ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ"

Φρίξος Πυλαρινός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, β ]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [ α, β ], τότε να αποδείξετε ότι: β () = ( ) ( ) α f t G β G α Μονάδες 7 A. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ ] α, β του πεδίου ορισμού της; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση z z = ρ, ρ> παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( z ) και ακτίνα β) Αν lim f ( ) <, τότε ( ) ρ, όπου z, z μιγαδικοί αριθμοί. f < κοντά στο γ) Ισχύει ότι: ημ για κάθε δ) Ισχύει ότι: συν lim = ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( z )( z ) + z = B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, K, και ακτίνα ρ = (μονάδες 5) είναι κύκλος με κέντρο ( ) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z (μονάδες ) Μονάδες 8 B. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z, z που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγαδικό αριθμό, β,γ, και τότε να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) Im z Im z = β = και γ = 5 Μονάδες 9 B. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α, α, α οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: ΘΕΜΑ Γ τότε να αποδείξετε ότι: v + α v + α v + α = v < Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: ώστε: ( ) ( ( ) ) ( ) f( ) = και f + f + =, για κάθε g = + ( ) Μονάδες 8, με f παραγωγίσιμη τέτοιες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι: f( ) = +, Γ. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης ( ( )) f g = Μονάδες 9 Μονάδες 8 π Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε: π f() t = f εφ π Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Έστω f: (, + ) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) f() = ( ) ( ) f + 5 f lim = Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση f() t g( ) = t α Να αποδείξετε ότι:, (, ) + και α > Δ. f () = (μονάδες ), καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = (μονάδες ). Μονάδες 6 Δ. η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες ), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο g(u)du > g(u)du (μονάδες 6) Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση f() t α = ( f( α) ) ( α ), > t α ( ) έχει ακριβώς μια λύση. Μονάδες ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

«Η f είναι παραγωγίςιμθ και lim R Α. α. Λ: θ ακτίνα είναι το ρ β. γ. ε. ΘΕΜΑ Β δ.

5 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξθ ςχ. βιβλίου ςελ. 5 Α. Θεώρθμα ςελ. 6 f ( ) f ( ) Α. Οριςμόσ ςελ. «Η f είναι παραγωγίςιμθ και lim R Α. α. Λ: θ ακτίνα είναι το ρ β. γ. ε. ΘΕΜΑ Β δ. Λ: είναι lim ( z )( z ) z Β. (z-)( z ) + z ( z )( z ) z z z z z Θετω z Δ=- (-)=9,,.

6 Οπότε z Ο γεωμετρικόσ τόποσ του z είναι κφκλοσ με κζντρο Κ(,) και ρ= y Ο μιγαδικόσ z του οποίου το z γίνεται μζγιςτο είναι ο z= οπότε z Β. z, z ρίηεσ τθσ w +βw+γ= (Ι) Im( z ) Im( z ) Οι z και z ρίηεσ τθσ (Ι) οπότε z = z άρα αν z = κ+λi τότε z =κ-λi Οπότε ( ) Άρα λ= ι λ=- Ιςχφει ότι z άρα i ( ) ( ) ( ) Άρα κ= Οι z και z είναι: z =+i και z =-i Ιςχφει από Vieta: z z άρα z z ά 5 B. Ζχω v a v a v a a v a v a v v v Άρα v v v v v v ( v ) ( v v ) (χιμα Horner)

7 Ιςχφει ότι: v v Επειδι Δ< Άρα v ΘΕΜΑ Γ Γ. ( f ( ) )( f ( ) ) ( f ( ) ) οπότε ( f ( ) ) C C R f()= οπότε για = ιςχφει: ( f ()) C C ( f ( ) ) Άρα ά ( f ( ) ) Και +> για κάκε f()=- R οπότε f ( ) ή f ( ) ΑΠΟΡ. Γιατί Άρα f ( ) και R Γ. f (g()) οπότε f (g()) f () g() f R Οπότε g '() ( ) - g () g()

8 (, ] g lim g() lim ( ) g( ) g( ) (, ] [, ] οπότε g( ) [, ] g( ) g() [, ) ά g( ) [, ) g() lim g() lim ( ) Ιςχφει ότι g( ) οπότε υπάρχει ώςτε g( ) Επειδι g είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο θ g() ζχει μία ακριβώσ ρίηα. Γ. Θεωρώ ( ) f ( t) f ( ) Για τθ φ Θεώρθμα Bolzano ςτο *, ] Φ ςυνεχισ ςτο *, ] ωσ αλγεβρικό άκροιςμα ςυνεχών ςυναρτιςεων Φ()= f ( t) f ( ) f ( t) Γιατί: f γνησίως φθίνουσα ςτο R

9 t f ( ) f ( t) f () f ( ) f ( t) f ( ) με f ( ) f () 6 Οπότε f ( t) ά f ( t) ό f ( t) 6 ( ) f ( t) f () Άρα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον (, ) τζτοιο ώςτε Φ( )= ΘΕΜΑ Δ Δ. f ( 5) f ( ) Ζχω lim f ( 5) f () lim f () f ( ) lim[ f ( 5) f () f ( ) f ( lim[5 5) 5 f () f ( ) f f () ] () ] Άρα 5. f () f () 6 f () f () f ( 5) f ) f ( ) f () με lim lim f () 5 Θζτω u=5 f ( ) f () f ( t) f () Και lim lim f () t t Θζτω t=- f ()= και f γνθςίωσ αφξουςα ςτο (,+ ) Για το πρόςθμο τθσ f κα ιςχφει:

10 f () - + f() O.E. Δ. g '( ) f ( ),, ύ f ( ) f (), (από Δ θ f ζχει ολικό ελάχιςτο) Άρα g γνθςίωσ αφξουςα. Θεωρώ F ( ) g( u) du, F ί ί g ή Με F '( ) g( ) g( ), ύ g( ) g( ) άρα θ F είναι γνθςίωσ αφξουςα. Ζχω g( u) du g( u) du F(8 5) F( 5) ( ) (,) (, ) Δ. Ζχω g '( ) f ( ) g ''( ) f ( ) [ ]' f '( )( ) [ f ( ) ( ) ] ( ) ( ) με ( ) f '( )( ) [ f ( ) ], Πρζπει () f '( )( ) f ( ) f '( ) f ( ) f ( ) f () Θ.Μ.Σ για τθν f ςτο *, ], άρα υπάρχει (, ) : f '( ) ()

11 άρα πρζπει f '( ) f '( ) θ οποία ιςχφει αφοφ f γνθςίωσ αφξουςα και () f ( ) f () f '( ) f '( ) f '( ) ( ), ά g''( ) g ή (, ) ή Θεωρώ H ( ) ( a ) g( ) [ f ( a) ]( a), H ( a) ( a ) g( a) [ f ( a) ]( a a) ( a ) [ f ( a) ] αφοφ g( a) a a f ( t) t άρα ζχει ρίηα το α. H '( ) ( a ) ) [ f ( a) ], αφοφ g γνθςίωσ αφξουςα και g κυρτι a a) ) f ( a) a ) a f ( a) )( a ) Δθλαδι H '( ), ά H( ) ί ύ [, ). Με a ) a) ) f ( a) a H'( ), ά ( ) γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (, α+, δθλαδι θ () ζχει min ( a) και ( ) ( a), a Επομζνωσ θ =α είναι μοναδικι ρίηα.

Σχετικά έγγραφα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: