ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ"

Μάξιμος Ασπάσιος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Βλέε αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 17. Α. α) Βλέε ορισµό σχολικού βιβλίου σελ. 41. β) Βλέε ορισµό σχολικού βιβλίου σελ Α. α) Λάθος. Το σωστό είναι f f x = x, x A. 1 β) Λάθος. Το σωστό είναι f( x) γ) Σωστό. lim. x x δ) Λάθος. Το σωστό είναι: Αν η f είναι συνεχής στο x και η συνάρτηση f x τότε η σύνθεση τους gof είναι συνεχής στο g είναι συνεχής στο x. x ε) Λάθος. Το σωστό είναι ln f x = a a. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 1

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΘΕΜΑ Β x Β1. Η συνάρτηση f ( x) =e x + 1 έχει εδίο ορισµού το R. Έστω x1, x R µε x1< x. Τότε έχουµε διαδοχικά: x < x και x < x e 1 < e και 1 x > x x1 x 1 x1 x e > e (1) και x1 x + 1> + 1 (). Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () ροκύτει: x1 x e x 1+ 1>e x + 1. Εοµένως f ( x1 ) > f ( x). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Παρατηρούµε ότι f () =e + 1= 1+ 1=. Άρα η f έχει τουλάχιστον, µια ρίζα, το x =. Αυτή είναι και µοναδική, γιατί η f είναι γνησίως φθίνουσα. Έτσι για κάθε x > εειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα ισχύει f x < f,δηλαδή f( x ) <. Ενώ για κάθε x < ισχύει f( x) > f( ),οότε f x >. Το ρόσηµο της f φαίνεται και στον αρακάτω ίνακα: x + f x + Β. Εειδή η f είναι συνεχής στο R, γιατί ροέρχεται αό ράξεις µε συνεχείς συναρτήσεις, είναι και συνεχής στο x =. Οότε ισχύει: lim f ( x) = f () =. x Για x έχουµε: f ( x) 1 1 = 1. f ( x) f ( x) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 1

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) f ( x) 1 1 Για x >, lim lim 1. + = + x f ( x) = + x f ( x) Όντως, στο Β1 ερώτηµα αοδείξαµε, ότι για κάθε x > ισχύει f ( x ) <, οότε lim 1 =. + x f ( x ) f ( x) 1 1 Για x<, lim lim 1 = x f ( x) = x f ( x). Όντως, στο Β1 ερώτηµα αοδείξαµε, ότι για κάθε x < ισχύει f ( x ) >, οότε 1 lim = +. x f ( x ) f ( x) 1 Εοµένως, δεν υάρχει το lim. x f ( x ) Β. α) Εειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, είναι και 1 1, εοµένως αντιστρέφεται. Το εδίο ορισµού της αντίστροφης, είναι το σύνολο τιµών της f. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο R. Έτσι, το σύνολο τιµών της, είναι το f ( R) = ( lim f ( x), lim f ( x)) = (, + ) = R. Ισχύουν: lim f x = lim e x x + 1 =. -Ειδικά lime x u = lime = +. u + Θέσαµε u= x, οότε αν x + τότε u +. lim x + 1 = lim x =. lim f( x) lim( e x x 1) -Ειδικά = + = +. x lime u lime u = =. Θέσαµε u= x οότε αν x τότε u, lim x + 1 = lim x = +. ενώ β) Ισχύουν ισοδύναµα: x x e x 15 e x 15 x e = 1 e = e e x 15 = x e x + 1 = 16 f ( x) = 16. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 1

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) Θέλουµε, λοιόν, να δείξουµε ότι, η εξίσωση f( x ) = 16 έχει µοναδική ρίζα x R. Όµως η f είναι συνεχής στο R και η τιµή 16 f R = R. Άρα η εξίσωση f ( x ) = 16, έχει µια, τουλάχιστον, ρίζα x R. Αυτή είναι µοναδική, καθώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 1

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) Β4. Ισχύουν οι ισοδυναµίες: ΘΕΜΑ Γ ( ln ) g x 6 e g x x e x + = > 6 g( x) ( x e ) e + g x = e + ln x + x e 6 + ( ln ) x+ ( ln ) ln g x ln x ln e e + g x = e + x + x> g( x) ln 6 e + g x = e + x + ( x+ ) ( x+ ) ( ln ) g x ln e + g x = e + x + ( x+ ) 11 ( ) ( ln ) g x ln e g x = e x + g x ln e g x e x + 1 = ln f g x = f ln x + g x = ln x +. f Για την εύρεση της αντίστροφης της g, θέτουµε y= g( x) και λύνουµε ως ρος x. Έχουµε λοιόν ισοδύναµα: g x = y y = x + y R, καθώς ln x + R,για κάθε x>. ln, x = y x = e y R = y ln, 1 όµως f y x Γ1. Για κάθε x, έχουµε ισοδύναµα: f ( x) + xf ( x) = 1συν x x οότε 1 y f y = e, y R και έτσι 1 x f x e, x R =. f ( x) + xf ( x) + x = ηµ x ( f( x) + x) = ηµ x (1). Θεωρούµε τη συνάρτηση h( x) = f ( x) + x, x,. Η σχέση (1) ισοδύναµα γράφεται h ( x) = ηµ x () και ισχύει για κάθε x,. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 1

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) Γ. Η εξίσωση h( x ) = στο, γράφεται ισοδύναµα: () h( x) = h ( x) = ηµ x = ηµ x = x =. Εοµένως, η εξίσωση h( x ) = έχει στο, µοναδική ρίζα την x=. Η h στο, είναι συνεχής, ως άθροισµα συνεχών και δεν µηδενίζεται σ αυτό. Άρα, στο, η h διατηρεί σταθερό ρόσηµο. 1 1 Όµως h = f + = + = > Συνεώς για κάθε x,,ισχύουν h( x ) > και ηµ x>. Οότε η σχέση () γίνεται ισοδύναµα h( x) = ηµ x ή ισοδύναµα f ( x) + x= ηµ x και τελικά f ( x) = ηµ x x, x,. Ειλέον ισχύει () f = ηµ =. Εντέλει δείξαµε ότι, f ( x) = ηµ x x, x,. f ( x) + 1, x, Έχουµε g( x) =,µε κ R. ηµ ( κ x) 1, x < x -Για κάθε x, η g είναι συνεχής ως άθροισµα συνεχών. -Για κάθε x (,) η g είναι συνεχής γιατί ροέρχεται αό ράξεις µε συνεχείς συναρτήσεις. Εοµένως, ρέει η g να είναι συνεχής στο x =. Οότε ισχύει: lim g( x) = lim g( x) = g() (1). + x x -Για x>, έχουµε lim g( x) = lim ( f ( x) + 1) = f () + 1= 1 (). + + x x Έχουµε δείξει στο Γ1, ότι η f είναι συνεχής στο, οότε -Για x<, έχουµε ηµ ( κ x) lim g( x) = lim 1 = κ 1 x (). x x lim f ( x) = f () =. + x ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 1

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) Αν θέσουµε u Έτσι, = κ x, τότε lim u= lim( κ x) =. x x ηµ ( κ x) ηµ ( κ x) ηµ u lim = κ lim = κ lim = κ 1 = κ. x x x κ x u u Είσης g() = f () + 1= 1 (4). Η σχέση (1) λόγω των σχέσεων (), () και (4) γίνεται ισοδύναµα: 1= κ 1= 1. Oότε κ 1= 1 και άρα κ=. Γ. Για κ= η g γίνεται: g x f( x) + 1, x, = ηµx 1, x < x Η g είναι ορισµένη και συνεχής στο,. ηµ ηµ ( ) ηµ g = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 g = 1 <. Άρα g g Έτσι αό το θεώρηµα Bolzano, η εξίσωση ρίζα στο διάστηµα,. Γ4. Παρατηρούµε ότι g( ) g x =, έχει µία, τουλάχιστον, ηµ 4 ηµ 4 = 1= 1= 1=1. Είσης αό ερώτηµα Γ, g = 1. Έτσι ισχύει g( ) = g ενώ. Ώστε η g δεν είναι 1 1. Ένας δεύτερος τρόος στην ερίτωση ου δεν µορούµε να υολογίσουµε δύο ίσες τιµές, είτε στον ίδιο κλάδο, είτε σε διαφορετικούς κλάδους. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 1

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) Παρατηρούµε g = f + 1 = ηµ + 1 =. Θα δείξουµε ότι υάρχει ένα x (,), ώστε g( x) =. ηµx ηµx Έχουµε lim g( x) = = lim 1 = 1 = 1, γιατί lim =. x x Αόδειξη: 1 1 ηµx 1 ηµx x x ηµx 1 1 ηµx 1 x x x x x 1 Όµως lim =, οότε, αό κριτήριο αρεµβολής x ηµx lim =. x ηµx Ισχύει lim g( x) = lim 1 1 =. x x x Έστω η συνάρτηση Λ ( x) = g( x) ( ), x <. lim Λ ( x) = lim g( x) ( ) 1 = + = + <. Άρα υάρχει ένας ραγµατικός αριθµός α, κοντά στο, ώστε να ισχύει ισοδύναµα: Λ ( α) < g( α ) ( ) < ga <. ηµx lim Λ ( x) = lim g( x) ( ) lim x x = + = + = + > x x Άρα υάρχει ένας ραγµατικός αριθµός β<,κοντά στο, ώστε να ισχύει ισοδύναµα: Λ ( β) > g( β) ( ) > g( β) >. Εοµένως ga < < g( β) και η g είναι συνεχής στο [ aβ, ] (,). Αό θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών υάρχει ένα τουλάχιστον x ( aβ, ) άρα και στο (,) ώστε g( x) =. Εντέλει g( x) = g ενώ, x (,) και (, + ). Άρα x. Οότε η g δεν είναι 1 1. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 1

9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΘΕΜΑ 1. x x f ( x) = e +, x R. x x x Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη µε f ( x) = ( e ) + = e + x, x R. 1 x, x R, µε x < x, τότε ισχύει x x e < e. Έστω 1 1 x1 x Με ρόσθεση κατά µέλη, ροκύτει: e + x, 1< e + x,δηλαδή f ( x1) < f ( x). Εοµένως η f είναι γνησίως αύξουσα. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα το σύνολο τιµών της είναι: f (, + ) = lim f ( x), lim f ( x) = (, + ) = R. Όντως, lim f ( x) lim( e x x) Όντως, lim f ( x) lim( e x x) x = + =, γιατί lime = και limx =. = + = +, γιατί lime x = + και limx = +. Τo f ( R) = R, άρα, υάρχει ένας τουλάχιστον ρ R τέτοιος ώστε f ( ρ) =. Ο ρ είναι µοναδικός, διότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Τελικά, η εξίσωση f ( x) = έχει ακριβώς µία ραγµατική ρίζα ρ.. Για x ρ, έχουµε: f ( ρ ) = f ( x) + f ( x) f ( ρ) f ( x) f ( ρ) f ( x) f ( ρ) lim = lim + = x ρ x ρ x ρ x ρ x ρ ρ ρ = f ( ρ) + f ( ρ) = + e + 1 = e + 1, διότι η f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη µε f ( x) = e x + 1, x R.. α) g( x + vh) g( x) * Ισχύει: lim = v, v και v 1. h h g( x) g( x) Αρκεί να δείξουµε ότι υάρχει το όριο lim και είναι ίσο µε 1. x x x x Έχουµε: g( x) g( x) g( x + ν h) g( x) 1 g( x + ν h) g( x) 1 lim = lim = lim = ν = 1 x x x x h h ν h ν h ν x x Θέσαµε x + vh = x x x = vh h =. v Αν x x τότε h. Εοµένως, g ( x) = 1. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 1

10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) β) Η εφατοµένη της f, f έχει εξίσωση: y f () = f ()( x ) y 1 = x y = x + 1. Η εφατοµένη της Β x, g x έχει εξίσωση: C στο σηµείο της Α C στο σηµείο της g ( ) y g( x ) = g ( x )( x x ) y x 1 = 1( x x ) y = x + 1. Προφανώς οι δύο εφατόµενες συµίτουν. 4. Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιµη στο x µε g ( x ) = 1. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο g( x ) = x+ 1, µε x+ f ( g( x )) = f ( x + 1) = e 1 + x + 1. x+ H fog είναι αραγωγίσιµη στο x, µε: ( fog) ( x 1 ) = f ( g( x )) g ( x) = e + x + 1. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 1 ΑΠΟ 1

Σχετικά έγγραφα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