Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ"

Πολύδωρος Κολιάτσος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

2 ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε την εξίσωση f() =. γ) Να λύσετε την ανίσωση f() >. ΑΣΚΗΣΗ ( ) ίνεται η συνάρτηση f µε f() =. α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() = 5 +. γ) Να λύσετε την ανίσωση f() >. δ) Να λύσετε την εξίσωση f(ηµ) =. ΑΣΚΗΣΗ ίνεται το σύστηµα ( λ ) y=λ+, όου + ( λ )y= λ R και το ολυώνυµο P() = 4 +. α) Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δεν µορεί να έχει άειρες λύσεις. β) Να βρείτε τις τιµές των λ R ώστε η εξίσωση Dηµ t = D να είναι αδύνατη. γ) Να κάνετε την διαίρεση P() : ( ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4λ δ) Αν λ Q και το σύστηµα έχει µοναδική λύση µε =, να λύσετε την ανίσωση λ +λ ΑΣΚΗΣΗ 4 ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε + f() = και g() = 5. α) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της C f µε την ευθεία µε εξίσωση y =. β) Να βρείτε ότε η C f είναι άνω αό τη γ) Να λύσετε την ανίσωση f() <. ΑΣΚΗΣΗ 5 ίνεται το ολυώνυµο Ρ µε C g. P() = + α β, όου α,β R το οοίο έχει ρίζα το και η διαίρεσή του µε το δίνει υόλοιο 8. α) Να αοδείξετε ότι α =, β = 5. β) Να λύσετε την εξίσωση P(e ) =. P() γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να βρείτε τη σχετική θέση της C f µε την ευθεία µε εξίσωση y =. ΑΣΚΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ ίνεται το σύστηµα ( λ ) y=λ+, όου + ( λ )y= λ R και το ολυώνυµο P() = 4 +. α) Να αοδείξετε ότι το σύστηµα δεν µορεί να έχει άειρες λύσεις.

3 (λ ) 4y ίνεται το σύστηµα + =, όου λ R. Έστω ότι (, y) = (α, β) είναι 5 + (λ )y = η λύση του συστήµατος για λ =. α) Να λύσετε το σύστηµα για τις διάφορες τιµές του ραγµατικού λ. β) Να αοδείξετε ότι (α,β) =,. γ) Να εξετάσετε αν υάρχει γωνία φ τέτοια ώστε ηµφ = α και συνφ = β. δ) Να λύσετε την ανίσωση αe βe. ε) Να λύσετε την εξίσωση ασυνt= β + ηµ t, t (, ). ΑΣΚΗΣΗ 7 ίνεται η συνάρτηση f µε f() = + και το ολυώνυµο Q µε Q() = α) Να κάνετε τη διαίρεση Q() : ( ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. β) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f. γ) Να λύσετε την εξίσωση f( ) + f() = (e) 5. δ) Να βρείτε τις τετµηµένες των σηµείων της C f ου βρίσκονται άνω αό την ευθεία µε εξίσωση y =. ΑΣΚΗΣΗ 8 ίνεται η συνάρτηση f ου είναι ορισµένη στο R, για την οοία ισχύει f () + f ( ) = e e. α) Να αοδείξετε ότι f() = e e. β) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή εριττή στο R. e δ) Να λύσετε την ανίσωση f() >. e ΑΣΚΗΣΗ 9 ίνεται το γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους, y, το οοίο έχει µοναδική λύση την (, y) = (α, β) και για το οοίο ισχύει D + Dy DD + 4DDy + 5D =. Έστω είσης η άρτια συνάρτηση f ου είναι ορισµένη στο R, γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και η ακρότατη τιµή είναι το α. α) Να λύσετε το σύστηµα. β) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη µονοτονία στο [, + ). γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως ρος τα ακρότατα. δ) Να λύσετε την εξίσωση f() = β και την ανίσωση f() < α. ΑΣΚΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 7 ίνεται η συνάρτηση f µε f() = + και το ολυώνυµο Q µε Q() = 5 + 5. α) Να κάνετε τη διαίρεση Q() : ( ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. β) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f.

4 ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε f() = 4 + +, g() = ηµ. α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τι τετµηµένες των σηµείων τοµής της C f µε την ευθεία µε εξίσωση y =. γ) Να λύσετε την εξίσωση g() = f(). δ) Να λύσετε την ανίσωση g() + g f().

5 ΑΣΚΗΣΗ α) f( ) = ( ) 5( ) 4( ) +α= 5+ 4+α= α=. β) f() = = ( + )( 7 + ) = ( + )( )( ) = + = ή = ή = = ή = ή =. γ) Για >, θέτουµε w =, οότε η ανίσωση ισοδύναµα γίνεται: w 5w 4w + > (w + )(w )(w ) > < w < ή w > < < ή > e < < e ή > e. ΑΣΚΗΣΗ ( ) α) Πρέει > και < <, άρα A f = (,). β) Για (,), έχουµε ότι ( ) ( ) f() = 5 + = 5 + = 5 + e ( )(+ ) = (5e ) = 5e = 5e + 5e + + 5e 5e + = 5e =, ου είναι δεκτή. + 5e γ) Για < <, έχουµε: f() > > > > > > ( + ) < < <, ου (+ ) (+ ) αορρίτεται, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ηµ δ) Για κ+, κ Z, έχουµε: f(ηµ) = = +ηµ ηµ = ηµ = + ηµ 4ηµ = ηµ = +ηµ 5 = κ+ ή = κ+, κ Z. ΑΣΚΗΣΗ λ α) Έχουµε ότι D = = ( λ ) + = λ + λ= λ( λ ), λ λ+ D = = λ + = λ και λ

β) Για (,), έχουµε ότι ( ) ( ) f() = 5 + = 5 + = 5 + e ( )(+ ) = (5e ) = 5e = 5e + 5e + + 5e 5e + = 5e =, ου είναι δεκτή.

6 λ λ+ Dy = =λ λ =. Αν D λ και λ, το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Αν λ = έχουµε D =, D =, άρα το σύστηµα είναι αδύνατο. Αν λ = έχουµε D =, D =, άρα το σύστηµα είναι αδύνατο. Συνεώς σε κάθε ερίτωση το σύστηµα δεν έχει άειρες λύσεις. β) Dηµ t = D ( λ ) ηµ t = λ( λ ) (Ι). λ λ ±, τότε η (Ι) ισοδύναµα γίνεται: λ( λ ) ηµ t = λ Για να είναι αδύνατη, θα ρέει: ηµt < ή ηµt > λ( λ ) λ( λ ) < ή > λ λ λ λ + λ λ λ +λ < ή > λ λ λ + λ+ ( λ ) < ή > λ λ <λ< ή <λ< ή ( λ< ή<λ< ). Αν λ=±, η (Ι) γίνεται: = ±, ου είναι αδύνατη. γ) P() = 4 + = ( )(7 ). λ δ) Αφού =, για λ και λ έχουµε ότι: 7 λ 4λ = λ = 4λ + 8λ 4λ λ + = λ( λ ) Ρ(λ) = λ =, αφού λ Q. Τότε η ανίσωση ου ρέει να λύσουµε είναι η + (ΙΙ). Θέτουµε w = w + w w ΑΣΚΗΣΗ 4 α) f() = και η ανίσωση (ΙΙ) ισοδύναµα γίνεται: (αόριστη) και = w = 5 και η (Ι) ισοδύναµα γίνεται: Θέτουµε w 5w+ = w = ή w =. (5 ) = (I). 5 = ή 5 =

λ λ ±, τότε η (Ι) ισοδύναµα γίνεται: λ( λ ) ηµ t = λ Για να είναι αδύνατη, θα ρέει: ηµt < ή ηµt > λ( λ ) λ( λ ) < ή > λ λ λ λ + λ λ λ +λ < ή > λ λ λ + λ+ ( λ ) < ή > λ λ 5 + 5 <λ< ή <λ< ή ( λ< ή<λ< ).

7 5= ή 5= = ή =. 5 5 Συνεώς τα σηµεία τοµής είναι τα, 5,, 5. + β) f() > g() > 5 (5 ) > (II). Θέτουµε w = 5 και η (IΙ) ισοδύναµα γίνεται: w w+ 5> w < ή w > 5 5 < ή 5 > 5 < ή >. γ) Για > θέτουµε w = 5, οότε: f() < ( ) ( ) < w 5w+ 5< 5 5 w < < < 5 < < 5 < < < e < < e. ΑΣΚΗΣΗ 5 α) Έχουµε ότι P( ) ( ) α( ) β( ) α β α β 7 = + = + + = + και P() = + α β = + α β = α β 5. Το είναι ρίζα του P(), οότε P( ) =, δηλαδή α + β 7 = (Ι). Η διαίρεσή του P() µε το δίνει υόλοιο 8, οότε P() = 8, δηλαδή α β 5 = 8 α β = (ΙΙ). Λύνοντας το σύστηµα των (Ι), (ΙΙ) έχουµε ότι: α+ β= 7 α+ β+ α β= 7 α = 4 α =. α β= α β α β= 7 β = β = 5 β) Για α =, β = 5 έχουµε: P() = + 5. Θέτουµε w = e, οότε η δοσµένη εξίσωση γράφεται: P(e ) = P(w) = w + w 5w = 5 (w + )(w + w ) = (w + )(w )(w + ) = w + = ή w = ή w + = w = ή w = ή w = e = (αδύνατη) ή e = ή e = (αδύνατη) =. γ) Αφού,, ρίζες του P(), ισχύει ότι P() = ( + )( )( + ). Τότε για, η ανίσωση ισοδύναµα γράφεται: ( + )( )( + ) αφού. δ) Η C f και η ευθεία µε εξίσωση y =, τέµνονται αν ( + )( + ) <,

ΑΣΚΗΣΗ 5 α) Έχουµε ότι P( ) ( ) α( ) β( ) α β α β 7 = + = + + = + και P() = + α β = + α β = α β 5. Το είναι ρίζα του P(), οότε P( ) =, δηλαδή α + β 7 = (Ι).

8 ± 4 f() = ( + 5) = = ή = = ±. Η C f βρίσκεται άνω αό την ευθεία µε εξίσωση y =, αν f() > ( + 5) > < < ή > +. Η C βρίσκεται κάτω αό την ευθεία µε εξίσωση y =, f αν f() < ΑΣΚΗΣΗ α) Έχουµε ότι: ( + 5) < < ή < < +. λ 4 D = = (λ )(λ ) = λ λ 8 = (λ + )(λ ), 5 λ 4 D = = λ + 4 = (λ + ) και λ λ Dy = = λ + 5= λ +. 5 Για D λ και λ το σύστηµα έχει µοναδική λύση ου δίνεται (λ + ) λ + αό τις (,y) =, =, (λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ λ. Για λ =, το σύστηµα έχει άειρες λύσεις της µορφής + 4y (,y) =,y, y 5 R. Για λ =, το σύστηµα είναι αδύνατο. β) Αό το (α) ερώτηµα για λ = το σύστηµα έχει µοναδική λύση (α,β) =, =,. γ) Έστω ότι υάρχει τέτοια γωνία φ. Τότε θα ισχύει ότι ηµ φ+ συν φ=. Όµως: ηµ φ+ συν φ= α + β = + = + =, ΑΤΟΠΟ, άρα δεν υάρχει τέτοια γωνία φ. δ) Η ανίσωση είναι η e e e + e (Ι). Θέτουµε w= e στην (Ι) και έχουµε: w + w (w + )(w ) w ή w e (αδύνατη) ή e. ε) Η εξίσωση είναι η συνt = + ηµ t συνt= + ηµ t συνt ( συν t) = + Θέτουµε ω= συνt στην (ΙΙ) και έχουµε: συν t + συνt = (ΙΙ).

5 Για D λ και λ το σύστηµα έχει µοναδική λύση ου δίνεται (λ + ) λ + αό τις (,y) =, =, (λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ λ. Για λ =, το σύστηµα έχει άειρες λύσεις της µορφής + 4y (,y) =,y, y 5 R.

9 ω + ω = ω = ή ω = συνt = ή συνt = συνt = συν ή συνt = συν t = κ ± ή t= κ ±, κ Z. Τότε t (, ) < t < <κ+< ή <κ < ή < κ + < ή < κ <, κ Z < κ < ή κ < < ή 4 < κ < ή < κ <, κ Z αδύνατη ή αδύνατη ή κ = ή αδύνατη, άρα t =. ΑΣΚΗΣΗ 7 α) Συνεώς: Q() = = ( )( + 5). β) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν > + < ή >. + Συνεώς: A f = (, ) (, +. ) γ) Η εξίσωση είναι η + = (e) 5 και ορίζεται όταν: + + > + > + ( )( + ) > > (Ι). > + + > e > Για > η εξίσωση ισοδύναµα γράφεται: e ( )( + )( ) e = e + + = 5 ( + )( + ) 5e ( ) + = + 5 = + = = Q() = ( )( + 5) = = ή + 5= (αδύνατη, αφού = < )

ΑΣΚΗΣΗ 7 α) 5 + 5 + 4 + 5 + 5 4 5 +5 Συνεώς: Q() = 5 + 5 = ( )( + 5). β) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν > + < ή >. + Συνεώς: A f = (, ) (, +.

10 =, ου αορρίτεται λόγω του εριορισµού (Ι), άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. A f =,, + (II), οι τετµηµένες των σηµείων της C f ου βρίσκονται άνω αό την ευθεία µε εξίσωση y = είναι οι λύσεις της ανίσωσης f() > > > e > e e > e e > ( e) ( + e) > e + < <, + + e όου συναληθεύοντας µε την (ΙΙ) ροκύτει: e + < <. e δ) Για ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ 8 α) Θέτουµε στη δοσµένη σχέση όου το και έχουµε: f ( ) + f () = e e. Προκύτει λοιόν το σύστηµα: f () + f ( ) = e e ( ) 4f () f ( ) = e + e f ( ) + f () = e e f ( ) + 9f () = e e 4f () + 9f () = e + e + e e, άρα f() = e e. f ( ) + 9f () = e e β) Για, R µε < έχουµε ότι e < e και e > > e e < e, οότε e e < e e f( ) < f( ), οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ) Για κάθε Af =R, έχουµε ότι Af =R και ( ) f( ) = e e = e e = f(), άρα η f είναι εριττή στο R. e δ) Έχουµε ότι f() = e e = e =, άρα η ανίσωση γράφεται: e e e f() > f() > f() >. e ΑΣΚΗΣΗ 9 α) = ( ) ( ) y y D y D D DD 4DD 5D D D + D + D = D + + = ( ) ( ) D D β) Η f ου είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ). γ) Η f αρουσιάζει ολικό µέγιστο για = ή = το f() = f( ) = α =. y α + β+ = (α, β) = (, ).

συναληθεύοντας µε την (ΙΙ) ροκύτει: e + < <. e δ) Για ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ 8 α) Θέτουµε στη δοσµένη σχέση όου το και έχουµε: f ( ) + f () = e e.

11 δ) Αφού η f αρουσιάζει ολικό µέγιστο το, η εξίσωση f() = β = είναι αδύνατη, ενώ η ανίσωση f() < α = ισχύει για κάθε R { ± }. ΑΣΚΗΣΗ α) Πρέει (Ι). Θέτουµε = w, οότε η (Ι) ισοδύναµα γίνεται: w + w + w (ισχύει) και. Συνεώς A f = [, + ). β) Για, λύνουµε την εξίσωση f() = = = (ΙΙ). Θέτουµε = w, οότε η (ΙΙ) ισοδύναµα γίνεται: ± ± w + w + = w = = + = ή = (αδύνατη) = = =. 7 7 γ) f() = = + + = =, όου f() >, οότε η εξίσωση g() = f() ηµ = είναι αδύνατη. δ) f() = = + + = =, 4 4 οότε η ανίσωση g() + g f() ηµ + ηµ 4 ηµ + συν είναι αόριστη, αφού ηµ + συν και >.

β) Για, λύνουµε την εξίσωση f() = 4 + + = 4 + + = (ΙΙ).

Σχετικά έγγραφα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας