DBH 2 MATEMATIKA. erein

Transcript

1 Arantza Egurcegui Irakaslearen gidaliburua - Emaitzak DBH 2 MATEMATIKA erein

2 Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo CEDROra (Centro Español de Derechos Reprográficos, / ). Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2015-IV-29) Euskararen arduraduna: Rosetta Testu Zerbitzuak Azala eta liburuaren diseinua: Iturri Maketazioa: Ipar Azaleko irudia eta ilustrazioak: Ivan Landa Arantza Egurcegui EREIN. Donostia 2015 ISBN: L.G.: SS-954/2015 EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea Donostia T F erein@erein.com Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea Oñati T F gertu@gertu.net

3 Matematika Irakaslearen gidaliburua - Emaitzak dbh 2 Nire ikasleen begi matematikoen argitan matematika ongi komunikatzeko gida gaitasuna, kultura eta artea (matematikaren eta kulturaren, literaturaren eta abarren arteko lotura) Arantza Egurcegui Aintzane Olaetaren lankidetzarekin erein

4 Aurkibidea DBH-rako matematika proiektua... 7 DBH-ko 2. ikasturteko programazioa Unitate bakoitzaren programazioa Emaitzak 0. unitatea. Lehen eta Bigarren Hezkuntzen arteko lotura blokea: aritmetika 1. unitatea. Zenbaki arruntak / Zenbaki osoak unitatea. Zenbaki arrazionalak unitatea. Zenbaki hamartarrak / Ehunekoak blokea: aljebra 1. unitatea. Aljebra unitatea. Ekuazioak unitatea. Ekuazio-sistemak blokea: funtzioak 1. unitatea. Funtzioak unitatea. Funtzio motak blokea: geometria 1. unitatea. Geometria laua unitatea. Irudiak espazioan: sailkapena unitatea. Irudiak espazioan: neurriak blokea: probabilitatea 1. unitatea. Probabilitateak

5 DBH-RAKO MATEMATIKA PROIEKTUA SARRERA AE Sarrera gisa, interesgarria iruditzen zait gure azalpenak ikasleek nola ulertzen dituzten pentsatzea, zenbait irakasle konbentzituta baitaude beraiek asko dakitenez, ikasleek dena ongi ulertu behar dietela, besterik gabe. Egia izan daiteke, askotan, ikasleek ongi ulertu dutela, baina ez dakitela beren gogoeta ongi adierazten, ongi azaltzen, horretarako hiztegia falta dutelako, edo adierazpen egokirik ematen ez dakitelako DBH-1 eta dbh-2 arteko desberdintasunak azaldu baino lehen, gai horri buruz azkeneko ikasturte honetan ikasi duguna azaldu nahiko genioke gida hau irakurtzen duenari, urte honetan, hain zuzen, ahalegin handia egin baitugu ikasleei informazioa komunikatzeko bide egokiak aurkitzen. DBH-ko 2.eko ikasleek badute oraindik jakin-mina eta ikasteko gogoa; badute hobetzeko gaitasuna, aholkuak kontuan hartzen dituzte, beren idazkera matematikoa hobetzen saiatzen dira (ikur bereziak ikasten < [ ] ) eta aitortzen dute matematika tresna ahaltsua dela munduan zehar pentsamenduak komunikatzeko Gure proiektuan azaltzen dugun bezala, matematika transmiti daiteke modu sinboliko batez, eta sinbolo horien bidez (anbulantzia = akats larria; inbutuaren legea = akatsak ez egiteko metodoa; mendi-gailurrera iristeko bide desberdinak = emaitza bera lortzeko bide desberdinak ) kontzeptu matematiko asko ulertzen dituzte. Sinbolo horien bitartez, SINTETIZATZEKO, AUTONOMO IZATEKO, IKASTEN IKAS- TEKO gaitasunak ere lantzen ditugu; dbh-ko 2. ikasturte honetan ere ikasleak ikasketara erakarri eta motibatzen jarraitu behar da. Hau da INFORMAZIOA TRASMITITZERAKOAN DAGOEN MISTERIOA!!! Nola komunikatu irakasleak, nola ulertu ikasleak. DBH-ko 1.an bezala landuko ditugu gaitasunak: Ikasten ikasi. Komunikatzeko gaitasuna, beren pentsamendua adierazten lagunduko dien ahozko eta idatzizko adierazmena lantzeko. Beren ikaskideekin harremanetan jartzeko eta, ahal den neurrian, ikasleei beren zailtasunetan laguntzeko eta beren autoestimua hobetzeko. Beren gizartea eta kulturazko ingurumena ezagutzeko. Teknologia berriak erabiltzeko. Eta DBH-ko 1.an bezala, uste osoa dugu matematikaren bidez lor daitekeela hori dena. Proiektu berri hau egin dugunok garbi ikusten dugu: Metodologian aldaketa sakon bat egin ezean, ezinezkoa dela legeak agintzen duen gaitasunen garapena lortzea. 7

6 Hau da, eskola magistralak emanez oso zaila da ikaslearen autonomia, trebetasun sozialak edo teknologia berriak erabiltzeko trebetasuna eta horrelako gaitasunak lantzea. LANDU BEHAR DIREN GAITASUNAK Legeak esaten duenari jarraituz: Unitate guztietarako gaitasun bateratu batzuk planteatzen ditugu, ikasturte osoan zehar landuz joateko; hona gaitasun horietako batzuk: Hizkuntzazko komunikazioa. Ikasten ikastea. Matematika-gaitasuna. Gaitasun digitala eta soziala (elkarlaneko talde-lanaren bitartez). Autonomia eta ekimen pertsonalerako gaitasuna (okerrak zuzentzea, bakoitzak ikasketa-prozesuko zein unetan dagoen jakitea, hobetzeko erabakiak hartzea Eta unitate jakin batzuetan baizik landuko ez diren beste gaitasun batzuk: Gaitasun artistikoa eta humanistikoa, Geometriako blokean; talde-lanetan, literatura eta matematikako gaietan, esate baterako; historian zehar jaso izan diren edo pertsona ezagun batzuek (Cauchyk, Leonardo da Vincik ) esandako esaldiak aipatzean eta Gizadiaren Historiari dagokion eta matematika-jakintzaren bitartez historia horretan egin diren aurreramendu handiekin hain lotura estua duen Matematikaren Historiaren partean. Gizarte-ingurumenarekiko elkarreragina, funtzioei eta estatistikari dagozkien unitateetan; unitate horietan, izan ere, gaur egungo gizartean guztiz biziak, ezagutu beharrezkoak eta eztabaidatuak diren hainbat gai ukitzen dira: iraunkortasuna, gizon-emakumeen arteko berdintasuna, ekologia, inmigrazioa, pirateria digitala, ekonomia GAITASUNAK NOLA LANDU Gaitasunak lantzeko prozesua sakontzeko ahalegin honetan gaitasun horiek garatzeko gure proiektuak egiaz zer ekarpen egiten duen zehaztea izango da hurrengo puntua. Gaitasuna: MATEMATIKA Matematikako material askotan, alderdi teorikoaren azalpenaren ondoren ez da agertzen ariketa berezirik alderdi teoriko hori lantzeko. Horregatik, modu mekaniko samarrean ikasten dute ikasle askok matematikaren alderdi hori, kontzeptuzko alderdia. Proiektu honetan hainbat ariketa eskaintzen ditugu ikasleek arrazoitu dezaten, ezaugarrien frogantza xume batzuk egin ditzaten; egiaztatzearen eta frogatzearen arteko desberdintasuna uler dezaten; egia/gezurra gisako ariketak, hutsegiteak harrapatzeko, beren ideiak arrazoitzeko (eta aldi berean hizkuntza-gaitasuna, idatzizko eta ahozko adierazmena lantzeko). Kontzeptuak lantzen ari gara. 8

7 Horrez gainera, ikasleak matematika egiteko moduak hobeto eta barrenagotik ezagutzeko lehenengo urratsak egiten hasiko gara ikasturte honetan. Ikasle askok ohitura dute propietate bat betetzen den adibideak jarri eta horrenbestez propietate hori frogatzat emateko. Konbentzituta gaude komeni dela ikasleei matematikaren zorroztasuna transmititzen hastea, ezaugarriak frogatzea zein lan zaila izan den eta oraindik ere zein zaila den ikusaraztea. Frogatzea helburu batera iristeko urrats-segida bat egitea delako ideia sartu behar zaie. Matematika-gaitasuna garatzeko lantzen diren beste alderdi batzuk arau orokorrak zehazteari dagozkio: saiakuntza-errakuntza gisako estrategiak, kontaketa sistematikoak (zuhaitz-diagramak, taulak, konbinatoriahastapenak), probabilitateen intuiziozko zentzua (Laplaceren hurbilketa: aldeko kasuak/izan daitezkeen kasuak), logika matematikoa (Venn-en diagramak, A eta B; A edo B ). Eta, baita unitateko edukiei dagozkien problemak ebaztea ere; ebazketa horretan lantzen dira prozesuaren adierazpena, algoritmoen erabilera, soluzioari buruzko gogoeta (egokia da?, egokiak dira unitateak?, betetzen ditu azalpenaren baldintzak?). Gaitasuna: HIZKUNTZAZKO KOMUNIKAZIOA Matematika hizkuntza berezi bat da, hiztegi berezi bat erabiltzen du, eta, hizkuntza eta hiztegi hori erabiliz, ideia asko orokortu eta formulatu ditzakegu. Eginkizun horretarako ezinbestekoa da aljebraren ekarpena. Proiektu honetan, komunikazio-trebezia batzuk lantzen dituzten estrategia batzuk bultzatuz, ikasleen hizkuntzazko komunikazio-gaitasuna hobetzen lagundu diezaguketen jarduera batzuk ere sartu ditugu: ZUZEN / OKER ariketak. Problemak ebazteko lanean egindako prozesua hitzez azaltzea eta justifikatzea. Osatzeko eta ordenatzeko emandako esaldietako sintesi-jarduera. Landutako kontzeptuak sakontzeko eta, batez ere, ikaskideek adierazitako arrazoibideak entzuteko jarduerak. Gaitasuna: ZIENTZIA ETA TEKNOLOGIARI BURUZKO KULTURA Funtzioei eta estatistikari dagozkien gaietan, gure gizarte-egoerari dagozkion zenbait gai aztertuko ditugu: ekonomia, iraunkortasuna, politikari buruzko inkestak, trafikoko arau-hausteak, antropologia, gizon-emakumeen arteko berdintasuna eta abar. Gaitasuna: IKASTEN IKASI Matematikan ere, gainerako alor guztietan bezala, agertzen diren gauza berrien aurrean galderak egiten jakiteari loturik doa gaitasun hau. Ikasleak irakasleak egiten dizkion galderei erantzuten die normalean. Eduki berriak agertzen direnean, galdera horiek ikasleek berek egiten irakastea da, ordea, gure eginkizuna. Ohitura hartu behar dute ezagutzen ez duten gai bati ekin behar diotenean honelako galderak egiteko: zer da?, zertarako da?, nola egiten da?, zein urratsetan nago? Proiektu honetan, kontzeptu berriak sartzen direnean, galdera-ikurrak jartzen dira, NOLA, ZER, ZERGATIK, NON GAUDE, ZERTARAKO hitzekin. Gaitasun honi dagokionez, garrantzi handia duen beste alderdi bat erlazio-mailena da. Matematikan lantzen diren blokeak elkarren artean loturarik gabeak ez baina elkarrekin oso lotuak direla ulertzea, alegia. Aritmetika aljebraren, funtzioen eta geometriaren oinarria da, adibidez. Aritmetika menderatzen badugu, errazago aurkituko ditugu Aljebran agertzen diren balio ezezagunak eta errazago ulertuko dugu funtzioen adie- 9

8 razpena. Funtzioetan grafiko bat nola adierazten den ulertzen badugu, estatistikan agertzen diren grafikoak egiten eta interpretatzen ere jakingo dugu Era berean, blokeen arteko erlazioak ez ezik, unitate bakoitzean lantzen diren edukien artekoak ere oso garbi geratzen dira sintesi-ariketetan. Kontzeptu-mapatxo batzuk eginez (hasieran oso gidatuak), hutsuneak dituzten esaldiak osatuz landutakoa, ikasketa ulermenean oinarrituagoa izan dadin eta ikasitakoa berehala ahaztu ez dadin lagunduko diguten loturez eta erlazioez lotuta gera dadin ahalegintzen gara. Hau da, ikasi diren edukiak berehala ahaztea gerta daitekeen arren, ez dadila gauza bera gerta ikasitakoa ulertzeko galderak egiteko moduari dagokionez. Ikasleak bere ikasketa erregulatzeko gaitasuna hobetzeko modu bat da, meta ezagutza bat. Ikasten ikasteari dagokion kapitulu honen barruan, interesgarria iruditu zaigu 0. unitate bat sartzea. Iruditzen zaigu Lehen Hezkuntzan landutako edukiak eta ikasle berriek dakarten maila jakin gabe hasten ditugula irakasle gehienok Bigarren Hezkuntzako eskolak. Ikasleak, berriz, zer aurkituko duten kezkaturik eta izango diren aldaketen beldur pixka batez iristen dira ikasturte berrira. 0. UNITATE horren helburua ikasleek Lehen Hezkuntzan landutakoa gogoratzea eta Bigarren Hezkuntzaren ezaugarria eta bien arteko aldeak azaltzea da. Eduki-blokeen arteko lotura, adibidez, edo prozesuak edo ideiak hitzez adieraztea, orokortzen ikastea, frogantza txiki batzuk egitea. Unitate honen bitartez ikasleek zer prestakuntza duten jakiteko aukera izango du (hasierako ebaluazioa) irakasleak, eta ikasleei konfiantza izaten lagunduko die, kontzeptu asko lehendik ezagunak dituztela jakinaraziko die, eta gauza berrien beldurra neurri handi batean kentzen lagunduko die. Algoritmo gisako edukien garapenari dagokionez eragiketak, hierarkia, ekuazioen ebazpena, grafikoak egitea, neurriak kalkulatzea, oinarrizko orientabide batzuk sartu ditugu, emaitza ateratzeko egin behar diren urratsak zehaztuz. Testuan bete beharreko errezeta baten moduan agertzen dira algoritmoak; beti azaltzen da, hala ere, zergatik egin daitekeen (ekuazio batean izendatzaileak kentzea, adibidez), zertarako egiten den (adierazpena sinplifikatzeko, adibidez). Algoritmoak ez daitezela egiteagatik egitekoak izan. Hemen jar daitezke bi pertsonaia, LOGIKO JAUNA, zertarako, zergatik egin dezaket eta gisako galderak egiten dituena, eta PRAKTIKO JAUNA, nola esan zer pauso egin behar dudan eta ez dut denbora gehiegi igaroko pentsatzen, soluzioa da nik behar dudana, esaten duena (ideia metodologikoak). Ikasten ikasteko gaitasun hau lantzerakoan garrantzizkoa dirudien beste alderdi bat helburu didaktikoen aurkezpena da: gidoi soil bat da, baina komentatu egin behar da, eta batzuetan ikasi ere bai, gidoi bera errepikatzen baita beste unitate batzuetan. Aritmetikako unitate guztietan, esate baterako, oso antzekoa da gidoia (zein dira zenbaki osoak, nola sortzen dira, zertarako balio dute, nola adierazten dira, nola egiten dira eragiketak, zer propietate dituzte) eta zer landu behar dugun jakiten lagunduko digu. Alegia, HELBURU DI- DAKTIKOAK ZEHAZTEA garrantzi handiko puntua da gaitasun hau garatzeko. Ez da hasi behar unitate berririk unitate hori aurkeztu gabe. Gaitasuna: GAITASUN DIGITALA ETA INFORMAZIOAREN ERABILERA Beste alde batetik, elkarlanaren eta beste jarduera batzuen bidez, informatikako zenbait programa eta bestelako tresna erabiliko ditugu egindako lanak jendaurrean azaltzeko eta beste zenbait gairi buruz informazioa biltzeko: Matematika eta zinema (Oxfordeko krimenak, Fermaten gela...). Matematika eta literatura (Zenbaki lehenen bakardadea, Zenbaki bikoitiak, bakoitiak eta ergelak, Alizia lurralde harrigarrian, Numerati, Urrezko proportzioa ). Pertsonaia ospetsuek matematikari buruz duten iritzia (Camus, Einstein, Shakespeare, Cauchy, San Jeronimo ). 10

9 Gaitasuna: KULTURA ETA ARTEA Geometria lantzen denean, matematikaren eta formen munduaren artean, matematikaren eta estetikaren artean dagoen lotura aztertzen da, harekin batera. Horrez gainera, gure lanean beti izango da lekutxo bat Matematikaren historia ere ikasteko, gure kultura orokorraren garrantzi handiko zati bat denez. Garrantzitsua iruditzen zaigu, orobat, logikoak, segidakoak, ordenatuak iruditzen zaizkigunak esperimentu eta orokortze bidezko garapen bati esker direla ulertzen lagunduko diguten ikerketa prozesutxo batzuetan murgiltzea. Eta garrantzitsua iruditzen zaigu geometria, aritmetika eta aljebra elkarrengandik bereizita dauden munduak ez baina elkarrekin oso lotuta dauden munduak direla ulertzea. Gaitasuna: SOZIALA ETA HERRITAR GAITASUNA Metodologia honen bitartez lege berrian ikaskideekiko begiruneari, haien iritzia aintzat hartzen jakiteari, guztien helburua lortzeko haiei garrantzia aitortzeari, elkarlanean idazkari-eginkizuna esleitzen diegunean, adibidez, haien gaitasunaz fidatzeari buruz aipatzen diren jarrerei dagozkien eduki komunak ere landuko ditugu. Gure proiektu honetan, unitate guztietan agertzen da elkarlanean egin behar den jardueraren bat. Ikasleak lan hori aurrera eramateko erantzukizuna izan behar du, eta komunikazioa (hizkuntza-gaitasuna) eta informatikarako trebezia (gaitasun digitala) lantzeko aukera izango du jarduera horietan. Gaitasuna: AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Gaitasun honen garapena horretarako erabiliko den materialaren metodologiaren mende dago gehienbat, gure iritzian. Gure proiektu honek, ongi landuz gero, gure ikasleen etorkizunerako hain garrantzitsua den gaitasun hau lantzen lagundu diezaguketen ariketa asko proposatzen ditu. Akatsak atzematea izan daiteke, adibidez, ikasleak bere hutsegiteak ezagutzen eta hartu behar dituen erabakiak hartzen lagundu dezakeen ariketa bat (ariketa gehiago egin behar dut?; ongi ikasi dut ikasi dudana?; lan gehiago egin behar dut?). Baina, batez ere, AUTOEBALUAZIO-kapitulu batzuk proposatzen ditugu horretarako, dagozkien EBALUAZIO IRIZPIDEEKIN. Proba horiek behar bezala lantzen baldin baditugu (horiek dira, izan ere, ikasleak unitate bakoitzeko helburuetara iritsi diren ala ez jakiteko planteatuko genizkienak), ikasleak ongi jakingo du bere ikasketa-prozesuko zein puntutan dagoen eta, hala, gai izango da bere burua erregulatzeko eta erabakiak hartzeko. Garrantzi handiko gauza iruditzen zaigu irakasleak ikaslearekin hark lortu dituen emaitzak komentatzea eta emaitza horiek hobetzeko negoziaketa bat (lan-kontratua) proposatzea. Beste alde batetik, autoebaluazioak eta ebaluazio-irizpideek oso lotura estua dute IKASTEN IKASI gaiarekin; geroago ukituko dugu sakonago gai hori. Testuan maila desberdinetako ariketak sartu ditugu, batzuk oinarrizkoak, beste batzuk sakontzekoak, hala, ikasleek, helburuetara zenbateraino iritsi diren kontuan hartuta, dagokien unean landu ahal izan ditzaten. 11

10 DBH-KO 2. IKASTURTEKO PROGRAMAZIOA SARRERA DBH-1en eta DBH-2ren arteko alde handiak eta DBH-2ren ezaugarriak azaltzen hasi baino lehen, DBH-2ko nire ikasleei buruz egin ditudan azkeneko aurkikuntzak adierazi nahi nituzke ikasturte honetan 6 ikastordu (denak DBH-2koak) eman behar ziren irakasle lanpostu bat hartzeko aukera izan nuen, eta nire baitarako pentsatu nuen: Hauxe aukera bikaina gure proiektu honetan transmititu nahi duguna gauzatzeko, eta zinez esaten dizuet asko ikasi dudala komunikatzeko moduez, pazientziaz eta gogo beroz transmititu behar dela informazioa eta jakintza Eta ikasle askok jakinmin handia dutela, ikasi-nahi handia dutela, hobetzeko irrika dutela, prest daudela matematikak adierazpide unibertsal gisa duten gaitasun eta ahalmen handia ulertzeko Ikasleek garbi ikusi dute matematikan garrantzi handia duten kontzeptu asko ezkutatzen direla jakintza adierazteko modu teatral eta sinboliko samar horren atzean: Anbulantziak adierazten du ongi bereizi behar direla AKATS LARRIA eta akats arina (AUTONOMIA, IKASTEN IKASTEA). Akats larriak. Ariketa batean ari garela, anbulantzia datorrela, arta intentsiboko gunean daudela esaten badugu garrantzi handia duen akats bat egin dutela esan nahi du. Akats arinak. Betaurreko batzuez sinbolizatzen dira: zeinu bat ez dela ongi kopiatu, lerro batetik hurrengora igarotzerakoan, x ezezagun bat ahaztu dela esan nahi du. Oso motibatuta dagoen ikasle batek esaten zuen bezala: Irakasle hau munduko anbulantzia-gidaririk onena da.? x 5 3? x 2 x 2 3 = 5 Akats arinik ez egiteko, asko laguntzen du INBUTUAREN araua erabiltzeak (proiektu honen sortzaileek asmatutako araua da): hau da, zatikien edo ekuazioen algoritmoak idazten baditugu, adibidez, askoz ere errazago aurkitzen ditu ikasleak berak egin dituen akatsak, prozesu osoaren nondik norakoak askoz ere garbiago ikusten dituelako. 5 3 (2 5) 5 (1 6) = 5 3 ( 3) 5 ( 5) = = ` - 4 j $ + - = ` j $ + - = $ = = = =

11 Erabiltzen ditugun metaforak (ikasketako garrantzi handiko alderdiak azaltzeko erabil ditzakegun sinboloak) azaltzen jarraituko dugu. Zenbakien arteko ARRAZAKERIA: Nelson Mandela: Hezkuntza da mundua aldatzeko armarik ahaltsuena. Eta era guztietako arrazakeriaren kontrako zer ikasi handiak eman zituen: Zenbaki guztiak dira onak. Ekuazio baten soluzioa, x = 2 (oso ondo!!!); beste batena, x = 11/8 (hura bezain ona!) a = 2 ere soluzio ona da). Oso motibatuta dagoen ikasle baten iritzia: Aurten bakeak egin ditut zatikiekin: soluzioa zatiki bat dela ateratzen bazaio ere, ondo egon daitekeela iruditzen zaio. Mendi batean bide asko soluzio berera iristeko: EMAITZA BERA ATERATZEKO MODU DESBERDINAK bide bakoitzak bere saria edo nota du batzuetan bide guztiak ezagutu behar dira: Saiatzea, ahalegintzea batzuetan biderik egokiena aukeratu behar da Autonomia batzuetan iritsi daiteke emaitzara tranpak eginez (Everest gailurrera helikopteroz iristea bezala; haraino iritsi arren, ez da ahaleginik egin) Esanahia: hutsegiteak onartu Askotan bidea askoz ere interesgarriagoa da soluzioa baino: Badakit Bide Bakoitzak merito desberdina duela. Esanahia: prozesua adierazteak duen garrantzia; hizkuntz gaitasuna. 2x 2 50 = 0 13

12 LEGEAK ESATEN DUENAZ HITZ EGIN AURRETIK AIPATUKO DITUGU IKASTURTE HONETAN GURE IKASLEEK ULERTU DUTEN GAUZA BITXI BATZUK, HAIEN PENTSATZEKO ERA NIRE IKASLEEN PENTSAMENDUAK, IRITZIAK, AURKIKUNTZAK SINTESIA egiteko (IKASI IKASTEN gaitasuna) kurtso honetan lantzen diren blokeak azaldu behar dira: ARITMETIKA, ALJEBRA, GEOMETRIA, FUNTZIOAK, ESTATISTIKA eta bloke bakoitza nondik nora doan Ideia orokorrak Ikasle baten erantzuna: Aurten landuko dugu Arit alj geo funtzi eta ESTETIKA! ESTATISTIKA Zer dakizu ESTATISTIKAri buruz? Orain ezer ez, orain ez dut gogoratzen ezer. Nola laburtzen ditugu ESTATISTIKAn agertzen diren datuak? (erantzun zuzena: taulak, grafikoak eta neurriak erabiliz) ikasle baten erantzuna INBUTUAREN legea erabiliz. (Entzun duen informazio guztia korapilatuta du ikasle honek!!!) ZER DA ALJEBRA? Zenbaki MUTUEN mundua (zenbaki ezezagunen arloa) Zertarako balio dute ekuazioek? Dena hobeto egiteko. Zertarako balio du Matematikak? Ogia erosteko, dirua kontatzeko, zorrak ordaintzeko, eta APROBATZEKO noski! (Ikasle batzuek beti ikusten dute alde praktikoa!) Matematika hizkuntza unibertsala denez saiatu ginen azaltzen matematikako ikurren garrantzia, adibidez: Ikasle baten interpretazioa: ZERTARAKO balio du matematikak? Munduan dauden pertsonekin hitz egin ahal izateko! TEKNOLOGIA BERRIEI BURUZ Teknologi berriak erabili behar dira ekuazioak, erroketak, zatikiak ondo idazteko ordenagailuz bidaltzeko. DRIVE, MOODLE plataforma erabiliz GEOGEBRA erabiliz Arbel digitala erabiltzen dugu Irakaslea: EKUAZIO EDITOREA erabili behar duzue. zer ote zerabilen buruan ikasle horrek!!! oporretako editorea erabili dut. a 14

13 Geometria lantzen arbel digitalean: ikasleek perimetroak, azalerak eta bolumenak topatzeko formulak idatzi behar dituzte eta Nola ez, ikasle batzuek ASMATU egiten dituzte formulak: IKASLEEK FORMULA ASMATZAILEAK! π zenbakia agertzen diren formulekin arazoak dituzte, batzuetan P (perimetroa) jartzen du formula batean eta ikasleek π jartzen dute, edo π jarri beharrean, A zirkunferentzia = PI r 2 jartzen dute. Edo π zenbakia ahazten dute: A = 4 r Eta, nola ez bada! beti azaldu behar PI-ren BIZITZA. *ARTE GAITASUNA, HUMANISTIKA (kultura eta matematika lotu!!!) FROGANTZAREN GARRANTZIA MATEMATIKAN! Matematikan dauden teoremak dena FROGATUTA DAGO! Ez daude hutsetik asmatuta. Gauza guztiek dute beren arrazoia, froga Ikasleek ulertu dutena: Matematikan gauzak ez dira sinistu behar; denak du bere sintesia bere algoritmoa bere hausnarketa bere errezeta (algoritmoak eta errezetak konparatu genituenez!) bere soluzioa dena FroGatuta dago Honi buruz, beste iritzi batzuk ere aipatu behar ditut: ALJEBRA lantzen dugunean 2. mailako ekuazioen emaitzak topatzeko erabiltzen dugun formula: Prozesu batetik ateratzen dela azaltzen diegu, eta, une honetan (DBH-ko 2. ikasturtean), prozesu hori ulertzen erraza ez denez, ikasi egin behar dute eta hurrengo ikasturteetan hobeto ulertuko dute (ez dugu guk asmatu formula miragarri hau!) Galdera: Nondik dator formula hau? 15

14 Ikasleen eratzunak: Prozesu luuuuze batetik (prozesua erraza ez zela entzun eta entzun ondoren, prozesu luzea izan behar zuela iruditu zaio ikasle honi!) Formula Nola sortu zen? Ikasle batzuen erantzunak: Neska batek asmatu zuen formula bat da (ikasle honi xehetasun bat baizik ez zaio geratu buruan: beharbada Indiako emakume zientzialari bat, BIJAGANITA, izan zela formula hori asmatu zuena). ax 2 + bx + c = 0 x? formula? Binomio perfektua (x + 5) 2 = x x x x + 49 = (x + 7) 2 Zientzialari batek deskubritu zuen (ikasle honek uste du Kristobal Kolonek Amerika aurkitu zuen bezala aurkitzen direla formulak). DBH-ko 2. ikasturteko ikasleak badira ere, ulertu behar dute matematikan formulak, teoremak, FROGATU egin behar direla Nik metafora batez azaltzen diet: Altxor batera iristeko bide berri bat aurkitzeko, ahalegin handiak egin izan dituzte abenturazale askok, eta, gero, mundu osoari erakusten diote aurkitutako altxorra. Bide nekagarri hori (frogaren bidea) batzuetan badakigu, ezagutzen dugu, ulertu ere ulertzen dugu batzuetan baina beti dakigu badela bide bat altxor miragarri hori aurkitzera eraman duena. 16

15 Matematikarientzat, gure lanean hainbeste laguntzen diguten formulak, teoremak izan daitezke. Eta hau dena azaldu ondoren HITZ EGINGO DUGU UNITATEAZ: DBH-ko 1.an egiten genuen bezala, DBH-ko 2.an ere une bakoitzean eta unitate bakoitzean zer gaitasun lantzen den zehazteko eta jakinaren gainean egoteko, jarraibide batzuk hartuko ditugu: 1. Oinarrizko gaitasunak kolore batez ezaugarrituko ditugu, hala errazago nabarmentzeko eta ezagutzeko. 2. Zehazki analizatuko ditugu gure ikasgaiari dagozkion gaitasun orokorrak, oinarrizko gaitasunekin zer lotura duten ikusteko. 3. Unitate bakoitzari dagokion programazioa baino lehen adierazle bat jarriko dugu unitate horretan bereziki zein gaitasun landuko diren erakusteko. OINARRIZKO GAITASUNAK Matematikak ikasleari ondoren zehazten diren oinarrizko gaitasun hauek bereganatzen eta garatzen lagundu behar dio. B 1 MATEMATIKA GAITASUNA B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA IKASTEN IKASTEA INFORMAZIOAREN ERABILERA ETA GAITASUN DIGITALA GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTE GAITASUNA GAITASUN SOZIALA ETA HERRITAR GAITASUNA AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Ikusten den bezala, gaitasun bakoitza letra batez eta zenbaki beheratu batez izendatu dugu, hala oinarrizko gaitasunen eta gaitasun orokorren arteko loturak bistarako errazteko asmoz. 17

16 GAITASUN OROKORRAK B 7 - GAITASUN SOZIALA ETA HERRITAR GAITASUNA B 8 - AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA B 1 - MATEMATIKA GAITASUNA 1. Eguneroko bizitzatik, beste zientzia batzuetatik edo matematikatik bertatik hartutako problemak, banaka edo taldean, planteatzea eta ebaztea, eta horretarako estrategiak aukeratzea eta erabiltzea, ebazpen-prozesua arrazoitzea, emaitzak interpretatzea eta egoera berrietan aplikatzea, gizarte-munduan eraginkortasunez jokatzeko. 2. Bai gizartean (berriak, iritziak, publizitatea ) bai zientziaren munduan erabiltzen diren elementu matematikoak (zenbakiak, datu estatistikoak, planoak, kalkuluak, irudiak, zoria eta abar) ezagutzea, elkarrekin erlazionatzea, deskribatzea eta irudikatzea, horretarako horietako bakoitzak betetzen dituen eginkizunak kritikoki aztertuz, era horretan, jasotzen diren mezuak eta informazioak hobeto ulertu eta erabiltzeko. 3. Matematikako hizkera eta adierazpena (zenbakiak, grafikoak, irudiak, ohiko nomenklaturak, eta abar ) autonomiaz eta sormenez erabiltzea, nork bere pentsamendua garbi eta koherentziaz zehazteko, horretarako baliabide teknologikorik egokienez baliatuz. 4. Aurrez emandako informazio batean edo ingurutik hartutako elementuren batean oinarrituta, gauzak, egoera matematikoak, espazioko konposizioak eta taxukerak irudikatzea, mundu fisikoa ulertzeko eta analizatzeko behar diren geometriazko ezaguerak aplikatuz. 5.Estimazioak eta kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, aljebraikoak, eta abar ) segurtasunez eta konfiantzaz egitea, egoera bakoitzerako hobekien egokitzen diren prozedurak erabiliz (buruzko kalkulua, idatzizkoa, kalkulagailua, ordenagailua ) eguneroko bizitzako egoerak interpretatu eta baloratzeko, kasu bakoitzean prozedura horiek erabiltzeak izan ditzakeen abantailak neurtuz eta emaitzak sistematikoki berrikusiz. B 3 - ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA B 4 - IKASTEN IKASTEA B 6 - GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTE GAITASUNA B 5 - INFORMAZIOAREN ERABILERA ETA GAITASUN DIGITALA

17 B 1 - MATEMATIKA GAITASUNA B 7 - GAITASUN SOZIALA ETA HERRITAR GAITASUNA B 8 - AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA 6. Arrazoitzea eta argudiatzea, beren emaitzak eta ondorioak justifikatzeko eta aurkezteko balio dieten arrazoi eta justifikazio sendoak osatuz. Beste argudio batzuk kritikatzea, gezurtatzea edo egoera berrietara aplikatzea. 7.Baliabide teknologiko eta komunikaziozko berriak (kalkulagailuak, ordenagailuak eta abar) egoki erabiltzea bai kalkuluetan, bai era bateko edo besteko informazioa bilatzeko, lantzeko eta irudikatzeko, eta matematika-ikasketarako, orobat. 8. Matematika-jarduerako ezaguerak eta moduak (dauden aukeren azterketa sistematikoa, hizkuntzaren zehaztasuna, malgutasuna eta jarraikitasuna) bestelako alorretan ere eskuratzen ari diren jakintzarako ere baliatzea, problemak sormenez, analisi bidez eta kritikoki ebazteko. 9. Matematika gure kulturaren osagai gisa aintzat hartzea, bai historiaren ikuspegitik, bai gaur egungo gizartean duen paperaren ikuspegirik ere, eta lortu den matematika-gaitasunaz kulturaaniztasuna, ingurumenaren errespetua, osasuna, kontsumoa, sexu-berdintasuna, bakezko elkarbizitza eta gisako fenomeno sozialak aztertzeko eta balioesteko baliatzea. 10. Problemen ebazpenari dagokionez jarrera positiboa izatea eta problemei aurre egiteko gai direla seguru egotea B 3 - ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA B 4 - IKASTEN IKASTEA B 6 - GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTE GAITASUNA B 5 - INFORMAZIOAREN ERABILERA ETA GAITASUN DIGITALA Hau da: gaitasun orokorrak lortzeko nola ez! oinarrizko gaitasunak lantzen lortuko dugu.

18 EDUKI BLOKEEI BURUZKO ARGIBIDEAK Banan-banan azalduko ditugu bloke bakoitzaren ezaugarriak. Kontuan hartu behar dugu DBH-ko 1.an lantzen diren blokeak: ARITMETIKA, ALJEBRA, GEOMETRIA ETA FUNTZIOAK DBH-ko 2.an berriro landuko ditugula eta aurten sakonduko ditugula. DBH-ko 1.an lantzen den ESTATISTIKA DBH-ko 2.ean ez da lantzen eta, horren ordez, PROBABILITATEAK landuko ditugu. EDUKI KOMUNAK Gure proiektu honetako eduki komunen blokearen azalpena eskainiko dugu lehendabizi. Badakizuen bezala, legeak problema-ebazpena, jarrerak, teknologia berrien erabilera aipatzen diren eduki batzuk landu behar direla zehazten du, besteren artean. Problema-ebazpena. Unitate bakoitzean proposatzen direnez gainera, talde-lanean lantzeko problema batzuk proposatzen dira bukaeran; lan modu horretan kideen iritziari zor zaion begirunea, lana denen artean egiteko erantzukizuna, autoestimua (lantaldean aintzat hartua izatea, egindako lanaren poza) eta gisako jarrerak lantzen dira. Lan horietan problemak ebazteko balia ditzaketen metodoak aberasteko estrategia orokorrak agertzen dira: saiakuntza-errakuntza, kalkulagailua zuzen erabiltzea, arau orokorrak ondorioztatzea, zenbaketa sistematikoa, probabilitate-kontzeptuaren hastapenak, Venn-en diagramak problema logikoetan, hitzezko adierazpena marrazki geometrikoak adierazteko, zenbait pertsonaia famatuk matematikari buruz izan dituzten ikuspegiak ezagutzea. Problema horien azalpenak, horietarako informazio-bilketa, ordenagailuaren erabilera Informazioaren Teknologia Berriak erabiliz egiteko moduan planteatzen dira, arauak, ezaugarriak ikertuz, kalkulagailua erabiliz. Jarrerei dagokien ikuspegiak lotura zuzena du, noski, metodologiarekin. Garbi dago gogoetaren bidez, sintesiak sistematizatuz, akatsak atzemanez, helburu didaktikoak zehaztuz, ikasle guztiak joango direla jarrerei dagozkien helburuak lortzen, inplikazio estuagoa hartuko baitute beren ikasketa-prozesuan. KONTUAN HARTU BEHAR DUGU, OROBAT, DBH-KO 2.EAN ESTATU MAILAN OLINPIADA MATE- MATIKOAK AURKEZTEN DIRELA ETA HEMEN ESKATZEN DIREN EDUKIAK GUK BLOKE HONETAN LANTZEN DITUGUN ARIKETEN ANTZEKOAK DIRELA. ESKAERA MOTA HONEK ESATEN DIGU PRO- BLEMA MOTA HAUEK LANDUZ BIDE ONETIK GOAZELA ETA IA-IA GURE IKASLE GUZTIAK PRESTA- TUTA EGONGO DIRELA HORRELAKO FROGAK EGITERAKOAN EMAITZAK ONA ATERATZEKO. 1. BLOKEA: ARITMETIKA DBH-ko 1.ean ZENBAKI arruntekin, osoekin, zatikiekin eta dezimaldunekin eragiketak egin genituen. DBH-ko 2.ean are gehiago landuko ditugu. Eragiketa hauek ondo egiteko, ondo ulertu behar dira propietateak (trukakortasuna, elkartze-legea eta banatze-legea) eta eragiketen lehentasuna edo hierarkia ondo erabili. 20

19 DBH-ko 1.an BERREKETEN propietateak landu eta frogatu genituen, baina berretzailea positiboa zenean bakarrik. Eta DBH-ko 2.ean hori dena sakondu eta berretzaile negatiboa duten berreketak ere landuko ditugu: 2 3 zenbat da? Ikasleei asko kostatzen zaie ulertzea = zatiki bat dela. Horregatik propietate honen FROGA ULERTU ETA IKASI behar dute = = = c.q.d edo f, n, g (frogatu nahi genuenez) Ariketak egingo ditugu zenbaki osoekin eta berreketekin, era horretan ikasleek ondo bereiz ditzaten. ( 3) 2 eta 3 2 adibidez ( 2) 3 + (3) 2 Ariketa horietan zenbaki osoak eta zatikiak agertzen direnez, haien arteko eragiketak ere nahasten dira, eta lan aberasgarria da. DBH-ko 1.an ERROKETEN esanahia ere aztertu genuen, eta DBH-ko 2.ean edozein errotzaile duen erroketak landuko ditugu. Kontzeptu hau oso ondo ulertu behar dute: k k x = y, y = x ERROKETA BERREKETAREN AURKAKO ERAGIKETA DA DBH-ko 1. ikasturtean ZATIGARRITASUNA landu genuen eta DBH-ko 2.ean sakonduko egingo dugu, AL- GORITMOAK berrikusiz eta, batez ere, buruketak hobeto eginez. Kontuan hartu behar dugu ikasleei multiploak eta zatitzaileak bereiztea asko kostatzen zaiela. 2. BLOKEA: ALJEBRA DBH-ko 1. ikasturtetik DBH-ko 2.erako jauzia oso handia da bloke honetan (alde handia, oso nabarmena ). DBH-ko lehenengoan balio ezezagunak adierazteko letren mundu abstraktuaz baliatzen ikasi genuen. Ahozko hizkuntzaz baliatuz adierazten den informazioa aljebrako hizkuntzara itzultzeko lehenengo urratsak egin genituen, eta 1. mailako ekuazio errazak ebazten ere ikasi genuen. DBH-ko 2. ikasturte honetan askoz ere adierazpen konplexuagoak erabiliko ditugu (polinomioak) eta biderkadura nabarmenez baliatzen eta polinomioak deskonposatzen ere ikasiko dugu. Aljebrako bloke honetan, matematikarako gaitasun mugatuagoa duten zenbait ikaslek zentzurik batere ez duen letrazko mundu abstraktu bat baizik ez dute ikusten, eta mekanikoki egiten dituzte gauzak, halaxe egitera beharturik daudelako. Proiektu honetan ahalegin guztiak egiten ditugu aditzera emateko eta ulertarazteko aljebraren mundu hau ezinbestekoa dela bizitzako alor askotako eta zientziaren eremu askotako egoera askoren irtenbideak aurkitzeko. 21

20 DBH-ko 2. ikasturte honetan beste ikasle batzuek berentzat zentzu berezi bat duen matematikaren beste alor bat aurkitzen dute, eta horregatik gertatzen da, beharbada, orain arte aparteko emaitzarik eta arrakastarik lortu ez duten zenbait ikasle motibatzen eta animatzen hasten direla, eta oso emaitza onak lortzen dituztela. Ekuazioei dagokienez, parentesiak eta izendatzaileak dituzten lehen mailako ekuazioak hobeto menderatzen hasiko gara, eta 2. mailako ekuazioak ebazten ikasiko dugu, magiazko formula aplikatuz. Formula horrek bere froga baduela aditzera ematen saiatuko gara; formula hori hurrengo ikasturteetan aztertuko da. Hori dena apustu handia da gure proiektuan eta gure ikasleen ikasketa-prozesuan: eduki batzuk oraingoz landu behar ez baditugu ere, badakigu eduki horiek badirela eta hurrengo ikasturteetan aztertuko ditugula. Ikuspegi hori metafora honen bidez adieraz daiteke: Marte planeta existitzen da? BAI, EXISTITZEN DA. Ezagutzen duzu? Ez, ez dugu ezagutzen. Formula honen frogarik badago? BAI, BADAGO. Ezagutzen dugu? EZ, matematikako prozesuak hobeto dakizkigunean frogatuko dugu. DBH-ko 2. ikasturte honetan ekuazio-sistema errazak ere landuko ditugu: ekuazio-sistemaren kontzeptua ulertzen ahaleginduko gara, soluzio kopuruaren kontzeptua ere bai. X = 3 soluzio bakar bat da. Soluzio hori izaki bitxi batekin alderatuko dugu: Y = 1, bi buru dituen munstro bat. BI BALIO DITUEN SOLUZIO BAT!!! Soluzio hori oso bizkor ulertzen dute ekuazio-sistema baten esanahiaz ari garenean: Eguneroko bizitzako egoera: urtebetetze-jai bat zenbat lagun? (x ezezaguna) zenbat pastel bakoitzarentzat? (y ezezaguna) Ikasturte honetan aztertuko ditugun metodoak oinarri-oinarrizkoak dira hurrengo ikastaroetarako (laburtzea, ordezkatzea, berdintzea eta grafikoa), eta metodo horietako bakoitza zertan datzan hitzez adierazten ikas dezaten saiatuko gara (hizkuntz gaitasuna). Ikasle bakoitzak bere autonomia eta zentzu kritikoa landu ditzan, kasu bakoitzerako metodorik egokiena zein den ikasleak berak aukeratu beharko duen ariketak egingo ditugu. Eta, noski! aljebraren azken helburua betiere problemak ebaztea denez, eta ikasle asko problemen adierazpenarekin nahasten direnez, zenbakiak, adinak, geometria, egoera arruntak agertzen diren problemen EREDUAK azalduko ditugu, era horretan ikasleak problemak ebazten saiatzera animatzen baitira, aljebrako problemak lantzen hasten baitira, eta hala beren AUTONOMIA eta beren lanerako gaitasuna eta jarraikitasuna indartu egiten zaie, eta, areago, emaitza onak lortzen dituztela ikusten dutenean, animatu egiten dira ikasleak; problema baten aurrean nondik hasi ez dakitenean, berriz, gogoa galtzen dute, eta geroz eta motibazio gutxiago dute ikasteko. animo BeÑat!! Gai zara-eta!! 22

21 3. BLOKEA: FUNTZIOAK Aurreko ikasturtean, DBH-ko 1.ean, aztertu genuen funtzioaren kontzeptua, bi magnituderen arteko lotura kualitatibo gisa. Ikasturte honetan, DBH-ko 1.ean, erlazio hori formula baten bidez ere adierazteko modua aztertuko dugu. Hau da, magnitude bat beste magnitude jakin batekin lotzen duen erlazio aljebraikoa landuko dugu. Garrantzi handiko gauza da ikasleak gogoan ondo hartzea formula ororen atzean loturak edo aldakuntzak nola gertatzen diren adierazten duen kode edo hizkuntza bat dagoela: denbora espazio nola bihurtzen den, adibidez. Kontzeptu hori ongi ulertzen badute, gero Fisikan, Kimikan, Ekonomian, Psikologian oso itxura konplexuko formulak aurkitzen dituztenean, gauza izango dira formula horrek zer kontatzen dien edo zer adierazi nahi dien interpretatzeko, itzultzeko. DBH-ko 2.eko ikasleak prest egoten dira funtzioak balioak eraldatzen dituzten makinak direla eta horrelako metaforak entzuteko. Ikasle batek formula bat dedukzioz ateratzea prozesu konplexuagoa izaten da (hau aukera ona izaten da segidak zertxobait azaltzeko eta gai orokorra nola aurkitu irakasteko), baina ez da gutxieneko edukia izango. (Aniztasuna lantzen). Beste alde batetik, ikasturte honetan funtzioaren ezaugarriak ere aztertuko ditugu: definizio eremua, maximoak eta minimoak, ardatzekiko ebaki-puntuak, jarraitasuna Ezaugarri horiek guztiak modu egokian adierazi behar dituzte (hizkuntzaren garrantzia, hizkuntz gaitasuna). Eta, bukatzeko, oso garrantzitsua da existitzen diren funtzio motak ezagutzea: proportzionaltasun zuzena dutenak, alderantzizkoa dutenak Funtzio linealak eta linealak ez direnak. Formula 1. mailako polinomio bat baldin bada, funtzioaren grafikoa zuzen bat da; formula 2., 3. mailakoa edo gehiagokoa baldin bada, funtzioaren grafikoa kurba bat da (parabolak, hiperbolak uhinak ) Oso ariketa interesgarria izaten da grafiko sail bat aurrez emandako formula zerrenda batekin lotzea eta ikustea zein denbora gutxi behar izaten duen ikasleak lerro zuzenak 1. mailako polinomioekin lotzeko. Era honetako ariketen bidez, aljebraren mundua funtzioen munduarekin erlazionatzen dugu, eta horrela IKASTEN IKASTEKO oinarrizko gaitasuna lantzen dugu. Proportzionaltasun zuzeneko funtzioak edo zuzenak aztertzen direnean, zuzenaren maldaren kontzeptua agertzen da. DBH-ko bigarren ikasturte honetan oraindik trigonometriako kontzeptuak erabiltzen hasi ez garenez, malda, zuzenaren puntu batetik beste puntu batera joateko egin behar dugun bidearen altueraren eta zabaltasunaren arteko proportzioa, zatidura dela esango dugu. Zuzenen arteko kokapen erlatiboak ere aztertuko ditugu: paraleloak (malda bera badute) eta ebakitzaileak (malda desberdina badute), eta, hauetan, ebaki-puntua aurkituko dugu. Kontzeptu hauek guztiak berriro landuko ditugu DBH-ko 3. ikasturtean, eta oso gogoan eduki behar da landu diren gai hauek guztiak erabat menderatzen ez badituzte ere, berriro landuko dituztela hurrengo ikasturteetan, eta, horrexegatik, ez duela merezi gai honetan gehiegi luzatzea. 23

22 Beste batzuetan ere esan dugun bezala, interesgarriagoa da bloke guztiak lantzea, sakon lantzen ez badira ere, bloke batekin gehiegi luzatu eta beste batzuk, probabilitatea edo geometria, adibidez, behar bezala ez lantzea baino. 4. BLOKEA: GEOMETRIA Gogoan izango dugu DBH-ko 1. ikasturtean planoko irudiak eta haien neurriak (perimetroa, azalera ) aztertu genituela, eta eguneroko bizitza ikasleek inguruan aurkitzen dituzten problemak ebazten ikasi genuela; ikasleek irudi ezagunak aurkitzen zituzten, eta irudiak oinarrizko irudietan deskonposatuz ebazten zituzten problemak. Aztertu diren egoerei eta ebazteko moduei buruzko informazioa hitzez adierazteari dagokion gaitasuna ere landu genuen. Alderdi horiexek berriro errepikatzen diren DBH-ko 2. ikasturte honetan, espazioko irudiekin dihardugunean. Ikasturte honetan gorputzak poliedrotan eta biraketazko gorputzetan sailkatuko ditugu, eta irudien izenak gogoratzeko nemoteknia-arauak landuko ditugu; POPRIPI, adibidez (POliedroak PRIsmak edo PIramideak izan daitezke!!). Eta horrela IKASTEN IKASTEKO oinarrizko gaitasuna landuko dugu. Hiru dimentsioko irudiak irudi planoetan garatzeko modua ere aztertuko dugu, ikaslea, azaleren formulak buruz ikasi ordez, formula horiek dedukzioz atera eta formula atera arte egindako bidea behar bezala adierazteko gai izan dadin. Eta talde-lanean ebatziko ditugun problemen bitartez, eskolan landutako guztia eguneroko bizitzako egoeretan ere ager daitekeela ikusiko dugu. 24

23 Bolumen kontzeptuari dagokionez, oso garrantzitsua da AZALERA (311. orrialdeko igerileku modernoa egiteko behar dugun beira kantitatea) eta BOLUMENA (igerileku horretan sartzen den ur kantitatea) ongi bereiztea. Ikasleek nahiko ongi gogoratzen dute, normalean, lehen mailako hezkuntzan zapata kaxa batean (ortoedro batean) hondarra sartu, eta oinarri bereko piramide batean sar zitekeen hondarra baina hiru bider gehiago zela; beraz, ONDORIOZ atera daiteke Bolumena piramidea = 1 3 Bolumena ortoedroa Ikasleek formulak dedukzioz atera ditzaten, eta buruz ahal den gutxiena ikas dezaten ahalegindu behar dugu. Eta, jakina, unitateak, unitate-aldaketak, eta bolumen-dentsitatea erlazioa landu behar ditugu. DBH-ko 2. ikasturte honetan planoari dagozkion gaiak ere lantzen dira: Pitagorasen teorema, Talesen teorema, Pitagorasen historiaz hitz egingo dugu, Les Luthiers taldearen bideo batean ere ikusten dugu Talesen teorema; ikasleek, kantuz ikasten dute, bideo horren bidez, Talesen teorema: si dos o tres paralelas si dos o tres paralelelelas. talesen teorema izugarri gustaten zaigu Kideko irudiak ere landuko ditugu, eta baita proportzionaltasun-arrazoia ere (beste bloke batzuetan ere landu da kontzeptu hori bera), edota nola egiten diren kideko irudiak Honek garrantzi handia du hurrengo ikasturteetan trigonometrian ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAREN kontzeptua ongi ulertzeko. Eta, beti bezala, PROBLEMAK EBAZTEA da garrantzitsuena, horretarako teorema garrantzitsu horiek, Pitagorasen teorema eta Talesen teorema erabiliz. Teorema eta axioma arteko desberdintasuna gogoratzeko ere balia daiteke: TEOREMA EGIA FROGATUA AXIOMA FROGATU GABEKO EGIA ( Jainkoa existitzen da ). 25

24 5. BLOKEA: PROBABILITATEA Badakizuen bezala, DBH-ko 1. ikasturteko liburuaren bukaeran ESTATISTIKA gaia agertzen zen. Irakasle askok, denbora faltaz (edo planifikazio faltaz) ez dute ematen gai hori. Ikasturte honetan, DBH-ko 2.ean, PROBABILITATEEN gaia agertzen da liburuaren bukaeran, eta ESTA- TISTIKAREKIN gertatzen zen gauza bera gerta daiteke honetan ere. Bi bloke hauek oso baliagarriak dira ikaslea MOTIBATZEKO (ikasle askok ikusten du lor dezaketela) eta TALDE LANEAN aritzeko. Horregatik, PROBABILITATEEN gai honetan lantzen diren zenbait gai (zenbaketa sistematikoa, zuhaitz-diagramak ) DBH-ko 1. ikasturteko liburuan ere agertzen ziren; beraz, DBH-ko 2.eko ikasleek badakite zerbait probabilitateez. Ikasturte honetan probabilitate-kontzeptua landuko dugu: Esperimentu aleatorio batean, zerbait gertatzeko aldeko kasuen eta izan daitezkeen kasu guztien arteko PROPORTZIOA edo ARRAZOIA (LAPLACEREN ARAUA). Probabilitatearen propietateak, HIZTEGIA (ezinezko gertaera edo gertaera segurua, probabilitate bereko gertaerak, gertaera bateragarriak, bateraezinak ), eta, batez ere, probabilitateak kalkulatzeko ESTRATEGIAK aztertuko ditugu (zuhaitz-diagramak, formulak, kontingentzia-taulak, Venn-en diagramak ). Esperientziak erakutsi digu gai hau lantzen ari garenean, askotan gertatzen dela ordu arte oso ongi funtzionatzen ez zuten ikasgeletan langiroa aldatzea. Ikasleak taldean antolatuz, karta-jokoak, dadoak, txanponak eraman eta Laplaceren legea egiaz betetzen den aztertuz, txanpon bat behin eta berriro jaurti eta gurutz ala pil ateratzeko probabilitatea egiaz %50ekoa dela egia ote den proba eginez, kiniela bat edo bonolotoa irabazteko probabilitatea zein den iritziak emanez Konbinatoriako formula korapilatsurik (bariazioak, permutazioak, konbinazioak ) ez badakite ere, zuhaitz-diagrametan oinarrituta, zentzuzkoak iruditzen zaizkie kiniela kopuruak eta abar kalkulatzeko egiten ditugun eragiketak. Honekin guztiarekin hau esan nahi dugu: oso komenigarria dela gai hau lantzea, oinarriko gaitasunak lortzeko eta batez ere zenbait ikaslerengan MOTIBAZIOA pizteko, beren gaitasunaz nahiko iritzi negatiboa izaten baitute askotan, eta gai honetan, berriz, emaitza onak lortzen baitituzte. 26

25 UNITATE BAKOITZAREN PROGRAMAZIOA SARRERA Gaitasunei buruzko orain arteko azalpenak irakurri ondoren, irakasle asko konbentzituko zen dagoeneko gaitasun horiek landu daitezkeela, eta proiektu honen bitartez errazagoa dela gainera horiek lantzea. Baina unitate bakoitzaren programazioa egiteko garaia iristen da orduan. Gauzak zehaztu beharra dagoen une horretan kezka handia sortzen zaie irakasle askori. Nondik hasi? Lan horretan lagunduko diguten aholkulariak behar ditugu, horrelakoak askotan entzun ditugu gure eskola zentroetan. Proiektu hau lantzean programazio hau gure errealitatearen hurbilekoa izan dadin lortzen ahalegindu gara: programazioa baliagarria izan dadila, eta praktikoa, gainera. Eta konpetentziak ebaluatzen lagun diezagula, batez ere! Proposatzen dugun programazioa oso argia da, gure iritzian, eta unitate bakoitzean gaitasun batzuk lantzeari lehentasuna ematen zaiona (ez guztiei, jakina), baina bloke guztietan denak ager daitezen ahaleginduz betiere. Ebaluazio-irizpideak kontuan hartuta, ez da gauza zaila izango, unitate bakoitzeko lana ongi eginda, gaitasun bakoitza zenbateraino lortu den neurtzea (ebaluatzea). Gidatxo honek lagunduko dizuetela espero dugu, baina konbentzituta gaude irakasle bakoitzak EGOKITU EGIN BEHARKO DUELA bere eguneroko lanera, bere ikasle-taldeetara. 27

26 1. BLOKEA: ARITMETIKA 1. Unitatea: Zenbaki arruntak / Zenbaki osoak OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / MATEMATIKA GAITASUNA / GAITASUN SOZIALA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Zenbaki osoak identifikatzea eta eragiketak, zer esan nahi duten kontuan hartuz, behar bezala adieraziz eta dagokien hierarkiari jarraituz egitea. 1. Zenbaki osoen multzoa izendatzeko Z letra erabil - tzea. 2. Zenbaki arrunten eta zenbaki osoen arteko erlazioa menderatzea: NcZ ; Z + = N 3. Eragiteak egitean hierarkia behar bezala aplika - tzea. 4. Berreketak eta erroketak zenbaki osoekin egitea. Zenbaki osoen propietateak ulertzea, eta letra bidez orokortzea, kalkuluan eta beste bloke batzuetan aplikatzea. 1. Zenbaki osoen propietateak azaltzea. 2. Propietateak zuzen aplikatzea. 3. Propietateak letra bidez adieraztea. Zenbaki osoak erabili behar diren eta eguneroko bizitzako egoerekin zerikusia duten problemak ebazteko kalkulu modurik egokiena aukeratzea, eta jarraitutako prozesua adieraztea. 1. Problema bat ebazteko jarraitzen den prozesua argi eta garbi adieraztea eta soluzio egokia ematea. 2. Prozesuak duen garrantzia aitortzea. 3. Buruketa konplexuak sistematikoki berrikustea. Nork bere ikasketa-prozesuaz gogoeta egitea eta jakintzan aurrera egiteko hartu behar diren erabakiak hartzea. 1. Autoebaluazioak zinez eta seriotan egitea, landu diren gaiak ongi ezagutzen diren jakiteko, irakasleak, hain zuzen ere, horixe neurtuko duela kontuan harturik. 2. Ebaluazio-irizpideak irakurtzea eta kontuan har - tzea. 3. Landu dena ongi menderatzen ez dela ohartzen garenean, lan gehiago egiteko erabakia hartzea. EDUKIAK Zenbaki arruntak N, zenbaki osoak Z. Jatorria eta adierazteko modua. Zenbaki arrunten eta osoen arteko erlazioa. Eragiketak, lehentasuna eta propietateak Berreketak eta erroketak: Esanahia, hiztegia eta kalkula tzeko moduak. Zatigarritasun-erlazioa. mkt eta ZKH Problemen ebazpena. Ikaskideen iritziak begirunez entzutea eta beste ikuspegi batzuk ezagutzeak bere ikasketa-prozesua hobetzeko zer aberastasun eskaitzen dion baloratzea. 1. Talde lanean ikaskideen iritzia kontuan hartzea. 2. Gauzak egiteko eta pentsatzeko modu bat baino gehiago daudela aitortzea. Eta modu desberdin horiek guztiak interesgarriak izan daitezkeela, onartzea. 28

27 1. BLOKEA: ARITMETIKA 2. Unitatea: Zenbaki arrazionalak OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / MATEMATIKA GAITASUNA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Zenbaki arrazionalen ezagutzaz baliatzea, inguru eta eguneroko egoerak adierazteko. 1. Zenbaki arrazionalen kontzeptua ulertzea. 2. Zenbaki arrunten, osoen, eta arrazionalen arteko erlazioa zuzen erabiltzea. 3. Askotariko egoerak zatiki bidez adieraztea. Eragiketak zuzen adieraztea, hierarkiari jarraituz eta ahal den guztietan, sinplifikatuz. 1. Zatikiak izendatzaile komunera bihurtzea. 2. Banatze-legea aplikatzea. 3. Lehendabizi parentesi barruko eragitekak, gero biderketak eta zatiketak eta azkenik batuketak eta kenketak egitea. 4. Zatiki bat zatiki laburtezinera iritsi arte sinplifikatzea. 5. Zatiki baten berretura eta erro karratua kalkulatzea. Zatiki motak eta haien izenak ezagutzea, bi zatiki baliokideak diren ala ez frogatzea eta zatikiak era batean baino gehiagotan ordenatzea, eta, hala, era horretako zenbakiak hobeto ezagutuz joatea. 1. Zatikia unitatearen zati gisa, zatidura gisa eta eragile gisa ezagutzea. 2. Zatiki baliokideen esanahia ezagutzea. 3. Bi zatiki baliokideak direla frogatzeko modu bat baino gehiago erabiltzea. 4. Zatiki multzo bat ordenatzea. Zatikiekiko eragiketak egin behar direnean, kasu bakoitzean biderik egokiena, zatikiaren esanahia edo algoritmoa, zein den erabakitzea, matematikako pen - tsaeran sakonduz joateko. 1. Logikazko bidea eta bide praktikoa bereiztea. 2. Algoritmoa eragiketak horrela zergaitik egin behar diren erakusten duen frogantza baten ondorena dela jakitea, eta ez dela gauza automatiko bat, zentzurik ez duena. 3. Zenbakizko hizkuntzak egoerak adierazteko, komunikatzeko eta ebazteko duen zehaztasuna eta baliagarritasuna balioestea. EDUKIAK Zenbaki arrazionalak. Q esanahia. Zatiki motak. Zatiki baliokideak. Zatikiekiko eragiketak. Lehentasuna eta propietateak. Zatiki eta zenbaki arrazionalen arteko desberdintasuna. Buruketak: Zatiki baten zatikia. Zatikiak erabili behar diren eguneroko bizitzako problemak ebaztea. 1. Problema bat ebazteko jarraitzen den prozesua argi eta garbi adieraztea eta soluzio egokia ematea. 2. Prozesuak duen garrantziaz jabetzea. 3. Era askotako problemak ebazten hasteko estrategiak nork bere kabuz eta arrazoituz erabiltzea. 29

28 1. BLOKEA: ARITMETIKA 3. Unitatea: Zenbaki dezimaldunak /ehunekoak OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / MATEMATIKA GAITASUNA / GAITASUN SOZIALA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Zenbaki arrazionalen eta zenbaki dezimaldunen loturaz ohartzea eta mota desberdinak bereiztea. 1. Zenbaki desimaldun zehatzak eta infinituak bereiztea. 2. Zenbaki dezimaldun infinituki periodikoak eta ez periodikoak, eta haien artean hutsak eta nahasiak bereiztea. 3. Jatorrizko zatikia aurkitu: zenbaki dezimaldun batetik zatiki batera. 4. Zenbaki ez-arrazionalak ezagutzea: zenbaki irrazionalak. Zenbaki dezimaldunekin eta hamarren berreturekin era askoko eragiketak egitea, zenbaki dezimaldunen eta zatikien arteko loturak aztertuz. 1. Zenbaki dezimaldun zehatz bat zatiki bihurtzea eta zatiki horiekin eragiketak egitea. 2. Emaitzak aztertzea eta ondorioak ateratzea. 3. Emaitzaren dezimal kopurua logikazko ondorioa dela jakitea. 4. Zenbaki dezimaldunekin eragiketak arin egitea. %-arekin zerikusirik duten datu ezezagunak arin aurkitzea, eta %-a eguneroko bizitzan izaten diren egoerak aztertzeko eta erabakitzeko erabiltzen den proportzio bat dela ulertzea. 1. %-a modu bat baino gehiagotan aurkitzen jakitea. 2. Kopuru baten %-a arin kalkulatzea. 3. Balio ezezagunak aurkitzeko zatiki baliokideak erabiltzea. 4. Prezio igoera-jaitsiera baten ondoren gauza batek zer prezio izango duen kalkulatzea. Era bat baino gehiagotako zenbakiak dituen informazioa irizpide kritikoz interpretatzea, elkarrekin lotzea, eta adierazteko modurik egokiena aukeratuz erabiltzea. 1. Zenbaki arruntak, osoak, arrazionalak eta dezimaldunak testuinguru desberdinetan interpretatzen era erabiltzen jakitea. 2. Problemak ebazteko eragiketarik egokienak zein diren erabakitzea. 3. Zenbaki dezimaldunekiko eragiketen emaitza aurkitzeko kalkulagailua erabiltzean zentzu kritikoa izatea. 4. Zenbakizko problemak kalkuluak eta zenbatespenak eginez ebazteko jakingura eta interesa. EDUKIAK Zenbaki arrazionalen eta dezimaldunen arteko erlazioa. Zenbaki dezimaldun batetik zatikira: zatiki sortzailea. Eragiketak Zenbaki ez arrazionalak I: zatiki batetik ez datozen zenbakiak. Ehunekoak: kalkulua eta aplikazioak: beherapenak, igoerak, BEZa Lantaldearekin arretaz eta arduraz lan egitea, arauak betez, lan giro positiboa izan dadin. 1. Modu egokian eta adeitasunez hitz egitea. 2. Egindako lana idatziz argi adieraztea, lantaldeko kideei gaia ongi ulertzen laguntzeko. 3. Ebatzi den problema lankide bati pazientziaz aza - l tzea, hark ongi adierazi ahal izan dadin. 30

29 2. BLOKEA: ALJEBRA 1. Unitatea: Aljebraren esanahia OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / MATEMATIKA GAITASUNA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Landutako edukien sintesia egitea, hutsuneak dituzten esaldiak betez, mapak osatuz eduki horiek hobeto ulertzeko eta ikasteko modua hobeto uler - tzeko landutakoa luzaroago gogoratzeko. 1. Esaldiak osatzea. 2. Esaldi baten zatiak ordenatzea, zentzua duen ideia bat osatzeko. 3. Mapatxoetan utzitako hutsuneak osatzea. 4. Landutako edukien arteko loturak ulertzea. 5. Ikasketan sintesiak duen garrantzia aintzat har - tzea. Monomioen eta polinomioen arteko eragiketak ulertuz eta arin egitea, Aritmetika-Aljebra gisako eduki matematikoak erlazionatuz, eta zenbakien propietateak erlazionatuz, eta propietate horiek ekuazioak, funtzioak eta abar ebazteko erabiliz. Monomioaren eta polinomioaren gaiak identifikatzea eta eragiketak egiterakoan prozesua autoebaluatzea, ikaslearen ikasketa-prozesuaren autonomia areago tzeko. 1. Aldagai bat edo gehiago dituzten koefiziente arrazionalekiko adierazpenen arteko eragiketak (batuketa, kenketa ) egitea. 2. Adierazpen aljebraiko baten zenbaki-balioa atera - tzea. 3. Zenbaki batzuk beste batzuetara bihurtzen dituen adierazpen aljebraikoa aurkitzea. 4. Hizkuntza sinbolikoa arau aljebraikoak erabiliz interpretatzea, informazioa ulertzeko. EDUKIAK Esanahia: hizkuntza mota bat. Adierazpen baten zenbakizko balioa. Adierazpen aljebrakiko motak: Monomioak eta polinomioak. Polinomioen arteko eragiketak. Biderkadura nabarmenak: Formulen zergatia eta aplikazioa. 1. Monomioa eta polinomioa bereiztea. 2. Polinomioen eragiketak egiterakoan zenbakien propietateak ondo aplikatzea. 3. Biderkadura nabarmenen formulak deduzitzea eta ulertzea gero ekuazioak ebazterakoan ondo aplika - tzeko. 31

30 a 2. BLOKEA: ALJEBRA 2. eta 3. Unitateak: Ekuazioak eta ekuazio sistemak OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTISTIKOA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Adierazpen aljebraikoak ikasi idazten ordenagailuan ekuazio editorea erabiliz Problema baten azalpena arretaz irakurtzea eta matematika-forman adieraztea, adierazpen aljebraikoak erabiliz eta balio ezezagunak bilatzeko ekuazioak edo ekuazio sistemak planteatuz. 1. Garrantzirik ez duen informazioa eta garrantzia duena bereiztea. 2. Azalpen batean agertzen diren datu guztiak beharrezkoak diren ala ez aztertzea. 3. Azalpeneko informazioa aljebrazko hizkuntzan adieraztea. 3. Aurkitutako soluzioa logikoa den eta problemaren baldintzak betetzen dituen baloratzea. 4. Lehen eta bigarren mailako ekuazioak edo ekuazio sistemak planteatzeko eta ebazteko modua problemak ebazteko beste baliabide baten gisa barneratzea. 1. Adierazpen algebraikoen arteko eragiketak egiteko programa informatiko egokia erabiltzea. 2. Teknologia berriak matematikarekin duen erlazioa aintzat hartzea. EDUKIAK Ekuaziaren esanahia: Ekuazioak eta identitateak desberdintzea. Ekuazio baten ebazpena haztamuz (buruzko kalkuluak). Ekuazio baten elementuak. Ekuazio motak: 1. mailako ekuazioak: ebazteko algoritmoa, emaitza motak eta problemak ebazteko aplikazioa. 2. mailako ekuazioak: ebazteko formula. Ekuazio osatugabeak. Emaitza kopurua eta problemak ebazteko aplikazioa. Ekuazio sistemen esanahia: Ekuazio multzoa. Soluzioaren esanahia eta interpretazioa. Metodoak: ebazteko algoritmoak: ordezkatzea, laburtzea, berdintzea eta grafikoa. Aplikazioa: Problemak ebaztea. Ekuazioak orientabide-oinarriei jarraituz ebaztea, eta horretan jarraitutako prozesua autoebaluatzea, ikaslearen ikasketa-prozesuaren autonomia areagotzeko. 1. Ekuazioa, ezezagunak balio jakin batzuk hartzen baditu baizik betetzen ez den berdintza bat dela ulertzea. 2. Ekuazio bat ebaztea, hark adierazten duen berdintza bete dadin izan behar diren balioak aurkitzea dela jakitea. 3. Identitatea eta ekuazioa bereiztea. 4. Orientabide-oinarrietan agintzen diren pausoak egitea eta ikasleak bere kabuz erabaki ditzakeen zalantzak irakasleari ez galdetzea. 5. Ekuazio bat ebazteko egiten den urrats bakoitza jartzeko arrazoiak badirela ulertzea, ebazpena burutu ahal izateko. 6. Lehen mailako ekuazio errazak parentesidunak edo izendatzailedunak ebaztea. 7. Bigarren mailako ekuazioak ebazteko erabiltzen den formula ondo ezagutzea eta aplikatzea. 8. Ekuazio-sistemak ebazteko erabiltzen diren metodoak ezagutzea eta aplikatzea. 9. Ekuazio-sistemaren arabera, metodorik egokiena zein den erabakitzea. 32

31 3. BLOKEA: FUNTZIOAK 1. Unitatea: Funtzioaren esanahia OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / MATEMATIKA GAITASUNA / ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA Inguruan edo beste jakintza-alor batzuetan bi magnituderen arteko mendekotasuna agertzen den egoerak aztertzea, funtzioei buruz dakitenaz baliatuz (taulak, grafikoak, formulak ), ondoren, aztertzen duten gertaera horri buruz ondorioak ateratzeko. 1. Funtzioa bi magnituderen arteko erlazioarekin lotzea. 2. Magnitude askeak eta mendeko magnitudeak bereiztea. 3. Taulak erabiltzea, aztertu nahi den erlazioaz eskura dauden datuak aztertzeko. 4. Grafikoak egitea, ondorioak ateratzeko. 5. Grafikoaren ezaugarrian oinarrituta (ebaki-puntuak, gorakortasuna, maximoak, jarraitasuna.), erlazionatuta dauden aldagaien arteko mendekotasun-erlazioa deskribatzea. 6. Matematika-jakintzak hezkuntza osorako ekarpen positibo asko dituela ulertzea. Erlazioa aztertzeko, funtzioaren ezaugarriak matematikako hizkera ondo erabiliz lantzea eta adieraztea. 1. Ardatzekiko ebaki-puntuak eta maximoak eta minimoak puntua bezala M 1 (-3,4) adieraztea. 2. Gorakortasuna eta beherakortasuna aztertzeko, tarteak erabiltzea. 3. Jarraitasuna azaltzeko, arrazoi egokiak erabiltzea. EDUKIAK Funtzioaren esanahia: magnitudeen arteko erlazioa. Funtzioak deskribatzeko moduak: hitzez, taulaz, grafikoz eta formulaz. Formula: formula ulertu, atera eta ondo adieraztea. Funtzio baten ezaugarriak: ardatzarekiko ebaki-puntuak, hazkundea, maximo-minimoak, jarraitasuna. Puntuak planoan irudikatzerakoan edo grafikoak egiterakoan egindako akatsak zein eratakoak diren zehaztea, ikasteko modua hobetzeko. 1. Puntuaren koordenatuak txarto adierazita daudenean arrazoi egokiak erabiltzea akatsak azaltzeko. 2. Erabilitako eskalak zuzen ez daudenean, akatsak atzematea. 3. Ardatzetan ez badira magnitudeak edo unitateak (grafiko mutuak!) adierazten, honen akatsa atzematea. 4. Aztertzen ari den erlazioaren arabera grafikako puntuak lotu edo ez lotu, horren garrantziaz ohar tzea. Grafiko batean irudikatzen den informazioa interpretatzea, eta aztertzen den erlazioari buruzko informazioa transmititzeko formula egokia erabiltzea, daukan garrantzia baloratuz. 1. Puntu baten koordenatuak kartesiar ardatzetan zuzen adieraztea. 2. Plano batean puntu batek adierazten duen informazioa interpretatzea. 3. Informazioa interpretatzeko hiztegia egoki erabiltzea: mendeko aldagaia, aldagai askea, abszisa, ordenatua 4. Informazio orokor batetik abiatuta grafiko kualitatiboak egitea. 5. Formula batetik grafiko batera aldatzea eta alderantziz. 6. Formulak ondo erabiltzeko, aljebrako adierazpenak ondo erabiltzea 7. Aldagi askea menpeko aldagia bihurtzen duen arau orokorra aurkitzea. 33

32 3. BLOKEA: FUNTZIOAK 2. Unitatea: Funtzio motak OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / MATEMATIKA GAITASUNA / GAITASUN SOZIALA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA / ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA Funtzio bat adierazteko modu desberdinak daudela ulertzea, grafikoa eta formula erlazionatuz funtzioek transmititzen duten informazioa ulertzeko. 1. f(x) = mx + b formula zuzen batekin erlazionatzea. 2. f(x) = x 2 formula parabola batekin erlazionatzea. 3. f(x) = 1/X formula hiperbola batekin erlazionatzea. Funtzio baten grafikoa zuzena denean, haren ezaugarriak identifikatzea, zuzeneko proportzionaltasunarekin erlazionatuz bloke desberdinen arteko loturak ulertzeko. 1. f(x) = mx + b formulan m parametroa zuzenaren malda dela identifikatzea eta b ordenatuen jatorriarekin identifikatzea. 2. Maldaren kontzeptuak funtzioaren aldakuntza neurtzen duela ulertzea. 3. Zuzenen arteko posizio erlatiboak ikertzea. EDUKIAK Funtzioen sailkapena. Proportzionaltasun zuzena. Zuzenen grafikoak eta formula y = mx + n. Maldaren kontzeptua. Alderantzizko proportzionaltasuna. Proportzionaltasun konposatua. Ingurumeneko gertaerei dagokienez, proportzio zuzenaz, alderantzizkoaz edo konposatuaz baliatzea, egoera horiek hobeto ulertzeko, balio ezezagunak aurkitzeko, eta erabil daitezkeen metodoen artean egokiena zen den baloratzea. 1. Taulak erabiltzea eta balio ezezagunak aurkitzeko hiruko erregela erabiltzea. 2. Proportzionaltasun zuzena denean A/B=kte ezaugarria erabiltzea. 3. Alderantzizko proportzionaltasuna denean A B=kte ezaugarria erabiltzea. 4. Metodo guztiek balio berberera daramatela ulertzea. 5. Proportzionaltasun konposatua hiru magnitude agertzen direnean identifikatzea. 6. Proportzionaltasun konposatua denean bi magnitudeen artean dagoen erlazio mota adieraztea. Iritzi desberdinak aintzat hartzea eta norberaren garapenean aurrera egiteko aldaketa-eragile giza erabiltzea. 1. Talde lanean ikaskideen iritziak aintzat hartzea. 2. Gauzak egiteko eta pentsatzeko modu bat baino gehiago daudela eta denak interesgarriak izan daitezkeela aitortzea. 34

33 4. BLOKEA: GEOMETRIA 1. Unitatea: Geometria laua: antzekotasuna OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAI. / MATEMATIKA GAI. / GAITASUN DIGITALA / GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTISTIKOA / ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA Antzeko irudien ezaugarriak ezagutzea eta erabiltzea, beste antzekoak diren irudiak sortzeko. 1. Proportzio-kontzeptua ondo ulertzea 2. Errealitatean eskalak antzeko irudiei esker aplika daitezkeela ulertzea, erabiltzea eta baloratzea. Talesen eta Pitagorasen teoremak ezagutzea eta errealitatean agertzen diren egoerak ebazteko erabiltzea. 1. Pitagorasen teorema triangelu zuzenetan bakarrik eta Talesen teorema edozein triangelutan aplika daitekeela ulertzea. 2. Triangeluak kideko irudi bereziak direla eza gutzea. Pentsamendua komunikatzeko, arrazoiak matematikako hizkuntzaren baliabideak erabiliz lantzea eta adieraztea. 1. Proportzioa terminoa ikaslearen hizkuntzan sar - tzea. 2. Bi irudi antzekoak direla arrazoitzea eta hizkuntza edo nomenklatura egokiak erabilitzea. 3. Ezagutzen ez diren aldeak topatzeko jarraitzen diren pausoak ondo adieraztea. Teknologia berriez baliatzea, Talesen teoremari buruz eta Pitagorasen teoremari buruz informazioa biltzea. 1. Informazioa biltzeko Internet erabiltzea. 2. Teknologia berriek informazio-iturri gisa erabil - tzeko duten balioa aintzat hartzea. 3. Bildutako informazioa modu kritiko batean analizatzea. EDUKIAK Antzeko irudiak. Triangeluak ebazteko moduak: Talesen teorema. Pitagorasen teorema. Propietate errazak frogatzea, eta matematikako pentsamenduak dituen formak hobeto ezagutzeko behar diren urratsak ikastea. 1. Egiaztatzearen eta frogatzearen arteko desberdintasuna ulertzea. 2. Frogantza baten pausoak ulertzen eta gogoratzen saiatzea. 3. Frogantza bat egin behar denean zer urrats egiten diren kritikoki aztertzea. 4. Frogatzea beti ere oso bide erraza ez dela ohar - tzea; norbaitek behin frogatu zuela eta gainerakoek hura ulertzen eta ikasten ahalegindu behar dugula konturatzea. 35

34 4. BLOKEA: GEOMETRIA 2. eta 3. Unitateak: Geometria espazioan: sailkapena eta neurriak OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / MATEMATIKA GAITASUNA / GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTISTIKOA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Artean, pinturan, eskulturan agertzen diren espazioko irudiak identifikatzea, eta matematikan lantzen diren kontzeptuak baloratzea. 1. Planoa eta espazioa bereiztea. 2. Koadroetan, eskulturetan eta arkitektura-eraikinetan irudi geometrikoak atzematea. 3. Objektu geometrikoak ezagutzeko eta aztertzeko jakin-mina izatea. 4. Matematikak artearen mundua hobeto ulertzeko egin dezakeen ekarpena aintzat hartzea. Espazioan dauden irudi guztien sailkapena ezagutzea eta gogoratzea, arau bereziak erabiliz. 1. Arau mnemoteknikoak erabiltzea, irudi guztien izenak gogoratzeko POPRIPI eta BIGORZIKOES. 2. Batzuetan gauzak ulertu behar direla eta beste batzuetan izenak buruz ikasi behar direla bereiztea. 3. Arau mnemoteknikoen garrantziaz ohartzea eta izenak ez ahazteko zein lagungarri diren balora - tzea. EDUKIAK Espazioko irudien sailkapena: Poliedroak eta biraketa-gorputzak. Poliedroak: prismak eta piramideak: Ezaugarriak eta garapena. Biraketa-gorputzak: zilindroa, konoa eta esfera: Ezaugarriak eta garapena. Azaleraren eta bolumenaren kontzeptua. Azaleraren kalkulua: planoko irudiak erabiliz, formulen dedukzioa eta adierazpena. Bolumenaren kalkulua: formulak deduzitzea eta aplikatzea. Bolumenak estimatzea. Unitate-aldaketak. Problemen ebazpena. Espazioko irudiak beren ezaugarriak kontuan hartuz egitea eta sailkatzea, geometria-mundua sakonagotik ezagutuz. 1. Poliedroak eta biraketa-gorputzak bereiztea. 2. Poliedroen eta biraketa-gorputzen ezaugarriak ezagutzea. 3. Poliedroen artean prismak eta piramideak bereiztea. 4. Biraketa-gorputzen artean zilindroak, konoak eta esferak bereiztea. 5. Espazioan dauden irudiak, osatutzen dituzten irudi planoetan deskonposatzea eta haien garapena identifikatzea. Espazioko irudi batean azalera eta bolumena aurkitzea, kontzeptu horiek ongi ulertuz, eguneroko bizitzan agertzen diren eta artearen munduarekin zerikusia duten problemak ebazteko. 1. Azalera irudiaren aldeen azaleraren batura dela eta bolumena irudiaren barruan dagoen edukiera dela ulertzea. 2. Neurri horietako bakoitzean, dagozkion unitateak erabiltzea eta beti adieraztea. 3. Kalkuluak egiterakoan unitatez aldatzea. 4. Unitate-aldaketak egiterakoan trebea izatea. 5. Irudien azalera eta bolumena modu egokian kalkulatzea, horretarako formulez edo ezagutzen diren irudietan deskonposatzeko metodoaz baliatuz. 6. Problema ebazteko jarraitzen den prozesua argi eta garbi adieraztea. 36

35 5. BLOKEA: PROBABILITATEA 1. Unitatea: Probabilitatearen esanahia OINARRIZKO GAITASUNAK: IKASTEN IKASI / HIZKUNTZA GAITASUNA / GAITASUN SOZIALA / AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA Iritziak ematerakoan probabilitateetan landutako arrazoiak erabiltzea, horretarako hiztegi egokia erabiliz. 1. Lagin espazioa, gertaera motak erabilzea arrazoiak ematerakoan. 2. Hizkuntza normalean jendeak hutsak egiten dituenean zuzentzea. Lantaldearekin arretaz eta arduraz lan egitea, arauak betez, lan-giro positiboa izan dadin. 1. Egoki eta adeitasunez hitz egitea.. 2. Egindako lana idatziz argi adieraztea, lantaldeko kideei gaia ongi ulertzen laguntzeko. 3. Ebatzi den problema lankide bati pazientziaz eta egonarriz azaltzea, hark ongi adierazi ahal izan dezan. EDUKIAK Probabilitatearen esanahia. Hiztegia: Lagin-espazioa, gertaerak, posiblea edo ezinezkoa Gertaera motak: ekiprobableak, aurkakoak, bateraezinak, bateragarriak. Laplace-ren erregela. Probabilitatea kalkulatzeko estrategiak: zuhaitz diagramak Venn-en diagramak kontingentzi taulak beste batzuk Probalilitateak beste arlo batzuekin dituen loturak ezagutzea, matematikan ikasten dena gehiago baloratzeko. 1. Matematikan lantzen diren beste arloekin erlazioak identifikatzea, geometriarekin (geopropabilitatea), aritmetikarekin (probabilitateak neurtzeko zatikiak edo ehunekoak erabiltzen dira) 2. Azalera-kontzeptua ondo erabiltzea, probabilitate batzuk topatzeko. 3. Zatikien propietateak ondo erabiltzea, probabilitate batzuk topatzeko. Problema baten azalpena arretaz irakurtzea eta probabilitateetan lantzen diren estrategiak erabiltzea adierazpen egokiak erabiliz eta forma egokian adieraziz. 1. Garrantzirik ez duen informazioa eta garrantzia duena bereiztea. 2. Azalpen batean agertzen diren datu guztiak beharrezkoak diren ala ez aztertzea. 3. Gertaera baten probabilitatea modu egokian azaltzea P(A)= 3/5. 4. Zuhaitz-diagramak, Venn-en diagramak eta kontingentzia-taulak, problemak ebazteko beste baliabide batzuen gisa barneratzea. 5. Informazioa irakurri ondoren estrategiarik egokiena zein den erabakitzea 37

36 PROIEKTU HONEN EGILEOK badakigu DBH-ko 2. ikasturte honetarako testuliburua luzea eta sakona dela. Gure iritzian, hain zuzen, oso kontuan hartu behar dira irakasleen aniztasuna eta irakasleek beren programazioa erabakitzeko eta kontrolatzeko duten irizpidea; irakaslea baita, nolako ikasle-taldea duen eta zer gaitan sakondu behar duen kontuan hartuta, erabakiak hartu behar dituena. Ikuspegi hori gogoan hartuta prestatu dugu proiektu hau. Testuliburua irakasleak bere helburuetara iristeko erabiltzen duen baliabide bat baizik ez baita, azken finean. Helburua ez da liburuan agertzen diren eduki guzti-guztiak lantzea, ezta agertzen diren hurrenkeran lantzea ere. Uste osoa dugu proiektu hau lagungarria izango dela, guri bezala, hainbeste gustatzen zaigun mundu hau, Matematikaren mundua, ikasleei behar bezala ezagutarazteko eta beren ahalmenez iritzi eskasa duten ikasleak gizartean hain ospe ona duen ikasgai honetan emaitza onak lortzera bultzatu nahi dituzten duten irakasleentzat. Gure gizarte honetan oso zabalduta dago matematikan emaitza onak lortzen dituen ikasleak denean emaitza onak izango dituelako ustea. Matematikan emaitza onak lortzea ez da aski, egia da hori; baina egia da orobat, Matematika tresna gisa erabiliz lor daitekeela ikasleek lan-ohitura onak hartzea, lanean iraunkor bilakatzea, zentzuz arrazoitzen ikastea, eta inguratzen gaituen mundu konplexu honetako hainbat alderdi ulertzeko gai bihurtzea. ANIMO!! Proiektuaren egileak ARANTZA EGURCEGUI AINTZANE OLAETA 38