ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει: z z = z z Μονάδες Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί με z z z z = z z, τότε η εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία A(z ) και B(z ) β Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=. f γ. Αν < α < τότε lim α + = + δ. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f ε. Αν f: [ αβ, ] R είναι συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f() για κάθε [ α, β], τότε: β α f()d Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: Re = z Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ =, εκτός από ένα σημείο του (μονάδες 7). Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου αυτού (μονάδες ). Μονάδες 9 Β. Αν z,z είναι δύο από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι: z+ z Μονάδες 8 Β3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β, να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύει: z = 5 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = n +, > Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ), και να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα ( α, α+ ) η εξίσωση να έχει μία τουλάχιστον ρίζα. f( + ) = f() Γ3. Να λύσετε στο διάστημα (, + ) την ανίσωση n < Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(, + ) R για την οποία ισχύει: 3 3 tf(t)dt+ = 3 f() + 3 8, > Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με f() = Δ. Να αποδείξετε ότι +, f() = > (μονάδες 3) καθώς επίσης ότι η ευθεία με εξίσωση y Μονάδες 6 = είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (μονάδες 3). Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ασύμπτωτη (y= ) της γραφικής παράστασης της f στο + και τις ευθείες = και = e Μονάδες 8 Δ. Nα αποδείξετε ότι f() > f() για κάθε > Μονάδες 5 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Απαντήσεις στα θέματα των Εισαγωγικών Εξετάσεων τέκνων Ελλήνων του Εξωτερικού και τέκνων Ελλήνων Υπαλλήλων στο εξωτερικό 3 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 98 Α. Σχολικό βιβλίο σελ.9 Α3. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Re = z Θέτω z= + yi,,y

6 yi = = z + yi + y y i + y + y Re =. z + y Αφού Re = z =. + y Έχουμε + y = y = () y = A= Β= Γ= 3 Α +Β Γ= 6 = > = A B Άρα η ( ) παριστάνει κύκλο με κέντρο K, ακτίνα ρ= Α +Β Γ= = = δηλαδή: C: + y = χωρίς το σημείο A, αφού z z,y, δηλαδή Β. z,z z Οι εικόνες των κινούνται στον κύκλο z = & z = K, και δηλαδή = δηλαδή τριγ. ανισ. z+ z = z+ z = z + z z + z z + z. Άρα

7 Β3. Οι μιγαδικοί z κινούνται στον κύκλο z z = 5 Θέτω z= + yi,y + y = 5 + y = 5 y = 5 Λύνουμε το σύστημα των ( & ) + 5 = / / / / = = 8 = για = y = 5 = y = y=± άρα z = + i, z = i = άρα ( ) + y = ΘΕΜΑ Γ Γ. = + > Df =, + f ln,. / = + / + / / f ln ln ln ln = + + ln + ln + > άρα η f γνησίως αύξουσα.

8 f = ln + ln+ ln+ = / ln + = / f = ln+ = ln = ln = ln e = e = e f e - + f κοίλη κυρτή Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στο, e f, +. e και η κυρτή στο Γ. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και " ". f:" " f + = f + = + = Θεωρώ g = + g συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική g= + = < g = + = 6> gg () <. Από το Θεώρημα Bolzano η g = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο άρα α=. 3 α= μοναδική ρίζα αφού g = + >, > Άρα η g γνησίως αύξουσα,,

9 Γ3. ln < < ln ln ln + < f < f f γνησίως αύξουσα < < < < δηλαδή ΘΕΜΑ Δ Δ. 3 () + = + () 3 tf t dt 3 f 3 8 > 3 3 tf t dt+ 3+ 8= 3 f f () 3 3 tf() t dt = 3,+ tf t Η f συνεχής στο Η συνάρτηση g( t) = είναι συνεχής στο (,+ ) ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Άρα η συνάρτηση tf () t dt είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (,+ ). 3 Οι συναρτήσεις 3+ 8 & 3 είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις άρα η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. f Παραγωγίζω την ( )

10 + = + + = 3 f + 3 = 6f + 3 f + 3 6f 3 6f 3 f f f = f = f =. Δ. f = Από τις Συνέπειες Θ.Μ.Τ. f = + + C. για = Θέτω στη σχέση () () 6= 3f() f() = 3 tf t dt+ = 3f Άρα = 3f C= C= + f = + =, > + lim f lim + = + lim = + άρα y = πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +.

11 Δ3. =, = e + + f = = = >, > e e Ω= d = [ ln ] = ln e ln = lne = = τμ.. Δ. f f > f > + > + > + > ( ) ( ) > > > > Ισχύει Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη