ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

2 ΠΡΟΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Απόκριση συχνότητας γραμμικών συστημάτων Διαγράμματα Bode Τυπικές μορφές διαγραμμάτων συναρτήσεων μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογές

3 3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ Γραφικές μέθοδοι ανάλυσης γραμμικών ΣΑΕ. Η μέθοδος του γεωμετρικού τόπου ριζών. Η αναπαράσταση συστημάτων μέσω των διαγραμμάτων Bode 3. Τα διαγράμματα Nyquist 4. Οι χάρτες Nichols Οι 3 τελευταίες μέθοδοι αποτελούν τεχνικές που λαμβάνουν χώρα στο πεδίο συχνότητας

4 4 x AΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ( t) sin t y ss ( t) ; Ορισμός: Απόκριση συχνότητας είναι η απόκριση ενός συστήματος στην μόνιμη κατάσταση όταν αυτό διεγερθεί ερθεί με ημιτονοειδή οε είσοδο. Στην ανάλυση που ακολουθεί θεωρούμε μόνο γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα. Εξετάζουμε την ημιτονοειδή είσοδο διότι με το θεώρημα Fourier μπορούμε να αναλύσουμε οποιαδήποτε είσοδο σε άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων. Θεώρημα απόκρισης συχνότητας: Τα χαρακτηριστικά της απόκρισης συχνότητας συστήματος μπορούν να εξαχθούν απ ευθείας από την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος αντικαθιστώντας την μεταβλητή μετασχ/σμου Laplace (s) με την jω (όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα σε rad/sec), ) δηλαδή δή μπορούν να εξαχθούν από την συνάρτηση (jω).

5 5 x AΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Με βάση το θεώρημα απόκρισης ( t) sin t y ss ( t) ; συχνότητας, η έξοδος του ευσταθούς συστήματος σε μόνιμη κατάσταση θα είναι της μορφής: y ss ( t ) Y sin t / X Im με j Y Y X ( j), arg j tan Re j όπου φ η διαφορά φάσης εξόδου εισόδου Άρα η έξοδος είναι επίσης ημιτονοειδής και τα Y, φ είναι συναρτήσεις του ω. Ό,τι αφορά την έξοδο εξαρτάται από την (jω) άν ξέρω την είσοδο. x y ss time Έτσι η (jω) είναι μια πλήρης περιγραφή του συστήματος εναλλακτικές περιγραφές: διαφορική εξίσωση, συνάρτηση βάρους και συνάρτηση μεταφοράς (s). st s j jt Ισχύει: s g t e dt g t j g t e dt f g t 0 0

6 6 AΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση (jω) συνεπώς είναι ο μετασχηματισμός Laplace του j s συστήματος εκτιμώμενος πάνω στον s j φανταστικό α άξονα s=jω του πεδίου s. Η συνάρτηση (jω) καλείται συνάρτηση απόκρισης συχνότητας του συστήματος και είναι μια μιγαδική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής ω, έχει δηλαδή πεδίο ορισμού τον πραγματικό άξονα και πεδίο τιμών το μιγαδικό επίπεδο C. Για κάθε ω, η (jω) είναι μιγαδικός αριθμός με μέτρο ( j) και όρισμα φ. j j je Re j j Im j Αφού η (jω) είναι μιγαδική συνάρτηση μπορεί να παρασταθεί σε διανυσματική μορφή κατά τον παραπάνω τύπο σε πολικό διάγραμμα ήδιάγραμμαnyquist Nyquist.

7 7 ΠΟΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Η γραφική παράσταση της (jω) στο μιγαδικό επίπεδο (jω) όταν η κυκλική συχνότητα ω μεταβάλλεται στο διάστημα [0,+ ) ονομάζεται πολικό διάγραμμα της (s). Η εικόνα όλου του μιγαδικού άξονα jω, ω (,+ ) μέσω της (jω) ονομάζεται διάγραμμα Nyquist της (s). Πολικό διάγραμμα της s s 0 Re ( j ) ιάγραμμα Nyquist της Im ( j) s s Im ( j) 0 Re ( j)

8 8 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ BODE ΟΡΙΣΜΟΣ j j j e Εναλλακτικά η συνάρτηση απόκρισης 0 συχνότητας (jω) μπορεί να παρασταθεί με διάγραμμα Bode. Αυτό αποτελείται από ένα γράφημα του 0. μέτρου vs. ω σε λογαριθμική κλίμακα κι ένα γράφημα του ορίσματος ή διαφοράς φάσης φ vs. ω σε ημιλογαριθμική κλίμακα. Το μέτρο 0 μπορεί να εκφραστεί και σε -90 μονάδες decibel(dβ) που ορίζονται ως j 0log j -80 db 0 Συνεπώς για j j j j -70 / 3 έχουμε: db db 3 db 3 db

