Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της πρώτης στήλης και, δίπλα ακριβώς, τον αριθµό της

Transcript

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z= α + βi όπου α,β R. Στη στήλη Ι του επόµενου πίνακα δίνονται ορισµένα σύµβολα και παραστάσεις που έχουν σχέση µε το µιγαδικό αριθµό z. Kάθε ένα από αυτά είναι ίσο µε µία µόνο από τις εκφράσεις που δίνονται στη στήλη ΙΙ ΣΤΗΛΗ Ι A. Re(z) Β. z Γ. z. z z Ε. z + z ΣΤ. z - z Z. Im(z) ΣΤΗΛΗ ΙΙ + 1. α β. β 3. βi 4. α - βi 5. α + β 6. α 7. α 8. βi 9. -α + βi Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της πρώτης στήλης και, δίπλα ακριβώς, τον αριθµό της ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δεύτερης στήλης που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 14 Β. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = 3-4i. Να βρείτε : α) το πραγµατικό µέρος Re(z) και το φανταστικό µέρος Im(z) του µιγαδικού αριθµού z Μονάδες 3 β) τον συζυγή z του µιγαδικού αριθµού z Μονάδες 4 γ) το µέτρο z του µιγαδικού αριθµού z. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι πίνακες Α = 0 1, Ι = 0 1. α) Να δείξετε ότι ισχύει Α = Α - Ι. Μονάδες 9 β) Να δείξετε ότι ισχύει Α (Ι - Α) = Ι. γ) Να βρείτε τον πίνακα X ώστε να ισχύει X - Ι = Α. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x. x + 1 α) Να βρείτε το όριο lim f(x). x 1 β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f. Μονάδες 1 Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4ο Ένας ιχθυοκαλλιεργητής πήρε άδεια να χρησιµοποιήσει µία θαλάσσια περιοχή σχήµατος ορθογωνίου την οποία θα περιφράξει µε δίχτυ µήκους 600 µέτρων. Μόνο οι τρεις από τις τέσσερις πλευρές πρόκειται να περιφραχτούν µε δίχτυ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. x E(x) x ακτή α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε(x) της θαλάσσιας ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ περιοχής που θα χρησιµοποιηθεί δίνεται από τον τύπο Ε(x) = -x + 600x (υποθέτουµε ότι 0 < x < 300). Μονάδες 6 β) Να υπολογίσετε την τιµή του x έτσι ώστε το εµβαδόν Ε(x) της περιοχής να γίνει µέγιστο. Μονάδες 14 γ) Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή του εµβαδού. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΜΑΪΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Αν z 1 = ρ 1 (συν θ 1 + i ημθ 1 ) και z = ρ (συν θ + i ημθ ) είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή, να αποδείξετε ότι: z 1 z = ρ 1 ρ [συν (θ 1 +θ )+i ημ (θ 1 +θ )] Μονάδες 6,5 β) Αν z = α + β i με α, β R, είναι ένας μιγαδικός αριθμός, να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Ι Στήλη ΙΙ A. Re(z) 1. Β. Im(z) Γ. -z Δ. z Ε. z ΣΤ. z z ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Μονάδες 6

6 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 = 1 + i και z = i. α)να γράψετε τους z 1 και z σε τριγωνομετρικ β)να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή του γιν ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 4x + 3, x R. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x και y y. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (3, f(3)). Μονάδες 9 γ)να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρ ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f: R R, για την οποία ισχύει - x 4 f(x) + x 4, για κάθε x R. Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = Μον β) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 0. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

7 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ)η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ΘΕΜΑ 4ο Ένα τουριστικό λεωφορείο έχει να διανύσει απόσταση 65 km με σταθερή ταχύτητα x km την ώρα. Σύμφωνα με τον Κώδικα Οδικής Κυκλοφορίας το μέγιστο όριο ταχύτητας είναι 90 km την ώρα. Τα καύσιμα κοστίζουν 160 δραχμές το λίτρο, η ωριαία κατανάλωση είναι x 5, λίτρα και η αμοιβή του οδηγού είναι 000 δραχμές την ώρα. α) Να αποδείξετε ότι το συνολικό κόστος Κ (x) της διαδρομής είναι: K (x) = x, x 0 < x 90. Μονάδες 1 β)να βρείτε την ταχύτητα του λεωφορείου για την οπ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους υποψηφίους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

8 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

9 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x o και ισχύει: (f+g) (x o ) = f (x o )+g (x o ) Μονάδες 9 Β. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι λανθασμένη. 1. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x o, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα σημείο x o, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Μονάδες 3. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) = 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Μονάδες

10 4. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Μονάδες 5. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x o, τότε ισχύει: lim x x o f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) x x o x x Μονάδες 6. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x o, τότε ισχύει: lim x x o f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) x x o x x Μονάδες 7. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z α βi ισχύει : z α β Μονάδες 8. Για το μιγαδικό αριθμό i ισχύει : i 4 = 1. o o Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 = -1+i, z = 3-4i α. Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό z 1 +5z Μονάδες 6

11 β. Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό Μονάδες 6 γ. Να αποδείξετε ότι το πρωτεύον όρισμα του μιγαδικού αριθμού z 1 είναι: Αrg(z 1 ) 3π = 4 z z 1 Μονάδες 6 δ. Να υπολογίσετε το μιγαδικό αριθμό z 8 1. ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3-6x +9x-. α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Μονάδες 10 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο A 1, f ( 1). σημείο Μονάδες 5 γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0, 1). Μονάδες 10

12 ΘΕΜΑ 4o Δίνεται η συνάρτηση: όπου k. Να βρείτε : f ( x ) 3 x 4x x x k,, αν αν x x α. το k, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x 0 =, β. το όριο lim x 1 f(x), Μονάδες 5 γ. το ρυθμό μεταβολής της f στο x 0 = 4 και Μονάδες 5 δ. την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής f ( x) παράστασης της συνάρτησης g( x) x 3 στο.

13 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. Έστω η συνάρτηση f(x) = εφx. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R 1 = IR {x συνx = 0} και ισχύει f (x) = 1 συν x. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Μονάδες 10 Β. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1. Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z = x + yi, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί, δίνεται από τον τύπο z = x + y.. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f(x), όταν f είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο x 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x 0 την παράγωγο f (x 0 ).

14 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 3. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f (x) > 0 στο (α, x 0 ) και f (x) < 0 στο (x 0, β), τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. 4. Ο συζυγής κάθε μιγαδικού αριθμού z = x + yi, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί, είναι ο μιγαδικός z _ = x + yi. 5. Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x 0, τότε ισχύει lim x x ΘΕΜΑ ο 0 f(x) g(x) lim f ( x) x x0 =, εφόσον lim g(x) 0. lim g( x) x x 0 x x Έστω η συνάρτηση {}. α. Να βρείτε το 0 lim x 0 Μονάδες 15 x - 3x f(x) =, x IR x - f(x) x. β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

15 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο Έστω η συνάρτηση x, f(x) = 10x- 5, και το σημείο x 0 = 5. αν αν x < 5 x 5 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 = 5. Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο x 0 = 5 και να βρείτε την f (5). γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(5, f(5)). Μονάδες 4 δ. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

16 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 4o Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z = x + yi, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί και i (i + z) w = με z i. i z Να αποδείξετε ότι : x 1- x - y α. w = + i x + (y 1) x + (y 1), β. αν ο w είναι πραγματικός αριθμός, τότε η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ 1 = 1 και γ. αν ο z είναι πραγματικός αριθμός, τότε η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ = 1. Μονάδες 9 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους υποψηφίους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

17 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

18 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. Αν α + βi, γ+δi είναι µιγαδικοί αριθµοί, όπου α, β, γ, δ IR και γ+δi 0, να αποδείξετε ότι: α + βi γ + δi = αγ + βδ + γ + δ βγ αδ γ + δ i Μονάδες 9 Β. Στον παρακάτω πίνακα, κάθε µιγαδικός αριθµός της Στήλης Ι είναι ίσος µε ένα µόνο αριθµό της Στήλης ΙΙ (δύο αριθµοί στη Στήλη ΙΙ περισσεύουν). Στήλη Ι Α. i 1 B. i Γ. i 3. i 4 Στήλη ΙΙ 1. i i Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Ι του παραπάνω πίνακα και ακριβώς δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης ΙΙ, ώστε να δηµιουργείται η σωστή αντιστοιχία. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 4

19 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ Για καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις Γ,, Ε και ΣΤ, να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασµένη. Γ. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο x του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x να ισχύει: f(x) = g(x) + c. Μονάδες 3. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x 1, x µε x 1 < x ισχύει: f(x 1 ) < f(x ). Μονάδες 3 Ε. Έστω η συνάρτηση f(x) = x. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο (0,+ ) και ισχύει f (x) =. x Μονάδες 3 ΣΤ. Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφαπτοµένης στο σηµείο Α(x 0, f(x 0 )), της γραφικής παράστασης C f µιας συνάρτησης f, παραγωγίσιµης στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της είναι λ = f (x 0 ). Μονάδες 3 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση, f(x) = 4x + 3, 6x + k, x < 1 x 1, όπου k IR. α. Να βρείτε την τιµή του k, ώστε η f να είναι συνεχής στο x 0 = 1. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

20 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α( 1, f( 1)). γ. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό µ, ώστε να ισχύει: µ f ( 5) + f (5) + 34 = 0. ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 3x + 6αx + β, όπου x IR και α, β πραγµατικοί αριθµοί. Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο x 0 = και είναι f( ) = 98. α. Να αποδείξετε ότι α = 6 και β = 54. β. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. Μονάδες 6 Μονάδες 9 γ. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων της συνάρτησης f. Μονάδες 4 δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα ( 1, ). ΘΕΜΑ 4o Μονάδες 6 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z = x + yi, όπου x, y πραγµατικοί αριθµοί, για τους οποίους υπάρχει α IR ώστε να ισχύει: z + z Να αποδείξετε ότι: + z z i i = α + ( 1 α)i. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

21 α. αν Im(z) = 0, τότε α = 1. β. αν α = 0, τότε z + 1 = 0. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ Μονάδες 5 Μονάδες 5 γ. για τον πραγµατικό αριθµό α ισχύει: 0 α 1. δ. οι εικόνες Μ των µιγαδικών αυτών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, κατεύθυνση, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: µία (1) ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

22 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x ο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 1. Έστω Μ(x,y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z = x+yi στο μιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουμε ως μέτρο του z; Μονάδες 3 Β. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1. Μία συνάρτηση f : Α ΙR. λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x 1, x Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν x 1 x, τότε f(x 1 ) f (x ). Μονάδες. Mία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x o A (ολικό) ελάχιστο, το f(x ο ), όταν f(x) < f (x ο ) για κάθε x A. Μονάδες ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ 3. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x o και ισχύει f(x) g (x) κοντά στο x ο, τότε lim x xo f(x) > lim g(x). x x o 4. Αν z 1 και z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε Μονάδες z 1 z = z1 z. Μονάδες 5. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α,β) τέτοιο, ώστε: f(β) f(α) f (ξ) =. β α Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: z = λ - + (3-λ)i, λ ΙR. και w = k+4i, k > 0. Για τους z, w ισχύουν: Re(z) + Im(z) = 0 και w = 5. α. Να αποδείξετε ότι z = -1+i. β. Να αποδείξετε ότι k = 3. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μ ΙR.., για το οποίο ισχύει z + μz = 3i - w. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

24 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 +kx +3x-, x ΙR., k ΙR., της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1,1). Να αποδείξετε ότι: α. k = -1. β. Η συνάρτηση f δεν έχει τοπικά ακρότατα. Μονάδες 5 Μονάδες 10 γ. Η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0, 1). Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4o ίνεται η συνάρτηση ( α)x kx + f(x) = με α, k ΙR. και x 3. x -3 α. Αν η ευθεία y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο +, τότε να αποδείξετε ότι α = 1 και k = 3. Μονάδες 10 β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο ξ (1, ), στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι παράλληλη στον άξονα x x. γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x ο = 1. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

25 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους υποψηφίους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

26 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 31 MAΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. Αν z 1, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε να δείξετε ότι: z 1 z = z1 z. Β. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασμένη. 1. Έστω f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και x ο. Έστω επίσης f(x) 0 για κάθε x. 1 Αν lim f(x) = + τότε lim =. x x f(x) x o x o Μονάδες 3. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες Μ(α,β) και Μ (α, β) των συζυγών μιγαδικών z=α+βi και z = α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. Μονάδες 3 3. Αν μια πραγματική συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x ο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x ο. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

27 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ 4. Έστω η συνάρτηση f (x) = x με πεδίο ορισμού = [0, + ), 1 τότε f (x) = για κάθε x (0, + ). x Μονάδες 3 5. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f(x) lim o f(x) x x x x+ o είναι + ή, τότε η ευθεία x=xο λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Μονάδες 3 6. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ισχύει: f(x) = g(x) + c. Μονάδες 3, ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση x 4x + 13 = 0 (1) α. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση (1). Μονάδες 9 β. Αν z 1, z οι ρίζες της εξίσωσης (1), τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης z1 z + 13 z i A = z +. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

28 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ γ. Αν z 1 = +3i, τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: z z1 = 5. ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση 3 x + λ, x 1 f(x) = 4 με λ ΙR.. x 8x + 4, x > 1 4x Ι. Να βρείτε την τιμή του λ ΙR. για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x ο = 1. Μονάδες 10 ΙΙ. Για λ=0 α. να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR.. β. να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο +. ΘΕΜΑ 4o Για k ΙR. δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 kx + 10, για κάθε x ΙR.. Ι. Να βρεθεί η τιμή του k ΙR για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α (1, f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x x. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

29 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΙΙ. Για k = 3 α. να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα (, 0]. Μονάδες 5 γ. και για κάθε α ( 14,15) να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = α 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (0,1). Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

30 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 30 MAΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Έστω η συνάρτηση f (x) = x, ν Ι Ν. {0,1}. ν Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ν 1 στο και ισχύει f (x) = ν x. Μονάδες 10. Nα ορίσετε πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 5 Β. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασμένη. 1. Για κάθε μιγαδικό z ισχύει z = z z. Μονάδες. Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον xx ) τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο. Μονάδες 3. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x 0 και f (x) < 0, τότε f(x)<0 κοντά στο x 0. lim x x 0 Μονάδες ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

31 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ 4. Aν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. Μονάδες 5. Έστω η συνάρτηση f(x)=ημx με πεδίο ορισμού το, τότε f (x)= συνx, για κάθε x. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(λ-)+λi, όπου λ. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. 1 β. Αν ισχύει z + z =, να βρείτε το Re. z γ. Αν z = και Im(z) 0, να βρείτε το λ. Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση α. Να βρείτε τα όρια i) lim x + f (x) f (x) 4 f (x) =, με x>0. x ii) x f (x) lim x (x ) β. Nα βρείτε το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που απέχει από το σημείο Ο(0,0) τη μικρότερη απόσταση. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

32 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ γ. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία y=-x+6. ΘΕΜΑ 4o Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο. Aν για κάθε x 0 ισχύει xf(x)=x+ημx, τότε: α. Να βρείτε το f(0). π β. Να αποδείξετε ότι f(x)<3 για κάθε x 0,. Μονάδες 10 γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)= έχει τουλάχιστον μια π ρίζα στο,π. Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). εν θα αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

33 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία (1) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

34 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Αν z 1 = α + βi και z = γ + δi είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι z 1 + z = z1 + z.. Έστω f μια συνάρτηση και x 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 ; Μονάδες 6 Β. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασμένη. 1. Αν z 1, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z + z > z z Μονάδες 3. Για κάθε x ισχύει: (ημx) = συνx. Μονάδες 3 3. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ή είναι αρνητική για κάθε x, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

35 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ 4. Αν μια συνάρτηση f είναι ΘΕΜΑ ο συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (α, β) και f(α) = f(β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 0. Μονάδες 3 ίνεται η εξίσωση 3z + λz + μ = 0, όπου λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί. Α. Αν ο αριθμός z 1 = 1 + i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι λ = 6, μ = 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα z της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι: 1 = α. z + z 0 Μονάδες 14 Μονάδες 6 β z z = Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3ο Έστω η συνάρτηση f με f (x) = 1 x ( x 1),, x x 1 > 1 A. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι: α. συνεχής στο σημείο x 0 = 1 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

36 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ β. παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 = 1. Μονάδες 10 Β. Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α(, 1). ΘΕΜΑ 4o x + x + k Έστω η συνάρτηση f με f(x) =, x όπου k είναι πραγματικός αριθμός. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 3 Β. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ(1, f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x x, να βρείτε την τιμή του k. Γ. Για k = 1, α. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα [1, + ). Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). εν θα αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

37 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. 5. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Ώρα δυνατής αποχώρησης η 8.30 απογευματινή. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

38 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ ΑΣ Β ) ΤΡΙΤΗ 5 MAΪΟΥ 010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x 0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 10 Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Α3. Για καθεμιά από τις επόμενες πέντε (5) προτάσεις, α. έως ε., να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασμένη. α. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης. β. Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι: ( cf (x)) = f (x), για κάθε x. γ. Αν z 1, z μιγαδικοί αριθμοί με z 0, τότε ισχύει ότι: z 1 = z δ. Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της. z z 1

39 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ε. Αν lim x x 0 f (x) = +, τότε f(x)<0 κοντά στο x0. ΘΕΜΑ Β Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = x+yi με x,y. Μονάδες 10 B1. Αν ισχύει ότι z i z = 3, τότε να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό z. B. Αν z=+i, τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει ότι: w + z = z. z + iz B3. Αν z=+i και u=, τότε να αποδείξετε ότι: u 010 = 1. z 1 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 +3x+συνx, x. Μονάδες 10 Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 5 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0,π). Γ3. Να λύσετε την εξίσωση: f(x +8) = f(6x) Γ4. Να βρείτε το όριο: f (x) + 1 lim x 0 x Μονάδες 10 Μονάδες 5 Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

40 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ x + 3 ίνεται η συνάρτηση f(x) = + x, x 1. Tα τοπικά ακρότατα της f. x 0. Να βρείτε:. Tις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. 3. Tην εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1, f(1)). Μονάδες 4 4. To σημείο Μ(ξ, f(ξ)), ξ>0, της γραφικής παράστασης C f της f, στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(1, f(1)), B(3, f(3)). Μονάδες 5 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό διαρκείας και μόνο ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μία (1) ώρα μετά τη διανομή των θεμάτων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

41 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 16 ΜΑΪΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f (x 0 ) = 0 Μονάδες 10 A. ίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο. Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 β) Μια συνάρτηση f:a λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x 1, x A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x 1 x, τότε f(x 1 ) f(x ) γ) Για κάθε x 1 = {x συνx=0} ισχύει: 1 ( εφ x) = συν x ημ x δ) Ισχύει ότι: lim = 1 x + x ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

42 ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες xoy και x Oy. Μονάδες 10 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w, με z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i = 1 και 1 w = z 3i + z 3i B1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B. Να αποδείξετε ότι: z + 3i = 1 z 3i Μονάδες 4 B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B4. Να αποδείξετε ότι: z w = z Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f(x)= x + x, x 0 Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

43 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α,f () ( ) Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Γ4. Να βρείτε το όριο: ΘΕΜΑ 1 f 3 x lim x 1 x 1 Μονάδες 6 ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, με f(0)=0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f(x)+xf (x)=ημx, για κάθε x. 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=xf(x)+συνx, x είναι σταθερή στο.. Να αποδείξετε ότι: συνx f (x) = 1, x και x 0 x Μονάδες 6 Μονάδες 6 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 συνx = xημx έχει μία π 3π τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Μονάδες 6 4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,π) τέτοιο ώστε: ξημξ+συνξ=1+ ξ π ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

44 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

45 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f (x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το A. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x 0 œa τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

46 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ( ) γ) Αν είναι lim f x = +, τότε f(x)<0 κοντά στο x x x 0 δ) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα και ισχύει ότι f (x) = g ( x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε ισχύει πάντα f(x)=g(x) για κάθε xœ ΘΕΜΑ Β ε) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. 0 Μονάδες 10 Θεωρούμε τους μιγαδικούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z 3 + z+ 3 w 1 = w = 36 B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=3 B. Αν z 1, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z =, να βρείτε το z z1 3 z1 + Μονάδες 9 B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=1 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

47 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f(x)= + αx β, x + x>0 με α,βœ Γ1. Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0,+ ) Μονάδες 4 Γ. Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία λύση στο (0,+ ) Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f : i) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε (μονάδες 3) ii) έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και βœ, την οποία και να βρείτε (μονάδες 3) Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο x 0 =1 τοπικό ακρότατο, το f(x 0 )=7. Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού. ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν: f (x) > f(x) + ημx lim = x 0 x x f(1)= f (0) 1. Να αποδείξετε ότι f(0)=0 και f(1)= 3 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

48 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ. Αν η g(x)=f(x)+α(x+1), x και α ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [0,1], να βρείτε τον αριθμό α Μονάδες 5 3. Για α=1 να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ξ (0,1) τέτοιο ώστε f (ξ)= (ξ+1) Μονάδες 6 4. Για α=1 να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου ερωτήματος. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

49 Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα ( ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β ] και f ( α) f ( β) τότε, να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( α ) και f ( β ) υπάρχει ένας τουλάχιστον x0 ( α, β) τέτοιος, ώστε f( x0 ) = η A. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες 4 A3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ ] α, β του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση z z0 = ρ, ρ>0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( z 0 ) και ακτίνα β) Αν lim f ( x) < 0, τότε ( ) x x 0 ρ, όπου z, z 0 μιγαδικοί αριθμοί. f x 0 < κοντά στο x 0 γ) Ισχύει ότι: ημx x για κάθε x ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

50 Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα ( ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ δ) Ισχύει ότι: συν x 1 lim = 1 x 0 x ΘΕΜΑ Β ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( z )( z ) + z = Μονάδες 10 B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών K,0 και ακτίνα ρ = 1 (μονάδες 5). αριθμών z, είναι κύκλος με κέντρο ( ) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z 3 z που ανήκει στον παραπάνω (μονάδες 3) B. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z, 1 z που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ = 0, με w μιγαδικό αριθμό, β,γ, και ( ) ( ) Im z Im z = 1 τότε να αποδείξετε ότι: β = 4 και γ = 5 Μονάδες 9 B3. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 = + i, z = i και u 013 z1 + i = z i να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,z 1 και u. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

51 Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα ( ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f( x) 4 = + α x x 1 με x 1, α Γ1. Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) συνάρτησης f στο σημείο ( ) ( ε):x 3y+ 6= 0 Αν α = 1, τότε: A, f να είναι κάθετη στην ευθεία Μονάδες 6 Γ. να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και να βρεθούν τα ακρότατα Μονάδες 6 Γ3. να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Γ4. να βρείτε το όριο lim x 1 ( ) ( ) x 1 f x 6 x 1 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f: Να αποδείξετε ότι: Δ1. η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη Δ. η εξίσωση με τύπο f( x) = x ( x+ x ) ( + ) = ( ) f x x 1 f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 1, 3 ) ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 9 Δ3. Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα [ 1, ], [, 3 ] και [ ] στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1 ( 1, ) και ξ (, 3) ξ ( 1, 3) τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση: f ( ξ) = f ( ξ ) + f ( ξ ) 1 1, 3, και και Μονάδες 9

