L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε
|
|
- Ξάνθη Παππάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη µας επιβάλει την χρησιµοποίηση νέων συµβόλων σε συνάρτηση µε τα στοιχεία ενός σώµατος Παράδειγµα: Το σώµα των ρητών, νέο σύµβολο το, επιβαλοµένη ανάγκη, αυτή που περιγράφεται στην ενότητα Γεωµετρικές Κατασκευές Η αντιµετώπιση της ανάγκης αυτής, γίνεται µε την επέκταση του αρχικού σώµατος F, (πχ του ), επέκταση, που οδηγεί στην κατασκευή του σώµατος L = F() [ το νέο στοιχείο, πχ του ( ) ] Το σώµα αυτό L περιέχει ως υπόσωµα το F, και, επίσης, περιέχει όποιο άλλο στοιχείο απαιτείται για να λητουργεί ως σώµα µε πράξεις τις πράξεις του F, κατάλληλα τροποποιηµένες, ώστε να ισχύουν και για τα πρόσθετα στοιχεία που έχει το L ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ξεκινάµε από το σώµα F Επιλέγουµε τυχόν στοιχείο k F, k > 0, εισάγουµε το νέο σύµβολο k που να έχει την επιθυµητή ιδιότητα ( k ) = k, εφ όσον βέβαια στοιχείο του F µε την ιδιότητα αυτή δεν υπάρχει, και στην συνέχεια θεωρούµε και όλα τα στοιχεία της µορφής + b k,, b F και στην συνέχεια σχηµατίζουµε το σύνολο { b k} L = F + Είναι, F, άρα και L Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε αυτές να ισχύουν και εν L, και µάλιστα να καθιστούν το σύνολο L σώµα Τούτο γίνεται αν ορίσουµε την πρόσθεση: ( + b k ) ± (c + d k ) = ( ± b) + (b ± d) k, και τον πολλαπλασιασµό: ( + b k )(c + d k ) = (c + bdk) + (d + bc) k Για την διαίρεση έχουµε, + b k + b k c d k c bdk bc d = = k + στοιχείο και αυτό της προβλεπόµενης µορφής Βέβαια, θα πρέπει c + d k 0 Το αντίστροφο, λοιπόν, του c + d k c + d k c d k c d k c d k στοιχείου 0 + b k L, είναι το στοιχείο b k του L b k Επεκτάσεις σώµατος Ένα σώµα L καλείται επέκταση του σώµατος F, ανν το F είναι υπόσωµα του L Γράφουµε, F L Το L είναι δυνατόν να θεωρηθεί και ως ανυσµατικός χώρος επί του F µε πρόσθεση την πρόσθεση του L και µονόµετρο πολλαπλασιασµό F L L τον περιορισµό του πολλαπλασιασµού του L στο F Λέµε ότι το L είναι µία πεπερασµένη επέκταση του F, αν και µόνον αν, υπάρχουν,, K, L τέτοια ώστε κάθε b, b L να γράφεται ως µία γραµµική έκφρασις b = β + β + K + β, β F των, που καλούνται και βάση της επέκτασης L, πάνω στο σώµα F Το πλήθος των καλείται βαθµός [ L : F] της επέκτασης L του F (Σηµείωση Ο βαθµός [ L : F] δεν είναι τίποτα άλλο, από την διάσταση του διανυσµατικού χώρου L) Παρατηρούµε ότι, [ L : F] = ανν L = F Έστω = [L : F] Επειδή σε έναν ανυσµατικό χώρο µε διάσταση τα + διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένα, αν,, K, L, υπάρχουν τότε β0, β, β, K,β F, τέτοια ώστε να ισχύει η β0 + β + β + K + β = 0 Αντίστοιχες έννοιες προκύπτουν αν αντικαταστήσουµε την έννοια σώµα F, µε την έννοια δακτύλιος F
2 Απλή αλγεβρική επέκταση του σώµατος F, καλείται το σώµα L = F(), F Ο όρος απλή είναι φανερό γιατί τίθεται Ο όρος αλγεβρική δικαιολογείται από το Θεώρηµα του FroecFer (βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός δακτύλιος 0 Θεώρηµα Το f είναι ελάχιστο πολυώνυµο του επί το F, ανν το f είναι ανάγωγο εν F [x] (Βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός δακτύλιος 0) Απόδειξη Αν το f ελάχιστο, τότε είναι και ανάγωγο, µια και αν f = gh, g, h F[x ], το θα είναι ρίζα είτε του f είτε του g, και ο βαθµός αυτών είναι µικρότερος του ελαχίστου βαθµού του f, πράγµα άτοπον Αντίθετα, έστω το f ανάγωγο εν F [x], και g το ελάχιστο πολυώνυµο του επί το F ιαιρούµε το f µε το g και έχουµε, f = qg + r Είναι, f () = g() = 0, οπότε και r () = 0 Όµως ο βαθµός του r είναι µικρότερος του βαθµού του g Το r είναι, λοιπόν, αναγκαστικά το µηδενικό πολυώνυµο, και έτσι οδηγούµεθα εις το άτοπον f = qg ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ) Το σώµα ( k ) = { β + β k}, β, β, k είναι µία πεπερασµένη επέκταση του σώµατος των ρητών Tα στοιχεία, k ( k ), αποτελούν βάση του διανυσµατικού χώρου ( k ) Άρα [ ( k ): ] = είναι ο βαθµός της επέκτασης Στην περίπτωση, που k, ( k ) = και ο βαθµός του είναι Η ( k ), k καλείται τετραγωνική επέκτασις του σώµατος των ρητών ) Το σώµα ( ) { β + β k}, β β =, Συµβολισµός Με L = F(,, ) συµβολίζουµε την ελαχίστη πεπερασµένη επέκταση, που περιέχει τα στοιχεία,, K, L Με τον όρο ελαχίστη επέκταση, νοούµε ότι, κάθε άλλη επέκταση του F, η οποία περιέχει τα στοιχεία, περιέχει και το L Μπορούµε συνεπώς να λέµε ότι, το L είναι η τοµή όλων των επεκτάσεων του F, που περιέχουν τα στοιχεία Με L = F(,, ) συµβολίζουµε την ελαχίστη πεπερασµένη επέκταση L του δακτυλίου F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είναι, (, ) : 4 αποτελούν βάση του (, ) =, µια και τα στοιχεία,, και 6, Πρόταση Αν L = F(,, ) µία πεπερασµένη επέκταση του σώµατος F, τότε µπορούµε να βρούµε ένα στοιχείο L, τέτοιο ώστε, L = F(), ώστε το L να είναι απλή επέκταση του σώµατος F Απόδειξη Θεωρούµε την περίπτωση L = F(, ) Έστω τα ελάχιστα πολυώνυµα f F() και f F( ) Τα πολυώνυµα αυτά, είναι (βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός δακτύλιος 0) ανάγωγα, και έχουν απλές ρίζες, µία των οποίων είναι η (αντ ) Έστω, αντιστοίχως οι ρίζες τους, = b, b, b και = c, c, cm Θεωρούµε τα b στοιχεία,, m Το πλήθος των στοιχείων αυτών είναι (m ) c και, συνεπώς, µέσα στο σώµα F, υπάρχουν στοιχεία c διαφορετικά απ αυτά Θέτουµε = + c Είναι, b + cc για όλα τα και m Επειδή F, ο
3 είναι αλγεβρικός αριθµός Η απλή αλγεβρική επέκταση F () που παράγεται απ αυτόν είναι, λοιπόν, F() L Θεωρούµε, τώρα, το πολυώνυµο g(x) = f( cx) F() Όµως, και το f F() Το πολυώνυµο αυτό, έχει κοινή ρίζα µε το f την Από την b + cc, έπεται ότι τα πολυώνυµα g και f δεν έχουν άλλη κοινή ρίζα, µια και αν είχαµε ότι g (c ) = 0, ο cc θα ήταν ρίζα του f, δηλαδή, για κάποιον δείκτη, θα είχαµε b = cc, πράγµα αδύνατον, εκτός της τιµής = Συνεπώς ο µκδ των πολύωνύµων αυτών, είναι το x Άρα, αφού ο µκδ δύο πολυωνύµων επί ενός σώµατος ανήκει και αυτός στο σώµα (µιά και ισχύει η ταυτότης του Bezout, βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός ακτύλιος ) ισχύει ότι F(), και άρα, = c F() Η επέκταση F(, ), λόγω του ότι είναι ελαχίστη, περιέχεται στην F () Είναι, λοιπόν, L F() οπότε και L = F() Πρόταση Αν F, L, M πεπερασµένες επεκτάσεις, F L M, τότε και [ M : F] = [M : L] [L : F] Απόδειξη Εξ ορισµού, το στοιχείο c M γράφεται στην µορφή m c + γc + + γmcm = γc = c = γ K, όπου m = [M : F], c M και γ L Κάθε γ L γράφεται γ = β, όπου = [L : F], β F και L Είναι, συνεπώς, και m = = = c = β c Άρα, το τυχόν στοιχείο c M είναι γραµµική έκφραση των m στοιχείων c του Μ, µε συντελεστές από το σώµα F Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα, οπότε θα αποτελούν βάση του Μ επί το F Πράγµατι, µια σχέση m m της µορφής β c = 0 δίδει τις σχέσεις β c = 0 µια και τα βάση του L = = Όµως, και τα Όµως, και τα c βάση του Μ Άρα,,, β = 0 Πόρισµα Αν F F K F F0, τότε και F : F = F : F F : F = [ ] [ ][ ] L[ F : F ] 0 Ερχόµαστε, τώρα, στην περίπτωση του F (), όπου είναι αλγεβρικός αριθµός επί του σώµατος F Υπάρχει, τότε, πολυώνυµο µε συντελεστές από το σώµα F, το οποίον έχει ρίζα τον, (Βλέπε Ενότητα Πολυωνυµικός ακτύλιος) Ανάµεσα σε όλα αυτά τα πολυώνυµα που έχουν ρίζα το, υπάρχει και κάποιο ελαχίστου βαθµού Το πολυώνυµο αυτό f, καλείται ελάχιστο πολυώνυµο του επί το F, και ο βαθµός του, ορίζει τον βαθµό του επί το F, και συµβολίζεται µε το deg K Για παράδειγµα, είναι deg =, µια και το είναι ρίζα του f = x +, που είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του επί το R 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Είναι deg = 5, µια και το πολυώνυµο x 5 είναι ανάγωγο Θεώρηµα Στην περίπτωση που το είναι αλγεβρικό επί το F, R 0 F() : F = deg F
4 4 p Απόδειξη Παρατηρούµε ότι, τα στοιχεία του F () είναι όλες οι ρητές εκφράσεις όπου q p, q 0 πολυώνυµα εν F [x] Επιπλέον, το σώµα F () περιέχεται σε κάθε σώµα που περιέχει το F και το στοιχείο Υποθέτουµε, τώρα, ότι deg F = Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία,,, K, () αποτελούν βάση για το F () Προς τούτο, αρκεί να p() δείξουµε ότι το στοιχείο b = F() ισούται µε κάποιο r (), όπου r(x), µε q() βαθµό 0 deg r(x) Έστω, λοιπόν, f το ελάχιστο πολυώνυµο του Αν deg q, το q δεν είναι δυνατόν να διαιρεί το f Άρα, ( f,q) =, οπότε και (ταυτότης του Bezout) p() sf + tq = Άρα και, t ()q() =, και συνεπώς, = p()t() = r() Για τον βαθµό q() του r(x), παρατηρούµε ότι αν διαιρέσουµε το pt µε το f θα λάβουµε pt = fq + r, απ όπου είναι και p ()t() = r(), µε 0 deg r(x) Το γεγονός ότι τα στοιχεία () είναι γραµµικά ανεξάρτητα, έπεται από το ότι δεν είναι δυνατόν κανένα απ αυτά να είναι ρίζα πολυωνύµου βαθµού Πόρισµα Ο είναι αλγεβρικός αριθµός ανν F () / F = τυχών φυσικός αριθµός Ορισµός Έστω ένα πολυώνυµο f Σώµα διασπάσεως (spltg feld) του πολυωνύ- µου f επί του σώµατος F, καλούν το ελάχιστο σώµα Ε που περιέχει το F και όλες τις ρίζες του f Ένα σώµα Ε καλείται ριζική επέκταση (rdcl exteso) του σώµατος F, αν το Ε είναι απλή αλγεβρική επέκταση του F, E = F(), F, µε F, για κάποιον > 0 Λέµε ότι το πολυώνυµο f λύεται µε ριζικά (solvble by rdcls) επί του F, ανν υπάρχουν οι διαδοχικές επεκτάσεις F F K F F0, F 0 = F, έτσι ώστε, το σώµα διασπάσεως Ε του f, να είναι, E F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω το f (x) = x [x] Με το σύµβολο, που το ορίζουµε έτσι ώστε ( ) =, επεκτείνουµε το σώµα στο ( ) Το ( ) την ρίζα Το σώµα διασπάσεως του f (x) είναι το ( ) παραγοντοποίηση του f (x) είναι η x ( x )( x ) = + αποτελούν βάση της επέκτασης ( ) Είναι, λοιπόν, ( ): = περιέχει και, µέσα στο οποίο η Τα στοιχεία, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω το f (x) = x + x + [x] Στο Μιγαδικοί αριθµοί Αρχικές ρίζες της µονάδος, έχουµε την εξής παραγοντοποίηση του f (x) = x + x +, την x + x + = x + x + + Αν, λοιπόν, θέσουµε ω =, και µε το στοιχείο αυτό επεκτείνουµε το σώµα στο (ω), τότε, µέσα στο σώµα αυτό το f (x) έχει την παραγοντοποίηση x + ω x + + ω Το (ω) είναι το σώµα διασπάσεως
5 5 του f (x) Τα στοιχεία, ω αποτελούν βάση της επέκτασης (ω) Είναι, λοιπόν, ( ω) : = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρείτε τον βαθµό του σώµατος διασπάσεως του πολυωνύµου f (x) = x [x] σαν επέκταση του Βρίσκουµε πρώτα τις ρίζες του f (x) Αυτές είναι οι:, ω, ω Το σώµα διασπάσεως του f (x) θα είναι το L = (, ω, ω ) Μπορούµε να κατασκευάσουµε το L, κάνοντας δύο απλές επεκτάσεις του Ξεκινάµε µε την επέκταση F = (ω), που είναι µία επέκταση του βαθµού, µε βάση {, ω} Το ανάγωγο εν πολυώνυµο f (x) δεν έχει όλες τις ρίζες του εν F (είναι ανάγωγο επί του F = F του F διασπά το f (x) σε γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων Είναι συνεπώς αυτή που ζητάµε Μία βάσις της F επί την F είναι η {,, 4} Φανερά, F = L Για να βρούµε την βάση της L επί του, πολλαπλασιάζουµε τα στοιχεία της βάσεως F επί τα στοιχεία της βάσεως F Έχουµε συνεπώς βάση της L την {,, 4, ω, ω, 4ω} Άρα και L : = 6 F ) Η επέκταση ( ) Ορισµός Έστω ένα πολυώνυµο f Θα ονοµάζουµε το f(x) χωρισµένο πολυώνυµο (seprble polyoml) επί του F αν όλες οι ρίζες του µέσα στο σώµα διασπάσεως του πολυωνύµου, έχουν πολλαπλότητα Αν Ε επέκτασις του F και E αλγεβρικός αριθµός, θα λέγεται και ο χωρισµένος επί του F, ανν το ελάχιστο πολυώνυµό του, είναι χωρισµένο επί του F Η επέκταση Ε του F θα καλείται χωρισµένη επέκταση, ανν κάθε στοιχείο της είναι χωρισµένο επί του F Ένα σώµα F θα ονοµάζεται τέλειο (perfect feld) ανν κάθε επέκταση Ε του F είναι χωρισµένη Πρόταση Έστω το ανάγωγο επί το F πολυώνυµο f(x) και έστω f (x) η παράγωγός του Το f(x) είναι τότε χωρισµένο επί του σώµατος F, ανν η παράγωγός του f (x) δεν είναι το µηδενικό πολυώνυµο Απόδειξη Έστω Ε το σώµα διασπάσεως του f(x) επί του σώµατος F Τότε, ως γνωστόν, κάθε ρίζα του f(x) είναι απλή, ανν δεν υπάρχει ρίζα του παραγώγου πολυωνύµου f (x) που να είναι και ρίζα του f(x) (βλέπε Πολυωνυµικός ακτύλιος 4) α) Έστω ότι f (x) = 0, x F Τότε, κάθε ρίζα του f(x) είναι και ρίζα του f (x), και, συνεπώς, το f(x) δεν είναι χωρισµένο επί του σώµατος F β) Έστω f (x) 0 και E ρίζα αµφοτέρων των f(x) και f (x) Τότε, το x διαιρεί και τα δύο πολυώνυµα f(x) και f (x) Όµως, deg f (x) < deg f (x) και άρα το f(x) δεν διαιρεί το f (x) Από υπόθεση, το f(x) είναι ανάγωγο Άρα τα πολυώνυµα f(x) και f (x) είναι πρώτα µεταξύ τους Ισχύει λοιπόν, η ταυτότης του Bezout (βλέπε Πολυωνυµικός ακτύλιος ), u (x)f (x) + v(x)f (x) = και κατά συνέπεια το x να πρέπει να διαιρεί την σταθερά, πράγµα άτοπον εν υπάρχει, λοιπόν, ρίζα του f(x) που να είναι και ρίζα του f (x), και άρα, το f(x) είναι χωρισµένο επί του σώµατος F Πρόταση Το (αριθµητικό) σώµα F είναι τέλειο
6 6 Απόδειξη Έστω το πολυώνυµο f (x) ανάγωγο επί του F, βαθµού Αν =, τότε το f (x) έχει ακριβώς µία απλή ρίζα Αν >, τότε και deg f =, οπότε και f (x) 0 και σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση, το f (x) είναι χωρισµένο επί του F Αυτοµορφισµοί σώµατος Μία απεικόνιση φ : F F του σώµατος F επί το F, που είναι ένα προς ένα και διατηρεί τις πράξεις, δηλαδή,,b F, φ ( + b) = φ() + φ(b), και, φ ( b) = φ() φ(b), καλείται αυτοµορφισµός του F (βλέπε και ενότητα Οµάδες ) Ισχύει ότι, φ ( ) = Πράγµατι, είναι, φ ( b) = φ(b) = φ() φ(b) Το φ () δρα, συνεπώς, σαν µοναδιαίο στοιχείο Όµως, εδώ, στο σώµα F, το µοναδιαίο στοιχείο είναι µοναδικό Άρα είναι, αναγκαστικά, φ ( ) = Όµοια και για την φ ( 0) = 0 Για κάθε φυσικό αριθµό, ισχύει ότι φ ( ) =, µια και = + K + -φορές Άρα και γιά κάθε ρητό αριθµό q, ισχύει ότι φ ( q) = q Το σώµα παραµένει συνεπώς αναλλοίωτο ως προς την οµάδα των αυτοµορφισµών του F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω, ότι ζητάµε να βρούµε όλους τους αυτοµορφισµούς του σώµατος ( = ) Το τυχόν στοιχείο του σώµατος αυτού, έχει την µορφή b( ) + c( ) F, b,c Αν φ αυτοµορφισµός του F, τότε και ( ) ( ) ( ) ( ) c = + bφ cφ φ + b + + () Επειδή ( ) = 0, είναι και φ ( ) = 0 στοιχείο ( ) ( ) + µε, απ όπου συµπεραίνουµε ότι και το φ είναι και αυτό µία κυβική ρίζα του Όµως, εν F, το πολυώνυµο f (x) = x, έχει µία και µοναδική ρίζα, την Άρα, φ ( ) = Ο αυτοµορφισµός φ : F F είναι, λοιπόν, λόγω της (), ο ταυτοτικός αυτοµορφισµός του F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το ίδιο πρόβληµα µε F ( ) έχει την µορφή + b, και είναι, φ ( b ) = + bφ( ) = Το τυχόν στοιχείο του σώµατος F +, Το πολυώνυµο f (x) = x έχει τις ρίζες ± εν F, Η σχέση, συνεπώς φ (x) = 0 ισχύει για τις περιπτώσεις φ (x) = και φ (x) =, Μπορούµε, λοιπόν, να ορίσουµε δύο αυτό- µορφισµούς φ : F F,, τον ταυτοτικό, για τον οποίο είναι φ ( ) =, και τον φ, για τον οποίο έχουµε φ ( ) =, οπότε και, φ( + b ) = b Παρατηρήσεις ) Αν L µία επέκταση του σώµατος F, το σύνολο των αυτοµορφισµών φ : L L που έχουν την ιδιότητα να απεικονίζουν τα στοιχεία του σώµατος F στον εαυτό τους, αποτελούν, φανερά, υποοµάδα της οµάδας αυτοµορφισµών του L Την οµάδα αυτή την συµβολίζουµε µε το G (L / F) (οµάδα του Glos του L επί του F) ) Σύµφωνα µε το παράδειγµα, o( G( ( ) / ) = παράδειγµα είναι, o ( G( ( ) / ) =, ενώ από το ) Αν αλγεβρικός αριθµός επί του σώµατος F, τότε ο είναι ρίζα ενός αναγώγου πολυωνύµου (βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός ακτύλιος 0) το οποίον αν είναι moc, είναι και µοναδικό Έστω οι ρίζες του Η επέκταση είναι δυνατόν να περιέχει ή όχι κάποιες απ τις ρίζες αυτές
7 7 4) Αν f (x) = c0 + cx + K + cx, τότε και φ (f (x)) = f (φ(x)) Άρα, το F είναι ρίζα του f, ανν το φ () είναι ρίζα του f 5) Επίσης είναι o(g(f() / F)) [F() : F] 6) Στο πρώτο παράδειγµα, ολόκληρος ο χώρος ( )) / παραµένει αναλλοίωτος από τον αυτοµορφισµό φ Στο δεύτερο παράδειγµα, µόνον το σώµα των ρητών παραµένει αναλλοίωτο και από τους δύο αυτοµορφισµούς φ, φ 7) Ως γνωστόν, (βλέπε Γραµµικές απεικονίσεις, Θεώρηµα ), µία γραµµική απεικόνισις ορίζεται πλήρως από τις εικόνες των στοιχείων της βάσεως ενός γραµµικού χώρου Εδώ, η επέκτασις F(, ) είναι γραµµικός χώρος επί του σώµατος F, και ένας αυτοµορφισµός φ : A A όπου A = {, } επεκτεινόµενος επί της επεκτάσεως F(, K, ) θέτοντας x F, x, φ(x) x =, είναι γραµµική απεικόνιση φ : F(, ) F(,, ) K Παρατήρηση Το σύνολο K φ { L φ() = } =, είναι σώµα Το σώµα αυτό, καλείται σταθερό σώµα (fxed feld) του αυτοµορφισµού φ Αν G σύνολο αυτοµορφισµών του L, η τοµή K = I K φ, καλείται σταθερό σώµα του F φ Στο παράδειγµα το σταθερό σώµα του G( ( ) / ) παράδειγµα, το σταθερό σώµα του ( ( ) / ) είναι το ( ), ενώ, στο G είναι το Αν Κ το σταθερό σώµα της οµάδος G (L / F), ισχύει τότε, φανερά, ότι L K F Θεώρηµα Έστω η επέκταση L = F() του σώµατος F, αλγεβρικός αριθµός επί του F, και =, ρίζες του f (x) = c0 + cx + K + cx Τότε, φ G(L / F), ισχύει ότι φ () = Και αντίστροφα, L, υπάρχει µοναδικός αυτοµορφισµός φ G(L / F), τέτοιος ώστε φ( ) = (Βλέπε και προηγούµενη παρατήρηση 7) Απόδειξη Η παρατήρηση 4) για x = και = φ( ) αποδεικνύει το πρώτο µέρος του θεωρήµατος Για το αντίστροφο: Το θεώρηµα, µας επιτρέπει να γράφουµε τον τυχόντα b L στην µορφή b = r(c) όπου r(x) µε deg r(x) Οι ισότητες φ (b) = φ(r(c)) = r(φ(c)) προσδιορίζουν µονοσήµαντα τον φ G(L / F) Υπάρχει συνεπώς το πολύ ένας αυτοµορφισµός φ, τέτοιος ώστε φ () = Για να κατασκευάσουµε αυτόν τον αυτοµορφισµό, εργαζόµαστε ως εξής: b L, γράφουµε την έκφρασή του b = r(c) για το κατάλληλο πολυώνυµο r(x), και µετά ορίζουµε την φ (b) = r(c) Ο φ, έτσι όπως ορίσθηκε, απεικονίζει τα στοιχεία του F στον εαυτό τους, και την ρίζα του r, σε ρίζα του r ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας υπολογίσουµε την οµάδα Glos του σώµατος διασπάσεως του πολυωνύµου f (x) = x [x] Λόγω της προηγούµενης προτάσεως, ο οιοσδήποτε αυτοµορφισµός φ της οµάδος Glos G(L / ) προσδιορίζεται από τις εικόνες των στοιχείων της βάσης του L Εξ άλλου, επειδή η εικόνα µιάς ρίζας είναι και αυτή ρίζα, έχουµε τις επιλογές: φ =, είτε φ( ) = ω, είτε φ ( ) = ω ( ) είτε φ (ω) = ω, είτε φ (ω) = ω
Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).
Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε
Διαβάστε περισσότεραΟι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
Διαβάστε περισσότεραΣτο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.
Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
Διαβάστε περισσότεραΤελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες
Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραf(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.
Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 18 Μαΐου 2015.
Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.
Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΔώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Διαβάστε περισσότεραΤο Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING
Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα
Διαβάστε περισσότερα= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο
Διαβάστε περισσότεραa b b < a > < b > < a >.
Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι
Διαβάστε περισσότεραG 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.
Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7
Διαβάστε περισσότεραιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r
ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραirr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2,
Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 13 Δεκεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 3 Μεταθέσεις και ομάδες Galois 41 3.1 Οι ρίζες
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ιστορικό των µιγαδικών αριθµών Φαίνεται ότι, οι µιγαδικοί αριθµοί εισήχθησαν στα Μαθηµατικά, από τον Jo Wallis (673) Όµως, πολύ πριν απ αυτόν, το πρόβληµα του υπολογισµού τετραγωνικής
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.
Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραs G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.
Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων
Διαβάστε περισσότεραΑπλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες
Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )
Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις
202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους
Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότερα1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή
KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότερα1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:
13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότερα