. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και

Transcript

1 Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού και κάποια στιγµή το δοκάρι δέχεται κατά την διεύθυνσή του οριζόντια σταθε ρή δύναµη F. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και ii) την µετατόπιση της σφαίρας ως προς το ακίνητο δάπεδο, µεχρις ότου αυτή βρεθεί στο αριστερό άκρο A του δοκαριού. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Η κυλιόµενη πάνω στο δοκάρι σφαίρα δέχεται το βάρος της m g και την δύναµη επαφής από το δοκάρι που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Η κύλιση της σφαίρας είναι επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης κατά την οποία το κέντρο µάζας της µετατοπίζεται ευθύγραµµα και µιας περιστρο φής περί ελεύθερο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση τον δεύ Σχήµα 1 τερό νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: T = ma TR = I % T = ma TR = mr / 5 % T = ma T = mr / 5 % (1)

2 όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας και η γωνιακή της επιτάχυνση. Εξάλλου τo δοκάρι δέχεται το βάρος του M g, την δύναµη επαφής R από το λείο οριζόντιο δάπεδο της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυ φος, την οριζόντια δύναµη F και τέλος την δύναµη επαφής από την σφαίρα που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα T, αντίθετη της T και στην κατα κόρυφη συνιστώσα N, αντίθετη της N (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρα σης). Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νεύτω να παίρνουµε την σχέση: F - T = Ma F = T + Ma () όπου a η επιτάχυνση του δοκαριού. Λόγω της κύλισης της σφαίρας η επιτά χυνση του σηµείου επαφής Ε της σφαίρας µε το δοκάρι, στο σύστηµα αναφο ράς του δοκαριού (σχετική επιτάχυνση του Ε ως προς το δοκάρι), πρέπει να είναι µηδενική, δηλαδή πρέπει: ( ) = a E - a = 0 a + E a a + R = a R = a - a (3) Λόγω της (3) η δεύτερη εκ των σχέσεων (1) δίνει: T = m( a - a )/ 5 (4) Συνδυάζοντας την πρώτη εκ των (1) µε την (5), παίρνουµε: ma = m( a - a )/ 5 5a = a - a a = a / 7 (5) Mε βάση την (5) προκύπτει T=ma Δ /7, οπότε η () γράφεται: F = ma 7 + Ma = ( m + 7M) a 7 a = 7F m + 7M (6) H (5) µε βάση την (6) δίνει: a = 7 7F m + 7M = F m + 7M (7) ii) Eάν t * είναι ο χρόνος για να βρεθεί η σφαίρα από το δεξιό ακρο Β στο αριστερό ακρό Α του δοκαριού και S η αντίστοιχη µετατόπιση του κέντρου της σφαίρας σε σχέση µε το ακίνητο δάπεδο, τότε η αντίστοιχη µετατόπιση του δοκαριού θα είναι S Δ =S +L (σχ. ) και θα ισχύουν οι σχέσεις: S = a t * / S + L = a t * / (:) S S + L = a (5) a

3 Σχήµα S S + L = 7 S = L 5 P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4) η οµογενής ράβ δος ΟΑ έχει µάζα m και µήκος L ισορροπεί δε σε οριζόντια θέση, όταν δεν εφαρµόζεται σ αυτήν η δύναµη F. i) Nα υπολογίσετε την επιτάχυνση του άκρου Α της ράβδου, αµέ σως µετά την εφαρµογή της σταθερής δύναµης F. ii) Nα βρείτε την δύναµη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση Ο αµέσως µετά την εφαρµογή της F. Το µέτρο της F είναι 4mg, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, ο δε φορέας της σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Δίνεται ακόµη η ροπή άδράνειας Ι (Ο) =ml /3 της ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Πριν εξασκήθεί επί της ράβδου η δύναµη F, αυτή ισορροπεί µε την επίδραση του βάρους της w, της δύναµης F από το τεντωµένο ελατή ριο και της δύναµης R 0 από την άρθρωση Ο, της οποίας ο φορέας είναι κατα κόρυφος (σχ. 3). Λόγω της ισορροπίας η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί το Ο είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: (O) = 0 w L - F L = 0 F = mg Σε πολύ µικρό χρονικό διάστηµα από την εφαρµογή της δύναµης F η ράβ δος αποκτά περιστροφική κίνηση περί την άρθρωση Ο δεχόµενη πάλι το βά ρος της w και την δύναµη F του ελατηρίου, ενώ η δύναµη από την άρθ ρωση έχει µεταβληθεί και αναλύεται σε οριζόντια συνιστώσα R και κατακό ρυφη συνιστώσα R y (σχ. 4). Εάν είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου (1)

4 αµέσως µετά την δράση της F, τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: Σχήµα 3 Σχηµα 4 3L (O) = I (O) -F L + F y 4 + mg L = ml 3 (1) - mg + 3F 4 + mg = ml % 3 = 9F% 4mL = 9 ( 4mg )% 4mL = 9g% L Η επιτάχυνση a A του άκρου Α της ράβδου αµέσως µετά την εφαρµογή της F (t=0) είναι επιτρόχια επιτάχυνση (η κεντροµόλος είναι µηδενική διότι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι µηδενική), µε µέτρο: () () a A = L 9g (3) ii) Eφαρµόζοντας την στιγµή t=0 για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διευθυνση της ακτίνας της τροχιάς του και κατά την διεύθυνση y της εφαπτοµένης της τροχιάς του παίρνουµε τις σχέσεις: και R - F = ml / = 0 R = Fµ = 4mgµ (4) (1),() F y + mg - F + R y = m L/ F+ mg - mg/ + R y = 9mg/ 4mg+ mg/ + R y = 9mg/ R y = mg ( - 1) / < 0 (5)

5 Το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης R που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση Ο έχει φορά προς τα πάνω. Η ζητού µενη δύναµη R δίνεται από την σχέση: R = R + R (4),(5) y = R i +R y j R = 4mg i +mg ( - 1) j / R = mg 4 i j / [ ] ( ) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των άξονων και y αντιστοίχως. P.M. fysikos Oµογενές σώµα σχήµατος ορθογωνίου παραλ ληλεπιπέδου µάζας m, εκτελεί µεταφορική κίνηση ώστε οι διαγώ νιες κορυφές του Α και Β να ολισθαίνουν πάνω σε δύο ακλόνητες οριζόντιες και λείες επιφάνειες, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Επί του σώµατος ενεργεί στην κορυφή του Γ δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και διέρχεται από το κέντρο µάζας του σώµατος. Να βρεθεί η ταχύτητα µεταβολής της στροφορµής του σώµατος περί την κορυφή του Α, στο σύστηµα αναφοράς των ακλό νητων επιφανειών πάνω στις οποίες ολισθαίνει το σώµα. Δίνονται οι διαστάσεις ΒΓ=α, A= 3 του σώµατος και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Το σώµα δέχεται το βάρος του w, την οριζόντια δύναµη F και τις κατακόρυφες αντιδράσεις N 1, N των λείων επιφάνειων πάνω στις οποίες ολισθαίνει. Λόγω της µεταφορικής κίνησης του σώµατος η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περι το κέντρο µάζας του σώµατος είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: () = 0 N 1 A ( ) - N ( B ) = 0 N 1 = N (1) διότι (A )=(B ). Eξάλλου το κέντρο µάζας του σώµατος κατά την κατακό ρυφη διεύθυνση ισορροπεί, που σηµαίνει ότι η συνισταµένη των κατακόρυ φων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή έχουµε την σχέση: N 1 + N - mg = 0 N 1 + N = mg () Aπό τις σχέσεις (1) και () προκύπτει: N 1 = N = mg/ (3) Eπειδή η κορυφή Α του σώµατος στο ακλόνητο σύστηµα αναφοράς των

6 επιφανειών ολισθήσεώς του κινείται, ο ρυθµός στροφορµής του σώµατος περί το σηµείο αυτό υπολογίζεται από την γενικευµένη σχέση: d L (A ) = (A ) + m v Σχήµα 5 ( v A ) d L (A ) = (A ) (4) διότι οι ταχύτητες v A, v των σηµείων A και κάθε στιγµή είναι ίσες. Η σχέση (4) µετασχηµατίζεται ως εξής: d L (A ) d L (A ) d L (A ) = mg( A ) ( ) ( ) k - N A B k + F (3) k = mg ( A)µ k - ( mg/) ( A)µ k + F( A )µ k = F( A )µ k (5) όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης του σώµατος, του οποίου η φορά θεωρήθηκε συµβατικά από τον αναγνώστη προς την σελίδα. Όµως έχουµε και την σχέση: = B A ( ) ( ) = % % 3 = 3 3 = 6 οπότε η (5) γράφεται: d L (A ) = F 3µ ( / 6) k d L (A ) = F 3 k P.M. fysikos

7 Λεπτή στεφάνη µάζας m και ακτίνας R, φέρει στο κοίλο µέρος της (εσωτερική πλευρά) ένα µικρό σφαιρίδιο µά ζας m ενσωµατωµένο µε την στεφάνη. Κάποια στιγµή η στεφάνη φέρεται σε επαφή µε οριζόντιο δάπεδο και σε τέτοια θέση, ώστε η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέντρο της στεφάνης να είναι οριζόντια και στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερη. i) Με την προυπόθεση ότι η στεφάνη αρχίζει κυλιόµενη επί του δαπέδου να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της στεφάνης και του σφαιριδίου, κατά την έναρξη της κίνησής τους. ii) Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη, που εξασφαλίζει την κύλιση της στεφάνης. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα την στιγµή t=0 που αφήνεται ελεύθερο τείνει να περιστραφεί δεξιόστροφα, το δε σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το οριζόν τιο δάπεδο αποτελεί το αντίστοιχο στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του συστή µατος. Την στιγµή αυτή ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του συστή µατος περί το Α, δίνεται από τον γενικευµένο* νόµο της στροφικής κίνησης που έχει την µορφή: d L (A ) = (A) + m ( a A A) Σχήµα 6 όπου a A η επιτάχυνση του Α ως προς το ακίνητο δάπεδο, το κέντρο µάζας του συστήµατος και (A) η συνολική ροπή περί το Α των εξωτερικών δυνά µεων που δέχεται το σύστηµα την χρονική στιγµή t=0. Όµως κατά την έναρξη της κύλισης ισχύει a A = 0, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: * Στον γενικευµένο αυτόν νόµο η στροφορµή του εξεταζόµενου σώµατος περί το θεωρούµενο σηµείο A αναφέρεται στο σύστηµα ηρεµίας του σηµείου, ενώ η επιτά χυνση του σηµείου και οι ροπές των δυνάµεων περί το σηµείο αυτό νοούνται ως προς καθορισµένο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς.

8 d L (A ) = (A) dl (A ) = (A) (1) Eξάλλου την στιγµή t=0 το σύστηµα δέχεται τα βάρη m g, m g του σφαιρι δίου και της στεφάνης αντιστοιχως και την δύναµη επαφής από το δάπεδο, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Εποµένως θα έχουµε (A) = mgr και η (1) γράφεται: d( I (A ) ) d = mgr I (A ) = mgr ( mr +ma ) d = mgr ( R + A ) d = gr ( R + R ) = gr = g/3r () όπου η γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος την χρονική στιγµή t=0. Oι επιταχύνσεις του κέντρου Κ της στεφάνης και του σφαιριδίου Σ την χρονι κή στιγµή t=0 υπολογίζονται µέσω των σχέσεων: και ( ) = a K = AK ( ) = a = A a K = g 3 k () [ ( -Rj )] k () [ ( i R - jr )] k [ ( i ) - ( k j )] = g 3 j + i a K = g 3 k [ ( -j )] = g 3 i (3) ( ) (4) όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Κ, Ky, Κz αντιστοίχως. ii) H επιτάχυνση a του κέντρου µάζας του συστήµατος είναι κάθετη στο διάνυσµα A, κατευθύνεται όπως στο σχήµα (6) και έχει µέτρο: () a = ( A) a = g 3R ( AK ) + ( K) (5) Όµως λόγω του κέντρου µάζας έχουµε: ( K)m = ( )m ( K) = ( R - K ) ( K) = R/3 και η (5) γράφεται: a = g 3R R + 4R / 9 a = g 13 9 (6)

9 Eφαρµόζοντας την χρονική στιγµή t=0 για το κέντρο µάζας τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Κ, Ky παίρνουµε τις σχέσεις: και (6) T = 3ma = 3ma T= 3m g R R 13 (6) mg + mg - N = 3ma y N = 3mg - 3ma µ = mg (7) N = 3mg - 3mg 13 9 R / 3 R 13 / 3 mg N = 3mg - 3 = 7mg 3 (8) Για να κυλίεται η στεφάνη κατά την έναρξη της κινήσεως του συστήµατος πρέπει ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ στεφάνης και δαπέδου να ικανοποιεί την σχέση: (7),(8) T nn mg 7nmg/3 n 3 / 7 P.M. fysikos Δύο όµοιες ράβδοι, µήκους L και µάζας m η κάθε µία, είναι µεταξύ τους αρθρωµένες στο κοινό τους άκρο Μ ενώ το άλλο άκρο της µιας είναι αρθρωµένο σε σταθερό σηµείο Ο και στο ελεύθερο άκρο της άλλης εφαρµόζεται οριζόντια δύναµη F (σχ. 7). Όταν το µέτρο της F είναι ίσο µε 3mg/, όπου g η επιτά χυνση της βαρύτητας, τότε το σύστηµα ισορροπεί. i) Nα βρεθούν οι γωνίες 1, των ράβδων ΟΜ και ΜΑ αντιστοί χως µε την κατακόρυφη διεύθυνση. ii) Κάποια στιγµή η δύναµη F αποσύρεται. Να δείξετε ότι τα µέτρα των γωνιακών επιταχύνσεων 1, των ράβδων ΟΜ και ΜΑ αντι στοίχως αµέσως µετά την κατάργηση της F, ικανοποιούν την σχέ ση: = 3 3g/L ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα των ράβδων ΟΜ, ΜΑ ισορροπεί υπό την επίδραση των βαρών τους m g, της οριζόντιας δύναµης F που ενεργεί στο άκρο Α της ράβδου ΜΑ και τέλος της δύναµης στήριξης στο σταθερό άκρο Ο της ράβδου ΟΜ, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα R και στην κατακόρυφη συνιστωσα R y. Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί το σηµείο Ο είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

10 (O) = 0 mg L µ +mg Lµ + L 1 1 µ % ( - ' -F( L 1 +L ) = 0 Σχήµα 7 mg ( 3µ 1 +µ ) =F (% 1 +% ) mg ( 3µ 1 +µ ) = 3mg (% 1 +% ) 3µ 1 +µ = 3 (% 1 +% ) (1) Όµως και η συνολική ροπή των δυνάµεων του συστήµατος περί το σηµείο Μ είναι µηδενική, δηλαδή έχουµε την σχέση: (M) = 0 mg L µ - FL% = 0 mg µ - 3 mg % = 0 µ = 3 % µ /% = 3 = 3 = /3 () H (1) λόγω της () γράφεται: 3µ 1 +µ/3 = 3 ( % 1 +%/3) 3µ 1 + 3/ = 3% 1 + 3/ 3µ 1 = 3% 1 1 = 3/3 1 = /6 (3)

11 ii) Όταν καταργηθεί η δύναµη F η µεν ράβδος ΟΜ αποκτά περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σταθερό άκρο της Ο η δέ ράβδος ΜΑ αποκτά επίπεδη κίνηση στο κατακόρυφο επίπεδο Οy. Eφαρµό ζοντας για την στροφορµή L (M) της ράβδου ΜΑ περί το άκρο της Μ τον γενι κευµένο νόµο της στροφικής κίνησης την στιγµή t=0 αµέσως µετά την κατάργηση της F, παίρνουµε την σχέση: d L (M) = (M) + m ( a M M ) (4) Σχήµα 8 όπου a M η επιτάχυνση του σηµείου Μ την στιγµή t=0, M το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεως του Μ ως προς το κέντρο µάζας της ράβδου ΜΑ και (M) η αντίστοιχη συνολική ροπή περί το Μ των δυνάµεων που δέχεται η ράβδος (σχ. 8). Όµως στην σχέση (4) η στροφορµή θεωρείται στο σύστηµα ηρεµίας του σηµείου Μ, οπότε θα ισχύει: d L (M) = ml 3 k (5) όπου η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου ΜΑ την στιγµή t=0 και k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο Οy. Aκόµη έχουµε τις σχέσεις: και (M) = mg L µ k = mg L 3 k = mg L 3 4 ( a M M ) = -L 1 ( L/ )µ % / ( ) k (6) k ( a M M ) = - L 1 µ ( % ' 3 ) + k = - L 1 * 3 k (7)

12 όπου 1 η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου ΟΜ την στιγµή t=0. Συνδυάζον τας τις σχέσεις (5), (6) και (7) έχουµε: ml 3 k = mg L 3 4 k - ml 1 3 k L 3 = 3g 4-3L 1 4 4L = 3 3g - 3 3L = 3 3g/L P.M. fysikos Στο αυλάκι της τροχαλίας του σχήµατος (9) έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα που δεν µπορεί να ολισ θαίνει κατά µήκος αυτού. Το ένα άκρο του νήµατος είναι κλόνητο και το άλλο συνδέεται µε το ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωµένο. Εκτρέπου µε το σώµα Σ κατακόρυφα προς τα κάτω και το αφήνουµε ελευθε ρο. Να δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει αρµονική ταλάντωση, της οποίας να βρείτε την περίοδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας Ι Κ =MR / της τροχαλίας περί άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της Κ, όπου Μ η µάζα και R η ακτίνα της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: Όταν το σύστηµα ισορροπεί το ελατήριο θα είναι τεντωµένο από την φυσική του κατάσταση κατά * και θα ισχύουν οι σχέσεις: F 0 + T 0 + W - F * = 0 F 0 R - T 0 R = 0 F 0 + Mg - k * = 0 mg + Mg = k * k * = g( M + m) (1) όπου T 0 η τάση του δεξιού τµήµατος του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας, F 0 η τάση του αριστερου τµήµατος ίση µε το βάρος w του σώµατος Σ και F * η τάση του τεντωµένου ελατηρίου (σχ. 9). Εξετάζοντας το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκρυνση του σώµατος από την θέση ισορροπίας του Ο είναι (σχ. 10) εύκολα κατανοούµε ότι και το κέντρο Κ της τροχαλίας θα είναι µετατοπισµένο προς τα κάτω κατά σε σχέση µε την θέση ισορροπίας του, οπότε το ελατήριο θα έχει υποστεί πρόσ θετη επιµήκυνση ίση µε /. Στην θέση αυτή του συστήµατος η τροχαλία δέχεται το βάρος της W =M g, την δύναµη F από το νήµα που συγκρατεί το σώµα Σ, την τάση F του δεξιού σκέλους του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της και την δύναµη F από το ελατήριο. Εφαρµόζοντας για το κέν τρο µάζας Κ της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνου µε την σχέση:

13 F - F - F - Mg = Ma K () όπου a K η επιτάχυνση του Κ. Όµως η τροχαλία την χρονική στιγµή t περι στρέφεται και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: F R - F R = I K F R - F R = MR / F - F = MR / (3) Σχήµα 9 Σχήµα 10 όπου η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Εξάλλου κάθε στιγµή η ταχύ τητα του σηµείου επαφής Β της τροχαλίας µε το δεξιό σκέλος του νήµατος είναι µηδενική, διότι το σκέλος αυτό είναι ακλόνητο, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του Β λόγω της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας είναι αντίθε τη της ταχύτητάς του λόγω της στροφικής της κίνησης. Μπορούµε εποµέ νως να γράψουµε την σχέση v K =ωr, όπου v K η ταχύτητα του Κ και η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγµή που την εξετάζουµε. Εάν dv K είναι η µεταβολή του µέτρου της v K µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ ( 0) και dω η αντίστοιχη µεταβολή του µέτρου της, η v K =ωr µας επιτρέπει την σχέση: dv K = Rd dv K / = R( d / ) a K = R (4) Η (3) λόγω της (4) γράφεται: F - F = Ma K / (5) Προσθέτοντας κατά µέλη τις () και (5) παίρνουµε:

14 F - F - Mg = 3Ma K / (6) Eξετάζοντας το σώµα Σ παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του m g και την τάση F του νήµατος που το συγκρατεί, η οποία είναι αντίθετη της F (το νήµα θεωρείται αβαρές) η δε επιτάχυνσή του είναι κάθε στιγµή ίση µε την εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Β, δηλαδή ίση µε a K (το νήµα θεωρείται τεντωµένο), οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: F - mg = ma K (7) Διαιρώντας κατά µέλη τις (6) και (7) παίρνουµε: F - F - Mg F - mg = 3M 4m 4mF - 8m F - 4mMg = 3MF- 3Mmg 4mF - mmg = F( 8m + 3M) (8) Όµως το µέτρο της F είναι: (1) F = k( * + /) ( F = k M + m )g % % k + ( '( = ( M + m)g + k οπότε η (8) γράφεται: 4m( M + m)g+ mk - mmg = F( 8m + 3M) F = 8m g + 3Mmg + mk 8m + 3M (9) Eάν ΣF είναι η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το σώµα, αυτή θα ικανοποιεί την σχέση: (9) F = mg - F F = mg - 8m g + 3Mmg + mk 8m + 3M F = 8m g + 3Mmg - 8m g - 3Mmg - mk 8m + 3M F = - km 8m + 3M = -D µε D = km 8m + 3M (10) Η σχέση (10) εγγυάται ότι το σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε σταθερή επαναφοράς k/(8m+3m), της οποίας η περίοδος Τ * δίνεται από την σχέση:

15 T * = m D m( 8m + 3M) = mk = 8m + 3M k P.M. fysikos Μια κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας Μ, κρατείται µε το επιπεδό της κατακόρυφο εφαπτόµενη οριζόντιου δαπέδου. Κάποια στιγµή ένα µικρό σώµα µάζας m αφήνεται µε προσοχή στο κοίλο µέρος της στεφάνης σε σηµείο του οποίου η επιβατική ακτίνα ως προς το κέντρο της στεφάνης να είναι οριζόν τια. Το σύστηµα κινείται ώστε η µεν στεφάνη να κυλίεται επί του δαπέδου το δε σώµα να ολισθαίνει επί της κοίλης επιφάνειας της στεφάνης η οποία θεωρείται λεία. Να βρείτε την δύναµη αλληλεπί δρασης σωµατος-στεφάνης την στιγµή που το σώµα διέρχεται από το κατώτατο σηµείο της τροχιάς του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το µικρό σώµα κάποια στιγµή που η επιβατική του ακτίνα ως προς το κέντρο K της στεφάνης σχηµατιζει µε τον κατακόρυφο άξονα y γωνία φ (σχ. 11β). To σώµα δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής Q από την στεφάνη η οποία κατευθύνεται προς το κέντρο της Κ διότι η επαφή αυτή είναι χωρίς τριβή, αναλύεται δε στην οριζόντια συνι στώσα Q και στην κατακόρυφη συνιστώσα Q y. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την οριζόντια διεύθυνση, παίρνουµε την σχέση: Q = ma Q= ma (1) όπου a η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης του σώµατος την στιγµή που το εξετάζουµε. Εξάλλου η στεφάνη την ίδια στιγµή δέχεται το βάρος της W, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο δάπεδο που αναλύεται στην στατι Σχήµα 11α Σχήµα 11β κή τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την δύναµη επαφής Q από την στεφάνη που είναι αντίθετη της Q (αξίωµα ισότητας δράσης-

16 αντίδρασης) και αναλύεται σε οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα Q, Q y αντιστοίχως (σχ. 11α). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας Κ της στεφάνης τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: Q - T= Ma K Q % - T= Ma K Q - T= Ma K () όπου a K η επιτάχυνση του κέντρου Κ της στεφάνης. Όµως λόγω της κύλι σης της στεφάνης αυτή έχει και γωνιακή επιτάχυνση περί ελεύθερο άξονα που διέρχεται από το Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό της, συµφωνα δε µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: TR = I K TR = MR T= MR (3) Όµως η κύλιση της στεφάνης επιβάλει την σχέση a K =ω R, και η (3) δίνει Τ=Μa K, οπότε η () γράφεται: (1) Q - Ma K = Ma K ma = Ma K m dv = M dv K dv = M m dv K v = M m v K + v = M m v K (4) Σχήµα 1 όπου v η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του σώµατος, v K η ταχύτητα του κέντρου Κ της στεφάνης, ενώ η σταθερά ολοκλήρωσης είναι µηδενική, διότι κατα την έναρξη κίνησης του συστήµατος (t=0) είναι v =v K =0. Xρησιµο ποιώντας για το σύστηµα στεφάνη-σώµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας για την κίνησή του από την αρχική θέση στην θέση που το σώµα βρίσκεται στο κατώτατο σηµείο Α της στεφάνης (σχ. 1 ) παίρνουµε: 0 = mv + Mv K + I K - mgr (5)

17 όπου η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης, ενώ η ταχύτητα του σώµατος στην θέση Α έχει µηδενική κατακόρυφη συνιστώσα. Η σχέση (5) λόγω της (4), της v K =ωr και της Ι Κ =MR, παίρνει την µορφή: 0 = m M m v K % + Mv K + MR v K R % - mgr mgr = M v K m + Mv K + Mv K M mgr = v K m + 1 M % m gr = v K ( M + m)m v K = m M H (4) λόγω της (6) δίνει: grm M + m (6) v = M m m M grm M + m v = grm M + m (7) Eξετάζοντας το σώµα στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου Κ της στεφάνης διαπιστώνουµε ότι το σώµα στο σύστηµα αυτό κίνειται επί κυκλικής τροχιάς κέντρου Κ και ακτίνας R (σχ. 1 ), ευρισκόµενο δε στο κατώτατο σηµείο Α έχει σε σχέση µε το Κ ταχύτητα v µε µέτρο v =v +v K, δέχεται δε κατά την διεύθυνση της ακτίνας ΑΚ το βάρος του w και την αντίδραση Q A της στεφάνης, η συνισταµένη των οποίων αποτελεί για το σώµα κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: ( ) Q A - mg = mv R Q = mg + m v +v K A R (6),(7) Q A = mg +m grm M + m +m M grm M + m % / R Q A = 3mg 1+ m 3M% (τελικώς) P.M. fysikos Το κέντρο µάζας µιας οµογενούς ράβδου µάζας m και µήκους L, συνδέεται µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µε ακλόνητο σηµείο Ο. Η ράβδος κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο Οy και το νήµα είναι συνεχώς τεντωµένο (σχ. 13). Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης της ράβδου. Δίνεται το µήκος R του νήµατος, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι =ml /1 της ράβδου περί άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το κέντρο µάζας της.

