ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 145

Transcript

1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 145 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 8.1. Εισαγωγή Οι ταλαντώσεις στα µηχανολογικά συστήµατα µπορεί να έχουν καταστροφικά αποτελέσµατα. Τα αίτια εµφάνισής τους είναι ποικίλα και περιλαµβάνουν, µεταξύ άλλων, µεγάλες κρουστικές δυνάµεις, δυνάµεις που αναπτύσσονται λόγω περιστροφής αζυγοστάθµητων µελών, δυνάµεις λόγω του αέρα, δυνάµεις λόγω ροής σε σωληνώσεις κλπ. Στην εισαγωγική ενότητα (βλ. κεφ. 1) διατυπώθηκε η θέση ότι ο κύριος στόχος του παρόντος µαθήµατος είναι η µελέτη (ανάλυση) των ταλαντώσεων των µηχανών µέσα από την κατανόηση των σχετικών θεωριών, µεθοδολογιών και τεχνικών και εν συνεχεία την εφαρµογή τους για την απαλοιφή ή την µείωση των αρνητικών τους επιδράσεων. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως έλεγχος ταλαντώσεων και µπορεί να επιτευχθεί µε πολλούς τρόπους: 1. Ο έλεγχος της διέγερσης µπορεί να οδηγήσει είτε σε απαλοιφή είτε σε µείωση των ταλαντώσεων. Σε µια µηχανή, π.χ., που περιλαµβάνει ένα αζυγοστάθµητο περιστρεφόµενο µέλος, η αναπτυσσόµενη αρµονική δύναµη λόγω αζυγοσταθµίας Fc () t (N) εξαρτάται από την απόσταση της αζυγοστάθµητης µάζας από το κέντρο περιστροφής (), από το µέγεθος της µάζας (kg) και από το τετράγωνο της γωνιακής ταχύτητας ω (d/sec) 73 : F t ω ωt c() cos( ) = (N) (8.1) 73 (Βλ. σχετικά και στην ενότητα.9)

2 146 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εποµένως η µείωση του γινοµένου (Kg) µπορεί να οδηγήσει σε αντίστοιχη µείωση των παραγόµενων ταλαντώσεων 74. Η µείωση αυτή µπορεί να επιτευχθεί µόνο µέχρι κάποιο βαθµό και εποµένως η δύναµη αζυγοσταθµίας δεν µπορεί να απαλειφθεί πλήρως 75. Σύµφωνα µε τα σύγχρονα επιστηµονικά δεδοµένα, έχουν κατασκευαστεί πίνακες και νοµογραφήµατα 76 που ορίζουν - βάσει διάφορων κριτηρίων - τα ανεκτά όρια ταλάντωσης που προέρχονται από αζυγοσταθµία. Η ρύθµιση της τιµής της συχνότητας διέγερσης µπορεί να οδηγήσει σε ελάττωση του εύρους ταλάντωσης. Έτσι, π.χ., για ένα σύστηµα ενός Β.Ε. και µε την προϋπόθεση ότι το εύρος του εξαναγκασµού είναι ανεξάρτητο της συχνότητας διέγερσης, το εύρος ταλάντωσης σχεδόν µηδενίζεται για υψηλές τιµές της συχνότητας αυτής 77. Σε περιπτώσεις πολυβάθµιων συστηµάτων, όταν η συχνότητα διέγερσης είναι µεγαλύτερη από την υψηλότερη φυσική συχνότητα, οποιαδήποτε περαιτέρω αύξηση οδηγεί σε µείωση του εύρους ταλάντωσης. Υπάρχουν βέβαια και περιπτώσεις κατά τις οποίες η τιµή της συχνότητας διέγερσης βρίσκεται ανάµεσα στις τιµές δύο διαδοχικών φυσικών συχνοτήτων. Τότε και στην περίπτωση αυτή το εύρος ταλάντωσης είναι σχετικά µικρό 3. Η ρύθµιση των παραµέτρων της διέγερσης δεν είναι πάντοτε εφικτή. εν µπορεί κανείς, π.χ., να «ρυθµίσει» την σεισµική διέγερση στις περιπτώσεις των κτιρίων και των κατασκευών, να ελέγξει τον κυµατισµό της θάλασσας για τα πλοία ή να περιορίσει τα φάσµατα συχνοτήτων και διεγέρσεων των δυνάµεων του αέρα που δέχεται κατά την πτήση του ένα αεροπλάνο. Εποµένως στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει η παρέµβαση για τον έλεγχο των ταλαντώσεων να αφορά τις παραµέτρους και την αρχιτεκτονική (δοµή, σύνθεση) του συστήµατος. Η εξαναγκασµένη ταλάντωση ενός συστήµατος ενός Β.Ε. µε ιξώδη απόσβεση περιγράφεται από τις σχέσεις (.7) (.73). Οποιαδήποτε µεταβολή σε µία τουλάχιστον από τις παραµέτρους (Kg), k (N/) και c (Nsec/) οδηγεί σε αλλαγή του µεγέθους του εύρους ταλάντωσης. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι αύξηση του συντελεστή απόσβεσης ζ οδηγεί σε µειωµένο εύρος ταλάντωσης σταθερής κατάστασης. Εάν πάλι η απόσβεση 74 Σύµφωνα µε την σχέση (8.1) και η µείωση της γωνιακής ταχύτητας µπορεί εναλλακτικά να οδηγήσει σε µείωση των ταλαντώσεων λόγω αζυγοσταθµίας. Τούτο δεν είναι πάντα εφικτό γιατί πιθανόν να πρέπει να διατηρηθεί αµετάβλητη η ταχύτητα περιστροφής για άλλους γενικότερους (συνήθως λειτουργικούς) λόγους. 75 Το κόστος για την επίτευξη της τέλειας ζυγοστάθµισης είναι αρκετά υψηλό ενώ όσο η µηχανή «παλιώνει» τόσο µεγαλύτερα προβλήµατα αζυγοσταθµίας παρουσιάζονται. 76 Ενδεικτικά αναφέρονται τα σχετικά - κατά ISO - στάνταρτ 194, 37, 953, και πάντοτε µεγαλύτερης της φυσικής συχνότητας του συστήµατος.

3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 147 είναι χαµηλή, ένας υψηλός λόγος συχνοτήτων θα µειώσει επίσης το εύρος. Αυτό σηµαίνει ότι θα πρέπει να είναι χαµηλή η τιµή της φυσικής κυκλικής συχνότητας και αυτό µπορεί να επιτευχθεί είτε µειώνοντας την στιβαρότητα (υψηλό k (N/)) είτε αυξάνοντας την µάζα. Συνήθως η πρώτη παρέµβαση θεωρείται πιο ρεαλιστική. Η µεταβολή της αρχιτεκτονικής (δοµής) ενός συστήµατος µπορεί να αποτελέσει τρόπο ελέγχου των ταλαντώσεών του. Κλασσικό παράδειγµα αποτελούν οι δυναµικοί αποσβεστήρες ταλαντώσεων (dyic vibtio bsobes). Έτσι, π.χ., σε ένα σύστηµα ενός Β.Ε. προστίθεται ένας συνδυασµός µάζας ελατηρίου που εφόσον έχει σχεδιασθεί σωστά µπορεί να οδηγήσει µέχρι και σε µηδενισµό της ταλάντωσης του αρχικού συστήµατος µε την προϋπόθεση ότι οι δύο φυσικές συχνότητες του συστήµατος που έχει προκύψει βρίσκονται µακριά από την συχνότητα διέγερσης 4. Για τον έλεγχο των ταλαντώσεων υπάρχει η δυνατότητα ελάττωσης είτε της δύναµης είτε της κίνησης που προκαλεί την ταλάντωση µέσω κατάλληλων µονωτήρων ταλαντώσεων (vibtio isoltos). Αυτοί είναι συνήθως ελαστικά σώµατα µε ενσωµατωµένη απόσβεση (π.χ. λάστιχο, φελλός, µεταλλικά ελατήρια κλπ.). Η λειτουργία τους συνίσταται στην µείωση του µεγέθους της µεταδιδόµενης δύναµης από τη µηχανή προς την θεµελίωσή της είτε στην µείωση της κίνησης της µηχανής λόγω ταλάντωσης της θεµελίωσης. Στο παρόν κεφάλαιο δίνεται έµφαση στην µελέτη των µονωτήρων ταλαντώσεων και των δυναµικών αποσβεστήρων. 8.. Αποµόνωση ταλαντώσεων - Μονωτήρες Τα προβλήµατα αποµόνωσης ταλαντώσεων χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αφορά σε καταστάσεις κατά τις οποίες σε κάποια µηχανή 78 παράγονται δυνάµεις ή και ροπές που προκαλούν ταλαντώσεις και στόχος είναι η προστασία των στοιχείων θεµελίωσης της µηχανής από τις ταλαντώσεις αυτές. Η δεύτερη κατηγορία αναφέρεται στην προστασία της ίδιας της µηχανής από ταλαντώσεις που παράγονται στο περιβάλλον της και επάγονται στην ίδια µέσω των στοιχείων θεµελίωσής της. Η σύντοµη ανάλυση που ακολουθεί αναφέρεται στις παραπάνω δύο κατηγορίες προβληµάτων. Για τον σχηµατισµό ενός απλού µοντέλου για την πρώτη από αυτές 78 Εδώ ο όρος «µηχανή» θα πρέπει να εκλαµβάνεται µε την ευρύτερη έννοια του µηχανολογικού συστήµατος.

4 148 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ας υποτεθεί ότι µια µηχανή µε µάζα (Kg) (βλ. σχήµα 8.1.α.) βρίσκεται τοποθετηµένη πάνω σε µονωτήρα (διακεκοµµένη γραµµή στο σχήµα) που παρουσιάζει ισοδύναµη σταθερά ελατήριου k (N/) και ισοδύναµη σταθερά απόσβεσης c (Nsec/) 79. Ας υποτεθεί παραπέρα ότι ο µονωτήρας είναι τοποθετηµένος µε τη σειρά του πάνω σε µια στιβαρή θεµελίωση. Στην µηχανή δρα δύναµη διέγερσης F () t (N) και εποµένως η διαφορική εξίσωση που περιγράφει ex την ταλαντωτική κίνηση αυτού συστήµατος δίνεται από την σχέση (.65). Όσο αφορά την δύναµη που µεταδίδεται από την µηχανή προς την στιβαρή θεµελίωση αυτή θα είναι: F () t = cx() t + kx() t ts (N) (8.) F ex (t) x(t) c k k c y(t) α. Ταλαντούµενη µηχανή και µονωτήρας σε στιβαρή θεµελίωση. β. Μηχανή και µονωτήρας σε συνδυασµό µε ταλαντούµενη θεµελίωση. Σχήμα 8.1. Μοντέλα για τις δύο κατηγορίες προβλημάτων απομόνωσης ταλαντώσεων. Στα προβλήµατα της πρώτης κατηγορίας το ενδιαφέρον στρέφεται προς δύο κυρίως µεγέθη: α. Την µέγιστη µετατόπιση (εύρος ταλάντωσης) του Κ.Μ. της µηχανής X () και β. την µέγιστη µεταδιδόµενη δύναµη ( ) x ts F (N). Το µοντέλο για την δεύτερη κατηγορία προβληµάτων φαίνεται στο σχήµα 8.1.β. Εδώ η βάση (θεµελίωση) της µηχανής ταλαντώνεται και η ταλάντωσή της περιγράφεται µε την χρονική συνάρτηση y(t) () ενώ η ταλάντωση της ίδιας της µηχανής περιγράφεται από την συνάρτηση x(t) (). Η σχέση (.89) (βλ. σχετικά στην ενότητα.9) είναι η διαφορική εξίσωση περιγραφής της ταλαντωτικής κίνησης ενώ η δύναµη που µεταδίδεται µέσω του µονωτήρα από την βάση προς την µηχανή σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση - θα είναι: ts ( ) ( ) F () t = x () t = c x () t y () t + k x() t y() t (N) (8.3) 79 Εάν το υλικό είναι π.χ. ένα στρώµα φελλού, τότε θεωρείται σαν ισοδύναµη απόσβεση η εσωτερική απόσβεση του υλικού αυτού.

5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 149 Εάν zt () = xt () yt () είναι η σχετική µετατόπιση της µηχανής ως προς την βάση τότε η (8.3) µπορεί να γραφεί ως: c k x() t = z () t z() t (N) (8.4) Στα προβλήµατα της δεύτερης κατηγορίας, δεδοµένης της επιτάχυνσης της βάσης το ενδιαφέρον στρέφεται προς δύο κυρίως µεγέθη: α. Την µέγιστη σχετική µετατόπιση Z () και β. την µέγιστη επιτάχυνση της µηχανής X cc (/sec ). Οι δύο προαναφερθείσες κατηγορίες µπορούν να µελετηθούν ενιαία. Πράγµατι εάν υποτεθεί ότι η δύναµη Fex() t (N) είναι ίση προς Fts() t (N) τότε προκύπτει ότι X = Z () και επιπλέον ( Fts ) x = X (N). Στις επόµενες παραγράφους η cc ενιαία µελέτη θα γίνει µέσω των προβληµάτων της 1 ης κατηγορίας Αποµόνωση ταλαντώσεων που προκαλούνται από αρµονική διέγερση Όπως ήδη αναφέρθηκε, στα προβλήµατα της πρώτης κατηγορίας το ενδιαφέρον στρέφεται προς την µέγιστη µετατόπιση (εύρος ταλάντωσης) του Κ.Μ. της µηχανής X () και την µέγιστη µεταδιδόµενη δύναµη ( ) x ts F (N) από την µηχανή προς την βάση. Τα δύο αυτά µεγέθη εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά (,, ) zω του συστήµατος και από τα χαρακτηριστικά της διέγερσης ( F, ω ) Έστω ότι η µηχανή του σχήµατος 8.1.α. κατά τη λειτουργία της δηµιουργεί µια δύναµη διέγερσης Ft () Fsi( ωt) κατάσταση) θα είναι της µορφής: και τα = (N). Η µη οµογενής λύση (σταθερή xt () = X si( ωt φ) () (8.5) X (), φ (d) θα προκύψουν από τις σχέσεις (.7). Η δύναµη που µεταδίδεται από την µηχανή προς την στιβαρή θεµελίωση αυτή θα δίνεται από την σχέση: όπου: και ( ) ( ) F () t = F si ωt λ (8.6) ts ts x ( Fts ) x = FT(, ζ ) (8.7)

6 15 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 1 ζ λ = t 1+ ( 4ζ 1) (8.8) Η σχέση (8.7) µπορεί να γραφεί ως: ( Fts ) 1+ ( ζ) = T(, ζ ) = x F ζ ( 1 ) + ( ) (8.9) που αποτελεί έκφραση του αδιάστατου λόγου µετάδοσης (tsissibility tio). Στην παραπάνω σχέση ζ είναι ο λόγος απόσβεσης και ο λόγος συχνοτήτων (βλ. σχετικά στην ενότητα ). Από την ίδια σχέση µπορούν να εξαχθούν ορισµένα βασικά συµπεράσµατα που αφορούν τη συµπεριφορά του συστήµατος. Όταν T(, ζ ) < 1, τότε η δύναµη που µεταδίδεται είναι µικρότερη από τo εύρος της διέγερσης. Στην περίπτωση αυτή οι ταλαντώσεις θεωρούνται ως αποµονωµένες. Αν ζ = (µηδενική απόσβεση), τότε στον συντονισµό ( = 1) ο λόγος µετάδοσης γίνεται άπειρος. Επειδή στην σχέση (8.9) εµπλέκονται και στον αριθµητή και στον παρονοµαστή τόσο ο λόγος απόσβεσης όσο και ο λόγος συχνοτήτων, αποδεικνύεται ότι η δύναµη που µεταδίδεται προς την θεµελίωση αυξάνεται αντιστρόφως ανάλογα µε την απόσβεση όταν < (βλ. σχήµα 8.). Όταν >, τότε οποιαδήποτε αύξηση της απόσβεσης αυξάνει τη µεταδιδόµενη δύναµη αλλά ο λόγος µετάδοσης έχει πάντοτε τιµή µικρότερη της µονάδας και εποµένως επιτυγχάνεται αποµόνωση των ταλαντώσεων. Το γεγονός αυτό θα πρέπει να λαµβάνεται υπ' όψη κατά το σχεδιασµό του συστήµατος. 6 4 T(,ζ) 1 3 Σχήμα 8.. Μεταβολή του λόγου μετάδοσης συναρτήσει του λόγου συχνοτήτων και του λόγου απόσβεσης.

7 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 151 ΑΣΚΗΣΗ 19 Ένας βιοµηχανικός ανεµιστήρας έχει µάζα 9 (Kg) και στρέφεται µε 5 (p). Να προσδιορισθεί η ελάχιστη απαιτούµενη στατική βύθιση ενός µονωτήρα που δεν διαθέτει απόσβεση έτσι ώστε να επιτυγχάνεται 75 (%) αποµόνωση των παραγόµενων ταλαντώσεων. ΛΥΣΗ: Η επίτευξη του ως άνω ποσοστού ισοδυναµεί µε τιµή του λόγου µετάδοσης ίσης προς.5. Για να επιτευχθεί αποµόνωση των παραγόµενων ταλαντώσεων θα πρέπει (σύµφωνα µε το σχήµα 8. και για απόσβεση που τείνει προς το µηδέν) να είναι >, δηλαδή µε την (8.9) θα είναι 8 : 1> 1 Επειδή δεν υπάρχει απόσβεση ( ζ = ), σύµφωνα = = 1 ( 1 ) (Α.19.1) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι θα πρέπει να είναι = 5. Επειδή όµως ο λόγος συχνοτήτων (βλ. σχετικά στην ενότητα ) είναι ίσος προς ω/ ω και επιπλέον, επειδή: θα είναι: 5 ω= π = 5.35 (Rd/sec) (Α.19.) 6 ω = k ω = = 5 = (Rd/sec) (Α.19.3) Η στατική απόκλιση x st () του µονωτήρα είναι ίση προς την στατική απόκλιση του ανεµιστήρα που οφείλεται στην δύναµη του βάρους του τελευταίου και είναι ίση προς g / k (). Άρα: x st = g g k = ω = 1.47 = () (Α.19.4) ΑΣΚΗΣΗ Μία εργαλειοµηχανή έχει µάζα 4 (Kg), λειτουργεί στις 14 (p) και παράγει µία αρµονική δύναµη 8 (N). Για την αποµόνωση των παραγόµενων ταλαντώσεων 8 Η αλλαγή στον όρο που βρίσκεται στον παρονοµαστή είναι αναγκαία γιατί αλλιώς δεν προκύπτει πραγµατική τιµή για τον λόγο συχνοτήτων.

8 15 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ σχεδιάζεται να τοποθετηθεί ένας αριθµός επάλληλων λεπτών φύλλων φελλού έτσι ώστε η µεταδιδόµενη προς την θεµελίωση δύναµη να είναι µικρότερη από 1 (N). Εάν κάθε τέτοιο φύλλο έχει ισοδύναµη σταθερά ελατηρίου ίση προς (N/) και ο φελλός παρουσιάζει συντελεστή υστερητικής απόσβεση ίσο προς.3, να υπολογισθεί ο ελάχιστος απαιτούµενος αριθµός φύλλων. ΛΥΣΗ: Ας υποτεθεί ότι p είναι ο ελάχιστος αριθµός των φύλλων φελλού. Τότε η ισοδύναµη σταθερά ελατηρίου αυτών των φύλλων που έχουν τοποθετηθεί το ένα επάνω στο άλλο ανάµεσα στο σώµα της µηχανής και της θεµελίωσης θα είναι ίση προς k/ p (N/). Ο λόγος απόσβεσης των p φύλλων θα δίνεται από την σχέση γ /, όπου γ είναι ο αδιάστατος συντελεστής υστερητικής απόσβεσης του υλικού (βλ. σχετικά στην ενότητα.4) και είναι ο λόγος συχνοτήτων. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα, θα πρέπει να υπάρχει µείωση της παραγόµενης δύναµης στην εργαλειοµηχανή η οποία θα επιτυγχάνεται µέσω του µονωτήρα. Εποµένως ο τελευταίος θα πρέπει να παρουσιάζει ελάχιστο λόγο µετάδοσης: T eq ( Fts ) x και σύµφωνα µε την σχέση (8.9) θα είναι: 1 (, ζ ) = = =.15 (Α..1) F 8.15 = 1+ ( ζ) ( 1 ) + ( ζ) (Α..) Είναι όµως: Έστω επιπλέον ότι: ω ω γ γ γ k/ p = =, ζ = = = (Α..3) ω k/ p ω ω k/ p q = k/ p (Α..4) Αντικατάσταση στην (Α..) από τις (Α..3) και (Α..4) θα δώσει: γ = ω 1 + γ q (Α..5)

9 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 153 Λύνοντας την παραπάνω σχέση ως προς q θα προκύψει ότι q = και εποµένως (σύµφωνα µε την (Α..4) p = και άρα θα πρέπει να τοποθετηθούν τουλάχιστον 15 φύλλα φελλού για να επιτευχθεί η απαιτούµενη µείωση της παραγόµενης δύναµης. Πολλές φορές το εύρος της διεγείρουσας αρµονικής δύναµης ή ροπής είναι µη γραµµικό ως προς την συχνότητα διέγερσης (στις περισσότερες περιπτώσεις το εύρος είναι συνάρτηση του τετραγώνου της). Εάν υποτεθεί ότι eω είναι το εύρος της δύναµης αζυγοσταθµίας που ικανοποιεί τον παραπάνω περιορισµό, τότε η (8.7) θα γράφεται ως: ή ( Fts ) x ( Fts ) και εποµένως σύµφωνα µε την (8.9): Tζ (, ) eω = (8.1) x T(, ζ ) T (, ) u ζ eω = = (8.11) T (, ζ ) = u 1+ ( ζ) ( 1 ) + ( ζ) (8.1) Στο σχήµα 8.3 φαίνεται η µεταβολή του παραπάνω λόγου συναρτήσει της τιµής του λόγου συχνοτήτων και για διάφορες τιµές του λόγου απόσβεσης. Οι τιµές του λόγου συχνοτήτων όπου εµφανίζονται το µέγιστο και το σχετικό ελάχιστο του λόγου µετάδοσης για δεδοµένη τιµή του λόγου απόσβεσης ζ θα δίνονται ως ρίζες της πολυωνυµικής σχέσης: dtu (, ζ ) d ( ) ( ) 4 6 = 1+ 8ζ 1 + 8ζ ζ 1 + ζ = (8.13) Οι ρίζες της (8.13) ως προς είναι τρεις η πρώτη από αυτές αντιστοιχεί στην τιµή του για την οποία µεγιστοποιείται ο λόγος µετάδοσης (σηµείο 1 στο σχήµα 8.3 για την καµπύλη µε z =.15 ), η δεύτερη αντιστοιχεί στην τιµή του για την

10 154 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ οποία αποκτά σχετικό ελάχιστο (σηµείο στο σχήµα 8.3 για την ίδια καµπύλη) και η τρίτη είναι αρνητική και εποµένως δεν λαµβάνεται υπόψη T u (,ζ) 4 1 ζ=.5 ζ=.45 ζ=.4 ζ=.35 ζ=.3 ζ=.5 ζ=. ζ=.15 ζ=.1 4 Σχήμα 8.3. Μεταβολή του τροποποιημένου μέσω του λόγου συχνοτήτων λόγου μετάδοσης λόγω αζυγοσταθμίας συναρτήσει του λόγου συχνοτήτων και του λόγου απόσβεσης Μονωτήρες ταλαντώσεων Προβλήµατα και εφαρµογές Ο έλεγχος των ταλαντώσεων γίνεται µέσω κατάλληλων µονωτήρων που είναι συνήθως ελαστικά σώµατα µε ενσωµατωµένη απόσβεση (π.χ. λάστιχο, φελλός, µεταλλικά ελατήρια κλπ.). Η λειτουργία τους συνίσταται στην µείωση του µεγέθους της µεταδιδόµενης δύναµης από τη µηχανή προς την θεµελίωσή της είτε στην µείωση της κίνησης της µηχανής λόγω ταλάντωσης της θεµελίωσης. Οι µονωτήρες χρησιµοποιούνται σε ένα ευρύ φάσµα µηχανών, διατάξεων, κλπ. Σε κινητήρες όπου µπορεί να εµφανισθούν δυνάµεις λόγω αρµονικής µεταβολής της ροπής ή λόγω δυνάµεων αζυγοσταθµίας οι µονωτήρες προστατεύουν τις βάσεις τους. Ηλεκτρικές διατάξεις και συστήµατα (µετασχηµατιστές, διακόπτες, κλπ) αποµονώνονται µέσω µονωτήρων έτσι ώστε να προστατεύονται οι γειτονικές διατάξεις από τις παραγόµενες ηλεκτροµαγνητικές δυνάµεις λόγω των πηνίων ή λόγω του εναλλασσόµενου ρεύµατος. Στις µονοκύλινδρες παλινδροµικές µηχανές εσωτερικής καύσης χρησιµοποιούνται µονωτήρες για την προστασία των βάσεων και των στηριγµάτων τους αλλά και για την ελαχιστοποίηση της µετάδοσης των παραγόµενων ταλαντώσεων προς γειτονικές διατάξεις και µηχανές. 81 Η ανάλυση όσο αφορά την συµπεριφορά του λόγου µετάδοσης και την σηµασία των ριζών ισχύει αποκλειστικά για ζ <.354.

11 ιμέςτο..υζ ελεγχοσ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 155 Οι κατασκευαστές µονωτήρων ταλαντώσεων δεν χρησιµοποιούν την ισοδύναµη σταθερά ελατήριου για την τυποποίησή τους, αλλά την επιτρεπόµενη στατική βύθιση. Εάν ω (d/sec) είναι η ελάχιστη απαιτούµενη φυσική συχνότητα για την επίτευξη του επιθυµητού λόγου µετάδοσης, τότε η απαιτούµενη ελάχιστη στατική βύθιση του µονωτήρα θα δίνεται από τη σχέση: f ll g = (8.14) ω Η σχέση (.7) µπορεί να γραφεί ως εξής: ω X F = = = ( 1 ) + ( ζ) Aζ (, ) A (, ζ ) 1/ (8.15) και η γραφική παράσταση του λόγου µετάδοσης A (, ζ ) δίνεται στο σχήµα A (,ζ)τ Σχήμα 8.4. Μεταβολή του τροποποιημένου μέσω του λόγου συχνοτήτων λόγου μετάδοσης συναρτήσει του λόγου συχνοτήτων και του λόγου απόσβεσης. Στο παραπάνω σχήµα παρατηρείται ότι ο τροποποιηµένος λόγος µετάδοσης συγκλίνει µειούµενος προς το 1 καθώς αυξάνει η τιµή του λόγου συχνοτήτων και τούτο συµβαίνει για κάθε τιµή του λόγου απόσβεσης. Επειδή πρακτικά υπάρχει αποµόνωση ταλαντώσεων µόνο εφόσον > (περιοχή δεξιά της σηµειούµενης κατακόρυφης στο σχήµα), αυτό σηµαίνει ότι το εύρος ταλάντωσης µειώνεται καθώς αυξάνεται ο λόγος συχνοτήτων και εποµένως επιτυγχάνεται ολοένα και καλύτερη αποµόνωση. Εάν θεωρηθεί ότι τα F,, ω είναι δεδοµένα, τότε σύµφωνα

12 156 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ µε την (8.15) η ελάχιστη τιµή που µπορεί να επιτευχθεί για το εύρος ταλάντωσης θα είναι ίσο προς: X F = () (8.16) ω i Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι για δεδοµένα F και η ελάχιστη τιµή είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής κυκλικής συχνότητας διέγερσης και κατά συνέπεια προκύπτει το γενικό συµπέρασµα ότι οι µηχανές που λειτουργούν σε ψηλές στροφές παρουσιάζουν γενικά µικρότερα εύρη ταλάντωσης. Όσο αφορά την µέγιστη τιµή του εύρους ταλάντωσης αυτή µπορεί να προκύψει βάσει των σχέσεων (.74), (.75) και (8.15) και θα είναι: X F 1 = ω ζ 1 ζ x () (8.17) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει το συµπέρασµα ότι η µέγιστη τιµή είναι αντιστρόφως ανάλογη της φυσικής κυκλικής συχνότητας. Εάν θεωρηθεί ένα σύστηµα σε λειτουργία, από την σχέση (8.15) προκύπτει ότι εάν αυξηθεί η µάζα του τότε επιτυγχάνεται µείωση του εύρους ταλάντωσης. Η αύξηση αυτή επιτυγχάνεται εάν το σύστηµα τοποθετηθεί µε στιβαρό τρόπο πάνω σε κατάλληλη θεµελίωση, π.χ. σε ένα µπλοκ από µπετόν 8. Συνήθως οι µικρές µηχανές τοποθετούνται σε θεµελίωση που εξέχει της επιφανείας του χώρου λειτουργίας ενώ για µεγάλες µηχανές κατασκευάζεται ειδικό όρυγµα όπου τοποθετούνται η θεµελίωση και ο (οι) µονωτήρας (ες). ΑΣΚΗΣΗ 1 Μία φρέζα έχει µάζα 45 (Kg), λειτουργεί στις 18 (p) και λόγω αζυγοσταθµίας - παράγει µία αρµονική δύναµη (N). Να σχεδιασθεί ένα σύστηµα µόνωσης ταλαντώσεων που θα περιορίσει την µεταδιδόµενη δύναµη στα 4 (N), το εύρος ταλάντωσης κατά την σταθερά λειτουργία στο 1 () και το εύρος ταλάντωσης κατά την εκκίνηση στα 1 (). Καθορίστε την απαιτούµενη σταθερά ελατηρίου του µονωτήρα και την ελάχιστη µάζα θεµελίωσης που θα πρέπει να προστεθεί στην µηχανή. Υποθέστε λόγο απόσβεσης ίσο προς.5. 8 Η τοποθέτηση της µηχανής µε στιβαρό τρόπο πάνω στην θεµελίωση σηµαίνει ότι το ζεύγος µηχανή θεµελιώση αποτελεί πλέον µία ενιαία επαυξηµένη µάζα. Η έλλειψη στιβαρότητας αυξάνει τους βαθµούς ελευθερίας του συστήµατος.

13 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 157 ΛΥΣΗ: Σύµφωνα µε τα δεδοµένα και µε την σχέση η τιµή του αδιάστατου λόγου µετάδοσης (βλ. σχέση (8.9)) θα πρέπει να είναι: ( F ts ) x 4 T(, ζ ) = = =. (Α.1.1) F Εποµένως, σύµφωνα πάλι µε την (8.9), θα είναι:. = ( ) 1+.1 ( 1 ) + (.1) (Α.1.) Λύση της (Α.1.) ως προς δίνει ότι =.48. Επειδή: π 18 ω = = (Rd /sec) (Α.1.3) 6 και = ω/ ω, θα είναι (σύµφωνα µε τις (Α.1.) και (Α.1.3)): ω = = 76.6 (Rd /sec) (Α.1.4).48 Κατά την εκκίνηση η µηχανή ταλαντώνεται µε την φυσική της συχνότητα µέχρι να περιέλθει στην µόνιµη ταλαντωτική κατάσταση (αιτιολογήστε το φαινόµενο). Κατά την φάση αυτή το εύρος ταλάντωσης θα δίνεται από την σχέση (8.17) και θα είναι: 1 X = =.769 x ( ) () (Α.1.5) Όµως θα πρέπει να είναι X x.1 () και αυτό µπορεί να επιτευχθεί µόνο εάν αυξηθεί η µάζα. Η αύξηση αυτή µπορεί να υπολογισθεί από την σχέση (8.17) ως εξής: 1 = = ( ) (Kg) (Α.1.6) Άρα θα πρέπει να προστεθούν = 31 (Kg) µάζας (θεµελίωσης) στην µηχανή. Στην περίπτωση αυτή το µέγιστο εύρος στην µόνιµη κατάσταση θα πρέπει σύµφωνα και µε την εκφώνηση να είναι µικρότερο από 1 (). Εποµένως, σύµφωνα µε την (8.15), θα πρέπει να είναι: X (Α.1.7) F = 1/ ω ζ ( 1 ) + ( ).1 ()

14 158 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ όπου (Kg) είναι πλέον η νέα µάζα. Εάν υποτεθεί ότι το ζ ( ) παραµένει το ίδιο, τότε θα είναι: (Α.1.8) ω F k/ X =.1 1/ ω ω ω 1 + ζ k/ k/ και από τη σχέση αυτή µπορεί να υπολογισθεί η σταθερά ελατηρίου του µονωτήρα που θα είναι πρέπει να είναι µεγαλύτερη ή οριακά ίση προς (N/). Η επιλογή του κατάλληλου τύπου µονωτήρων για µία ταλαντούµενη µηχανή ή σύστηµα εξαρτάται από ταλαντωτικές παραµέτρους (στατική βύθιση µονωτήρα, µέγεθος απόσβεσης και εύρος ταλάντωσης) αλλά και από άλλους παράγοντες όπως το κόστος, το βάρος, τους πιθανούς περιορισµούς χώρου και τις συνθήκες περιβάλλοντος. Στις επόµενες δυο παραγράφους αναφέρονται οι βασικοί τύποι συνοδευόµενοι από σχόλια και παρατηρήσεις. Τα ελικοειδή χαλύβδινα ελατήρια χρησιµοποιούνται ως µονωτήρες για µεγάλες στατικές αποκλίσεις (πάνω από 3 (c)) και χρησιµοποιούνται όταν απαιτείται καλή µόνωση σε χαµηλές συχνότητες. Επειδή ο χάλυβας παρουσιάζει µικρό συντελεστή απόσβεσης, χρησιµοποιούνται επιπλέον ιξώδεις αποσβεστήρες εν παραλλήλω µε τα ελατήρια. Πολλές φορές τα ελατήρια χρησιµοποιούνται σε συνδυασµό µε άλλους τύπους µονωτήρων. Μονωτήρες κατασκευασµένοι από ελαστοµερή χρησιµοποιούνται για µικρές στατικές αποκλίσεις 83 αλλά όχι σε πολύ υψηλές θερµοκρασίες. Επειδή τα ελαστοµερή υλικά παρουσιάζουν µεγάλο συντελεστή απόσβεσης, δεν χρειάζονται συνήθως επιπλέον αποσβεστήρες 84. Αυτό όµως που πρέπει να σηµειωθεί είναι το γεγονός ότι ο λόγος απόσβεσης ενός µονωτήρα κατασκευασµένου από ελαστοµερές υλικό εξαρτάται από την συχνότητα και συνήθως αυξάνει µε αυτή. 83 Εάν χρησιµοποιηθούν για µεγάλες στατικές αποκλίσεις, τότε υπόκεινται σε ερπυσµό και βαθµιαία χάνουν την αποτελεσµατικότητά τους. 84 Αν και δεν αποκλείεται κάτι τέτοιο σε περιπτώσεις όπου απαιτείται υψηλή τιµή για τον λόγο απόσβεσης.

15 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 159 Σχήμα 8.5. Μονωτήρας από ελαστομερές. Στο σχήµα 8.5. δείχνεται ένας µονωτήρας από ελαστοµερές υλικό που µπορεί να λειτουργήσει είτε σε συµπίεση είτε σε διάτµηση. Τέτοιου τύπου µονωτήρες χρησιµοποιούνται συνήθως σε µικρές µηχανές όπου η απαιτούµενη στατική βύθιση δεν ξεπερνά το 1.5 (c). Ένα βασικό τους χαρακτηριστικό είναι η κατάταξη σε κατηγορίες ανάλογα µε το µέγιστο στατικό φορτίο που µπορούν να φέρουν 85. Ένας µονωτήρας που είναι σχεδιασµένος να «αντέχει» µεγάλα στατικά φορτία θα παρέχει γενικά µικρή στατική βύθιση και αντίστροφα. Πολλές φορές χρησιµοποιούνται ως µονωτήρες πέλµατα που κατασκευάζονται από φελλό, κετσέ ή ρητίνες ελαστοµερών και τοποθετούνται µεµονωµένα ή σε πολλαπλές στρώσεις ώστε να παρέχουν την απαραίτητη απόσβεση και ελαστικότητα υναµικοί αποσβεστήρες χωρίς απόσβεση Η ρύθµιση των παραµέτρων της διέγερσης δεν είναι πάντοτε εφικτή. Εποµένως στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει η παρέµβαση για τον έλεγχο των ταλαντώσεων να αφορά τις παραµέτρους και την αρχιτεκτονική (δοµή, σύνθεση) του συστήµατος. Κλασσικό παράδειγµα τέτοιας µεταβολής αποτελούν οι δυναµικοί αποσβεστήρες ταλαντώσεων. Σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η τιµή της συχνότητας διέγερσης είναι πολύ κοντά στην τιµή της φυσικής συχνότητας δηµιουργούνται ταλαντώσεις µεγάλου εύρους και η µόνη λύση είναι να µεταβληθεί η τιµή της φυσικής συχνότητας. Έτσι, π.χ., σε ένα σύστηµα ενός Β.Ε. µπορεί να προστεθεί ένας συνδυασµός µάζας ελατηρίου που, εφόσον έχει σχεδιασθεί, σωστά µπορεί να οδηγήσει µέχρι και σε µηδενισµό της ταλάντωσης του αρχικού συστήµατος µε την προϋπόθεση ότι οι δύο φυσικές συχνότητες του νέου συστήµατος που έχει προκύψει βρίσκονται µακριά από την συχνότητα διέγερσης. Η θεµελιώδης αρχή λειτουργίας του δυναµικού αποσβεστήρα βασίζεται στην τοποθέτηση (ή ανάρτηση) ενός βοηθητικού συστήµατος µάζας-ελατηρίου στο 85 Συνήθως αυτή οι κατηγορίες συµβολίζονται µε τα γράµµατα A, B, C και D. Η κατηγορία D χαρακτηρίζεται από τον πιο υψηλό λόγο απόσβεσης.

16 16 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ταλαντούµενο σύστηµα ώστε να αντισταθµιστούν 86 οι ταλαντώσεις του. Το σχ.8.6 δείχνει τη βασική ιδέα. Η ελαστικά εδραζόµενη µηχανή µάζας (Kg) ταλαντώνεται καταρχήν υπό την επίδραση διέγερσης F () t µε συχνότητα που προσεγγίζει την τιµή της φυσικής ex συχνότητας του συστήµατος k/ (d/sec). Εάν αναρτηθεί ένα σύστηµα µάζας (Kg) και ελατηρίου k (N/) από το σώµα της µηχανής, τότε δηµιουργείται ένα νέο ταλαντούµενο σύστηµα δύο Β.Ε. Υπό την προϋπόθεση ότι: α. Οι ποσότητες της µάζας και της σταθεράς ελατηρίου που έχουν προστεθεί έχουν υπολογισθεί σωστά και β. οι δύο φυσικές συχνότητες του νέου συστήµατος βρίσκονται µακριά από την συχνότητα διέγερσης, τότε η ταλάντωση της µάζας (Kg) της µηχανής στην εν λόγω συχνότητα διέγερσης µπορεί να ελαχιστοποιηθεί. Το σύστηµα µάζας ελατηρίου που τοποθετήθηκε ονοµάζεται δυναµικός αποσβεστήρας. F ex (t) k/ k k/ Σχήμα 8.6. Σύστημα ενός Β.Ε. με δυναμικό αποσβεστήρα. Για το νέο σύστηµα των δύο Β.Ε. θα είναι: [ ] ( ) [ ] x () t + kx () t + k x () t x () t = F t ex x () t + k x() t x () t = (8.18) όπου τα x () t = X si( ωt) () και x () t X si( ωt) = () είναι οι συναρτήσεις που περιγράφουν την κίνηση των δύο µαζών του συστήµατος υπό την επίδραση της εξωτερικής διέγερσης Fex () t = F si( ωt) (N). Οι σχέσεις (8.18) θα γίνουν: 86...δηλαδή να ελαχιστοποιηθούν ή να σταµατήσουν εντελώς.

17 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 161 k ω k F Χ X k ω k k (1 + ) = ω X + (1 ) X = ω (8.19) όπου ω και ω (d/sec) είναι αντίστοιχα οι φυσικές συχνότητες του αρχικού συστήµατος και του δυναµικού αποσβεστήρα που τοποθετήθηκε εκ των υστέρων. Στην η από τις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούµε ότι αν θέσουµε ω= ω, τότε προκύπτει ότι X =, δηλαδή η µηχανή παύει πλέον να κινείται, ενώ η µάζα του αποσβεστήρα εκτελεί ταλάντωση µε εύρος X = F / k (). Η τροποποίηση του αρχικού συστήµατος µε την πρόσθεση του αποσβεστήρα δίνει δυο νέες φυσικές συχνότητες που είναι επικίνδυνες για συντονισµό. Έστω ω 1 και ω (d/sec) οι συχνότητες αυτές. Οι τιµές τους πρέπει να είναι γνωστές διότι δεν επιτρέπεται σε καµία περίπτωση να ταυτιστούν η να έρθουν πολύ κοντά στην κύρια συχνότητα διέγερσης ω (d/sec). Οι τιµές αυτές µπορούν να προσδιοριστούν από τις εξισώσεις (8.18) θέτοντας τον δεξιό όρο της 1 ης ίσος µε το. Αν σχηµατισθεί η χαρακτηριστική εξίσωση κατά τα γνωστά, τότε οι λύσεις της θα είναι 87 : ω1, = ω { } 1/ ( ) ( ) µ µ 4 (8.) όπου µ = / και = ω / ω. Οι δυναµικοί αποσβεστήρες παρουσιάζουν πολλές πρακτικές εφαρµογές αλλά πάντα θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην χρήση τους. Η φυσική συχνότητα του δυναµικού αποσβεστήρα (.Α.) ταυτίζεται µε την συχνότητα διέγερσης και σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση η πρώτη φυσική συχνότητα του συστήµατος µηχανή.α. είναι µικρότερη της φυσικής συχνότητας του.α. και η δεύτερη µεγαλύτερη. Άρα κατά τις µεταβατικές φάσεις της έναρξης και παύσης της λειτουργίας της µηχανής 88 θα πρέπει η συχνότητα διέγερσης να «περάσει» από την πρώτη φυσική συχνότητα. Το πέρασµα αυτό θα δηµιουργήσει ταλαντώσεις µεγάλου εύρους της µάζας του.α. Εάν = ω/ ω και = ω/ ω, τότε τα αδιάστατα εύρη θα δίνονται από τις σχέσεις (8.19): 87 Το πρόσηµο (-) αντιστοιχεί στην µικρότερη φυσική συχνότητα ω και στο βαθµό που συνεχίζει να υπάρχει το αίτιο που δηµιουργεί την ταλάντωση...

18 16 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ kx 1 = F 1 (1 + µ ) + (8.1) kx 1 = F 1 (1 + µ ) + (πως προκύπτουν οι σχέσεις αυτές;) Ο δυναµικός αποσβεστήρας απαλείφει την ταλάντωση της κύριας µάζας του συστήµατος µόνο εφόσον η τιµή της συχνότητας διέγερσης είναι δεδοµένη και σταθερή. Εάν η τελευταία µεταβάλλεται εντός ενός φάσµατος τιµών, τότε είναι πιθανό το εύρος ταλάντωσης της µηχανής να είναι υψηλό σε συχνότητες διάφορες της φυσικής συχνότητας του δυναµικού αποσβεστήρα. Το σχήµα 8.7 αναπαριστά αυτή την περίπτωση όταν = 1 και µ =.15. Στο σχήµα αυτό φαίνεται ο µηδενισµός του εύρους ταλάντωσης της µηχανής όταν = ω/ ω = 1 αλλά και η αύξησή του για τιµές του δεξιά και αριστερά της τιµής αυτής. kx /F Σχήμα 8.7. Μεταβολή του εύρους ταλάντωσης συναρτήσει του λόγου συχνοτήτων παρουσία δυναμικού αποσβεστήρα (μ=.15, =1). Η προηγούµενη ανάλυση σχετικά µε την συµπεριφορά του συστήµατος παρουσία δυναµικού αποσβεστήρα ισχύει µόνο στην περίπτωση που δεν υπάρχει κανενός είδους απόσβεση σ αυτόν. Εάν υπάρχει απόσβεση τότε το εύρος ταλάντωσης της µηχανής δεν µπορεί να µηδενισθεί αλλά µόνο να ελαττωθεί. ΑΣΚΗΣΗ Η φυσική συχνότητα σε κατακόρυφη ταλάντωση του συστήµατος που απαρτίζεται από ένα ανεµιστήρα - που είναι τοποθετηµένος σε µία απλά στηριζόµενη χαλύβδινη δοκό - και της ίδιας της δοκού ταυτίζεται µε τη συχνότητα περιστροφής

19 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 163 του ανεµιστήρα που είναι ίση προς 15 (p). Ο ανεµιστήρας παρουσιάζει αζυγοσταθµία (Kgc). Αποφασίζουµε να αποφύγουµε το συντονισµό προσαρµόζοντας στο σύστηµα ένα δυναµικό αποσβεστήρα (.Α.) ώστε η πρώτη φυσική συχνότητα του τροποποιηµένου συστήµατος να είναι ίση προς το 11 (%) της συχνότητας διέγερσης και η µάζα του να είναι µικρότερη των (Kg). Εάν η ροπή αδράνειας της διατοµής της δοκού είναι ( 4 ) και το µήκος της είναι ίσο προς 1.8 (), να βρείτε τα ταλαντωτικά χαρακτηριστικά του.α (µάζα, ελατήριο, απόκριση). ΛΥΣΗ: Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του ανεµιστήρα θα είναι: 15 ω = π f = = (d/sec) (Α..1) 6 Η ισοδύναµη σταθερά ελατηρίου της δοκού θα είναι: E,I k L Σχήμα Α..1. Εξαναγκασμένη κατακόρυφη ταλάντωση συστήματος ανεμιστήρα δοκού. k 48EI L b = = = (N/) (Α..) 3 3 Η γωνιακή ταχύτητα του ανεµιστήρα είναι ίση προς την κυκλική φυσική συχνότητα του αρχικού συστήµατος και κατά συνέπεια: 6 k k = = = = (Kg) (Α..3) ω ω Τέλος η δύναµη (εύρος) της αζυγοσταθµίας θα είναι:

20 164 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ F 1 = ueuω = = (N) (Α..4) Από τις σχέσεις (8.) προκύπτουν οι δύο φυσικές συχνότητες του τροποποιηµένου συστήµατος. Η µικρότερη είναι η ω 1 (d/sec). Γι αυτήν θα είναι: { } 1/ ( ) ( ) ω µ + + µ = = = = ω ω / ω ω / ω και µετά από πράξεις: (Α..5) 4.84µ +.84 = (Α..6) ή k 4.84k +.84k = (Α..7) Επειδή οριακά είναι = (Kg), από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: k 4.84k +.84k = = (N/) (Α..8) Όσο αφορά τα εύρη ταλάντωσης των δύο µαζών θα είναι: kx ω k = = = = F µ 1 1 ( / ) (1 + ) + 1 (1 + /147.1) kx = = = = F µ 1 (1 + ) + 1 (1 + /147.1) (Α..9) και εποµένως X =.67 () και X 1 () (Γιατί δεν µηδενίζεται το εύρος ταλάντωσης του συστήµατος ανεµιστήρας-δοκός;) 8.5. υναµικοί αποσβεστήρες µε απόσβεση Η θεµελιώδης αρχή λειτουργίας του δυναµικού αποσβεστήρα µε απόσβεση βασίζεται στην τοποθέτηση (ή ανάρτηση) ενός αποσβεστήρα σταθεράς απόσβεσης c (Nsec/) εν παραλλήλω µε το βοηθητικό σύστηµα µάζας-ελατηρίου. Το σχ.8.8 δείχνει τη βασική ιδέα.

21 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 165 F ex (t) k/ k c k/ Σχήμα 8.8. Σύστημα ενός Β.Ε. με δυναμικό αποσβεστήρα που διαθέτει απόσβεση. Η τοποθέτηση του αποσβεστήρα αποσκοπεί στον περιορισµό του εύρους ταλάντωσης της µηχανής κατά τις µεταβατικές φάσεις της έναρξης και παύσης της λειτουργίας της µηχανής ή την αύξηση του ωφέλιµου λειτουργικού εύρους για το σύστηµα µηχανή δυναµικός αποσβεστήρας. Για τον προσδιορισµό των ευρών ταλάντωσης του ανωτέρω συστήµατος µπορεί να χρησιµοποιηθεί µία από τις γνωστές µεθόδους (βλ. σχετικά τις ενότητες 5., 5.3). Έτσι θα είναι 89 : kx ( ζ ) + ( ) F µ ζ µ kx = = 4 { 1+ ( 1+ ) + } + ( ) 1 ( 1+ ) 4 + ( ζ) 4 { 1+ ( 1+ ) + } + ( ) 1 ( 1+ ) F µ ζ µ (8.) όπου ζ = c / ω είναι ο λόγος απόσβεσης για τον δυναµικό αποσβεστήρα µε απόσβεση σε αδιάστατη µορφή...

22 166 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ kx /F ζ=.15 ζ=. P 1 Q 1 ζ=.1 = 1 =.75 1 P Q Σχήμα 8.9. Μεταβολή του εύρους ταλάντωσης συναρτήσει του λόγου συχνοτήτων παρουσία δυναμικού αποσβεστήρα με απόσβεση για διάφορες τιμές του λόγου συχνοτήτων και του. Στο σχήµα 8.9 φαίνεται η µεταβολή του αδιάστατου εύρους ταλάντωσης της µηχανής (δεξιός όρος στην πρώτη από τις δύο σχέσεις (8.)) για διάφορες τιµές του λόγου απόσβεσης, για τιµή του µ =.3 και για δύο τιµές του λόγου συχνοτήτων (δύο οµάδες καµπυλών). Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι, σε αντίθεση µε την περίπτωση του δυναµικού αποσβεστήρα χωρίς απόσβεση (βλ. σχήµα 8.7), το εύρος δεν µηδενίζεται για καµία τιµή του και απλώς παρουσιάζει ελάχιστο κοντά στην θέση όπου = 1 (πρώτη οµάδα καµπυλών) και =.75 (δεύτερη οµάδα καµπυλών). Οι δύο κορυφές που σχηµατίζονται δεξιά και αριστερά αυτού του ελαχίστου αναπαριστούν συντονισµό ως προς τις δύο φυσικές συχνότητες του συστήµατος και αντιστοιχούν σε σχετικά µεγάλα εύρη ταλάντωσης και για τις δύο οµάδες καµπυλών. Στο ίδιο σχήµα παρατηρεί κανείς ότι όλες οι καµπύλες που ανήκουν στην πρώτη οµάδα και που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές του λόγου απόσβεσης για τον συνδυασµό τιµών ( µ =.3, = 1) περνούν από τα δύο σηµεία P 1 και P. Το ίδιο ισχύει και για τις καµπύλες της δεύτερης οµάδας (βλ. σηµεία Q 1 και Q ). Είναι προφανές ότι η τιµή του λόγου συχνοτήτων διαφοροποιεί τόσο την θέση του σηµείου ελάχιστου εύρους όσο και την θέση των σηµείων από τα οποία περνούν οι οµάδες καµπυλών. Είναι επίσης προφανές ότι σε όλες τις περιπτώσεις, όταν υπάρχει απόσβεση, δεν είναι δυνατός ο µηδενισµός του εύρους ταλάντωσης της µηχανής. Εποµένως, αντί του µηδενισµού, επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση και η εξίσωση των δύο «κορυφών» που παρουσιάζονται κατά τον συντονισµό µε τις δύο

23 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 167 φυσικές συχνότητες του συστήµατος 9. Τα δύο σταθερά σηµεία προσφέρονται για την επίτευξη αυτού του στόχου. Πράγµατι µπορεί να προσδιορισθεί µία τιµή του λόγου απόσβεσης ζ έτσι ώστε: α. Η τιµή του εύρους στις δύο κορυφές να είναι η ίδια και β. Τα δύο σταθερά σηµεία να ευρίσκονται όσο το δυνατόν πιο κοντά σ αυτές. Ο δεξιός όρος στην πρώτη από τις δύο σχέσεις (8.) µπορεί να γραφεί ως παράσταση δυνάµεων του ζ ως εξής: kx A µ ζ + Β µ F Γ µζ µ (,, ) (,, ) = (,, ) + (,, ) (8.3) και τα ΑΒΓ,,, είναι συναρτήσεις των,, µ. Υποθέτοντας ότι τα, µ είναι σταθερά και δεδοµένα τότε, για να είναι το δεξιό µέρος της έκφρασης στην (8.3) ανεξάρτητο της τιµής του ζ, θα πρέπει: A µζ + Β µ Γ µζ µ (,, ) (,, ) (,, ) + (,, ) = c (8.4) όπου το c είναι µία σταθερά. Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί ως εξής: [ ] A (,, µ ) cγ (,, µ ) ζ + Β(,, µ ) c (,, µ ) = (8.5) η οποία ισχύει για κάθε τιµή του ζ µόνο όταν: A (,, µ ) Β(,, µ ) = = c (8.6) Γ (,, µ ) (,, µ ) Συνδυασµός των (8.) και (8.6) δίνει την παρακάτω σχέση: 4 µ (1 + µ ) + = (8.7) που αν λυθεί ως προς θα δώσει τις εξής δύο τιµές: 1, = 1 + (1 + µ ) ± 1 + (1 + µ ) µ 4 1+ µ 1+ (8.8) Έτσι, π.χ. για = 1 και µ =.3 θα είναι: =.63885, = Παρατηρήστε ότι στην δεύτερη οµάδα καµπυλών το µεγαλύτερο εύρος παρουσιάζεται κατά τον συντονισµό στην δεύτερη φυσική συχνότητα.

24 168 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Επειδή η (8.3) ισχύει για κάθε τιµή του ζ, θα ισχύει και για τιµές του ζ που τείνουν στο άπειρο και στην περίπτωση αυτή το όριο του δεξιού µέρους της σχέσης αυτής µπορεί να γραφεί ως: kx A(,, µ ) ζ + Β(,, µ ) A (,, µ ) 1 = = = F Γ (,, µζ ) + (,, µ ) Γ (,, µ ) 1 ( 1 µ ζ + ) (8.9) Επειδή όµως η τιµή του δεξιού όρου στην ανωτέρω σχέση είναι ίδια και για τις δύο τιµές του λόγου, τότε συνδυάζοντας τις (8.8) και (8.9), θα προκύψει ότι θα πρέπει να είναι: = 1/(1 + µ ). Έτσι, π.χ. για µ =.3 θα πρέπει να είναι =.769. Η σχέση (8.8) παρέχει τις τιµές του λόγου που αντιστοιχούν στα δύο σηµεία όπου η τιµή του δεξιού όρου της (8.) είναι ίδια για κάθε τιµή του λόγου απόσβεσης ζ. Για να είναι όµως τα σηµεία αυτά και σηµεία µέγιστου εύρους θα πρέπει να είναι: d kx d = = 4 dζ F dζ { 1+ ( 1+ µ ) + } + ( ζ ) 1 ( 1+ µ ) ( ζ ) + ( ) (8.3) όταν = και 1 =. Εποµένως εάν θεωρηθεί ως δεδοµένος ο λόγος µ, τότε µπορεί να προσδιορισθεί από την σχέση = 1/(1 + µ ) η τιµή του λόγου και κατόπιν, χρησιµοποιώντας την (8.3) µε = να προσδιορισθεί η τιµή του 1 λόγου απόσβεσης ζ, έστω ζ 1. Η ίδια διαδικασία θα ακολουθηθεί και για την άλλη τιµή ( = ) και θα προσδιορισθεί η αντίστοιχη τιµή του λόγου απόσβεσης ζ. Επειδή όµως ζ ζ τελικά λαµβάνεται µία µέση τιµή ως εξής: 1 ζ v ζ + ζ 3 1 µ 1 = = 8 1 ( + µ ) (8.31) Έτσι, π.χ. εάν µ =.3 τότε σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση θα είναι ζ =.94 και σύµφωνα µε την σχέση = 1/(1 + µ ) θα είναι =.769. Στο σχήµα (8.1) η καµπύλη µε συνεχή γραµµή δείχνει την µεταβολή της τιµής του αδιάστατου εύρους ως προς τον λόγο συχνοτήτων για την τιµή αυτή του, ενώ είναι εµφανή τα δύο σηµεία όπου το εύρος µεγιστοποιείται. Οι άλλες δύο καµπύλες v

25 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 169 αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές του ενώ όλες οι καµπύλες έχουν χαραχθεί για την παραπάνω τιµή του λόγου απόσβεσης. kx /F =.769 = 1 = Σχήμα 8.1. Μεταβολή του εύρους ταλάντωσης συναρτήσει του λόγου συχνοτήτων παρουσία δυναμικού αποσβεστήρα με απόσβεση για τιμή του λόγου απόσβεσης ίσης προς.94 και για διάφορες τιμές του λόγου.