( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 303 Α2.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 303 Α2."

Σίλας Μήτζου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ // ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. Β. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. Γ. Λ, Λ, Σ, Σ, 5 Σ ΘΕΜΑ Β Β. Α) Εειδή η f συνεχής στο = ισχύει ότι f () = lim f () Θέτουμε = h = + h και όταν h lim f () = lim f + h Οότε h ( + h) f Είναι lim h ηµ h f + h Θέτουμε ηµ h = α = g(h) f + h = g(h) ηµ h με lim g(h) = α h Οότε έχουμε f () = lim f () = lim f + h = lim g(h) ηµ h = lim g(h) limηµ h = α = h h h h Β) ( + h) f () f () f () = h f g(h) h f () = lim = lim = lim = lim = lim g(h) = α R, h h h h h h Άρα η f αραγωγίσιμη στο = με f () = α Γ) Η εξίσωση της εφατομένης της f C στο M(, f ()) είναι = ( ) = α( ) = α α. Εειδή η αραάνω εφατομένη διέρχεται αό το N (, 8) y f () f () y y 6 Γ. 8 = α 6α 8 = α 6α 8 = α α = ισχύει f () f () f () f () + Γ. lim = lim = lim = f ()(( ) ) f () f () = lim = lim = lim = f () f () f () = lim = lim = lim lim = ( ) ( ) + + +

2 = f () = = = + + Δ) Είναι f () = και f () = ln( ) A = e συν d = συν d = ηµ d = ( ) ( ) d ( ) = ηµ ηµ = ηµ ηµ ηµ d = [ ] = συν = συν + συν = + = f 6 6 B = d = d d ( 6) d 6 = = = = = 6 = 6 6 = 6 = f () Γ = d = d f () f () f () f () = = = = = f () Είναι f () = = 6 = και f () = = Β. f (5) f () f (5) f () + f () f () Α) lim = lim = ηµ ηµ f (5) f () ( f () f ()) lim = ηµ f (5) f () ( f () f ()) lim lim = ηµ f (5) f () f () f () lim lim = () ( ) f (5) f () 5 f (5) f () f (5) f () Είναι lim = lim = 5lim 5 5 f (t) f () θέτουμε 5 = t,, t οότε είναι 5lim = 5f () () t t Είναι ( ) f () f () f (5) f () f (5) f () lim = lim = lim 5

3 θέτουμε = t,, t οότε είναι f (t) f () lim = f () () t t Οότε με τις σχέσεις () και () αό την () 5f () f () = f () = f () = Β) Η εξίσωση της εφατομένης της Εειδή το K (, ) είναι σημείο της Cf στο (, f ()) είναι ε: y f () = f () ( ) ε έχουμε f () = f () f () = f () () Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο (, f ()) είναι ε : y f () = f ()( ) Εειδή το K (, ) είναι σημείο της ε έχουμε f () = ( ) f () = f () = Οότε αό () f () = f () = f () = ΘΕΜΑ Γ 5z 5i 5z 5i 5 z 5 z ( i) i Γ) = = i = = 9i i i i i ( ) z ( i) i z ( i + ) z i i = = = z ( + i) = i 5 i Άρα ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του z είναι κύκλος με K (, ) και ακτίνα ρ = Είναι z = ( OK) ρ = 5 = και min OK = + = = 5 = 5 Άρα ισχύει z 8 z Γ) Έστω η συνάρτηση h() = f () + g(), ως ράξεις συνεχών Η h() συνεχής στο [ ] h() = f () + g() z z = OK + ρ = 5 + = 8 ma z z h() = f () + g() = f () + g() 8 για = είναι f () f, =, f () για = ε ί ναι f () Ισχύει ότι ([ ]) [ ]

4 για = είναι g() g, =, g() για = ε ί ναι g() Είναι f () ροσθέτουµε g() + 6 f () + g() z + h() κατ ά µ έλη ( ) z 8 6 z και ([ ]) [ ] Οότε έχουμε οτι h() Είναι f () ροσθέτουµε z 7 g() + f () + g() + h() κατ ά µ έλη z z 8 Οότε έχουμε οτι h() Άρα ισχύει h() h() = το ή το ρίζα της h() ή h() h() h() h() < Α ό Θ.Bolzano υ ά ρχει τουλ ά χιστον ξ (, ) ώστε h( ξ ) = z ξ ώστε h( ξ ) = f ( ξ ) + g( ξ ) = ξ Δηλαδή υάρχει ένα τουλάχιστον [, ] Γ). f γνησίως αύξουσα f ([, ] ) = [ f (), f ()] f () = f συνεχής στο [, ] f ([, ] ) = [, ] f () = ([ ]) = [ g(), g() ] ([ ]) = [ ] g γνησίως ϕθίνουσα g, g() = g συνεχής στο [, ] g,, g() = Οότε A = f ([, ] ) = [, ] f Εειδή f () και η g είναι γνησίως φθίνουσα είναι g() g ( f ()) g() g() g ( f ()) g() g ( f ()) g ( f (A)) = [, ]

5 Β ΤΡΟΠΟΣ αό μονοτονία και συνέχεια θα βρούμε το σύνολο τιμών.(θυμίζουμε οτι f είναι γνησίως αύξουσα κ g γνησίως φθινουσα f f g f g f g f () είναι γνησίως φθίνουσα < < ( ) < ( ) άρα η Δηλ. g f [, ] = g f (),g f () = g(),g() =,. [ ] [ ]. Η f συνεχής στο [ ], και ισχύει f () 5 5 Για = είναι f f ( ) Για = είναι f f 6 για κάθε [, ] οότε 5 : ( 5) f f f f + f () 5 Άρα αό το Θ. Ε. Τ. υάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ώστε f ( ) και εειδή η f γνησίως μονότονη (γν. αυξ.) το είναι μοναδικό f () f + f = 5. h() = f g() + g f (). Έστω η συνάρτηση Η h() συνεχής στο [, ] ως ράξη συνεχών 5 h() = f ( g() ) + g( f () ) = f () + g() = + = > h() = f ( g() ) + g( f ()) = f () + g() = + = < Είναι h() h() < οότε αό Θ. Bolzano υάρχει ένα τουλάχιστον (, ) h ( ) = f ( g ( )) + g ( f ( )) = τέτοιο ώστε. Είναι A = f ([, ] ) = [, ] και f (A) = Af = [, ]. f Άρα είναι f () και εειδή για > ln > ln ln > έχουμε ( ln ) f () ln ln f () ln Είναι lim ln = και lim ln = + +

6 οότε αό το κριτήριο αρεμβολής ισχύει και ΘΕΜΑ Δ Α) α) + lim ln f () = + z i + 5 z i lim = lim z i z i z i = lim = + z i z i = z i z i = z i z i z + i = z i z + i zz + iz iz + 6 = zz + iz iz β) Έστω η συνάρτηση h() = f () 6 + Η h() συνεχής στο [, ] ως ράξη συνεχών h() = f () 6 + = + = > h() = f () 6 + = f () 6 + = f () Είναι z = f () + αi και z = οότε + = zz z = z = z = f () + α = f () + α = f () + α = f () = α < Οότε h() h < και αό Θ. Bolzano υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ξ h( ξ ) = ξf ( ξ ) = 6 e γ) [ ] τέτοιο ώστε e e e e e z ln d ln d ln d ln d Α = ln ln = = = = d = e e e = e ln e ln d = e d = e [ ] = e ( e ) = e e + = B. + ( ηµ ) α) f () f () ηµ = + συν f () f () ηµ + ηµ = + συν + ηµ ( f () ) ( ) ηµ = + ηµ + συν ηµ = ± + = ± + + ηµ Είναι f () = οότε έχουμε για = f () f () f () = + + ηµ = + = ή Άρα f () = + + ηµ f () ηµ = + f () = + + ηµ = + = αορρίτεται β) lim = lim = lim + = lim + lim g() ηµ + + ηµ + ηµ + ()

7 ηµ Είναι lim = = ( + ) ( + + ) + = lim = lim ( + )( + ) και lim lim ( + + ) + = = = lim = lim = = ( + + ) ( + + ) Οότε αό () g() lim = + = f () ημ + + ημ + lim = lim = lim + lim () ,> ημ Είναι ημ και είναι lim, lim :( > ) = = + + ημ Οότε αό Κριτήριο Παρεμβολής lim = , > + lim = lim = lim = lim f () Οότε αό () lim = + = + γ) :( ) ημ + + ημ ημ ημ = + = + + ημ + + ημ f () f () Για κάθε, η ημ είναι γνησίως αύξουσα οότε για κάθε,, ( ) < ημ < ημ ημ < ημ + < < + < + + < ημ < + + ημ f < f Άρα για, η f είναι γνησίως αύξουσα οότε αό () f () f

8 δ) Για, το σύνολο τιμών της f είναι f γν. αυξ. f, lim f (), lim f () + = + + lim f () = lim ημ + + = ημ + + = lim f () lim ημ = + ημ + = + + = + + Οότε αό () f, =, + + Το σύνολο τιμών δεν εριέχει την τιμή άρα η f δεν έχει ρίζα στο, () Είναι g() = f () και έχουμε f γν. αυξ. + < f < f f < f g < g g γνησίως αύξουσα Είσης για, είναι g = f = = Άρα η g έχει ρίζα το μηδέν και εειδή είναι γνησίως αύξουσα η ρίζα είναι μοναδική

Σχετικά έγγραφα

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων 7 Μαΐου 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ.33 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.6 Α3. Ορισμός σχολικού βιβλίου