ΕΥΤΕΡΑ, 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Transcript

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΕΥΤΕΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατόµενης της γραφικής αράστασης της f στο σηµείο A(x,f(x )). Μονάδες Α. Να αοδείξετε ότι αν µία συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σε σηµείο x του εδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες 8, Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίλα στο γράµµα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α. Αν η f είναι αραγωγίσιµη στο x, τότε η f είναι άντοτε συνεχής στο x.. Αν η f δεν είναι συνεχής στο x, τότε η f είναι αραγωγίσιµη στο x. γ. Αν η f έχει δεύτερη αράγωγο στο x τότε η f είναι συνεχής στο ση- µείο x. Μονάδες,

2 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίλα τον α- ριθµό της στήλης Β ου αντιστοιχεί στην εφατόµενη της κάθε συνάρτησης στο σηµείο x. Στήλη Α Στήλη Β συναρτήσεις α. f (x) x, x. y x +. f (x) ηµx, x. y x + γ. f (x) x, x. y 9x 6 δ. f (x) x, x. y 9x + Α. Αάντηση: σελίδα σχολικού ιλίου Α. Αάντηση: σελίδα 7 σχολικού ιλίου. δεν υάρχει Β. Αάντηση: α ΛΑΘΟΣ, ΛΑΘΟΣ, γ ΣΩΣΤΗ Β. Αάντηση: α,, γ, δ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ΕΥΤΕΡΟ z + i ίνεται η συνάρτηση f(z),z C µε x i, όου z ο συζυγής του z. z i (α) Να ρείτε την τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών αριθµών: f(9 i) Μονάδες 6 w w f(9 i) Μονάδες 6 w () Θεωρούµε τον ίνακα M, όου w το µέτρο του w µιγαδικού αριθµού w του ερωτήµατος (α). Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή ρόταση. Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Τ µε ίνακα Μ είναι: Α. στροφή µε κέντρο την αρχή των αξόνων και γωνία θ Β. συµµετρία ως ρος τον άξονα x x Γ. συµµετρία ως ρος τον άξονα y y. συµµετρία ως ρος την ευθεία y x Ε. οµοιοθεσία µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ Μονάδες

3 (γ) Αν Μ ο ίνακας του ερωτήµατος (), τότε να ρεθεί ο ίνακας Χ ώστε να ισχύει Μ Χ Κ, όου Κ είναι ο ίνακας ου αντιστοιχεί στο γραµµικό µετασχηµατισµό στροφής µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ. Μονάδες 8 z + i Είναι f(z), µε z C, z i. z i (α) Έχουµε ότι: (9 i) + i 8 9i w f(9 i) 9 + i i 9 + i ( i) ( i) [συν( ) + iηµ( )] (συν( ) + iηµ( )) Είναι, οότε έχουµε: w f(9 i) ( ( ) 9 i ( i)( i) + i i) [συν( ) + iηµ( )] () Είναι: Μ w αάντηση Β w συν ηµ (γ) Είναι: K. ηµ συν ΈχουµεΜΧ Κ Χ. Ο ίνακας Μ έχει ορίζουσα, άρα είναι αντιστρέψιµος µε Μ, οότε η εξίσωση γίνεται Χ.

4 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f (x) > για κάθε x (, ). Αν f () και f (), να δείξετε ότι: (α) Η ευθεία y τέµνει τη γραφική αράσταση της f σε ένα ακριώς σηµείο µε τετµηµένη x (, ) Μονάδες 7 f + f + f + f () υάρχει x (, ) τέτοιο ώστε f(x ). Μονάδες (γ) υάρχει x (, ) ώστε η εφατόµενη της γραφικής αράστασης της f στο σηµείο M(x,f(x )) να είναι αράλληλη στην ευθεία y x +. Μονάδες 6 (α) Θεωρούµε τη συνάρτηση g(x) f(x) στο διάστηµα [, ] ου είναι συνεχής και είναι: g() f() g() f() Άρα είναι g ()g() <, οότε αό θεώρηµα Bolzano υάρχει x (, ) ώστε να είναι g(x ) f(x ). Εειδή είναι g (x) f (x) >, x (, ), η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη- µα [, ] άρα το x είναι µοναδικό. ΣΧΟΛΙΟ: Το ερώτηµα αντιµετωίζεται και µε θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών () Εειδή f (x) >,x (, ) αφού η f συνεχής και γνήσια αύξουσα στο [, ] θα ισχύουν: < < f() < f < f() < f < < < f() < f < f() < f < < < f() < f < f() < f < < < f() < f < f() < f < Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: f + f + f + f < f + f + f + f < < <

5 λ ε Άρα, αό θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών υάρχει x (, ) ώστε να είναι f + f + f + f f(x ). (γ) Θεωρούµε h(x) f(x) x, x [, ] µε h (x) f (x), x [, ]. Είναι: h() f() h() f() Άρα είναι h () h(), οότε αό θεώρηµα Rolle υάρχει x (, ) ώστε να είναι h (x) f (x) f (x ) (). Έστω (ε) η εφατόµενη της C f στο σηµείο M(x,f(x )) ου έχει συντελεστή διεύθυνσης f (x ) και (η) η ευθεία µε εξίσωση y x + µε συντελεστή διεύθυνσης λ η. Αό την () ροκύτει λ λ, άρα είναι (ε)//(η). ε η ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Τη χρονική στιγµή t χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρµακο. Η συγκέντρωση του φαρµάκου στο αίµα του ασθενούς δίνεται αό τη συνάρτηση αt f(t), t, όου α και είναι σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί και ο t + χρόνος t µετράται σε ώρες. Η µέγιστη τιµή της συγκέντρωσης είναι ίση µε µονάδες και ειτυγχάνεται 6 ώρες µετά τη χορήγηση του φαρµάκου. (α) Να ρείτε τις τιµές των σταθερών α και. Μονάδες () Με δεδοµένο ότι, η δράση του φαρµάκου είναι αοτελεσµατική, ό- ταν η τιµή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση µε µονάδες, να ρείτε το χρονικό διάστηµα ου το φάρµακο δρα αοτελεσµατικά. Μονάδες αt (α) Έχουµε ότι f(t), t. Είναι: t + t t αt αt α( + ) αt α + f (t) t t [+ ] [+ ] α( t)( + t) t [+ ] α αt t [+ ]

6 Ισχύει f (6) και f (6) (αφού η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη, αρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σηµείο x 6 του διαστήµατος (, + ), οότε αό το θεώρηµα Fermat θα ισχύει f (6) ). Είναι λοιόν: 6α 6α f(6) 6 α,> α + f (6) 6 6 α( 6)( + 6) t οότε είναι f (t), t. t + 6 () Πρέει να είναι: t t t f(t) t + t + t t t + 6 t [,] ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα θέµατα καλύτουν το µεγαλύτερο µέρος της ύλης και κρίνονται αυξηµένης δυσκολίας. Ειδικά στα Θέµατα και, ρέει ο υοψήφιος να διακρίνεται: (α) αό την ευχέρεια στην εκτέλεση των ράξεων, και () αό την ικανότητα καλής ανααραγωγής των γνώσεων του σχολικού ιλίου. Τα Θέµα κρίνεται ως το δυσκολότερο θέµα των σηµερινών εξετάσεων, ααιτώντας αυξηµένη συνθετική ικανότητα αό τον υοψήφιο και ιδιαίτερα το, ου θέλει καλή γνώση στην εφαρµογή του Θεωρήµατος Ενδιαµέσων Τιµών. Γενικά, η ροσδοκία µέσης και υψηλής αθµολογίας θα ειτευχθεί µόνο αό ολύ καλά ροετοιµασµένους υοψήφιους. Οι ροτεινόµενες λύσεις είναι ενδεικτικές. 6