{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "{ } { ( ) } ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ"

Λέων Ευταξίας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελ. 5 Α. α. ψ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ β. Αν μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Ως αράδειγμα αναφέρουμε τη συνάρτηση με τύο f = η οοία είναι συνεχής στο = αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Α. Σχολικό Βιβλίο Σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. { } { } Dfg= D g g() Df = και > = και >

2 + + + ( ) Άρα D = (,) και fog fog = f( g ) = ln Β. H h είναι αραγωγίσιμη στο (, ) ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων με αράγωγο h = ln ( ln ln( ) ) = = + > για κάθε (,) Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,) οότε είναι και - εομένως η h αντιστρέφεται. Εειδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,) έχουμε ότι Άρα: h : R (,) Για τον τύο της h έχουμε : () = = ( + ) = R h, lim h, lim h, + = h = ln + > = Άρα f ( ) = εομένως + = + = + f =, + Β. Για κάθε R έχουμε: ( + ) + φ =

3 Εειδή ( + ) φ = φ = + + ϕ >, για κάθε R, ροκύτει ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα η φ δεν αρουσιάζει ακρότατα. ( + ) + + ϕ = ( + ) + ϕ = ( + ) ( + ) ϕ = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ϕ = ϕ = = = = = ϕ < < > > ϕ > > < < + φ + φ( ) Σ.Κ Η φ είναι κυρτή στο (,] Η φ είναι κοίλη στο [,+ )

4 Η φ αρουσιάζει σημείο καμής στο ϕ = = το Β. Είναι: lim ϕ = lim = = + + Άρα η ευθεία = είναι οριζόντια ασύμτωτη της C ϕ στο Είναι: + ( ) ( + ) + lim ϕ = lim = lim = lim = lim = Άρα η ευθεία = είναι οριζόντια ασύμτωτη της C ϕ στο + Κατασκευάζουμε τον ίνακα μεταβολών + φ + φ + + φ( ) Σ.Κ

5 ΘΕΜΑ Γ ( ) Γ. Η εξίσωση της εφατομένης στο,f είναι ( ε) : f( ) = f ( )( ) +ηµ =συν ( ) Εειδή το σημείο, ανήκει στην εφατομένη (ε) ισχύει +ηµ =συν +ηµ +συν = Θέτουμε g = +ηµ +συν, [, ] Παρατηρούμε ότι g = και g = Η g είναι αραγωγίσιμη στο (,) με αράγωγο: g =συνηµ συν g =ηµ g = ηµ = ηµ = ή = = = = Είναι ή ή 5

6 g' + Είναι:, < οότε Ο.Ε g = + < g < g g < < <, οότε g ( ) < g ( ) g ( ) < Άρα η = και = είναι οι μοναδικές ρίζες της g και οι ζητούμενες εφατόμενες είναι ( ε ) = και ( ε ) : : = Γ. Είναι: E = ηµ + d+ ηµ + d Έχουμεηµ + για κάθε, και ηµ + για κάθε, οότε: E = ηµ + d+ ηµ + d = = συν + + συν + + = = = 8 8 Εειδή ηµ για κάθε [, ] Εομένως:, έχουμε: [ ] E = ηµ d = ηµ d = συν = + = E = = g E 8 6

7 ηµ + Γ. lim ηµ + Εειδή lim( ηµ + ) = και ηµ +> για κάθε, lim =+. Είσης lim( ηµ + ) => ηµ + ηµ + Άρα: lim =+ ηµ + είναι Γ. Εειδή η f είναι κυρτή στο [, ] η C f εφατομένη βρίσκεται άνω αό την = με την ισότητα να ισχύει μόνο στο σημείο εαφής =. Άρα f για κάθε [,] [, ] f, οότε:, για κάθε [,] Εειδή η ισότητα ισχύει μόνο για = έχουμε: f d > d = [ < ln ] = ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στα διαστήματα (,) και ράξεων συνεχών συναρτήσεων. Μελέτη της συνεχής στο = lim f = lim = lim f = lim ηµ = + + Αφού lim f = lim f = έχουμε + lim f = Είσης f = ηµ = άρα ισχύει lim f f στο = Ισχύουν lim f = f( ) και lim f ( ) f [, ] + Είναι: f ( ), [,) = ηµ +συν,, ( ] Μελέτη αράγωγου στο = Για > είναι:, ως αοτέλεσμα = οότε η f είναι συνεχής =, άρα η f είναι συνεχής στο 7

8 Για < είναι: f f ηµ ηµ = = f f lim = + = = = f f ( ) f f lim = Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο = = ηµ +συν, οότε: Για κάθε (, ] είναι f ( ) f = ηµ +συν = ηµ +συν = ηµ =συν ηµ = εϕ = = συν * Εομένως = και = είναι τα κρίσιμα σημεία της f. Δ. Το ρόσημο της f η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αρακάτω ίνακα - ( ) ( + ) ημ συν f f( ) T.M. Τ.Ε Τ.Μ. T.E. 8

9 άρα f γνησίως φθίνουσα στο [ ] γνησίως φθίνουσα στο,,, f γνησίως αύξουσα στο, και f Η f αρουσιάζει στο ελάχιστο το f = τοικό ελάχιστο το = τοικό μέγιστο το =, στο = τοικό μέγιστο το f = Στο A [,] οότε f( A ) = f( ),f( ) = [,] f =, στο = τοικό f = = η f είναι συνεχής και η f εναι ί γνησως ί ϕθνουσα ί στο A, και στο Στο A =, η f είναι συνεχής και η f εναι ί γνησως ί ϕθνουσα ί στο A, οότε f ( A) = f ( ),f =, Στο A =, και η f είναι συνεχής και η f εναι ί γνησως ί αύξουσα στο A, οότε f ( A) = f( ),f =, f, = f A f A f A =, Άρα ([ ]) ( ) ( ) 5 Δ. Είναι = = ηµ Για κάθε Για Άρα E f g d d R ισχύει: έχουμε 5 5 ηµ ηµ ηµ ηµ, για κάθε [, ] 5 5 Άρα E= ηµ d = ηµ d+ d Υολογισμός ολοκληρώματος I= ηµ d 9

10 I= ηµ d = ηµ d = ηµ συν d = = ηµ d d συν = συν + ηµ = d ( ) I I = συνσυν ηµ = = + + Άρα: I= + I I= + I= Άρα: E= ηµ d+ d = + = = = Δ. Είναι: 6 f = 8 6f = 8 6f 8 = () Εειδή η f αρουσιάζει στο = ολικό μέγιστο το κάθε [, ] ισχύει: f f 6f 8 f f = 6f 8 για Το ίσο ισχύει μόνο για = Είσης ( ) για κάθε R Εομένως για να ισχύει η σχέση () ρέει: = και 6f 8 =, οότε: = και =

11 = και = άρα = είναι η λύση της εξίσωσης. Κλάδος Μαθηματικών Σκύφας Αθανάσιος Γιαννάκος Παναγιώτης Ανδριώτης Δημήτρης Σαρρή Ελένη Τάτσης Πέτρος Σκύφα Άρτεμις Αμαξόουλος Πάρης Σκύφα Αμαρυλλίς ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΑΘΗΝΑ: ΣΟΛΩΝΟΣ ΤΗΛ ΠΑΓΚΡΑΤΙ: ΑΓ. ΦΑΝΟΥΡΙΟΥ ΤΗΛ ΒΥΡΩΝΑΣ: ΝΙΚΗΦΟΡΙΔΗ ΤΗΛ ΠΕΙΡΑΙΑΣ: ΗΡ.ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΤΗΛ mail: info@ spoudi.gr /spoudibronas@gmail.com

Σχετικά έγγραφα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