Les intégrales et fonctions elliptiques

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1 Les intégrales et fonctions elliptiques Marc Renaud To cite this version: Marc Renaud. Les intégrales et fonctions elliptiques. Rapport LAAS n <hal-05333> HAL Id: hal Submitted on 6 May 07 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Les intégrales et fonctions elliptiques. Marc RENAUD Professeur émérite INSA-Toulouse LAAS-CNRS, Université de Toulouse, CNRS, INSA, Toulouse, France LAAS-CNRS 7 avenue du Colonel Roche 3077 Toulouse Cedex 4 - France renaud@laas.fr 0 juin 04

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4 Chapitre Introduction Une fonction elliptique ou fonction elliptique de première espece est une fonction complexe, à valeurs complexes, méromorphe sur le plan complexe et doublement périodique. Il suffit donc de la définir sur un parallélogramme fondamental ayant pour cotés les deux périodes fondamentales. L ordre d une telle fonction est le nombre commun de zéros et de pôles dans ce parallélogramme fondamental. Une fonction elliptique entière, donc d ordre zéro, est constante, d après un théorème de Liouville. Une fonction elliptique de deuxième ou troisième espece est une fonction complexe, à valeurs complexes, méromorphe sur le plan complexe mais qui ne possède que deux quasi-périodes (définies ci-après) ; elle n est donc pas elliptique au sens strict. Nous avons choisi de présenter les fonctions thêta avec des quasipériodes et τ [avec I(τ) > 0], comme [0], [] et [] et non des quasipériodes π et π τ, comme [], [3], [3] et [0]. Nous avons pris soin de distinguer la notation des fonctions dites inverses [], [4], [5] 3 et [9] 4 ou réciproques [5] 5 et [] 6 de celle des inverses multiplicatifs des images.. par ex. tableau p p p p. 98 Inverse Function 5. pp Fonctions circulaires réciproques et pp Fonctions hyperboliques réciproques 6. par ex. pour Fonction de Gudermann

5 Ainsi, par exemple, nous notons cos = arccos l inverse ou la réciproque de la fonction cos et [cos(x)] l inverse multiplicatif de l image cos(x). Toutefois certains auteurs tels [0] 7 font une différence entre fonctions inverses et réciproques ; nous n avons donc pas retenu ce point de vue. Les fonctions directes et inverses utilisées sont indiquées ci-après. Nous retenons les symboles anglais de ces fonctions, ne serait-ce que parcequ ils figurent sur les calculettes. L auteur remercie par avance les lecteurs qui lui signaleraient des erreurs dans ce rapport. Remarque : il existe de nombreuses éditions du CRC Concise Encyclopedia of Mathematics [9] et les pages et numéros d équations que nous citons ne correspondent qu à l édition de 999. Pour plus de robustesse nous avons toujours indiqué les titres anglais des diverses rubriques.. Fonctions logarithme et exponentielle directes et inverses fonction symbole en français symbole en anglais logarithme ou exponentielle inv. Log = exp ln = exp exponentielle ou logarithme inv. exp = Log exp = ln. Fonctions circulaires (ou trigonométriques) directes et inverses 7. p

6 fonction symbole en français symbole en anglais cosinus cos cos sinus sin sin tangente tg tan cotangente cotg cot secante sec sec cosecante cosec csc cosinus inv. ou arc cosinus cos = arccos cos = arccos sinus inv. ou arc sinus sin = arcsin sin = arcsin tangente inv. ou arc tangente tg = arctg tan = arctan cotangente inv. ou arc cotangente cotg =arccotg cot = arccot secante inv. ou arc secante sec = arcsec sec = arcsec cosecante inv. ou arc cosecante cosec = arccosec csc = arccsc On a : cot(x) [tan(x)] et donc tan(x) [cot(x)], sec(x) [cos(x)] et donc cos(x) [sec(x)], csc(x) [sin(x)] et donc sin(x) [csc(x)],.3 Fonctions hyperboliques directes et inverses fonction symbole en français symbole en anglais cosinus hyperbolique ch cosh sinus hyperbolique sh sinh tangente hyperbolique th tanh cotangente hyperbolique coth coth secante hyperbolique sech sech cosecante hyperbolique cosech csch cosinus hyp. inv. ou arg. cosinus hyp. ch = argch cosh = arccosh sinus hyp. inv. ou arg. sinus hyp. sh = argsh sinh = arcsinh tangente hyp. inv. ou arg. tangente hyp. th = argth tanh = arctanh cotangente hyp. inv. ou arg. cotangente hyp. coth = argcoth coth = arccoth secante hyp. inv. ou arg. secante hyp. sech = argsech sech = arcsech cosecante hyp. inv. ou arg. cosecante hyp. cosech = argcosech csch = arccsch On a : coth(x) [tanh(x)] et donc tanh(x) [coth(x)], 4

7 sech(x) [cosh(x)] et donc cosh(x) [sech(x)], csch(x) [sinh(x)] et donc sinh(x) [csch(x)], Et : arccosh(x) = ln(x + x ), arcsinh(x) = ln(x + x + ), arctanh(x) = +x ln( ). x.4 Fonctions elliptiques directes et inverses fonction symb. en français et en anglais fonction inverse cosinus elliptique cn cn fonct. ellipt. ère esp. sinus elliptique sn sn fonct. ellipt. ère esp. delta elliptique dn dn fonct. ellipt. ère esp.? cd cd fonct. ellipt. ère esp.? sd sd fonct. ellipt. ère esp.? nd nd fonct. ellipt. ère esp.? dc dc fonct. ellipt. ère esp.? nc nc fonct. ellipt. ère esp.? sc sc fonct. ellipt. ère esp.? ns ns fonct. ellipt. ère esp.? ds ds fonct. ellipt. ère esp.? cs cs fonct. ellipt. ère esp. amplitude am am amplitude inverse am am On a : nc(x) [cn(x)], ns(x) [sn(x)], nd(x) [dn(x)]. dc(x) [cd(x)], ds(x) [sd(x)], dn(x) [nd(x)]. cd(x) [dc(x)], cn(x) [nc(x)], cs(x) [sc(x)]. sn(x) [ns(x)], sd(x) [ds(x)], sc(x) [cs(x)]..5 Fonctions de Gudermann directe et inverse fonction symb. en français et en anglais fonction inverse Gudermann gd gd Gudermann inverse gd = arcgd gd 5

8 Remarque : les fonctions inverses ont plusieurs déterminations (et on ne devrait donc pas parler de fonctions!). Les déterminations principales qui elles sont effectivement des fonctions se notent avec un A majuscule : Arc ou Arg en français et Arc en anglais. 6

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10 Chapitre Les intégrales elliptiques.0. Quelques constantes réelles k module (0 k ), k ( k ) module complémentaire (0 k ), m k paramètre (0 m ), m k = m paramètre complémentaire (0 m ). α l angle modulaire tel que m = [sin(α)] et ( π α) l angle modulaire complémentaire tel que m = [cos(α)].. Intégrales elliptiques incomplètes.. De première espèce De la forme : dt T, avec T = a 0 t 4 + a t 3 + a t + a 3 t + a 4 (voir la liste Annexe A)... De la forme : dt R, avec T = a 0 t 3 + a t + a t + a 3 Si T a 3 zéros réels, voir la liste Annexe B. Si T a zéro réel, voir la liste Annexe C. On peut ramener ces intégrales elliptiques incomplètes de première espèce à la forme canonique :. D autres auteurs ont une définition différente de la forme canonique 8

11 F(ϕ, k) = ϕ 0 { k [sin(θ)] } dθ [3] et [9] 3 ou F(ϕ m) = ϕ 0 { m [sin(θ)] } dθ ou F(ϕ \ α) = ϕ 0 { [sin(α)] [sin(θ)] } dθ [] 4, Ou : F(ϕ, k) = sin(ϕ) [( k t ) ( t )] dt [9] 5 ou 0 F(ϕ, m) = sin(ϕ) [( m t ) ( t )] dt ou 0 F(ϕ \ α) = sin(ϕ) [( [sin(α)] t ) ( t )] dt [] De deuxième espèce De la forme : t dt [(A t +B ) (A t +B )]. On peut ramener ces intégrales elliptiques incomplètes de deuxième espèce à la forme canonique 7 : D(ϕ, k) = ϕ 0 { k [sin(θ)] } dθ [3] 8 et [9] 9 ou D(ϕ m) = ϕ 0 { m [sin(θ)] } dθ ou D(ϕ \ α) = ϕ 0 { [sin(α)] [sin(θ)] } dθ. Ou : D(ϕ, k) = sin(ϕ) ( k t ) ( t ) dt [9] 0 ou 0 D(ϕ m) = sin(ϕ) ( m t ) ( t ) dt [] ou 0 D(ϕ \ α) = sin(ϕ) {( [sin(α)} t )] ( t ) dt []. 0 Remarque : nous avons noté cette intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce avec la lettre D, comme [3], et non comme il est d usage. p. 5 éq. (3..8) 3. pp Elliptic Integral of the First Kind éq. () 4. p. 589 éq. (7..6) 5. pp Elliptic Integral of the First Kind éq. (4) 6. p. 589 éq. (7..6) 7. D autres auteurs ont une définition différente de la forme canonique 8. p. 63 éq. (3.4.6) 9. pp Elliptic Integral of the Second Kind éq. () 0. pp Elliptic Integral of the Second Kind éq. (5). pp éq. (7..8). pp éq. (7..9) 9

12 avec la lettre E pour éviter toute confusion avec l intégrale elliptique complète de deuxième espèce (cf. ci-après) qui est notée avec la lettre E...4 De Troisième espèce De la forme : t dt (+C t ) [(A t +B ) (A t +B )]. On peut ramener ces intégrales elliptiques incomplètes de troisième espèce à la forme canonique 3 : Π(n, ϕ, k) = ϕ { n 0 [sin(θ)] } { k [sin(θ)] } dθ [9] 4 ou Π(n, ϕ m) = ϕ { n 0 [sin(θ)] } { m [sin(θ)] } dθ ou Π(n, ϕ \ α) = ϕ { n 0 [sin(θ)] } { [sin(α)] [sin(θ)] } dθ [] 5. Ou : Π(n, ϕ, k) = sin(ϕ) ( n t ) [( k t ) ( t )] dt [9] 6 ou 0 Π(n, ϕ m) = sin(ϕ) ( n t ) [( m t ) ( t )] dt [] 7 ou 0 Π(n, ϕ \ α) = sin(ϕ) ( n t ) { [sin(α)] t } ( t ) 0 dt.. Intégrales elliptiques complètes.. De première espèce Soit F est la fonction hypergéomeétrique (de Gauss) : Γ(c) Γ(a) Γ(b) l=0 Γ(a+l) Γ(b+l) Γ(c+l) F (a, b ; c ; u) est la fonction d Euler) [] 8, [9] 9. u l ; a R, b R, c R et u C (Γ l! 3. D autres auteurs ont une définition différente de la forme canonique 4. p. 540 Elliptic Integral of the Third Kind éq. () 5. p. 590 éqs. (7..4) et (7.7.) 6. p. 540 Elliptic Integral of the Third Kind éq. () 7. p. 590 éqs. (7..5) 8. pp Ch pp Hypergeometric Function 0

13 K(k) F( π, k) = π 0 [3] 0 et [9]. ou On a : { k [sin(θ)] } dθ = 0 [( k t ) ( t )] dt K(k) F( π, k) = π F (, ; ; k ) = π [+( ) k +(.3.4 ) k 4 +( ) k ] K(m) F( π m) = π 0 []....] On a : { m [sin(θ)] } dθ = 0 [( m t ) ( t )] dt K(m) F( π m) = π F (, ; ; m) = π [ + ( ) m + (.3.4 ) m + ( ) m 3 + K K(k) K(m) est, par définition, l intégrale elliptique complète de première espèce et K K(k ) K(m ) est, par définition, l intégrale elliptique complète complémentaire de première espèce Remarque : nous avons noté l intégrale elliptique complète de première espèce K comme [0], K(k) comme [3], [3] et [9] 3 et K(m) alors qu elle est notée K(m) par [] et [5]. Idem pour K... De deuxième espèce E(k) D( π, k) = π 0 [3] 4 ou [9] 5. K(m) D( π m) = π 0 { k [sin(θ)] } dθ = { m [sin(θ)] } dθ = 0 ( k t ) ( t ) dt 0 ( m t ) ( t ) dt E E(k) Ẽ(m) est, par définition, l intégrale elliptique complète de deuxième espèce et E E(k ) Ẽ(m ) est, par définition, l intégrale elliptique complète complémentaire de deuxième espèce. 0. p. 73 éq. (3.8.). pp Elliptic Integral of the Fist Kind éq. (). p. 590 éq. (7.3.) 3. pp Elliptic Integral of the Fisrt Kind, of the second Kind, of the third Kind et Elliptic Integral Singular Value 4. p. 73 éq. (3.8.3) 5. pp Elliptic Integral of the Second Kind éq. (6)

14 Remarque : nous avons noté l intégrale elliptique complète de deuxième espèce E comme [0], E(k) comme [3], [3] et [9] 6 et Ẽ(m) alors qu elle est notée E(m) par [] et [5]. Idem pour E...3 De troisième espèce Π(n, k) Π(n, π, k) = π 0 = 0 ( n t ) [( k t ) ( t )] dt ou : Π(n m) Π(n, π m) = π 0 { n [sin(θ)] } { k [sin(θ)] } dθ = 0 ( n t ) [( m t ) ( t )] dt [9] 7 ou : Π(n \ α) Π(n, π \ α) = π 0 { n [sin(θ)] } { m [sin(θ)] } dθ = 0 ( n t ) { [sin(α)] t } ( t ) dt [] Relation de Legendre { n [sin(θ)] } { [sin(α)] [sin(θ)] } dθ K E + K E K K = K(k) E(k ) + K(k ) E(k) K(k) K(k ) = K(m) Ẽ(m ) + K(m ) Ẽ(m) K(m) K(m ) = π. 6. pp Elliptic Integral of the Fisrt Kind, of the second Kind, of the third Kind et Elliptic Integral Singular Value 7. p. 540 Elliptic Integral of the Third Kind éq. (3) 8. p. 599 éq. (7.7.) pour la première expression

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16 Chapitre 3 Les quatre fonctions thêta de Jacobi et leurs dérivées. La fonctions dzéta de Jacobi Soit H {z C I(z) > 0} le demi-plan de Poincaré. Et soit τ H. Posons : q e π i τ ; alors q <. q est dénommé nome. θ 0, θ l= q (l+ ), θ 3 l= q l et θ 4 l= ( ) l q l. Alors on démontre la célèbre relation de Jacobi θ 4 3 = θ4 + θ4 4 []. k θ, k θ 4, m k et m θ θ k. Alors m + m =. 3 3 K π θ [] et [3] 3. Alors on démontre que K = dx 3 0 [( x ) ( k x )] [3] 4 et [0] 5 et il s agit bien de l intégrale elliptique complète de première espèce définie dans le chapitre précédent. K i τ K. Alors on démontre que K = 0 dx [( x ) ( k x )] et il s agit bien de l intégrale elliptique complète de première espèce définie dans le chapitre précédent. On constate alors que q e π K K [] 6.. p. 576 éq. (6.8.5). p p. 7 éq. (..3) 4. pp pp p. 59 éq. (7.3.7) 4

17 q e π K K [] 7. Alors on constate que ln( q ) ln( q ) = π [] 8. Rappel E 0 ( k x x ) dx et E 0 ( k x x ) dx. 3. Préliminaire : les quantités Q i ; i =,, 3, 4 On pourra consulter [3] 9, [0] 0, [] et [9]. Q Q (q) l=( + q l ) = ( m 4 ), m q Q Q (q) l=( + q l ) = ( 4 q m m ) Q 3 Q 3 (q) l=( q l ) = ( 4 m q ) 4, m Q 4 Q 4 (q) l=( q l ) = l= ( ) l q l (3 l+) = ( m m K 6 certains auteurs Q 4 est noté Q 0 ). 4, π 6 q ) (pour Alors Q Q Q 3 = (identité d Euler) (car Q Q Q 3 Q 4 Q 4 de manière assez triviale) [3] 3, [0] 4, [] 5 et [9] 6 et Q 8 = 6 q Q8 + Q8 3 [3] 7 et [9] 8. De plus : Q Q = l=( + q l ) = Q (q ) [3] 9 et [0] 0, Q Q 4 = l=( q 4 l ) = Q 4 (q ) [3] et [0], 7. p. 59 éq (7.3.8) 8. p. 59 éq (7.3.9) 9. p. 63 éq. (3..3) 0. p. 38 Exercice 5.9. p. 760 et p p. 473 Q-Function éqs. (), (3), (4) et (5) 3. p p. 38 Exercice 5.9 a 5. p p. 945 Jacobi Identities éq. () 7. p. 65 (3..6) 8. p. 945 Jacobi Identities éq. (3) 9. p. 64 éq (3..5. iv) 0. p. 38 Exercice 5.9. p. 64 éq (3..5. i). p. 38 Exercice 5.9 5

18 Q Q 3 = l=( q ( l ) ) = Q 3 (q ) [3] 3 et [0] 4, Q 3 Q 4 = l=( q l ) = Q 4 (q ) [3] 5 et [0] 6. Alors θ = q 4 Q Q 4 [3] 7, θ 3 = Q Q 4 [3] 8 et θ 4 = Q 3 Q 4 [3] Formule du triple produit de Jacobi On pourra consulter [3] 30, [0] 3 et [9] 3. l=( q l ) ( + z q l ) ( + z q l ) = l= z l q l ; z C [9] 33 ou l=( q l ) ( + z q l ) ( + z q l ) = l= z l q l ; z C [3] 34 et [0] Identité du quintuple produit l=( q l ) ( z q l ) ( z q l ) ( z q l ) ( z q l ) = l= (z 3 l z 3 l l ( l+) ) q ; z C [9] Formules de Ramanujan (93-94) ( + q) ( + q 3 ) ( + q 5 )... = 6 q 4 (k k ) [9] 37, ( q) ( q 3 ) ( q 5 )... = 6 q 4 k k 6 [9] p. 64 éq (3..5. iii) 4. p. 38 Exercice p. 64 éq (3..5. ii) 6. p. 38 Exercice p. 64 éq (3..8) 8. p. 64 éq (3..6) 9. p. 64 éq (3..7) 30. pp p. 33 Exercice pp Jacobi Triple Product 33. pp Jacobi Triple Product éqs. () et (5) 34. p. 6 éq. (3..) 35. p. 33 Exercice p. 500 Quintuple Product Identity 37. p. 84 Modular Equation éq. () 38. p. 84 Modular Equation éq. (3) 6

