Plan. Analyse tensorielle. Principe méthodologique. Tenseurs. Scalaires constante numérique, 0, dτ, champ scalaire. Vecteurs contravariants

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ŌÁĒ Αντωνοπούλου
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1 1 / 36 Plan 2 / 36 Principe de covariance Analyse tensorielle Erwan Penchèvre 30 mars 2015 Vecteurs et tenseurs Algèbre tensorielle Pseudo-tenseurs Connexion affine et changement de coordonnées La dérivée covariante Gradient, rotationnel, divergence Dérivée covariante le long d une courbe Principe méthodologique Principe de covariance 4 / 36 Tenseurs Vecteurs et tenseurs 6 / 36 Scalaires constante numérique, 0,, champ scalaire 2 voies possibles pour la théorie de la gravitation : 1) Écrire les équations de la relativité restreinte dans un référentiel localement inertiel ; puis changer de coordonnées 2) Trouver des équations dont la forme soit préservée par n importe quel changement de coordonnées et qui soient vraies en l absence de gravitation (c est-à-dire quand le référentiel est inertiel) Vecteurs contravariants Vecteurs covariants U µ ν U ν V ν V ν (par exemple dx µ ) (par exemple ϕ si ϕ est scalaire) µ Tenseurs contravariants, covariants ou mixtes Exemple : T ν λ ρ κ ν σ T κ ρ σ

2 Vecteurs et tenseurs 7 / 36 Exercice Vérifier que g µν est bien un tenseur covariant, et que est bien un scalaire L inverse du tenseur métrique Soit g λκ l inverse du tenseur métrique, g λµ g µν δ λ ν g λκ est un tenseur contravariant : αβ γ δ α g β ν g δ γδ α ν δ γ β g αβ g γδ δ λ ν Le symbole de Kronecker δ α β est un tenseur mixte ; c est le seul tenseur ayant mêmes coordonnées dans tous les référentiels : δ α β α µ ν β δ µ ν δ α β Algèbre tensorielle Algèbre tensorielle 9 / 36 Combinaisons linéaires Une combinaison linéaire de tenseurs avec les mêmes indices est un tenseur Produits directs Soit A α β et B γ des tenseurs, alors T α γ β A α β B γ est un tenseur Contraction Si T α γδ β est un tenseur, alors T αγ T α γβ β Attention en général, si T βγ est un tenseur, Γ ν λµ n est pas un tenseur T βγ α est un tenseur n est pas un tenseur Algèbre tensorielle 10 / 36 Pseudo-tenseurs Pseudo-tenseurs 12 / 36 Comment transformer un tenseur covariant en un tenseur contravariant, et inversement? Soit T µρ σ un tenseur, contravariant en µ Sν ρ σ g µν T µρ σ est covariant en ν Inversement, soit Sν ρ σ un tenseur covariant en ν, alors g µν Sν ρ σ est contravariant en µ g µν g λν T λρ σ T µρ σ Il y a donc 2 N manières différentes d écrire un tenseur à N indices Exemple Le tenseur métrique : g µν, g µν, δ µ ν, δ ν µ Exemple pseudo-tenseur T µ ν de poids W T ν (det ) W κ λ ν T λ κ où det est le jacobien, déterminant de la matrice des dérivées partielles Le déterminant du tenseur métrique g det g µν est un pseudo-tenseur de poids ( 2) Le poids d un produit direct de pseudo-tenseurs est la somme des poids des pseudo-tenseurs (pseudo-tenseur de poids W) g W/2 tenseur

3 Pseudo-tenseurs 13 / 36 Pseudo-tenseurs 14 / 36 Symbole de Levi-Civita Une combinaison linéaire de pseudo-tenseurs de poids W est un pseudo-tenseur de poids W La contraction d un pseudo-tenseur de poids W est un pseudo-tenseur de poids W L élément d hypervolume infinitésimal d 4 x est une sorte de pseudo-tenseur : d 4 x det d 4 x donc gd 4 x est invariant Le symbole de Levi-Civita est un pseudo-tenseur de poids ( 1) +1 si µκ est une permutation paire de 0123 ε µκ 1 si c est une permutation impaire 0 sinon ρ σ η ξ µ ν λ κ ε µκ Symbole de Levi-Civita covariant (det ε ρσηξ g ρµ g σν g ηλ g ξκ ε µκ ) ε ρσηξ Exercice Montrez que ε ρσηξ gε ρσηξ Connexion affine et changement de coordonnées 16 / 36 Connexion affine et changement de coordonnées Γµν λ λ 2 ξ α ξ α µ n est pas un tenseur : ν Γ µν 2 ξ α ξ α ν ρ ( σ ξ α ) ρ ξ α ν σ ρ ( σ τ ρ ξ α ν Le terme de gauche donne Γ ρ τσ, donc : 2 ξ α τ σ + 2 x σ ξ α ) ν σ Γ µν τ σ ρ ν Γ τσ ρ 2 x ρ + ρ ν Connexion affine et changement de coordonnées 17 / 36 Le terme de gauche, c est comme si Γ ρ τσ était un tenseur : Γ µν τ σ ρ ν Γ τσ ρ 2 x ρ + ρ ν Le terme de droite peut aussi s écrire ainsi : Γ µν τ σ ρ ν Γ τσ ρ ρ σ 2 x ν ρ σ Dériver δ λ ρ ν ρ ν par rapport à x

4 Connexion affine et changement de coordonnées 18 / 36 Connexion affine et changement de coordonnées 19 / 36 Application Mouvement d une masse ponctuelle dans un champ gravitationnel d 2 x µ 2 Nouvelle démonstration + Γ µ dx ν dx λ 0, 2 g µν dx µ dx ν Ces deux équations sont vraies en l absence de gravitation car alors Γ µ 0 et g µν η µν Comment se transforme la première équation sous l effet d un changement de coordonnées? mais : donc : d 2 x 2 d ( dx ν ) d 2 x ν ν ν x dx λ dx ν ν λ Γ τ σ ρ ν Γ τσ ρ ρ σ 2 x ν ρ σ d 2 x 2 + Γ dx ν dx κ ( d 2 x κ L équation du mouvement est covariante 2 + Γ σρ κ dx σ dx ρ ) La dérivée covariante La dérivée covariante 21 / 36 La dérivée covariante 22 / 36 Définition V µ ;λ est un tenseur V µ ;λ V µ λ + Γ µ λκ V κ V ( ) ν V ν ρ V ν ν ρ + 2 x ρ ν ρ V ν Γ λκ V κ ρ ν Γ ρσv ν σ 2 x ρ ρ σ V σ Définition V µ;ν est un tenseur V µ ν V µ;ν V µ ν Γ λ µνv λ ρ σ V ρ ν σ + 2 x ρ ν V ρ Γ µνv λ ρ σ ν Γ ρσv κ κ + 2 x κ ν V κ

5 La dérivée covariante 23 / 36 La dérivée covariante 24 / 36 Dérivée covariante d un tenseur quelconque Exemple : T µσ λ;ρ T µσ λ ρ + Γ µ ρνt νσ λ + Γ σ ρνt µν λ Γ κ λρ T µσ κ Dérivée covariante d un pseudo-tenseur de poids W Exemple : T µ λ;ρ ( g W/2 g W/2 T µ ) λ T µ λ ρ Remarque Dans un repère localement inertiel, ;ρ + Γ µ ρνt ν λ Γ κ λρ T µ κ + W 2g g ρ T µ λ dérivée covariante dérivée La dérivée covariante 25 / 36 La dérivée covariante 26 / 36 Dérivée covariante et opérations algébriques (αa µ ν + βb µ ν) ;λ αa µ ν;λ + βb µ ν;λ ( A µ νb λ) ;ρ A µ ν;ρb λ + A µ νb λ ;ρ g µν;λ 0 : g µν;λ g µν λ Γ ρ λµ g ρν Γ ρ λν g ρµ, or tout ceci s évanouit dans un référentiel localement inertiel De même : g µν ;λ 0, et δ µ ν;λ 0 T µλ λ;ρ ρ T µλ λ + Γ µ ρνt λ Corollaire : (g µν V ν ) ;λ g µν V ν;λ

6 Gradient, rotationnel, divergence gradient d un scalaire Gradient, rotationnel, divergence 28 / 36 S ;µ S µ rotationnel d un vecteur covariant V µ;ν V ν;µ V µ ν Γ λ µνv λ V ν µ + Γ λ νµv λ V µ ν V ν µ divergence d un vecteur contravariant V µ ;µ V µ µ + Γ µ µλ V λ Gradient, rotationnel, divergence 29 / 36 Lemme Soit M une matrice quelconque ( ) 1 M Tr M λ (ln(det M)) λ δ ln(det M) ln(det M 1 (M + δm)) ln(det(i + M 1 δm)) ln(1 + Tr(M 1 δm)) Tr(M 1 δm) Gradient, rotationnel, divergence 30 / 36 Gradient, rotationnel, divergence 31 / 36 V µ ;µ 1 g ( gv µ ) µ : appliquer le lemme à Γ µ µλ 1 2 g µρ g ρµ λ Corollaire Si V µ s annule à l infini, alors : théorème de Gauss d 4 x gv µ ;µ 0 Si T µλ T λµ, alors T µν ;µ 1 g ( gt µν ) µ : exercice Si T µν T νµ, alors : T µν;λ + T λµ;ν + T ;µ T µν λ + T λµ ν + T µ Écrire chacune des dérivées covariantes Par exemple : T µν;λ T µν λ Γ ρ µλ T ρν Γ ρ T µρ Les termes en rouge se compensent mutuellement dans la somme des trois dérivées covariantes

7 Dérivée covariante le long d une courbe 33 / 36 Dérivée covariante le long d une courbe Dérivée covariante le long d une courbe 34 / 36 tenseur défini en tout point de l espace-temps (champ) tenseur défini seulement le long d une courbe (exemple : quadri-vecteur impulsion) Définition DA µ da µ + Γ µ dx λ A ν DA µ est un quadri-vecteur contravariant da A ν A ν ν da ν + 2 x ν λ dx λ A ν Γ ρ σ κ ν Γ ρσ κ 2 x ρ σ ρ σ ν Γ dx A ν κ Γ ρσ κ dx σ A ρ 2 x dx σ ρ σ A ρ da + Γ dx A ν κ ( da κ + Γ ρσ κ dx σ A ρ ) Dérivée covariante le long d une courbe 35 / 36 Dérivée covariante le long d une courbe 36 / 36 Pour un tenseur quelconque défini le long d une courbe (exemple) DT µ ν dt µ ν Remarque Si T µ ν est un champ, alors DT µ ν + Γ µ dx λ λρ T ρ ν Γλν σ dx λ T µ σ T µ dx λ ν;λ (cette équation permet de retrouver, formellement, l expression ci-dessus, même quand T µ ν n est défini que le long d une courbe) Transport parallèle d un quadri-vecteur Hypothèse : dans le référentiel localement inertiel mobile ξ x(τ), on a da µ 0 (exemple : quadri-vecteur impulsion d une particule dans un champ purement gravitationnel) Alors : DA µ 0 équation covariante elle est vraie dans un référentiel quelconque

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