i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.

Transcript

1 Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει σε σταθερό εµπόδιο, του οποίου το ύψος είναι τέτοιο, ώστε κατά την στιγµή της κρούσεως η ευθεία που ενώνει το κέντρο της στεφάνης µε την ακµή του εµποδίου να σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. i Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. ii Nα βρεθεί η ελάχιστη τιµή της v, ώστε η στεφάνη να υπερπηδήσει το εµπόδιο, αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g. Nα υποθέσετε ότι η στεφά νη δεν αναπηδά και ότι µεταξύ αυτής και του εµποδίου υπάρχει κατάλληλη τριβή ώστε, όσο χρόνο η στεφάνη είναι σ επαφή µε το εµπόδιο να αποφεύ γεται η ολίσθησή της πάνω σ αυτό. ΛYΣH: i Eάν Δt είναι ο χρόνος κρούσεως της στεφάνης µε το εµπόδιο M, τότε επειδή Δt η ώθηση της ροπής του βάρους w της στεφάνης ως προς το σηµείο M θα τείνει στο µηδέν. Eξάλλου κατά τον χρόνο Δt η ροπή της δύναµης που δέχεται η στεφάνη από το εµπόδιο (αντίδραση του εµποδίου, περί το σηµείο M είναι µηδενική, οπότε η στροφορµή της στεφάνης περί το σηµείο αυτό παραµένει σταθερή στην διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: L "$ '( = L µ*+,- µ./ L "$ '( = L µ*+,- µ./ (1 Σχήµα 1 Όµως το µέτρο της στροφορµής της στεφάνης, περί το ακίνητο σηµείο M, λίγο πριν την κρούση της µε το εµπόδιο είναι:

2 L "$ '( = mv R"$ + I O ( όπου I Ο η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της O και είναι κάθετος στο επίπεδό της και η γωνιακή ταχύτητα περιστρο φής της στεφάνης περί τον άξονα αυτόν. Όµως ισχύει I Ο =mr και ω =v /R, οπότε η ( γράφεται: L "$ '( = mv R"$ + mr (v /R= mv R(1 + "$ (3 Eξάλλου, το µέτρο της στροφορµής της στεφάνης περί το M, λίγο µετά την κρούση της µε το εµπόδιο είναι: L µ"$ µ'( = I M " = I M v /R ( (4 όπου I M η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το σηµείο M, ω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της στεφάνης αµέσως µετά την κρούση της µε το εµπόδιο και v το µέτρο της αντίστοιχης ταχύτητας του κέντρου µάζας της. Όµως για την I M ισχύει η σχέση: I M = I Ο + mr = mr + mr = mr οπότε η (4 γράφεται: L µ"$ µ'( = mr ( v /R = mr v (5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1, (3 και (5 παίρνουµε: mr v = mv R( 1 + "$ v = v ( 1 + "$ / (6 ii Για να υπερπηδήσει η στεφάνη το εµπόδιο χωρίς να ολισθήσει πάνω σ αυτό, πρέπει την στιγµή που η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας της (ως προς σηµείο περιστρο φής M είναι κατακόρυφη, η κινητική ενέργεια της στεφάνης να είναι µεγαλύτερη ή οριακά ίση µε µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: K M O " (7 Eφαρµόζοντας για την στεφάνη το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, µεταξύ των θέσεων MO και MO της επιβατικής ακτίνας του κέντρου µάζας της, παίρνουµε: K M O - K MO = W + w W K F M O - I M " / = - mgr( 1 - µ$ + K M ( = - mgr( 1 - "µ O - mr v / R K M O - m v = - mgr( 1 - "µ (8 (H αντίδραση F του εµποδίου, δεν παράγει έργο στην διάρκεια της περιστροφής της στεφάνης περί το εµπόδιο. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7 και (8 παίρνουµε:

3 m v - mgr( 1 - "µ $ v " gr( 1 - µ$ (6 v ( 1 + "$ 4gR /4 gr( 1 - µ$ ( 1 - "µ v ( 1 + $ v ( v ( 1 + $ min = 4gR 1 - "µ gr( 1 - µ" 1 + $" P.M. fysikos Mια σφαίρα κυλίεται κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσεως φ κατερχόµενη προς την βάση του, όπου συναντά οριζόντιο επίπεδο, το οποίο αποτελεί συνέχεια του κεκλιµένου επιπέδου. Mε την προϋπόθεση ότι, η σφαίρα κατά την µετάβασή της από το κεκλιµένο στο ορι ζόντιο επίπεδο δεν αναπηδά ούτε ολισθαίνει, να βρείτε την εκατοστιαία µείω ση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας. Δίνεται η ροπή αδράνειας I C = mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, όπου m η µάζα και R η ακτίνα της. ΛYΣH: Έστω v C η ταχύτητα του κέντρου C της σφαίρας, λίγο πριν έλθει σ επαφή µε το οριζόντιο επίπεδο στο σηµείο A και v C η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας, αµέσως µετά την επαφή της µε το οριζόντιο επίπεδο. Στον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt που διαρκεί η µετάβαση της σφαίρας από το κεκλιµένο στο οριζόντιο επίπεδο, η ώθηση της ροπής του βάρους w της σφαίρας περί το σηµείο A είναι ασήµαντη (τείνει στο µηδέν, Σχήµα ενώ η αντίστοιχη ροπή της δύναµης κρούσεως που δέχεται η σφαίρα από το οριζόντιο έδαφος είναι µηδενική, διότι ο φορέας της δύναµης αυτής διέρχεται από το σηµείο A. Aυτό σηµαίνει ότι, κατά τον χρόνο Δt η στροφορµή της σφαίρας περι το σηµείο A δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: (A L "$ '( = L (A µ*+,- µ./ (A (A L "$ '( = L µ*+,- µ./ Όµως για το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας λίγο πριν την κρούση της µε το ορι ζόντιο επίπεδο ισχύει: (1

4 (A L "$ '( = I C + mv C R"µ (/ - $ (A L "$ '( = mr v 5R + mv CR"$ (A L "$ '( = mv C R( /5 + "$ ( όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της κυλιόµενης σφαίρας λίγο πριν την κρούση της. Eξάλλου, το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας περί το A, αµέσως µετά την κρούση της µε το οριζόντιο επίπεδο, είναι: (A L µ"$ µ'( = I C " + mr v C = mr " / 5 + mr v (3 όπου " η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας λίγο µετά την κρούση της. Όµως είναι δεδοµένο ότι η σφαίρα συνεχίζει να κυλίεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, οπότε θα ισχύει v C =ω R, και η σχέση (3 γράφεται: (A L µ"$ µ'( = mr v C / 5 + mr v C = 7mR v C / 5 (4 Συνδυάζοντας τις (1, ( και (4 παίρνουµε την σχέση: mrv C ( /5 + "$ = 7mR v C / 5 v C = v C ( + 5"$/ 7 (5 Oι κινητικές ενέργειες της σφαίρας λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση της µε το οριζόντιο επίπεδο είναι: K ". = mv C / + I C $ / K '. = m v ( C / + I C $ ( / * + K ".= mv C / +mr v C /1R ( K $. = m v ' C / +mr v ' C /1R * K ". =7mv C /1 ( K $. = 7m v ' C /1 * (: K ". = v C K $. v ' (6 C Aς υποθέσουµε τώρα ότι, η µείωση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, λόγω της κρούσεώς της µε το οριζόντιο έδαφος αποτελεί τα x/1 της κινητικής της ενέργειας λίγο πριν την κρούση, οπότε θα ισχύει: (6 K ". - K $. = xk ". /1 x = 1( 1 - K ". /K $. " x = 1$ 1 - v v (5 ' x = 1' 1 - ( + 5"$ 49 ( * x = 1 49 [ 49 - ( + 5"$ ] P.M. fysikos

5 Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R κυλίεται ισοταχώς πάνω σε µη λείο οριζόντιο δάπεδο, το οποίο σε κάποια θέση Ο συνεχίζει ως κεκλιµένο προς τα κάτω µε κλίση φ ως προς τον ορίζοντα (σχ. 3. i Nα βρείτε την µέγιστη ταχύτητα του κέντρου του δίσκου στο οριζόντιο δά πεδο, ώστε να συνεχίσει να κυλίεται στο κεκλιµένο δάπέδο. Να δεχθείτε ότι ο δίσκος δεν ολισθαίνει ούτε αναπηδά κατά την µετάβασή του από το οριζόν τιο στο κεκλιµένο δάπεδο. ii Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα περιστ ροφής του δίσκου κατά την κύλισή του στο κεκλιµένο δάπεδο. iii Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου του δίσκου την στιγµή που αυτό βρίσκεται σε απόσταση h κάτω από το οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι C =mr / του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του C. ΛYΣH: i Κατά τον χρόνο που ο δίσκος έχει επαφή µε την κοινή τοµή Ο του ορι ζόντιου και κεκλιµένου δαπέδου (σχ. 3 εκτελεί γνήσια περιστροφή περί την ακµή αυτή υπό την επίδραση του βάρους του w και της δύναµης επαφής από την τοµή Ο που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα N (κάθετη αντίδραση και στην εφαπτοµενική συνιστώσα T (στατική τριβή. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C του δίσκου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τρο χιάς που διαγράφει, παίρνουµε την σχέση: mg"$ - N = m R N = m( g"$ - R (1 Σχήµα 3 όπου θ η γωνία της ΟC µε την κατακόρυφη διεύθυνση και η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. Όµως κατά την περιστροφή του δίσκου οι δυνάµεις N και T δεν παράγουν έργο, που σηµαίνει ότι η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K " + U " = K($ + U($ mv + I C + mgr = I O + mgr"$ mv + mr 4 + mgr = 1 " mr + $ mr ' + mgr(*+

6 v + R + 4gR = 3R + 4gR"$ v + v + 4gR( 1 - "$ = 3R v + 4gR( 1 - "$ /3 = R ( όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλιόµενου δίσκου στο οριζόντιο δάπεδο και η αντίστοιχη γωνιακή του ταχύτητα περιστροφής του, των οποίων τα µέτρα συνδέονται µε την σχέση v =ω R. Η (1 λόγω της ( γράφεται: N = m( g"$ - v / R - 4g/3 + 4g"$ / 3 N = m( 7g"$ / 3 - v / R - 4g/3 (3 Για θ=φ πρέπει Ν, οπότε η προηγούµενη σχέση (3 δίνει: m( 7g"$ / 3 - v / R - 4g/3 v / R 7g"$ / 3-4g/3 v gr ( 3 7"$ - 4 v max = gr ( 3 7"$ - 4 (4 ii Eάν είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου κατά την έναρξη της κύλισής του στο κεκλιµένο δάπεδο (t= η ( την στιγµή αυτή γράφεται: v max + 4gR( 1 - "$ /3 = R gr ( 3 7"$ gR( 1 - "$ 3 (4 = R 3g"$ 3R = = g"$ R Eξάλλου ο κυλιόµενος στο κεκλιµένο δάπεδο δίσκος δέχεται το βάρος του w που ανα λύεται στην παράλληλη προς αυτό συνιστώσα w x και στην κάθετη συνιστώσα w y και τέλος την αντίδραση του δαπέδου που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφική του κίνηση τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: (5 w x - T = ma C " TR = I C ' $ mgµ" - T = ma C TR = mr '/ $ mgµ" - T = ma C T = mr'/ $ mgµ" - mr'/ = ma C gµ" - R'/ = R' '= g"µ / 3R (6 όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δίσκου και " η γωνιακή του επιτάχυν ση. Από την (6 προκύπτει ότι η " είναι σταθερή, δηλαδή η περιστροφική κίνηση του δίσκου είναι οµαλά επιταχυνόµενη και εποµένως η γωνιακή του ταχύτητα ύστερα

7 από χρόνο t αφ ότου αρχισε η κύλισή του στο κεκλιµένο δάπεδο έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: (5,(6 = + "'t = g"$ R + gµ 3R t (7 iii Eάν h είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου κατά την στιγµή που το κέντρο του C βρίσκεται σε απόσταση h κάτω από το οριζόντιο δάπεδο (σχ. 4 θα έχουµε, σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, την σχέση: K " + U " = K h + U h Σχήµα 4 mv max + I C max + mgr = mv h + I " C h - mgh mv max + mr max 4 + mgr = mv h + mr " h 4 - mgh v max + v max 4 + gr = R h + R h 4 - gh 3v max + 4g( R + h = 3R h (5 3gR 3 ( 7"$ g R + h ( = 3R h gr( 7"$ g( R + h = 3R h

8 h = g ( 7"$ - 4 3R + 4g ( R + h 3R h = g 3R ( 7"$ + 4h/R P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο αφήνεται σε σηµείο Σ του κεκλιµέ νου τµήµατος ενός µεταλλικού οδηγού ανακύκλωσης, όπως φαίνεται στο σχήµα (5. i Να βρείτε σε συνάρτηση µε την ακτίνα R του κυκλικού τµήµατος του οδηγού την απόσταση h του σηµείου Σ από το οριζόντιο έδαφος στήριξης, ώστε το σφαιρίδιο να εγκαταλείψει τον οδηγό σε σηµείο που η επιβατική του ακτίνα ως προς το κέντρο Ο του οδηγού υπέρκειται του ορίζοντα κατα γωνία φ=π/6. ii Nα δείξετε ότι το σφαιρίδιο τελικώς θα συναντήσει τον οδηγό στο κατώτ ατο σηµείο του Α. Θεωρήστε ασήµαντη την τριβή ανάµεσα στον οδηγό και το σφαιρίδιο. ΛYΣH: i Aς δεχθούµε ότι η απόσταση h του σηµείου Σ από το οριζόντιο επίπεδο στήριξης του οδηγού έχει κατάλληλη τιµή, ώστε το σφαιρίδιο κινούµενο κατα µήκος του οδηγού να τον εγκαταλείπει στο σηµείο Μ, του οποίου η επιβατική ακτίνα OM υπέρκειται του ορίζοντα κατα γωνία φ=π/6. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά την κίνησή του από το Σ στο Μ παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 5 K + U = K M + U M + mgh = mv M / + mg( R + Rµ" gh = v M + gr( 1 + µ" / 6 gh = v M + 3gR (1 όπου m η µάζα του σφαιριδίου και v M η ταχύτητά του στο σηµείο Μ. Εξάλλου στην θέση Μ το σφαιρίδιο δέχεται µόνο το βάρος του w, του οποίου η ακτινική συνιστώσα

9 w r ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη, δηλαδή ισχύει: w r = mv M / R mgµ" = mv M / R gµ" / 6 = v M / R v M = Rg/ ( Η (1 λόγω της ( γράφεται: gh = Rg/ + 3gR h = 7R / 4 (3 ii To σφαιρίδιο αφού εγκαταλλείψει τον οδηγό στο σηµείο Μ εκτελεί στην συνέχεια ελεύθερη πτώση διαγράφωντας καµπύλη τροχιά στο κατακόρυφο επίπεδο που καθορίζει η ταχύτητά του v M και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Η κίνηση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας οµαλής οριζόντιας κίνησης µε αρχική ταχύτητα v Mx µέτρου v M ηµφ και µιας κατακόρυφης κίνησης µε επιτάχυνση g και αρχική ταχύ τητα v My µέτρου v M συνφ. Εάν x, y είναι οι συντεταγµένες του σφαιριδίου, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy, ύστερα από χρόνο t αφότου έχασε την επαφή µε τον οδηγό, θα έχουµε τις σχέσεις: και x = R"$ - v M tµ$ = R 3 - v t M y = Rµ" + v M t$" - gt = R + 3v t M - gt (4 (5 Εάν t * είναι η χρονική στιγµή που µηδενίζεται η x-συντεταγµένη του σφαιριδίου, από την (4 θα έχουµε: = R 3 - v t M * t * = R 3 v M (6 H αντίστοιχη y-συντεταγµένη του σφαιριδίου θα είναι: y * = R + 3v M t * - gt * (6 y * = R + 3v M R 3 v M - g " R 3 v M $ y * = R + 3R - 3g " R v M ( $ y * = R + 3R - 3g R $ " Rg/ y * = R + 3R - 3R = -R (7 H (7 δηλώνει ότι το σφαιρίδιο ύστερα από χρόνο t * θα συναντήσει τον οδηγό στο κατώ τατο σηµείο του Α. P.M. fysikos

10 Ένα σώµα µάζας Μ έχει την µορφή κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο σχήµα (6. Επί του κεκλιµένου επιπέδου βρίσκεται µικρό σώµα µάζας m, που είναι στερεωµένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και αµελητέου φυσικού µήκους, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεώµενο στο κεκλιµένο επίπεδο, ώστε ο άξο νάς του να είναι παράλληλος προς το επίπεδο. Αρχικά το συστηµα κρατείται ακίνητο, µε το ελατήριο στο φυσικό του µήκος. i Να εξετάσετε την κίνηση της µάζας m στο σύστηµα αναφοράς του κεκλι µένου επιπέδου, όταν αυτό αφεθεί ελεύθερο. ii Nα εξετάσετε την κίνηση της µάζας Μ στο σύστηµα αναφοράς του οριζόν τιου δαπέδου. iii Ποιες είναι οι οριακές µορφές των δύο ανωτέρω κινήσεων, όταν Μ>>m ή Μ<<m; ΛΥΣΗ: i Όταν το κεκλιµένο επίπεδο αφεθεί ελεύθερο, τότε ωθούµενο από το σώµα µάζας m τίθεται σε κίνηση επί του οριζόντιου δαπέδου, στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας του θα µετατοπίζεται παράλληλα προς το δάπεδο. Εξετάζοντας το σώµα στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέδου παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος του w, την δύναµη F " από το τεντωµένο ελατήριο, την δύναµη επαφής N από το κεκ Σχήµα 6 λιµένο επίπεδο της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ αυτό, διότι είναι λείο και τέλος την αδρανειακή ψευδοδύναµη D Alempert =-m a K, όπου a K η επιτάχυνση του κεκ λιµένου επιπέδου στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου, της οποίας ο φορέας είναι κάθε στιγµή οριζόντιος (σχ. 6 Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δίνει στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέδου την σχέση: m d r dt = -F " + w r + r m d r dt = -kr + mgµ" - ma K $" m d r dt = -kr + mgµ" - m d x dt $"

11 m d x dt "$ + d r( ' dt * + kr - mg+µ$ = (1 όπου x το διάνυσµα θέσεως του κεκλιµένου επιπέδου ως προς µία αρχή Ο και r το διάνυσµα θέσεως του σώµατος ως προς το άκρο Α του ελατηρίου την στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα και w r, r οι συνιστώσες των δυνάµεων w, αντιστοίχως κατά την διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου. Εξάλλου η ορµή του συστήµατος των µαζών Μ, m θεωρούµενη στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου διατηρείται σταθερή κατά την διεύθυνση του οριζόντιου άξονα x, διότι το σύστηµα δεν δέχεται οριζόντιες εξωτε ρικές δυνάµεις. Μπορούµε λοιπόν κάθε στιγµή να γράφουµε την σχέση: Mv K + mv x = M dx dt + m d ( dt x + r"$ = M dx dt + m ' dx dt + dr dt "$ ( * = M + m ( M + m d x dt ( dx dt + m dr dt "$ = + m d r "$ = ( dt όπου v K η ταχύτητα του κεκλιµένου επιπέδου και v x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύ τητας v της µάζας m. Oι σχέσεις (1 και ( αποτελουν τις διαφορικές εξισώσεις κίνη σης του συστήµατος, που µας επιτρέπουν να διαχειριστούµε τον τρόπο που κινούνται οι µάζες Μ και m. H ( γράφεται: d x dt = - m"$ ( ' * M + m d r dt (3 oπότε η (1 παίρνει την µορφή: m - m" $ ' M + m + 1 ( * d r + kr = mg+µ$ dt ' $ 1 - m" $ M + m M + mµ " M + m ( * ( ' d r dt + k m r = g+µ$ d r dt + k m r = gµ" d r dt + k m r = g"µ µε = M + m"µ M + m > (4 Η (4 είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθε ρους συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

12 µε r(t = mgµ" k = k m" = k M + m m M + mµ $ + Rµ (t + $ (5 ( ( (6 ενώ οι ποσότητες R, θ αποτελούν σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της µάζας m. Παραγωγίζοντας την (5 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα της µάζας m στο σύστηµα αναφοράς του κεκλιµένου επιπέ δου, δηλαδή θα έχουµε: v(t = dr(t dt = R"$ (t + (7 Oι σχέσεις (5 και (7 για t= δίνουν: = mgµ" / k + Rµ ( = R$' * Rµ" = -mgµ / k " = $/ ' R = -mgµ" / k = $/ ' οπότε η (5 γράφεται: r(t = mgµ" k - mgµ" k µ t + $ ( ' * (8 H (8 δηλώνει ότι η σχετική κίνηση της µάζας; m ως προς το κεκλιµένο επίπεδο, είναι αρµονική ταλάντωση περί την θέση ισορροπίας της r =mgηµφ/k. ii Aν παραγωγίσουµε την (8 δύο φορές ως προς τον χρόνο t, αντικαταστήσουµε στην (3 την δεύτερη παράρωγο d r/dt και λάβουµε ακόµη υπ όψη µας την (6, θα πάρουµε τελικά την σχέση: d x dt = - mgµ"$" M + mµ " $t (9 η οποία δηλώνει ότι η επιτάχυνση του κεκλιµένου επιπέδου στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, δηλαδή η κίνησή του είναι αρµονι κή ταλάντωση κυκλικης συχνότητας ω. iii Η σχέση (3 για Μ>>m παίρνει την προσεγγιστική µορφή: d x dt - m"$ ( + ' M * d r dt από την οποία προκύπτει ότι η επιτάχυνση του κεκλιµένου επιπέδου είναι πολύ µικρή, δηλαδή µπορούµε να δεχθούµε µε ικανοποιητική προσέγγιση ότι αυτό µένει περίπου ακίνητο όταν το σύστηµα αφεθεί ελευθερο. Έτσι η µάζα m θα εκτελεί αρµονική ταλάν τωση κυκλικής συχνότητας " k / m. δηλαδή περί που ίσης µε εκείνη που αντιστοι χεί στην περίπτωση που το κεκλιµένο επίπεδο είναι πακτωµένο.

13 H οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης της µάζας m στο σύστηµα αναφοράς του δαπέ δου είναι: a x = d dt ( x + r"$ = d x dt + d r "$ (1 dt Eξάλλου η (3 για Μ<<m παίρνει την προσεγγιστική µορφή: d x dt - m"$ ( + ' m * d r dt d x dt + "$ d r dt και η (1 δίνει α x, που σηµαίνει ότι το σώµα δεν θα µετακινείται οριζόντια ως προς το δάπεδο θα εκτελεί δε ως προς αυτό κατακόρυφη ταλάντωση µε εξίσωση κίνησης: (8 r y = rµ" r y = mgµ " k ( 1 - $t µε " 1 µ$ k m Όσον αφορά το κεκλιµένο επιπεδο αυτό θα εκτελεί επί του δαπέδου αρµονική ταλάν τωση της ίδιας κυκλικής συχότητας µε το σώµα και θα βρίσκεται συνεχώς σε επαφή µε αυτό. P.M. fysikos