διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!

Transcript

1 Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες αποστάσεις τους από τον άξονα περιστροφής είναι L και L. Κάποια χρονική στιγµή το σύστηµα αφήνεται χωρίς αρχι κή κίνηση µέσα στο πεδίο βαρύτητας. Να βρεθεί η δύναµη που ασκεί ο άξονας στη ράβδο αυτή τη στιγµή. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα της ράβδου και των δύο σηµειακών µαζών την χρονική στιγµή t=0 που αφήνεται ελεύθερο εκ της ηρεµίας. Τη στιγµή αυτή το σύστηµα εκτελεί περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m g, m g των µαζών m και m αντιστοίχως και της δύναµης F από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακό ρυφη συνιστώσα F. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τη σχέση; "# = I O d dt m L g - m L g = (m L + m L )' '= g(m L - m L ) m L + m L () όπου "# η συνολική ροπή περί τον άξονα περιστροφής που δέχεται το σύστηµα, ' η γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος κατα την έναρξη της περιστροφής του και Ι Ο η ροπή αδράνειας του ως προς τον άξονα αυτόν. Εξάλλου για την κίνηση του κέντρου µάζας C του συστήµατος κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Οx και Oψ ισχύει ο δεύτερος νόµος του Νευτωνα, που µας επιτρέπει να γράψουµε τις σχέσεις:

2 άξονας (x) : F x = (m + m )v (0)/ L F x = 0 () άξονας ( ) : F - (m + m )g = (m + m )a (0) (3) όπου L η απόσταση του κέντρου µάζας από τον άξονα περιστροφής, v (0) η ταχύτητα του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t=0, η οποία είναι µηδενι κή και a (0) η αντίστοιχη επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας. Όµως ισχύει και η σχέση: a (0) = (" '# L () ) a (0) = -"'L a (0) = - gl(m L - m L ) m L + m L (4) όπου L το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας C ως προς το Ο. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: " F = (m + m ) g - L(m L - m L )g % m L ' # + m L & " F = (m + m )g - L(m L - m L )% m L ' (5) # + m L & Όµως από τη γνωστή ιδιότητα του κέντρου µάζας µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: m (L + L) = m (L - L) m L + m L = m L - m L L = (m L - m L )/ m + m οπότε η (5) παίρνει τη µορφή: " (m F = (m + m )g - L - m L ) % # (m + m )(m L + m L ' (6) )& Παρατηρήσεις: i) Εάν m =0 ή m =0, τότε η (6) δίνει F ψ =0, δηλαδή στην περίπτωση αυτή ο άξονας περιστροφής του συστήµατος δεν καταπονείται κατά την έναρξη της περιστροφής. ii) Eάν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο µάζας, τότε θα ισχύει m L =m L και η (6) δίνει F ψ =(m +m )g. Στην περίπτωση αυτή η αντίδραση του άξονα (κατά µέτρο) ισούται µε το άθροισµα των βαρών των δύο µαζών. P.M. fysikos

3 Ένα στερεό σώµα µάζας m µπορεί να στρέφεται περί σταθερό ορι ζόντιο άξονα που τέµνει το επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας C του στερεού κάθετα σε σηµείο Ο, που απέχει από το C απόσταση L. Εκτρέπουµε το σώµα από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας και το αφήνουµε ελεύθερο. Nα δείξετε ότι η δύναµη δεσµού A που ασκεί ται από τον άξονα στο στερεό δίνεται κάθε χρονική στιγµή από τη σχέση: A = -m( g + R C k µ") µε k =Ιg/L όπου Ι η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστρο φής του, φ η γωνιακή εκτροπή του από τη θέση ισορροπίας, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και R C το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας του ως προς το Ο. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση κατά την στιγµή t παρατη ρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του m g και τη δύναµη A από τον άξονα περιστροφής του (δύναµη δεσµού) της οποιάς ο φορέας διέρχεται από το σηµείο Ο. Εφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή για το κέντρο µάζας του σώµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: m d R C dt = m g + A A = m d R C - m g = m d R C - g dt # " dt & () % όπου R C το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας του σώµατος ως προς το σηµείο Ο, κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t. Όµως για το διάνυσµα R C ισχύει η σχέση: R C = x C i + C j = L"µ# i + L%&# j ()

4 όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των ορθογώνιων αξόνων Οx και Οψ αντιστοίχως και x C, ψ C oι συντεταγµένες του κέντρου µάζας κατά την στιγ µή t. Παραγωγίζοντας δύο φορές την () ως προς τον χρόνο t έχουµε: d R C dt d = L"# dt i - L%µ d dt j d R C = -Lµ" d " i - L#%" d " j dt dt dt d R C = -L d ("µ i + #% j )"µ i = -L d R dt dt dt C (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: " A = m -L d R dt C - g % " ' = -m L d R # & dt C + g % ' (4) # & Εξάλλου εφαρµόζοντας για το σώµα κατά την χρονική στιγµή t τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τη σχέση: I d dt = # (") I d dt = # (") (5) όπου Σ(τ) το αλγεβρικό άθροισµά των ροπών των δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί τον άξονα περίστροφής του και φ η γωνιακή του εκτροπή από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας του. Όµως η ροπή της A είναι συνεχώς ίση µε µηδέν, αφού ο φορέας της δύναµης αυτής διέρχετα από το Ο, ενώ η ροπή του βάρους m g του σώµατος τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας του, δηλαδή σε αριστερόστροφη γωνιακή εκτροπή του η ροπή αυτή τείνει να το στρέψει δεξιόστροφα και αντιστρόφως. Έτσι η σχέση (5) παίρνει την µορ φή: d dt = - mgl "µ = -k "µ µε k = mgl (6) I I Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: A = -m( g + R C k µ") P.M. fysikos Λεπτός δίσκος Δ, µάζας m και ακτίνας R, στρέφεται περί σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθε τος στο επίπεδό του, µε γωνιακή ταχύτητα 0. Ένας άλλος δίσκος

5 Δ όµοιος µε τον πρώτο κινούµενος µεταφορικά µε σταθερή ταχύ τητα v 0 και στο ίδιο επίπεδο µε τον Δ προσκρούει σ αυτόν κεντρι κώς και ανακλάται σε διεύθυνση κάθετη προς την ταχύτητα v 0. i) Εάν η κρούση είναι ανελαστική και µεταξύ των δίσκων υπάρχει τριβή να εξετάσετε την κίνηση του δίσκου Δ µετά την κρούση. ii) Nα υπολογίσετε την απώλεια µηχανικής ενέργειας του συστή µατος. iii) Nα υπολογίσετε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης µεταξύ των δύο δίσκων. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου Δ ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=mR /. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρουση των δύο δίσκων, ο Δ δέχεται δύναµη επαφής από τον Δ, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T που είναι εφαπτοµενική του δίσκου και στην κάθετη αντίδραση N που έχει ακτινική διεύθυνση. Εφαρµόζοντας για τον δίσκο αυτόν τον νόµο µεταβολής της στροφορµής παίρνουµε τη σχέση: I = I 0 - T R"t T Rt = I(" 0 - " ) T Rt = mr (" - " ) T mr 0 t = (" - " ) () 0 όπου η γωνιακή ταχύτητα του Δ µετά την κρούση. Εξάλλου κατά τον χρόνο Δt ο δίσκος Δ δέχεται δύναµη επαφής από τον Δ, η οποία αναλύεται στην εφαπτοµενική τριβή ολίσθήσεως T, αντίθετη της T και την κάθετη αντίδραση N, αντίθετη της N (τρίτος νόµος του Νεύτωνα). Εφαρµόζοντας για τον δίσκο Δ το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων x και ψ παίρνουµε τις σχέσεις: mv x = mv 0 + N t# mv " = 0 + T t % N t = m(v + v ) # x 0 T t = mv " % N t = mv # 0 T t = mv " % ()

6 όπου v x, v οι αντίστοιχες συνιστώσες της ταχύτητας v του δίσκού Δ µετά την κρούση, µε v x =0. Όµως ο δίσκος Δ αποκτά κατά τον χρόνο Δt περιστροφική κίνηση εξ αιτίας της ροπής της τριβής T περί άξονα που διέρ χεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, οπότε εφαρµό ζοντας τον νόµο µεταβολής της στροφορµής παίρνουµε για τον δίσκο αυτόν τη σχέση: -I = 0 - T R"t mr = T R"t T t = mr " (3) όπου η γωνιακή ταχύτητα του Δ µετά την κρούση. Εξάλλου το σηµείο κρούσεως Α των δίσκων έχει την ίδια εφαπτοµενική ταχύτητα και για τους δύο δίσκους, δηλαδη µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: v + R" = R" v = R(" - " ) (4) Συνδυάζοντας την δεύτερη από τις σχέσεις () µε την (4) παίρνουµε: () T t = mr(" - " ) mr( 0 - )/ = mr( - ) 0 = 3 - (5) Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: mr = mr ( 0 - ) 0 = + (6) Aπό την λύση του συστήµατος των (5) και (6) προκύπτει: = και = 0 5 (6) Τέλος συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε: v = R( 3" " 0 5 ) v = R 0 5 (7) Η παραπάνω ανάλυση εγγυάται ότι ο δίσκός Δ µετά την κρούση θα εκτελεί επίπεδη οριζόντια κίνηση που αποτελείται από µια µεταφορική κίνηση κατά την οποία το κέντρο του θα µετατοπίζεται µε ταχύτητα v = v κάθετη στην v 0 και από µια στροφική κίνηση περί το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα αντίρροπή της 0. ii)έαν ΔΕ είναι η απώλεια µηχανικής ενέργειας κατά την ανελαστική κρούση των δίσκων, αυτή θα υπολογίζεται από τη σχέση:

7 E = I" 0 + mv 0 - E = I " 0 - " - " E = mr 4 # I" + I" + mv & % ( ' ( ) + m v ( 0 - v ) (6),(7) " 0-9" 0 5-4" # & 0 % 5 ( + m ' v 0 - R # " 0 & % 5 ( ' E = m R # " 0 % 5 & + v 0 ( ' iii) Διαιρώντας κατά µέλη την πρώτη και την δεύτερη από τις σχέσεις () παίρνουµε: T t N t = mv (4) " mv 0 T = R( (6) - ) N v 0 n = R(3 0/5-0 /5) v 0 = R 0 5v 0 όπου n ο ζητούµενος συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των δύο δίσκων. P.M. fysikos Οµογενής κύκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας R, στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C και είναι κάθετος στις βάσεις του. Κάποια στιγµή η κάτω βάση του δίσκου έρχεται σ επαφή µε τραχύ οριζόντιο έδαφος µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. i) Nα δείξετε ότι ο δίσκος δέχεται λόγω της επαφής του µε το έδαφος σταθερή ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του, που είναι αντίρροπη της γωνιακής του ταχύτητας. ii) Eάν 0 είναι η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου την στιγµή που έρ χεται σ επαφή µε το έδαφος, να βρείτε τον συνολικό αριθµό περισ τροφών του µέχρις ότου ηρεµήσει. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι C =mr /.

8 ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε το τµήµα του κυκλικού δίσκου που περιέχεται µεταξύ των ακτίνων r και r+dr, µε 0 r R. Το τµήµα αυτό είναι ένας λεπτότοιχος κυλινδρικός δακτύλιος πάχους dr και ύψους ίσου προς το πάχος h του δίσκου. Ένα στοιχείο του δακτυλίου αυτού που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία dφ δέχεται από το οριζόντιο έδαφος στοιχειώδη τριβή ολίσθησης d T, η οποία είναι αντίρροπη της ταχύτητάς του v το δε µέτρο της είναι: dt = nw * dv () όπου dv ο όγκος του στοιχείου και w * το βάρος του δίσκου ανά µοναδά όγκου. Όµως για τον όγκο dv ισχύει: dv = hds = hrd.dr () όπου ds το εµβαδόν της τοµής του στοιχείου µε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής του δίσκου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: dt = nw * hrdrd (3) H ροπή d της d T περί τον άξονα περιστροφής του δίσκου έχει κατεύ θυνση αντίθετη προς την γωνιακή του ταχύτητα και µέτρο που δίνεται από τη σχέση: (3) d = rdt d = nw * hr drd" (4) Το µέτρο της συνολικής ροπής που δέχεται ο δίσκός θα προκύψει µε διπλή ολοκλήρωση της (4) µε όρια ολοκλήρωσης για µεν τη γωνία φ από 0 έωςς π και για την r από 0 έως R, δηλαδή θα ισχύει: # R = nw * hr drd" = nw * h# r dr 0 0 R 0 = "nw * h R3 3 = 3 nrw * ("R h) = nrmg (5) 3 Aπό την (5) προκύπτει ότι η ροπή της τριβής ολίσθησης που δέχεται ο δίσκος από το οριζόντιο έδαφος είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι η περιστρο

9 φική του κίνηση περί τον άξονά του είναι οµαλά επιβραδυνόµενη µε γωνια κή επιβράδυνση ', της οποίας το µέτρο είναι: '= " I (5) '= nmgr / 3 mr / = 4ng 3R (6) ii) H γωνία στροφής φ max του δίσκου µέχρις ότου ηρεµήσει, δίνεται από τη σχέση: max = " 0 "' (6) max = " 0 8ng/3R = 3R" 0 8ng Ο αντίστοιχος αριθµός Κ περιστροφών του δίσκου είναι: (7) K = max " (7) K = 3 R 0 6 "ng P.M. fysikos Oµογενής κύλινδρος, µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα συγκ ρατούµενος µε τη βοήθεια ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, όπως φαίνεται στο σχήµα (α). i) Eάν n είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του κεκλιµέ νου επιπέδου και του κυλίνδρου, να βρεθεί η αναγκαία συνθήκη ώστε ο κύλινδρος να ισορροπεί. ii) Eάν ο κύλινδρος εκτραπεί λίγο από τη θέση ισορροπίας του και αφεθεί ελεύθερος, να δείξετε ότι θα εκτελέσει στροφική αρµονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο, µε την προυπό θεση ότι ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. iii) Ποια σχέση πρέπει να δεσµεύει το πλάτος της ταλάντωσης του κυλίνδρου, ώστε η συνθήκη του πρώτου ερωτήµατος που εξασφαλί ζει την ισορροπία του να εξασφαλίζει και την µη ολίσθησή του; Δίνεται ότι, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον γεωµετρι κό του άξονα είναι I C =mr /. ΛYΣH: i) Eξετάζοντας τoν κύλινδρο όταν αυτός ισορροπεί, παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος του w, το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w, την πλάγια αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος τη δύναµη

10 F " από το τεντωµένο ελατήριο (σχήµα α). Λόγω της ισορροπίας του κυλίν δρου ισχύουν οι σχέσεις: w - F " - T = 0# F " R - TR = 0 % mgµ" - kx 0 - T = 0# kx 0 - T = 0 % () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () παίρνουµε: T = mgµ" T = mgµ" / () Σχήµα α. Επειδή η τριβή είναι στατική ισχύει η σχέση: () T nn T nmg"#% mgµ" / # nmg%&" "# n (3) H (3) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. ii) Όταν ο κύλινδρος εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας του και αφεθεί ελεύ θερος θα δέχεται τις ίδιες όπως και προηγούµενα δυνάµεις και εφόσον δεν ολισθαίνει η κίνησή του κάθε στιγµή µπορεί να θεωρηθεί ως γνήσια περισ τροφή περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής που ταυτίζεται µε την γεννέ τειρα επαφής του µε το κεκλιµένο επίπεδο. Εξετάζοντας τον κύλινδρο κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας C του κυλίν δρου είναι x και θεωρώντας ως θετική φορά περιστροφής την φορά της αντίστοιχης γωνιακής εκτροπής θ του κυλίνδρου διαπιστώνουµε ότι δέχεται ως προς τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής ροπή επαναφοράς "#, της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι: "# = -F # R + w R = -(kx 0 + kx)r + mgr%µ& (),() "# = (-kx 0-4kx + mgµ%)r "# = -4kRx = -4kRR%& = -4kR %& (4) διότι ισχύει x=rεφθ. Όµως η γωνιακή εκτροπή θ είναι πολύ µικρή, οπότε

11 µπορούµε να γράψουµε τη σχέση εφθ θ µε αποτέλεσµα η (4) να παίρνει τη µορφή: "# = -4kR = -D * µε D * =4kR (5) H σχέση (5) εγγυάται ότι ο κύλινδρος θα εκτελεί στροφική αρµονική ταλάν Σχήµα β. τωση περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής, µε κατευθύνουσα ροπή επανα φοράς D * =4kR και περίοδο Τ * που δίνεται από τη σχέση: T * = T * = I A D * = I C + mr D * T * = mr / + mr 4kR 3m k (6) iii) Στην διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου το κέντρο µάζας του εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση πάνω σε διεύθυνση παράλληλη προς το κεκ λιµένο επίπεδο µε περίοδο Τ *, οπότε λαµβάνοντας ως θετική φορά στην δι εύθυνση αυτή τη φορά της αποµάκρυνσης x του κέντρου µάζας θα έχουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, τη σχέση: w - F " - T = ma C mgµ" - k(x 0 + x) - T = ma C mgµ" - mgµ" / - kx - T = ma C mgµ" / - kx - T = ma C (7) όπου a C, x, oι αλγεβρικές τιµές της επιτάχυνσης a C και της αποµάκρυνσης x αντιστοίχως του κέντρου µάζας και Τ η αλγεβρική τιµή της στατικής τριβής. Όµως κάθε στιγµή ισχύει a C =-(π/τ * ) x µε αποτέλεσµα η (7) να παίρ νει τη µορφή: (6) mgµ" / - kx - T = -m(4# /T * )x mgµ" / - kx - T = -8kx/3

12 T = mgµ" / + kx/3 (8) Επειδή θέλουµε ο κύλινδρος να µη ολισθαίνει πρέπει να ισχύει: (8) T nmg"#% mgµ" / + kx/3 # nmg%&" Eάν το πλάτος ταλάντωσης x * του κέντρου µάζας του κυλίνδρου ικανοποιεί την σχέση: kx * /3 mgσυνφ/ x * 3mgσυνφ/4k τότε η (9) γράφεται: mgµ" / # nmg%&" "# n δήλαδή επενευρίσκουµε ως αναγκαία συνθήκη για την µή ολίσθηση του κυλίνδρου την σύνθήκη που εξασφαλίζει και την ισορροπία του πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. P.M. fysikos Στον χώρο µεταξύ των οπλισµών επίπεδου πυκνωτή έχει δηµιουρ γηθεί ηλεκτρικό πεδίο του οποίου η ένταση E έχει φορέα κάθετο προς τους οπλισµούς, η δε αλγεβρική της τιµή µεταβάλλεται µε τον χρόνο t συµφωνα µε τη σχέση: E=E 0 ηµωt όπου Ε 0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. Την χρονική στιγµή t=0 ένα πρωτόνιο βρίσκεται σε ηρεµία στο µέσον της απόστασης L των οπλισµών. i) Να δείξετε ότι το πρωτόνιο θα συγκρουσθεί µε ένα από τους δύο οπλισµούς του πυκνωτή. ii) Να υποδείξετε γραφικό τρόπο υπολογισµού του χρόνου που χρειάζεται το πρωτόνιο για να συγκρουσθεί µε τον οπλισµό. Δίνε ται το ηλεκτρικό φορτίο q του πρωτονίου, η µάζα του m, ενώ θα θεωρηθεί ασήµαντο το µαγνητικό πεδίο που παράγει το χρονικά µε ταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή. ΛΥΣΗ: i) Το πρωτόνιο δέχεται από το ηλεκτρικό πεδίο ηλεκτρική δύναµη F ", της οποίας η αλγεβρική τιµή δίνεται κάθε στιγµή από τη σχέση: F " = Eq = E 0 q µ#t ()

13 Eφαρµόζοντας για το πρωτόνιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνουµε: m dv dt = E dv 0q µ"t dt = E q 0 m µ"t dv = E q 0 m µ"tdt dv = E q 0 "µtd(t) () m Ολοκληρώνοντας τη σχέση () έχουµε: Σχήµα α. v = - E 0 q m "#t+ C (3) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρέθει από την αρχική σύνθήκη ότι για t=0 η ταχύτητα του πρωτονίου είναι µηδενική, οπότε η (3) δίνει: 0 = - E q 0 m + C C = E q 0 m Έτσι η (3) παίρνει τη µορφή: v = - E q 0 m "#t+ E q 0 m v = E q 0 m - "#t Η (4) γράφεται: dx dt = E q 0 m - "#t H (5) µε ολοκλήρωση δίνει: ( ) dx = E 0 q ( ) (4) ( m - "#t )dt (5) x = E 0 q m t - E 0 q m "µt + C (6) Επειδή τη χρονική στιγµή t=0 η µετατόπιση x του πρωτονίου είναι µηδενι κή, εύκολα προκύπτει από την (6) ότι η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδέν, οπότε η (6) γράφεται:

14 x = E 0q m t - E 0q m "µt x = E 0q (t - "µt) (7) m Σχήµα β. Aπό την (7) παρατηρούµε ότι για κάθε t 0 είναι x>0 και επί πλέον η µετατόπιση x του πρωτονίου από την αρχική του θέση Ο αυξάνεται µε τον χρόνο, που σηµαίνει ότι κάποια στιγµή αυτό θα συγκρουσθεί µε τον οπολισµό Β του πυκνωτή. ii) Eάν t * είναι η χρονική στιγµή που το πρωτόνιο φθάνει στον οπλισµό Β, τότε το t * θα είναι ρίζα της εξίσωσης: L = E q 0 ( m t * - "µt *) (8) H (8) είναι µια υπερβατική εξίσωση και δεν επιλύεται µε αλγεβρικό τρόπο, µπορεί όµως να λυθεί γραφικά ως εξής. Θεωρουµε τις συναρτήσεις: f (t)= L - E 0 q m t και f (t)= - E 0 q m "µt και σχεδιάζουµε τις γραφικές τους παραστάσεις (σχήµα β). Τότε ο ζητού µενος χρόνος t * είναι η χρονική συντεταγµένη του σηµείου τοµής Μ των δύο αυτών γραφικών παραστάσεων. P.M. fysikos