19 3. Les quatre fonctions thêta de Jacobi On pourra consulter [] 39, [0] 40, [] 4, [3] 4, [9] 43 et [0] 44. Il y a quatre fonctions thêta de Jacobi, notées 45 θ i (.) ; i =,, 3, 4 qui dépendent de la variable complexe u et des quantités τ, q ou m. On pose : θ i (u) θ i (u ; τ) θ i (u, q) θ i (u m) et θ i θ i (0) θ i (0, q) ; i =,, 3, 4 (les valeurs θ, θ, θ 3 et θ 4 sont données ci-devant). De plus on pose : λ(u) λ(u ; τ) e π i τ e π i u λ(u, q) q e π i u et : µ(u) µ(u ; τ) e π i τ 4 e π i u µ(u, q) q 4 e π i u. Soit : λ λ(0) = q et µ µ(0) = q Fonction θ 3 (.) θ 3 (u) l= q l e l π i u = + l= q l cos( l π u). Alors on montre que : θ 3 (u) = Q 4 l=[ + q l cos( π u) + q 4 l ] [0] 46, [] 47, [3] 48, [9] 49 et [0] 50. Propriétés La fonction θ 3 (.) est paire : θ 3 ( u) = θ 3 (u). θ 3 (u + ) = θ 3 (u) et θ 3 (u + τ) = [λ(u)] θ 3 (u) [3] 5. θ 3 θ 3 (0) = l= q l = Q Q 4 = ( K π ). 39. pp à pp Ch pp (XIV.3) partie I et pp App. A, Table 6.II 4. pp pp Theta Function 44. pp Ch. XXI 45. Cette notation θ i (.) des fonctions thêta évite de les confondre avec les scalaires θ i 46. p. 79 éq. (5) 47. p p. 5 éq. (.6.5) 49. p. 803 Theta Function éq. (3) 50. p p. 6 éq. (.3.4) 7

20 θ 3 ( ) = Q 3 Q 4. θ 3 ( τ ) = Q Q 4. θ 3 ( +τ ) = 0. Expressions de θ 3 θ 3 = K π. θ 3 = + 4 l= q l +q l [cette propriété peut être obtenue grâce à l expression de la fonction dn en série de cosinus (cf. ci-après) en utilisant la relation dn(0) = (cf. ci-après)] [] 5. θ = l=0 ( ) l q l+ [cette propriété peut être obtenue grâce à q l+ l expression de la fonction dc en série de cosinus (cf. ci-après) en utilisant la relation dc(0) = (cf. ci-après)] [9] 53. θ 3 = l=0 r l q l ; avec r l nombre de manières différentes d écrire l sous forme de deux carrés [0] 54. Expressions de θ 4 3 θ 4 3 = 4 q q ln θ 4(0, q) θ 4 (0, q) [0] 55. On en déduit : θ 4 3 = 4 q q ln Et, on en déduit : Q 3 (q) q 4 Q (q) = +8 q [ Q θ 4 = + 8 l q l 3 l= [9] 56, ou : +( ) l q l (q) Q 3 (q) Q (q) θ 4 = 4 q ( 8 l q 4 l 3 4 q l= + l q l q 4 l l= ) [0] 57. q l On a aussi, d après [0] : θ 4 3 = + 8 l l 0 mod4 l q l q l [0] 58. θ 4 3 = + 8 l l 0 mod4 ( k= l q k l ) [0] p. 59 éq. (7.3.) 53. p. 803 Theta Function éq. () 54. p. 37 Exercice 5.6 b 55. p. 8 éq. (0 ) 56. p. 803 Theta Function éq. (3) 57. p. 8 et p. 37 Exercice p. 37 Exercice 5.8 a 59. p. 37 Exercice 5.8 b Q 3 (q) ] = +8 l=[ l q l + ( l ) q l ]. +q l q l 8

21 θ 4 3 = + 8 l=( d l 4 d d) q l [0] 60. Il s agit d une formule que Jacobi a découverte le 4 avril 88. Équation de la chaleur La fonction θ 3 (.) vérifie l équation aux dérivées partielles de la chaleur : θ 3 (u ; τ) u = 4 π i θ 3(u ; τ) τ [] Fonction θ 4 (.) θ 4 (u) θ 3 (u + ). Soit : θ 4 (u) = l= ( ) l q l e l π i u = + l= ( ) l q l cos( l π u). Alors on montre que : θ 4 (u) = Q 4 l=[ q l cos( π u) + q 4 l ] [0] 6, [] 63, [3] 64, [9] 65 et [0] 66. Propriétés La fonction θ 4 (.) est paire : θ 4 ( u) = θ 4 (u). θ 4 (u + ) = θ 4 (u) et θ 4 (u + τ) = [λ(u)] θ 4 (u) [3] 67. θ 4 θ 4 (0) = θ 4 ( ) = Q Q 4. θ 4 ( τ ) = 0. θ 4 ( +τ ) = Q Q 4. Expressions de θ 4 θ 4 = k K π. l= ( ) l q l = Q Q 3 4 = ( m K 60. p. 69 éq. (5) et p. 38 Exercice 5.8 c 6. p. 530 éq. (9) et p p. 79 éq. (5) 63. p p. 5 éq. (.6.6) 65. p. 803 Theta Function éq. (33) 66. p p. 6 éq. (.3.5) π ). 9

22 θ = l= ( ) l ql [cette propriété peut être obtenue grâce à +q l l expression de la fonction nd en série de cosinus (cf. ci-après) en utilisant la relation nd(0) = (cf. ci-après)]. θ 4 = + 4 l=0 ( ) l+ q l+ +q l+ [cette propriété peut être obtenue grâce à l expression de la fonction nc en série de cosinus (cf. ci-après) en utilisant la relation nc(0) = (cf. ci-après)]. θ 4 = l=0 ( ) l r l q l [0] 68 (voir la définition de r l ci-devant). Expressions de θ 4 4 θ 4 4 = 4 q q ln θ 3(0, q) θ (0, q) [0] 69. On en déduit : θ 4 4 = 4 q q ln Q (q) = +8 q [ Q (q) Q (q) q 4 Q (q) Q (q) Q (q) ] = +8 l=[ l q l ( l ) q l ]. +q l +q l Équation de la chaleur La fonction θ 4 (.) vérifie l équation aux dérivées partielles de la chaleur : θ 4 (u ; τ) u = 4 π i θ 4(u ; τ) τ [] Fonction θ (.) θ (u) i µ(u) θ 3 (u + +τ ). Soit : θ (u) = i l= ( ) l q (l+ ) ( l+) π i u e = l=0 ( ) l q (l+ ) sin[( l + ) π u]. Alors on montre que : θ (u) = q 4 Q4 sin(π u) l=[ q l cos( π u)+q 4 l ] [0] 7, [] 7, [3] 73, [9] 74 et [0] p. 37 Exercice 5.6 b 69. p. 8 éq. (0 ) 70. p. 530 éq. (9) et p p. 79 éq. (5) 7. p p. 5 éq. (.6.3) 74. p. 803 Theta Function éq. (30) 75. p

23 Propriétés La fonction θ (.) est impaire : θ ( u) = θ (u). θ (u + ) = θ (u) et θ (u + τ) = [λ(u)] θ (u) [3] 76. θ θ (0) = 0. θ ( ) = q 4 Q Q 4. θ ( τ ) = i q 4 Q 3 Q 4. θ ( +τ ) = q 4 Q Q 4. θ = 0. θ 4 = 0. Équation de la chaleur La fonction θ (.) vérifie l équation aux dérivées partielles de la chaleur : θ (u ; τ) u = 4 π i θ (u ; τ) τ [] Fonction θ (.) θ (u) µ(u) θ 3 (u + τ ). Soit : θ (u) = l= q (l+ ) ( l+) π i u e = l=0 q (l+ ) cos[( l + ) π u]. Alors on montre que : θ (u) = q 4 Q4 cos(π u) l=[ + q l cos( π u) + q 4 l ] [0] 78, [] 79, [3] 80, [9] 8 et [0] 8. Propriétés La fonction θ (.) est paire : θ ( u) = θ (u). 76. p. 6 éq. (.3.) 77. p. 530 éq. (9) et p p. 79 éq. (5) mais avec une erreur 79. p p. 5 éq. (.6.4) 8. p. 803 Theta Function éq. (3) 8. p. 470

24 θ (u + ) = θ (u) et θ (u + τ) = [λ(u)] θ (u) [3] 83. ) π θ θ (0) = l= q (l+ ) = q 4 Q Q 4 = ( m K θ ( ) = 0. θ ( τ ) = q 4 Q Q 4. θ ( +τ ) = i q 4 Q 3 Q 4. Expressions de θ θ = k K π. θ = 4 l=0 q l+ +q l+ [cette propriété peut être obtenue grâce à l expression de la fonction cn en série de cosinus (cf. ci-après) en utilisant la relation cn(0) = (cf. ci-après)]. θ = 4 l=0 ( ) l ql+ [cette propriété peut être obtenue grâce à l expression de la fonction cd en série de cosinus (cf. ci-après) en utilisant la q l relation cd(0) = (cf. ci-après)]. θ = ; avec r l nombre de manières différentes d écrire l sous forme de deux carrés. Expressions de θ 4. θ 4 = 4 q q ln θ 4(0, q) θ 3 (0, q) [0] 84. On en déduit : θ 4 = 4 q ln Q 3 (q) = 8 q [ Q q Q (q) = 6 ( l ) q l l=. q 4 l (q) Q 3 (q) Q (q) Q 3 (q) ] = 8 l=[ ( l ) q l q l + ( l ) q l +q l ] Équation de la chaleur La fonction θ (.) vérifie l équation aux dérivées partielles de la chaleur : θ (u ; τ) u = 4 π i θ (u ; τ) τ [] p. 6 éq. (.3.3) 84. p. 8 éq. (0 ) 85. p. 530 éq. (9) et p. 784

25 3..5 Liens entre les fonctions θ i (.) ; i =,, 3, 4 θ (u) = θ (u + ) = i µ(u) θ 3(u + +τ) = i µ(u) θ 4(u + τ) [3] 86, θ (u) = µ(u) θ 3 (u + τ) = µ(u) θ 4(u + +τ) = θ (u + ) [3] 87, θ 3 (u) = θ 4 (u + ) = µ(u) θ (u + +τ) = µ(u) θ (u + τ) [3] 88, θ 4 (u) = i µ(u) θ (u + τ) = i µ(u) θ (u + +τ) = θ 3(u + ) [3] 89. θ 4 [θ (u)] = θ [θ 3[u)] θ 3 [θ (u)] [] 90, [0] 9 et [3] 9. θ 4 [θ (u)] = θ [θ 4(u)] θ 3 [θ (u)] [] 93, [0] 94 et [3] 95. θ 4 [θ 3[u)] = θ 3 [θ 4(u)] θ [θ (u)] [] 96, [0] 97 et [3] 98. θ 4 [θ 4(u)] = θ 3 [θ 3[u)] θ [θ (u)] [] 99, [0] 00 et [3] 0. [θ (u)] 4 + [θ 3 (u)] 4 = [θ (u)] 4 + [θ 4 (u)] 4 [] 0 et [3] Relations faisant intervenir l argument double θ θ 3 θ 4 θ ( u) = θ (u) θ (u) θ 3 (u) θ 4 (u) [3] 04, θ θ 3 θ ( u) = [θ (u)] [θ 3 (u)] [θ (u)] [θ 4 (u)], θ θ 4 θ ( u) = [θ (u)] [θ 4 (u)] [θ (u)] [θ 3 (u)] [3] 05, θ 3 θ 4 θ 3( u) = [θ 3 (u)] [θ 4 (u)] [θ (u)] [θ (u)] [3] 06, 86. p. 6 éq. (.3.6) 87. p. 6 éq. (.3.7) 88. p. 6 éq. (.3.8) 89. p. 6 éq. (.3.9) 90. p. 576 éq. (6.8.) 9. p. 75 éq. (8 ) 9. p. éq. (.4.5) 93. p. 576 éq. (6.8.) 94. p. 75 éq. (8 ) 95. p. éq. (.4.5) 96. p. 576 éq. (6.8.3) 97. p. 75 éq. (8 ) 98. p. éq. (.4.50) 99. p. 576 éq. (6.8.4) 00. p. 75 éq. (8 ) 0. p. éq. (.4.49) 0. p p. Exercice p. exemple p. exemple p. exemple 0 3

26 θ 3 4 θ 4( u) = [θ 3 (u)] 4 [θ (u)] 4 = [θ 4 (u)] 4 [θ (u)] 4 [3] 07, [θ (u)] [θ (u)] = θ 3 θ 4 [θ 3 θ 4 ( u) θ 4 θ 3 ( u)], [θ 3 (u)] [θ 4 (u)] = θ 3 θ 4 [θ 4 θ 3 ( u) + θ 3 θ 4 ( u)] Relations faisant intervenir la somme et la différence de deux arguments θ θ (u + v) θ (u v) = [θ (u)] [θ (v)] [θ (u)] [θ (v)] = [θ 4 (u)] [θ 3 (v)] [θ 3 (u)] [θ 4 (v)] [3] 08, θ θ (u + v) θ (u v) = [θ (u)] [θ (v)] [θ (u)] [θ (v)] = [θ 3 (u)] [θ 3 (v)] [θ 4 (u)] [θ 4 (v)] [3] 09, θ θ 3(u + v) θ 3 (u v) = [θ 3 (u)] [θ (v)] + [θ 4 (u)] [θ (v)] = [θ (u)] [θ 3 (v)] + [θ (u)] [θ 4 (v)] [3] 0, θ θ 4(u + v) θ 4 (u v) = [θ 4 (u)] [θ (v)] + [θ 3 (u)] [θ (v)] = [θ (u)] [θ 3 (v)] + [θ (u)] [θ 4 (v)] [3]. θ 3 θ (u + v) θ (u v) = [θ (u)] [θ 3 (v)] [θ 3 (u)] [θ (v)] = [θ 4 (u)] [θ (v)] [θ (u)] [θ 4 (v)] [3], θ 3 θ (u + v) θ (u v) = [θ (u)] [θ 3 (v)] [θ 4 (u)] [θ (v)] = [θ 3 (u)] [θ (v)] [θ (u)] [θ 4 (v)] [3] 3, θ 3 θ 3(u + v) θ 3 (u v) = [θ (u)] [θ (v)] + [θ 3 (u)] [θ 3 (v)] = [θ (u)] [θ (v)] + [θ 4 (u)] [θ 4 (v)] [3] 4, θ 3 θ 4(u + v) θ 4 (u v) = [θ (u)] [θ (v)] + [θ 3 (u)] [θ 4 (v)] = [θ (u)] [θ (v)] + [θ 4 (u)] [θ 3 (v)] [3] 5. θ 4 θ (u + v) θ (u v) = [θ 3 (u)] [θ (v)] [θ (u)] [θ 3 (v)] = [θ (u)] [θ 4 (v)] [θ 4 (u)] [θ (v)] [3] 6 et [0] 7, θ 4 θ (u + v) θ (u v) = [θ 4 (u)] [θ (v)] [θ (u)] [θ 3 (v)] 07. p. exemple p. 9 éq. (.4.30) 09. p. 0 éq. (.4.3) 0. p. 0 éq. (.4.3). p. 0 éq. (.4.33). p. 9 éq. (.4.3) 3. p. 9 éq. (.4.4) 4. p. 9 éq. (.4.5) 5. p. 9 éq. (.4.6) 6. p. 8 éq. (.4.6) 7. p. 74 éq. (8 ) 4

27 = [θ (u)] [θ 4 (v)] [θ 3 (u)] [θ (v)] [3] 8 et [0] 9, θ 4 θ 3(u + v) θ 3 (u v) = [θ 4 (u)] [θ 3 (v)] [θ (u)] [θ (v)] = [θ 3 (u)] [θ 4 (v)] [θ (u)] [θ (v)] [3] 0 et [0], θ 4 θ 4(u + v) θ 4 (u v) = [θ 3 (u)] [θ 3 (v)] [θ (u)] [θ (v)] = [θ 4 (u)] [θ 4 (v)] [θ (u)] [θ (v)] [3] et [0] 3. θ θ 3 θ (u + v) θ 4 (u v) = θ (u) θ 4 (u) θ (v) θ 3 (v) + θ (u) θ 3 (u) θ (v) θ 4 (v) [3] 4, θ θ 3 θ (u + v) θ 3 (u v) = θ (u) θ 3 (u) θ (v) θ 3 (v) θ (u) θ 4 (u) θ (v) θ 4 (v) [3] 5, θ θ 4 θ (u + v) θ 3 (u v) = θ (u) θ 3 (u) θ (v) θ 4 (v) + θ (u) θ 4 (u) θ (v) θ 3 (v) [3] 6, θ θ 4 θ (u + v) θ 4 (u v) = θ (u) θ 4 (u) θ (v) θ 4 (v) θ (u) θ 3 (u) θ (v) θ 3 (v) [3] 7. θ 3 (u) θ 3 (v) θ 4 (u) θ 4 (v) = θ 3 θ 4 [θ 3 (u + v) θ 4 (u v) + θ 4 (u + v) θ 3 (u v)] [3] 8, θ (u) θ (v) θ (u) θ (v) = θ 3 θ 4 [θ 4 (u + v) θ 3 (u v) θ 3 (u + v) θ 4 (u v)] [3] 9. θ 3 θ 4 θ 3 (u + v) θ 4 (u v) = θ 3 (u) θ 4 (u) θ 3 (v) θ 4 (v) θ (u) θ (u) θ (v) θ (v) [3] 30, θ 3 θ 4 θ (u + v) θ (u v) = θ (u) θ (u) θ 3 (v) θ 4 (v) + θ 3 (u) θ 4 (u) θ (v) θ (v) [3] Relations faisant intervenir les nomes q et q et les transformations de Landen On pourra consulter [3] p. 8 éq. (.4.7) 9. p. 74 éq. (8 ) 0. p. 8 éq. (.4.8). p. 74 éq. (8 ). p. 9 éq. (.4.9) 3. p. 74 éq. (8 ) 4. p. 0 éq. (.4.38) 5. p. 0 éq. (.4.39) 6. p. 0 éq. (.4.40) 7. p. 0 éq. (.4.4) 8. p. éq. (.4.45) 9. p. éq. (.4.46) 30. p. éq. (.4.47) 3. p. éq. (.4.48) 3. pp

28 θ (u, q) θ (v, q) = θ (u + v, q ) θ 4 (u v, q ) + θ 4 (u + v, q ) θ (u v, q ) [3] 33, θ (u, q) θ (v, q) = θ (u + v, q ) θ 3 (u v, q ) + θ 3 (u + v, q ) θ (u v, q ) [3] 34, θ 3 (u, q) θ 3 (v, q) = θ 3 (u + v, q ) θ 3 (u v, q ) + θ (u + v, q ) θ (u v, q ) [3] 35, θ 3 (u, q) θ 4 (v, q) = θ 4 (u + v, q ) θ 4 (u v, q ) θ (u + v, q ) θ (u v, q ) [3] 36, θ 4 (u, q) θ 4 (v, q) = θ 3 (u + v, q ) θ 3 (u v, q ) θ (u + v, q ) θ (u v, q ) [3] 37. Et donc en faisant v = u : θ (u, q) θ (u, q) = θ ( u, q ) θ 4 (0, q ) [3] 38, [θ (u, q)] = θ ( u, q ) θ 3 (0, q ) + θ 3 ( u, q ) θ (0, q ), [θ 3 (u, q)] = θ 3 ( u, q ) θ 3 (0, q ) + θ ( u, q ) θ (0, q ) [3] 39, θ 3 (u, q) θ 4 (u, q) = θ 4 ( u, q ) θ 4 (0, q ) [3] 40, [θ 4 (u, q)] = θ 3 ( u, q ) θ 3 (0, q ) θ ( u, q ) θ (0, q ) [3] 4. On en déduit les transformations de Landen pour les fonctions thêta : θ ( u, q ) = θ (u, q) θ (u, q) θ 3 (0, q) θ 4 (0, q) [3] 4, θ ( u, q ) = [θ 3(u, q)] [θ 4 (u, q)] [3] 43, {[θ 3 (0, q)] [θ 4 (0, q)] } θ 3 ( u, q ) = [θ 3(u, q)] +[θ 4 (u, q)] [3] 44, {[θ 3 (0, q)] +[θ 4 (0, q)] } θ 4 ( u, q ) = θ 3(u, q) θ 4 (u, q) θ [3] 45, 3 (0, q) θ 4 (0, q) Ces transformations sont souvent écrites avec les foonctions θ i (u ; τ) ; c est ce que fait [3] p. 8 éq. (.4.8) 34. p. 8 éq. (.4.9) 35. p. 8 éq. (.4.0) 36. p. 8 éq. (.4.) 37. p. 8 éq. (.4.) 38. p. 7 éq. (.8.) 39. p. 7 éq. (.8.) 40. p. 7 éq. (.8.3) 4. p. 7 éq. (.8.4) 4. p. 8 éq. (.8.8) 43. p. 8 éq. (.8.9) 44. p. 8 éq. (.8.0) 45. p. 8 éq. (.8.) 46. p. 8 6

29 3..9 Les transformations (imaginaires) de Jacobi On pourra consulter [0] 47, [] 48 et [3] 49. θ (u ; τ) = i ( τ i ) e i π u τ θ ( u τ ; τ ) [0] 50, [] 5 et [3] 5, θ (u ; τ) = ( τ i ) e i π u τ θ 4 ( u τ ; τ ) [0] 53, [] 54 et [3] 55, θ 3 (u ; τ) = ( τ i ) e i π u τ θ 3 ( u τ ; τ ) [0] 56, [] 57 et [3] 58, θ 4 (u ; τ) = ( τ i ) e i π u τ θ ( u τ ; τ ) [0] 59, [] 60 et [3] Les quatre fonctions θ (.) ; i =,, 3, 4 i 3.3. Fonction θ (.) θ (u) = i µ(u) [π i θ 3(u + +τ) + +τ θ 3 (u + )]. θ (u) = π l=0 ( ) l ( l + ) q (l+ ) cos[( l + ) π u]. θ (u) = π [cot(π u) + 4 q l sin( l π u) θ (u) l= ] [9] 6 et [0] 63. Et aussi : q l θ (u) = π [cot(π u) + 4 sin( π u) q l θ (u) l= ] [0] 64. q l cos( π u)+q 4 l Propriétés La fonction θ (.) est paire : θ ( u) = θ (u). 47. p. 83 éqs (4) 48. p. 530 éqs. (8) 49. pp p. 83 première des éqs (4) 5. p. 530 première des éqs. (8) 5. p. 7 éq. (.7.4) 53. p. 83 quatrième des éqs (4) 54. p. 530 deuxième des éqs. (8) 55. p. 7 éqs. (.7.3) et (.7.5) 56. p. 83 troisième des éqs (4) 57. p. 530 troisième des éqs. (8) 58. p. 7 éqs. (.7.0) et (.7.) 59. p. 83 deuxième des éqs (4) 60. p. 530 quatrième des éqs. (8) 6. p. 7 éqs. (.7.3) et (.7.5) 6. p. 803 Theta Function éq. () 63. p. 489 Exercice 64. p. 489 Exercice 5 7

30 θ (u + ) = θ (u) et θ (u + τ) = [λ(u)] [ π i θ (u) θ (u)]. θ θ (0) = π l=0 ( ) l ( l + ) q (l+ ) = π q 4 Q 3 = ( 3 m m K3 ) π. Et on constate que : θ = π θ θ 3 θ 4 = π q 4 Q 3. Il s agit d une relation de Poisson (87) 4 [] 65, [] 66 et [9] 67. θ ( ) = 0. θ ( τ ) = π q 4 Q 3 Q 4. θ ( +τ ) = π i q 4 Q Q Fonction θ (.) θ (u) = µ(u) [π i θ 3(u + τ ) + θ 3 (u + τ )]. θ (u) = π l=0( l + ) q (l+ ) sin[( l + ) π u]. θ (u) = π [ tan(π u) + 4 ( ) l q l sin( l π u) θ (u) l= ] [9] 68 et [0] 69. Et aussi : q l θ (u) = π [tan(π u) + 4 sin( π u) q l θ (u) l= ] [0] q l cos( π u)+q 4 l Propriétés La fonction θ (.) est impaire : θ ( u) = θ (u). θ (u + ) = θ (u) et θ (u + τ) = [λ(u)] [ π i θ (u) + θ (u)]. θ θ (0) = 0. θ ( ) = π q 4 Q 3 4. θ ( τ ) = π i q 4 Q Q 4. θ ( +τ ) = π q 4 Q 3 Q p p p. 803 Theta Function éq. (39) 68. p. 803 Theta Function éq. (7) 69. p. 489 Exercice 70. p. 489 Exercice 5 4 8

31 3.3.3 Fonction θ 3 (.) θ 3 (u) = 4 π l= l q l sin( l π u). θ 3 (u) = 4 π ( ) l q l sin( l π u) θ 3 (u) l= [9] 7 et [0] 7. Et aussi : q l θ 3 (u) = 4 π sin( π u) q l θ 3 (u) l= [0] q l cos( π u)+q 4 l Propriétés La fonction θ 3 (.) est impaire : θ 3 ( u) = θ 3 (u). θ 3 (u + ) = θ 3 (u) et θ 3 (u + τ) = [λ(u)] [ π i θ 3 (u) + θ 3 (u)]. θ 3 θ 3 (0) = 0. θ 3 ( ) = 0. θ 3 ( τ ) = π i Q Q 4. θ 3 ( +τ ) = π i Q Fonction θ 4 (.) θ 4 (u) = θ 3 (u + ). θ 4 (u) = 4 π l= ( ) l l q l sin( l π u). θ 4 (u) = 4 π q l sin( l π u) θ 4 (u) l= [9] 74 et [0] 75. Et aussi : q l θ 4 (u) = 4 π sin( π u) q l θ 4 (u) l= [0] 76. q l cos( π u)+q 4 l Propriétés La fonction θ 4 (.) est impaire : θ 4 ( u) = θ 4 (u). θ 4 (u + ) = θ 4 (u) et θ 4 (u + τ) = [λ(u)] [ π i θ 4 (u) θ 4 (u)]. θ 4 θ (0) = 0. 4 θ 4 ( ) = p. 803 Theta Function éq. (8) 7. p. 489 Exercice 73. p. 489 Exercice p. 803 Theta Function éq. (9) 75. p. 489 Exercice 76. p. 489 Exercice 5 9

32 θ 4 ( τ ) = π i Q3 4. θ 4 ( +τ ) = π i Q Q Autres relations [ θ (u) θ (u) ] = π θ θ 3 (u) θ 4 (u) [3] 77. [θ (u)] [ θ 3(u) θ (u) ] = π θ θ (u) θ 4 (u) [3] [θ (u)] [ θ 4(u) θ (u) ] = π θ θ (u) θ 3 (u) [3] [θ (u)] [ θ (u) θ (u) ] = π θ θ 3 (u) θ 4 (u) [3] 80. [θ (u)] [ θ 3(u) θ (u) ] = π θ θ (u) θ 4 (u) [3] 8. 4 [θ (u)] [ θ 4(u) θ (u) ] = π θ θ (u) θ 3 (u) [3] 8. 3 [θ (u)] [ θ (u) θ 3 (u) ] = π θ θ (u) θ 4 (u) [3] [θ 3 [u)] [ θ (u) θ 3 (u) ] = π θ θ (u) θ 4 (u) [3] [θ 3 [u)] [ θ 4(u) θ 3 (u) ] = π θ θ (u) θ (u) [3] 85. [θ 3 [u)] [ θ (u) θ 4 (u) ] = π θ θ (u) θ 3 (u) [3] [θ 4 (u)] [ θ (u) θ 4 (u) ] = π θ θ (u) θ 3 (u) [3] [θ 4 (u)] [ θ 3(u) θ 4 (u) ] = π θ θ (u) θ (u) [3] 88. [θ 4 (u)] 77. p. 0 éq. (.9.6) 78. p. 9 éq. (.9.4) 79. p. 9 éq. (.9.) 80. p. 9 éq. (.9.0) 8. p. 0 éq. (.9.5) 8. p. 9 éq. (.9.) 83. p. 9 éq. (.9.8) 84. p. 9 éq. (.9.9) 85. p. 0 éq. (.9.3) 86. p. 9 éq. (.9.3) 87. p. 9 éq. (.9.6) 88. p. 9 éq. (.9.7) 30

33 3.3.6 Liens entre les fonctions θ (.) ; i =,, 3, 4 i θ (u) = θ (u + ) = i µ(u) [π i θ 3(u + +τ) + +τ θ 3 (u + )] = i µ(u) [π i θ 4 (u + τ) + θ (u + τ)], 4 θ (u) = µ(u) [π i θ 3(u + τ) + θ 3 (u + τ)] = µ(u) [π i θ 4(u + +τ) + +τ θ (u + )] 4 = θ (u + ), θ 3 (u) = θ (u + ) = µ(u) [π i θ 4 (u + +τ) + +τ θ (u + )] = µ(u) [π i θ (u + τ) + θ (u + τ)], θ (u) = i µ(u) [π i θ 4 (u + τ) + θ (u + τ)] = i µ(u) [π i θ (u + +τ) + +τ θ (u + )] = θ 3 (u + ). θ 4 θ (u) θ (u) = θ θ 3(u) θ 3 (u) θ 3 θ (u) θ (u), θ 4 θ (u) θ (u) = θ θ 4(u) θ 4 (u) θ 3 θ (u) θ (u), θ 4 θ 3(u) θ 3 (u) = θ 3 θ 4(u) θ 4 (u) θ θ (u) θ (u), θ 4 θ 4(u) θ 4 (u) = θ 3 θ 3(u) θ 3 (u) θ θ (u) θ (u). 3.4 Les quatre fonctions θ (.) ; i =,, 3, 4 i 3.4. Fonction θ (.) θ (u) = π l=0 ( ) l ( l + ) q (l+ ) sin[( l + ) π u]. Propriétés La fonction θ (.) est impaire : θ ( u) = θ (u). θ θ (u + ) = θ (u) et θ (u + τ) = [λ(u)] [4 π θ (u) + 4 π i θ (u) θ (u)]. θ (0) = 0. θ ( ) = θ. θ ( τ ) = i q 4 (θ 4 π Q 3 Q 4). θ ( +τ ) = q 4 (θ 3 π Q Q 4) Fonction θ (.) θ (u) = π l=0 ( l + ) q (l+ ) cos[( l + ) π u]. Propriétés La fonction θ (.) est paire : θ ( u) = θ (u). 3

34 θ θ (u+) = θ (u) et θ (u+τ) = [λ(u)] [ 4 π θ (u) 4 π i θ (u)+θ (u)]. θ (0) = π l=0 ( l + ) q (l+ ) = π [+8 q l l= ] θ (+q l ) [3] 89. θ ( ) = 0. θ ( τ ) = q 4 (θ 3 π Q Q 4). θ ( +τ ) = i q 4 (θ 4 π Q 3 Q 4) Fonction θ 3 (.) θ 3 (u) = 8 π l= l q l cos( l π u). Propriétés La fonction θ 3 (.) est paire : θ 3 ( u) = θ 3 (u). θ 3 (u + ) = θ 3 (u) et θ (u + τ) = [λ(u)] [ 4 π θ 3 (u) 4 π i θ 3 (u) + θ 3 (u)]. θ 3 θ 3 (0) = 8 π l= l q l = 8 π [ q l l= ] θ (+q l ) 3 [3] 90. θ 3 ( ) = θ 4. θ 3 ( τ ) = q 4 θ π Q Q 4. θ 3 ( +τ ) = 4 π Q Fonction θ 4 (.) θ 4 (u) = 8 π l= ( ) l l q l cos( l π u). Propriétés La fonction θ (.) est paire : θ ( u) = θ (u) θ 4 θ 4 (u + ) = θ (u) et θ (u + τ) = 4 4 [λ(u)] [4 π θ 4 (u) + 4 π i θ (u) θ (u)]. 4 4 θ (0) = 8 4 π l= ( ) l l q l = 8 π [ q l l= ] θ ( q l ) 4 [3] 9. θ 4 ( ) = θ 3. θ 4 ( τ ) = 4 π Q 3 4. θ 4 ( +τ ) = q 4 θ π Q Q p. Exercice p. Exercice 4 9. p. Exercice 4 3

35 3.4.5 Liens entre les fonctions θ (.) ; i =,, 3, 4 i (u) = θ (u + ) = µ(u) [π i θ 3 (u + +τ) + π +τ θ 3 (u + ) i +τ θ 3 (u + )] = µ(u) [π i θ 4 (u + τ) + π θ (u + τ) i 4 θ (u + τ)], 4 θ (u) = µ(u) [ π θ 3 (u + τ) + π i θ 3 (u + τ) + θ 3 (u + τ)] = µ(u) [ π θ 4 (u + +τ) + π i +τ θ (u + ) + +τ 4 θ (u + )] = θ (u + ), 4 θ 3 (u) = θ (u + ) = µ(u) 4 [ π θ (u + +τ) + π i +τ θ (u + ) + +τ θ (u + )] = µ(u) [ π θ (u + τ) + π i θ (u + τ) + θ (u + τ)], θ (u) = µ(u) 4 [π i θ (u + τ) + π θ (u + τ) i θ (u + τ)] = µ(u) [π i θ (u + +τ) + π +τ θ (u + ) i +τ θ (u + )] = θ 3 (u + ). θ θ 4 θ 4 θ 4 θ 4 θ 3 θ 3 θ 3 θ θ θ 3 = π θ 4 [3] 9. θ = π θ 4 3 [3] 93. θ = π θ 4 4 [3] La fonction θ (.) θ (u) = π3 l=0 ( ) l ( l + ) 3 q (l+ ) cos[( l + ) π u]. Propriétés La fonction θ θ (u + ) = θ (u) et (.) est paire : θ ( u) = θ (u). θ (u + τ) = [λ(u)] [ 8 π 3 i θ (u) + π θ θ θ (0) = π3 l=0 ( ) l ( l + ) 3 q (l+ ). θ ( ) = 0. θ ( τ ) = π q 4 (3 θ 4 π Q 3 Q 4) θ ( +τ ) = π q 4 i (π Q Q 4 3 θ 3 ). θ θ = θ θ + θ 3 θ 3 + θ 4 θ 4 = π [4 l= q l (u) + 6 π i θ (u) θ (u)]. ( q l ) ] [] 95 et [3] p. Exercice 6 (i) 93. p. Exercice 6 (ii) 94. p. Exercice 6 (iii) 95. p. 784 mais avec une erreur 96. p. Exercices 3, 4 et 5 33

36 3.6 Les notations originelles de Jacobi Θ (u) θ 3 ( u π θ 3 ) et θ 3 (u) = Θ (π θ 3 u), Θ(u) θ 4 ( u π θ 3 ) et θ 4 (u) = Θ(π θ 3 u) [] 97, H (u) θ ( u π θ 3 ) et θ (u) = H (π θ 3 u), H(u) θ ( u π θ 3 ) et θ (u) = H(π θ 3 u) [] 98. On a : Θ(u + π θ 3 ) = Θ (u) [] 99, H(u + π θ 3 ) = H (u) [] Les notations de Neville u θ s (u) = H(u) θ = π ( H (0) θ π θ ) 3 3 θ c (u) = H (u) θ d (u) = Θ (u) θ n (u) = Θ(u) On a : H( π θ 3 ) = θ( u π θ 3 θ ) u θ3( = π θ ) 3 θ( π θ 3 ) u θ 4( = π θ ) 3 Θ(0) [] 0, θ [] 0, θ 3 [] 03, θ 4 [] 04. H (u) = θ ( u ) et H H (0) = θ. π θ π θ π θ Les notations de Hermite et Weber On pourra consulter [0] 05. θ µ, ν (u) θ µ, ν (u ; τ) θ µ, ν (u, q) θ µ, ν (u m), avec : θ µ, ν (u) l= ( ) ν l q (l+ µ ) e ( l+µ) π i u ; (µ, ν) {0, }. Alors : 97. p. 577 éq. (6.3.) 98. p. 577 éq. (6.3.3) 99. p. 577 éq. (6.3.) 00. p. 577 éq. (6.3.4) 0. p. 578 éqs. (6.36.) et (6.36.6) 0. p. 578 éqs. (6.36.) et (6.36.6) 03. p. 578 éqs. (6.36.) et (6.36.7) 04. p. 578 éqs. (6.36.) et (6.36.7) 05. p. 73 avec une erreur sur l exposant de q et p. 79 sans erreur 34

37 θ 0, 0 = θ 3, θ 0, = θ 4, θ, 0 = θ, θ, = i θ. Et : θ µ, ν (u + ) = ( ) µ θ µ, ν (u) θ µ, ν (u + τ) = ( ) ν [λ(u)] θ µ, ν (u) Équation de la chaleur Les fonctions θ µ, ν vérifient l équation aux dérivées partielles de la chaleur : θ µ, ν (u ; τ) u = 4 π i θ µ, ν(u ; τ) τ ; (µ, ν) {0, } [0] La fonction dzéta de Jacobi On pourra consulter [] 07, [3] 08, [9] 09 et [0] 0. La fonction dzéta de Jacobi, notée Z, qui dépend de la variable complexe u et des quantités τ, q ou m, est telle que : Z(u) Z(u ; τ) Z(u, q) Z(u m), avec : Z(u) montre que : d {ln[θ(u)]} = du d {ln[θ du 4( u )]} = π θ π θ 3 3 θ 4 ( u π θ ) 3 u θ 4 ( π θ 3 ) []. Alors on Z(u) = 4 θ 3 l= q l q l sin( l u ) []. θ 3 On constate que Z(K) = Z( π θ 3 ) = 0 [car θ 4 ( ) = 0]. 06. p. 80 éq. (6) 07. p pp pp Zeta Function 0. pp à p. 578 éq. (6.34.4). p. 595 éq. (7.4.38) 35

38 Chapitre 4 Les douze fonctions elliptiques de Jacobi, la fonction amplitude et leurs inverses On pourra consulter [], [3], [5], [9] 3 et [0] Les douze fonctions elliptiques de Jacobi directes 4.. Les trois fonctions elliptiques de Jacobi de base Les trois fonctions elliptiques de Jacobi de base sont les trois fonctions, qui dépendent de la variable complexe u et des quantités τ, q ou m : cn(u) cn(u ; τ) cn(u, q) cn(u m), et idem pour sn et dn, telles que : cn(u) θ 4 θ u θ ( π θ ) 3 u θ 4 ( π θ 3 ) [3] 5, [] 6, [9] 7 et [0] 8,. pp App. A. Table 6.III (III) Jacobi s Elliptic Functions. pp Ch.. Jacobi s Elliptic Functions 3. pp Jacobi Elliptic Functions. Pour les trois fonctions elliptiques de Jacobi de base 4. pp Ch. XXII 5. p p p. 94 Jacobi Elliptic Functions éq. () 8. p. 49 éq. (B) 36

39 sn(u) θ 3 θ dn(u) θ 4 θ 3 u θ ( π θ ) 3 θ 4 ( u π θ 3 θ 3 ( u π θ 3 θ 4 ( u π θ 3 ) [3] 9, [] 0, [9] [0], ) ) [3] 3, [] 4, [9] 5 et [0] Les neuf fonctions elliptiques de Jacobi auxiliaires Les neuf fonctions elliptiques de Jacobi auxiliaires sont les trois fonctions, qui dépendent de la variable complexe u et des quantités τ, q ou m : nc(u) nc(u ; τ) nc(u, q) nc(u m), et idem pour ns et nd et : et les six fonctions, qui dépendent de la variable complexe u et des quantités τ, q ou m : cs(u) cs(u ; τ) cs(u, q) cs(u m), et idem pour sc, cd, dc, sd et ds, telles que : nc(u), ns(u) et nd(u) et : cn(u) sn(u) dn(u) cs(u) cn(u) sn(u), sc(u) sn(u) cn(u) sd(u) sn(u) dn(u), ds(u). dn(u) sn(u) cn(u) dn(u), cd(u), dc(u), dn(u) cn(u) Remarque : ces six dernières fonctions elliptiques de Jacobi suffisent à calculer les six autres (cf. ci-après). De plus : cd(u) = sn(k u), sd(u) = m cn(k u) et nd(u) = m dn(k u). 9. p p p. 94 Jacobi Elliptic Functions éq. (). p. 49 éq. (A) 3. p p p. 94 Jacobi Elliptic Functions éq. (3) 6. p. 49 éq. (C) 37

40 4..3 La fonction cn cn(u) = π k K l=0 q l+ ( l+) π u cos[ ] +q l+ K = u! + ( + 4 m) u4 4! ( + 44 m + 6 m ) u6 6! +... [] 7 [5] 8 [0] 9. Expression sous forme de produit cn(u) = q 4 k k cos( π u K ) + q l cos( π u K )+q4 l l=[ q l cos( π u K )+q4 l ] [0] 0 [3]. Propriétés cn est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K + K i. Elle est paire : cn( u) = cn(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K et 3 K, ses pôles sont K + K i (avec le résidu k i = m i) et 4 K + K i (avec le résidu k i = m i). Autres valeurs de la fonction cn, dans ou sur le parallélogramme fondamental cn(0) = cn( K) = m 4 ( + m cn( K) = ) cn( K + K i) = m 4 m 4 ( i) cn(k + K i) = m m i cn(3 K + K i) = m m i cn(u ± K) = m sd(u) cn(u ± K) = cn(u) cn(u + K + K i) = m m [nc(u)] i cn(u + K i) = m [ds(u)] i cn(u ± K i) = cn(u) cn(u + K + K i) = cn(u). 7. p. 575 éq. (6.3.) 8. p p p p. 4 éq. (..). sur le parallélogramme fondamental signifie sur les cotés bas et gauche de ce parallélogramme 38

41 K i K i O x o o K K 3K 4K Figure : fonction cn ; o=zéro et x=pôle. x cn(u 0) = cos(u) et cn(u ) = sech(u) [5] La fonction sn sn(u) = π k K = u ( + m) u3 [5] 5 [0] 6. l=0 q l+ q l+ ( l+) π u sin[ ] K + ( + 4 m + m ) u5 ( + 35 m + 35 m + m 3 ) u [] 4 3! 5! 7! Expression sous forme de produit sn(u) = q 4 k sin( π u K ) q l cos( π u K )+q4 l l=[ q l cos( π u K )+q4 l ] [0] 7 [3] 8. Propriétés sn est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K i. Elle est impaire : sn( u) = sn(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont 0 et K, ses pôles sont K i (avec le résidu k = m ) et K + K i (avec le résidu k = m ). Autres valeurs de la fonction sn, dans ou sur le parallélogramme fondamental 3. p. 4. p. 575 éq. (6.3.) 5. p p p p. 4 éq. (..) 39

42 ) sn( K) = ( + m sn(k) = sn( K i) = m 4 i sn(k + K i) = m sn(3 K + K i) = m sn(u ± K) = ±cd(u) sn(u ± K) = sn(u) sn(u + K + K i) = m dc(u) sn(u + K i) = m ns(u) sn(u ± K i) = sn(u) sn(u + K + K i) = sn(u). K i K i x x o O K o K 3K 4K Figure : fonction sn ; o=zéro et x=pôle. sn(u 0) = sin(u) et sn(u ) = tanh(u) [5] La fonction dn dn(u) = π + π K K l= q l +q l cos( l π u K ) = m u u4 + m (4 + m) m ( m +! 4! m ) u [] 30 [3] 3 [5] 3 [0] 33. 6! Expression sous forme de produit dn(u) = k l=[ + q l cos( π K u )+q4 l ] [0] 34 [3] 35. q l cos( π K u )+q4 l 9. p. 30. p. 575 éq. (6.3.3) 3. p. 37 éq. (.5.6) 3. p p. 5 exemple 34. p p. 4 éq. (..3) 40

43 Propriétes dn est doublement périodique, d ordre, de périodes K et 4 K i. Elle est paire : dn( u) = dn(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K + K i et K + 3 K i, ses pôles sont K i (avec le résidu i) et 3 K i (avec le résidu i). Autres valeurs de la fonction dn, dans ou sur le parallélogramme fondamental dn(0) = dn( K ) = m 4 dn(k) = m dn( K i) = ( + m ) dn( K i) = dn(k + K i) = m dn(u ± K) = m nd(u) dn(u ± K) = dn(u) dn(u + K + K i) = m [sc(u)] i dn(u + K i) = [cs(u)] i dn(u ± K i) = dn(u) dn(u + K + K i) = dn(u). 4K i 3K i x o K i K i x o O K K Figure 3 : fonction dn ; o=zéro et x=pôle. dn(u 0) = et dn(u ) = sech(u) [5] p. 4

44 4..6 La fonction cd cd(u) = π k K l=0 ( ) l q l+ q l+ ( l+) π u cos[ ] [] 37 et [0] 38. K cd est doublement périodique, d ordre de périodes 4 K et K i. Elle est paire : cd( u) = cd(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K et 3 K, ses pôles sont K + K i et 3 K + K i. Autres valeurs de la fonction cd, dans ou sur le parallélogramme fondamental cd(0) = ) cd( K) = ( + m cd( K) = cd( K i) = m 4 cd(k i) = m cd( K + K i) = m cd(u ± K) = sn(u) cd(u ± K) = cd(u) cd(u + K + K i) = m ns(u) cd(u + K i) = m dc(u) cd(u ± K i) = cd(u) cd(u + K + K i) = cd(u). K i K i x x 37. p. 575 éq. (6.3.4) 38. p. 5 O o K K o 3K 4K Figure 4 : fonction cd ; o=zéro et x=pôle. 4

45 4..7 La fonction sd sd(u) = π k k K l=0 ( ) l q l+ ( l+) π u sin[ ] [] 39 et [0] 40. +q l+ K sd est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K + K i. Elle est impaire : sd( u) = sd(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont 0 et K, ses pôles sont K + K i et 3 K + K i. Autres valeurs de la fonction sd, dans ou sur le parallélogramme fondamental sd( K) = m 4 ( + m ) sd(k) = m sd( K + K i) = m 4 m 4 ( + i) sd( K + K i) = m i sd(4 K + K i) = m i sd(u ± K) = ±m cn(u) sd(u ± K) = sd(u) sd(u + K + K i) = m m [ds(u)] i sd(u + K i) = m [nc(u)] i sd(u ± K i) = sd(u) sd(u + K + K i) = sd(u). K i K i o 39. p. 575 éq. (6.3.5) 40. p. 5 x o O K K 3K 4K x Figure 5 : fonction sd ; o=zéro et x=pôle. 43

46 4..8 La fonction nd nd(u) = π + π k K k K l= ( ) l q l +q l cos( l π u K ) [] 4 et [0] 4. nd est doublement périodique, d ordre, de périodes K et 4 K i. Elle est paire : nd( u) = nd(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K i et 3 K i, ses pôles sont K + K i et K + 3 K i. Autres valeurs de la fonction nd, dans ou sur le parallélogramme fondamental nd(0) = nd( K) = m 4 nd(k) = m nd( K) = nd( K i) = ( + m ) nd( K i) = nd(k + K i) = m nd(u ± K) = m dn(u) nd(u ± K) = nd(u) nd(u + K + K i) = m [cs(u)] i nd(u + K i) = [sc(u)] i nd(u ± K i) = nd(u) nd(u + K + K i) = nd(u). 4K i 3K i o x K i K i o x 4. p. 575 éq. (6.3.6) 4. p. 5 O K K Figure 6 : fonction nd ; o=zéro et x=pôle. 44

47 4..9 La fonction dc dc(u) = π sec( π u) + π K K K l=0 ( ) l q l+ q l+ ( l+) π u cos[ ] [] 43 et [0] 44. K dc est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K i. Elle est paire : dc( u) = dc(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K + K i et 3 K + K i, ses pôles sont K et 3 K. Autres valeurs de la fonction dc, dans ou sur le parallélogramme fondamental dc(0) = ) dc( K) = ( + m dc( K) = dc( K i) = m 4 dc(k i) = m dc( K + K i) = m dc(u ± K) = ns(u) dc(u ± K) = dc(u) dc(u + K + K i) = m sn(u) dc(u + K i) = m cd(u) dc(u ± K i) = dc(u) dc(u + K + K i) = dc(u). K i K i o o 43. p. 575 éq. (6.3.7) 44. p. 5 O x x K K 3K 4K Figure 7 : fonction dc ; o=zéro et x=pôle. 45

48 4..0 La fonction nc nc(u) = π sec( π u) π k K K k K l=0 ( ) l q l+ ( l+) π u cos[ ] [] 45 et [0] 46. +q l+ K nc est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K + K i. Elle est paire : nc( u) = nc(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K + K i et 4 K + K i, ses pôles sont K et 3 K. Autres valeurs de la fonction nc, dans ou sur le parallélogramme fondamental nc(0) = nc( K) = m 4 ( + m nc( K) = ) nc( K + K i) = m 4 m 4 ( + i) nc(k + K i) = m m i nc(3 K + K i) = m m i nc(u ± K) = m ds(u) nc(u ± K) = nc(u) nc(u + K + K i) = m m [cn(u)] i nc(u + K i) = m [sd(u)] i nc(u ± K i) = nc(u) nc(u + K + K i) = nc(u). K i 45. p. 575 éq. (6.3.8) 46. p. 5 K i o o x x O K K 3K 4K Figure 8 : fonction nc ; o=zéro et x=pôle. 46

49 4.. La fonction sc sc(u) = π tan( π u) + π k K K k K l= ( ) l q l +q l sin( l π u K ) [] 47 et [0] 48. sc est doublement périodique, d ordre, de périodes K et 4 K i. Elle est impaire : sc( u) = sc(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont 0 et K i, ses pôles sont K et K + K i. Autres valeurs de la fonction sc, dans ou sur le parallélogramme fondamental sc( K ) = m 4 sc( K i) = ( + m ) i sc(k i) = i sc(k + K i) = m i sc(k + 3 K i) = m i sc(u ± K) = m cs(u) sc(u ± K) = sc(u) sc(u + K + K i) = m [dn(u)] i sc(u + K i) = [nd(u)] i sc(u ± K i) = sc(u) sc(u + K + K i) = sc(u). 4K i 3K i K i o x 47. p. 575 éq. (6.3.9) 48. p. 5 K i O o x K K Figure 9 : fonction sc ; o=zéro et x=pôle. 47

50 4.. La fonction ns ns(u) = π csc( π u) + π K K K l=0 q l+ q l+ ( l+) π u sin[ ] [] 49 et [0] 50. K ns est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K i. Elle est impaire : ns( u) = ns(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K i et K + K i, ses pôles sont 0 et K. Autres valeurs de la fonction ns, dans ou sur le parallélogramme fondamental ) ns( K) = ( + m ns(k) = ns( K i) = m 4 i ns(k + K i) = m ns(3 K + K i) = m ns(u ± K) = ±dc(u) ns(u ± K) = ns(u) ns(u + K + K i) = m cd(u) ns(u + K i) = m sn(u) ns(u ± K i) = ns(u) ns(u + K + K i) = ns(u). K i K i o o x x O K K 3K 4K Figure 0 : fonction ns ; o=zéro et x=pôle. 49. p. 575 éq. (6.3.0) avec une erreur de signe 50. p. 5 48

51 4..3 La fonction ds ds(u) = π csc( π u) π K K K l=0 q l+ ( l+) π u sin[ ] [] 5 et [0] 5. +q l+ K ds est doublement périodique, d ordre, de périodes 4 K et K + K i. Elle est impaire : ds( u) = ds(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K + K i et 3 K + K i, ses pôles sont 0 et K. Autres valeurs de la fonction ds, dans ou sur le parallélogramme fondamental ds( K) = m 4 ( + m ) ds(k) = m ds( K + K i) = m 4 m 4 ( i) ds( K + K i) = m i ds(4 K + K i) = m i ds(u ± K) = ±m nc(u) ds(u ± K) = ds(u) ds(u + K + K i) = m m [sd(u)] i ds(u + K i) = m [cn(u)] i ds(u ± K i) = ds(u) ds(u + K + K i) = ds(u). K i K i o o 5. p. 575 éq. (6.3.) 5. p. 5 x x O K K 3K 4K Figure : fonction ds ; o=zéro et x=pôle. 49

52 4..4 La fonction cs cs(u) = π cot( π u) π K K K l= q l +q l sin( l π u K ) [] 53 et [0] 54. cs est doublement périodique, d ordre, de périodes K et 4 K i. Elle est impaire : cs( u) = cs(u). Dans ou sur le parallélogramme fondamental : ses zéros sont K et K + K i, ses pôles sont 0 et K i. Autres valeurs de la fonction cs, dans ou sur le parallélogramme fondamental cs( K ) = m 4 cs( K i) = ( + m ) i cs(k i) = i cs(k + K i) = m i cs(k + 3 K i) = m i cs(u ± K) = m sc(u) cs(u ± K) = cs(u) cs(u + K + K i) = m [nd(u)] i cs(u + K i) = [dn(u)] i cs(u ± K i) = cs(u) cs(u + K + K i) = cs(u). 4K i 3K i K i x o 53. p. 575 éq. (6.3.) 54. p. 5 K i O x o K K Figure : fonction cs ; o=zéro et x=pôle. 50

53 4..5 Relations entre les carrés des fonctions jacobiennes On pourra consulter [5] 55. [cn(u)] + [sn(u)] = [dn(u)] m [cn(u)] = m [dn(u)] + m [sn(u)] = [ns(u)] [cs(u)] = [ds(u)] [cs(u)] = m [ns(u)] [ds(u)] = m [cd(u)] + m [sd(u)] = m [cd(u)] + m [nd(u)] = [nd(u)] m [sd(u)] = [nc(u)] [sc(u)] = [dc(u)] m [nc(u)] = m [dc(u)] m [sc(u)] = [cn(u)] = +[sc(u)] = m [dc(u)] m [sn(u)] = +[cs(u)] = m+[ds(u)] [dn(u)] = m+[sd(u)] = m m [cd(u)] 4..6 Arguments doubles et moitiés On pourra consulter [5] 56. cn( u) = [cn(u)] [sn(u)] [dn(u)] m sn 4 (u) sn( u) = cn(u)sn(u)dn(u) m sn 4 (u) = dn( u) = [dn(u)] m [cn(u)] [sn(u)] m sn 4 (u) cn( u) = [sn(u)] [dn(u)] +cn( u) [cn(u)] dn( u) = m [cn(u)] [sn(u)] +dn( u) [dn(u)] [cn( u )] = cn(u)+dn(u) +dn(u) [sn( u )] = cn(u) +dn(u) [dn( u )] = m +mcn(u)+dn(u) +dn(u) 55. pp pp. 7-8 = [cn(u)] [sn(u)] [dn(u)] [cn(u)] +[sn(u)] [dn(u)] cn(u) sn(u) dn(u) [cn(u)] +[sn(u)] [dn(u)] = [dn(u)] +[cn(u)] [[dn(u)] ] [dn(u)] [cn(u)] [[dn(u)] ] 5

54 4..7 Théorèmes d addition On pourra consulter [5] 57. cn(u + v) = cn(u)cn(v) sn(u)dn(u)sn(v)dn(v) m [sn(u)] [sn(v)] sn(u + v) = sn(u)cn(v)dn(v)+sn(v)cn(u)dn(u) m [sn(u)] [sn(v)] dn(u + v) = dn(u)dn(v) mcn(u)sn(u)cn(v)sn(v) m [sn(u)] [sn(v)] cn(u + v) cn(u v) = [cn(u)] [sn(v)] [dn(u)] m [sn(u)] [sn(v)] cn(u + v) dn(u v) = cn(u)dn(u)cn(v)dn(v) m sn(u)sn(v) m [sn(u)] [sn(v)] sn(u + v) cn(u v) = cn(u)sn(u)dn(v)+cn(v)sn(v)dn(u) m [sn(u)] [sn(v)] sn(u + v) sn(u v) = [sn(u)] [sn(v)] m [sn(u)] [sn(v)] sn(u + v) dn(u v) = sn(u)dn(u)cn(v)+sn(v)dn(v)cn(u) m [sn(u)] [sn(v)] dn(u + v) dn(u v) = [dn(u)] m [cn(u)] [sn(v)] m [sn(u)] [sn(v)] 4..8 Dérivées On pourra consulter [] 58 et [5] 59. d cn(u) = sn(u) dn(u), du d sn(u) = cn(u) dn(u), du d dn(u) = m cn(u) sn(u), du d cd(u) = m du sd(u) nd(u), d sd(u) = cd(u) nd(u), du d nd(u) = m cd(u) sd(u), du d dc(u) = m du nc(u) sc(u), d nc(u) = dc(u) sc(u), du d sc(u) = dc(u) nc(u), du d ns(u) = ds(u) cs(u), du d ds(u) = ns(u) cs(u), du cs(u) = ns(u) ds(u). d du 57. p p p. 5

55 4..9 Intégrales On pourra consulter [] 60 et [5] 6. cn(u) du = m cos [dn(u)], sn(u) du = m ln[dn(u) m cn(u)], dn(u) du = sin [sn(u)], cd(u) du = m ln[nd(u) + m sd(u)], sd(u) du = (m m ) sin [ m cd(u)], nd(u) du = m cos [cd(u)], dc(u) du = ln[nc(u) + sc(u)], nc(u) du = m ln[dc(u) + m sc(u)], sc(u) du = m ln[dc(u) + m nc(u)], ns(u) du = ln[ds(u) cs(u)], ds(u) du = ln[ns(u) cs(u)], cs(u) du = ln[ns(u) ds(u)] Arguments complexes On porra consulter [5] 6 cn(i y m) = nc(y m ), sn(i y m) = sc(y m ) i et dn(i y m) = dc(y m ). Si u = x + i y, en posant : c = cn(x m), s = sn(x m) et d = dn(x m) et : c = cn(y m), s = sn(y m) et d = dn(y m) on a : cn(u m) = c c i s d s d, c +m s s sn(u m) = s d +i c d s c, c +m s s dn(u m) = d c d i m s c s. c +m s s 60. p. 575 éqs. (6.4.) à (6.4.) 6. p p. 53