Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Transcript

1 Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ

2 Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι, αν και µόνο αν α = γ και β = δ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Εικόνα του αθροίσµατος και της διαφοράς µιγαδικών. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος ή της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών ισούται µε το άθροισµα ή τη διαφορά των διανυσµατικών ακτινών τους. Αόδειξη y M(z + z) M M(z ) M Έστω οι µιγαδικοί z = α + βi, z = γ + δi µε εικόνες τα σηµεία Μ( z ) (α,β) Μ O M(z ) M αντίστοιχα. και Μ( z ) (γ,δ) Μ M( z ) M(z z) Μ Το άθροισµά τους, ισούται µε z + z = (α + βi ) + (γ + δi ) = ( α + γ) + (β+ δ)i Οότε, ο z ηλαδή ΟΜ z + αριστάνεται µε το σηµείο Μ( z + z ) ( α + γ, β δ) = ΟΜ + ΟΜ Μ + Η διαφορά τους, ισούται µε z z = (α + βi ) (γ + δi ) = ( α γ) + (β δ)i Οότε ο z Μ Μ z z α γ, β δ ηλαδή Ο Μ z, αριστάνεται µε το σηµείο ( ) ( ) = ΟΜ ΟΜ

3 Παρουσίαση υνάµεις του i. Να υολογίσετε τις φυσικές δυνάµεις ν i, του i Αόδειξη Εειδή i 4 4ρ =, κάθε δύναµη της µορφής i, ρ Ν, ισούται µε i = (i ) = Γενικότερα: ν 4ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i = i = i i = (i ) i = i = i = i,,,, αν αν αν αν υ = Είναι γνωστό, µε βάση την Ευκλείδεια διαίρεση ότι για κάθε φυσικό ν, είναι ν = 4ρ + υ µε υ =,,, 4ρ υ = υ =, ν : φυσικός αριθµός. υ = 4 ρ ν 4 υ ρ Συζυγείς µιγαδικοί.4 Να αναφέρετε, τι ονοµάζουµε συζυγή αριθµό του µιγαδικού z = α + βi Αάντηση Ονοµάζεται ο αριθµός, ου συµβολίζεται µε _ z και ισούται µε _ z = α + βi = α βi Άθροισµα συζυγών.5 Για τους µιγαδικούς z και z, είναι z + z = z + z Αόδειξη Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z = α + βi και z = γ + δi Είναι z + z = ( α + βi) + (γ + δi) _ = = ( α + γ) + (β + δ)i ( α + γ) (β + δ)i = z + z Άλλες ιδιότητες των συζυγών z z = z z z z = z z : z z : z z =, µε z z + + z zν = z + z +... z ν z z... zν = z z... zν ν ν z = z, * Ν ν Προκύτει αλά, αν ριν θέσουµε z = z =... = z z ν =

4 Παρουσίαση 4 Είλυση δευτεροβάθµιας εξίσωσης µε ραγµατικούς συντελεστές.6 Να λύσετε την εξίσωση αz + βz + γ=, µε α,β, γ R και α Αόδειξη Εργαζόµενοι όως στην Α Λυκείου στους ραγµατικούς, η εξίσωση µε τη µέθοδο συµλήρωσης τετραγώνων β γ γίνεται: z + z + = α α β γ ή z + z + = α α β β β γ ή z + z + + = α α α α ή z + β α β = 4αγ 4α 4α Θεωρήσαµε την διακρίνουσα = β 4αγ, της εξίσωσης. ιακρίνουµε τις εξής εριτώσεις: >, τότε η εξίσωση έχει δύο ραγµατικές λύσεις, τις z, β α ± = =, τότε η εξίσωση έχει µια διλή ραγµατική λύση, την z = β α <, τότε εειδή 4α ( ) ( ) = 4α i = (α) i = α β i Η εξίσωση γράφεται z + = και έχει λύσεις τις α α οι οοίες είναι και συζυγείς. z, β ± i = α Τύοι Vieta Έστω η εξίσωση αz + βz + γ=, µε α,β, γ R, α και ρίζες τις z, z Ισχύουν οι σχέσεις β + z = και α z z z = γ α

5 Παρουσίαση 5 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Μέτρο µιγαδικού.7 Να αναφέρετε, τι ονοµάζουµε σαν µέτρο του µιγαδικού z = + yi,, y R Αάντηση Έστω M (, y) η εικόνα του µιγαδικού z = + yi Λέµε µέτρο του µιγαδικού αριθµού z την αόσταση της εικόνας του M (z), αό την αρχή Ο (,) και συµβολίζουµε µε z ηλαδή, z = (ΟΜ) = OM = + y Ιδιότητες µέτρου.8 Έστω z = α + βi, = α β i, = α β i µιγαδικοί αριθµοί. z + z + Είναι z = z = z z = z z z z = z z Αόδειξη Να σηµειώσουµε ότι: z = α βi και z = α βi z = α + β z = ( α) + ( β) = α + β, z = (α) + ( β) = α + β z z z α + β = (α + βi) (α βi) = α + β = α + β Προφανές. z z = z z z z = z z _ z ( z z ) (z z ) = (z z) (z z) z z z z = z z z Προφανές. Είναι z : z = z : z, µε z Είσης γενικότερα, είναι και z z... z = z z... z, µε ν ν * ν Ν Πορίσµατα στα µέτρα.9 z z z + z z + z ( M ) = z z όου Μ Μ( ) και Μ Μ( ) M z z ν z = z Η εξίσωση z zο =ρ>, δίνει τον κύκλο κέντρου Κ(z o ) και ακτίνας ρ Η εξίσωση z z = zz, δίνει τη µεσοκάθετη του Μ Μ ν

6 Παρουσίαση 6 Α ξ ι ο λ ό γ η σ η. Ο αριθµός + i δεν είναι φανταστικός.. Ο αριθµός i δεν είναι µιγαδικός.. Ο αριθµός i είναι µικρότερος αό τον αριθµό i, αφού <.4 Ο αριθµός i είναι θετικός φανταστικός..5 Ο αριθµός είναι θετικός µιγαδικός αριθµός..6 Ο αριθµός i έχει εικόνα τo σηµείο M (,).7 Ο αριθµός δεν είναι φανταστικός..8 Ο αριθµός i δεν είναι ραγµατικός..9 Κάθε ραγµατικός αριθµός δεν είναι µιγαδικός.. Είναι + i = ( + i) = + i + i = + i = i. Είναι λi, για κάθε τιµή της ραγµατικής αραµέτρου λ. Είναι α + βi µε α,β R, µόνο αν α και β. _ =.4 _ i = i.5 Το φανταστικό µέρος του z = + i, είναι το Im( z) = i.6 Για τον αριθµό.7 Για τον αριθµό z = α + βi µε,β R z = α + βi µε,β R α, είναι ( Re(z)i) α Im = Re + = α, είναι ( Ιm(z) Re(z) i) Im(z).8 Οι συζυγείς των ραγµατικών, είναι οι ίδιοι οι ραγµατικοί αριθµοί κi = κi, αν κ R + κi = κi, αν κ C Είναι (i ( i) i ( i ) 4 ) = (i) = = = = = 5

7 Παρουσίαση 7. Για δύο µιγαδικούς z, z ισχύει z z = z = ή z =. Για δύο µιγαδικούς z, z ισχύει z z = z = z ή z = z.4 Η εικόνα του z = ηµθ + συνθi, κινείται στον κύκλο + y =.5 Αν η εικόνα του µιγαδικού z κινείται στην ευθεία =, τότε z I.6 Αν z + = α β i, z = α + βi, είναι Re( z + z ) = Re(z) + Re(z ).7 Αν z I, τότε και z I.8 Αν z,z C και z + iz =, τότε z = z = 5 ν.9 Αν i = i ν :φυσικός, υοχρεωτικά θα είναι ν = 5. Αν για τους. Αν για τους z, w C, είναι z + w =, τότε z = w = z, w C είναι z zwi w =, τότε z = iw. Αν z = w wi, µε w C, τότε είναι z = w+ w i. Η εξίσωση z + αz = µε α R, έχει άνισες ραγµατικές ρίζες..4 Η εξίσωση z + αz + α =, µε * α R, έχει δύο µη ραγµατικές ρίζες..5 Η εξίσωση z αz + =, µε α R στο C, έχει δύο ρίζες αντίστροφες..6 Οι ρίζες της εξίσωσης z + αz + =, µε < α < στο είεδο, έχουν εικόνες σηµεία συµµετρικά ως ρος τον άξονα.7 Αν για το µιγαδικό z είναι z =, τότε θα είναι και z = 6.8 Εειδή i = ( i ) = ( ) = ( ) =.9 Αν ο τότε και ο αριθµός 6 6 =, στο C, είναι = z = + i είναι ρίζα της εξίσωσης z z + λ =, µε z C, λ R z = i, είναι ρίζα της.

8 Παρουσίαση 8.4 Αν ο z = i + είναι ρίζα της εξίσωσης z (z ) = λ, µε λ R τότε και ο αριθµός = i, είναι είσης µία ρίζα της. z.4 Έστω αv + βv + γ =, αw + βw + γ =, µε α,β, γ R και β < 4αγ Εειδή η εξίσωση αz + βz + γ = έχει σαν ρίζες τους v, w, είναι v = w.4 =.4 i =.44 i = = =.45 i = i =.46 + i = + i = + =.47 z i = z i = z.48 Αν z =, τότε θα είναι z = ή z =.49 z = z = z.5 Αν z = z, τότε η εικόνα M (z) ανήκει στον ηµιάξονα O.5 Αν _ z = z z, τότε θα είναι z = ή z =.5 Για κάθε ραγµατικό αριθµό z, είναι άντοτε z + i = z i.5 Ο µιγαδικός είναι Μηδενικός, αν και µόνο αν το µέτρο του είναι Μηδέν..54 Είναι α + βi = (α) + (βi) = α β, µε α,β R.55 Αν z = 5 ηµ + συν i, θα είναι z = Αν για το µιγαδικό z είναι z =, τότε θα είναι και z =

9 Παρουσίαση 9.57 Οι λύσεις της εξίσωσης z =, είναι µιγαδικοί των οοίων οι εικόνες στο µιγαδικό είεδο είναι σηµεία του κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ρ =.58 Οι λύσεις της εξίσωσης z =, είναι µιγαδικοί των οοίων οι εικόνες στο µιγαδικό είεδο είναι σηµεία του κύκλου κέντρου K(, ) και ακτίνας ρ =.59 Οι λύσεις της εξίσωσης z = z i, είναι µιγαδικοί αριθµοί των οοίων οι εικόνες στο µιγαδικό είεδο, είναι σηµεία της ευθείας ( δ) : y =.6 Η εξίσωση z z + = µε z C, είναι αδύνατη..6 Αν z =, οι εικόνες των, z,, z,iz, είναι οµοκυκλικά σηµεία. z.6 Αν ένας µιγαδικός είναι ραγµατικός τότε το µέτρο του θα ταυτίζεται και µε την αόλυτη τιµή του..6 Το µέτρο της διανυσµατικής ακτίνας του αθροίσµατος δύο µιγαδικών ισούται µε το άθροισµα των µέτρων των διανυσµατικών ακτινών τους..64 Η εξίσωση z 4 = z i, στο σύνολο C, είναι αδύνατη..65 Αό z < είναι και < z <.66 Οι λύσεις της εξίσωσης z + + z =, είναι µιγαδικοί αριθµοί y των οοίων οι εικόνες στο είεδο είναι σηµεία της έλλειψης (e) : + = Να βρείτε οιες αό τις σχέσεις Α: z z = z z Β: z z = z z Γ: z iz iz = µε z z z : z z = z είναι ορθές.

10 Παρουσίαση.68 Αν z και z, η µεγαλύτερη τιµή του µέτρου z + z αοκλείεται να είναι ίση µε Α: Β: Γ: : 4.69 Βρείτε οιες αό τις ισότητες Α: z z = z Β: z z I Γ: z z = (Re(z)) + (Im(z)) : z z = Im(z) Ε: z + z = z + z Ζ: z + z = Re(z), δεν ισχύει άντα..7 Είναι i + i =.7 Για κάθε φανταστικό αριθµό z ισχύει z = Im(z).7 Αν για τον z C είναι R e(z) >, αό z + z = Re(z) >, είναι > z _ z _.7 Για δύο µιγαδικούς z, z ισχύει z z z και z.74 Αν για τους µιγαδικούς z, w είναι z + w =, τότε είναι z = w =.75 Αν για τους µιγαδικούς z και z είναι z = z, τότε z z =.76 Αν z, w, z, w C, µε z + iz = w + iw, τότε z = w και z = w.77 Αν * C z και z = z, τότε θα είναι z =.78 Για τους µιγαδικούς z, z είναι άντοτε z z z + z.79 Για τους µιγαδικούς z, z είναι άντοτε z z z + z.8 Αν z C και z = z +, τότε z I

11 Παρουσίαση Αξιολόγηση σε θέµ ατα Πανελληνίων εξετάσεων. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z, z, αοδείξτε ότι z z = z z. Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε z = z = z. Να αοδείξετε ότι η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών, ισούται µε το άθροισµα των διανυσµατικών ακτινών τους..4 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z = z.5 Να αοδείξετε ότι για κάθε µιγαδικό z και φυσικό ν είναι z = z.6 Αν z, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει z + z = z + z.7 Το µέτρο της διαφοράς των διανυσµατικών ακτίνων δύο µιγαδικών είναι µικρότερο αό το άθροισµα των µέτρων των διανυσµατικών ακτινών τους. _ =.8 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z + z Im(z).9 Για τους µιγαδικούς z, z είναι z z z + z z z. Για τους µιγαδικούς z, z είναι z + z = z + + z. Για τους µιγαδικούς z, z είναι z z = z z. Για τους µιγαδικούς z, z είναι z z > z z ν ν. z = z z, όου ο z = α + βi είναι µιγαδικός αριθµός..4 Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών, είναι ίσο µε την αόσταση των εικόνων τους..5 Οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών ως ρος τον άξονα z, z, είναι συµµετρικά σηµεία.6 Αν z, z είναι µιγαδικοί, τότε ισχύει z z z + z.7 Αν α,β ραγµατικοί αριθµοί, τότε α + βi = α = ή β =.8 Για τους µιγαδικούς z, z είναι z + z z + z και z z z z.9 Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε z =

12 Παρουσίαση Θ έ µ α τ α. Έστω ο µιγαδικός αριθµός i z = i Α) Να βρείτε την τιµή του αριθµού Re(z) + 4 Im(z) Β) Να αοδείξετε ότι z = Γ) Να αοδείξετε ότι z = i z ) Να αοδείξετε ότι z Ι Ε) Να αοδείξετε ότι z = i. Έστω οι µη µηδενικοί µιγαδικοί z, w, ώστε z zw + w = Α) Να αοδείξετε ότι ο w z δεν είναι ραγµατικός. Β) Να αοδείξετε ότι z = w Γ) Αν τα σηµεία M (w) ανήκουν στον κύκλο (κ) : + y = να αοδείξετε ότι οι εικόνες των M (z) ανήκουν στον κύκλο (c) : + y = 4 z ) Αν Im > και Μ (w) (δ) : y =, να αοδείξετε ότι z I w. Έστω ο αριθµός z = α + βi µε α,β R του οοίου οι εικόνες M (z) κινούνται στον κύκλο (κ) : + y = Έστω και οι αριθµοί w = i z Α) Αοδείξτε ότι τα Μ (w) κινούνται στον ίδιο κύκλο και µάλιστα OM(z) OM(w) Β) Αν z o είναι εκείνος ο z, ώστε το µέτρο z o να είναι το ελάχιστο δυνατό να αοδείξετε ότι w o 4 = 5, όου w o ο αντίστοιχος αριθµός w Γ) Αν (w z) = + i, να βρείτε τους z και w.4 Έστω οι µιγαδικοί z και z, µε z = και z = Α) Να αοδείξετε ότι + = z + z z z Β) Να αοδείξετε η αόσταση των εικόνων των z, z δεν υερβαίνει το Γ) Αν Ιm(z z ) =, = Re(z z ), iii) αοδείξτε ότι z ρ > iii) να βρείτε τον z z z = ρ + 4

13 Παρουσίαση.5 Έστω ο µιγαδικός z = + yi, ώστε z = z i Α) ιαιστώστε ότι οι εικόνες Μ (z) βρίσκονται σε ευθεία, την οοία να βρείτε. Β) Μετά, να βρείτε α αυτούς, εκείνον τον z ου έχει το ελάχιστο µέτρο. Γ) Έστω z o εκείνος ο µιγαδικός αό τους ιο άνω µε εικόνα στον Να υολογίσετε την τιµή της δύναµης z o y y.6 Έστω z = + κi, = κ i, κ R z Α) Να αοδείξετε ότι i) z = i και ii) = i z z Β) Να αοδείξετε ότι ii) z 4 4 z z = ii) Να αοδείξετε ότι ( + κi) + (κ i) = Γ) Αν ο αριθµός z z είναι φανταστικός, ii) να βρείτε τους z και z ii) και τότε να βρείτε τους 6 ν Ν, ώστε z + ( z) + ( z) ( z) = z 6 v.7 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, w, ώστε να είναι zw + = z w Α) Να αοδείξετε ότι z Β) Να εκφράσετε τον w, ως συνάρτηση του z Γ) Αν η εικόνα του w κινείται στον κύκλο κέντρου O (, ) και ακτίνας ρ = να αοδείξετε ότι η εικόνα M(z) του z κινείται στον άξονα y y ) Αν ο µιγαδικός z είναι φανταστικός, να αοδείξετε ότι w =.8 Έστω η εξίσωση (ε) : z συνθ z + =, θ, και z C Α) Να αοδείξετε ότι αυτή έχει δύο ρίζες µη ραγµατικές. Β) Έστω z, z οι ρίζες αυτής, ώστε Im( z ) > Im(z ) < iii) Να αοδείξετε ότι ( z + z z z ) iii) Να αοδείξετε ότι iii) Αν z = z z = 4ηµθσυνθi z i, να ροσδιορίσετε τους µιγαδικούς αριθµούς z, z

14 Παρουσίαση 4 _ z.9 Έστω οι µιγαδικοί z, z, ώστε + z = + i και z z = i Α) Να αοδείξετε ότι z = + i και = i Β) Να αοδείξετε ότι Im(z ) + Im(z ) = Im(z ) + Im(z ) Γ) ii) Να αοδείξετε ότι οι z = ν z, ν z, ii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση z + z, _ * ν Ν είναι ραγµατικοί ή φανταστικοί. ν ν = * ν Ν, έχει µοναδική λύση το 4. Έστω ο µιγαδικός αριθµός z, ώστε z i = Α) iii) Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των z κινούνται σε κύκλο. iii) Να αοδείξετε ότι z iii) Να αοδείξετε ότι 4 z + 4 4i 6 Β) Να αοδείξετε ότι το µέγιστο και το ελάχιστο του z i είναι αντίστοιχα το και το Γ) iii) Να αοδείξετε ότι z 5 iii) Να αοδείξετε ότι ( z 4i)( z + ) 6. Έστω ο αριθµός z = + yi C R και ο µιγαδικός w = z + i z Α) I ii) Αν w =, δείξτε ότι τα M (z) βρίσκονται στην ευθεία y = ii) Αν z =, δείξτε ότι τα M (w) βρίσκονται στην ευθεία y = Β) Iii) Αν w R, δείξτε ότι τα M (z) βρίσκονται σε ευθεία. I ii) Αν w I, δείξτε ότι τα M (z) βρίσκονται σε κύκλο. Γ) Αν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w βρίσκονται στην ευθεία ( ε) : y =, δείξτε ότι Re( z) + Im(z)

15 Παρουσίαση 5. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z = (λ ) + λi, λ R Α) Να αοδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόος των εικόνων των µιγαδικών z είναι η ευθεία ( ε) : y = + 4 Β) Αν ισχύει z + z =, να αοδείξετε ότι Re = z Γ) Αν z = και Im( z), να αοδείξετε ότι λ = _ ( z ) z +. Έστω ο µιγαδικός αριθµός Π(z) =, Re( z) Α) Να αοδείξετε ότι Π = Π(z) _ z _ z+ z Β) Έστω Α και Β δύο σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί, διαφορετικοί αό το Έστω και οι αριθµοί ii) Να αοδείξετε ότι z = ii) Να αοδείξετε ότι τα (, y) z = Α + Βyi,, ώστε να είναι Re Π z = Μ, είναι σηµεία της έλλειψης ( y e) : + = Α Β.4 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί w και z = + yi, µε, y R και z i οι οοίοι ικανοοιούν τις σχέσεις z i + z+ i = και _ w = z i + z i Α) Να αοδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόος των εικόνων των αριθµών z είναι ο κύκλος (κ) : + (y ) = Β) Να αοδείξετε ότι z _ + i = z i Γ) Να αοδείξετε ότι ο w είναι ραγµατικός, µε w ) Να αοδείξετε ότι 4 z + i 4 6 Ε) Να αοδείξετε ότι το µέγιστο µέτρο του z + i, είναι ίσο µε

16 Παρουσίαση 6 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

17 Παρουσίαση 7 Β. Α) Έστω η ορισµένη και αραγωγίσιµη στο (, + ) συνάρτηση f ώστε i) f(), ii) f () = f() f() ln, για κάθε > και iii) f () = Α ) Θα αοδείξουµε ότι f () = Α ) Θα αοδείξουµε ότι f () >, για κάθε > Α ) Θα εξηγήσουµε γιατί η h() = f() f ()( + ) είναι συνεχής στο [,e ] Β) Θα αοδείξουµε ότι υάρχει o (,e ), ώστε η εφατοµένη της C f στο σηµείο της A(, f( )) Γ ) Θα αοδείξουµε ότι ο ο να διέρχεται αό το σηµείο Β(,) ln f () = e, > Γ ) Θα µελετήσουµε τη συνάρτηση f ως ρος την µονοτονία και τα ακρότατα. Γ ) Αν α > e, να αοδείξετε ότι (α + ) α < α α+ ) Θα αοδείξουµε την ισοδυναµία = f () = f() ) Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση = στο διάστηµα (, + ) έχει ακριβώς λύσεις, µία την ροφανή την και µία ακόµα στο διάστηµα (,e) Αάντηση Α ) Αό f () = f() f() ln, για =, είναι f () = f() f()ln ή f () = Α ) Αφού η συνάρτηση f δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής, ως αραγωγίσιµη, θα διατηρεί ρόσηµο. Εειδή f() >, θα είναι f() >, για κάθε > Α ) Η συνάρτηση h() = f() f ()( + ) είναι συνεχής στο [,e ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι συνεχής ως ράξεις συνεχών. αφού αό τη σχέση f () = f() f() ln είναι f () = f()( ln ) Β) Η εφατοµένη ( ε) της f A o, f(o) είναι η ευθεία µε εξίσωση ( ε) : y f( ) = f ( )( ) C στο σηµείο ( ) o ln ή f () = f(), > Θέλουµε αυτή να εαληθεύεται αό τις συντεταγµένες του Β(,) Οότε f( o ) = f (o )( o ) f( o ) = f (o )(+ o ) f( ) f ( )(+ ) o o o o = o

18 Παρουσίαση 8 Έτσι, ααιτούµε να υάρχει o (,e ) ου να είναι λύση της εξίσωσης f( ) f ( )(+ ) o o o = Η συνάρτηση h() = f() f ()( + ) είναι συνεχής στο [,e ] Είσης h() = f() f()(+ ) = = < lne και h(e) = f(e) f (e)(e + ) = f(e) f(e) (e + ) = f(e) > e Οότε f ()f(e) < Εοµένως, ισχύουν οι υοθέσεις του θ. Bolzano και συνεώς θα υάρχει o (,e ), ώστε h( o ) = f( ) f ( )( + ) o o o = ln Γ ) Αό f () = f(), είναι και ln Οότε ln( f()) = + c, > και c R Για = αίρνουµε ln ( f() ) + c ln Άρα ln( f()) = ή f () ln = f() ln = ή ln( ) = c ή c = ln f () = e, για κάθε > ( ln( f()) ) ln = e ln Γ ) Είναι f () = f(), µε f() e + ln f () + ο Ισχύει f () = f() = ln = f o.µ. = e H µονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον αραάνω ίνακα. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, e] και γνησίως φθίνουσα στο [e,+ ) Για = e, αρουσιάζει µέγιστο το f (e) = e e

19 Παρουσίαση 9 Γ ) Αν α > e, είναι α + > α > e, οότε f( α + ) < f(α), αφού η f είναι γν. φθίνουσα. ή ln(α+ ) α+ e < e ln(α) α ή ln(α + ) < α + ln(α) α ή αln(α + ) < (α + )ln(α) ή α ln(α + ) < ln(α) α+ ή τελικά (α + ) α < α α+ ) = ln = ln() ln() ln() ln() ln() = e = e f () = f() Είναι ροφανές ότι η εξίσωση = έχει τις ίδιες ρίζες µε την εξίσωση f () = f() ) Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση = στο διάστηµα (, + ) έχει ακριβώς λύσεις, µία την ροφανή, την, και µία ακόµα στο διάστηµα (,e) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ() = f() f() Η µονοτονία της φ είναι ταυτόσηµη µε τη µονοτονία της f, αφού φ = f Μία λύση της φ είναι ο αριθµός ο =, αφού φ() = = και µάλιστα µοναδική στο [ e, + ), αφού η φ είναι γνησίως φθίνουσα σ αυτό. Στο διάστηµα (,e), η φ έχει ακόµα µία λύση. Πραγµατικά Η φ είναι συνεχής στο [,e], σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων. φ(e) = f(e) f() > αφού e< είναι και f(e)>f(), γιατί η f είναι γνήσια φθίνουσα στο [e,+ ) φ() = f() f() < αφού < είναι και f()<f() αφού ln ln f () < f() e < e Εοµένως φ()φ(e) < ln ln < ln < ln ln < ln 8 < 9 Σύµφωνα µε το Θ.Bolzano, υάρχει (,e) ώστε φ( ) = f( ) = f() ηλαδή, το είναι ρίζα της φ και µάλιστα µοναδική στο διάστηµα (,e) αφού η f είναι γνήσια αύξουσα σ αυτό.

20 Παρουσίαση Γ. Α) Έστω η ορισµένη και στο R συνάρτηση f και η ορισµένη στο διάστηµα συνάρτηση g, µε και f ( g() ) =, για κάθε τιµή του αό το g ( ) = R Αοδείξτε ότι η συνάρτηση g είναι η αντίστροφη f της συνάρτησης f στο dt Β) Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση f () =, µε R + t Β ) Θα µελετήσουµε την f ως ρος τη µονοτονία και την καµυλότητα. Β ) Θα αοδείξουµε ότι η f είναι και εριττή. Β ) Θα αοδείξουµε ότι η h() f( εφ) Β 4 ) Θα βρούµε την αντίστροφη συνάρτηση Β 5 ) Θα αοδείξουµε ότι =, µε, είναι σταθερή. lim f() = και f της συνάρτησης f lim f() = + Β 6 ) Αφού διαιστώσουµε ότι η y = είναι η εφατόµενη της C f στο Ο (,) µετά θα αραστήσουµε τη συνάρτηση f στο καρτεσιανό είεδο. d Γ) Θα βρούµε τα ολοκληρώµατα Γ ) I = και Γ ) I = + d + Αάντηση Α) Έστω η στο R συνάρτηση f και η ορισµένη στο συνάρτηση g Αό f ( g() ) =, για κάθε ισοδύναµα είναι f ( f(g() ) = f () ή ( f o f )( g() ) = f () =Α g g ( ) = R A f = R g= f g() = f () f ( f og() ) = I() = f(r) f ( g() ) = ή g() = f (), f og= I ηλαδή η συνάρτηση g είναι η αντίστροφη της συνάρτησης f στο σύνολο

21 Παρουσίαση dt Β) Έστω η συνάρτηση f () =, R + t Β ) f () = + >, και έτσι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R f () = = και ροφανώς η f στρέφει τα κοίλα άνω στο R + ( + ) και τα κοίλα κάτω στο R + Β ) f( ) = dt = d( t) = dy = dt = f() t ( t) y t θέτουµε: t = y Μετονοµάζουµε: y = t Οότε διαιστώνουµε ότι η f είναι εριττή στο R Θα µορούσαµε να κινηθούµε και µε τον ιο κάτω τρόο. dt Θεωρούµε τη συνάρτηση h () = f( ) + f() = + + t Αυτή είναι αραγωγίσιµη ως ράξεις αραγωγισίµων. dt + t dt dt Οότε h () = = ( ) + = + t + + t + ( ) + ηλαδή, είναι σταθερή στο R Συνεώς dt dt h() h() = + = + t και έτσι είναι f ( ) + f() = ή f( ) = f() + t εφ Β ) h() = f(εφ) = dt, µε =, + t συν h () = (εφ) = = = + εφ ηµ συν συν + ηµ συν + συν Άρα, η συνάρτηση h είναι σταθερή, µε h() h() = dt = + t ηλαδή f(εφ) = ή f (εφ) =, µε

22 Παρουσίαση Β 4 ) Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα, είναι, δηλαδή είναι αντιστρέψιµη. Θέτουµε g () = εφ, µε =, y = εφ Το εδίο τιµών της g () = εφ είναι ροφανώς το R / O / Αό f ( εφ) = ή f ( g() ) = διαιστώνουµε αό το ρώτο ερώτηµα, ότι f () = εφ, Β 5 ) Το εδίο τιµών της f είναι το εδίο ορισµού της και το εδίο ορισµού της f είναι το εδίο τιµών της Η f είναι γνήσια αύξουσα και ροφανώς συνεχής. Το εδίο τιµών της είναι το f(r) = lim + f f f(), lim f() ( A ) Αf = f f f f f f(α) = Α Όµως, το εδίο τιµών f (R) ταυτίζεται µε το εδίο ορισµού της f ηλαδή lim f(), lim f() =, +, άρα lim f() =, lim f() = + Μορούµε να κινηθούµε και µε τον ιο εξής τρόο. Είναι γνωστό ότι lim + εφ = Αό την σύνθεση στα όρια ροκύτει lim f(εφ) = lim f(y) = lim f() + Θέτουµε y y = εφ y Ο c g c f Εειδή f (εφ) = θα είναι και ηλαδή lim + f(εφ) = lim + = lim f() = και ανάλογα διαιστώνουµε ότι lim + f() =

23 Παρουσίαση Β 6 ) Η εφατοµένη της στο σηµείο της Ο(,) C f είναι η ευθεία ( δ) : y f() = f ()( ) y cg ( δ): y = c f ή ( δ) : y = Ο Όως είδαµε και ροηγούµενα δίλα είναι τα διαγράµµατα των f, f Γ ) Ι = = = = d = + dt f() f εφ + t 4 4 Το ιο άνω ολοκλήρωµα µορούµε να το υολογίσουµε και µε τον αρακάτω τρόο. Ι 4 ( ) 4 = d = εφu du = συν u du = du = + + εφ u συν u Θέτουµε = εφu και αν = είναι u = και αν = είναι u = Γ ) Είναι Ι = + d = = d + + d d d = f ( ) + f(), αφού η f είναι εριττή. = f () + = f() = 4 = f()

24 Παρουσίαση 4 ΑΛΥΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Θ. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z και w = z iz + 4, όου z ο συζυγής του z Α) Να αοδείξετε ότι Re( w) = Re(z) Im(z) + 4 και Im( w) = Im(z) Re(z) Β) Αν οι εικόνες του w στο είεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = να αοδείξετε ότι οι εικόνες του z, κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = Γ) Να βρείτε οιος αό τους αραάνω µιγαδικούς z, έχει το ελάχιστο µέτρο. Θ. Έστω η συνάρτηση f() = 4 + 6, Α) Να αοδείξετε ότι η f είναι C f - Β) Αφού διαιστώσετε ότι η f αντιστρέφεται, µετά να βρείτε την Γ) Προσδιορίστε τα κοινά σηµεία των C f, C µε την ( δ) : y = f C f f ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f Θ. Έστω η συνάρτηση f, ώστε e f( ) =, R + e e Α) Να αοδείξετε ότι f() =, µε R e + Β) Να αοδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ροσδιορίσετε την f Γ) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει µοναδική ρίζα το Μηδέν. α ) Να αοδείξετε ότι f ()d =, για κάθε ραγµατική αράµετρο α (, ) Θ.4 Έστω η συνεχής συνάρτηση Α) Να αοδείξετε ότι α = και β = α f() = α + β + ln f() f() f() Β) Να υολογίσετε τα i) lim, ii) lim + Γ) Να αοδείξετε ότι f() d = 6 αν αν < <, όου α, β R αν

25 Παρουσίαση 5 Θ.5 Έστω ο z i z = a + bi, a,b R και η f() = z + Α) Να αναφέρετε αν αυτή είναι συνεχής στα διαστήµατα (, + ) και (,] Υοθέτουµε τώρα ότι αυτή είναι συνεχής στο R αν αν > Β) Να αοδείξετε ότι οι εικόνες των z βρίσκονται σε ευθεία την οοία και να βρείτε. Γ) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim f() + ) Να αοδείξετε ότι υάρχουν µόνο δύο τέτοιοι µιγαδικοί, οι z =, z = + i α + e Θ.6 Έστω η συνάρτηση f() =, για κάθε R και η αράµετρος α R + + e + + Γνωρίζουµε ότι ( e ) f () = e e Α) Να αοδείξετε ότι α = +, για κάθε R Β) Να µελετήσετε την f ως ρος τη µονοτονία. Γ) Για κάθε <, αοδείξτε ότι f (5) + f(7) < f(6) + f(8) Θ.7 Έστω η συνεχής στο R συνάρτηση f, ώστε f() = + µε f(), για κάθε R + f(t + ) dt f(t ) t +, R Α) Να αοδείξετε ότι η f είναι αραγωγίσιµη στο R, µε f ()( f() ) = f() Β) Να αοδείξετε ότι υάρχει c R ώστε c f() = f ( ) Γ) Να αοδείξετε ότι f() = + 9 +, R ) ii) Να αοδείξετε ότι η f είναι κυρτή. ii) Να αοδείξετε ότι Θ.8 Έστω η συνάρτηση + f() Θέλουµε να είναι f( R) = (,] + + +, για κάθε R f (t) dt < f(t) dt, για κάθε R = + 4 m, m > Α) Να αοδείξετε ότι υάρχει τέτοιος m και είναι ο m = 8 Β) Να αοδείξετε ότι η f δεν είναι Γ) Να αοδείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό το διάγραµµα 7 της f, τους άξονες, y y και την ευθεία =, ισούται µε Ε = τ.µ. ln

26 Παρουσίαση 6 5 (λ + λ ) κ + Θ.9 Έστω η συνάρτηση f() =, κ, λ R και Η ευθεία ( δ) : y = είναι λάγια ασύµτωτη της C f στο + Α) Να αοδείξετε ότι κ = και λ = Β) ii) Να αοδείξετε ότι η ( δ) : y = είναι λάγια ασύµτωτη της C f και στο ii) Να αοδείξετε ότι η ( ε) : = είναι κατακόρυφη ασύµτωτη της C f Γ) Να εξετάσετε την f ως ρος τη µονοτονία. ) Να αοδείξετε ότι f() αν < και f () +, αν > Θ. Έστω η f() = κ +, µε κ R, για κάθε R Γνωρίζουµε ότι το είναι κρίσιµο σηµείο της f Α) Να αοδείξετε ότι κ = Β) iiii) Να µελετήσετε την f ως ρος τα ακρότατα. iii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f iii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() = α α + για κάθε τιµή του α R, έχει ακριβώς µία λύση στο R Θ. Έστω η συνεχής συνάρτηση 9 f() = α e αν αν > Α) Να αοδείξετε ότι α = Β) Να βρείτε την εφατοµένη ( ε) της C f στο σηµείο της A (, f() ) Γ) Να αοδείξετε ότι lim f() = lim f() + Α ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό το διάγραµµα C της f, την ευθεία ( ε) και την ευθεία =

27 Παρουσίαση 7 Θ. Έστω η ορισµένη στο (, + ) συνάρτηση f ώστε f () = l n + c, c R, f () = ln +, για κάθε > και f () = Α) ii) Να αοδείξετε ότι c = ii) Να αοδείξετε ότι l f() = n, > Β) Να µελετήσετε την µονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα της f Γ) Να µελετήσετε την f ως ρος την κυρτότητα και να βρείτε τις καµές της. Θ. Έστω οι αραγωγίσιµες στο R συναρτήσεις και Είναι ( f(t) g (t)) dt = e e + f, g, µε f, g συνεχείς. f ()g() = e, για κάθε R και η ευθεία ( δ) : y = είναι εφατοµένη της C f στο σηµείο της O (,) Α) Να αοδείξετε ότι f ()g() = e, για κάθε R Β) Να αοδείξετε ότι g () >, για κάθε R Γ) Να βρείτε το ρόσηµο της f ) Να αοδείξετε ότι g () = e και f () =, R Θ.4 Έστω η συνάρτηση f() = λ, µε λ (,) σταθερά. Α) είξτε ότι η f αρουσιάζει ένα τ. µέγιστο, ένα τ. ελάχιστο και µία καµή. Β) είξτε ότι η εξίσωση f () = έχει ακριβώς τρεις ραγµατικές ρίζες. Γ) Αν, είναι οι θέσεις των τ. ακρότατων και η θέση της καµής, δείξτε ότι τα Α(,f() ), Β (,f( ), Γ(,f( )), βρίσκονται στην ( ε) : y = λ ) ) Να υολογίσετε το εµβαδόν E του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση C της συνάρτησης f και την ευθεία ( ε) Θ.5 Έστω η συνάρτηση f() = α ln( + ), α >, ώστε f(), για κάθε > Α) Να αοδείξετε ότι α = e Β) Να αοδείξετε ότι e ln(e + e) Γ) iii) Να αοδείξετε ότι η f είναι κυρτή. e iii) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) iii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ( ) f = ( ) f έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) 7

28 Παρουσίαση 8 Θ.6 Έστω η συνάρτηση f() ln ( ( ) e ) + =, R Α) Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα. Β) Να αοδείξετε την ισοδυναµία: e = {, } 4 + Γ) Να αοδείξετε ότι οι κλίσεις της C f αίρνουν τιµές αό το διάστηµα [, ] ) Να βρείτε την τιµή του ολοκληρώµατος f() d Ε) Να βρείτε την τιµή των Ι + + = d + και J = d Θ.7 Έστω η ορισµένη στο (, + ) συνάρτηση f, ώστε και f () =, f() = Α) Να αοδείξετε ότι f() = ln e Β) Να αοδείξετε ότι e, για κάθε > f () =, > Γ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό το διάγραµµα C της f, τον και τις ευθείες µε εξισώσεις = και = e Θ.8 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση 4 Α) Να αοδείξετε ότι f() = + Β) Να αοδείξετε ότι f(r) = [, ] Γ) Να βρείτε το f() d i f() = + i + Θ.9 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, µε f συνεχή. για την οοία ισχύει ( + )f() f(t) dt = +, για κάθε R Α) Να αοδείξετε ότι f () = Β) Να αοδείξετε ότι f () =, R Γ) Να βρείτε την f ) Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου, ου ερικλείεται αό το διάγραµµα της f τον και την ευθεία =

29 Παρουσίαση 9 e f () + Θ.46 Έστω η ορισµένη στο R συνάρτηση f, ώστε + f() =, R Γνωρίζουµε ότι αυτή είναι συνεχής στο R Α) ii) Να αοδείξετε ότι υάρχει η f και να βρείτε τον τύο της f στο f (R) ii) Να αοδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R Β) ii) Να αοδείξετε ότι lim f() = και lim f() = + + ii) Να αοδείξετε ότι η αντίστροφη f ορίζεται τελικά στο διάστηµα R iii) Να λύσετε τις εξισώσεις f () =, f () = e, f () =, f () = Γνωρίζουµε είσης τώρα ότι η f είναι και αραγωγίσιµη στο R Γ) iii) Να αοδείξετε ότι f() iii) Αφού αοδείξετε ότι f ()( e + ) = f(), µετά υολογίστε το = e d I + f() iii) Υολογίστε τα όρια e lim f() και f() lim + f() ) iii) Να αοδείξετε ότι η f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο R iii) Να αοδείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο R iii) Να αοδείξετε ότι f(), για κάθε R Ε) iii) Να αραστήσετε την αντίστροφη f και την f στο καρτεσιανό είεδο. ii) Υολογίστε την τιµή του ολοκληρώµατος J = e f() d

30 Παρουσίαση Θ.47 Έστω η συνάρτηση f / = [, ], µε f συνεχή και f = f = ώστε να είναι συν f() ηµf (), για κάθε [, ] Α)i iii) Να αοδείξετε ότι f() i ii) Να αοδείξετε ότι f() Β) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση ηµ Φ () = δεν µορεί να οριστεί στο [, ] f() Γ) Έστω τώρα και η συνάρτηση Τ () = f() ηµ iii) Να αοδείξετε ότι Τ (), για κάθε (, ) iii) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση Τ είναι γνήσια αύξουσα στο (, ) iii) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ακριβώς µία ρίζα ρ στο [, ] iiv) Να βρείτε το ρόσηµο της συνάρτησης f iiv) Να αοδείξετε ότι f () < και ότι f () > ivi) Να αοδείξετε ότι < ρ < vii) Να αοδείξετε ότι f < 4 ) ii) Να αοδείξετε ότι lim Τ() = και lim Τ() = + ii) Να αοδείξετε ότι T ((, ) ) = R

31 Παρουσίαση Θ.48 Α) Έστω η ορισµένη και συνεχής στο R συνάρτηση f και α,β R i) Είναι γνωστό ότι αν α = β, τότε f()d = f() =, τότε f()d = Αν όµως α β και η f δεν είναι µηδενική, δείξτε ότι αυτή έχει µία ρίζα. ii) Έστω ότι f() και f(t) dt = ρ, να βρείτε τον ρ Β) Αν για την ορισµένη και συνεχή στο = [α,β] συνάρτηση h β µε h() για κάθε [α,β] είναι h() d =, να αοδείξετε ότι h () = Γ) Αν τώρα για την ορισµένη και συνεχή στο = [,] συνάρτηση f είναι f () d = e και e f() d = e, να βρείτε την f α ) Αν για την ορισµένη και συνεχή στο, συνάρτηση f είναι f() συν για κάθε, και f() d =, να βρείτε τη συνάρτηση f β α β α Ε) Έστω και η συνάρτηση f() = e ορισµένη στο διάστηµα = [,] ii) Να αοδείξετε ότι f n (), για κάθε n N n ii) Αν τώρα ξέρουµε ότι (e ) d =, µε n N, αοδείξτε ότι n = Ζ) Έστω η αραγωγίσιµη στο οοιοδήοτε διάστηµα [ α,β], συνάρτηση f β β + α για κάθε α,β R α µε συνεχή f, ώστε ( f() ) d ( f ()) d = f (α) f (β) i) Να αοδείξετε ότι f () + f() =, [α,β] α+ β α β ii) Αν e + f =, να βρείτε τον τύο της f Η) Έστω η ορισµένη και συνεχής στο [,] συνάρτηση f Γνωρίζουµε ότι Να αοδείξετε ότι f f () = () d f() d

32 Παρουσίαση ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

33 Παρουσίαση ιαγώνισµα Όνοµα:.. ΒΑΘΜΟΣ:.. ιάρκεια: ώρες Ηµεροµηνία: / /.. ΘΕΜΑ Α Α Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ο ένα εσωτερικό σηµείο του στο οοίο είναι αραγωγίσιµη. Αν η f αρουσιάζει τοικό ακρότατο στο, δείξτε ότι f ( ο ) = (9 µονάδες) ο Α Να αναφέρετε ότε λέµε ότι µια συνάρτηση f αρουσιάζει στο σηµείο του εδίου ορισµού της τοικό ελάχιστο. ο (6 µονάδες) Β Ααντήστε µε ένα Σωστό ή Λάθος ( µονάδες) Β Κατά την εέκταση αό το σύνολο R των ραγµατικών αριθµών στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών, η διάταξη και οι ιδιότητές της ου ισχύουν στο R εξακολουθούν να ισχύουν και στο C Β Τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος στα οοία η συνεχής f δεν αραγωγίζεται ή η αράγωγός της είναι ίση µε λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο Β Αν lim f() = ο και f () > «κοντά» στο ο, τότε ισχύει lim = + ο f() Β 4 Αν για τη συνεχή f είναι f() d = υάρχει ρ [,], ώστε f (ρ) > Β 5 Μία συνάρτηση f : A R είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της, η εξίσωση f () = y έχει ακριβώς µια λύση ως ρος

34 Παρουσίαση 4 ΘΕΜΑ Β Έστω οι µιγαδικοί z, w ώστε z(n w) = nw, µε n Ν, n > και w = Α) Να αοδείξετε ότι z n ( µονάδες) Β ) Να αοδείξετε ότι nz = n z (5 µονάδες) Β ) Να αοδείξετε ότι τα Μ (z) ανήκουν στον κύκλο (κ) : + y = (5 µονάδες) Γ) Έστω z z, οι εικόνες δύο µιγαδικών αό τους ροηγούµενους αριθµούς z z z Να αοδείξετε ότι Γ ) z + z και Γ ) A = + R (8 µονάδες) z z = ) Αν είναι και Α =, να αοδείξετε ότι z z (5 µονάδες) ΘΕΜΑ Γ Έστω η αραγωγίσιµη συνάρτηση f : [, + ) R και f () = για την οοία ισχύει < f () < +, για κάθε (, + ) Α ) Να αοδείξετε ότι οι συναρτήσεις g() = f() και h() = + f() είναι γνησίως αύξουσες στο [, + ) (6 µονάδες) Α ) Να αοδείξετε ότι f() + (4 µονάδες) f() Α ) Να αοδείξετε ότι lim = + (4 µονάδες) Β) Να αοδείξετε ότι υάρχει µόνο ένας o >, ώστε f( o ) = (4 µονάδες) Γ) Να βρείτε τον ΘΕΜΑ * v N και τον Έστω η συνεχής συνάρτηση ( ) * l R, ώστε lim v f = l + (7 µονάδες) f : (, + ) R, τέτοια ώστε f(), για κάθε > lnt t e f(t)dt dt, ln dt e f() f(t) =, για κάθε > + Α) Να αοδείξετε ότι f() e ( ln ) =, για κάθε > (5 µονάδες) Β ) Να αοδείξετε ότι ln, για κάθε > (5 µονάδες) = Β ) Να αοδείξετε ότι η F () f(t) dt, > είναι κυρτή. (5 µονάδες) Γ) Να αοδείξετε ότι F () + F() > F(), για κάθε > (5 µονάδες) ) Να αοδείξετε ότι ακριβώς ένα r (, ), ώστε F () + F() = F(r ) (5 µονάδες) ÊáëÞ åðéôõ ßá!

35 Παρουσίαση 5