Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.

Transcript

1 Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται στο ελεύθερο άκρο της σταθερή δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι συνεχώς οριζόντιος µε διεύθυνση κάθετη στην αρχική θέση της ράβδου. i) Nα βρείτε για ποια τιµή του µέτρου της δύναµης η ράβδος τελι κά θα ακινητοποιηθεί και σε ποια θέση θα συµβεί αυτό; ii) Στην περίπτωση που το µέτρο της δύναµης είναι F=mg/π, ποια θα είναι η µέγιστη γωνιακή εκτροπή της ράβδου και ποια η αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής της στροφορµής της ράβδου περί το άκρο της Ο; Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι π 10. ΛYΣH: i) Η ράβδος δέχεται το βάρος της w, την σταθερή δύναµη F στο άκρο της Μ και την αντίδραση του άξονα περιστροφής, της οποίας ο φορέ ας διέρχεται από το σταθερό άκρο της Ο. Η ράβδος θα ακινητοποιηθεί στην θέση εκείνη που θα µηδενιστεί η κινητική της ενέργεια και επί πλέον η συ νολική ροπή περί το Ο όλων των δυνάµεων που δέχεται θα είναι µηδενική, Σχήµα 1 διότι τότε θα µηδενιστεί τόσο η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ( = 0) όσο και η γωνιακή της επιτάχυνση ( = 0). Εφαρµόζοντας για την ράβδο το

2 θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου µεταξύ της αρχικής της θέσεως ΟΜ 0 και της θέσεως ΟΜ όπου αυτή θα ακινητοποιηθεί, παίρνουµε: K +U - ( K 0 +U 0 ) = W +W 0+mg( M F 0)- 0 -mg(l/) =W +0 F mg( L-L /) -mgl/ = FLµ mg L ( 1- ) = FLµ mg( 1- ) = Fµ (1) όπου φ η γωνία της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση στην θέση ακινη τοποιήσεώς της. Όµως στην θέση αυτή πρέπει να ισχύει και η σχέση: ( O) = 0 F O M ( ) - mg( O ) = 0 -mg L µ +FL = 0 mgµ = F () Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: 1- µ = µ - =µ =µ + =1 = (3) Συνδυάζοντας την () µε την (3) παίρνουµε: mgµ = F ( ) F = 0 (4) δηλαδή δεν υπάρχει δύναµη F µε τα χαρακτηριστικά που θέτει το πρόβλη µα. ii) Στην περίπτωση που το µέτρο της δύναµης F είναι ίσο µε mg/π η µέγι στη γωνιακή εκτροπή φ max της ράβδου αντιστοιχεί στην περίπτωση που η κινητική της ενέργεια µηδενίζεται, οπότε ακολουθώντας την ίδια διαδικα σία όπως και προηγουµένως θα καταλήξουµε στην σχέση: mg( 1- max ) = Fµ max mg( 1- max ) = ( mg/ ) &µ max 1- max = ( / ) &µ max 1+ max - max = ( 4/ ) &µ max 1+ max - max ( /5) ( 1- max ) 7 5 max - max max -10 max +3 0 (5) Η (5) είναι εξίσωση ου βαθµού ως προς φ max και οι ρίζες της είναι: συνφ max =1 και συνφ max =3/7

3 από τις οποίες δεκτή είναι η συνφ max =3/7. Εφαρµόζοντας για την ράβδο στην θέση µέγιστης εκτροπής της τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: dl dt & =( ) d ( ) O L & = dt ( F dl & =FL()*' dt max k-mg L +µ' k+ 0 max dl mg & = dt ( L)*+' k-mg L max,µ' k max ( ) + O (( W ) + O (( ) O dl & =mglk 3 dt 7( - 1 ( ) 1-3/7 & dl 3 & =mgl dt 7( & k= mgl 3 7 ( - 10 & k ( ) max δηλαδή στην θέση φ=φ max της ράβδου ο ρυθµος µεταβολής dl /dt της στροφορµής της ράβδου περί το άκρο της Ο είναι διάνυσµα αντίρροπο του κάθετου στο επίπεδο κίνησης της ράβδου µοναδιαίου διανύσµατος k. P.M. fysikos Στην κεντρική περιοχή του κυλινδρικού κορ µού (τυµπάνου) ενός καρουλιού (κουβαρίστρας) έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα, του οποίου το ελεύθερο άκρο είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο Α, όπως φαίνεται στο σχήµα (). Το καρούλι ισορροπεί επί λείου οριζοντίου δαπέδου µε το νήµα κατακόρυφο και κάποια στιγµή δέχεται ώθηση βραχύτατης χρονι κής διάρκειας, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο µάζας του, µε αποτέλεσµα το καρούλι να αποκτά κινητική ενέργεια K 0. i) Nα εκφράσετε την ταχύτητα του κεντρου µάζας του καρουλιού σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει το νήµα µε την κατα κόρυφη διεύθυνση. ii) Nα βρείτε την σχέση µεταξύ της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας και της γωνιακής επιτάχυνσης του καρουλιού.

4 Δίνεται η µάζα m του καρουλιού, η ακτίνα αδράνειάς του k ως προς τον γεωµετρικό του άξονα και η ακτίνα r του κυλινδρικού του τυµπάνου. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το λείο οριζόντιο δάπεδο, οπότε θα εκτελεί επίπεδη κίνηση που αναλύεται σε µια οριζόντια µεταφορική συνιστώσα και σε µια περιστροφική συνιστώσα περί τον γεωµετρικό του άξονα. Επειδή το σηµείο Α έχει κάθε στιγµή µηδενική ταχύτητα αναγκαστικά µηδενική θα είναι και η συνιστώσα της ταχύτητας του σηµείου επαφής του καρουλιού µε το νήµα, κατά την διεύθυνση του νήµατος, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: v - v ( ) = 0 v µ -r = 0 = v µ / r (1) Σχήµα όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας του καρουλιού την στιγµή που το εξετάζουµε, η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του καρουλιού, v η συνι στώσα της v κατά την διεύθυνση του νήµατος, v ( ) η ταχύτητα του Β λόγω της περιστροφής του καρουλιού µε µέτρο ωr και φ γωνία που σχήµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Επειδή κατα την κίνηση του καρουλιού καµία από τις δυνάµεις που δέχεται (βάρος w του καρουλιού, κάθετη αντίδραση N από το λείο οριζόντιο δάπεδο, τάση T του νήµατος) δεν παράγει έργο, η κινητική του ενέργεια σύµφωνα µε το θεώ ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου δεν µεταβάλλεται, δηλαδή είναι συνεχώς ίση µε Κ 0, οπότε θα έχουµε την σχέση: K 0 = mv + I = mv + mk (1) K 0 = mv + mk v µ r K 0 = mv 1+ k µ r & ( v ' = K 0 r m r + k µ ( ) ii) Eάν a είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του καρουλιού κατά την τυχαία στιγµή t και ' η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της περιστρο φής του καρουλιού περί τον γεωµετρικό του άξονα, θα έχουµε, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνη σης, τις σχέσεις: ()

5 T x = ma Tr = I Tµ = ma Tr = mk & ' (:) Σχήµα 3 µ r = a k a = k r µ όπου T x η οριζόντια συνιστώσα της τάσεως T του νήµατος. P.M. fysikos To κέντρο µάζας ενός µη οµογενούς δίσκου µαζας m και ακτίνας R απέχει από το γεωµετρικό του κέντρο K απόσταση r<r, η δε ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του είναι Ι. Ο δίσκος µπορεί να περιστρέφεται περί ακλόνητο οριζόν τιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ αρχικά δε κρατείται ακίνητος, µε την ευθεία Κ σε οριζόντια θέση. i) Αν ο δίσκος αφεθεί ελεύθερος, να βρεθεί η αντίδραση του άξονα περιστροφής του αµέσως µετά την έναρξη της κίνησεώς του. ii) Να βρείτε τoν ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου σε συνάρτηση µε την γωνία στροφής του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Ο δίσκος αµέσως µετά την έναρξη της κινήσεώς του (t=0) δέχεται το βάρος του w και την αντίδραση του άξονα περιστροφής του, που αναλύε ται στην ακτινική συνιστώσα r και στην κάθετη προς αυτήν συνιστώσα (εφαπτοµενική συνιστώσα). Eφαρµόζοντας την στιγµή αυτή για την κίνηση του κέντρου µάζας του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την ακτινική και εφαπτοµενική διεύθυνση, παίρνουµε τις σχέσεις: r = m r w - = ma r= m r w - = m r & = 0 r = mg - m r & (1)

6 όπου a η επιτρόχια επιτάχυνση του την στιγµή t=0, η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, ενώ η αντίστοιχη γωνιακή του ταχύτητα είναι µηδενική. Εφαρµόζοντας εξάλλου την ίδια στιγµή για τον δίσκο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το, παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 4 Σχήµα 5 ( ) = I r +0 = I r = I () Συνδυάζοντας τις (1) µε την () έχουµε: r = 0 = mg - m r / I r= 0 1+mr / I ( ) = mg r = 0 ( ) = mgi / I +mr (3) ii) Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου κατά την τυχαία στιγµή t, που η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας του έχει στραφεί κατά γωνία φ (σχ. 5), είναι ίσος µε το αλγεβρικό άθροισµα της ισχύ ος του βάρους w του δίσκου και της ισχύος της αντίδρασης του άξονα περιστροφής του κατά την στιγµή αυτή, δηλαδή ισχύει η σχέση: dk dt = P +P = mgv W +0 dk = mgr (4) dt όπου η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου και v η ταχύτητα του κέντρου µάζας του, µε µέτρο ωr. Αν εφαρµόσουµε για τον δίσκο το θεώρηµα διατή ρησης της µηχανικής ενέργειας από την στιγµή της εκκίνησής του (t=0) µέχρι την στιγµή t, παίρνουµε την σχέση: 0 +0 = -mgrµ + I K = mgr I K µ (5) Όµως η ροπή άδράνειας Ι Κ του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner ίση µε το άθροισµα Ι +mr, οπότε η (5) γράφεται:

7 = mgrµ I +mr (6) Συνδυάζοντας την (4) µε την (6) παίρνουµε την σχέση: dk dt = mgr mgrµ dk mgrµ = mgr I +mr dt I +mr P.M. fysikos Μια οµογενής ράβδος µήκους L και µάζας m, συνδέεται µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος ΒΓ µήκους L µε κολάρο, το οποίο έχει την δυνατότητα να ολισθαίνει κατα µήκος σταθερού οριζόντιου σωλήνα, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). Το άκρο Α της ράβδου είναι σε επαφή µε λείο οριζόντιο δάπεδο του οποίου η απόσταση από τον σωλήνα είναι L. i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κολάρου, για την οποία τo µεν νήµα παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση η δε αντίστοιχη κλίση της ράβδου είναι θ<φ. ii) Εάν η επιτάχυνση του κολάρου έχει τιµή για την οποία η ράβ δος και το νήµα παρουσιάζουν την ίδια κλίση ως προς την οριζόν τια διεύθυνση, να βρείτε την αντίστοιχη τάση του νήµατος και την αντίστοιχη δύναµη επαφής που δέχεται η ράβδος από το δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Kατά την κίνησή της η ράβδος ΑΒ δέχεται το βάρος της w, την κατακόρυφη δύναµη επαφής N από το λείο οριζόντιο δάπεδο και την τάση F του νήµατος, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y. Επειδή η ράβδος εκτελεί µεταφορική κίνηση η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί το κέντρο µάζας της είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: () = 0 FLµ ( -) - NL& = 0 Fµ ( -) = N& (1) Όµως το κέντρο µάζας της ράβδου επιταχύνεται κατά την οριζόντια διεύθυν ση µε επιτάχυνση a, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα θα έχουµε την σχέση: F x = ma F = ma F = ma/ () Eξάλλου κατά την κατακόρυφη διεύθυνση το κέντρο µάζας της ράβδου ισορ ροπεί, οπότε θα ισxύει: N+F y - w = 0 N = mg - Fµ ( )

8 N = m( g - aµ / ) (3) Η σχέση (1) λόγω των () και (3) γράφεται: ma µ -& ' ) ( ( ) = m g - aµ *, & + aµ ( -) & Σχήµα 6 ' = g - aµ * ), & ( & + aµ ( -) = ( g&& - aµ& ) a [µ ( -) +µ& ] = g&& a = g &µ ( -) +&µ ii) Εάν a 0 είναι η επιτάχυνση του κολάρου για την οποία το νήµα και η ράβ δος παρουσιάζουν την ίδια κλίση φ 0 ως προς την οριζόντια διεύθυνση, τότε στην περίπτωση αυτή η σχέση (4) γράφεται: a 0 = g µ 0 0 = g 0 µ 0 (5) Όµως για την γωνία φ 0 ισχύει: µ 0 = L 4L = 1 0 = 6 και η (5) δίνει: a 0 = g 3 / 1/ = g 3 (6) Eφαρµόζοντας τις σχέσεις () και (3) για φ=φ 0 παίρνουµε: (4)

9 Σχήµα 7 και F = mg 3 0 = mg 3 3 / = mg & N = m g - g 3µ ) & 0 ( ' + = mg( 1-0 * ' 3 / ) + = 0 3 / * P.M. fysikos Μια λεπτή σανίδα αµελητέας µάζας έχει τοπο θετηθεί ανάµεσα σε δύο οµογενείς δίσκους (Α) και (Β) αντίστοιχων µαζών m, m και αντίστοιχων ακτίνων r και r (σχ. 8). Ο δίσκος (Α) συγκρατείται µε την βοήθεια αβαρούς οριζόντιας ράβδου της οποίας το ένα άκρο έχει αρθρωθεί στο κέντρο του δίσκου, ενώ το άλλο της άκρο είναι αρθρωµένο σε σταθερό στήριγµα. Ο δίσκος (Β) µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής του (Α), τα δε κέντρα των δίσκων βρίσκον ται στην ίδια κατακόρυφη. Εάν επί της σανίδας ασκηθεί οριζόντια δύναµη F µε φορέα την σανίδα, να βρείτε την µέγιστη τιµή του µέτ ρου της, ώστε η σανίδα να µη ολισθαίνει επί των δίσκων. Δίνεται ο συνελεστής οριακής τριβής µ µεταξύ της σανίδας και των δύο δίσκων, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mr / δίσκου µάζας m και ακτίνας r, ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του. ΛΥΣΗ: Ας δέχθούµε ότι η σανίδα δεν ολισθαίνει επί των κυκλικών περιφε ρειών των δίσκων. Τότε τα σηµεία επαφής των δίσκων µε την σανίδα θα έχουν επιτρόχια επιτάχυνση ίση µε την επιτάχυνση a της µεταφορικής κινή σεως της σανίδας, δηλαδή θα ισχύουν οι σχέσεις: a = r = r = / (1) όπου, οι γωνιακές επιταχύνσεις των δίσκων (Α) και (Β) αντιστοίχως. Ο δίσκος (Α) δέχεται το βάρος του w την δύναµη επαφής από την σανίδα που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη Q από την οριζόντια ράβδο που την συγκρατεί, της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε την ράβδο διότι αυτή ισορροπεί και έχει αµελη

10 τέο βάρος. Eξάλλου ο δίσκος (Β) δέχεται το βάρος του w, την δύναµη επαφής από τον δίσκο (Α) που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη επαφής Q από τον σταθερό άξονα περιστροφής του. Εστιάζοντας στην σανίδα παρατηρούµε ότι αυτή κινείται οριζοντίως µε την επίδραση της δύναµης F, της δύναµης επαφής από τον δίσκο (Α) που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή, Σχήµα 8 T που είναι αντίθετες των N και T αντιστοίχως (αξίωµα ισότητας δρά σης-αντίδρασης), και τέλος την δύναµη επαφής από τον δίσκο (Β) που αναλύ εται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T που είναι αντίθετες των N και T αντιστοίχως. Εφαρµόζοντας για τους δύο περιστρεφόµενους δίσκους τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: rt = I rt = I rt = r m / rt = 4r m / (1) T = rm / T = rm / () Σχήµα 9 Για την σανίδα ο δευτερος νόµος κίνησης του Νευτωνα δίνει: F - T - T 0 F T +T ( ) F rm + rm r ( m ) ( )

11 F T m ( m ) T Fm m (3) Όµως από τις σχέσεις () µε διαίρεση κατά µέλη έχουµε: T T = m m T = m T (3) m T Fm m (4) Επειδή εξ αρχής δεχθήκαµε ότι οι τριβές T, T είναι στατικές. πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: T µn T µn ( ) µn ( ) µn (4) Fm / m Fm / m (5) Eξάλλου η σανίδα έχει οριζόντια κίνηση, οπότε θα ισχύει: N = N N = N N = N = m g µε αποτέλεσµα οι σχέσεις (5) να γράφονται: ( ) µm g ( ) µm g Fm / m Fm / m ( ) F µg m F µg( m )m / m (6) Διακρίνουµε τα εξής: ( ) α) Εάν m =m, τότε οι σχέσεις (6) συγχωνεύονται στην F µg m που σηµαίνει ότι η µέγιστη τιµή του µέτρου της δύναµης F για να µη ολισ θαίνει η σανίδα είναι: F max = µg( m ) = µgm ( ) και β) Εάν m >m πάλι οι σχέσεις (6) συγχωνεύονται στην F µg m θα είναι F max = µg( m ). γ) Εάν m <m οι σχέσεις (6) συγχωνεύονται στην: F µg( m )m / m και θα έχουµε: F max = µg( m )m / m. P.M. fysikos