) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:

Transcript

1 Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α<l µεταξύ τους. Κάποια στιγµή το B εκτοξευεται κατακόρυφα προς τα πάνω, η δε ταχύτητά του λίγο πριν τεντωθεί το νήµα είναι v. Nα βρεθούν: i) Η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος των δύο σφαιριδίων αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος και η ώθηση της τάσεως του νήµατος κατά τον χρόνο που αυτό τεντώνεται. ii) Η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήµατος. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που διαρκεί το τέντωµα του νήµατος η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας C του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η στροφορµή του περί το κέντρο µάζας του δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: (C) L λίγο πριν = (C) L αµέσως µετά mv L k+ = I C ω mv ( α /) k = ( ml +ml ) ω ω =αv k/4l () Σχήµα 7 όπου ω η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος περί το κέντρο µάζας του C αµέ σως µετά το τέντωµα του νήµατος, Ι C η ροπή αδράνειάς του ως προς το C και k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο κατακόρυφo επίπεδο ΑΒΓ (σχ.7). Eφαρµό ζοντας εξάλλου για το σφαιρίδιο Α το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την διεύ θυνση ΑB του νήµατος και για τον χρόνο Δt, παίρνουµε την σχέση:

2 m v A = + Ω Ω =m v A () όπου Ω η ώθηση της ωστικής τάσεως του νήµατος και v A η ταχύτητα του σφαιριδίου κατά την διεύθυνση του νήµατος. Όµως κατά τον χρόνο Δt και η ορµή του συστήµατος δεν µεταβάλλεται, διότι η αντίστοιχη ώθηση m gδt του βάρους του σφαιριδίου Β τείνει στο µηδέν, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος θα είναι ίση µε την ταχύ τητά του v / λίγο πριν το τέντωµα. Επειδή η ταχύτητα του σφαιριδίου αµέ σως µετά το τέντωµα του νήµατος προκύπτει ως συνισταµένη της µεταφορι του ταχύτητας v / και της περιστροφικής του ταχύτητας v A = ( ω CA) που διευθύνεται κάθετα προς την ΑΒ, η ταχύτητα v A είναι η προβολή της v / πάνω στην ΑΒ, οπότε θα ισχύει: v A = v συνϕ = v BΓ ΑΒ = v 4L -α L = v - α/l (3) Mε βάση τις σχέσεις () και (3) το µέτρο της ώθησης Ω είναι: Ω =mv -( α/l) (4) ii) H κινητική ενέργεια ενέργεια του συστήµατος λίγο πριν το τέντωµα του νή µατος είναι: K λίγο πριν = +mv / = mv / (5) H κινητική ενέργεια ενέργεια του συστήµατος αµέσως µετά το τέντωµα του νή µατος είναι: K αµέσως µετά = m v C + I ω C = mv () 4 + ml ω K αµέσως µετά = mv 4 + αv ml 4L = mv 4 + α 4L (6) H µεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήµατος κατά τον χρόνο Δt είναι: ΔΚ = mv 4 + α 4L - =mv α 4 4L - < Παρατηρούµε ότι κατα το τέντωµα του νήµατος µειώνεται η κινητική ενέργεια του συστήµατος, δηλαδή συµβαίνει ένα είδος µη ελαστικής κρούσεως των δύο σφαιρών µέσω του νήµατος. P.M.fysikos

3 Δύο σφαίρες A και B µε αντίστοιχες µάζες και m, βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συνδέον ται µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L. Eξασκούµε στην σφαίρα B οριζόντια ώθηση βραχύτατης χρονικής διάρκειας, της οποίας το µέτρο είναι Ω, ο δε φορέας σχηµατίζει µε την προέκταση του νήµατος γωνία φ=π/4. i) Nα βρεθεί η αντίστοιχη ώθηση της τάσεως του νήµατος και η ταχύ τητα της σφαίρας B αµέσως µετά την δράση της ώθησης Ω. ii) Nα βρεθεί η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος των δύο σφαιρών. ΛΥΣΗ: i) Αµέσως µετά την δράση της ώθησης Ω η σφαίρα Α αποκτά ταχύτη τα v κατά την διεύθυνση του τεντωµένου νήµατος νήµατος, η οπoία είναι ίση µε την αντίστοιχη συνιστώσα v x της ταχύτητας της σφαίρας Β. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα των δύο σφαιρών το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την διεύθυν ση του νήµατος παίρνουµε την σχέση: v +m v x = + Ω x v +m v = Ωσυνϕ ( +m ) v = Ωσυν ( π/4) v = Ω +m () Σχήµα 8 Η ώθηση Ω της τάσεως του νήµατος κατά τον πολύ µικρό χρόνο που διαρ κεί το τέντωµα του νήµατος (χρόνος δράσεως της ώθησης Ω ) είναι ίση µε την αντίστοιχη µεταβολή της ορµής της σφαίρας Α, δηλαδή ισχύει η σχέση: m v - = () Ω v i = Ω Ω = Ωm i +m () όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα της διευθύνσεως του νήµατος. Η ταχύτητα v της σφαίρας Β αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος είναι:

4 v =v x i +vy j v =v i +vy j (3) όπου v y η συνιστώσα της v κατά την κάθετη προς το νήµα διεύθυνση και j το µοναδιαίο διάνυσµα της διεύθυνσης αυτής. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα των δύο σφαιρών το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την κάθετη προς το νήµα διεύθυνση παίρνουµε την σχέση: +m v y = + Ω y m v y = Ωηµϕ v y = Ωηµ ( π / 4) / m v y = Ω / m (4) Η (3) λόγω των () και (4) γράφεται: Ω v = +m Ω i + j v = Ω m i + +m j m (5) ii) Εφαρµόζοντας για το σύστηµα των δύο σφαιρών το θεώρηµα γωνιακής ώθη σης-στροφορµής περί το κέντρο µάζας C του συστήµατος και για τον χρόνο που τεντώνει το νήµα παίρνουµε την σχέση: m (AC) +m (BC) ω = + ( CB Ω y ) m (AC) +m (BC) ω = (CB)Ω yk ω = (CB)Ωηµϕ k (AC) +m (BC) (6) Σχήµα 9 όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος περί το κέντρο µάζας του C αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος και k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο οριζόντιο επίπεδο, το οποίο µαζί µε τα διανύσµατα i, j αποτε λούν δεξιόστροφο σύστηµα. Όµως για τις αποστάσεις CA, CB έχουµε τις σχέ σεις: (CA)+(CB)=L (CA)=m L/ ( +m ) (CA)=m (CB) (CB)= L/ ( +m ) οπότε η (6) παίρνει την µορφή:

5 ω = LΩηµ π / 4 k/ ( +m ) m L /( +m ) +m m L / +m +m k Ω / ω = m L+m L = Ω k m L P.M. fysikos Tα σφαιρίδια A, B του σχήµατος () έχουν την ίδια µάζα m και συνδέονται µέσω αβαρών νηµάτων µε τρίτο σφαιρίδιο Γ, µάζας m. Aρχικά το σύστηµα ηρεµεί πάνω σε λείο οριζόντιο επί πεδο, ώστε τα τρία σφαιρίδια να βρίσκονται στις κορυφές ενός ισόπ λευρου τριγώνου. Kάποια στιγµή επί του σφαιριδίου Γ ενεργεί επί βραχύ χρονικό διάστηµα µια δύναµη, της οποίας η ώθηση έχει µέτρο Ω και ο φορέας της διχοτοµεί την γωνία των δύο νηµάτων. i) Nα βρεθεί η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου A ως προς το B αµέ σως µετά την δράση της δύναµης. ii) Nα δείξετε ότι τα σφαιρίδια A και B κάποια στιγµή θα συγκρουσ θούν και να βρείτε τα µέτρα των ταχυτήτων τους λίγο πριν την σύγ κρουσή τους. ΛYΣH: i) Aµέσως µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ, αυτό θα αποκτήσει ταχύτητα v 3 που έχει την διεύθυνση και την φορά της ώθησης Ω. Tα δύο άλλα σφαιρίδια A και B θ αποκτήσουν αντίστοιχες ταχύτητες v και v οι οποίες έχουν την διεύθυνση* των νηµάτων AΓ και BΓ. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα των τριών σφαιριδίων το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον άξο να Γx έχουµε: P αρχ (x) + Ω x = P τελ (x) + =mv x -mv x v x = v x v συνφ = v συνφ v = v () Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το ίδιο θεώρηµα, κατά τον άξονα Γy έχουµε: P αρχ (y) + Ω y + P τελ (y) + Ω = mv 3 + mv y + mv y () Ω = mv 3 + mv ηµφ + mv ηµφ Ω = mv 3 + mv 3 / * Για λόγους συµµετρίας οι τάσεις των νηµάτων που δέχεται το σφαιρίδιο Γ έχουν κάθε στιγµή συνισταµένη κατά την διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας των νηµά των, δηλαδή η συνισταµένη αυτή θα είναι αντίρροπή της Ω, οπότε το σφαιρίδιο θα κινείται επί της διχοτόµου.

6 Ω / m = v 3 + v 3 / () Όµως, αµέσως µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ τα νήµατα είναι τεντωµένα, οπότε η συνιστώσα της ταχύτητας v 3 κατά την διεύθυνση του νήµατος AΓ θα είναι ίση µε v, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: v = v 3 συν(ϕ /) = v 3 3 / v 3 = v / 3 = 3v / 3 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: Ω / m = 3v /3 + v 3 / Ω / m = 7 3v /6 v = 6Ω /4 3m = Ω 3 / 7m (4) H σχετική ταχύτητα v (A) σχ του σφαιριδίου A ως προς το σφαιρίδιο B, αµέσως µετά τη δράση της δύναµης, υπολογίζεται µέσω της διανυσµατικής σχέσεως: v (A) σχ = v + (-v ) Eπειδή τα διανύσµατα v και -v έχουν το ίδιο µέτρο, η συνισταµένη τους v (A) σχ θα έχει φορέα την διχοτόµο της γωνίας των διανυσµάτων αυτών, δηλαδή θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία AB, το δε µέτρο της θα είναι: (4) v (A) σχ = v + v + v v συνϕ = v - v / = v v (A) σχ = Ω 3 / 7m Σχήµα ii) Eπειδή κάθε στιγµή οι µεταξύ των σφαιριδίων A και B σχετικές τους ταχύ τητες έχουν φορέα την ευθεία που τα συνδέει, κάποια στιγµή αυτά θα συγκ ρουσθούν. Λίγο πριν την κρούση τους τα δύο νήµατα θα είναι σχεδόν παράλ

7 ληλα µεταξύ τους και θα έχουν την διεύθυνση της ταχύτητας V 3 του σφαιριδί ου Γ. Aυτό σηµαίνει ότι, οι συνιστώσες V y, V y των ταχυτήτων V, V των σφαιριδίων A και B αντιστοίχως, λίγο πριν την κρούση τους, θα είναι ίσες µε την ταχύτητα V 3, αφού εκείνη την στιγµή τα νήµατα είναι τεντωµένα (σχ. ). Έτσι θα έχουµε την σχέση: V y = V y = V 3 (5) Όµως, µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ, η ορµή του συστήµα τος κατά τους άξονες Γx και Γy διατηρείται σταθερή, διότι το σύστηµα είναι πλέον µηχανικά µονωµένο. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: mv x - mv x = V x = V x (6) και (6) Ω = mv 3 + mv y + mv y Ω = mv y + mv y V y = V y = Ω/4m (7) Σχήµα όπου V x, V x οι συνιστώσες των V και V αντιστοίχως κατά τον άξονα Γx. Eξάλλου και η κινητική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται σταθερή στο χρονικό διάστηµα αµέσως µετά την δράση της δύναµης επί του σφαιριδίου Γ και λίγο πριν την κρούση των σφαιριδίων A και B, οπότε θα ισχύει η σχέση: mv +mv +mv 3 = mv 3 + m V ( +V x y ) + m V +V x y v +v +v 3 =V 3 +V x +V y +V x +V y (8) H σχέση (8) µε βάση τις (3), (5) και (6) γράφεται:

8 v +( 3/3) v = V x +V y +V y v +4v / 3 = V x + V y V x = 7v / 3 -V y (4),(8) V x = 7 3 Ω 3 7m - Ω 4m Άρα τα µέτρα των V, V είναι: = Ω 7m - Ω 8m = Ω 56m (9) V =V = V x +V y (7),(9) V =V = Ω 56m + Ω 6m 3Ω m P.M. fysikos Δύο µικρές σφαίρες Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες, m συνδέονται µεταξύ τους µε άκαµπτη ράβδο µήκους L και αµε λητέας µάζας. ο σύστηµα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντια δάπεδο και ξαφνικά προσδίδεται στο σφαιρίδιο Σ ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και κάθετος στην ράβδο. i) Nα µελετηθεί η κίνηση των δύο σφαιριδίων στο σύστηµα αναφορας του κέντρου µάζας τους και να δειχθεί ότι η συνολική ορµή τους στο σύστηµα αυτό είναι µηδενική. ii) Nα βρεθουν οι δυνάµεις που δέχονται τα σφαιρίδια από την ράβδο στην διάρκεια της κινήσεως του συστήµατος. ΛΥΣΗ: i) ο σύστηµα ράβδος-σφαιρίδια είναι µηχανικά µονωµένο, διότι η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική (τα βάρη των δύο σφαιριδίων εξουδετερώνονται από τις κατακόρυφες αντιδράσεις του λείου οριζόντιου δαπέδου) που σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος δεν µετα βάλλεται στην διάρκεια της κινήσεώς του, δηλαδή η ορµή του κέντρου µάζας του C είναι συνεχώς ίση µε την ορµή του σφαιριδίου Σ την χρονική στιγµή t= έναρξης της κινήσεως του συστήµατος. Έτσι θα έχουµε την σχέση: m v = ( +m ) v C v C =m v /( +m ) () Aπό την () προκύπτει ότι η ταχύτητα v C του κέντρου µάζας C είναι σταθερή και οµόρροπή της v, δήλαδή το κέντρο µάζας στο συστηµα αναφορας του δαπέ δου εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση προς την κατεύθυνση της v. Εξάλλου και η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων περί το κέντρο µάζας C είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι και η στροφορµή του συστήµαττος περί το κέντρο µάζας C δεν µεταβάλλεται, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

9 v r k + = ICω m v r k = m r ( +m r ) ω ω = v r k / m r ( +m r ) () Σχήµα όπου r, r οι σταθερές αποστάσεις των σφαιριδίων Σ, Σ αντιστοίχως από το κέντρο µάζας, Ι C η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς το κέντρο µάζας, ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος περί το κέντρο µάζας και k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο οριζόντιο δάπεδο. Από την () παρατηρού µε ότι η ω είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι τα δύο σφαιρίδια εκτελούν σε σχέση προς το κέντρο µάζας οµαλή κυκλική κίνηση µε κέντρο το C και ακτίνες r, r, δηλαδή διαγράφουν οµόκεντρες οριζόντιες περιφέρειες (σχ. 3). Εάν P ολ (C) Σχήµα 3 είναι η συνολική ορµή των δύο σφαιριδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους θα ισχύει: P ολ (C) = V(σχ ) +m V(σχ ) (3) Όµως οι σχετικές ταχύτητες V (σχ ), V (σχ ) των σφαιριδίων Σ, Σ αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας C είναι:

10 V (σχ ) = ω r V (σχ ) = ω r οπότε η (3) γράφεται: P ολ (C) = ω r +m ω r = ω ( m r +m r ) (4) Eξάλλου από τον ορισµό του κέντρου µάζας τα διανύσµατα θέσεως r, r των σφαιριδίων Σ, Σ αντιστοίχως ως προς το C, ικανοποιούν την σχέση: m r +m r = (4) Pολ = (5) (C) ii) Κάθε σφαιρίδιο στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας C δέχεται το βάρος του, που αναιρείται από την αντίδραση του οριζόντιου δαπέδου και την δύναµη επαφής από την ράβδο της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε την ράβδο διότι αυτή είναι αβαρής (δυνάµεις αδράνειας επί των σφαιριδίων δεν υπάρχουν, διότι το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας είναι αδρανειακό). Αν λοιπόν εντοπίσουµε την προσοχή µας στο σφαιριδιο Σ η δύναµη επαφής T από την ράβδο αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: m T = ω r T = ω L +m = ω m m L +m Όµως από την () έχουµε: +m m L /( +m ) m ω = r v r +m r = v m L/ +m m L / +m ω = m v m L ( + ) m L +m m L = v m +m m L+ L = v L (6) (7) Συνδιάζοντας την (6) µε την (7) παίρνουµε την σχέση: T = v L m L +m = v m m L +m P.M. fysikos Ένα σφαιρίδιο µαζας m είναι στερεωµένο στο άκρο λεπτής αβαρούς ράβδου µήκους L, της οποίας το άλλο άκρο έχει αρθρωθεί στην οροφή ενός οχήµατος που κινείται πάνω σε οριζόντιο έδαφος µε σταθερή επιτάχυνση a, όπως φαίνεται στο σχήµα (4).

11 Κάποια στιγµή το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο ως προς το όχηµα στην θέση όπου η ράβδος είναι οριζόντια. i) Να εκφράσετε την τάση της ράβδου σε συνάρτηση µε την γωνία κλίσεως φ αυτής, ως προς την οριζόντια διεύθυνση. ii) Nα δείξετε ότι υπάρχει τιµή της γωνίας φ για την οποία η τάση της ράβδου µεγιστοποιείται και να βρείτε την µέγιστη τιµή της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας το σφαιρίδιο στο σύστηµα αναφοράς του οχήµατος (µη αδρανειακό σύστηµα) και σε µια τυχαία θέση παρατηρούµε ότι αυτό δέχε ται το βάρος του w που αναλύεται σε µια συνιστώσα w r κατά την διεύθυνση της ράβδου και σε µια συνιστώσα w e κάθετη στην ράβδο, την δύναµη T από την ράβδο (τάση της ράβδου) της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε την ράβδο διότι αυτή θεωρήθηκε αβαρής και τέλος την αδρανειακη δύναµη D Alembert Φ=-m a που αναλύεται στις συνιστώσες Φ r, Φ e κατά την διεύθυνση της ράβ δου και κατά την κάθετη προς αυτήν διεύθυνση (σχ. 4). Eφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης (e) της τροχιάς του, παίρνουµε: Φ e +w e =m dv dt aηµϕ +gσυνϕ = d ( ωl ) dt maηµϕ +mgσυνϕ =m dv dt () Σχήµα 4 όπου ω η γωνιακή ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή που το εξετάζουµε. Όµως ισχύει: d ( ωl) =L dω dω =L dt dt dϕ /ω = L ω dω dϕ και η () γράφεται:

12 aηµϕ +gσυνϕ =L ω dω dϕ H () µε ολοκλήρωση δίνει: ( aηµϕ +gσυνϕ ) dϕ =Lω dω () ω L ( ω dω ) = ( aηµϕ +gσυνϕ ) dϕ L ω ϕ =-α ( συνϕ-) +gηµϕ Lω =α ( -συνϕ ) +gηµϕ (3) Εξάλλου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της ακτί νας (r) της τροχιάς του δίνει: (3) T+Φ r -w r =mω L T=mω L+mgηµϕ -maσυνϕ T=m ( a ( -συνϕ ) +gηµϕ ) +gηµϕ -aσυνϕ T=m 3gηµϕ +a -3συνϕ (4) Eάν υπάρχει τιµή φ της γωνίας φ για τη οποία η τάση της ράβδου µεγιστο ποιείται, πρέπει για την τιµή αυτή η πρώτη παράγωγος της (4) να µηδενίζεται και η δεύτερη παράγωγος να είναι αρνητική. Θα έχουµε λοιπόν: και dt dϕ = 3gσυνϕ +3aηµϕ = εφϕ = - g a ϕ =ϕ (5) d T dϕ = 3m -gηµϕ + aσυνϕ ϕ =ϕ (6) Για να ανήκει η γωνία φ στο διάστηµα [, π] πρέπει να είναι ηµφ > και συνφ <, οπότε εκφράζοντας το ηµφ και συνφ σε συνάρτηση µε την εφφ θα έχουµε: και ηµϕ = συνϕ =- -εφϕ +εφ ϕ +εφ ϕ (5) (5) ηµϕ = συνϕ =- g/a = g (7) +g /a a +g = -a (8) +g /a a +g H (6) λόγω των (7) και (8) γράφεται:

13 d T dϕ =3m -g - ϕ =ϕ a +g a =-3m g +a +g /a a +g d T dϕ =-3m a +g < ϕ =ϕ Άρα για φ=φ µε εφφ =-g/a η τάση της ράβδου µεγιστοποιείται, η δε µέγιστη τιµή είναι: (7),(8) T max =m 3gηµϕ +a -3συνϕ T max =m 3g + a - -3a a +g a +g =m 3g +3a a +g + a T max =m ( 3 a +g + a) > To θετικό πρόσηµο της max δηλώνει ότι η τάση της ράβδου επί του σφαιριδίου στην θέση φ=φ κατευθύνεται από το σφαιρίδιο προς το άκρο Ο της ράβδου, οπότε η ράβδος δέχεται από το σφαιρίδιο δύναµη µε κατεύθυνση από το άκρο Ο προς το σφαιρίδιο. Αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος στην θέση φ=φ εφελκύεται. P.M. fysikos