Μαθηματική Εκπαίδευση στην Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία

Transcript

1 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Μαθηματική Εκπαίδευση στην Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία Ενότητα: Μέτρηση και συστήματα μέτρησης Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

2 μέτρηση η μέτρηση είναι διαδικασία σύγκρισης άρα ενέχει όρους όπως: ίσο, μεγαλύτερο, μικρότερο, πόσο πάνω, πόσο ψηλό κτλ. άμεσης σύγκρισης όποτε αυτό είναι δυνατό αντιληπτικά έμμεσης σύγκρισης με χρήση εργαλείων, ορισμός εξωτερικής μονάδας μέτρησης, συμφωνία επί αυτού, κτλ, 2

3 σημασία μέτρησης Οι μετρήσεις είναι εξαιρετικά σημαντικές στην επιστήμη, την τεχνολογία και την καθημερινή ζωή Η ανάπτυξη τεχνικών για την ακριβή μέτρηση μεγεθών όπως η μάζα και o χρόνος αποτέλεσε προϋπόθεση για τη λεπτομερή και προσεκτική παρατήρηση της φύσης και την ανάπτυξη της επιστήμης της φυσικής. όπως τα αριθμητικά συστήματα μας δίνουν τη δυνατότητα να κατασκευάζουμε αριθμολέξεις επεκτείνοντας τα όρια της απαρίθμησης πολύ πέραν από τα όρια της μνήμης μας, έτσι και τα συστήματα μέτρησης μας δίνουν τη δυνατότητα ποσοτικοποίησης των καταστάσεων επεκτείνοντας τα όρια της σύγκρισης πέραν από τα όρια της αντίληψής μας

4 ορισμός Ο όρος μέτρηση σημαίνει σύγκριση της ποσότητας κάποιου φυσικού μεγέθους με ένα πρότυπο, που θα χρησιμοποιηθεί ως μονάδα μέτρησης και έκφραση ενός συμπεράσματος δηλαδή σύγκριση με κάποια σταθερή ποσότητα του ίδιου φυσικού μεγέθους που αυθαίρετα έχει συμφωνηθεί (κατά «σύμβαση», δηλαδή κατά κοινή συμφωνία) να χρησιμοποιείται ως μονάδα μέτρησης και η έκφραση ενός συμπεράσματος που γίνεται στη βάση ενός λογικού συμπερασμού (είναι τόσο μεγαλύτερο από, είναι τόσο, κτλ.) μπορεί επίσης να σημαίνει την απαρίθμηση με χρήση των φυσικών αριθμών, q στην περίπτωση αυτή η μονάδα μέτρησης είναι η μονάδα

5 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών συστήματα μέτρησης και μετρικές έννοιες

6 συστήματα μονάδων μέτρησης Ιστορικά οι άνθρωποι δημιούργησαν και χρησιμοποίησαν πολλά διαφορετικά συστήματα μονάδων μέτρησης, αρχικά για τη μέτρηση των αποστάσεων και για τη μέτρηση ποσοτήτων όπως η μάζα (το βάρος) και ο όγκος για εμπορικούς και παρόμοιους σκοπούς. Υπάρχει το βαβυλωνιακό σύστημα, το αιγυπτιακό σύστημα, το ελληνικό, το ρωμαϊκό, το κινέζικο, το βρετανικό και άλλα συστήματα. Για να αποφεύγεται η σύγχυση από τα πολλά, συχνά αντιφατικά και χωρίς αρκετή ακρίβεια συστήματα μονάδων μέτρησης από το 1960 έχει καθιερωθεί και ισχύει παγκοσμίως το σύστημα SI (Systeme Iteratioale), το οποίο περιλαμβάνει επτά θεμελιώδεις μονάδες (δείτε πίνακα παρακάτω). Ωστόσο, διάφορα άλλα συστήματα μονάδων εξακολουθούν να βρίσκονται σε χρήση.

7 συστήματα μονάδων μέτρησης του SI

8 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών μετρικές έννοιες

9 μετρικές έννοιες Μετρικές ιδιότητες ή σχέσεις: χαρακτηρίζονται οι ιδιότητες ή οι σχέσεις μεταξύ αντικειμένων ή καταστάσεων που εμπλέκουν τα μαθηματικά μεγέθη μήκος, επιφάνεια, όγκος, κτλ. q q q ψηλό- χαμηλό βαρύ- ελαφρύ μακριά- κοντά q ζεστό - κρύο,... Η μέτρηση σχετίζεται έμμεσα αλλά και άμεσα με τη σύγκριση (ποσοτήτων, αντικειμένων, αποστάσεων, κτλ.) q q άμεσες συγκρίσεις: χωρίς τη χρήση ενός ενδιάμεσου αντικειμένου, π.χ, μεγαλύτερο/μικρότερο έμμεσες συγκρίσεις: γίνονται με τη χρήση ενός ενδιάμεσου αντικειμένου, π.χ., χάρακα

10 Η μέτρηση με τη μορφή άμεσης σύγκρισης q q q Η απλούστερη μορφή άμεσων συγκρίσεων προκύπτει από ερωτήματα της μορφής «Ποιο είναι το μακρύτερο; Το παχύτερο κτλ» Σύγκριση μεγαλύτερου βαθμού: Η μορφή αυτή της σύγκρισης προκύπτει από ερωτήσεις όπως «πόσο μακρύτερο είναι» και απαιτεί λογικούς συλλογισμούς που βασίζονται στις πράξεις της αφαίρεσης και της πρόσθεσης. q π.χ., αν Α>Β(κατά Κ), τότε Α=Β+Κ ή Α-Κ=Β Τέλος, άλλο ένα είδος σύγκρισης προκύπτει από ερωτήσεις όπως «Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι» που περιέχει την έννοια της αναλογίας και βασίζεται στη πράξη της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού. q π.χ., Α=3Κ

11 η βασική ιδέα της μέτρησης ποσοτικοποίηση: η διαδικασία μέσα από την οποία αποδίδεται ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό σε ένα αντικείμενο ή μια κατάσταση η διαδικασία μέσα από την οποία ένα συνεχές χαρακτηριστικό ενός αντικειμένου ή μιας κατάστασης (π.χ., μήκος, βάρος, κτλ.) συγκρίνεται με ένα διακριτό (π.χ., το μέτρο, το κιλό, κτλ.) και το πρώτο εκφράζεται ως αριθμός επικαλύψεων ή/και επαναλήψεων του δεύτερου

12 σημασία για την εκπαίδευση q η διδασκαλία της μέτρησης θα βοηθήσει τα παιδιά να εστιάσουν στα ποσοτικά χαρακτηριστικά των αντικειμένων και των καταστάσεων και στη δυνατότητα ποσοτικοποίησής τους έτσι θα περάσουν από τις γενικές περιγραφές/συγκρίσεις: q περισσότερο-λιγότερο, ή πολύ/λίγο σε πιο τυπικές περιγραφές/συγκρίσεις: τόσο, τόσο πολύ-τόσο λίγο, ή τόσο λιγότεροπερισσότερο και σε ακόμη πιο...εκλεπτυσμένες q π.χ., σχεδόν, περίπου, ακριβώς, τρεις φορές πάνω, κτλ. και επίσης θα εστιάσουν και στις διαφορετικές διαστάσεις των αντικειμένων και των χώρων q π.χ., ότι για τη μέτρησης μήκους χρειάζομαι μονάδες μίας διάστασης (π.χ., χάρακας), για τη μέτρηση επιφάνειας χρειαζόμαστε μονάδες δύο διαστάσεων (πχ., πλακάκια, τετράγωνα χαρτόνια) και για τον όγκο μονάδες τριών διαστάσεων (π.χ., κύβους)

13 ανάπτυξη της ικανότητας για μέτρηση Από πολύ μικρά τα παιδιά μπαίνουν σε διαδικασία μέτρησης/σύγκρισης q π.χ., αν φτάνω να πιάσω κάτι, πόσο ψηλά είναι κάτι, χωράει, περισσεύει, κτλ. Σύμφωνα με τον Piaget για να καταφέρουν οι μαθητές να συγκρίνουν θα πρέπει να έχουν αναπτύξει τη δυνατότητα κάποιων λογικών συλλογισμών σε σχέση με τα μεγέθη

14 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών οι θεωρίες του Jea Piaget για τη μέτρηση

15 Διαφορές μικρών/μεγάλων παιδιών αποτέλεσμα παρατήρησης Αρχές: Διατήρηση: αφορά την ικανότητα του παιδιού να αντιλαμβάνεται ότι οι φυσικές ιδιότητες των αντικειμένων, όγκος, βάρος, μάζα παραμένουν σταθερές παρά τις αλλαγές στην εξωτερική εμφάνιση Αποκέντρωση: αφορά την ικανότητα του παιδιού για ταυτόχρονη αντίληψη περισσότερων από ένα χαρακτηριστικό ενός αντικειμένου Αντιστρεψιμότητα: αφορά μια εσωτερικευμένη νοητική πράξη που μπορεί να αντιστραφεί

16 Διαφορές μικρών/μεγάλων παιδιών ως προς τη διατήρηση

17 Έργα διατήρησης

18 Η θεωρία των σταδίων ανάπτυξης Ο Piaget μελέτησε τη νοητική ανάπτυξη του παιδιού από τη γέννηση ως την εφηβεία (ως προς βασικές θεματικές: του χρόνου, του χώρου, της φυσικής αιτιότητας, της φυσικής ανάπτυξης) η πνευματική μας ανάπτυξη διέρχεται από τέσσερα μεγάλα στάδια (με πολλές ενδιάμεσες βαθμίδες), τα οποία ακολουθούν μια σταθερή διαδοχή, χωρίς όμως η χρονική τους έκταση, δηλαδή η έναρξη και η λήξη κάθε σταδίου, να είναι σταθερή για όλους. Η κατάκτηση του ενός σταδίου αποτελεί προϋπόθεση για την ανάπτυξη του παιδιού και τη μετάβασή του στο επόμενο στάδιο. Ο ρυθμός της εξέλιξης των σταδίων μπορεί να διαφοροποιείται από την αλληλεπίδραση του παιδιού με το περιβάλλον του, ωστόσο η σειρά της εξέλιξης των σταδίων δεν μπορεί να ανατραπεί.

19 Τα στάδια ανάπτυξης

20 μέτρηση στον Piaget Μέτρηση είναι η διαδικασία απόσπασης από την ολότητα ενός στοιχείου που λαμβάνεται ως μονάδα και η μεταφορά της μονάδας αυτής πάνω στο μέρος της ολότητας που απομένει. Γι αυτό η μέτρηση είναι μια σύνθεση που εμπεριέχει την υποδιαίρεση (της ολότητας) και την αλλαγή της θέσης (της επιλεγμένης μονάδας) Piaget et al 1960,σ.3, στο Ζαχάρος (1997) είναι μια πολύπλοκη διαδικασία: η μονάδα πρέπει να εφαρμοστεί πολλές φορές, χωρίς επικαλύψεις, με σημεία αναφοράς η ήδη καλυμμένη περιοχή δεν μετακινείται (όπως στην απαρίθμηση) οπότε η διαδικασία πρέπει να γίνει νοητά 20

21 κριτική των θεωριών του Piaget όπως και στα έργα διατήρησης του αριθμού έτσι και στη διατήρηση του μεγέθους, πειράματα με διαδικασίες πιο προσιτές στα παιδιά έδειξαν ότι μπορούσαν να κατανοήσουν τη διατήρηση του μεγέθους πιο νωρίς απ ότι προέβλεπε η θεωρία του Piaget q π.χ., τα παιδιά ονομάζουν «ψηλότερο» ένα αντικείμενο που φτάνει πιο ψηλά ακόμα κι αν δεν έχει την ίδια αρχή με ένα άλλο αντικείμενο, επειδή δεν χρησιμοποιούν τη λέξη «ψηλό» με τον ίδιο τρόπο που το χρησιμοποιεί ο ερευνητής για να χαρακτηρίσει το μήκος

22 μεταβατικοί συμπερασμοί η ικανότητα για μέτρηση έχει δύο προϋποθέσεις: την ικανότητα λογικών (μεταβατικών) συμπερασμών, που είναι οικουμενικοί: q q εάν Α=Β και Β=Γ τότε Α=Γ εάν Α>Β και Β>Γ τότε Α>Γ την κατανόηση της έννοιας της μονάδας μέτρησης ως μέρος του όλου: Α=Α1+Α1+Α1+...

23 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών ικανότητα για μέτρηση

24 ικανότητα μέτρησης μονάδα μέτρησης οι μονάδες μέτρησης μας δίνουν τη δυνατότητα να πούμε πόσο μεγαλύτερο/βαρύτερο, κτλ είναι κάτι δεν είναι οικουμενικά εργαλεία αλλά αποτέλεσμα κοινωνικών συμβάσεων, γι αυτό και διαφοροποιούνται q π.χ., χιλιόμετρα, μίλια, γιάρδες, κιλά, οκάδες, κτλ. μια μονάδα μέτρησης, για να επιτρέπει να γίνουν με τη χρήση της κάποιοι μεταβατικοί συμπερασμοί, πρέπει να είναι σταθερή q q π.χ., το cm είναι κάτι σταθερό η παλάμη μας όχι, γιατί κάθε παλάμη είναι διαφορετική η σχέση μεταξύ των διαφορετικών μονάδων μέτρησης είναι σταθερή διότι οι μονάδες είναι σταθερές q π.χ., πόσα πόδια έχει το χιλιόμετρο αυτό επιτρέπει την ασφαλή μετατροπή των μονάδων μέτρησης

25 τυπικές και μη-τυπικές μονάδες μέτρησης οι μονάδες μέτρησης είναι είτε τυπικές είτε μη-τυπικές q q τυπικές: π.χ., το κιλό, το γραμμάριο, η ουγκιά, κτλ μη τυπικές: το φλιτζάνι, το κουταλάκι, η φτυαριά στις μη-τυπικές είναι δύσκολη και η αλλαγή από τη μία στην άλλη μονάδα q q π.χ., πόσα κουταλάκια είναι το φλιτζάνι; Κλίμακες μέτρησης: οι υποδιαιρέσεις της μονάδας

26 τυπικές και μη-τυπικές μονάδες μέτρησης Με τις μονάδες μέτρησης δε περιοριζόμαστε απλώς σε μεταβατικούς συμπερασμούς και γενικά συμπεράσματα (π.χ., μακρύτερο, λεπτότερο), αλλά μπορούμε να αποφανθούμε για το πόσες φορές η ποσότητα Α, για παράδειγμα, είναι μεγαλύτερη από τη ποσότητα Γ. Η επιλογή των περισσότερων μονάδων μέτρησης είναι αυθαίρετη και στην ανάπτυξη των διαδικασιών μέτρησης στην προσχολική και πρώτη σχολική ηλικία προτείνεται να ενθαρρύνονται τα παιδιά αρχικά να χρησιμοποιούν τις δικές τους μονάδες μέτρησης. έτσι θα κατανοήσουν την αναγκαιότητα της χρήσης μονάδων μέτρησης και κατά τη σύγκριση των αποτελεσμάτων θα κατανοήσουν την αναγκαιότητα συμφωνίας (σύμβασης) για τη χρήση ίδιων μονάδων q q Π.χ, Για το μήκος: χρήση μελών του σώματος (χέρια, δάχτυλα) Για το εμβαδόν: επιφάνειες διάφορων σημάτων.

27 οικουμενικές ανάγκες και συμβάσειςμια αναλογία με τα συστήματα αρίθμησης όπως και στον αριθμό και τα συστήματα αρίθμησης έτσι και στα συστήματα μέτρησης και τις μονάδες μέτρησης υπάρχουν κάποιες: οικουμενικές πλευρές: q q στη δυνατότητα λογικού συμπερασμού για τον αριθμό π.χ., διατήρηση του αριθμού, προσθετική ιδιότητα του αριθμού, στη δυνατότητα λογικού συμπερασμού για την μέτρηση: μεταβατικός συμπερασμός και αναγκαιότητα μονάδων μέτρησης και μη οικουμενικές πλευρές: q q στον αριθμό: το είδος του αριθμητικού συστήματος, π.χ., δεκαδικό, εξηνταδικό, κτλ. και στα συστήματα μέτρησης, οι μονάδες μέτρησης, όπως χιλιόμετρα, πόδια, κτλ.

28 ικανότητα μεταβατικών συμπερασμών τα παιδιά από πολύ μικρά μπορούν να κάνουν μεταβατικούς συμπερασμούς συγκρίνουν δύο μεγέθη με χρήση ενός τρίτου και βγάζουν συμπεράσματα για το μεγαλύτερο και το μικρότερο Έδωσαν δυο ξύλινους κύβους ο καθένας από τους οποίους είχε μια οπή στη μία πλευρά. Τα παιδιά δε μπορούσαν να δουν τον πυθμένα της οπής, γιατί ήταν στενή και τα ρώτησαν εάν οι οπές είχαν το ίδιο βάθος ή εάν όχι ποια ήταν η πιο βαθιά. Επειδή η οπτική σύγκριση ήταν αδύνατη τα παιδιά έπρεπε να βρουν άλλο τρόπο σύγκρισης. Το μόνο επιπρόσθετο αντικείμενο ήταν μια βέργα, με διαγραμμίσεις την οποία τοποθετούσες μέσα στην οπή ώστε να συγκρίνεις το βάθος των δυο κύβων. Ήθελαν να μάθουν εάν τα παιδιά θα έλυναν το πρόβλημα και πράγματι σε ένα μεγάλο μέρος αυτό συνέβη αφού χρησιμοποίησαν τη βέργα χωρίς παρότρυνση και κατέληξαν σε σωστά συμπεράσματα. Έτσι φαίνεται πως ο μεταβατικός συμπερασμός δεν είναι δύσκολη ιδέα για τους μικρούς μαθητές. Bryat & Kopytyska

29 θεωρητικές προσεγγίσεις Οι υποστηρικτές της θεωρίας δράσης και της κοινωνικό-πολιτισμικής προσέγγισης (Davidof,1988) υποστηρίζουν ότι η εισαγωγή τυπικών μετρικών εργαλείων (π.χ., χάρακας) και συμβόλων ενισχύει την προσέγγιση της μέτρησης στα παιδιά και με την έννοια αυτή τα τυπικά σύμβολα και μέσα εισάγονται παράλληλα με τις ανάγκες μέτρησης στις μικρές ηλικίες. Οι Nues και Bryat (1996) δοκιμάζουν να εφαρμόσουν ένα συνδυασμό προσεγγίσεων (δηλαδή της εισαγωγής των μετρικών εργαλείων και συμβόλων και των λογικών αρχών που υποστηρίζονται από τον Piaget) και καταλήγουν στη θέση ότι η κατανόηση της διαδικασίας μέτρησης απαιτεί τόσο την κατανόηση των λογικών αρχών όσο και των συμβατικών μέσων μέτρησης, τα οποία, κατά αυτούς, πρέπει να αντιμετωπίζονται μαζί στη διδακτική προσέγγιση.

30 ικανότητα για χρήση μονάδων μέτρησης του μήκους τα παιδιά 5-7 ετών συνήθως μπορούν να καταλάβουν ότι τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει από τη χρήση διαφορετικών μονάδων θα είναι διαφορετικά π.χ., αν μετρήσουν το γραφείο τους με τις παλάμες και με τις ξύστρες τους κι ότι για να ευσταθεί μία σύγκριση με χρήση ενδιάμεσης μονάδας τότε αυτή η μονάδα πρέπει να είναι η ίδια (σταθερότητα της μονάδας) Παρόλα αυτά, τα παιδιά που μπορούν να κάνουν το παραπάνω δε σημαίνει ότι μπορούν να μετατρέψουν τη μία μονάδα σε άλλη

31 ικανότητα για χρήση μονάδων μέτρησης του μήκουςακόμη μια αναλογία όπως στην κατανόηση της έννοιας του πλήθους τα παιδιά μπορεί να απαριθμούν αλλά να μην κατανοούν ότι ο πληθικός αριθμός που είναι το αποτέλεσμα της απαρίθμησης δηλώνει κάτι για το πλήθος του συνόλου κι άρα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συγκρίσεις κτλ., έτσι και στη μέτρηση, τα παιδιά φαίνεται να μπορούν να χρησιμοποιήσουν μέτρηση με εργαλεία, όπως χάρακες, ζυγούς κτλ, αλλά χωρίς να κατανοούν σε βάθος την έννοια της μονάδας μέτρησης και την αναγκαιότητά της

32 απαρίθμηση και μέτρηση Οι φυσικοί αριθμοί (1, 2, 3,...) μπορούν να θεωρηθούν το αποτέλεσμα μέτρησης μονάδων. θυμηθείτε: με την απαρίθμηση καταμετρούσαμε σύνολο διακριτών αντικειμένων και κάναμε συγκρίσεις με βάση την απαρίθμηση έτσι, ο αριθμός κάποτε συμβόλιζε: π.χ., 3 μολύβια, 5 κουτιά στη συνέχεια, γινόταν αφαίρεση και ο αριθμός 3 και 5 συμβόλιζε σύνολο μονάδων π.χ., 3: μονάδες, 5 μονάδες που επίσης είναι διακριτά αντικείμενα Όμως τι γίνεται με τις συνεχείς ποσότητες, π.χ., ύψος, βάρος, ηλικία, επιφάνεια, κτλ; γι αυτά έχουμε την μέτρηση 32

33 απαρίθμηση και μέτρηση ΙΙ όπως με την απαρίθμηση μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: ποιο είναι/έχει περισσότερα/λιγότερα και αργότερα να πούμε και πόσα περισσότερα/λιγότερα έχει έτσι και με τη μέτρηση μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: ποιο είναι πιο μεγάλο, μακρύ, βαρύ, κτλ. και αργότερα να πούμε και πόσο πιο μεγάλο, μακρύ, βαρύ, κτλ. έτσι όπως μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε διακριτές ποσότητες με την διαδικασία της απαρίθμησης έτσι μπορούμε και να ποσοτικοποιήσουμε συνεχείς ποσότητες μέσα από τη διαδικασία της μέτρησης 33

34 απαρίθμηση και μέτρηση ΙΙΙ Έτσι θα μπορούσαμε να πούμε ότι η διαδικασία της μέτρησης είναι ανάλογη της απαρίθμησης πρώτα επιλέγουμε μια αυθαίρετη μονάδα μέτρησης και μετά μετράμε (σαν να απαριθμούμε) πόσες τέτοιες μονάδες αποτελούν το μέγεθος που μας ενδιαφέρει...όπως πόσες φορές χωράει Μόνο που στη μέτρηση, επειδή είναι συνεχείς ποσότητες, συχνά κάτι περισσεύει (και γι αυτό χρειαζόμαστε τις υποδιαιρέσεις της μονάδας) π.χ. το μέτρο χωράει παραπάνω από μιά φορά και λιγότερο από δύο φορές στο μέσο ύψος ενός μαθητή τότε χρειαζόμαστε υποδιαιρέσεις της αρχικής μας μονάδας π.χ., εκατοστά, χιλιοστά, κτλ. 34

35 απαρίθμηση και μέτρηση ΙV Οι υποδιαιρέσεις της μονάδας: όπως οι υποδιαιρέσεις του μέτρου σε εκατοστά (1/100 του μέτρου) ή χιλιοστά (1/1000 του μέτρου) του κιλού σε γραμμάρια (1/1000 του κιλού)... έτσι και η αριθμητική μονάδα (το 1) έχει τις υποδιαιρέσεις της: π.χ., τα κλάσματα της μονάδας: 1/5 (του 1), 2/3 (του 1), 5/3 της μονάδας έστω κι αν δεν το λέμε αλλά το υπονοούμε 35

36 η σημασία της μονάδας Η Μαίρη είπε ότι ήπιε ένα ολόκληρο μπουκάλι νερό Ο Γιώργος επίσης Ποιος ήπιε περισσότερο; Η Μαίρη είχε πιει ένα μπουκάλι του λίτρου, ενώ ο Γιώργος ένα μπουκάλι του μισού λίτρου η μονάδα έχει σημασία 36

37 μέτρηση και αριθμός σκεφτείτε: =3 =6_ =2_ (αν πάρουμε ως μονάδα το _) ή =1* αν πάρουμε ως μονάδα το ή _=1/2 (αν πάρουμε ως μονάδα το ) Δείτε τώρα γιατί: 6 =2*3 κι άρα 3=6*1/2 = 3 =6_ 3* =6*_ (με μονάδα το _) 3*2=6 ή 3*1=6*1/2 (με μονάδα το ) 37

38 μέτρηση και αριθμός ΙΙ αλλιώς: =3 =6_ =2_ _=1/2 (με μονάδα το ) τώρα θα δείξουμε ότι 3=6/2 γιατί: = 6_=3 6*_=3* 6*1/2 =3* (αν πάρουμε ως μονάδα το τότε 6 μισά =3 ) 6*1/2=3 άρα το ζήτημα είναι ποιο παίρνουμε ως μονάδα 38

39 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών 39

40 ικανότητα για χρήση μονάδων μέτρησης του μήκους Η μέτρηση του μήκους εισάγεται στη Α τάξη του δημοτικού αν και κάποια παιδιά έχουν αρχίσει να εξοικειώνονται με την έννοια αυτή καθώς και να συγκρίνουν από πολύ νωρίτερα.

41 ικανότητα για χρήση μονάδων μέτρησης του μήκους Η μέτρηση του μήκους απαιτεί τις ακόλουθες διαδικασίες: Το χωρισμό σε τμήματα/διακριτά μέρη. Τη νοητική διαμέριση ενός αντικειμένου σε μονάδες ίσου μεγέθους. Την επανάληψη της μονάδας μέτρησης στο μετρούμενο μέγεθος. Η ικανότητα δηλαδή θεώρησης του μήκους ενός μικρού κομματιού (μονάδα) ως τμήματος του μήκους του προς μέτρηση αντικειμένου και η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή της μονάδας κατά μήκος της επιφάνειας του μεγαλύτερου αντικειμένου με τέτοιο τρόπο ώστε η αρχή κάθε μονάδας να συμπίπτει με το τέλος της προηγούμενης.

42 ικανότητα για χρήση μονάδων μέτρησης του μήκους Η μέτρηση του μήκους απαιτεί τις ακόλουθες διαδικασίες: Τη μεταβατικότητα. Η κατανόηση ότι αν το μήκος του ενός αντικειμένου είναι ίσο /μεγαλύτερο / μικρότερο με το μήκος ενός άλλου αντικειμένου και το δεύτερο αντικείμενο έχει το ίδιο / μεγαλύτερο /μικρότερο μήκος με κάποιο τρίτο, τότε το πρώτο θα έχει το ίδιο / μεγαλύτερο /μικρότερο μήκος από το τρίτο αντικείμενο. Τη διατήρηση. Η κατανόηση σύμφωνα με τη θεωρία του Piaget ότι το μήκος δεν αλλάζει στις διαφορετικές διευθύνσεις στο χώρο. Τη συσσώρευση της απόστασης. Η κατανόηση ότι καθώς τοποθετείται και επανατοποθετείται η μονάδα κατά μήκος του αντικείμενου και μετριέται ο αριθμός των τοποθετήσεων, η αριθμολέξη δηλώνει το χώρο που έχει καλυφθεί από όλες τις μονάδες που έχουν μετρηθεί μέχρι αυτό το σημείο. Τη συσχέτιση του αριθμού με τη μέτρηση. Για να μπορέσουν τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας να περάσουν στη μέτρηση των συνεχών μονάδων είναι αναγκαίο να αναδιοργανώσουν την σκέψη τους για τη μέτρηση των διακριτών.

43 σημαντικά ζητήματα στην κατανόηση της μέτρησης να αναπτυχθεί το κατάλληλο μαθηματικό λεξιλόγιο: σωστή χρήση όρων όπως ψηλός/μακρύς- κοντός/χαμηλός στενός-πλατύς/φαρδύς πιο μακριά, πιο πλατιά λιγότερο ζεστός κτλ 43

44 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών η κατανόηση του χάρακα

45 η κατανόηση του χάρακα ως εργαλείο μέτρησης μήκους Δόθηκε στους μαθητές να βάλουν τους αριθμούς πάνω σε έναν χάρακα που είχε τις γραμμές (για ακέραιους και για τα μισά με μικρότερες γραμμές) όλα τα παιδιά αναγνώρισαν ότι είναι χάρακας το 89% δεν έβαζε το μηδέν και ξεκινούσε από το 1 πολλοί δεν έβαλαν τιμές στα μικρά αλλά χρησιμοποιούσαν όλες τις γραμμές μόνο για ακέραιους αριθμούς κάποια παιδιά δεν διατήρησαν τη σταθερότητα της απόστασης ανάμεσα στους αριθμούς q (έβαζαν σε σειρά τους αριθμούς χωρίς να ακολουθούν τη γράμμωση) η πλειοψηφία ακολούθησε τη σωστή σειρά των αριθμών Nues & Bryat (2007)

46 η κατανόηση του χάρακα ως εργαλείο μέτρησης μήκους Δόθηκε επίσης στους μαθητές να κρίνουν αν δοσμένοι χάρακες που ήταν σωστοί/λάθος κατασκευασμένοι (είχαν/δεν είχαν μηδέν και είχαν/ δεν είχαν σταθερή χάραξη) ήταν σωστοί ή όχι. η πλειοψηφία των μαθητών δεν ασχολήθηκαν με τη παρουσία ή απουσία του μηδέν πολλοί είπαν για τους χάρακες που δεν είχαν σταθερή χάραξη ότι είναι λάθος αλλά μάλλον βασιζόμενοι σε αισθητικά κριτήρια χωρίς να μπορούν να δικαιολογήσουν τις απαντήσεις τους

47 η κατανόηση του χάρακα ως εργαλείο μέτρησης μήκους Τέλος δόθηκε επίσης στους μαθητές να κρίνουν αν δοσμένοι χάρακες που ήταν σπασμένοι και ξεκινούσαν από το 4 θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για μέτρηση και πάλι πολλά από τα παιδιά δεν βρήκαν τρόπο να χρησιμοποιήσουν σωστά τον χάρακα

48 η κατανόηση του χάρακα ως εργαλείο μέτρησης μήκους Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι τα παιδιά θέλουν να υπάρχει ίση απόσταση των γραμμών και τακτικά διαστήματα όμως δεν αναγνωρίζουν ότι τα διαστήματα αυτά αντιπροσωπεύουν τις μονάδες μέτρησης τα παιδιά μπορεί να χρησιμοποιούν το χάρακα και τις ενδείξεις που παίρνουν από αυτόν αλλά χωρίς να έχουν κατανοήσει ότι αυτές οι ενδείξεις αφορούν πλήθος μονάδων μέτρησης δεν έχουν αντιστοιχίσει τις μονάδες με τους αριθμούς και την ποσότητα που μετριέται (βλ. Davydov)

49 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών επιφάνεια και εμβαδόν 49

50 επιφάνεια και εμβαδόν Επιφάνεια: (επίπεδη) επιφάνεια είναι ό,τι έχει πλάτος και μήκος Εμβαδόν: η ποσοτικοποίηση, η μέτρηση μιας επιφάνειας Η επιτυχής μέτρηση εμβαδού απαιτεί: διαμέριση: η ικανότητα ανάλυσης της μετρούμενης σε διακριτά μέρη επανάληψη της μονάδας μέτρησης στη μετρούμενη επιφάνεια διατήρηση: το μέγεθος της επιφάνειας παραμένει σταθερό στις διάφορες αντιληπτικές διευθετήσεις της στο χώρο η δόμηση μιας σειράς: η ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης της επιφάνειας σε γραμμές και στήλες. η γραμμική μέτρηση: η ικανότητα απαρίθμησης των γραμμών που συνθέτουν την επιφάνεια. 50

51 μέτρηση όγκου η μέτρηση όγκου είναι λίγο πιο περίπλοκη διαδικασία από την μέτρηση μήκους ή επιφάνειας, αφορά δύο πράγματα: χωρητικότητα: ικανότητα των κοίλων αντικειμένων να περιέχουν κάτι, όπως, για παράδειγμα, υγρό, ρύζι, άμμο, κτλ. μονάδα μέτρησης χωρητικότητας: το λίτρο όγκος εσωτερικός όγκος: ενός κοίλου δοχείου ορίζεται όπως η χωρητικότητα αλλά οι μονάδες μέτρησης είναι τα κυβικά εκατοστά εξωτερικός όγκος: ο χώρος που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο Freudethal,

52 μέτρηση όγκου σπάνια ασχολούμαστε με τη μελέτη του εξωτερικού όγκου εστίαση στον εσωτερικό όγκο και στη χωρητικότητα σαν να είναι το ίδιο πράγμα γιατί είναι πιο εύκολα κατανοητό από τα παιδιά Έργα διατήρησης της ποσότητας πρακτικές γεμίσματος/αδειάσματος δοχείων, με διαφορετικά σχήματα (σε ύψος, πλάτος, κτλ) και μεγέθη ερωτήσεις: ποιο είναι μεγαλύτερο, πόσο, γιατί, κτλ 52

53 άλλες μετρήσεις η μέτρηση χρόνου, θερμοκρασίας και ανοίγματος γωνίας, είναι αρκετά δύσκολη για τα παιδιά και μπορούμε να μείνουμε στην άμεση σύγκριση κι όχι στην έμμεση 53

54 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών εφαρμογές στην εκπαίδευση

55 σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του νηπιαγωγείου τα παιδιά θα πρέπει: Να κατανοήσουν το σχετικό μέγεθος (πχ το μήκος) ως ιδιότητα του εξεταζόμενου αντικειμένου Να κατανοήσουν το αμετάβλητο αυτού του μεγέθους, ανεξάρτητα από τη θέση ή τη μορφή του αντικειμένου (διατήρηση μεγέθους) Να μπορούν να συγκρίνουν άμεσα δύο αντικείμενα, αν κάτι τέτοιο είναι δυνατό, ως προς αυτό το μέγεθος (άμεση σύγκριση) Αν δεν είναι δυνατό, να μπορούν να συγκρίνουν τα δύο αντικείμενα με τη βοήθεια ενός τρίτου αντικειμένου (έμμεση σύγκριση, μεταβατικότητα της σύγκρισης) Να μπορούν να χρησιμοποιούν το ενδιάμεσο αυτό αντικείμενο πολλές φορές (επανάληψη της μονάδας).

56 γενικοί στόχοι να αναγνωρίσουν τα παιδιά την ανάγκη της τυπικής μέτρησης για τη σωστή σύγκριση αντικειμένων και καταστάσεων να καταλάβουν ότι άλλα εργαλεία χρειάζονται για μέτρηση άλλων πραγμάτων, π.χ., ανάλογα με το είδος και με τις διαστάσεις τους να εφαρμόζουν την προσθετική ιδιότητα της μέτρησης σε καταστάσεις που τα εργαλεία τους δεν επαρκούν να κατανοήσουν την αναγκαιότητα συμφωνίας σε μία και σταθερή μονάδα μέτρησης για σωστές συγκρίσεις να κατανοήσουν την προσθετική ιδιότητα της μονάδας μέτρησης

57 παιδαγωγικές χρήσεις να δημιουργούν σωστά εργαλεία μέτρησης και να κρίνουν αν δοσμένα εργαλεία, είναι σωστά q όπως χάρακας, ζυγαριά κτλ. να αριθμήσουν τους χάρακες, να τους χαράξουν, να αριθμήσουν ζυγαριές, κοκ να ελέγξουν αν τα εργαλεία είναι σωστά κατασκευασμένα αν ακολουθείται η σωστή διαδοχή των αριθμών, αν υπάρχουν αριθμοί που λείπουν ή που επαναλαμβάνονται, αν τηρούνται οι ίσες αποστάσεις, αν είναι χαραγμένα καλά, αν τα αντίβαρα στο ζυγό είναι τα ίδια ζυγισμένα, κοκ

58 παιδαγωγικές χρήσεις των παραπάνω Ξεκινάμε από συγκρίσεις/εκτιμήσεις με την αντίληψη ώστε να προκύψει η αναγκαιότητα τυπικής μέτρησης για πιο αποτελεσματική σύγκριση Αφήνουμε τα παιδιά να παράγουν τα δικά τους συστήματα μέτρησης / σύγκρισης π.χ., για να συγκρίνουν το ύψος των κατασκευών τους, αρχικά με άμεση σύγκριση και μετά με έμμεση και χρήση εργαλείων οι αυθόρμητες στρατηγικές των παιδιών προκύπτουν από την καθημερινή τους εμπειρία (βλ. Battista, 2003) q π.χ., για να συγκρίνουν δύο διαδρομές πολλά παιδιά θέλουν να μετρήσουν τον χρόνο που θα τους έπαιρνε να τις διανύσουν συζήτηση για τις διαφορετικές στρατηγικές εισάγονται σιγά σιγά στην διαδικασία της τυπικής μέτρησης και στα τυπικά συστήματα

59 παιδαγωγικές χρήσεις τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε διαδικασίες μέτρησης/σύγκρισης με διάφορα εργαλεία όπως χάρακες q ευθείες και τεθλασμένες διαδρομές (βλ. Καμπούρη, 2006) q διαδρομές που επικαλύπτονται q περίμετρος τριγώνων, τετραγώνων, κτλ q επιφάνειες με κανονικά και μη κανονικά σχήματα q επιφάνειες που επικαλύπτονται ή που επαναλαμβάνονται q δεν φτάνει ή περισσεύει; για την προσθετική ιδιότητα της μέτρησης θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μικρούς χάρακες όπου να πρέπει οι μαθητές να προσθέτουν τις ενδείξεις

60 παιδαγωγικές χρήσεις για την κατανόηση της μονάδας μέτρησης θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουμε μέτρηση με διαφορετικές μονάδες και σύγκριση των αποτελεσμάτων προσπάθεια να δημιουργηθεί μια σύμβαση για κοινή χρήση μιας μονάδας μέτρησης ώστε να κατανοήσουν τα παιδιά τη σημασία των κοινών συστημάτων μέτρησης προσπάθεια μετάφρασης της μίας μονάδας σε άλλη μέτρηση με q ζωγράφισμα επιφανειών q με γέμισμα δοχείων με μπουκάλια, ή με ποτήρια νερό και πιο μετά q σπασμένους χάρακες που λείπει η αρχή q ζυγαριές με απόβαρο q ύψος που να ξεκινάει από ένα σκαμνάκι μέτρηση εμβαδού όπου στο τέλος τα πλακάκια πρέπει να σπάσουν στη μέση

61 «Ποια αγελάδα θα φάει περισσότερο;»

62 μέτρηση της περιμέτρου

63 μέτρηση της περιμέτρου και του εμβαδού

64 vities/preschool-kidergarte/graola-balls/ Μια συνταγή για μπάρες δημητριακών 450 γρ. ταχίνι 200 γρ. μέλι 200 γρ. σοκολάτα κουβερτούρα, σε κομμάτια 150 γρ. διάφορους ξηρούς καρπούς (φυστίκια Αιγίνης, καρύδια, φουντούκια) 150 γρ. δημητριακά 200 γρ. βρώμη 80 γρ. craberries 64

65 Μια δραστηριότητα Η εκτέλεση μιας συνταγής δίνει την ευκαιρία να: Μετρήσουμε πλήθος συστατικών Να μετρήσουμε ποσότητες και να δούμε τη σχέσεις ανάμεσα σε ποσότητες να συγκρίνουμε μονάδες μέτρησης Γραμμάρια, φλυτζάνια, κουταλάκια, κτλ. Να πειραματιστούμε στις αλλαγές στα συστατικά (το βούτυρο που λιώνει) Να εξασκηθούμε στη διατήρηση της ποσότητας (η ίδια ποσότητα που παίρνει διαφορετικές μορφές: σφαίρα, δίσκος, κτλ) 65

66 Από το Α.Π.

67 Από το Α.Π.

68 Από το Α.Π.

69 Από το Α.Π.

70 Από το Α.Π.

71

72

73 Βιβλιογραφία Τζεκάκη, Μ. (2007) «Μικρά παιδιά μεγάλα μαθηματικά νοήματα», εκδόσεις Guteberg Καφούση, Σ., Σκουρμουδή, Χ, (2012) «Τα μαθηματικά των παιδιών 4-6 ετών, εκδόσεις Πατάκη. Ζαχάρος, Κ (2007) «Οι μαθηματικές έννοιες στην προσχολική εκπαίδευση και η διδασκαλία τους», εκδόσεις Μεταίχμιο Nues, Τ & Bryat, P. (2007) «Τα παιδιά κάνουν μαθηματικά», εκδόσεις Guteberg Βοσνιάδου, Σ (1999, επιμ.) «Ψυχολογία μαθηματικών», εκδόσεις Guteberg Siegler, R.S (2002) «Πως σκέφτονται τα παιδιά», εκδόσεις Guteberg Botso, C, Deliege, M., (1998) «Οι προμαθηματικές διαδικασίες και έννοιες - Συμβολή στην κατανόηση της γνωστικής ψυχολογίας του J. Piaget», Εκδόσεις: Guteberg Κολέζα, Ε (2010) «Θεωρία και Πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών», εκδόσεις Τόπος.