18 ΛΥΣΗ: Η θέση της ράβδου στο κατακόρυφο επίπεδο κίνησής της Οy καθο ρίζεται κάθε στιγµή από τις γωνίες φ και θ που σχηµατίζει το νήµα Ο και η προέκταση της ράβδου αντιστοίχως µε τον κατακόρυφο άξονα Οy. Κατά την κίνησή της η ράβδος δέχεται το βάρος της w και την τάση T του νήµα τος, των οποίων οι ροπές περί το κέντρο µάζας της είναι µηδενικές, που σηµαίνει ότι η στροφορµή της ράβδου περί το δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: d L () = 0 ml 1 d k = 0 d = (1) 1 Σχήµα 13 όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο Oy και 1 σταθερή ποσό τητα εξαρτώµενη από την αρχική γωνιακή ταχύτητα της ράβδου περί το κέν τρο µάζας της. Eξάλλου και η µηχανική ενέργεια της ράβδου διατηρείται, δηλαδή κάθε στιγµή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K + U = mv + I - mgy = () όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου, y η απόσταση του κέντρου µάζας από το επίπεδο αναφοράς των δυναµικών βαρυτικών ενερ γειων, η γωνιακή της ταχύτητα περί το κέντρο µάζας και σταθερή ποσότητα εξαρτώµενη από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της ράβδου. Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: dv mv + I d - mg dy = 0 v dv - g dy = 0 (3) διότι από την (1) προκύπτει dω/=0. Όµως έχουµε και τις σχέσεις: και v = R d dv = R d y = R dy = -Rµ d

19 οπότε η (3) γράφεται: R d d d + grµ = 0 d + g µ = 0 (4) R Οι (1) και (4) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης της ράβδου, η οποία κίνηση µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης κατά την οποία το κέντρο µάζας της κινείται ως απλό εκκρεµές και µιας οµαλής στροφικής κίνησης περί ελεύθερο άξονα που διέρχεται από το κέν τρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο Oy. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (14) οι δύο ράβδοι έχουν αµελητέα µάζα και είναι αρθρωµένες στο κέντρο µάζας της µιας εξ αυτών, η οποία έχει µήκος L και στις άκρες της είναι στερεωµένα δύο µικρά σφαιρίδια Σ 1, Σ της ίδιας µάζας m. Η άλλη ράβδος έχει µήκος α και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόν τιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Το όλο σύστηµα µπορεί να κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο Οy που ορίζουν οι δύο ράβδοι και η θέση του καθορίζεται από τις γωνίες φ και θ. i) Nα δείξετε ότι η κινητική ενέργεια του συστήµατος και η στρο φορµή του περί το Ο υπολογίζονται από τις σχέσεις: K =m + L % 4 ' L (O) =m + L % 4 ' όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο Οy. ii) Nα βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήµατος. ΛΥΣΗ: i) Επειδή οι δύο ράβδοι θεωρούνται µε αµελητέα µάζα η κινητική ενέργεια K του συστήµατος είναι ίση µε την κινητική ενέργεια των δύο σφαιριδίων Σ 1, Σ. Όµως τα σφαιρίδια αυτά αποτελούν ένα στερεο σώµα που το κέντρο µάζας του ειναι το µέσον της ράβδου Σ 1 Σ, οπότε για την κινητι κή ενέργεια K θα ισχύει: k ( ) v + 1 I =mv + 1 m L K = 1 m+m 4 +m L 4 % ' K = mv + ml 4 (1) όπου v η ταχύτητα του στο σύστηµα αναφοράς του σταθερού σηµείου Ο, Ι η ροπή αδράνειας του συστήµατος των δύο σφαιριδίων ως προς το και η γωνιακή τους ταχύτητα περί το. Όµως για το µέτρο της v ισχύει v =α(dφ/), όπου φ η γωνία της ράβδου Ο µε την κατακόρυφη διεύθυνση

20 Οy, ενώ το µέτρο της είναι ω=dθ/ όπου θ η γωνία της ράβδου Σ 1 Σ µε την οριζόντια διεύθυνση Ο. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: d % K =m ' + ml 4 d % ' =m + L % 4 ' () Σχήµα 14 H στροφορµή L (O) του συστήµατος περί το Ο είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή των δύο σφαιριδίων, δηλαδή ισχύει: L (O) = L +I = O m v ( ) + ml 4 + ml % 4 ' k ( ml L (O) = mv k+ 4 + ml 4 % d' k= m % L (O) = m + L % 4 ' k +m L 4 d % k ( k (3) όπου k το κάθετο στο επίπεδο κίνησης του συστήµατος µοναδιαίο διάνυσµα του οποίου η φορά είναι συµβατή µε την φορά κατά την οποία η γωνία φ αυξάνεται. ii) Κατά την κίνηση του συστήµατος η µηχανική του ενέργεια διατηρείται, που σηµαίνει ότι η µεταβολή της de µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: de = 0 dk + du = 0 dk + du = 0 (4) Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dk =m + L 4 % ' =m + L 4 % ' (5)

21 Εξάλλου η βαρυτική δυναµική ενέργεια U του συστήµατος µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Ο είναι: U=-mgy 1 -mgy =-mg - L %µ % ' -mg + L %µ % ' ( U=-mg du/=mgµ ( d/) =mgµ (6) H (4) λόγω των (5) και (6) γράφεται: + L 4 + gµ = 0 (7) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: dl (O) = () (3) m + L 4 % ' =mg L %+µ + % ' + +mg L -%µ % ' ( + L 4 % ' = gl% ( + L -gl% = 0 (8) H (7) και (8) αποτελούν τις ζητούµενες διαφορικές εξισώσεις της επίπεδης κίνησης του συστήµατος P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (15) το ελατήριο είναι ιδανικό µε σταθερά k και έχει το φυσικό του µήκος όταν το µικρό σώµα Σ βρίσκεται στην θέση =0, ενώ το νήµα που συνδέει το σώµα µε το ελατήριο είναι οριακά τεντωµένο. Εκτρέπουµε το σώµα κατά 0 <<α επί του λείου οριζόντιου δαπέδου παράλληλα προς την διεύθυνση του ελατηρίου και το αφήνουµε ελεύθερο. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος. ii) Nα δείξετε ότι η κίνηση του σώµατος είναι περιοδική και ότι η περιόδος της Τ εκφράζεται µε την σχέση: T = 8 m k 0 0 d Δίνεται η µάζα m του σώµατος και ότι αυτό είναι συνεχώς σε

22 επαφή µε το οριζόντιο δάπεδο. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το µικρό σώµα Σ σε µια τυχαία θέση, στην οποία η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του Ο είναι. Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του m g, την κατακόρυφη αντίδραση N του λείου οριζόντιου δαπέδου και την δύναµη F από το τεντωµένο νήµα, η οποία αναλύεται στην ορίζόντια συνιστώσα F και στην κατακόρυφη συνι στώσα F y. Επειδή το σώµα είναι συνεχώς σε επαφή µε το δάπεδο η συνιστα µένη όλων αυτών των δυνάµεων είναι η F και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: m d = -F m d = -F (1) Σχήµα 15 Όµως το µέτρο της F είναι ίσο µε το µέτρο της δύναµης που δέχεται το τεντώνει το ελατήριο, οπότε θα ισχύει F=kΔL, όπου ΔL η επιµήκυνση του έλατηρίου από την φύσική του κατάσταση. Έτσι η (1) γράφεται: m d = -kl% m d = -k ( + - ) + d = - k m 1 - % ' + () Aκόµη έχουµε: + = 1 + / ( ) -1 / 1-1 διότι είναι <<, οπότε η () γράφεται:

23 d = - k m % ' d + 3 = 0 (3) H (3) είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, η οποία δέχεται µη ηµιτονική λύση και το γεγονός αυτό εγγυάται ότι το σφαιρίδιο αποτελεί ένα µονοδιάστατο µη αρµονικό ταλαντωτή. ii) Kατά την κινηση του σώµατος επί του λείου δαπέδου η συνισταµένη δύναµη F που δέχεται είναι συντηρητική, που σηµαίνει ότι µπορούµε να αποδόσουµε στο σώµα δυναµική ενέργεια U που απορρέει από την F, σύµ φωνα µε την σχέση: du d = -F = k3 k3 du = d U = k4 8 + = k4 8 (4) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης κατά σύµβαση θεωρήθηκε µηδενική όταν το σώµα βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του Ο. Εξάλλου η µηχανική ενέργεια του σώµατος διατηρείται σταθερή, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση: K + U = U mv + k4 8 = k mv = k ( ) v = ± 1 ( ) 1 / (5) k m όπου v η ταχύτητα του σώµατος όταν η αποµάκρυνσή του είναι. Aπό την (5) προκύπτουν τα εξής: α. Για =± 0 η ταχύτητα του σφαιριδίου µηδενίζεται, που σηµαίναι ότι αυτό κινείται µεταξύ των ακραίων θέσεων + 0 και 0, οι οποίες είναι συµµετ ρικές µεταξύ τους ως προς τη θέση ισορροπίας Ο. β. Για =0 η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σώµατος παίρνει µέγιστη ( ) k/m, όταν το σώµα κινείται κατά την θετική φορά και ελά ( ) k/m, όταν αυτό κινείται κατά την αρνητική φορά. Τα τιµή 0 / χιστη τιµή - 0 / παραπάνω επιτρέπουν να ισχυριστούµε ότι η κίνηση του σώµατος είναι περιοδική µε περίοδο Τ ίση προς το τετραπλάσιο του χρόνου κίνησής του από την θέση =0 στην θέση = 0, δηλαδή ισχύει: 0 (5) d% T = 4 ( ) = 4 ' v T = 8 m k 0 0 d P.M. fysikos