52 Ανακτήθηκε από την Εκπαιδευτική Κλίμακα ( ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

53 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 10 A. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 Α (ολικό) μέγιστο, το f( x ) ; 0 Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z ισχύει z z = Im(z) (μονάδες ) β) Αν lim f ( x) x x 0 =+ ή, τότε 1 lim = 0 f x x x 0 ( ) (μονάδες ) γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. (μονάδες ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

54 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ δ) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες. (μονάδες ) ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. (μονάδες ) Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z + (z+ z)i 4 i= 0, z B1. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 9 B. Αν z=1+i 1 και z=1-i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι ίσος με 3i w 39 z 1 = 3 z B3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει u+ w = 4z1 z i όπου w, z 1, z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

55 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x ) = (x 3) (x 1), x Γ1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα. Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία α) είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y = 4x+ 3 και β) η τετμημένη του σημείου επαφής της με την γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος αριθμός. Γ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = (x 1) f(x), x έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ α x x+ Δίνεται η συνάρτηση h με hx ( ) =,x 1 και α. Αν η ευθεία x+ 1 με εξίσωση y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο +, τότε Δ1. Να αποδείξετε ότι α = 1 Δ. α) Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y = x είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h και στο. β) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

56 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ρίζα στο διάστημα ( 1,0) 4 (x + 3) h x + = 0 έχει μια τουλάχιστον x Μονάδες 9 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

57 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β), τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 (α,β), τέτοιος ώστε f(x 0 ) η. A. Έστω μια συνάρτηση f και x0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτε ότι fog = gof. β) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

58 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ γ) Για κάθε x ισχύει ότι ( συνx) ημx. δ) Για κάθε z ισχύει ότι z z Re(z). ε) Αν ΘΕΜΑ Β lim f(x) 0 και f(x) 0 κοντά στο x, 0 τότε x x 0 1 lim. x x 0 f(x) Μονάδες 10 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z 4 z 1. B1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=. B. Έστω Β1. 1 w, 1 Να αποδείξετε ότι: z z z z όπου z 1, z δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος α) Ο w είναι πραγματικός και β) - 4 w 4. (μονάδες 4) (μονάδες 7) Μονάδες 11 B3. Αν w - 4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β, να ΘΕΜΑ Γ βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς z 1, z και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A(z 1 ), B(z ), Γ(z 3) των μιγαδικών αριθμών z 1, z και z, 3 με z3 iz 1, είναι ισοσκελές. Δίνεται η συνάρτηση f(x) 1 x 1 Γ1. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f., x. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

59 Γ. Να αποδείξετε ότι f(f(x)) ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ. για κάθε x Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε το όριο f(1 x) lim. x 0 x Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής ΘΕΜΑ Δ παράστασης της f που διέρχονται από το σημείο (3,0). Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει ότι Δ1. Να αποδείξετε ότι 1 x f(x) x 1 x, x για κάθε x 0. 1 x 1 x, x 0 f(x) x x 0, x 0. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε την παράγωγο f (x) της συνάρτησης f για κάθε x 0. Μονάδες 6 Δ3. Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 1. Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 διάστημα 1 (, ). Μονάδες 6 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

60 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω -πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

61 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. A. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 A3. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ημx α) Ισχύει lim = 0. x 0 x β) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο x 0 και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) x x x x 0 0 γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f (x) = 0 για κάθε x (α, x 0) (x 0,β), είναι σταθερή στο (α, x ) (x,β) 0 0 δ) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y προς x. = f(x) έχει ακριβώς μια λύση ως ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