει στην καθημερινότητα των ανθρώπων των σύγχρονων κοινωνιών. Η μεγάλη ανάπτυξη που παρουσιάζουν οδηγεί στην 13

14 σταδιακή αντικατάσταση των ενσύρματων επικοινωνιών. Αυτό αποτελεί πρόκληση για του πολλούς ανά τον κόσμο επιστήμονες ασύρματων δικτύων. Στην συνέχεια της εισαγωγής θα περιγραφούν οι βασικές αρχές του μοντέλου HDR, θα παρουσιαστούν τα βασικές ανάγκες των υπηρεσιών που χρησιμοποιούνται όπως και οι αλγόριθμοι χρονοδρομολόγησης που προσπαθούν να τις καλύψουν. 1.1 Βασικές αρχές του HDR (Hgh Data Rate) μοντέλου και μελλοντικές επεκτάσεις του Κατά την εξέταση των ιδιοτήτων και πολιτικών που αναπτύσσονται στα πλαίσια του HDR ([1],[2]) πρέπει να ληφθούν υπόψη δύο θεμελιώδη χαρακτηριστικά των δεδομένων υψηλής ταχύτητας (Hgh speed data), σε αντίθεση παραδείγματος χάριν με τις απαιτήσεις μετάδοσης φωνής. Αυτά είναι : Η εν γένει ασύμμετρη και εκρηκτική κίνηση των δεδομένων Η ανοχή των δεδομένων στην καθυστέρηση Τα χαρακτηριστικά αυτά μας δίνουν την ευχέρεια να εφαρμόσουμε σχήματα χρονοδρομολόγησης τέτοια ώστε να διαταράξουμε την ακολουθία εξυπηρέτησης των χρηστών προς όφελος του συστήματος. Από τεχνικής σκοπιάς, το HDR υλοποιείται με πολλαπλή πρόσβαση διαίρεσης κώδικα κάτω από πρόσβαση διαίρεσης χρόνου (CDMA/TDMA). Τα δεδομένα πολυπλέκονται χρονικά(tdm) σε χρονισχισμές(tme slots) μήκους 1.67msec. Σε κάθε χρονοσχισμή θεωρούμε ότι το κανάλι κάθε χρήση παραμένει αμετάβλητο και κατά συνέπεια, η ποιότητα της υπηρεσίας που του παρέχεται θεωρείται σταθερή. Ως επί το πλείστον, εξετάζεται η περίπτωση μίας κυψέλης (ή ενός τομέα) η οποία περιέχει ένα σταθμό βάσης (ή σημείο πρόσβασης, Access Pont) και 14

15 πολλαπλά τερματικά (Access Termnals). Αντίθετα είναι επιτακτική η ανάγκη να μελετηθούν οι περιορισμοί που τίθενται στο σύστημα λόγω της συνύπαρξης πολλών σταθμών βάσεις. Οι περιορισμοί αυτοί έχουν να κάνουν με επικάλυψη συχνοτήτων αλλά και με τον διακυψελικός θόρυβο. Τέλος, κάθε σταθμός βάσης αλλά και κάθε χρήστης έχει περιορισμένη ισχύ μετάδοσης και αυτοί οι περιορισμοί πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την χρονοδρομολόγηση. Σε κάθε χρονοσχισμή, ο λόγος σήματος προς παρεμβολής και θορύβου (SINR) καταγράφεται από τα τερματικά και με βάση αυτόν υπολογίζεται αναλογικά ο αντίστοιχος αξιόπιστα πραγματοποιήσιμος ρυθμός λήψης/εκπομπής δεδομένων κάθε χρήστη, ο οποίος αποστέλλεται στο σημείο πρόσβασης. Η μετάδοση αυτή της πληροφορίας πραγματοποιείται μέσα από κανάλι σηματοδοσίας, το οποίο χρησιμοποιεί φάσμα διαφορετικό από αυτό της μετάδοσης δεδομένων. Στον εκάστοτε σταθμό βάσης, βάσει των προαναφερθέντων αιτήσεων ελέγχου ρυθμού δεδομένων (DRCs) και κάποιας πολιτικής εξυπηρέτησης, ο χρονοδρομολογητής αποφασίζει τη χορήγηση της επόμενης χρονοσχισμής σε κάποιον/κάποιους εκ των υποψηφίων χρηστών. Εφόσον το πρόβλημα της χρονοδρομολόγησης μορφοποιείται ως μεγιστοποίηση ρυθμαπόδοσης και όχι με βάση τυχούσα συνάρτηση χρησιμότητας [2], τότε στην περίπτωση της ζεύξης καθόδου(downlnk) το βέλτιστο είναι κάθε χρονοσχισμή να χορηγείται αποκλειστικά σε έναν χρήστη (σε περίπτωση ομογενών χρηστών), ενώ στην περίπτωση της ζεύξης ανόδου το βέλτιστο εν γένει είναι να γίνονται ταυτόχρονες εκπομπές από ένα σύνολο χρηστών. Όσο όμως αυξάνονται οι δυνατότητες των χρηστών πάνω σε εφαρμογές, παράλληλα και με αναλογικό τρόπο αυξάνονται και οι απαιτήσεις τους από το σύστημα. Συγκεκριμένα, οι νέες απαιτήσεις από ένα σύστημα HDR είναι: Υψηλότεροι ρυθμοί μετάδοσης δεδομένων Ενοποίηση των υπηρεσιών Ευελιξία στην παροχή QoS (ποιότητα υπηρεσίας). 15

16 Είναι γεγονός ότι τα ασύρματα δίκτυα τείνουν σε πολλούς τομείς να αντικαταστήσουν τα ενσύρματα. Για να γίνει κάτι τέτοιο εφικτό, επιβάλλεται τα ασύρματα δίκτυα να παρέχουν ανάλογους ρυθμούς μετάδοσης με τα ενσύρματα. Η βασική διαφορά των συστημάτων αυτών έγκειται στην χωρητικότητά τους. Αναλυτικότερα, στα ενσύρματα δίκτυα η χωρητικότητα είναι απεριόριστη αν υποθέσουμε ότι έχουμε την δυνατότητα δίπλα από κάθε υπάρχουν ομοαξονικό καλώδια, ή δίπλα από κάθε υπάρχουσα οπτική ίνα να περάσουμε ένα ακόμα ομοαξονικό καλώδιο ή μια ακόμα οπτική ίνα. Αντιθέτως, στα ασύρματα δίκτυα που το μέσο μεταφοράς δεν είναι κάποιο καλώδιο αλλά ο αέρας, κάτι ανάλογο με τα παραπάνω δεν είναι εφικτό και κατά συνέπεια η μέγιστη χωρητικότητά τους είναι περιορισμένη (και σχετίζεται με τις δυνατότητες διαχωρισμού ενός σταθμού βάσης σε τομείς ή την εξολοκλήρου διάσπασή του σε πολλούς σταθμούς βάσης). Οι περιορισμοί της χωρητικότητας των ασύρματων δικτύων, όπως αυτοί περιγράφηκαν παραπάνω, κάνουν επιτακτική την ανάγκη δημιουργίας χρονοδρομολογητών αρκετά «έξυπνων» ώστε να μπορούν να διαχειριστούν με τον αποδοτικότερο τρόπο την όποια πληροφορία υπάρχει σχετικά με τις συνθήκες επικοινωνίας αλλά και τις ανάγκες για εξυπηρέτηση κάθε χρήστη. Επιπλέον, πρέπει κάτω από τα ασύρματα δίκτυα του μέλλοντος, να ενοποιούνται όλα τα σχήματα μετάδοσης (transmton schemes) που χρησιμοποιούνται σήμερα και έχουν να κάνουν με την κωδικοποίηση της πληροφορίας που πρέπει να μεταδοθεί. Κάθε σχήμα μετάδοσης οδηγεί σε διαφορετικούς ρυθμούς σφάλματος και κατά συνέπεια πρέπει να αντιμετωπισθεί με τον κατάλληλο τρόπο από τον ίδιο χρονοδρομολογητή. Τέλος οι χρονοδρομολογητές των επόμενων γενεών πρέπει να έχουν γνώση του είδους της υπηρεσίας που απαιτεί ένας χρήστης και τους περιορισμούς που συνοδεύουν κάθε υπηρεσία. Η πληροφορία αυτή πρέπει να χρησιμοποιηθεί από 16

17 τον χρονοδρομολογητή έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί ταυτόχρονα η «ευχαρίστηση» κάθε χρήστη και η χρησιμοποίηση του συστήματος. Όπως γίνεται εμφανές από τα παραπάνω η δημιουργία ενός αποδοτικού και έξυπνου χρονοδρομολογητή κάτω από τον οποίο θα ενοποιούνται όλα τα είδη μετάδοσης αλλά και όλες οι υπηρεσίες που απαιτούν οι χρήστες αποτελεί μεγάλη πρόκληση για κάθε ερευνητή που ασχολείται με τα ασύρματα δίκτυα και της τηλεπικοινωνίες. 1.2 Στόχοι των αλγορίθμων χρονοδρομολόγησης Μία από τις βασικότερες παρατηρήσεις που προηγείται της συζήτησης περί χρονοδρομολόγησης σε ασύρματα δίκτυα είναι ενδεχομένως ότι ο ασύρματος δίαυλος διαφέρει θεμελιωδώς από τον ενσύρματο με αποτέλεσμα το εν λόγω πρόβλημα να πρέπει να εξεταστεί υπό διαφορετικό πρίσμα. Η κύρια διαφορά συνίσταται στο γεγονός ότι η επίδοση του τυχόντος χρήστη ενός ασυρμάτου συστήματος εξαρτάται άμεσα από την κατάσταση του διαύλου, η οποία εξαρτάται από την θέση του χρήστη και την κατάσταση του περιβάλλοντος γύρω του και κατά συνέπεια είναι χρονικά εξαρτώμενη. Ο πρώτος στόχος των υπό συζήτηση αλγορίθμων δεν είναι άλλος από τη μεγιστοποίηση της ρυθμαπόδοσης (throughput) του συστήματος και την εξασφάλιση των απαιτήσεων των υπηρεσιών των χρηστών. Όπως συζητήθηκε προηγουμένως, η ανοχή των δεδομένων υψηλής ταχύτητας στην καθυστέρηση μας επιτρέπει να διαχειριστούμε με ελαστικό τρόπο τη σειρά εξυπηρέτησης των χρηστών. Αυτό, σε συνδυασμό με τη χρονικά μεταβαλλόμενη κατάσταση του διαύλου μας επιτρέπει να χρονοδρομολογούμε ευκαιριακά (opportunstc schedulng), δηλαδή να επιλέγουμε εν γένει χρήστες με ευνοϊκές συνθήκες διαύλου, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η φασματική απόδοση του συστήματος. 17

18 Φυσικά, ενδεχόμενη εφαρμογή της ανωτέρω πολιτικής άνευ περιορισμών οδηγεί εν γένει σε αποκλίνοντα επίπεδα εξυπηρέτησης των χρηστών του συστήματος, ακόμα και σε αποκλεισμό χρηστών σε οριακές περιπτώσεις. Επομένως, όπως διαφαίνεται, ο δεύτερος στόχος των αλγορίθμων επιπλέον της μεγιστοποίησης της ρυθμαπόδοσης του συστήματος θα πρέπει να είναι ο έλεγχος της ποιότητας της παρεχόμενης υπηρεσίας(qos). 1.3 Ταξινόμηση κριτηρίων ποιότητας υπηρεσίας χρηστών Ο προαναφερθείς έλεγχος διεξάγεται με την επιβολή κάποιων περιορισμών ποιότητας υπηρεσίας (QoS constrants). Οι περισσότεροι από τους περιορισμούς που έχουν προταθεί κατά καιρούς, είναι δυνατό να ταξινομηθούν σε τρεις κύριες κατηγορίες: εγγυήσεις ελάχιστης επίδοσης μεμονωμένα ανά χρήστη ζητήματα εξυπηρέτησης υπηρεσιών πραγματικού ή μη πραγματικού χρόνου (Real tme non real tme) ζητήματα δικαιοσύνης μεταξύ χρηστών(farness) Eγγυήσεις ελάχιστης επίδοσης μεμονωμένα ανά χρήστη Μέσα από περιορισμούς σχετικά με την ελάχιστη επίδοση κάθε χρήστη από το σύστημα μπορούμε να εξασφαλίζουμε ένα κάτω φράγμα στην ποιότητα της υπηρεσίας που του παρέχεται. Η ελάχιστη επίδοση μπορεί να μεταφραστεί είτε σε χρόνο πρόσβασης στο δίκτυο είτε σε ποσότητα δεδομένων είτε σε επίπεδα 18

19 μέσης ρυθμαπόδοσης. Η κατηγορία αυτών των περιορισμών δεν είναι ορθογώνια με τις επόμενες δύο και κατά συνέπεια είναι προτιμότερο να μελετηθεί ταυτόχρονα με αυτές στα επόμενα κεφάλια Υπηρεσίες πραγματικού και μη πραγματικού χρόνου. Παρακολουθώντας τον τρόπο με τον οποίο ένας χρήστης χρησιμοποιεί το διαδίκτυο μπορούμε πολύ εύκολα να εντοπίσουμε έντονες διαφοροποιήσεις ανάμεσα στις ανάγκες που έχει σε σχέση με την εκάστοτε υπηρεσία. Αυτές οι διαφοροποιήσεις έχουν να κάνουν με τις ανάγκες κάθε υπηρεσίας ως προς τον ρυθμό με τον οποίο μεταδίδεται η πληροφορία σε βραχυπρόθεσμο πλαίσιο. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να χωρίσουμε τις υπηρεσίες (και κατ αναλογία και τους χρήστες τους) σε υπηρεσίες πραγματικού χρόνου και υπηρεσίες μη πραγματικού χρόνου Yπηρεσίες μη πραγματικού χρόνου Σε αυτή την κατηγορία υπηρεσιών μπορούμε να εντάξουμε τις διαδομένες εφαρμογές, ftp και http, και γενικότερα τις εφαρμογές που εμπεριέχουν λήψη μεγάλων αρχείων (κειμένου, μουσικής, βίντεο, φωτογραφιών, προγραμμάτων και τα λοιπά ). 19

20 Οι παραπάνω υπηρεσίες έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Μακροπρόθεσμη ικανοποίηση των απαιτήσεων QoS. Οι χρήστες υπηρεσιών μη πραγματικού χρόνου είναι ανεκτικοί ως προς το χρονικό πλαίσιο ικανοποίησης των απαιτήσεών τους. Αυτές οι απαιτήσεις έχουν να κάνουν κυρίως με μεγάλους ρυθμούς μετάδοσης σε μακροπρόθεσμο επίπεδο. Σε ένα σύστημα HDR όπου κάθε χρονοσχισμή είναι της τάξης του χιλιοστού του δευτερολέπτου, μπορούμε να εκφράσουμε την έννοια του μακροπρόθεσμου μέσα από χρονικά διαστήματα της τάξης του λεπτού. Κατά συνέπεια ένας χρήστης υπηρεσιών μη πραγματικού χρόνου δεν ενδιαφέρεται τόσο για τους στιγμιαίους ρυθμούς μετάδοσης που επιτυγχάνει αλλά, όσο για την απόκτηση των δεδομένων που θέλει μέσα σε εύλογο (σε σχέση με το μέγεθός τους) χρονικά διαστήματα. Απαιτείται ήπια ανταπόκριση του χρονοδρομολογητή κατά την παραβίαση των QoS. Απαίτηση που ταιριάζει απόλυτα με την λειτουργία ενός ευκαιριακού χρονοδρομολογητή Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι αποφάσεις του χρονοδρομολογητή καθορίζουν την λειτουργία του συστήματος σε κάθε χρονοσχισμή, συμπεραίνουμε ότι σε περίπτωση που δεν ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του χρήστη ή σε περίπτωση που προβλέπεται υποβάθμιση των υπηρεσιών ενός χρήστη, τότε ο χρονοδρομολογιτής πρέπει να έχει ήπια ανταπόκριση. Μια ήπια ανταπόκριση θα αρκούσε, από την στιγμή που μακροπρόθεσμα θα οδηγούσε στην ικανοποίηση ή στην αναβάθμιση των υπηρεσιών πραγματικού χρόνου. 20

21 Με σεβασμό στα παραπάνω, ένας χρόνοδρομολογητής που απευθύνεται σε χρήστες μη πραγματικού χρόνου θα πρέπει να κινείται με αργά βήματα ως προς την εκπλήρωση των κριτηρίων ποιότητας των υπηρεσιών των χρηστών δίνοντας προτεραιότητα στην μέγιστη χρησιμοποίηση του συστήματος που όπως θα αναλυθεί και στα επόμενα κεφάλαια εξασφαλίζεται από την ευκαιριακή χρονοδρομολόγηση. Υψηλή ρυθμαπόδοση Τέλος, οι υπηρεσίες αυτές απαιτούν υψηλούς μέσους ρυθμούς μετάδοσης δεδομένων. Αυτή είναι μια απαίτηση που μπορεί να εξασφαλιστεί μόνο αν οι πόροι του συστήματος ανά πάσα στιγμή μοιράζονται με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, δηλαδή σε χρήστες με καλά κανάλια. Όπως θα εξηγηθεί στην συνέχεια αυτός ο τρόπος μακροπρόθεσμα θα οδηγήσει στην υψηλή ρυθμαπόδοση όλων των χρηστών Yπηρεσίες πραγματικού χρόνου Σε αντίθεση με τις υπηρεσίες του προηγούμενο κεφαλαίου, στα σύγχρονα δίκτυα έχουν δημιουργηθεί υπηρεσίες που απαιτούν σταθερή στιγμιαία ρυθμαπόδοση. Μια πολύ σημαντική επέκταση του διαδικτύου τα τελευταία χρόνια είναι η ανάπτυξη πρωτοκόλλων που υποστηρίζουν τηλεφωνία. Το διαδίκτυο πρέπει να είσαι σε θέσει να παρέχει υπηρεσία τηλεφωνίας που είναι ανάλογη των επηρειών των χρηστών από τα ενσύρματα δίκτυα τηλεφωνίας που έχουν σχεδιαστεί αποκλειστικά για αυτό το λόγο. Ακόμα πιο απαιτητικές είναι οι υπηρεσίες που παρέχουν βίντεο κλήσεις και τηλεσυνεδριάσεις όπου σε πραγματικό χρόνο πραγματοποιείται μεταφορά ήχου και εικόνας από δύο ή περισσότερους χρήστες. Τέλος οι δυνατότητες του διαδικτύου έχει φέρει επανάσταση και στην βιομηχανία των παιχνιδιών. Τα περισσότερα νέα 21

22 παιχνίδια υπολογιστών υποστηρίζουν την συνύπαρξη πολλών παιχτών στον ίδιο χρόνο ή στην ίδια παρτίδα εκμεταλλευόμενα το διαδίκτυο. Για να είναι επιτυχής αυτή η συνύπαρξη των παιχτών και σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητη η μετάδοση πληροφορίας με σταθερούς ρυθμούς. Συγκεντρώνοντας τα χαρακτηριστικά των υπηρεσιών πραγματικού χρόνου έχουμε: Ικανοποίηση των QoS σε βραχυπρόθεσμα χρονικά διαστήματα. Για να εξασφαλισθεί η συνέχεια στην μετάδοση της φωνής ή βίντεο το σύστημα πρέπει να μεταφέρει επαρκή ποσότητα πληροφορίας σε βραχυπρόθεσμο πλαίσιο παρατήρησης. Σε αντίθετη περίπτωση μια κλήση θα είχε διακοπές, μια μετάδοση βίντεο θα είχε χαμένα στιγμιότυπα (frames) ή ένα δικτυακό παιχνίδι θα έχανε τον συγχρονισμό του. Κατά συνέπεια ένας χρονοδρομολογητής πρέπει να έχει γνώση της υπηρεσίας που εκτελεί ο κάθε χρήστης και κατά περίπτωση να θυσιάζει την μέγιστη ρυθμαπόδοση συστήματος προς όφελος της ποιότητας της παρεχόμενης υπηρεσίας. Απαιτείται άμεση ανταπόκριση του χρονοδρομολογητή κατά την παραβίαση των QoS. Κάθε φορά που παραβιάζονται οι απαιτήσεις ενός χρήστη υπηρεσίας πραγματικού χρόνου, ο χρόνοδρομολογητής πρέπει να ανταποκρίνεται άμεσα με διορθωτικές κινήσεις έτσι ώστε να αποκατασταθεί η ποιότητα της εκάστοτε επικοινωνίας. Η εμπειρία έχει δείξει ότι ο χρήστης μιας υπηρεσίας πραγματικού χρόνου δεν είναι ανεκτικός ως προς την παραβίαση της ποιότητας της υπηρεσίας 22

23 του και προτιμά να διακόψει την υπηρεσία που χρησιμοποιεί αν δεν εξασφαλίζονται οι περιορισμοί που θέτει. Κατά συνέπεια ένας έξυπνος χρόνοδρομολογητής πρέπει όχι μόνο να προβλέπει αλλά και να διορθώνει άμεσα κάθε παραβίαση των περιορισμών μια τέτοιας υπηρεσίας. Έναν τέτοιον χρονοδρομολογητή θα προσπαθήσουμε να προδιαγράψουμε μέχρι το τέλος αυτής της εργασίας. Άνω και κάτω φραγμένες απαιτήσεις ρυθμαπόδοσης. Μια υπηρεσία πραγματικού χρόνου έχει απαιτήσεις ρυθμαπόδοσης που είναι φραγμένες από πάνω και από κάτω. Αυτό θα γίνει πολύ πιο προφανές μέσα από το παρακάτω παράδειγμα. Αν θεωρήσουμε μια τηλεφωνική κλήση, τότε γνωρίζουμε ότι η μεταφορά της φωνής γίνεται με αποδεκτό τρόπο αν εξασφαλισθεί ρυθμαπόδοση 64kbps. Αν επιτευχθεί μικρότερος από αυτόν τον ρυθμό τότε οι δύο χρήστες δεν θα μπορούν να επικοινωνήσουν. Αντίθετα αν επιτευχθεί διπλάσια ρυθμαπόδοση, τότε δεν θα βελτιωθεί η ποιότητα της υπηρεσίας. Κατά συνέπεια σε ένα χρήστη πραγματικού χρόνου πρέπει αφενός να του δίνουμε πάντα στιγμιαία ρυθμαπόδοση μεγαλύτερη ή ίση της επιθυμητής, αφετέρου να περιορίζουμε τις δυνατότητες της για περαιτέρω αύξηση Μαθηματική μοντελοποίηση των κριτηρίων ποιότητας υπηρεσίας υπηρεσιών μη πραγματικού χρόνου Ένας τρόπος για περιγράψουμε με μαθηματικό τρόπο της ανάγκες ενός χρήστη υπηρεσίας μη πραγματικού χρόνου, είναι θέσουμε ένα κατώφλι που να προσδιορίζει την ελάχιστη επιτρεπτή εξυπηρέτησή του από το σύστημα. 23

24 E[()] rt R N (1.1) στον παραπάνω τύπο με N εκφράζεται το σύνολο των χρηστών υπηρεσιών μη πραγματικού χρόνου στο σύστημα. Με E[()] rt περιγράφεται η μέση εξυπηρέτηση του χρήστη την χρονική στιγμή t, όπου σαν εξυπηρέτηση μπορούμε να θεωρήσουμε την πρόσβασή του στο σύστημα ή την ποσότητα των δεδομένων που έχει λάβει. R Αντίστοιχα με περιγράφεται το ελάχιστο κατώφλι εξυπηρέτησης, εκφρασμένο σε πρόσβαση στο σύστημα ή σε ποσότητα δεδομένων. Κατά συνέπεια, με βάση τον παραπάνω περιορισμό, κάθε χρήστης υπηρεσίας μη πραγματικού χρόνου στο σύστημα πρέπει να εξυπηρετείται κατά μέσο όρο περισσότερο από R. Ο παραπάνω περιορισμός μπορεί να συνδυαστεί με περιορισμούς δικαιοσύνης όπως θα δούμε στην συνέχεια Μοντελοποίηση υπηρεσιών πραγματικού χρόνου Για να μοντελοποιήσουμε υπηρεσίες που είναι ευαίσθητες στην καθυστέρηση, πρέπει να εισάγουμε περιορισμούς που να συσχετίζονται με την πρόσβαση ενός χρήστη στο σύστημα, σε βραχυπρόθεσμο επίπεδο. Μέχρι στιγμής έχον προταθεί δύο βασικές μέθοδοι για την περιγραφή των περιορισμών που πρέπει να συνοδεύουν υπηρεσίες πραγματικού χρόνου. 24

25 Αυστηροί περιορισμοί καθυστέρησης Με βάση τους περιορισμούς αυτούς κάθε χρήστης εξυπηρετείται σε φm χρονοσχισμές σε κάθε μη επικαλυπτόμενο παράθυρο Μ διαδοχικών χρονοσχισμών. Στην περίπτωση αυτή με φ προσδιορίζουμε ένα προκαθορισμένο βάρος που προσδιορίζει την εκάστοτε υπηρεσία Πιθανοτικοί βραχυπρόθεσμοι περιορισμοί καθυστέρησης Οι περιορισμοί αυτοί φράσσουν την πιθανότητα ένας χρήστης υπηρεσίας πραγματικού χρόνου να μην αποκτήσει πρόσβαση στο δίκτυο μέσα σε χρονικό διάστημα μεγαλύτερο από αυτό που εκφράζεται από τις απαιτήσεις της υπηρεσίας του. Όπως φαίνεται στον παρακάτω τύπο Pr[ d T] < g (1.2) STD. όπου το d αναπαριστά το σύνολο των διαδοχικών χρονοσχισμών που ο χρήστης δεν έχει πρόσβαση στο σύστημα, το T αναπαριστά το κατώφλι ανοχής στην καθυστέρηση του χρήστη, τo g STD. αναπαριστά το πιθανοτικό βραχυπρόθεσμο κατώφλι ανοχής στην καθυστέρηση του χρήστη, η ποιότητα μιας υπηρεσίας θεωρείται επαρκής μόνο στην περίπτωση που ο χρήστης της εξυπηρετείται σε διαστήματα που απέχουν μεταξύ τους λιγότερο από T με πιθανότητα μεγαλύτερη από 1 gstd.. 25

26 1.3.3 Κριτήρια δικαιοσύνης μεταξύ χρηστών Αναλογική Δικαιοσύνη (Proportonal Farness, [2],[3]) Στόχος αυτού του αλγορίθμου είναι η μεγιστοποίηση της ρυθμαπόδοσης του συστήματος λαμβάνοντας υπόψιν τόσο την τρέχουσα κατάσταση διαύλου του χρήστη όσο και το ιστορικό της εξυπηρέτησής του. Η τρέχουσα κατάσταση του διαύλου αντιπροσωπεύεται όπως εξηγήσαμε νωρίτερα από την αίτηση ρυθμού δεδομένων του χρήστη (δηλαδή το DRC) ενώ το ιστορικό της εξυπηρέτησης αντιπροσωπεύεται από το μέσο όρο της ρυθμαπόδοσης του χρήστη μέχρι την παρούσα χρονοσχισμή. Η επιλογή βασίζεται στη μεγιστοποίηση του λόγου που μόλις περιγράψαμε και μοντελοποιείται μαθηματικά με τον εξής κανόνα: DRC (t) argmax,1 N (1.3) R(t) όπου : Ν: ο συνολικός αριθμός των χρηστών στο σύστημα DRC( t ): η αίτηση ρυθμού δεδομένων του χρήστη(data rate request) τη χρονική στιγμή t R( t ): ο εκθετικά εξομαλυμένος μέσος όρος της ρυθμαπόδοσης του χρήστη μέχρι τη χρονική στιγμή t, ο οποίος δίνεται από το τον αναδρομικό τύπο 26

27 1 1 R( t + 1) = (1 ) R( t) Current _ Transmsson _ Rate _ of _ user _ t + c t, όπου c tc : μία σταθερά η οποία μετράται σε χρονοσχισμές C_T_R_ : ο τρέχων ρυθμός μετάδοσης του χρήστη, ο οποίος θεωρείται μηδενικός για όλους τους μη επιλεγέντες χρήστες. Σημειώσεις: ) Η σταθερά tc στη διαδικασία ενημέρωσης του ιστορικού εξυπηρέτησης είναι κρίσιμη καθότι επηρεάζει το ρυθμό με τον οποίο ενσωματώνονται στο ιστορικό οι αλλαγές στην κατάσταση του διαύλου. Μικρές τιμές της tc ναι μεν οδηγούν σε γρήγορη ανίχνευση των αλλαγών αλλά προκαλούν έντονη διακύμανση των παρατηρήσεων ενώ μεγάλες τιμές της tc οδηγούν μεν σε ασφαλέστερη εκτίμηση του R αλλά μπορεί να προκαλέσουν τον αποκλεισμό χρηστών από την υπηρεσία για αρκετό χρόνο. ) Το tc έχει άλλον έναν εξαιρετικής σημασίας ρόλο. Καθότι εν γένει δεν είναι σταθερά αλλά αντιπροσωπεύει την πάροδο του χρόνου, ουσιαστικά είναι ο όρος που εξαναγκάζει τον αλγόριθμο να συγκλίνει στις λύσεις μίας συνήθους διαφορικής εξίσωσης με μοναδικό σημείο ισορροπίας. Γενικά, ο όρος που περιέχει το 1 t c και αντιπροσωπεύει την επίδραση του παρόντος θα τείνει στο μηδέν καθώς lm 1 = 0, ενώ ο t t όρος που περιέχει το 1 1 παρελθόντος θα τείνει στο ένα καθώς ( 1 ) t c και αντιπροσωπεύει την επίδραση του lm 1 = 1. t t ) Ο αλγόριθμος είναι βέλτιστος υπό την έννοια ότι αν κάποιος άλλος αλγόριθμος χρονοδρομολόγησης χρησιμοποιηθεί για να αυξήσει τη ρυθμαπόδοση ενός χρήση κατά x% σε σχέση με αυτή που λαμβάνει 27

28 υπό το PFS(Proportonal Far Schedulng), τότε το άθροισμα των μειώσεων των ρυθμαποδόσεων όλων των άλλων χρηστών υπό το νέο αλγόριθμο θα υπερβαίνει το x% (proportonal farness crtera) Μακροπρόθεσμη Δικαιοσύνη Χρόνου Πρόσβασης (Long Term Access Farness) Δεδομένου ότι πρακτικά αυτό που μοιράζονται οι χρήστες κατά την εξυπηρέτησή τους από το σύστημα είναι οι χρονοσχισμές, δηλαδή ο χρόνος πρόσβασης, φαντάζει λογικό ο επιβαλλόμενος περιορισμός ποιότητας υπηρεσίας να αφορά τον χρόνο πρόσβασης του κάθε χρήστη. Εδώ λοιπόν, στόχος είναι η μεγιστοποίηση της ρυθμαπόδοσης του συστήματος υπό τον περιορισμό κάποιου δεδομένου ελάχιστου χρόνου πρόσβασης του κάθε χρήστη σε μακροπρόθεσμο ορίζοντα. Σε αυτό το σημείο παραθέτουμε τους ακόλουθους δύο βασικούς αλγορίθμους που επιτελούν την προαναφερθείσα λειτουργία Temporal Farness ([4],[5]) Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα διατυπώνεται ποσοτικά ως εξής: maxmze Q Θ EU ( ) QU ( ) subject to P Q( U) = r, =1,2,,N (1.4) { } όπου : Q : η πολιτική που ακολουθεί ο χρονοδρομολογητής Θ : το σύνολο όλων των στατικών πολιτικών Ε(): αναμενόμενη τιμή 28

29 U : το διάνυσμα για όλους τους χρήστες της χρησιμότητας που αντλεί ο κάθε χρήστης, 1 N από την ανάθεση της χρονοσχισμής σε αυτόν r : το ελάχιστο κλάσμα χρονοσχισμών(ως προς τις συνολικές) που πρέπει να ανατεθεί στον χρήστη. Φυσικά, r 0 και r 1. N =1 Αποδεικνύεται ότι η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα που μόλις διατυπώσαμε επιτυγχάνεται με την ακόλουθη πολιτική: Q ( U) = argmax ( U + υ ) * * * όπου τα υ είναι πραγματικές παράμετροι τέτοιες ώστε : * (a) mn ( υ ) = 0 (b) For all, P Q ( U) r * { = } { } (c) For all, f P Q ( U) = > r, then υ = 0 * * Στην πράξη, οι ρυθμοί r είναι προαποφασισμένοι στο σύστημα και το μόνο που χρήζει υπολογισμού είναι οι παράμετροι * υ. Για τον προσδιορισμό τους, δεδομένης της ικανοποίησης μιας σειράς προϋποθέσεων όπως αναλύεται στο [5], χρησιμοποιούμε έναν αλγόριθμο στοχαστικής σύγκλισης της μορφής : υ = υ δ (1.5), k+ 1 k k k g όπου: g ( υ ( υ )) 1 k ( ) = mn r, = 1, 2,, N 1 { Q U = } k k k j j και π.χ. δ k = 1 k 29

30 Σημείωση: * Τα υ ουσιαστικά αποτελούν συνιστώσες οι οποίες πριμοδοτούν τους χρήστες που βιώνουν «σχετικά δυσμενείς» συνθήκες διαύλου( * υ >0) εις βάρος των χρηστών που βιώνουν λιγότερο δυσμενείς ή ευμενείς συνθήκες(π.χ. * υ =0). Παρόλα αυτά, η εν λόγω πριμοδότηση συνεισφέρει μέχρι το σημείο της ελάχιστης κάλυψης της απαίτησης του χρήστη Αλγόριθμος συσχετιστικά καλύτερου χρήστη (Relatvely Best ([6])) Εδώ, η βέλτιστη πολιτική που προτείνεται είναι η ακόλουθη: * ( ξ ) ξ ξ = arg max, 1 N όπου : c ξ : στιγμιαία κατάσταση του διαύλου του χρήστη, δηλαδή στιγμιαία τιμή του λόγου σήματος προς παρεμβολής και θορύβου (SINR) ξ : η μέση τιμή των ξ, δηλαδή ξ E ξ ( t) = c : θετικές παράμετροι ελέγχου του χρόνου πρόσβασης κάθε χρήστη Σημείωση: ) Όπως διαφαίνεται, η εφαρμογή της ανωτέρω πολιτικής προϋποθέτει πλήρη γνώση της μέσης τιμής των στιγμιαίων καταστάσεων των διαύλων των χρηστών, γεγονός που τη διαφοροποιεί ουσιαστικά από τον προηγούμενο αλγόριθμο (temporal farness Β.1) 30

31 ) Οι παράμετροι c ουσιαστικά αποτελούν το ρυθμιστικό μηχανισμό για την ανάθεση εν γένει διαφορετικών κλασμάτων των χρονοσχισμών στους χρήστες. Επομένως, η απόφαση της χρονοδρομολόγησης λαμβάνεται με βάση μία κανονικοποιημένη τιμή της κατάστασης του καναλιού κάθε χρήστη, η οποία αναφέρεται ως η «συγκριτικά καλύτερη». Κατά συνέπεια, κάθε χρήστης εξυπηρετείται μόνο σε «ευνοϊκές» στιγμές αλλά με ένα συγκεκριμένο ασυμπτωτικό χρόνο πρόσβασης, ελεγχόμενο από τις παραμέτρους c. ) Αξιοσημείωτη είναι η περίπτωση κατά την οποία c = ξ, οπότε το ποσοστό φ των χρονοσχισμών που ανατίθενται στον χρήστη μεταπίπτει σε 1 N ενώ ταυτόχρονα η ασυμπτωτική δικαιοσύνη του Relatvely Best(RB) αλγορίθμου εκφυλίζεται σε αυτή του Round Robn(RR) Μακροπρόθεσμη Δικαιοσύνη Ρυθμαπόδοσης (Long Term Throughput Farness) Η ανάγκη επιβολής περιορισμών ρυθμαπόδοσης πηγάζει από την εξής θεμελιώδη διαφορά μεταξύ ενσύρματου και ασυρμάτου διαύλου. Στον ενσύρματο δίαυλο, η χορήγηση ενός συγκεκριμένου ποσοστού του χρόνου πρόσβασης είναι ισοδύναμη με τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου ποσοστού της ρυθμαπόδοσης του συστήματος. Αντιθέτως, στον ασύρματο δίαυλο, τα δύο αυτά μεγέθη είναι μεν συσχετισμένα αλλά όχι ευθέως. Επομένως, οι αλγόριθμοι που ακολουθούν είναι απαραίτητοι καθότι εξυπηρετούν το στόχο της μεγιστοποίησης της ρυθμαπόδοσης του συστήματος ενώ ταυτόχρονα εξασφαλίζουν ένα ελάχιστο δεδομένο ποσοστό ρυθμαπόδοσης για κάθε χρήστη Utltaran Farness(downlnk scenaro, [5]) 31

32 Σε αυτήν την περίπτωση το πρόβλημα λαμβάνει την εξής μορφή: maxmze Q Θ EU ( QU ( )) ( ) subject to E U 1 a, =1,2,,N { QU ( ) E U = } QU ( ) (1.6) όπου: Q : η πολιτική που ακολουθεί ο χρονοδρομολογητής Θ : το σύνολο όλων των στατικών πολιτικών Ε(): αναμενόμενη τιμή. Προφανώς N EU ( { }) = EU 1 QU { QU ( ) = } = 1 U : το διάνυσμα για όλους τους χρήστες της χρησιμότητας που αντλεί ο κάθε χρήστης, 1 N από την ανάθεση της χρονοσχισμής σε αυτόν α : το ποσοστό της ρυθμαπόδοσης που λαμβάνει μακροπρόθεσμα ο χρήστης. Φυσικά N a 0 και a 1 =1 1, αν αληθεύει το Α 1 A = { 0, αλλιώς } και τέλος Αποδεικνύεται ότι η βέλτιστη πολιτική για την επίλυση του προβλήματος που μόλις διατυπώσαμε είναι η εξής: 32

33 ( ) arg max ( κ ) * * Q U = + v U όπου: N κ = 1 a v = 1 * * και τα v είναι τέτοια ώστε : (a) * mnv = 0 (b) Για όλα τα, (c) Για όλα τα, αν ( ) E U 1 { ( ) } ( ), a E U QU = =1,2,,N QU ( ) E U 1 { ( ) } ( ), =1,2,,N > a E U QU =, τότε QU v = 0 * Όμοια με την περίπτωση Β.1, τα ποσοστά επί της ρυθμαπόδοσης που λαμβάνουν οι χρήστες είναι προκαθορισμένα, οπότε πρακτικά αυτό που μένει να υπολογιστεί είναι οι παράμετροι * v. Η διαδικασία που ακολουθείται για την επίτευξη στοχαστικής σύγκλισης είναι ίδια με αυτήν της περίπτωσης Β.1. Σημείωση: Η χρήση του προαναφερθέντος αλγορίθμου, εξασφαλίζει μεν ένα ελάχιστο ποσοστό ρυθμαπόδοσης για κάθε χρήστη αλλά ενέχει τον κίνδυνο ένας χρήστης με προκαθορισμένο υψηλό ποσοστό ρυθμαπόδοσης ο οποίος τυχαίνει να βιώνει «δυσμενείς» συνθήκες διαύλου να αποτελεί στενωπό στη ρυθμαπόδοση του συστήματος Μακροπρόθεσμη Δικαιοσύνη Ρυθμαπόδοσης(uplnk scenaro, [8]) Στην περίπτωση της ζεύξης ανόδου το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της ρυθμαπόδοσης υπό περιορισμούς λαμβάνει αρκετά πιο περίπλοκη μορφή καθότι 33

34 πλην του χρόνου πρόσβασης και των συνθηκών του διαύλου, υπεισέρχονται στη διαδικασία λήψης απόφασης του χρονοδρομολογητή παράμετροι όπως η ισχύς εκπομπής και ο αριθμός των ταυτόχρονα εξυπηρετούμενων χρηστών. Εδώ, το πρόβλημα μοντελοποιείται αρχικά ως εξής: max E ( ) Bk = 1 r h p G s.t., για 1, 2,, k (1.7) γ ( ) = B( ) Bk j= 1, j h p + W η j j 0 ( ) p p max, για = 1, 2,, B k r r j = για 1, j B k φ φ j ( ) όπου : k : η υπό εξέταση χρονοσχισμή B(k) : ο αριθμός των χρηστών για τους οποίους υπάρχουν δεδομένα προς μετάδοση τη χρονοσχισμή k r : ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων για τον χρήστη γ : ο σηματοθορυβικός λόγος κατωφλίου του χρήστη h : το αντιστοιχούν στο γ κέρδος διαύλου G : κέρδος εξάπλωσης, το οποίο ορίζεται ως G W = r W : το chp rate, το οποίο λαμβάνεται σταθερό p : η ισχύς εκπομπής του χρήστη r : η μέση τιμή του ρυθμού μετάδοσης του χρήστη 34

35 φ : ένα προκαθορισμένο βάρος συσχετισμένο με την απαίτηση ποιότητας υπηρεσίας του χρήστη. η 0 : η μονόπλευρη φασματική πυκνότητα ισχύος του προσθετικού, λευκού Gaussan θορύβου(awgn) Τελικά, το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της ρυθμαπόδοσης υπό περιορισμούς δικαιοσύνης μοντελοποιείται ως πρόβλημα μεγιστοποίησης ρυθμαπόδοσης με βάρη. Δηλαδή, η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη μορφή ( ) Bk wr όπου η = 1 w επιλογή των βαρών αντιπροσωπεύει τον προηγούμενο περιορισμό δικαιοσύνης r φ j =. r φ j Όμοια με προηγούμενες περιπτώσεις, ο προσδιορισμός των βέλτιστων βαρών είναι απαραίτητος και επιτυγχάνεται με τον εξής αλγόριθμο στοχαστικής σύγκλισης: όπου: Y w ( 1 n n+ ) = w( n) (1.8) n * w Y n ( ) r n = E rj ( n) j φ φ j j Και για την εκτίμηση της μέση ρυθμαπόδοσης E r ( n) εξομαλυμένη τιμή του R ( n ) : ( ) = ( ) β + ( β) ( 1) R n R n 1 1 rj n j j χρησιμοποιούμε την j 35

36 όπου β είναι ο παράγων εξομάλυνσης που καθορίζει πως το εκτιμώμενο R ( n ) ακολουθεί τη μεταβολή της πραγματικής επιτευχθείσας ρυθμαπόδοσης του συστήματος. Σημείωση: ) Η βέλτιστη λύση του προαναφερθέντος αρχικού προβλήματος, η οποία προκύπτει μέσω της μετατροπής του σε δυαδικό πρόβλημα της μορφής knapsack έχει την ακόλουθη θεμελιώδη ιδιότητα: max ( ) { 0, }, = 1, 2,, ( ) p k p B k Δηλαδή, η βέλτιστη λύση επιτυγχάνεται όταν ένας χρήστης είτε εκπέμπει με μέγιστη ισχύ είτε δεν εκπέμπει καθόλου. 1.4 Μελέτη απόδοσης αλγορίθμων υψηλής ρυθμαπόδοσης ως προς πιθανοτικούς βραχυπρόθεσμους περιορισμούς καθυστέρησης και ρυθμαπόδοσης Σε αυτό το κεφάλαιο θα μετρήσουμε την συμπεριφορά ευκαιριακών αλγορίθμων χρονοδρομολόγησης ως προς βραχυπρόθεσμους περιορισμούς που εκφράζουν τις ανάγκες υπηρεσιών πραγματικού χρόνου [9]. Ας θεωρήσουμε ότι S είναι το σύνολο όλων των ενεργών χρηστών ενός συστήματος, με * Q () t = την πολιτική χρονοδρομολόγησης Q που επιλέγει την εξυπηρέτηση του χρήστη την χρονοσχισμή t, και με () * Pr t = Q την πιθανότητα του χρήστη να επιλεγεί κάτω από την πολιτική Q κάποια χρονική στιγμή. Θεωρώντας ότι ο χρονοδρομολογητής έχει γνώση των καναλιών των χρηστών κάθε χρονική στιγμή, έχει αποδειχθεί ότι η πιθανότητα ένας χρήστης να 36

37 επιλεγεί κάποια χρονική στιγμή t είναι ίση με την πιθανότητα να επιλεγεί από το σύστημα οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Επιπλέον έχει αποδειχθεί ότι υπό σταθερές πιθανότητες επιλογής κάθε χρήστη από στο σύστημα, τότε η καθυστέρηση ανάμεσα σε διαδοχικές προσβάσεις του στο σύστημα ακολουθεί γεωμετρική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο [ ] () * Pr d 1 Pr T = Q t = T (1.8) όπου d είναι μια τυχαία μεταβλητή που αναπαριστά την καθυστέρηση ενός χρήστη, εκφρασμένη σαν αριθμός διαδοχικών χρονοσχισμών που αυτός δεν έχει αποκτήσει πρόσβαση στο σύστημα και Τα είναι το κατώφλι της μέγιστης καθυστέρησης. Η εξυπηρέτηση ενός χρήστη υπηρεσιών πραγματικού χρόνου κάνει επιτακτική την ανάγκη σταθερών πιθανοτήτων παραβίασης του κατωφλιού καθυστέρησής του. Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε καλύτερα την ποιότητα της υπηρεσίας των χρηστών πραγματικού χρόνου, πρέπει να εξετάσουμε την πιθανότητα αυτός να πάρει ποσότητα δεδομένων, μικρότερη από ένα προκαθορισμένο κατώφλι, μέσα σε ένα παράθυρο παρατήρησης. Αν ορίσουμε με b την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει την ποσότητα των δεδομένων που έχει λάβει ένας χρήσης μέσα σε παράθυρο TB χρονοσχισμών, τότε η πιθανότητα η ποσότητα b να είναι μικρότερη από ένα προκαθορισμένο κατώφλι Β δίνεται από τον τύπο Pr[ b B ] T B άνω φραγμένη. και για να εξασφαλίζεται η ποιότητα της υπηρεσίας πρέπει να είναι Θεωρώντας ότι ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων ενός χρήστη διατηρείται σταθερός και ίσος με τον μέσο ρυθμό μετάδοσης κάτω από την πολιτική χρονοδρομολόγησης Q τότε ως 37

38 (1.9) όπου k=0,1, TB, και Τs είναι η διάρκεια μιας χρονοσχισμής. Υπό αυτό το πρίσμα θα μελετηθούν τρεις πολιτικές χρονοδρομολόγησης 1. άπλειστη ευκαιριακή χρονοδρομολόγηση (ΜΑΧ) 2. αλγόριθμος αναλογικής δικαιοσύνης [2] 3. αλγόριθμος συσχετιστικά καλύτερου χρήστη (Relatvely Best algorthm) Τα παρακάτω αποτελέσματα έχουν προκύψει από ένα σύστημα που έχει 7 μόνιμους χρήστες (contnuously backlogged users) που χωρίζονται σε καλούς και κακούς χρήστες (ως προς το μέσο κανάλι τους. Στο πρώτο σενάριο έχουμε ρgsc, 1 db and ρbsc, 1 = 3 = 0dB. Στο δεύτερο συνέριο έχουμε ρgsc, 1 db and ρbsc, 1 = 6 = 3dB. 38

39 Delay Probablty Pr(d>=T) - Good User 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Ng PF MAX Threshold T (tme slots) Σχήμα 1.1 Delay Probablty Pr(d>=T) - Bad Use r 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Ng PF MAX Threshold T (tme slots) 50 Σχήμα

40 Αρχικά δίνουμε βάση στις πιθανότητες καθυστέρησης των χρηστών. Στις παραπάνω εικόνες (1,2) παρατηρούμε την πιθανότητα καθυστέρησης όπως αυτή περιγράφηκε στον τύπο 1.8 για καλούς και κακούς χρήστες αντίστοιχα, καθώς ο αριθμός των καλών χρηστών αυξάνει (Ng = 1,2,,7). Οι αλγόριθμοι που εξετάζονται είναι ο MAX και ο PF. Στα παραπάνω σχήματα θεωρούμε μια υπηρεσία αποτυχημένη αν Pr[d T] Παρατηρούμε ότι κάτω από την πο λιτική RF όλοι οι χρήστες έχουν σταθερές πιθανότητες να αποκτήσουν πρόσβαση στο σύστημα κάθε χρονική στιγμή και κατά συνέπεια επιτυγχάνεται αφενός μακροπρόθεσμη δικαιοσύνη ως προς τον χρόνο πρόσβασης στο σύστημα, αφετέρου δικαιοσύνη σχετικά με την εξασφάλιση των περιορισμών καθυστέρησης μεταξύ ισοδύναμων χρηστών. Όπως φαίνεται στις εικόνες 1,2,3,4 οι απαιτήσεις καθυστέρησης των χρηστών υπηρεσιών πραγματικού χρόνου δεν εξασφαλίζονται, ούτε και στις περιπτώσεις χρηστών με καλό κανάλι. Delay Probablty Pr(d>=T) - Good User 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Ng PF RB Threshold T (tme slots) 40

41 Σχήμα 1.3 Delay Probablty Pr(d>=T) - Bad Use r 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Ng PF RB Threshold T (tme slots) Σχήμα 1.4 Στις εικόνες 3 και 4 παρατηρούμε τις πιθανότητες καθυστέρησης για καλούς και κακούς χρήστες κάτω από τις πολιτικές PF και RB. Παρατηρούμε ότι σε κάθε σενάριο οι πιθανότητες των περιορισμών καθυστέρησης εξαρτώνται από τον αριθμό των χρηστών στο σύστημα και από την μέση ποιότητα του καναλιού του καθενός. Από την στιγμή που δεν μπορούν να ρυθμιστούν οι παραπάνω παράμετροι γίνεται δύσκολο να εξασφαλιστούν οι αντίστοιχοι περιορισμοί. 41

42 1.2 Ng PF MAX 1.2 PF MAX y Pr(b <B) - Go od Use r Probablt y Pr( b<b) - Bad U ser Probablt Ng Threshold B (kbte) Threshold B (kbte) 1.2 Ng PF RB 1.2 PF RB Probablty Pr( b<b) - Good Us er y Pr( b<b) - Bad U ser Probablt Ng Threshold B (kbte) Threshold B (kbte) 1.2 Ng PF MAX 1.2 PF MAX y Pr(b <B) - Good User Probablt Probablty Pr( b<b) - Bad U ser Ng Threshold B (kbte) Ε Threshold B (kbte) Σχήμα 1.5 Τέλος στη ομάδα σχημάτων 5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την εξέταση των παραπάνω αλγορίθμων σε σχέση με την ικανοποίηση των βραχυπρόθεσμων περιορισμών ρυθμαπόδοσης υπηρεσιών πραγματικού χρόνου τα οποία εκφράζονται από τις κατακόρυφες κόκκινες γραμμές. Παρατηρείτε ότι 42

43 κανένας από τους προς εξέταση αλγορίθμους δεν ικανοποιεί εν τέλει τα προς εξέταση βραχυπρόθεσμα κριτήρια, γι α κανένα πλήθος καλών και κακών χρηστών στο σύστημα σε σχέση με την ποιότητα καναλιού τους. 43

44 2 Αλγόριθμος UPR Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τον αλγόριθμο UPR που πρότειναν οι Jang Won Lee, Rav R. Mazumdar και Ness B. Shroff. Ο αλγόριθμος αυτός μελετά την ανάθεση πόρων σε ετερογενή περιβάλλοντα με σκοπό την βελτιστοποίηση της συνολικής συνάρτησης χρησιμοποίησης (utlty functon) των χρηστών σε κάθε χρονική στιγμή. Πάνω στον αλγόριθμο αυτό έχουμε στηριχθεί για να μοντελοποιήσουμε τους βραχυπρόθεσμους περιορισμούς ρυθμαπόδοσης (shortterm throughput constrants) που μελετάμε. Ο αλγόριθμος UPR χρησιμοποιείται για την επίλυση δύο προβλημάτων το πρώτο είναι το πρόβλημα απόδοσης ισχύος από την κεραία στους κινητούς σταθμούς κατά την ζεύξη καθόδου και το δεύτερο είναι το συνδυασμένο πρόβλημα ανάθεσης ρυθμού μετάδοσης και ισχύος κατά την ζεύξη καθόδου. Ο ίδιος αλγόριθμος με μικρές μετατροπές χρησιμοποιείται για την ανάλυση και των δύο προβλημάτων. Για την καλύτερη κατανόηση του αλγορίθμου αρχικά θα περιγραφεί ο αλγόριθμος επίλυσης του απλούστερου προβλήματος ανάθεσης ισχύος και στην συνέχεια θα αναφερθούν οι επεκτάσεις του για την επίλυση του δεύτερου προβλήματος. 2.1 Αλγόριθμος UPR για ανάθεση ισχύος Πριν μελετήσουμε τον αλγόριθμο θα παρουσιάσουμε το μοντέλο περιγραφής πάνω στο οποίο έχει στηριχθεί καθώς και θα αποδείξουμε την βελτιστότητα του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας τεχνικές από την θεωρία βελτιστοποίησης. 44

45 2.1.1 Μοντέλο περιγραφής Αρχικά θεωρούμε μόνο μία κυψέλη ενός δικτύου που περιέχει ένα σταθμό βάσης (κεραία) και Μ κινητούς σταθμούς. Το σύστημα μας λειτουργεί σε προκαθορισμένες χρονοσχισμές τέτοιες που μπορούμε να υποθέσουμε ότι κατά τη διάρκεια μιας χρονοσχισμής ο θόρυβος, η ποιότητα καναλιού και η διακυψελωτή παρεμβολή κάθε χρήστη είναι σταθερή. Το σύστημα μας μπορεί να εξυπηρετήσει χρήστες που απαιτούν διαφορετικές υπηρεσίες (ετερογενές περιβάλλον). Σκοπός είναι η απόδοση ισχύος σε κάθε κινητό σταθμό από την κεραία κατά την επίλυση του προβλήματος downlnk. Ο περιορισμός λειτουργίας είναι ότι η κεραία έχει συγκεκριμένο άνω όριο ισχύος PT που μπορεί να αποδώσει. Ποιότητα σήματος Στην συνέχεια, περιγράφουμε τη παράμετρο «ποιότητας σήματος» κάθε χρήστη που θα χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό της συνάρτησης χρησιμοποίησης. Η παράμετρος αυτή εξαρτάται από την αποδιδόμενη ισχύς σε κάθε χρήστη και εξαρτάται από το στιγμιαίο κανάλι του και την παρεμβολή από τις ισχύς των υπολοίπων χρηστών που βρίσκονται γύρω του. Η παράμετρος αυτή δίνεται από τον τύπο Όπου P : ισχύς που παραχωρείται στο χρήστη (2.1) 45

46 N : κέρδος επεξεργασίας (processng gan) για το χρήστη που ορίζεται σαν W/R W : ρυθμός ψηφίδας (chp rate) για το CDMA δίκτυο R : ρυθμός δεδομένων για το χρήστη G : κέρδος μονοπατιού I : θόρυβος για το χρήστη A : ποιότητα περιβάλλοντος εκπομπής που ορίζεται σαν I/G M : πλήθος χρηστών θ: παράγοντας ορθογωνικότητας 0 θ 1 Λήμμα 1: Αν P = ( P1, P2,..., P M ) η βέλτιστη ανάθεση τιμών που μεγιστοποιεί το άθροισμα των συναρτήσεων χρησιμοποίησης και M P < PT για την ανάθεση αυτή = 1 τότε μπορούμε αν βρούμε μία διαφορετική ανάθεση (,,..., ) * * * * P = P1 P2 P M όπου M = 1 P = P T και το άθροισμα των συναρτήσεων χρησιμοποίησης για κάθε χρήστη είναι μεγαλύτερο. Απόδειξη: Αφού από τον ορισμό της συνάρτησης χρησιμοποίησης είναι αύξουσα ως προς την μεταβλητή των πόρων (στην περίπτωση μας η ισχύς P) τότε αν διαμοιράσουμε ισόποσα την διαφορά P T M = 1 P σε κάθε κινητό σταθμό αποδίδοντας ισχύς ίση με M ( P P) T * = 1 = P + P M τότε η τιμής της συνάρτησης χρησιμοποίησης για τη νέα ανάθεση θα είναι μεγαλύτερη και άρα η συνολική τιμή της θα είναι μεγαλύτερη. 46

47 Με βάση το παραπάνω λήμμα έχουμε ότι η βέλτιστη ανάθεση τιμών πρέπει να ικανοποιεί την σχέση M = 1 P = P T και έτσι η συνάρτηση γ έχει την μορφή (2.2) Που όπως παρατηρούμε πλέον εξαρτάται μόνο από την ισχύ που αποδίδεται σε κάθε χρήστη και όχι από το συνολικό διάνυσμα απόδοσης Συνάρτηση χρησιμοποίησης Η συνάρτηση χρησιμοποίησης που θα χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος είναι η εξής. (2.3) Όπου η συνάρτηση f ικανοποιεί τα κριτήρια μιας συνάρτησης χρησιμοποίησης που αναφέραμε παραπάνω και μπορεί να έχει έναν από τους διαφορετικούς τύπους (κυρτή, κοίλη, σιγμοειδής) που αναφέρθηκε παραπάνω. Η συνάρτηση αυτή εξαρτάται από την παράμετρο γ που εκφράζει την «ποιότητα σήματος» κάθε χρήστη. 47

48 2.1.3 Βασικό Πρόβλημα και απόδειξη βελτιστότητας Με βάση τα παραπάνω το πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι το ακόλουθο (2.4) Που εκφράζει την ανάγκη μας σε κάθε χρονική στιγμή να βρούμε την ανάθεση ισχύος που μεγιστοποιεί το άθροισμα των συναρτήσεων χρησιμοποίησης σε όλους τους χρήστες με περιορισμό ότι η συνολική ανάθεση δε μπορεί να υπερβαίνει τις φυσικές δυνατότητες του σταθμού βάσης. Στο παραπάνω πρόβλημα μπορούμε με βάση τη θεωρία βελτιστοποίησης να δημιουργήσουμε το δυαδικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας της παράμετρο laplace λ. Το δυαδικό πρόβλημα γίνεται ως εξής (2.5) Και ορίζουμε ότι (2.6) 48

49 όπου Y(λ) είναι το διάνυσμα ανάθεσης ισχύος που μεγιστοποιεί το δυαδικό πρόβλημα L για μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου λ. Με βάση τη θεωρία βελτιστοποίησης για κάθε λ 0 το διάνυσμα ανάθεσης P( λ) Υ ( λ) αποτελεί βέλτιστη λύση του παρακάτω προβλήματος βελτιστοποίησης (2.7) Το παραπάνω πρόβλημα διαφέρει από αυτό που αναφέραμε αρχικά στη παράμετρο M M P P( λ). Η λύση του παραπάνω προβλήματος ταυτίζεται με = 1 = 1 την λύση του αρχικού όταν το λ επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε M = 1 P( λ) = P. Η T ακρίβεια της λύσης που δίνεται από το παραπάνω πρόβλημα εξαρτάται από την τιμή της M P( λ) PT = 1. Όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η τιμή αυτή τόσο πιο κοντά στη βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήματος είναι η λύση του αντίστοιχου δυαδικού του. Με βάση αυτή την παρατήρηση μπορούμε να μετασχηματίσουμε το πρόβλημα στο παρακάτω (2.8) 49

50 Η παραπάνω συνθήκη αφού το πρόβλημα είναι διαχωρίσιμο γίνεται Όπου L ( x) = U ( γ ( x)) λχ. Μπορούμε να ερμηνεύσουμε φυσικά την λαπλασιανή παράμετρο λ σαν μια τιμή κόστους ανά μονάδα ισχύος που επιβάλει ο σταθμός βάσης στην ισχύ που θα διαθέσει. Το νέο αυτό πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί σαν την προσπάθεια της βάσης να βρει την μεγαλύτερη τιμή κόστους για να μπορέσει να «πουλήσει» όλη την ισχύ που διαθέτει. Κάθε κινητός σταθμός μπορεί να «αγοράσει» μέχρι ένα συγκεκριμένο αριθμό ισχύος ανάλογα με την τιμή κόστους που επιβάλλει η βάση. Όσο μεγαλώνει η τιμή του κόστους τόσο λιγότερο μπορεί να «αγοράσει» κάθε χρήστης. Η ποσότητα αγοράς για κάθε χρήστη καθορίζεται από την P ( λ ). Με βάση την παραπάνω ανάλυση βλέπουμε εύκολα ότι ο αλγόριθμος ανάθεσης πρέπει να χωριστεί σε δύο φάσεις. Η πρώτη φάση περιέχει το καθορισμό της παραμέτρου λ και κατ επέκταση των κινητών σταθμών που μπορούν να συμμετέχουν στον ανταγωνισμό της ισχύος για αυτό και ονομάζεται αλγόριθμος επιλογής κινητών σταθμών (moble selecton algorthm). Στην συνέχεια αφού καθοριστούν οι σταθμοί που θα συμμετέχουν στον ανταγωνισμό, καθορίζεται το ποσό ισχύος που ανατίθεται σε κάθε χρήστη με σκοπό να αποδοθεί όλη η ποσότητα PT που μπορεί να διαθέσει η βάση. Λήμμα 2: Αν τότε είτε P ( λ ) =0 είτε P ( λ ) =PT είτε η P βρίσκεται στην κυρτή περιοχή. Απόδειξη: Παραγωγίζοντας την συνάρτηση προς μεγιστοποίηση έχουμε ότι U( γ ( P)) P P= P( λ ) = λ και 2 U( γ ( P)) 2 P P= P( λ ) > 0 που αποδεικνύει το λήμμα. 50

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Υπόδειγμα εξωφύλλου του αντιτύπου που υποβάλλεται στις βιβλιοθήκες (διπλωματική εργασία) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.

Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".

Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ. "Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων Περίληψη Κεφαλαίου: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά χαρακτηριστικά του μείγματος Marketing (Μ.Κ.Τ.), στο πλαίσιο της εύρυθμης λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

10. Οπτικά Δίκτυα Πρόσβασης

10. Οπτικά Δίκτυα Πρόσβασης 10. Οπτικά Δίκτυα Πρόσβασης Το δίκτυο πρόσβασης αποτελεί το τελευταίο σκέλος του τηλεπικοινωνιακού δικτύου και εκτείνεται μεταξύ των εγκαταστάσεων του παρόχου και των τελικών χρηστών (οικίες και επιχειρήσεις).

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους.

Προτεινόμενα θέματα. στο μάθημα. Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων. ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους. Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές οργάνωσης και διοίκησης επιχειρήσεων ΟΜΑΔΑ Α: Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε δίπλα στον αριθμό της καθεμιάς τη λέξη Σωστό αν κρίνετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ.

1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 23 η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 10 Ιουλίου 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΚΑΙΟΣΥΝΗΣ, ΔΙΑΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Αριθμ. Πρωτ. 153 ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΛΛΟΓΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ Α Θ Η Ν

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα)

2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) 2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) Η πολυπλεξία μήκους κύματος (WDM πολυπλεξία) παρέχει συμβατότητα μεταξύ του εύρους ζώνης του οπτικού μέσου οπτική ίνα και του εύρους ζώνης του τερματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

τους στην Κρυπτογραφία και τα

τους στην Κρυπτογραφία και τα Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής. Διαμόρφωση Κωδικοποίηση. Διδάσκων: Ευάγγελος Παπαπέτρου

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής. Διαμόρφωση Κωδικοποίηση. Διδάσκων: Ευάγγελος Παπαπέτρου Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Ασύρματα Δίκτυα Διαμόρφωση Κωδικοποίηση Διδάσκων: Ευάγγελος Παπαπέτρου 1 Διάρθρωση Διαμόρφωση σε συστήματα στενής ζώνης διαμόρφωση αναλογικών δεδομένων σε αναλογικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Κατανεμημένων Αλγορίθμων σε Ασύρματα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΌ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εργασία στο μάθημα «Ψηφιακές Βιβλιοθήκες» Παρουσίαση του άρθρου (ECDL, 2008, LNCS,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.6: Η Διαδικασία Εντοπισμού Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Το έκτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ευρύτερη έννοια της

Κεφάλαιο 2.6: Η Διαδικασία Εντοπισμού Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Το έκτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ευρύτερη έννοια της Κεφάλαιο 2.6: Η Διαδικασία Εντοπισμού Επιχειρηματικών Ευκαιριών Περίληψη Κεφαλαίου: Το έκτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ευρύτερη έννοια της Επιχειρηματικής Ευκαιρίας, τα στάδια εντοπισμού της και τους γενικότερους

Διαβάστε περισσότερα