9 9 AΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Απόκριση συχνότητας συστήματος ης τάξης Η συνάρτηση απόκρισης συχνότητας (jω) του συστήματος θα είναι: j b j b j b b j Re j Im j b s b: στατικό κέρδος, τ: χρονική σταθερά Μέτρο Όρισμα ( b b j) 0 Im j b tan tan tan 0 Re j b Re j Im j ιάγραμμα μέτρου ιάγραμμα ορίσματος

10 0 AΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Πληροφορία στα διαγράμματα Bode Από το παρακάτω διάγραμμα φαίνεται ότι αν διεγείρουμε με μικρό ω, τότε παίρνουμε j 0 db και φ=0, που σημαίνει καμμία μεταβολή στο πλάτος και την φάση της απόκρισης. Ενώ άν διεγείρουμε με μεγάλο ω, παίρνουμε j 0 db και φ0, που σημαίνει μικρότερο πλάτος και αλλαγή φάσης. Έτσι το σύστημα δεν αποκρίνεται ή αποκρίνεται πολύ λίγο στις υψηλές συχνότητες (τις φιλτράρει) ενώ αποκρίνεται α στις χαμηλές. Έα Ένα τέτοιο έοοσύστημα αλέεα λέγεται ότι συμπεριφέρεται ερφέρεα σαν βαθυπερατό φίλτρο (low pass filter). Τιμή του j db αρνητική σημαίνει μικρότερη ρη απόκριση και τιμή του μέτρου ίση με 0 db σημαίνει πτώση του πλάτους της απόκρισης κατά 0 φορές: Υ=0. Χ. Για μια ανάρτηση θέλουμε οι ταλαντώσεις του οδοστρώματος να μην περνούν στο σασί. Πρέπει να βρούμε για ποιά περιοχή συχνοτήτων της διέγερσης, το μέτρο γινεται αρνητικό, ώστε να μειώνεται η έξοδος. ά ιάγραμμα μέτρου

11 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΊΩΣΗ Τι κερδίζουμε με το να δουλεύουμε με απόκριση συχνότητας ; Η συνάρτηση ρη ηαπόκρισης συχνότητας (jω) ενός ςγραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος είναι μια ποσότητα ισοδύναμη με την συνάρτηση μεταφοράς (s). Γι αυτό η απόκριση συχνότητας περιγράφει το σύστημα πλήρως, που σημαίνει ότι η γνώση της συνάρτησης j 0, είναι μια αρκετή αναπαράσταση του συστήματος. Συνεπώς υπάρχει μια έμμεση σχέση μεταξύ απόκρισης συχνότητας και μεταβατικής απόκρισης συστήματος (για διάφορες διεγέρσεις). Γι αυτό οι προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης στο σχεδιασμό συστημάτων αντικαθίστανται από ισοδύναμες προδιαγραφές στην απόκριση συχνότητας. Οι τεχνικές απόκρισης συχνότητας πλεονεκτούν και χρησιμοποιούνται γιατι μπορούν να βρεθούν πειραματικά και δίνουν πληροφορία για την ευστάθεια.

12 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΑΡ.ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Μέτρο και όρισμα βασικών συναρτήσεων μεταφοράς

13 3 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Συνάρτηση ρη ηκέρδους Κ Διαγράμματα Σε πολική μορφή: j Έτσι το μέτρο: K e K K e και το όρισμα: j0 j, K 0, K 0 j K j 0log K j db 0, K 0, K 0 db 0, K 0, K

14 4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Ολοκληρωτής Διαγράμματα Αντιστοιχεί σε πόλο στην αρχή: s j j s j e Έτσι το μέτρο: j j 0log 0log db και το όρισμα: Βλέπουμε ότι ο ολοκληρωτής αφήνει να περνούν οι χαμηλές συχνότητες ενώ κόβει τις υψηλές (low pass). κλίση: -0 db/sec περνάει τα 0dBστα rad/sec

15 5 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Πολλαπλός ολοκληρωτής Διαγράμματα Αντιστοιχεί σε πολλαπλό πόλο: n j s j e e n n n s j Έτσι το μέτρο: και το όρισμα: 0log 0 n log n j j db n jn n= κλίση: -40 db/sec περνάει τα 0 db στα rad/sec Βλέπουμε ότι ο πολλαπλός λό ολοκληρωτής λ αφήνει να περνούν οι χαμηλές συχνότητες ενώ κόβει πιό έντονα τις υψηλές (low pass). n= όρισμα =-80 0

16 6 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Διαφοριστής Διαγράμματα Αντιστοιχεί σε μηδενικό στην αρχή: j s s j j e κλίση: 0 db/sec Έτσι το μέτρο: j j 0log db και το όρισμα: Όταν μελετούμε μια συνάρτηση αντίστροφη μιας άλλης (π.χ. ) s s το δά διάγραμμα Bode προκύπτει από το πολλαπλασιασμό της αντίστροφης με. Βλέπουμε ότι η παραγώγιση ενισχύει τις υψηλές και κόβει τις χαμηλές συχνότητες (high pass). Τα φυσικά συστήματα είναι low pass. περνάει τα 0 db στα rad/sec