Μαθηµατική επαγωγή. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. 2 η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα:

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 29/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρήτεχνικήγια να αποδεικνύουµε ότιη πρόταση P(n) είναιαληθήςγια κάθε φυσικό αριθµό n. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: P(c) k c (P(k) P(k+1)) n c P(n) (βάση της επαγωγής) (επαγωγικό βήµα) 2 2 η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα: P(c) P αληθής για όλες τις προηγούµενες περιπτώσεις k c: ( i c i k P(i)) P(k+1) n c: P(n) Η διαφορά µεταξύ της 2 ης και της 1 ης αρχής της επαγωγής είναι ότι το συµπέρασµα P(k+1) του επαγωγικού βήµατος βασίζεται στην ισχυρότερη υπόθεση ότι η P(i) είναι αληθής για κάθε ακέραιο c i k, και όχι µόνο ότιη P(k) είναι αληθής. Απόδειξη προτάσεων µε βάση τη 2 η αρχή της µαθηµατικής επαγωγής Για να αποδείξουµε την πρόταση n c P(n) κάνουµε το παρακάτω: Αποδεικνύουµε την βάση της επαγωγής, P(c) Θεωρώντας ένα τυχαίο k 0, αποδεικνύουµε ότι αν i c i k ισχύει η P(i), τότε P(k+1) Με βάση την 2 η αρχή της επαγωγής, αυτό αποδεικνύει ότι n c: P(n) 3 4 1

2 Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής 2 ο παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: είξτε ότι κάθεακέραιος n>1 µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο p 1 p 2 p s s το πλήθος, πρώτων αριθµών. Απόδειξη:Έστω P(n)= Ο nµπορεί να γραφεί σαν γινόµενο s το πλήθος, πρώτων αριθµών Βασικό βήµα: n=2, έστω s=1, p 1 =2. Επαγωγικό βήµα: Έστω k 2. ΕΥ: υποθέτω i 2 i k: P(i). Πρέπει να αποδείξω ότι P(k+1). Για τον k+1 υπάρχουν 2 περιπτώσεις: O k+1 είναι πρώτος. Tότεέστω s=1, p 1 =k+1. O k+1 δεν είναι πρώτος. Tότευπάρχουν ακέραιοι aκαι b τέτοιοι ώστε k+1=ab, όπου 2 a k and 2 b k. Τότε (απόευ) a=p 1 p 2 p t και b=q 1 q 2 q u. Συνεπώς, k+1 = p 1 p 2 p t q 1 q 2 q u, γινόµενο από s=t+uπρώτους. Θεώρηµα:Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των12 ευρώµπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4και 5Ευρώ. Απόδειξη: P(n)= ταχ. τέλος n>=12ευρώ µπορεί να δηµ. µε γραµµατόσηµα των 4 και 5 ευρώ Βάση επαγωγής: 12=3γρ. x 4 Ευρ., Επίσης, 13=2γρ. x 4Ευρ. + 1γρ. x 5Ευρ., 14=1γρ. x 4Ευρ. + 2γρ. x 5Ευρ., 15=3 γρ. x 5 Ευρ. εποµένως, i 12 i 15, P(i). 5 6 Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Βρέστε το σφάλµα!!! Επαγωγικό βήµα:έστω k 15. Έστω ότι i 12 i k P(i). Πρέπει να αποδείξουµε ότι P(k+1). Πράγµατι: Ξέρουµε ότι P(k 3), επειδή 12 k 3 k. Αλλά από την P(k 3)προκύπτει άµεσα η P(k+1): απλά προσθέστε ένα γραµµατόσηµο των 4ευρώ! Θεώρηµα : Όλα τα σύνολα αλόγων είναι οµοιόµορφα, µε την έννοια ότι όλα τα στοιχεία τους έχουν το ίδιο χρώµα (!?!?) Μέθοδος: επαγωγή πάνω στον πληθικό αριθµό του συνόλου P(x):Όλα τα σύνολα µε πληθικό αριθµό xείναι οµοιόµορφα 7 2

3 Βρέστε το σφάλµα Απόδειξη : Βασικό βήµα: P(1) (Τετριµµένο) Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι k (P(k) P(k+1)) Θεωρείστε ένα σύνολο S= {α 1,α 2,,α k+1 } από k+1 άλογα. Χωρίστε το S στα υποσύνολά του A και Bκαθένα από τα οποία έχει kστοιχεία: A= {α 1,α 2, α k } B= {α 2,α 3,,α k+1 } Και το A είναι οµοιόµορφο και το B είναι οµοιόµορφο. Επιπλέον ισχύει A B, και εποµένως το σύνολο A B είναι οµοιόµορφο. ΟΕ (!?!?!?!?!?) Βρέστε το σφάλµα Στην απόδειξη χρησιµοποιήσαµε το ότι A B, αλλά αυτό *δεν* ισχύει γενικά! (πχ. έστε τι συµβαίνει για Α = Β = 1...) το πρώτο «ντόµινο» αρνείται να πέσει ιµελής σχέση Σχέσεις 11 Έστω A, Bοποιαδήποτε σύνολα. Μίαδιµελής σχέση Rαπό το Aστο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Το (a, b) R σηµαίνει ότι «το aσχετίζεται µέσω της Rµε το b» Επίσης γράφεται ως arb ή ως R(a,b) Π.χ.,έστω η σχέση ΚατοικείΣτηνΠόληη οποία ορίζεται ως ένα υποσύνολο του A B όπου Α το σύνολο των ανθρώπων και Β το σύνολο των πόλεων. Αντώνης ΚατοικείΣτηνΠόλη Ηράκλειο (Αντώνης, Ηράκλειο) ΚατοικείΣτηνΠόλη ΚατοικείΣτηνΠόλη(Αντώνης, Ηράκλειο) 12 3

4 ιµελής σχέση n-µελείς σχέσεις Κι άλλο παράδειγμα: A = {Κώστας, Νίκος, Μαρία, Πάνος} Β = {Μακαρόνια, Μπριζόλες, Όσπρια, Σαλάτες} Σχέση Προτιμάει_το_φαγητό = {(Κώστας,Μπριζόλες), (Νίκος,Σαλάτες), (Μαρία,Όσπρια), (Πάνος, Σαλάτες)} Μία n-µελήςσχέση Rστα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Αυτή είναι µία προφανής γενίκευση της διµελούς σχέσης. 3-µελείςσχέσεις, παραδείγµατα: Το a είναι µεταξύ του b και του c Ο a έδωσε το b στον c n-µελείς σχέσεις Μία n-µελήςσχέση Rστα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Τα σύνολα A i ονοµάζονταιπεδίατης R. Ο βαθµόςτης Rείναι n. Συµπληρωµατικές σχέσεις Έστω R:A, B µία διµελής σχέση. Τότε, R:A B, το συµπλήρωµα της R, είναι η διµελής σχέση που ορίζεται από R: {(a,b) A B (a,b) R}=(A B) R Το συµπλήρωµα της R είναι το R. Παράδειγµα: < = {(a,b) (a,b) <} = {(a,b) (a<b)} =

5 Αντίστροφες σχέσεις Κάθε διµελής σχέση R:A B έχει µία αντίστροφη σχέση R 1 :B A, που ορίζεται ως R 1 : {(b,a) (a,b) R}. Π.χ., < 1 = {(b,a) a<b} = {(b,a) b>a} = > Άλλο παράδειγµα: Εάν η R Άνθρωποι x Tροφή ορίζεται από a R b aτρώει την b, τότε: b R 1 a bτρώγεται από τον a. (παθητική φωνή) Σχέσεις και πράξεις συνόλων Εφόσον οι διµελείς σχέσεις είναι σύνολα από διατεταγµένα ζεύγη, οι έννοιες της τοµής ένωσης διαφοράς συµµετρικής διαφοράς σχέσεων είναι αυτές που γνωρίζουµε ήδη από τη θεωρία συνόλων Σχέσεις επί συνόλου Μία (διµελής) σχέση από ένα σύνολο A στονεαυτό του ονοµάζεται σχέσηεπί του συνόλου A.Άρα, µίαδιµελήςσχέση Rεπί του A ορίζεται ως R A A. Π.χ., η σχέση < µπορεί να είναι µία σχέση επίτου συνόλουτων πραγµατικών αριθµών. Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Μία σχέση R επί του A είναι ανακλαστική εάν και µόνο αν a A(aRa). Π.χ., η σχέση : {(a,b) a b} είναι ανακλαστική. Η R είναι µη-ανακλαστική εάν και µόνο αν a A( (ara)) Σηµειώστε τη διαφορά µεταξύ µιας σχέσης που είναι µη ανακλαστική ( a A( (ara))) από µία σχέση που απλά δεν είναι ανακλαστική ( ( a A(aRa)), δηλαδή, a A (αra)

6 Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση ανακλαστική; Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση ανακλαστική; Όχι, γιατί δεν ισχύει ότι a A(aRa) Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση µη ανακλαστική; Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση µη ανακλαστική; Όχι, γιατί δεν ισχύει ότι a A( (ara)) Π.χ. (Γ,Γ) R

7 Ανακλαστική ιδιότητα Θεώρηµα:Μία σχέση Rείναιµη ανακλαστικήεάν και µόνο ανη συµπληρωµατική της σχέση είναι ανακλαστική. Παράδειγµα:η < είναι µη ανακλαστική. Η είναι ανακλαστική. Απόδειξη:. Μπορείτε να σκεφτείτε Ανακλαστικές σχέσεις Μη ανακλαστικές σχέσεις...που να έχουν να κάνουν µε αριθµούς, προτάσεις, ή σύνολα; Μερικά παραδείγµατα Ανακλαστικές:,,,, κλπ. Μη ανακλαστικές: <, >,, κλπ. Συµµετρική / ασσύµετρη διµελής σχέση Μία διµελής σχέση R επί ενός συνόλου A είναι συµµετρική εάν και µόνο αν a,b ((a, b) R (b, a) R). Π.χ., η = (ισότητα) είναι συµµετρική. Η < δεν είναι συµµετρική. Η είναι παντρεµένος µε είναι συµµετρική Η Συµπαθεί δεν είναι συµµετρική. Μία διµελής σχέση R είναι ασύµµετρη εάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R). Π.χ.: Η <είναι ασύµµετρη, Η Συµπαθεί δεν είναι, κατ ανάγκη, ασύµµετρη. Τι ισχύει για την Θαυµάζει={(Γ, Μ), (Β, Μ), (Γ, Γ)};

8 Συµµετρική ιδιότητα / ασσύµετρη διµελής σχέση Μία διµελής σχέση Rείναιασύµµετρηεάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R). Τι ισχύει για την Θαυµάζει={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Γ,Γ)}; εν είναι ασύµµετρηεξαιτίας τουότι (Γ,Γ) Θαυµάζει Μερικές άµεσες συνέπειες Θεωρήµατα: 1. Η R είναι συµµετρική αν και µόνο αν R = R 1, 2. Η R είναι ασύµµετρηαν και µόνο άνη R R 1 είναι κενή Συµµετρική ιδιότητα Συµµετρική ιδιότητα 1. Η R είναι συµµετρικήαν και µόνο αν R = R 1 Ευθύ: Έστω ότι η R είναι συµµετρική. Τότε (x,y) R (y,x) R (x,y) R 1 Αντίστροφο:Έστωότι R = R 1. Τότε, (x,y) R (x,y) R 1 (y,x) R 2. Η R είναι ασύµµετρηαν και µόνο ανη R R 1 = ø. Ευθύ:Έστω ότι η R είναι ασύµµετρη. Τότε a,b((a,b) R (b,a) R). Εποµένως, a,b((a,b) R (a,b) R 1 ). Τότε όµως, R R 1 =ø. Αντίστροφο:Έστω ότι η R R 1 = ø. Τότε a,bµε (a,b) Rισχύει ότι (a,b) R 1. Τότε όµως, (b,a) R. Άρα, a,b((a,b) R (b,a) R) και εποµένως η R είναι ασύµµετρη

9 ΕΡΩΤΗΣΗ:Μπορείτε να βρείτε ένα σύνολο A και µία σχέση R επί του A έτσι ώστε η R να είναι συµµετρική και η R(x,y) να µπορεί λογικά να διαβαστεί ως ο x είναι γιός του y Απάντηση:κάθε µοντέλο στο οποίο δεν υπάρχουν x, y τέτοια ώστε ηγιός_του(x, y) να είναι αληθής Π.χ., A = {John, Mary, Sarah}, AxA R= {} Για την κενή σχέση, ισχύει ότι a,b((a,b) R (b,a) R) και εποµένως η κενή σχέση είναι συµµετρική! Αντισυµµετρικότητα Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι

10 Αντισυµµετρικότητα Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; όχι Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; όχι Είναι ασσύµετρη; όχι Είναι ασσύµετρη; όχι Είναι ανακλαστική; Είναι ανακλαστική; ναι Αντισυµµετρικότητα Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y εν είναι συµµετρική. (Π.χ., 5 6αλλά όχι 6 5) εν είναι ασύµµετρη. (Π.χ., 5 5) (Θα λέγαµε πως είναι «σχεδόν»ασύµµετρη, επειδή όλες οι συµµετρίες εµφανίζονται όταν x=y) Αυτό ονοµάζεταιαντισυµµετρικότητα: οι µόνες συµµετρίες (x,y), (y,x) στη σχέση εµφανίζονται όταν x=y. Μπορείτε να το πείτε αυτό στον κατηγορηµατικό λογισµό; Μία διµελής σχέση Rεπί του Aείναι αντισυµµετρική εάν και µόνο αν a,b((a,b) R (b,a) R) (a=b)). Π.χ.:,, Πως θα ορίζατε τηνµεταβατικότηταµίας σχέσης;

11 Μία σχέση Rείναιµεταβατικήεάν και µόνο αν a,b,c(((a,b) R (b,c) R) (a,c) R). Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y

12 Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y ΕΙΝΑΙ

13 Κλειστότητα σχέσεων ως προς κάποια ιδιότητα Για κάθε ιδιότητα X, η X - κλειστότητα µιας σχέσης R ορίζεται ως το µικρότερο υπερσύνολοτης R που έχει την ιδιότητα X. Πιο συγκεκριµένα, Ηανακλαστικήκλειστότηταµιας σχέσης Rεπί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της Rπου έχει την ανακλαστική ιδιότητα. Ησυµµετρικήκλειστότηταµιας σχέσης Rεπί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της Rπου έχει την συµµετρική ιδιότητα. Ηµεταβατικήκλειστότηταµιας σχέσης Rεπί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της Rπου έχει την µεταβατική ιδιότητα. Υπολογισµός κλειστοτήτων Η ανακλαστική κλειστότητα µιας σχέσης R επί του A υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (a,a) στην Rγια κάθε a A. ηλ., R I A Η συµµετρική κλειστότητα µιας σχέσης R υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (b,a) στην Rγια κάθε (a,b)στην R. ηλ., R R 1 Υπολογισµός της µεταβατικής κλειστότητας R* της R Παραδείγµατα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; Παραδείγµατα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = Ο a είναι πρόγονος του b

14 Παραδείγµατα για την R* R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) Ποιά είναι η R*; Παραδείγµατα για την R* R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = «Εάν ισχύει η aως προϋπόθεση, µπορώ να αποδείξω την ισχύ της bσε κάποιο πλήθος βηµάτων» Παραδείγµατα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. Ποιά είναι η R*; Παραδείγµατα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = Υπάρχει τρόπος να ξεκινήσει κανείς από το λιµάνι a και να φτάσει ακτοπλοϊκώς στο λιµάνι b