( ) 2 t 2 + 2xt β/α. Δίνεται η συνάρτηση: y(x,t) = Ae αx2 βt 2 2xt αβ. - x +, t 0 (α) όπου Α, α, β, θετικές και σταθερές ποσότητες.

Transcript

1 Δίνεται η συνάρτηση: y(x,t) = Ae αx βt xt αβ - x +, t (α) όπου Α, α, β, θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Nα δείξετε ότι η y(x,t) µπορεί να περιγράψει µονοδιάστατο εγκάρ σιο κύµα. ii) Εάν το κύµα αυτό διαδίδεται σε τεντωµένη ιδανική χορδή γραµµι κής πυκνότητας µ, να βρεθεί η συνάρτηση που εκφράζει χωροχρονικά την εγκάρσια δύναµη της χορδής. ΛΥΣΗ: i) H δοθείσα σχέση (α) µετασχηµατίζεται ως εξής: y(x,t) = Ae (αx +βt + xt αβ ) = Ae α x + (β/α )t + xt αβ /α y(x,t) = Ae α x ( ) t + xt β/α + β/α α( x+ t β/α ) y(x,t) = Ae - < x < +, t (1) H (1) είναι µια σχέση της µορφής y(x,t) = f(x + vt) µε v= β/α, που σηµαίνει ότι µπορεί να εκφράσει ένα µονοδιάστατο κύµα το οποίο διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x µε ταχύτητα µέτρου β/α. Παρατήρηση: Μπορούµε να δώσουµε και άλλη λύση στο πρόβληµα αποδεικνύοντας ότι η σχέ ση (α) αποτελεί λύση της κλασσικής κυµατικής εξίσωσης: y = β α y - x + t () x

2 Προς τουτο πρέπει να παραγωγίσουµε δύο φορές ως προς τον χρόνο t και ως προς την χωρική µεταβλητή x την σχέση (1) θέτοντας στην συνέχεια τα αποτε λέσµατα των δύο παραγωγίσεων στην () προκειµένου να την επαληθευσουµε. ii) Για να αποσαφηνιστεί η έννοια της εγκάρσιας δύναµης σ ένα σηµείο Μ µιας τεντωµένης χορδής που είναι παραµορφωµένη σε σχέση µε την φυσικής της κα τάστασης θεωρούµε τα εκατέρωθεν του σηµείου Μ τµήµατα της χορδής (σχ. 1) και ονοµάζουµε (δ) το δεξιά του Μ τµήµα αυτής και (α) το αριστερα του Μ τµήµα της. Το αριστερο τµήµα (α) ασκεί στο δεξιό τµήµα (δ) δύναµη έλξεως T εφαπτο µενική της χορδής στο σηµείο Μ σύµφωνα δε µε το αξίωµα της ισό τητας µεταξύ δράσεως αντιδράσεως και το δεξιό τµήµα (δ) ασκεί στο (α) αντί θετη δύναµη - T. Πρεπει να τονισθεί ότι τόσο η δύναµη T όσο και η - T αναφέ ρονται στο σηµείο Μ της χορδής και δεν δρούν σε κάποιο στοιχειώδες τµήµα αυτής που βρίσκεται στην περιοχή του σηµείου. Οι δύο αυτές δυνάµεις εµπλέ κονται στην ροή κυµατικής ενέργειας από το ένα τµήµα της χορδής προς στο άλλο και συγκεκριµένα όταν το κύµα διαδίδεται από το αριστερό τµήµα (α) προς το δεξιό τµήµα (δ), δηλαδή προς την θετική κατεύθυνση, τότε κυµατική ενέργεια ακτινοβολείται διαµέσου του σηµείου Μ από το (α) προς το (δ). Η Σχήµα 1 Σχήµα συνιστώσα F e της T κατά την διεύθυνση y της εγκάρσιας ταλάντωσης της χορ δής ορίζεται ως εγκάρσια δύναµη της χορδής στο σηµείο Μ, έχουµε δε για την δύναµη δε αυτή να παρατηρήσουµε τα εξής: α) Όταν η κλίση της χορδής στο Μ είναι θετική (σχ. 1) τότε η F e είναι αντίρρο πη προς την θετική κατεύθυνση του άξονα y, δηλαδή η αλγεβρική της τιµή είναι αρνητική. Tα αντίθετα συµβαίνουν όταν η κλίση της χορδής στο σηµείο Μ είναι αρνητική (σχ. ). β) Επειδή η σχέση v y =-v( y/ x) εγγυάται ότι η αλγεβρική τιµή της εγκάρσιας ταχύτητας v y του σηµείου Μ για κύµα που διαδίδεται προς την θετική κατεύ

3 θυνση είναι ετερόσηµη της κλίσεως y/ x της χορδής στο Μ, η εγκάρσια δύνα µη F e είναι οµορροπη της v y. γ) Η ισχύς της F e υπολογιζόµενη µέσω του εσωτερικού γινοµένου ( F e v y ) εί ναι θετική και δηλώνει τον ρυθµό ροής ενέργειας από το αριστερό προς το δε ξιό τµήµα της χορδής µέσω του σηµείου Μ. δ) Η αλγεβρική τιµή της F e υπολογίζεται από την σχέση: F e = -Tηµϕ -Tεϕϕ = -T( y/ x) (3) µε την προυπόθεση ότι η χορδή είναι ίδανική, οπότε κατά την ταλάντωσή της υφίσταται µικρές παραµορφώσεις που µας επιτρέπουν να χρησιµοποιούµε την προσεγγιστική σχέση ηµϕ εϕϕ = y/ x. Το αρνητικό πρόσηµο τέθηκε για να δηλώσει ότι η αλγεβρική τιµή της F e είναι ετερόσηµη της κλίσεως y/ x. Εξάλλου για το µέτρο της τάσεως T της χορδής στο σηµείο Μ ισχύει: T = µv = µβ /α οπότε η σχέση (3) γράφεται: F e = -µ(β/α)( y/ x) (4) Παραγωγίζοντας ως προς την χωρική µεταβλητή x την σχέση (1) παίρνουµε: y x = A ( ) α x+ t β/α x e α( x+ t β/α ) = -Ae ( x + t β/α ) και µε αντικατάσταση στην (4) έχουµε: F e = Aµ β α x + t β α α( x+ t β/α ) e - < x < + t (5) H (5) εκφράζει την χωροχρονική εξέλιξη της εγκάρσιας δύναµης της ιδανικής χορδής, όταν αυτή δέχεται κύµα που περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση (α). P.M. fysikos Μια ελαφριά χορδή µήκους L είναι στερεωµένη

4 στις άκρες της και τεντώνεται µε σταθερή τάση F. Η χορδή παρου σιάζει ανοµοιογένεια µάζας, δηλαδή η γραµµική της πυκνότητα είναι µια συνάρτηση µ(x) της απόστασης x από το ένα άκρο της. Εάν η χορδή εκτελεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µικρού πλάτους, να δείξετε ότι η κυµατική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή της δέχεται λύση της µορφής: y(x,t) = A(x)ηµΦ(x)συνωt, x L, t (α) όπου Α(x), Φ(x) κατάλληλες συναρτήσεις της χωρικής µεταβλητής x, οι οποίες θα προκύψουν από αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις, τις οποίες πρέπει να καθορίσετε. ΛΥΣΗ: Επειδή η χορδή παρουσιάζει ανοµοιογένεια µάζας που καθορίζεται από την συνάρτηση µ(x) γραµµικής πυκνότητας της χορδής, η κυµατική έξίσωση που διέπει δονήσεις µικρού πλάτους αυτής έχει την µορφή: y = F y µ(x) x, x L, t (1) Aν δεχθούµε ότι η (1) δέχεται ως λύση την κυµατοσυνάρτηση (α), τότε παραγω γίζοντας δύο φορές την (α) ως προς τον χρόνο t θα έχουµε: y = -ωa(x)ηµφ(x)ηµωt y = -ω A(x)ηµΦ(x)συνωt () Εξάλλου παραγωγίζοντας δύο φορές την (α) ως προς την χωρική µεταβλητή x παίρνουµε: y x = A (x)ηµφ(x) + Α(x)συνΦ(x) Φ (x) συνωt y x = A (x)ηµφ(x) + A (x)συνφ(x) Φ (x) + + A (x)συνφ(x) Φ (x)-α(x)ηµφ(x) Φ (x) + Α(x)συνΦ(x) Φ (x) συνωt (3) Συνδυάζοντας την (1) µε τις () και (3) παίρνουµε: -ω A(x)ηµΦ(x) = F A (x)ηµφ(x) µ(x) + A (x)συνφ(x) Φ (x) + + A (x)συνφ(x) Φ (x)-α(x)ηµφ(x) Φ (x) + Α(x)συνΦ(x) Φ (x)

5 -ω A(x)ηµΦ(x) = F A (x)-α(x) Φ (x) µ(x) ηµφ(x) + + F A (x) Φ (x) + Α(x) Φ (x) µ(x) συνφ(x) -ω A(x) = F A (x)-α(x) Φ (x) µ(x) = F µ(x) A (x) Φ (x) + Α(x) Φ (x) A (x)+ µ(x) F ω A(x)-Α(x) Φ (x) = A (x) Φ (x) + Α(x) Φ (x) = A (x)+ Α(x) k (x)- Φ (x) = A (x) Φ (x) + Α(x) Φ (x) = (4) όπου ο κυµαταριθµός k(x) της χορδής αποτελεί συνάρτηση της µεταβλητής x όπως ορίζει η σχέση: k (x) = (ω /F)µ(x), x L (5) Οι σχέσεις (4) αποτελούν ένα σύστηµα δύο διαφορικών εξισώσεων που πρέπει να πληρούν οι συναρτήσεις Α(x), Φ(x) ώστε η κυµατοσυνάρτηση (α) να αποτελεί λύση της κυµατικής εξίσωσης που διέπει την κίνηση της χορδής. Η λύση του συστήµατος αυτού δεν είναι πάντα εφικτή και εξαρτάται από την µορφή της συνάρτησης k(x), δηλαδή της µ(x) καθώς και από τις αρχικές και συνοριακές συνθήκες στις άκρες της χορδής. P.M. fysikos Mια οµογενής χορδή µήκους L και µάζας m είναι τεντωµένη µε το ένα άκρο της O σταθερό στο σηµείο x=, ενώ στο άλλο άκρο της έχει στερεωθεί µικρό σώµα µάζας Μ, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος σταθερού οριζόντιου οδηγού. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί µε την χορδή κάθετη στον οδηγό και κάποια στιγµή το σώµα εκτρέπεται από την θέση ισορροπίας του και στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερο αναγκάζοντας την χορδή να εκτελεί εγκάρσιες ταλαντώσεις µικρού πλάτους πάνω σε οριζόντιο επίπεδο.

6 i) Nα δείξετε ότι η κυµατοσυνάρτηση y(x, t) που διέπει την κίνηση της χορδής µπορεί να έχει την µορφή: y(x,t) = f(x)συν(ωt + ϕ) όπου ω µια επιτρεπτή κυκλική συχνότητα ταλάντωσης της χορδής και f(x) µια κατάλληλη συνάρτηση της χωρικής µεταβλητής x των σηµεί ων της χορδής. i) Nα δείξετε ότι οι κυκλικές συχνότητες ω όλων των επιτρεπτών τρό πων ταλάντωσης της χορδής είναι λύσεις της υπερβατικής εξίσωσης: ωl v εϕ ωl v = m M όπου v η ταχύτητα διάδοσης εγκάρσιας διαταραχής επί της χορδής. ii) Πως µπορούν να υπολογιστούν κατά προσέγγιση οι λύσεις αυτές; Να αγνοήσετε το πεδίο βαρύτητας της Γης. ΛΥΣΗ: i) Η κυµατοσυνάρτηση y(x,t) που καθορίζει την εγκάρσια ταλάντωση της χορδής αποτελεί λύση της κλασσικής κυµατικής εξίσωσης: y = v y x x L, t (1) Ας δεχθούµε ότι η λύση αυτή έχει την µορφή: y(x,t) = f(x)συν(ωt + ϕ) x L, t () όπου φ σταθερή γωνία και f(x) µια συνάρτηση της χωρικής µεταβλητής x µε πεδίο ορισµού [, L]. Παραγωγίζοντας δύο φορές την () ως προς τον χρόνο t και ως προς x, παίρνουµε: και y = -ωf(x)ηµ(ωt + ϕ) y = -ω f(x)συν(ωt + ϕ) (3) y x = df(x) dx συν(ωt + ϕ) y x = d f(x) dx συν(ωt + ϕ) (4) Με βάση τις σχέσεις (3) και (4) η (1) γράφεται: ω f(x)συν(ωt + ϕ) = v d f(x) dx συν(ωt + ϕ)

7 d f(x) + ω dx v f(x) = d f(x) + k f(x) = (5) dx όπου τέθηκε k=ω/v. H (5) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξε ως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: f(x) = Aηµ(kx + θ) x L (6) όπου A, θ σταθερές ποσότητες που εν γένει µπορουν να προσδιορισθούν από αρχικές ή και συνοριακες συνθήκες που χαρακτηρίζουν την χορδή. Συνδυάζον τας την () µε την (3) έχουµε: y(x,t) = Aηµ(kx + θ)συν(ωt + ϕ) x L, t (7) Επειδή κάθε στιγµή το άκρο Ο (x=) της χορδής είναι ακίνητο, ισχύει στο άκρο αυτό η συνοριακή συνθήκη: (7) y(,t) = = Aηµθσυν(ωt + ϕ) ηµθ = θ= (8) Σχήµα 3 Εξάλλου το σώµα Σ που είναι στερεωµένο στο άλλο άκρο της χορδής δέχεται από αυτήν δύναµη που διευθύνεται εφαπτοµενικά της χορδής και αναλύεται σε µια συνιστώσα T x κατά την διευθυνση του άξονα Οx και σε µια συνιστώσα T y κατά την διεύθυνση του άξονα y (σχ. 3). H T x εξουδετερώνεται από την αντίδρα ση F του λείου οδηγού, ενώ η T y προσδίδει στο σώµα επιτάχυνση a για την οποία σύµφωνα µε τον ο νόµο του Νευτωνα ισχύει: -Tηµρ = Μa -Tεϕρ Μa (9) όπου ρ η γωνία κλίσεως της χορδής στην θέση του σώµατος Σ και Τ το σταθερό µέτρο της δύναµης * που τεντώνει την χορδή. Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: * Η δύναµη που τεντώνει την χορδή (τάση της χορδής) στην θέση του σώµατος είναι αντίθετη της δύναµης που δέχεται το σώµα από την χορδή, σύµφωνα µε το 3ο αξίω µα του Νεύτωνα.

8 και εϕρ = y(x,t) x a = y(x,t) t x= L x= L (7),(8) (7),(8) εϕρ = Akσυν(kL)συν(ωt + ϕ) (1) a = -ω Aηµ(kL)συν(ωt + ϕ) (11) H (9) λόγω των (1) και (11) δίνει: ktσυν(kl) = Mω ηµ(kl) εϕ(kl) = kl(kl) = k TL Mω ωl v εϕ kt Mω ωl v = k LT Mω (1) Όµως αν µ είναι η γραµµική πυκνότητα της χορδής θα έχουµε: Τ = µv = m L ω k οπότε η (1) γράφεται: ωl v εϕ ωl v = kl m ω Mω L k ωl v εϕ ωl v = m M (13) Σχήµα 4 ii) Mπορούµε να επιχειρίσουµε µια γραφική λύση της υπερβατικής εξίσωσης (13) αν παρατηρήσουµε ότι αυτή γράφεται:

9 ( kl) εϕ ( kl) = m M εϕ kl ( ) = m M 1 kl Αν θεωρήσουµε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f 1 (kl)=εφ(kl) (κόκκινες καµπύλες) και f (kl)=(m/m)(1/kl) (µαύρη καµπύλη) σε κοινό σύστη µα συντεταγµένων, τότε οι τεταγµένες k 1 L, k L,,k n L των σηµείων τοµής των δύο γραφικών παραστάσεων αποτελούν τις ζητούµενες λύσεις (σχ. 4). P.M. fysikos Mια οµογενής ελαφριά χορδή µήκους L και µάζας m είναι τεντωµένη µε το ένα άκρο της O σταθερό στο σηµείο x=, ενώ στο άλλο άκρο της έχει στερεωθεί αβαρής κρίκος, ο οποίος µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος σταθερού κατακόρυφου οδηγού. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί µε τον κρίκο σε απόσταση y από τον οριζόντιο άξονα Οx και κάποια στιγµή ο κρίκος ωθείται ελαφρώς προς τα κάτω αναγκάζοντας την χορδή να εκτελεί εγκάρσιες ταλαντώ σεις µικρού πλάτους πάνω σε κατακόρυφο επίπεδο. i) Nα βρείτε τις κυκλικές συχνότητες ω όλων των επιτρεπτών τρόπων ταλάντωσης της χορδής. ii) Εάν η χορδή ταλαντώνεται µε την ελάχιστη επιτρεπόµενη κυκλική της συχνότα, να εκφράσσεται την κινητική της ενέργεια σε συνάρτη ση µε τον χρόνο. Να δεχθείτε ότι σε όλη την διάρκεια ταλάντωσης της χορδής η τάση που την κρατά τεντωµένη διατηρεί σταθερό µέτρο Τ. ΛΥΣΗ: i) H εγκάρσια ταλάντωση της χορδής διέπεται από την κλασσική κυµατική συνάρτηση: y = v y x x L, t (1) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως εγκάρσιας διαταραχής στην χορδή. Συµφωνα µε το προηγούµενο παράδειγµα η (1) δέχεται λύση της µορφής: y(x,t) = f(x)συν(ωt + ϕ) x L, t () όπου ω µια επιτρεπτή συχνότητα ταλάντωσης της χορδής, φ µια σταθερή γωνία που µπορεί να υπολογιστεί, ενώ η συνάρτηση f(x) πληροί την διαφορική εξίσω ση: d f(x) dx + ω v f(x) = d f(x) dx + k f(x) = x L (3)

10 µε k=ω/v. H (3) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και η λύση της έχει την µορφή: f(x) = Aηµ(kx + θ) x L (4) όπου A, θ σταθερές ποσότητες που στην συνέχεια θα υπολογιστούν. Συνδυάζον τας την () µε την (4) παίρνουµε την κυµατοσυνάρτηση y(x,t) που χαρακτηρίζει την ταλάντωση της χορδής, δηλαδή θα έχουµε: y(x,t) = Aηµ(kx + θ)συν(ωt + ϕ) x L, t (5) Σχήµα 5 Επειδή κάθε στιγµή το άκρο Ο της χορδής είναι ακίνητο ισχύει στο άκρο αυτό η συνοριακή συνθήκη: (5) y(,t) = = Aηµθσυν(ωt + ϕ) ηµθ = θ= (6) Εξάλλου ο κρίκος που είναι στερεωµένος στο άλλο άκρο Κ της χορδής δέχεται από αυτην οριζόντια δύναµη T (σχ. 5) διότι αν υπήρχε και κατακόρυφη συνι στώσα της δύναµης από την χορδή αυτή θα προκαλούσε στον κρίκο άπειρη επιτάχυνση κατά την κατακόρυφη κίνησή του, γεγονός που δεν µπορεί να συµ βεί. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η εγκάρσια δύναµη της χορδής στο άκρο της Κ (x=l) είναι µηδενική που µεταφράζεται µε την σχέση: y(x, t) x x= L (5),(6) = Akσυν(kL)συν(ωt + ϕ)= συν(kl) = kl = (n + 1)π/ ωl/v = (n + 1)π/ ω = (n + 1)πv/L n=, 1,, 3, (7) Παρατηρούµε ότι οι επιτρεπτες κυκλικές συχνότητες ταλάντωσης της χορδής είναι ακέραια πολλαπλάσια µιας ελάχιστης τιµής ω που δίνεται από την σχέση:

11 ω = πv/l (8) Όµως για την ταχύτητα v ισχύει v = T/µ = TL/m οπότε η (8) γράφεται: ω = π L TL m = π T ml (9) ii) H κινητική ένεργεια dk µιας στοιχειώδους µάζας dm της χορδής υπολογί ζεται µέσω της σχέσεως: dk = dm v = dm y y(x, t) (1) όπου v y η εγκάρσια ταχύτητα της µάζας dm στην θέση x κατά την αντίστοιχη την χρονική στιγµή t που την εξετάζουµε. Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο t την (5) παίρνουµε: y(x, t) οπότε η (1) γράφεται: = -Aω ηµ(kx)ηµ(ωt + ϕ) dk = dm A ω ηµ (kx)ηµ (ωt + ϕ) dk = mdx L A ω ηµ (kx)ηµ (ωt + ϕ) (11) H κινητική ενέργεια K ολόκληρης της χορδής την χρονική στιγµή t θα προκύ ψει µε ολοκλήρωση της (11) και µε όρια ολοκλήρωσης για την χωρική µεταβ λητή x από έως L, δηλαδή θα έχουµε: K = ma ω L L ηµ (kx)ηµ (ωt + ϕ)dx = ma ω L L ηµ (ωt + ϕ) ηµ (kx)dx O αναγνώστης µπορεί σχετικά εύκολα να διαπιστώσει ότι το ολοκλήρωµα που παρουσιάζεται στο δεύτερο µέλος της προηγούµενης σχέσεως είναι ίσο µε L/, οπότε η σχέση αυτή τελικά παίρνει την µορφή: K = ma ω 4L ηµ (ωt + ϕ) (1)

12 Για τον υπολογισµό των σταθερών Α και φ θα χρησιµοποιήσουµε τις αρχικές συνθήκες κίνησης του κρίκου, δηλαδή το δεδοµένο ότι η µεν ταχύτητά του την στιγµή t= είναι µηδενική η δε αντίστοιχη εγκάρσια µετατόπισή του είναι y, οπότε θα έχουµε τις σχέσεις: (v K ) t= = (y K ) t= = y -Aω ηµ(kl)ηµϕ = Aηµ(kL)συνϕ = y ηµϕ = A συνϕ = y ϕ = A = y (13) Mε βάση την (13) και (9) η (1) γράφεται: K = my (9) ω 4L ηµ ωt K = y π Τ 16L ηµ ωt P.M. fysikos Ιδανική τεντωµένη χορδή διεγείρεται σε εγκάρσια δόνηση υπό αρχικές συνθήκες Cauchy, οι οποίες εκφράζονται µε τις συναρτήσεις: y(x,) = F(x) - <x<+ (α) y(x, ) = G(x) - <x<+ (β) Nα βρείτε την µορφή που παίρνει η χορδή κατά διάφορες αντιπροσω πευτικές χρονικές στιγµές στις εξής δύο περιπτώσεις: i) όταν F(x)=Aηµkx και G(x)=. ii) όταν F(x)= και G(x)=Bηµkx. Τα Α, Β, k είναι θετικές σταθερές ποσότητες και v είναι η ταχύτητα διαδόσεως εγκάρσιου κύµατος στην χορδή. ΛΥΣΗ: i) Επειδή η χορδή είναι ιδανική η ταλάντωσή της διέπεται από την κλασσική κυµατική εξίσωση: y = y v - < x < +, t (1) x

13 της οποίας η λύση υπό τις τις αρχικές συνθήκες Cauchy δίνεται από την σχέση D Alembert που έχει την µορφή: y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) + 1 v Στην περίπτωση (i) η σχέση () γράφεται: G(z)dz () x - vt y(x,t) = A ηµk(x-vt) + ηµk(x + vt) Σχήµα 6 λόγω δε της τριγωνοµετρικής ταυτότητας: ηµα + ηµβ=ηµ α + β συν α-β η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: y(x,t) = Aηµ(kx)συν(kvt)

14 y(x,t) = Aηµ(kx)συν(ωt) - <x<+ t (3) όπου τέθηκε ω=kv. Η (3) αποτελεί την κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει την κυµατική κατάσταση της χορδής, της οποίας διάφορα στιγµιότυπα φαίνονται στο σχήµα (6) και αποδίδουν το σχήµα της χορδής κατά τις αντίστοιχες χρονι κές στιγµές. ii) Στην περίπτωση (ii) η σχέση () γράφεται: y(x,t) = 1 v x - vt Bηµkz dz = - B συνk(x + vt)-συνk(x-vt) vk (4) Σχήµα 7 λόγω δε της τριγωνοµετρικής ταυτότητας: η (4) δίνει: συνα -συνβ = -ηµ α + β ηµ α-β y(x,t) = B kv ηµ(kz)ηµ(kvt)

15 y(x,t) = B ηµ(kz)ηµ(ωt) - <x<+ t (5) ω Στο σχήµα (7) απεικονόζονται µερικά στιγµιότυπα της χορδής σε κάποιους αντιπροσωπευτικούς χρόνους. P.M. fysikos Tεντωµένη ιδανική χορδή είναι αρχικά ακίνητη και παραµορφωµένη σε µια περιοχή [-α, +α] η δε παραµόρφωσή της καθορίζεται από την συνάρτηση y(x,)=f(x), της οποίας το διάγραµµα είναι ένας ισοσκελής τριγωνικός παλµός ύψους h και εύρους βάσεως α, της οποίας το µέσον είναι η αρχή του άξονα x (σχ. 8). i) Εάν κάποια στιγµή η χορδή αφεθεί ελεύθερη να δείξετε ότι η κίνη σή της καθορίζεται από µια κυµατοσυνάρτηση της µορφής: y(x,t ) = 1 F x-vt ( ) +F( x + vt) όπου v η ταχύτητα διαδόσεως του κύµατος κατά µήκος της χορδής. ii) Nα σχεδιάσετε την κυµατοµορφή της χορδής κατά τις µεταγενέστε ρες χρονικές στιγµές t=α/v, t=α/v και t=α/v. ΛΥΣΗ: i) Η ταλάντωση της χορδής διέπεται από την κλασσική κυµατική εξί σωση της οποίας θα αναζητήσουµε την λύση υπό τις εξής δύο αρχικές συνθή κες: A) Η γεωµετρική µορφή της χορδής λίγο πριν αφεθεί ελεύθερη (t<) καθορίζε ται από την συνάρτηση y(x,)=f(x) του τριγωνικού παλµού του σχήµατος (8) που έχει την µορφή: Σχήµα 8 y(x,) = F(x) = ( ) -α x ( ) x α h x/α + 1 h 1-x/α - < x -α, α x< (1)

16 Β) Τα σηµεία της χορδής την στιγµή t= έχουν µηδενικές ταχύτητες, δηλαδή η συνάρτηση που καθορίζει της ταχύτητες αυτές έχει την µορφή: y(x, ) = G(x) =, - <x< () H λύση D Alembert της κυµατικής εξίσωσης υπό τις αρχικές συνθήκες (Α) και (Β) είνα η κυµατοσυνάρτηση: y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) + 1 v G(z)dz x - vt () y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) (3) H σχέση (3) δηλώνει ότι κατα µήκος της χορδής διαδίδονται δύο ακριβώς όµοιοι τριγωνικοί παλµοί ο ένας προς την θετική και ο άλλος προς την αρνητική κατεύθυνση µε ταχύτητα του ίδιου µέτρου v, περιγράφονται δε από τις αντί στοιχες κυµατοσυναρτήσεις: και f + (x,t) = 1 F(x-vt) = h (x-vt)/α + 1 -α x-vt 1-(x-vt)/α x-vt α - < x-vt α, α x-vt< f (x,t) = 1 F() = h (x + vt)/α + 1 -α x + vt 1-(x + vt)/α x + vt α - < x + vt α, α x + vt< (4) (5) Οι σχέσεις (4) και (5) την χρονική στιγµή t= που η χορδή αφήνεται ελεύθε ρη δίνουν: f + (x,) = f (x,) = h x/α +1 -α x 1-x/α x α (6) - < x α, α x< δηλαδή οι κυµατοµορφές των δύο παλµών ταυτίζονται (σχ. 9). Στην συνέχεια οι δύο παλµοί µετατοπίζονται προς αντίθετες κατευθύνσεις και την χρονική στιγ µή t=α/v οι κυµατοµορφές τους θα είναι αυτές του σχήµατος (1) και θα αντιστοιχούν στις συναρτήσεις:

17 f + (x,α/v) = h f (x,α/v) = h x/α +1/ -α/ x α/ 3/-x/α α/ x 3α/ - < x -α/, 3α/ x< x/α + 3/ -3α/ x -α/ 1/-x/α -α/ x α/ - < x -3α/, α/ x< (7) (8) Σχήµα 9 Σχήµα 1 Παρατηρούµε ότι τα πεδία ορισµού των δύο αυτών συναρτήσεων έχουν κοινή περιοχή [-α/,α/], στην οποία το άθροισµά τους f + (x,t) + f (x,t) είναι: f + (x,t) + f (x,t) = (h / ) ( x/α +1/ + 1/-x/α ) = h δηλαδή διατηρεί σταθερή τιµή που σηµαίνει ότι το αντίστοιχο τµήµα της χορ δής είναι παράλληλο προς τον άξονα x (σχ. 1). Σχήµα 11 Σχήµα 1 Την χρονική στιγµή t=α/v οι δύο τριγωνικοί παλµοί αποχωρίζονται οριστικά και συνεχίζουν την διάδοσή τους χωρίς αλλαγή σχήµατος, οι δε ζητούµενες κυµατοµορφές της χορδής θα είναι αυτές των σχηµάτων (11) και (1). P.M. fysikos

18 Tεντωµένη ιδανική χορδή είναι αρχικά ακίνητη και παραµορφωµένη η δε παραµόρφωσή της καθορίζεται από την συνάρτηση: y ( x,) = F(x) = p( α -x ) -α x α - <x -α, α x< όπου α, p θετικές σταθερές ποσότητες. Kάποια στιγµή η χορδή αφή νεται ελεύθερη και αρχίζει να εκτελεί εγκάρσια ταλάντωση. Να βρείτε την µορφή της κυµατοσυνάρτησης που χαρακτηρίζει την κίνη σή της και να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπά της τις χρονικές στιγµές t=α/v, t=α/v και t=α/v, όπου v η ταχύτητα διαδόσεως εγκάρσιου κύµατος κατά µήκος της χορδής. ΛΥΣΗ: H κυµατοσυνάρτηση που χαρακτηρίζει την κίνηση της χορδής θα προ κύψει ως λύση της κλασσικής κυµατικής εξίσωσης µε αρχικές συνθήκες που περιγράφονται από τις συναρτήσεις: y ( x,) = F(x) = p( α -x ) -α x α - <x -α, α x< (1) y(x, ) = G(x) = - < x < () Σχήµα 13 όπου η (1) καθορίζει τις θέσεις των υλικών σηµείων της χορδής λίγο πριν την στιγµή t= που αφήνεται ελεύθερη προς ταλάντωση και η () τις αντίστοιχες ταχύτητές τους, οι οποίες είναι µηδενικές. H λύση D Alembert της κυµατικής εξίσωσης µε αρχικές συνθήκες (1) και () είνα η κυµατοσυνάρτηση της µορφής: y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) + 1 v G(z)dz x - vt ()

19 y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) (3) H κυµατοσυνάρτηση (3) δηλώνει ότι η κίνηση της χορδής προκύπτει ως επαλ ληλία δύο ακριβώς όµοιων παλµών που διαδίδοντα κατά µήκος της χορδής ο ένας προς την θετική και ο άλλος προς την αρνητική κατεύθυνση µε ταχύτητα µέτρου v, περιγράφονται δε από τις αντίστοιχες κυµατοσυναρτήσεις: f + (x,t) = 1 F(x-vt) = p f (x,t)= 1 F(x+vt) = p α -(x-vt) -α x-vt α - <x -α, α x< α -(x+vt) -α x+vt α - <x+vt -α, α x+vt< (4) (5) Οι σχέσεις (4) και (5) την χρονική στιγµή t= που η χορδή αφήνεται ελεύθερη δίνουν: f + (x,) = f (x,) = p α -x, -α x α (6), - <x -α, α x< δηλαδή οι κυµατοµορφές των δύο παλµών ταυτίζονται (σχ. 14). Στην συνέχεια οι δύο παλµοί µετατοπίζονται προς αντίθετες κατευθύνσεις και την χρονική στιγµή t=α/v οι κυµατοµορφές τους θα αντιστοιχούν στις συναρτήσεις: f + ( x,α/v) = p α -( x-α/) ) = 3α /4-x + αx -α/ x 3α/ - <x -α /, 3α / x< (7) f ( x,α/v) = p α -( x+α/) ) = 3α /4-x -αx -3α/ x α/ - <x -3α /, α / x< (8) Παρατηρούµε ότι τα πεδία ορισµού των δύο αυτών συναρτήσεων έχουν κοινή περιοχή [-α/,α/], στην οποία το άθροισµά τους είναι: f + (x,α/v) + f (x,α/v) = p 3α 4 -x + αx + 3α 4 -x -αx f + (x,α/v) + f (x,α/v) = p 3α 4 -x, - α x α (9)

20 δηλαδή το αντίστοιχο τµήµα της χορδής έχει παραβολικό σχήµα που περιγρά φεται από την (9) και στην θέση x= η χορδή παρουσιάζει την στιγµή t=α/v µέγιστη αποµάκρυνση y * =3pα /4 (σχ. 15). Σχήµα 14 Σχήµα 15 Σχήµα 16 Σχήµα 17 Την χρονική στιγµή t=α/v οι δύο παραβολικοί παλµοί αποχωρίζονται οριστικά και συνεχίζουν την διάδοσή τους χωρίς αλλαγή σχήµατος, οι δε ζητούµενες κυµατοµορφές της χορδής θα είναι αυτές των σχηµάτων (16) και (17). P.M. fysikos Mια ιδανική χορδή είναι τεντωµένη και ακίνητη στην θέση ισορροπίας της. Tην χρονική στιγµή t= η χορδή διαταράσ σεται µε κατάλληλο τρόπο, ώστε οι εγκάρσιες αρχικές ταχύτητες των σηµείων της να ικανοποιούν την σχέση: ( y/) t= =Αxe - x /α - < x < + όπου A, α θετικές και σταθερές ποσότητες. Να δείξετε ότι η κυµατική κατάσταση της χορδής προκύπτει ως ελαλληλία δύο παλµών που δια δίδονται κατά µήκος αυτής προς αντίθετες κατευθύνσεις και να σχεδι άσετε τις κυµατοµορφές των παλµών αυτών κατά µια µεταγενέστερη χρονική στιγµή. ΛΥΣΗ: Η κατάσταση ταλάντωσης της ιδανικής χορδής διέπεται από την κλασ σική κυµατική εξίσωση, η οποία δεσµεύεται µε αρχικές συνθήκες που ορίζονται από τις συναρτήσεις:

21 και y(x,) = F(x) = - <x< (1) ( y/) t= = G(x) = Αxe - x /α - <x< () Η λύση της κυµατικής εξίσωσης υπό τις αρχικές συνθήκες (1) και () προκύπ τει από την σχέση D Alembert, που έχει την µορφή: y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) + 1 v G(z)dz x - vt (1), () y(x,t) = 1 v x - vt Αze - z /α dz = A v ze - z /α dz (3) x - vt όπου v η ταχύτητα διαδόσεως εγκάρσιας διαταραχής επί της χορδής. Θέτοντας g(z) = Α(ze - z /α )dz θα έχουµε: g(z) = α A (z/α)e - z /α d(z/α) g(z) = α A e - (z/α) d(z/α) g(z) = α A e- z /α + C (4) όποτε η (3) γράφεται: y(x,t) = 1 (4) v g(x+vt)-g(x-vt) y(x,t) = Aα 4v ( ) /α -e - ( x-vt ) /α e- <x< t (5) Από την (5) προκύπτει ότι η κυµατοσυνάρτηση y(x,t) που καθορίζει την ταλάν τωση της χορδής αποτελεί επαλληλία δύο επί µέρους κυµατοσυναρτήσεων της µορφής: και f (x,t) = Aα 4v ( ) /α e- - <x< t (6)

22 f + (x,t) = - Aα 4v ( x-vt) /α e- - <x< t (7) Η f + (x,t) αντιπροσωπεύει ένα παλµό Gauss που οδεύει προς την αρνητική κατεύ θυνση του άξονα x και η f - (x,t) αντιπροσωπεύει επίσης ένα παλµό Gauss που οδεύει προς την θετική κατεύθυνση του άξονα. Την χρονική στιγµή t= οι δύο παλµοί είναι συµµετρικοί ως προς τον άξονα x (σx. 19) και στην συνέχεια χωρίς Σχήµα 19 να αλλάξουν σχήµα αποµακρύνονται µεταξύ τους µε τις κορυφές τους να κινούνται επί δύο παράλληλων ευθείων που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x σε απόσταση Αα /4v από αυτόν (σχ. 19). Περισσότερες πληροφορίες για τις ιδιότητες των συναρτήσεων f - (x, t=) και f + (x, t=) παρέχονται στο 4ο παραδειγ µα της Α! ΟΜΑΔΑΣ λυµένων ασκήσεων Κυµατικής. P.M. fysikos Tεντωµένη ιδανική χορδή έχει παραµορφωθεί ελα στικά η δε παραµόρφωσή της καθορίζεται από την συνάρτηση: y(x, t) t= = F(x) = Ae x/α - <x Ae -x/α x<+ όπου Α, α θετικές σταθερές ποσότητες. Αρχικά η χορδή κρατείται ακίνητη κάποια δε στιγµή αφήνεται ελεύθερη και αρχίζει να εκτελεί

23 εγκάρσια ταλάντωση. Να βρείτε την µορφή της κυµατοσυνάρτησης που χαρακτηρίζει την κίνησή της και να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο της χορδής την χρονική στιγµή t=α/v, όπου v η ταχύτητα διαδόσεως εγκάρσιου κύµατος επί της χορδής. ΛΥΣΗ: H κυµατοσυνάρτηση που χαρακτηρίζει την ταλάντωση της χορδής θα προκύψει ως λύση της κλασσικής κυµατικής εξίσωσης µε αρχικές συνθήκες που περιγράφονται από τις συναρτήσεις: και y(x, t) t= = F(x) = y(x, t) t= Ae x/α - <x Ae -x/α x<+ = G(x) = - < x < + () (1) H λύση D Alembert της κυµατικής εξίσωσης είναι της µορφής: y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) + 1 v G(z)dz x - vt () y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x + vt) (3) Mε βάση την (1) οι συναρτήσεις F(x-vt) και F(x+vt) έχουν την µορφή: F(x- vt) = Ae (x vt)/α - <x-vt Ae -(x t)/α x-vt<+ και F(x- vt) = A e(x vt)/α - <x vt e -(x t)/α vt x<+ F(x + vt) = Ae (x+vt)/α - <x+vt Ae -(x+t)/α x+vt<+ (4) F(x + vt) = A e(x+vt)/α - <x -vt e -(x+t)/α -vt x<+ (5) Η (3) λόγω των (4) και (5) δίνει:

24 y(x,t) = A H (6) για t=α/v δίνει: e (x+vt)/α + e (x vt)/α - <x -vt e ( x+vt)/α + e (x vt)/α -vt <x vt e (x+vt)/α + e (x+vt)/α vt< x + (6) y(x, t) t=α /v = A e (x+α )/α (x α )/α + e e ( x+α )/α (x α )/α + e e (x+α )/α (x+α )/α + e y(x, t) t=α /v = A (e+1/e)e x/α - <x -α (1 /e)(e x/α + e x/α -α x α (e+1/e)e x/α α x<+ (7) Σχήµα Οι γραφικες παραστάσεις των συναρτήσεων (1) και (7) αποτελούν τις κυµατο µορφές (στιγµιότυπα) της χορδής τις χρονικές στιγµές t= και t=α/v αντιστοί χως και αποδίδονται στο σχήµα (). P.M. fysikos Δίδεται ηµιάπειρη οµογενής και αµελητέου βάρους τεντωµένη χορδή, η οποία υποβάλλεται σε ταλάντωση υπό αρχικές συνθήκες που εκφράζονται µε τις συναρτήσεις F(x), G(x): y(x,) = F(x), x<+ (α) y(x, ) = G(x), x<+ (β) εκ των οποίων η F(x) είναι δύο φορές παραγωγίσηµη και καθορίζει τις θέσεις των σηµείων της χορδής την χρονική στιγµή t=, η δε G(x) είναι µια φορά παραγωγίσηµη και καθορίζει τις αντίστοιχες ταχύ τητες τους. Επί πλέον η χορδή υπόκειται στην συνοριακή συνθήκη:

25 y(,t) =, t (γ) η οποία εκφράζει ότι το άκρο x= της χορδής είναι µόνιµα ακίνητο. Να βρεθεί η κυµατοσυνάρτηση που καθορίζει την κίνηση της χορδής. ΛΥΣΗ: Από την εκφώνηση του προβλήµατος ουσιαστικά ζητείται η λύση της κλασσικής κυµατικής εξίσωσης: y = y v, x<+, t (1) x µε αρχικές συνθήκες (α), (β) και συνοριακή συνθήκη (γ). Επειδή η κυµατική εξί σωση (1) αντιστοιχεί στο διάστηµα [,+ ) η λύση D Alembert δεν µπορεί να εφαρµοσθεί στο διάστηµα αυτό, διότι απαιτούνται κάποιοι υπολογισµοί που παύουν να έχουν νόηµα, όπως λογουχάρη ο καθορισµός της συνάρτησης F(x-vt) για t>x/v. Για να παρακάµψουµε την δυσκολία του προβλήµατος αναζητούµε µια συνάρτηση: y(x,t) - <x<+, t που να πληροί την κλασσική κυµατική εξίσωση στο διάστηµα (-,+ ) µε αρχι κές συνθήκες: y(x,) = F(x), - <x<+ y(x,) και συνοριακή συνθήκη: = G(x), - <x<+ y(,t) =, t Μια τέτοια συνάρτηση, εάν βέβαια υπάρχει, θα προκύπτει ως λύση D Alembert, της κυµατικής εξίσωσης στο διάστηµα (-,+ ), δηλαδή θα έχει την µορφή: y(x,t) = 1 F(x-vt)+ F(x + vt) + 1 v G(z) dz (-,+ ), t () Eάν οι συναρτήσεις F(x), G(x) επιλεγούν ώστε η y(x,t) να πληροί τις συνθή κες (α), (β) και (γ) του αρχικού προβλήµατος, τότε προφανώς η y(x,t) θα αποτε λεί την ζητούµενη λύση της κυµατικής εξισώσεως (1). Ας δεχθούµε ως συναρ τήσεις F(x), G(x) τις επεκτάσεις περιττής µορφής των F(x), G(x) αντιστοί χως, οπότε θα έχουµε:

26 F(x) F(x) αν x = -F(-x) αν x< και G(x) G(x) αν x = -G(-x) αν x< Στην περίπτωση αυτή η () για x= και t δίνει: y(,t) = 1 F(-vt)+ F(vt) + 1 v vt vt G(z) dz y(,t) = 1 -F[-(-vt)]+F(vt) + 1 v + vt vt G(z) dz y(,t) = 1 v + vt G(z) dz = 1 v vt vt vt G(z) dz + 1 G(z) v dz (3) Όµως στο διάστηµα [-vt, ] έχουµε : 1 v G(z) dz = 1 v vt -G(-z) d(z) = 1 v vt και στο διάστηµα [, vt] ισχύει: 1 v vt G(-z) d(-z) = 1 v G(z) d(z) (4) vt G(z) dz = 1 v G(z) dz (5) vt H (3) λόγω των (4) και (5) δίνει y(,t)=, που σηµαίνει ότι η συνάρτηση y(x,t) πληροί την συνοριακή συνθήκη (γ). Εξάλλου η () για t= και x δίνει: vt y(x,)= 1 F(x)+ F(x) + 1 v x x G(z) dz= 1 F(x)+F(x) = F(x) δηλαδή η συνάρτηση y(x,t) πληροί την αρχική συνθήκη (α). Στην συνέ χεια θα δείξουµε ότι η y(x,t) πληροί και την αρχική συνθήκη (β). Προς τούτο παραγωγίζουµε ως προς τον χρόνο t την σχέση () και θα έχουµε: y(x,t) = 1 F(x-vt) + F(x+ vt) + 1 v G(z) dz (6) Όµως ισχύει:

27 F(x-vt) + F(x+ vt) = F(x-vt) (x-vt) (-v)+ F(x+ vt) () v η οποία για t= και x δίνει: F(x-vt) + F(x+ vt) x t= = F(x) x (-v)+ F(vt) x v = (7) Ακόµη αν δεχθούµε ότι G(z) dz = f(z) θα έχουµε: G(z) dz = f()-f(x-vt) G(z) dz = f() () v- f(x-vt) (x-vt) (-v) G(z) dz = vg(x+ vt)+ vg(x-vt) η οποία για t= και x δίνει: G(z) dz x t= = vg(x)+ vg(x) = vg(x) (8) Συνδυάζοντας την (6) µε τις (7) και (8) παίρνουµε: [ y(x,)] = G(x) που σηµαίνει ότι η συνάρτηση y(x,t) πληροί την αρχική συνθήκη (β). Τα παραπάνω συµπεράσµατα πείθουν ότι η συνάρτηση y(x,t) αποτελεί λύση του αρχικού προβλήµατος, δηλαδή θα έχουµε: y(x,t)= y(x,t)= 1 F(x-vt)+ F(x+ vt) + 1 v G(z) dz y(x,t)= 1 F(x-vt)+ F(x+ vt) + 1 v G(z) dz+ 1 G(z) v dz (9)

28 µε x< + ), t. H (9) δέχεται την εξής περαιτέρω επεξεργασία. Για x-vt ή x vt θα είναι: F(x-vt) = F(x-vt) και F() = F() G(z) dz = G(z) dz και G(z) dz = G(z) dz οπότε η (9) δίνει: y(x,t)= 1 Για x-vt ή x vt θα είναι: F(x-vt)+F() + 1 v G(z) dz αν x vt (1) F(x-vt) = -F(vt-x), F() = F() G(z) dz = -G(-z) dz = G(-z) d(-z) = G(z) dz και G(z) dz = G(z) dz οπότε η (9) δίνει: y(x,t)= 1 -F(vt-x)+F() + 1 v vt-x G(z) dz αν x vt (11) Mε βάση όλα που αναφέρθηκαν προηγουµένως η κυµατοσυνάρτηση που διέπει την ταλάντωση της χορδής έχει την µορφή: vt x y(x, t)= 1 F(x-vt)+F() + 1 v 1 -F(vt-x)+F() + 1 v vt x G(z) dz αν x vt G(z) dz αν x vt (1) P.M. fysikos