ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια Λυμένα παραδείγματα σε κάθε μεθοδολογία Ασκήσεις όλων των επιπέδων δυσκολίας Επιλεγμένες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο Επαναληπτικά θέματα από το studyams Καλή μελέτη Παύλος Παλαιολόγου

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ 6 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 8 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 8 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 9 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 7 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 77 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΜΕΛΕΤΗ & ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 76 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία κανόνα, με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Σχόλια : Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :, Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα τιμών της και συμβολίζεται με A Είναι δηλαδή: A { y y για κάποιο A}, λέγεται σύνολο Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Απάντηση : Γραφική παράσταση της λέμε το σύνολο των σημείων M, y για τα οποία ισχύει y, δηλαδή το σύνολο των σημείων M,, με A Σχόλια : Η γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με Η εξίσωση, λοιπόν, y επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η y είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

5 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο Σχ 7α Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σχ 7β y C y 7 C O Α a O β Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C γ Η τιμή της στο Σχ 8 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C y y y = 8 C Α C C A, O Α α O β O γ Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και α Η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M, που είναι συμμετρικά των M,, ως προς τον άξονα Σχ 9 y O Μ, Μ, 9 y= y= β Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν Σχ, y y= O y= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

6 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α α β β α, α γ δ α, α ε, g Απάντηση : Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α, α α Η πολυωνυμική συνάρτηση α β y y y O O O a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση y α, α y O α> O α< γ Η πολυωνυμική συνάρτηση y α, α y O O α> α< δ Η ρητή συνάρτηση α, α y y O O α> α< ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

7 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ε Οι συναρτήσεις, g y y y y O O Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : α,, β α, α γ log, α Απάντηση : Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α α Οι τριγωνικές συναρτήσεις : ημ, συν, εφ y 6 O π π y y=ημ α O π π y y=συν β π/ O π/ π/ y=εφ γ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις T ημ και συν είναι περιοδικές με περίοδο π, ενώ η συνάρτηση εφ είναι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συνάρτηση α, α y y 7 α O α O α> α <α< β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

8 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ιδιότητες : Υπενθυμίζουμε ότι: Αν α, τότε: Αν α, τότε: γ Η λογαριθμική συνάρτηση log, α y y α 8 O α O α Ιδιότητες : α> α <α< β log y y α α log α α και log α α log α και log α log log log α α α log log log α α α k 6 log κlog α α α 7Αν α, τότε: log log, ενώ αν α α lnα 8 lnα α, αφού α α, log log α α Πότε δύο συναρτήσεις,g λέγονται ίσες ; Απάντηση : 7, Β, 6 Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g 6 Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων,g ; Απάντηση : Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους : g g, g g, g g, g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

9 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Το πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, δηλαδή το σύνολο : { A και B, με g } B, 7 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Απάντηση : Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο go g A A B gb g g g A Σχόλια : α Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A B} Είναι φανερό ότι η go ορίζεται,αν A, δηλαδή αν A B β Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει hogo hogo Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

10 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P Q P P P P P, P P, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii ln iv v vi 6 ln Λύση : i Πρέπει : & Άρα D, ii Πρέπει : [, ] Άρα D [, ] iii Πρέπει : και Έχω Άρα επειδή θέλω [, ] Από & D [,,] iv Πρέπει : Άρα D, v Πρέπει : [, Άρα D [, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

11 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ vi Πρέπει :, είναι Άρα επειδή θέλω,, Συναληθευοντας τους παραπάνω περιορισμούς έχω :, Όμως άρα ή Για είναι Για είναι Άρα,,, D ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii 6 iii iv 8 v vi vii viii 9 i 6 i ii ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

12 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ln ii ln iii ln iv ln v ln vi vii viii 7 i 7 7 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii ln 6 iii iv 9 v vi ln Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii ln iv ln ln v ln 6 vi ln

13 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ vii viii i i ii iii iv ln 6 ln 9 7 ln 6 ln ln ln ln 7 6 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ln 7 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ln, 8 Δίνεται η συνάρτηση :, 6 και i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε τους αριθμούς α,β iii Να βρείτε τις τιμές και iv Να λύσετε την εξίσωση, 6 9 Δίνεται η συνάρτηση :, 7 και i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε τους αριθμούς α,β iii Να βρείτε τις τιμές και iv Να λύσετε την εξίσωση για την οποία ισχύει : 8 για την οποία ισχύει :, Δίνεται η συνάρτηση, i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να υπολογίσετε το α ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

14 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρούμε τις συναρτήσεις : και g : Αν είναι, τότε με πεδίο ορισμού το ορίζουμε τις συναρτήσεις : Άθροισμα, με D και τύπο g g Διαφορά, με Πηλίκο, με g D και τύπο g g g Γινόμενο, με D g και τύπο g g Τέλος με πεδίο ορισμού το σύνολο / g D g / g και τύπο g g ορίζουμε τη συνάρτηση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν και g ln, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g Λύση : Αρχικά πρέπει να βρούμε τα πεδία ορισμού των, g Για την πρέπει άρα D [, Για τη g ln πρέπει άρα D, D D D [, και g g ln g g D D D [, και g g ln g g D D D [, και g g ln g Για την g g πρέπει επιπλέον g ln ln ln Άρα D D D / g, g g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : g Αν και g, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g Αν και g, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g Αν και g, να βρείτε τις συναρτήσεις Αν ln και g ln, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g g, g, g, g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

15 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Αν ln και ln g, να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g, 7 Αν, g και, g, Να βρείτε τη συνάρτηση 8 Αν,, και, g, Να βρείτε τη συνάρτηση g 9 Δίνονται οι συναρτήσεις και g i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο των συναρτήσεων ii Να λύσετε την εξίσωση g iii Να λύσετε την ανίσωση g, g, g, g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συμβ C ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία, y που ανήκουν στη C ισχύει y Δηλ, Πιο συγκεκριμένα το σημείο, y ανήκει στη C, αν και μόνο αν y Η C βρίσκεται πάνω από τον Η C βρίσκεται κάτω από τον Η C βρίσκεται πάνω από τη C g g Η C βρίσκεται κάτω από τη C g g ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής,, οπότε για να τα βρούμε λύνουμε την εξίσωση y Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής, y, οπότε για να τα βρούμε, βάζουμε όπου το δηλ υπολογίζουμε το Για να βρούμε κοινά σημεία C και C g λύνουμε την εξίσωση g Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης : Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g c ή g c, c προκύπτει αν μετατοπίσουμε την C κατακόρυφα κατά c μονάδες προς τα πάνω ή προς τα κάτω αντίστοιχα g c ή g c, c προκύπτει αν μετατοπίσουμε την C οριζόντια κατά c μονάδες προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά αντίστοιχα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

16 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση :, με Αν η C διέρχεται από το σημείο,, να βρείτε : i τον αριθμό α ii τα σημεία τομής της C με τους άξονες iii τα σημεία όπου η C βρίσκεται κάτω από το άξονα iv τα σημεία τομής της C με την ευθεία y v τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της h Λύση : i, με Η C διέρχεται από το σημείο, άρα 9, δηλ ii Η C τέμνει τον για y άρα στα σημεία,, Η C τέμνει τον y y για άρα δηλ στο σημείο, iii Η C βρίσκεται κάτω από το άξονα άρα Είναι : Άρα επειδή θέλω, iv Για να βρω τα σημεία τομής της C με την ευθεία y δηλ τη συνάρτηση g, θα λύσω την εξίσωση : y g ή, άρα στα σημεία,, και,, v Για να βρω τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της h, θα λύσω την ανίσωση : h ή δηλ,, 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

17 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Άσκηση σελ σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα όταν : i ii iii Λύση : i Η C βρίσκεται πάνω από τον Έχω, ή, Άρα επειδή θέλω τότε,, ii Η C βρίσκεται πάνω από τον Έχω Άρα επειδή θέλω, iii Η C βρίσκεται πάνω από τον άρα, Άσκηση σελ σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g, όταν : i και g ii και g Λύση : iη C βρίσκεται πάνω από τη C g Έχω ή αδύνατη Γινόμενο - + Άρα επειδή θέλω, iiη C βρίσκεται πάνω από τη g C g g Έχω, ή, Γινόμενο Άρα επειδή θέλω, Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις :, F, G ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

18 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης F προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης G προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδα προς τα κάτω ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρεθούν οι τιμές των,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από τα σημεία Α-, και Β,7 Να βρεθούν οι τιμές των,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από τα σημεία Α,, Β-, και Γ-,- 6 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες i 9 ii iii,, iv 7 Να βρεθεί για ποιες τιμές του, η C βρίσκεται πάνω από τον 6 i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

19 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii iii ln 8 Να βρεθεί για ποιες τιμές του, η C βρίσκεται πάνω από την i και g ii και g iii 8 και g 9 Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις και στη συνέχεια από τη γραφική παράσταση να βρείτε το σύνολο τιμών : i ii iii ln iv v vi ln C g Δίνεται η συνάρτηση και η ευθεία : 6 y i Να βρείτε τα κοινά σημεία της C και της ε ii Να βρείτε τη σχετική θέση των C και ε Έστω ότι η συνάρτηση ln, για την οποία ισχύει ότι η C τέμνει τον άξονα στο σημείο και τον άξονα y y στο i Να βρείτε τα κ,λ ii Να βρείτε το σημείο της C που έχει τεταγμένη Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : i ln ii Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

20 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε τις τιμές, και iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να λύσετε την εξίσωση v Να λύσετε την ανίσωση vi Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών των, g ii Να βρείτε τις τιμές g και g iii Να λύσετε την εξίσωση g iv Να λύσετε την ανίσωση g v Να λύσετε την ανίσωση g Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Τα σημεία τομής της C με τους άξονες iii Τις τιμές του για τις οποίες η C βρίσκεται πάνω από τον ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

21 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ Έστω : μια συνάρτηση Για να βρούμε το σύνολο τιμών της : Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Θέτουμε y και λύνουμε την εξίσωση y ως προς, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνει το σύνολο τιμών της Αν ένας αριθμός α ανήκει στο σύνολο τιμών της, τότε η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα έχει μια ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης : Λύση :, πρέπει άρα D Θέτω y y y y y y y y y y y y y y επίσης πρέπει : y y y y, y y y y ln ln ln, επίσης ln για κάθε y, y y y Τελικά από και ισχύει ότι πρέπει y,, άρα, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii ln y 8 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το σύνολο τιμών της και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζα 9 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το σύνολο τιμών της και στη συνέχεια να εξετάσετε αν η εξίσωση έχει ρίζα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

22 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες, όταν : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση 7 σελ 6 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g Στις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο να ισχύει g i ii έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, για κάθε ισχύει g και g και g iii και g Λύση : i πρέπει που ισχύει για κάθε, άρα D g πρέπει άρα D g [, Δηλ D Dg άρα και g Αν όμως [, τότε : g άρα αν [, ισχύει g ii iii πρέπει και Άρα D g πρέπει Άρα D D D g Δηλ g g Άρα ισχύει g πρέπει [,, Άρα D [,, g πρέπει άρα D g [, Δηλ D Dg άρα και g Αν όμως [,, τότε : g Άρα αν [,, ισχύει g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

23 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να εξεταστεί αν οι συναρτήσεις, g είναι ίσες Αν δεν είναι να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο Γ του R στο οποίο =g i και g ii iii ln και g ln και g iv, v g και 8 και g h ln Να αποδειχθεί η ισότητα των παρακάτω συναρτήσεων : i και g ii ln και g ln ln Δίνονται οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : g 8 g για κάθε Να δείξετε ότι g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για να προσδιορίσουμε την o g δηλ την g Βρίσκω το D και D g D και Για να ορίζεται η o g g πρέπει g Για να βρω τον τύπο της o g δηλ της g το g Ομοίως ορίζεται και g o g D πάω στην και βάζω όπου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ 6 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g o και o g Λύση : g o D, D [, g Για να ορίζεται η g g D o πρέπει : D g [, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

24 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ * D g o ] [,, ] [, *, έχω Άρα ] [, D o και g o g g o g D, D [, g Dg [, Για να ορίζεται η o g g πρέπει : g D [, D og [, και o g g ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να ορίσετε τη συνάρτηση o g στις παρακάτω περιπτώσεις : i και g ii 8 και g 6 Αν και g 9 να βρείτε τη συνάρτηση g o 7 Αν ln και g να βρεθούν οι συναρτήσεις g o και o g 8 Να ορίσετε τη συνάρτηση g o στις παρακάτω περιπτώσεις : i και g ii και g iii,, και 8, g, 6 9 Δίνεται η συνάρτηση :,] Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : g ln Αν και g να βρεθούν οι συναρτήσεις g o, o g και o ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

25 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να λυθεί g o o o g o g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις o g και g, τότε για να βρούμε τη συνάρτηση εργαζόμαστε ως εξής : Θέτουμε g u Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς g Αντικαθιστούμε το που βρήκαμε στον τύπο Β Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις o g και, τότε για να βρούμε τη συνάρτηση g εργαζόμαστε ως εξής : Θέτουμε όπου το g στον τύπο της Έχουμε τη συνάρτηση g με δυο μορφές μια αυτή που βρήκαμε και μια από τα δεδομένα Εξισώνουμε τις δυο αυτές μορφές και βρίσκουμε τη g Αν η σύνθετη συνάρτηση και η συνάρτηση που μου δίνεται ξεκινούν με διαφορετικό γράμμα, κάνω το Α, αν ξεκινούν με το ίδιο κάνω το Β ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση 6 σελ 8 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει : i o g και g ii iii o g και g o και g g Λύση : i Α Θέτω g u u u o g g u u u u u u u u u άρα ii Α Θέτω g u u u, με u u o g g u u,, δηλαδή iii Β g o g πχ Δυο τέτοιες συναρτήσεις είναι ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

26 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, αν : i o g 6 και g ii o g και g iii g o και g iv g o 9 και g Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 6 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ln ln για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 7 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g, αν : i o g 6 και ii g o και 8 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με g και g o 6 Να βρείτε : i τη συνάρτηση, ii τις τιμές του για τις οποίες η C βρίσκεται κάτω από τη C g 9 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με g και g o Να βρείτε : i τη συνάρτηση, ii τα σημεία τομής της C με τους άξονες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

27 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για να δείξω ότι μια συνάρτηση : A λέγεται άρτια αν για A και A τότε ισχύει για κάθε A Ενώ λέγεται περιττή αν για A και A τότε ισχύει για κάθε A Τέλος η λέγεται περιοδική όταν υπάρχει με : T και T για κάθε A Προσοχή : Μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε η C είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y και αντίστροφα Αν η είναι περιττή τότε η C είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Για να είναι μια συνάρτηση άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το, δηλαδή να ισχύει, D για κάθε D ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση : Λύση : ln Πρέπει : που ισχύει για κάθε Επίσης : πρέπει ισχύει για κάθε και που ισχύει επίσης για κάθε Άρα D συμμετρικό ως προς το, δηλ για κάθε και Επίσης : ln ln Άρα η είναι περιττή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ln ln 6 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές : i ii ln iii iv v όταν [, vi ln vii 6 Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g, με Η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α-,- i Να βρείτε τον αριθμό α ii Να ορίσετε τη o g iii Να αποδείξετε ότι η o g είναι περιττή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

28 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση ln Να αποδείξετε ότι : i Η έχει πεδίο ορισμού το το Α=R ii Η είναι περιττή iii Η C έχει με τον μόνο ένα κοινό σημείο 6 **Αν, g : είναι συνθέσιμες συναρτήσεις τότε : i Να δείξετε ότι αν η g είναι άρτια, τότε και η g είναι άρτια ii Να δείξετε ότι αν η, g είναι περιττές, τότε και η o g είναι περιττή iii Να δείξετε ότι αν η είναι άρτια και η g είναι περιττή, τότε και η o g είναι άρτια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Σε κάποιες ασκήσεις δεν μας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης, αλλά κάποια σχέση ή γενική ιδιότητα που έχουν οι τιμές της Πχ y y y για κάθε Επειδή η σχέση ισχύει για κάθε τιμή των,y, συνήθως επιλέγουμε κατάλληλες τιμές που μας βολεύουν όπως : =y=, ή =y= ή =y ή = ή y=- κλπ Αν προκύψει σχέση της μορφής g είναι λάθος να συμπεράνω ότι : ή g για κάθε Για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να ικανοποιεί κάποια ιδιότητα, υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση και με κατάλληλη επιλογή τιμών για τις μεταβλητές οδηγούμε σε άτοπο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε Να βρεθεί ο τύπος της Λύση : Στην έστω y y και έχω y [ y ] y y y y y y y y y y y 8 ή 8 Επίσης στην έστω y y και έχω : y [ y] y y y y y y 8 y y y y 8y 7 ή 8 7 Τις και τις κάνω σύστημα και έχω : προσθέτω κατά μέλη και έχω :, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

29 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 66 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : 6 για κάθε Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες Λύση : [Είναι 6 6 ή ] Η σχέση 6 για : γίνεται 6, άρα η είναι ρίζα της εξίσωσης γίνεται 9 6, άρα η είναι ρίζα της εξίσωσης Οπότε η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 67 Έστω συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : y y για κάθε Να δείξετε ότι, Λύση : Στη σχέση, θέτω όπου το και έχω :, ΣΥΧΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 68 Μια συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y y για κάθε, y Να δείξετε ότι : i ii y για κάθε y y iii y για κάθε, y y Λύση : i Στη σχέση, θέτω y και έχουμε : ii Στη σχέση, θέτω και έχουμε : y y y y y y y y iii Έχουμε : ii y y y y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

30 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 69 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι 7 ii Να αποδειχθεί ότι iii Να βρεθεί ο τύπος της 7 Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει 8, για κάθε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες 7 Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει, για κάθε Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε δυο τουλάχιστον σημεία 7 Έστω μια συνάρτηση : i Να δείξετε ότι, ii Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα για την οποία ισχύει 7 Έστω μια συνάρτηση : i Να δείξετε ότι, ii Να δείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία y= σε ένα τουλάχιστον σημείο για την οποία ισχύει, για κάθε, για κάθε 7 **Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : y y για κάθε, y Να δείξετε ότι : i ii Η είναι περιττή iii y y για κάθε, y 7 ** Δίνεται η συνάρτηση : η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση : i Να δείξετε ότι ii Να βρείτε την iii Να κάνετε τη γραφική παράσταση της iv Να βρείτε το σύνολο τιμών της 76 **Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : 6 για κάθε Να δείξετε ότι η είναι περιττή και στη συνεχεία να βρείτε τον τύπο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

31 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : 7 ΟΜΟΓ, 7 ΕΣΠ, ΕΣΠ, Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε Δ, με Δ, με ισχύει ισχύει 9 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο o μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο ; Απάντηση : ΟΜΟΓ, Β, ΕΣΠ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, όταν για κάθε A Παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, όταν για κάθε A A ολικό Κάποιες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα της Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγεται ; Απάντηση : ΟΜΟΓ, Β, ΟΜΟΓ, Β Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε Σχόλια : α Μια συνάρτηση :A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε β Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση y έχει ακριβώς μια λύση ως προς ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

32 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση " " Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Παράδειγμα, Η συνάρτηση η συνάρτηση g,, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Παρατηρήσεις : Σχ είναι Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι - τότε : Την ισοδυναμία αυτή τη χρησιμοποιούμε για επίλυση εξισώσεων Επίσης ισχύει : Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - αρκεί : y O y=g Αν η δεν είναι -, τότε υπάρχουν, τω και ί όμως ί ό ί ό όμως ό ό ίa Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ; Απάντηση : Μια συνάρτηση :AR αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι Η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με ορίζεται από τη σχέση : y y Σχόλια : α Ισχύει ότι :, A και y y, y A β Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών A της, και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

33 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρήσεις : : : έ, Αν γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε η είδος μονοτονίας : πχ αν είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο τότε έστω y, y D με y y : y y y y άρα στο D, τότε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε,, με ισχύει Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε,, με ισχύει ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 77 Άσκηση σελ 6 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες; i ii ln iii iv, Λύση : i Πρέπει : Άρα D, ] Έστω, D, ], με άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D, ] ii Πρέπει : Άρα D, iii Έστω, D,, με ln ln ln ln ln ln άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D, D, Έστω, D, με ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D iv D, ], Έστω, D, ], με ή,,& Όταν υψώνω στο τετράγωνο αρνητικούς αριθμούς, αλλάζει η φορά της ανίσωσης

34 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D,] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 78 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i 6 ii iii 6 iv v vi vii ln viii 6 i 79 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Να αποδείξετε ότι : i Αν οι,g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και η συνάρτηση +g είναι γνησίως αύξουσα ii Αν οι,g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε και η συνάρτηση +g είναι γνησίως φθίνουσα 8 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Να αποδείξετε ότι : i Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η συνάρτηση -g είναι γνησίως αύξουσα ii Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η συνάρτηση g- είναι γνησίως φθίνουσα 8 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα g 8 ** Δίνονται οι συναρτήσεις, g : Να αποδείξετε ότι : i Αν,g είναι γνησίως αύξουσες, τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα ii Αν,g είναι γνησίως φθίνουσες, τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα iii Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι συναρτήσεις g και g είναι γνησίως φθίνουσες 8 **Δίνεται περιττή συνάρτηση : Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο,, να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

35 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις επόμενες συναρτήσεις :,, i ii, ln,, iii, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε η C τέμνει τον άξονα το πολύ μια φορά Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση, αλλά και κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει το πολύ μια ρίζα Για να επιλύσουμε μια εξίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή ή βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα προφανής της εξίσωσης ή αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση ή έχει το πολύ μια ρίζα που είναι η προφανής ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να λυθεί η εξίσωση : ln Λύση : Έχω : ln, έστω ln Πρέπει,], δηλ D,] Έχω να λύσω την εξίσωση ln Με δοκιμές παρατηρώ ότι για έχω : ln Άρα η είναι ρίζα προφανής της εξίσωσης Για να δείξω ότι είναι και μοναδική, αρκεί να δείξω ότι η είναι γνησίως μονότονη Έστω, D,], με Επίσης : ln ln ln ln ln ln Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : ln ln Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και η ρίζα της εξίσωσης είναι και μοναδική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

36 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 86 Να λυθούν οι εξισώσεις : i ln ii iii ln iv ln v ln vi στο, 87 Δίνεται η συνάρτηση i Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Για να επιλύσουμε μια ανίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση οπότε η ανίσωση έχει τη μορφή ή αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα προφανής της εξίσωσης ή έτσι η ανίσωση γίνεται εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της για να λύσουμε την ανίσωση που προέκυψε ΠΡΟΣΟΧΗ : Αν η είναι γνησίως αύξουσα τότε : και Αν η είναι γνησίως φθίνουσα τότε : και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 88 Να λυθεί η ανίσωση : ln Λύση : Έχω : ln η ανίσωση ορίζεται για κάθε, Έστω h ln, με h,, έχω να λύσω την ανίσωση : h Παρατηρώ ότι h άρα η άρα η ανίσωση γίνεται : h h Αρκεί τώρα να βρω τη μονοτονία της h : Έστω, με : h ln ln ln ln Προσθέτω κατά μέλη τις, και και έχω : ln ln h h Άρα η h για κάθε,, οπότε h h ή, h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

37 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 89 Δίνεται η συνάρτηση, αφού βρείτε τη μονοτονία της, να λύσετε την ανίσωση Λύση : Έχω : D, Έστω, D, με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα Οπότε Έχω Άρα επειδή θέλω, 9 Αν η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα τότε να λυθεί η εξίσωση : ln Λύση : ln 6 ln ln ln 6 ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:,, 9 Δίνεται η συνάρτηση : ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να δείξετε ότι αν, τότε ln iii Να δείξετε ότι αν, τότε ln iv Να δείξετε ότι αν, και, τότε ln v Να δείξετε ότι για κάθε, 6 vi Να δείξετε ότι για κάθε, vii Να δείξετε ότι για κάθε, viii Να δείξετε ότι για κάθε,, i Να δείξετε ότι για κάθε, Να λύσετε την ανίσωση : + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

38 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Δίνεται η συνάρτηση : ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να δείξετε ότι αν, τότε ln iii Να δείξετε ότι αν, και, τότε ln iv Να δείξετε ότι για κάθε, v Να δείξετε ότι για κάθε, vi Να δείξετε ότι για κάθε, 9 Μια συνάρτηση : είναι γνησίως μονότονη με 8 i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της ii Να λυθεί η ανίσωση 9 Μια συνάρτηση : είναι γνησίως μονότονη με 7 i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της ii Να λυθεί η ανίσωση 9 Να λυθούν οι ανισώσεις : i 9 ii iii ln 96 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α, και Β-,7 i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της 6 ii Να λυθεί η ανίσωση 97 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : g για κάθε Επίσης η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα i Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : g 98 Έστω η συνάρτηση i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να λυθεί η ανίσωση : 99 Έστω η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : ln Δίνεται η συνάρτηση 8 i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση iii Να λύσετε την ανίσωση : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

39 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο Λύση : ος τρόπος : Αρχικά η γίνεται : Θεωρούμε τη συνάρτηση : g, άρα η γίνεται : g g o, Επίσης η για κάθε g είναι γνησίως αύξουσα στο καθώς :, με Προσθέτοντας κατά μέλη έχω g g Άρα τελικά : για κάθε, είναι : g o g o g g οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ος τρόπος : Αρχικά η γίνεται : Για να δείξουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε, με ισχύει ότι Έστω ότι υπάρχουν, με και ισχύει ότι τότε : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : με άτοπο καθώς Άρα για κάθε, ισχύει ότι οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ος τρόπος : Αρχικά η γίνεται : Θεωρούμε τη συνάρτηση : g, άρα η γίνεται : g g o, Άρα οι συναρτήσεις g o και είναι ίσες Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση h, είναι γνησίως φθίνουσα στο για κάθε, με h h επομένως και η συνάρτηση g o θα είναι γνησίως φθίνουσα στο αφού είναι ισες Επίσης η g είναι γνησίως αύξουσα στο καθώς : g : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

40 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ για κάθε, με Προσθέτοντας κατά μέλη έχω g g Άρα τελικά : για κάθε, είναι : go g : g o g o g g οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Δίνεται η συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : 6 για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δίνεται η συνάρτηση : : για την οποία ισχύει : 7 για κάθε Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

41 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γενικά για να αποδείξω ότι η παρουσιάζει μέγιστο, προσπαθούμε να βρούμε ένα τέτοιο ώστε :, αντίστοιχα ελάχιστο Για να βρω τα ακρότατα μιας συνάρτησης, είναι χρήσιμες οι παρακάτω διαδικασίες : Ακρότατα της συνάρτησης :, Η γραφική παράσταση της είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο, Αν τότε :, και και παρουσιάζει ελάχιστο, στο το Αν τότε :, και και παρουσιάζει μέγιστο στο, το 6 y Αν Αν y O, K, Αν γνωρίζουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα τότε μπορούμε να βρούμε τα ακρότατα της πχ αν [, ] τότε παρουσιάζει στο α ελάχιστο το και στο β μέγιστο το αν [, ] τότε παρουσιάζει στο α μέγιστο το και στο β ελάχιστο το Κατασκευάζω ανισοισότητες της μορφής m ή ή m και βρίσκω τις τιμές του για τις οποίες ισχύει το = λύνοντας την εξίσωση : m ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

42 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρεθούν αν υπάρχουν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i ii ln, [, ] iii ln iv v, [, Λύση : i, είναι Επειδή άρα η παρουσιάζει μέγιστο στο το, άρα για κάθε ισχύει ότι ii ln, είναι [, ] Με χτίσιμο δείχνω ότι [, ] άρα η παρουσιάζει : ελάχιστο στο το ln δηλ για κάθε [, ] ισχύει ότι Μέγιστο στο το ln δηλ για κάθε [, ] ισχύει ότι iii ln, είναι, iv Με χτίσιμο δείχνω ότι, άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατα, είναι,] Με χτίσιμο δείχνω ότι,] άρα η παρουσιάζει : ελάχιστο στο το δηλ για κάθε, ] ισχύει ότι Η δεν παρουσιάζει μέγιστο v, είναι [, Με χτίσιμο δείχνω ότι [, άρα η παρουσιάζει : Μέγιστο στο το δηλ για κάθε [, ισχύει ότι Η δεν παρουσιάζει ελάχιστο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i 6 ii iii iv ln v vi vii, [,] viii ln, [,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

43 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Έστω : μια συνάρτηση για την οποία ισχύει :, για κάθε Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ «-» ΟΡΙΣΜΟΣ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση : είναι «-», θεωρούμε, με και προσπαθούμε να δείξουμε ότι δηλ αν τότε Για να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-», προσπαθούμε να εντοπίσουμε δυο, με που δίνουν όμως Αν δίνεται η και παρατηρούμε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τέμνει τη C C το πολύ σε ένα σημείο, τότε η είναι «-» Διαφορετικά δεν είναι Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και «-» Τονίζουμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα Δηλ " " ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και ποιες όχι : i ln ii iii Λύση : i ln, πρέπει : Άρα D Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : ln Άρα η είναι «-» ln ln ln ii, D Η δεν είναι «-» γιατί υπάρχουν : iii, D με Όμως, Δηλ Άρα εντοπίσαμε δυο, D με που δίνουν όμως Άρα η δεν είναι «-» με τον ορισμό δεν μπορώ να εξετάσω αν η Γι αυτό θα εξετάσω αν είναι γνησίως μονότονη Έχω : D, Έστω, D, με είναι «-» Επίσης : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

44 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα και άρα η είναι και «-» 8 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Nα δείξετε ότι είναι «-» Λύση : ος τρόπος : Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : άρα η είναι και «-» ος τρόπος : Είναι : Θεωρούμε τη συνάρτηση : g, άρα η γίνεται : g g o, Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : g g g o g o άρα η είναι και «-» ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 9 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και ποιες όχι i ii iii iv ln v vi 6 vii Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Nα δείξετε ότι είναι «-» ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

45 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ «-» & ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Όταν μια συνάρτηση είναι «-», τότε ισχύει η ισοδυναμία g h g h Αν μια συνάρτηση είναι «-», τότε η εξίσωση, αλλά και κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει το πολύ μια ρίζα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως φθίνουσα, να λυθεί η εξίσωση : o o 6 Λύση : " " " " , ή, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να λυθεί η εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση : κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να λυθεί η εξίσωση για την οποία ισχύει : για Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως φθίνουσα, να λυθεί η εξίσωση : o o Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: o για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή iii Να λυθεί η εξίσωση 6 Δίνεται η συνάρτηση g, καθώς και συνάρτηση : οποία ισχύει: g 8 για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η g είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή iii Να λυθεί η εξίσωση για την * 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : o για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

46 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii Να λυθεί η εξίσωση 8 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 7 i ii ln 9 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε και είναι γνησίως φθίνουσα i Να λυθεί η ανίσωση : ii Να λυθεί η εξίσωση : Αν η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα τότε να λυθεί η εξίσωση : ln Θέμα Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω : μια συνάρτηση Για να βρούμε την αντίστροφη της : Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Δείχνουμε ότι η είναι «-» Θέτουμε y οπότε y και λύνουμε την εξίσωση y ως προς, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνει το σύνολο τιμών της που είναι το πεδίο ορισμού της Αν η λύση της εξίσωσης y ως προς είναι g y, τότε έχουμε y g y Θέτουμε όπου y το και έχουμε τον τύπο της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση είναι και να βρεθεί η αντίστροφή της Λύση : Έστω, με Θα δείξουμε ότι Πράγματι έχουμε διαδοχικά: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Για να βρούμε την αντίστροφη της θέτουμε y και λύνουμε ως προς Έχουμε λοιπόν: y y Άρα : ln Επομένως, y y y y ln, y y ln, y y y ln, y ln,, οπότε η αντίστροφη της είναι η συνάρτηση

47 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Να βρεθεί το σύνολο τιμών και η αντίστροφη της συνάρτησης : Άσκηση vii σελ 6 σχολικού βιβλίου Α Ομάδας Λύση :, πρέπει άρα D Έστω, D, με Θα δείξουμε με ότι Άρα η είναι και «-» και άρα η είναι και αντιστρέψιμη Έχω Θέτω y y y y y y y y y y y y y y επίσης πρέπει : y y y y, y y y y ln ln ln, επίσης ln για κάθε y, y y y Τελικά από και ισχύει ότι πρέπει y,, άρα D, Άρα : y ln y y ln y y ln y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα, με, Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη της συνάρτησης : όταν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για κάθε και γνωρίζουμε ότι η έχει σύνολο τιμών το i ii να βρεθεί η ως συνάρτηση της Λύση : i Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω : Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : άρα η είναι «-» και άρα αντ/μη ος y y Τρόπος Θέτω y y y y y y y y ος Τρόπος Αν γνωρίζουμε από εκφώνηση ότι η έχει σύνολο τιμών το ή δίνει τότε στη δοσμένη σχέση μπορώ να θέσω όπου το Η ισχύει για κάθε έχω : και έχει σύνολο τιμών το,, άρα αν όπου βάλω το D

48 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω, D, με Θα δείξουμε με τον ορισμό ότι Έχω άρα θα είναι και Επίσης Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : ii άρα η είναι «-» και άρα η είναι και αντιστρέψιμη ος Τρόπος Θέτω y αρά y y y y y y y y ος Τρόπος Η ισχύει για κάθε και έχει σύνολο τιμών το, άρα αν όπου βάλω το έχω : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να βρεθεί το σύνολο τιμών και η αντίστροφη καθεμιάς των παρακάτω συναρτήσεων i ln ii iii iv ΘΕΜΑ Γ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 6 v ln vi 6 7, αν [, Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ y y= y y=g y y=ψ O O O Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να βρείτε την αντίστροφη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

49 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, 7 Δίνεται η συνάρτηση :, i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη iii Να βρείτε την αντίστροφη ln,, 8 Δίνεται η συνάρτηση : Να βρείτε την αντίστροφη, 9 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η είναι - iii Να βρείτε την αντίστροφη Να βρεθεί το σύνολο τιμών και η αντίστροφη καθεμιάς των παρακάτω συναρτήσεων Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε την C και C i ii ln iii iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

50 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ και Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων C και C είναι ίδια με τα σημεία τομής της C με την y *απόδειξη* ή της C με την y Έστω : μια «-» συνάρτηση, οπότε ορίζεται η αντίστροφη Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, προκύπτει ότι οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες : Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων μας επιτρέπει να βρούμε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των και με την ευθεία y Έστω : μια «-» συνάρτηση, οπότε ορίζεται η αντίστροφη Αποδεικνύεται ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις, και είναι ισοδύναμες : y Mα,β 7 M β,α O y= Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις και δεν είναι ισοδύναμες Μπορεί δηλαδή να υπάρχουν σημεία τομής των και που δεν ανήκουν στην ευθεία y= Σε αυτή την περίπτωση τα κοινά σημεία των C βρίσκονται από τη λύση του συστήματος : y y C C C y y y και y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

51 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ *απόδειξη* Έστω ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε στο έχω σημείο τομής των C και C θα δείξω ότι δηλ στο σημείο τομής της C και y Έστω άτοπο!, άρα τελικά Ομοίως καταλήγω σε άτοπο αν υποθέσω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής της C με την ευθεία y iii Να λύσετε την ανίσωση : 8 Λύση : i D, Έστω, D, με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα η είναι «-» και άρα η είναι αντιστρέψιμη ii Τα σημεία τομής της C με την ευθεία y βρίσκονται από τη λύση του y συστήματος : από όπου προκύπτει y - 6 Άρα 6 ή 6 Αδύνατη Άρα αφού y y Δηλ η C με την y τέμνονται στο σημείο Α, iii ή, Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C iii Να λύσετε την ανίσωση : Λύση : i D, Έστω, D, με ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8 Επίσης :

52 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, άρα η είναι «-» και άρα η είναι αντιστρέψιμη iiτα σημεία τομής της C και C βρίσκονται από τη λύση του συστήματος : y από όπου προκύπτει y Άρα αφού y y Δηλ η C με την C τέμνονται στο σημείο, iii 7, έχω Άρα επειδή θέλω :,, + 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής της C με την ευθεία y Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C iii Να λύσετε την ανίσωση : 9 7 Δίνεται η συνάρτηση : i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Να υπολογίσετε το 9 iii Να βρείτε τα σημεία τομής των C και C iv Να λύσετε την εξίσωση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

53 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση : 6 για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να βρείτε την αντίστροφη iii Να βρείτε τα σημεία τομής της C με την ευθεία y ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 9 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii Αν η έχει σύνολο τιμών το R, να εκφραστεί η ως συνάρτηση της Δίνεται συνάρτηση : γνησίως μονότονη Να αποδείξετε ότι και η το ίδιο είδος μονοτονίας έχει Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με, για τις οποίες ισχύει : g i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να γράψετε τον τύπο της ως συνάρτηση της και g Έστω οι συναρτήσεις, g :, όπου για την ισχύει, για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να βρείτε το iii Αν ισχύει g,, να βρείτε τη συνάρτηση g Έστω οι συναρτήσεις, g :, για τις οποίες ισχύει g, i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να λύσετε την εξίσωση ln Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει, για κάθε και η συνάρτηση g, που είναι συνάρτηση - i Να δείξετε ότι η είναι - ii Να δείξετε ότι g g iii Να βρείτε τη συνάρτηση Δίνεται η συνάρτηση : Να δείξετε ότι : i για την οποία ισχύει ii Η συνάρτηση g, δεν είναι συνάρτηση -, για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

54 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως μονότονη ii Να εξεταστεί αν ορίζεται η iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να λυθεί η ανίσωση 7 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : για κάθε Να αποδειχθεί ότι : i η είναι «-» ii iii η δεν είναι γνησίως μονότονη iv η είναι περιττή v = 8 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να βρείτε την τιμή iii Να αποδείξετε ότι η δεν είναι γνησίως φθίνουσα iv Να λυθεί η εξίσωση 9 i Έστω, g : δυο συναρτήσεις, όπου η g είναι γνησίως φθίνουσα και η g είναι γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ii Έστω : μια συνάρτηση για την οποία ισχύει : για κάθε Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία Έστω συνάρτηση : με σύνολο τιμών το, και για την οποία ισχύει : για κάθε i Να βρεθεί ο τύπος της ii Να δείξετε ότι η είναι - iii Να βρείτε την αντίστροφη Έστω συνάρτηση : με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει : για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να λυθεί η εξίσωση : iii Να βρείτε την αντίστροφη Αν, g : και ισχύει g για κάθε, i να δείξετε ότι η g είναι «-» ii να λύσετε την εξίσωση g g Αν, g : τέτοιες ώστε η g να είναι «-» i Να δείξετε ότι και η g είναι «-» ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

55 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii να λύσετε την εξίσωση g g Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει : i Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να λυθεί η εξίσωση iii Να δείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το iv Αν η είναι γνησίως μονότονη να βρεθεί το είδος μονοτονίας της v Να λυθεί η ανίσωση : ln Θεωρούμε τη συνάρτηση =+- με i Να αποδείξετε ότι η είναι - για κάθε ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση - της και να βρείτε τον τύπο της iii Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και - με την ευθεία y= Ο 6 6 Έστω η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να λύσετε την εξίσωση : iii Να λύσετε την ανίσωση : 7 Έστω η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε την αντίστροφη iii Να λύσετε την εξίσωση : iv Να λύσετε την ανίσωση : 8 Έστω η συνάρτηση : αντιστρέψιμη για την οποία ισχύει Να βρείτε το και να λύσετε την εξίσωση 9 Έστω η συνάρτηση : γνησίως μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α-, και Β, i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να λυθεί η εξίσωση : 7 iii Να λυθεί η ανίσωση : 6 Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης : διέρχεται από τα σημεία Α, και Β6,- i Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της ii Να λυθεί η εξίσωση iii Να λυθεί η ανίσωση : 6 6 Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με πεδίο ορισμού του R και σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να βρείτε τα σημεία τομής της με τον άξονα C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

56 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii Να λύσετε την ανίσωση : 6 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι «-» ii Να βρείτε την τιμή iii Να εκφράσετε την με τη βοήθεια της iv Να αποδείξετε ότι 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Να λύσετε την εξίσωση iii Να αποδείξετε ότι iv Να λύσετε την εξίσωση 6 Δίνεται η συνάρτηση :,, για την οποία ισχύει : ln για κάθε, i Να αποδείξετε ότι η είναι «-» ii Να λύσετε την εξίσωση iii Να αποδείξετε ότι ln ln για κάθε, iv Να αποδείξετε ότι 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη iii Να υπολογίσετε το iv Να λύσετε την εξίσωση 66 Έστω : μια συνάρτηση για την οποία ισχύει :, για κάθε Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι το, να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και ότι g 67 Έστω : μια συνάρτηση με, για την οποία ισχύει, για κάθε Να αποδείξετε ότι : i Η είναι περιττή ii Η αντιστρέφεται iii Η είναι περιττή iv 68 Έστω : μια συνάρτηση, για την οποία ισχύει :, Να αποδείξετε ότι : i Η είναι -, έχει σύνολο τιμών το και αντιστρέφεται ii, για κάθε iii Η C δεν έχει κοινά σημεία με τη διχοτόμο της γωνίας ˆ y iv Αν η είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η C είναι κάτω από την ευθεία y= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

57 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 69 Δίνεται η συνάρτηση g i Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε τα σημεία τομής της με τον άξονα iii Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι η είναι «-» Να βρείτε το Να βρείτε τον τύπο της 7 **Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση : y y για κάθε, y i Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή Αν η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τη =, τότε να αποδείξετε ότι : iii Η είναι αντιστρέψιμη iv Ισχύει y y για κάθε, y 7 **Έστω, g :, συναρτήσεις τέτοιες, ώστε να ισχύει g για κάθε Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο,, να αποδείξετε ότι : y y για κάθε, y, 7 Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : και η συνάρτηση g : ώστε για κάθε να ισχύει η σχέση : g i Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο ii Να βρείτε το είδος μονοτονίας της συνάρτησης : h g iii Έστω με Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των C, Cg τέμνονται σε ένα μόνο σημείο iv Να λύσετε την εξίσωση : ln ln v Να λύσετε την ανίσωση : studyams 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να βρείτε το iv Να λύσετε την εξίσωση : 7 C g g studyams 7 Δίνονται οι συναρτήσεις : και g i Να ορίσετε την συνάρτηση g ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την iii Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης g studyams ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

58 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την ii Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα iii Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία y iv Να λυθεί η εξίσωση : studyams 76 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη ii Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της iii Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η έχει σύνολο τιμών το, να βρείτε τα κοινά C σημεία των και C iv Να δείξετε ότι : 6 7 για κάθε v 8 Να λύσετε την εξίσωση :, 77 Έστω η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την εξίσωση : iii Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση : g g Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα iv Να αποδείξετε ότι g v Να λύσετε την ανίσωση g EME 8 78 **Δίνεται - συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : και g g για κάθε i Να βρείτε τις συναρτήσεις, g Έστω συνάρτηση h : τέτοια, ώστε : h g για κάθε ii Να βρείτε την h iii Να αποδείξετε ότι η h είναι αντιστρέψιμη iv Να λύσετε την ανίσωση : 6 g 8 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

59 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΟΡΙΟ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ Πκδα πλσαβ υθϋδ κ σλδκ βμ κ εαδ α πζυλδεϊ σλδα βμ κ ; o o πϊθββ : Ιξτδ σδ : θ ηδα υθϊλββ έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα τθκζκ βμ ηκλφάμ α,,β, σ δξτδ β δκυθαηέα: y y y 9 Παλαβλάδμ : α Ιξτδ σδ : O a α ί O h h O ί Σκυμ αλδγηκτμ εαδ κυμ ζϋη πζυλδεϊ σλδα βμ κ εαδ υΰεελδηϋθα κ αλδλσ σλδκ βμ κ, θυ κ ιδσ σλδκ βμ κ Γα παράιγμα, υ χ α α, π α α, π,, αφ:, α ΰ Γδα θα αθααβάκυη κ σλδκ βμ κ, πλϋπδ β θα κλέααδ σκ γϋζκυη εκθϊ κ, βζαά β θα έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα τθκζκ βμ ηκλφάμ α,,β ά α, ά,β Σκ ηπκλέ θα αθάεδ κ πέκ κλδηκτ βμ υθϊλββμ ξ 9α, 9ί ά θα ηβθ αθάεδ αυσ Η δηά βμ κ, σαθ υπϊλξδ, ηπκλέ θα έθαδ έβ η κ σλδσ βμ κ ξ 9α ά δαφκλδεά απσ αυσ Ιξτδ σδ εαδ c c ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

60 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ πκδεθταδ σδ κ έθαδ αθιϊλβκ πθ Ϊελπθ α, εαδ, α κπκέα γπλκτη σδ έθαδ κλδηϋθβ β α, πθ δαβηϊπθ Έ α παράιγμα, α υ α υ, πα υπ,, υ πυ, π αυ πα φ Επω, α β υθϋξδα, σαθ ζϋη σδ ηδα υθϊλββ Ϋξδ εκθϊ κ ηδα δδσβα Ρ γα θθκκτη σδ δξτδ ηδα απσ δμ παλαεϊπ λδμ υθγάεμ: i Η έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα τθκζκ βμ ηκλφάμ α,, εαδ κ τθκζκ αυσ Ϋξδ βθ δδσβα Ρ ii Η έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα τθκζκ βμ ηκλφάμ α,, Ϋξδ αυσ βθ δδσβα Ρ, αζζϊ θ κλέααδ τθκζκ βμ ηκλφάμ, iii Η έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα τθκζκ βμ ηκλφάμ,, Ϋξδ αυσ βθ δδσβα Ρ, αζζϊ θ κλέααδ τθκζκ βμ ηκλφάμ α, η Γα παράιγμα, υ α, αφ α π π,, α α αυ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

61 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΙΙΟΣΗΣ ΣΩΝ ΟΡΙΩΝ Να ΰλΪο δμ δδσβμ κυ κλέκυ κ o πϊθββ : Γδα κ σλδκ δξτκυθ κδ παλαεϊπ δδσβμ : α Θυλβηα κ π υαω α α θ θ, σ εκθϊ κ, σ εκθϊ κ Παλαάλββ : θ υπϊλξδ κ θ υπϊλξδ κ εαδ έθαδ εκθϊ κ, σ εαδ έθαδ εκθϊ κ, σ ί Θυλβηα κ α α α θ κδ υθαλάδμ,g Ϋξκυθ σλδκ κ εαδ δξτδ εκθϊ κ, σ g Παλαάλββ : θ υπϊλξκυθ α εαδ g θ g εκθϊ κ, σ θ θ g g, σ g εκθϊ κ g, σ g εκθϊ κ g ΰ Θυλβηα κ π υαω α α θ υπϊλξκυθ α σλδα πθ υθαλάπθ εαδ g κ, σ: g g κ κ, ΰδα εϊγ αγλϊ κ R g g g g, φσκθ g k 6 k, φσκθ εκθϊ κ έθαδ : [ ] ν ν, * Ν ΰδα παλϊδΰηα ν ν ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

62 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ν ν Έπ κ πκζυυθυηκ P α α α α εαδ P P πσδιβ : ν ν τηφπθα η δμ παλαπϊθπ δδσβμ Ϋξκυη: ν ν ν P α α α α α ν ν ν ν ν ν ν αν αν α αν αν α P ν ν R έθαδ : α Άλα : P P Έπ β λβά υθϊλββ R η Q Θα έθαδ σ P Q P, σπκυ P, Q πκζυυθυηα κυ εαδ P Q Q α Κλδάλδκ παληίκζάμ Έπ κδ υθαλάδμ,g,h θ h g εκθϊ κ εαδ h g, σ, σπκυ Q 6 β Ιξτδ σδ ω α ημ, ΰδα εϊγ RΗ δσβα δξτδ ησθκ σαθ ημ ημ συν συν ημ συν Πυμ υπκζκΰέακυη κ σλδκ βμ τθγβμ υθϊλββμ g κ o πϊθββ : θ γϋζκυη θα υπκζκΰέκυη κ σλδκ βμ τθγβμ υθϊλββμ g κ βηέκ,βζαά κ g, σ λΰαασηα πμ ιάμ: ΘΫκυη u g Τπκζκΰέακυη αθ υπϊλξδ κ Τπκζκΰέακυη αθ υπϊλξδ κ u g εαδ u uu θ g u εκθϊ κ, σ κ αβκτηθκ σλδκ έθαδ έκ η, βζαά δξτδ: g u uu ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

63 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: Να ιϊ αθ έθαδ εαζυμ κλδηϋθα α παλαεϊπ σλδα : i ii iii ln 7 iv θ 8 εαδ, θα ίλγκτθ κδ πλαΰηαδεϋμ δηϋμ κυ ζ ΰδα δμ κπκέμ β υθϊλββ Ϋξδ σλδκ κ βηέκ έθαδ ηδα υθϊλββ κλδηϋθβ κ α,,, η λ 6 λ Να ίλέ δμ δηϋμ κυ λ, ΰδα δμ κπκέμ υπϊλξδ κ εαδ Να ξαλϊι β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ εαδ η β ίκάγδα αυάμ θα ίλέ, φσκθ υπϊλξδ, κ, σαθ: 6 i, ii,,,, iii,, iv, Έπ ηδα υθϊλββ η Να ίλέ κ g αθ: i g ii g iii g 6 έθαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

64 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ i Να ίλέ κ πέκ κλδηκτ εαδ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ αθ υπϊλξκυθ α παλαεϊπ σλδα α ί ΰ Γδα α σλδα πκυ θ υπϊλξκυθ θα αδδκζκΰά βθ απϊθββ αμ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟ ΤΝΡΣΗΗ Γδα θα υπκζκΰέκυη Ϋθα σλδκ, αλξδεϊ γϋπ σπκυ κ Πλέππβ β θ κ απκϋζηα έθαδ αλδγησμ l σ κ l Πλέππβ β θ ηϊ βθ αθδεαϊαβ πλκετοδ απλκδκλδέα βμ ηκλφάμ, σ παλαΰκθκπκδυ αλδγηβά εαδ παλαθκηαά η εκπσ θα απζκπκδβγέ κ παλϊΰκθαμ βμ ηκλφάμ Πλέππβ β θ Ϋξκυη σλδκ Ϊλλββμ υθϊλββμ πκυ πλδϋξδ λέαμ εαδ πλκετπδ β απλκδκλδέα, σ πκζζαπζαδϊακυη αλδγηβά εαδ παλαθκηαά η β υαυΰά παλϊαβ κυ σλκυ ά πθ σλπθ πκυ πλδϋξδ λέαα Πλέππβ β θ πλκετοδ σ εϊθπ κηυθυηα α εζϊηαα εαδ πλκετπδ σλδκ βμ ηκλφάμ, κπσ εαδ λΰϊακηαδ σππμ παλαπϊθπ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

65 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΡΓΛΙ ΠΡΓΟΝΣΟΠΟΙΗΗ : Κκδθσμ παλϊΰκθαμ : ΰΪακυη εκδθσ παλϊΰκθα απσ σζκυμ κυμ σλκυμ ά εαϊ κηϊμ Σαυσβμ : υθάγπμ ξλβδηκπκδκτη δμ Σαυσβμ Σλδυθυηκ : θ > σ θ = σ θ < σ κ λδυθυηκ θ παλαΰκθκπκδέαδ ξάηα Hornr : σεδηβ εϊθπ πλυα η κ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Πλέππβ β Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : i 6 ii 9 iii 7 8 Λτβ : i ii 9 9 iii ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Πλέππβ β Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : i 6 8 ii iii ` iv 7 Λτβ : i ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

66 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ii iii iv 7 [ ] ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Πλέππβ β Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : i 9 9 ii iii iv Λτβ : i ii iii ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

67 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ iv ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Πλέππβ β Να υπκζκΰέ κ σλδκ : Λτβ : ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : i ii [ln ] iii 6 Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα i ii iii 9 iv v 7 vi 9 7 Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : i 6 ii 6 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

68 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ iii iv v vi vii viii Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : 8 i 9 ii iii iv v 9 Να υπκζκΰδκτθ α παλαεϊπ σλδα : i 7 9 ii 8 iii iv 6 7 Να ζυγκτθ α σλδα : i ii υπκ σαθ Ϋξπ g g g έθαδ βζ, σ β υαυΰάμ παλϊαβ g g g g g 6 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

69 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ iii iv v vi vii viii i 8 9 υπκ σαθ Ϋξπ παλϊαβ βμ ηκλφάμ g, σ δαπϊη κθ αλδγησ ζ υκ αλδγηκτμ Οδ αλδγηκέ αυκέ έθαδ αθέγκδ πθ δηυθ πκυ γα πλκετοκυθ απσ δμ εαδ g, αθ γϋκυη αυϋμ σπκυ κ β υθϋξδα ξπλέακυη κ εζϊηα, σπκυ εϊγ εζϊηα πλδϋξδ ηδα λέαα εαδ Ϋθα αλδγησ εαδ Ϋζκμ υπκζκΰέακυη κ σλδκ εϊγ εζϊηακμ πκζζαπζαδϊακθαμ η βθ εαϊζζβζβ υαυΰά παλϊαβ 8 υπκ σαθ Ϋξπ κ έδκ σλδκ, βζ λδαδεϊ δαφκλδευθ Ϊιπθ η κ έδκ υπκλδακ σ γϋπ 6 6 y σπκυ η έθαδ κ ΚΠ πθ ε,ζ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΛΤΡΙΚ ΟΡΙ A Σκ σλδκ ηδαμ υθϊλββμ υπϊλξδ αθ εαδ ησθκ αθ υπϊλξκυθ α πζυλδεϊ σλδα εαδ έθαδ έα, βζαά l l αθ εαδ ησθκ αθ : l θ α πζυλδεϊ σλδα ηδαμ υθϊλββμ έθαδ δαφκλδεϊ, βζαά ζϋη σδ θ υπϊλξδ κ σλδκ βμ κ, σ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Άεββ ζ 7 ξκζδεσ ίδίζέκ ΟΜ Να ίλγέ αθ υπϊλξδ, κ σλδκ βμ κ αθ :, i εαδ, ii, εαδ, Λτβ : i Άλα εαδ Ϊλα θ υπϊλξδ κ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 66

70 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ii Άλα, Ϊλα υπϊλξδ κ εαδ ηϊζδα ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: Να ίλέ αθ υπϊλξδ κ, σαθ i ii iii iv 9, θα ίλέ κ, 6, 9 θα ίλέ κ, 9, θα ίλέ κ,, θα ίλέ κ, B ΤΡΗ ΠΡΜΣΡΩΝ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Άεββ 9 ζ 7 ξκζδεσ ίδίζέκ ΟΜ, έθαδ υθϊλββ Να ίλέ δμ δηϋμ πθ,, ΰδα δμ κπκέμ, δξτδ Λτβ : Έξπ : πέβμ : Σδμ εαδ η πλσγβ εαϊ ηϋζβ Ϋξπ : 6 6 εαδ αθδεαγδυθαμ βθ β 6 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 67

71 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: a a, έθαδ β υθϊλββ σπκυ α πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Να a, ίλέ κ α υ θα υπϊλξδ κ, έθαδ β υθϊλββ, σπκυ α, ί πλαΰηαδεκέ αλδγηκέ Να, ίλέ α α,ί υ θα υπϊλξκυθ υΰξλσθπμ α εαδ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΜΟΡΦΗ ΟΡΙ Μ ΠΟΛΤΣ ΚΙ ΠΡΟΗΜΟ ΟΡΙΟΤ αυά β ηγκκζκΰέα ίλέεδ φαληκΰά κ Θυλβηα κ ζ6 πκυ ζϋδ σδ : θ, σ εκθϊ κ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii Λτβ : θ, σ εκθϊ κ Έπ σδ κ κβΰέ κ ηκλφά εαδ πλδϋξδ σλκυμ βμ ηκλφάμ g θ κ g έθαδ γδεσ ά αλθβδεσ, σ γπλκτη αθέκδξα g> ά g< εκθϊ κ εαδ απαζζασηα απσ βθ παλκυέα πθ απκζτπθ θ g =, σ η β ίκάγδα κυ πέθαεα πλκάηπθ ίλέεκυη κ πλσβηκ βμ g εαδ λΰαασηα η πζυλδεϊ σλδα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 68

72 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ i ii Έξπ : Ϊλα κ σαθ κ Άλα : Ϊλα κ σαθ κ 6 Έξπ : Ϊλα : θ βζ σαθ σ : θ βζ σαθ σ : Άλα αφκτ α πζυλδεϊ σλδα έθαδ δα σ : iii Έξπ :, Έξπ, ή, πέβμ, ή, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 69

73 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ θ βζ σαθ σ : θ βζ σαθ σ : Άλα αφκτ α πζυλδεϊ σλδα θ έθαδ δα σ θ υπϊλξδ κ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: 7 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : 8 i ii 8 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii 9 βθ εαβΰκλέα αεάπθ πκυ γα κτη, ίλέεδ φαληκΰά κ Θυλβηα κ ζ 66 πκυ ζϋδ σδ : θ κδ υθαλάδμ, g Ϋξκυθ σλδκ κ εαδ δξτδ g εκθϊ κ, σ g ξσζδκ : κ παλαπϊθπ Θυλβηα δξτδ εαδ σαθ g ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 9 θ ΰδα β υθϊλββ : δξτδ 6 ΰδα εϊγ εαδ κ υπϊλξδ εαδ έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Να ίλέ κ Λτβ : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

74 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Σκ υπϊλξδ εαδ έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Ϊλα : l Γδα εϊγ δξτδ : θ σ 6 6 Άλα l l 6 θ σ 6 6 Άλα l l πσ εαδ πλκετπδ σδ l ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: θ ΰδα β υθϊλββ : δξτδ 6 ΰδα εϊγ εαδ κ υπϊλξδ εαδ έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Να ίλέ κ θ ΰδα β υθϊλββ : δξτδ :, ΰδα εϊγ εαδ κ υπϊλξδ εαδ έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Να ίλέ κ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΟΡΙΩΝ Μ ΟΗΘΗΣΙΚΗ ΤΝΡΣΗΗ Όαθ ΰθπλέακυη κ σλδκ ηδαμ παλϊαβμ πκυ πλδϋξδ ηδα υθϊλββ εαδ γϋζκυη θα ίλκτη κ, σ λΰαασηα πμ ιάμ : γϋκυη η g βθ παλϊαβ κυ κλέκυ πκυ ΰθπλέακυη, ζτθκυη πμ πλκμ εαδ υπκζκΰέακυη κ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Άεββ ζ 76 ξκζδεσ ίδίζέκ ΟΜ Να ίλέ κ, αθ : i ii Λτβ : i Έπ g, Ϊλα g Θα ζτπ πμ πλκμ : g g g g, Ϊλα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

75 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7 ii Έπ h, Ϊλα h Θα ζτπ πμ πλκμ : Άλα ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: θ ΰδα β υθϊλββ έθαδ, θα ίλγέ κ θ ΰδα β υθϊλββ έθαδ, θα ίλγέ κ θ ΰδα β υθϊλββ έθαδ, θα ίλγέ κ 6 θ ΰδα β υθϊλββ έθαδ, θα έι σδ 7 θ εαδ, θα ίλέ κ 8 θ ΰδα β υθϊλββ δξτδ, θα απκέι σδ 9 θ υθϊλββ η, θα ίλέ αθ υπϊλξκυθ α σλδα : i ii θ υθϊλββ η, θα ίλέ αθ υπϊλξκυθ α σλδα : i ii iii θ υθϊλββ η, θα ίλέ αθ υπϊλξκυθ α σλδα : i ii h h h : 7 : : 6 : g g : 6 8] [ : 8 6 :

76 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΠΡΜΣΡΩΝ Μ ΟΗΘΗΣΙΚΗ ΤΝΡΣΗΗ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: Να ίλγκτθ κδ πλαΰηαδεκέ αλδγηκέ α,ί υ Να ίλγκτθ κδ πλαΰηαδεκέ αλδγηκέ α,ί υ Να ίλγκτθ κδ πλαΰηαδεκέ αλδγηκέ α,ί υ a a a ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΠΡΜΟΛΗ Έπ κδ υθαλάδμ,g,h θ h g εκθϊ κ εαδ h g, σ πλδπυδμ πκυ β τλβ κυ θ αθϊΰαδ εαηέα απσ δμ πλκβΰκτηθμ πλδπυδμ π,ξ, θ ΰθπλέακυη κθ τπκ βμ ά Ϋξκυη αθδπδεϋμ ξϋδμ σ ξλβδηκπκδκτη κ ελδάλδκ παληίκζάμ Ιδαέλα β τπαλιβ δπζάμ αθδσβαμ βμ ηκλφάμ έθαδ ξαλαεβλδδεά ΰδα φαληκΰά κυ ελδβλέκυ παληίκζάμ πέβμ β αθδσβα βμ ηκλφάμ : ΰλΪφαδ : κπσ ηπκλκτη θα φαλησκυη ελδάλδκ παληίκζάμ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Να ίλγέ κ σλδκ δμ παλαεϊπ πλδπυδμ : i 6, ii 8 6 8, Λτβ : i ii έθαδ : εαδ Άλα απσ ελδάλδκ παληίκζάμ επ Γδα θα απκηκθυπ β ηϋβ βθ εαδ θα φαλησπ επ, πλϋπδ θα δαδλϋπ εϊγ ηϋζκμ η κ δαελέθπ πλδπυδμ : θ βζ σαθ σ : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

77 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7 Άλα απσ επ θ βζ σαθ σ : Άλα απσ επ πσ εαδ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: 6 θ ΰδα εϊγ, θα ίλγέ κ 7 θ ΰδα εϊγ, θα ίλγέ κ 8 έθαδ β υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να ίλγκτθ α σλδα εαδ 9 έθαδ β υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλγέ κ Να ίλγέ κ σλδκ αθ :, θ ΰδα εϊγ δξτδ σδ : θα ίλγκτθ : i ii iii iv v vi Έπ : ηδα υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ :, ΰδα εϊγ Να ίλέ κ : :

78 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ έθκθαδ υθαλάδμ,g: ΰδα δμ κπκέμ δξτδ [ g ] Να έι σδ = g έθκθαδ υθαλάδμ,g: ΰδα δμ κπκέμ δξτκυθ : g εαδ g Να έι σδ = g ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΣΡΙΓΩΝΟΜΣΡΙΚ ΟΡΙ ΟΡΙΟ ΤΝΘΣΗ ΤΝΡΣΗΗ 6 ΙΚ ΣΡΙΓΩΝΟΜΣΡΙΚ ΟΡΙ Γδα βθ τλβ λδΰπθκηλδευθ κλέπθ ξλβδηκπκδκτη α ιάμ ίαδεϊ σλδα : εαδ ά αεσηα εαδ ά αεσηα Η ξθδεά τλβμ έθαδ έδα η αυά πκυ αθαπτξγβε βθ πλκβΰκτηθβ θσβα ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Άεββ 6 ζ 7 ξκζδεσ ίδίζέκ ΟΜ Να ίλέ α σλδα i ii iii iv v vi Λτβ : i γϋπ u, σαθ σ u Ϊλα u u u u ii iii ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

79 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ iv v vi * u u * γϋπ u, σαθ σ u Ϊλα u u v γϋπ v, σαθ σ v Ϊλα v v v * γϋπ u, σαθ σ u Ϊλα * u u u u ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: 6 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii iv v vi vii 7 **έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να υπκζκΰέ κ 8 **θ : υθϊλββ η, θα ίλγέ κ σλδκ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 76

80 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 9 **θ : υθϊλββ η, θα ίλγκτθ α σλδα : i ii 6 **θ : υθϊλββ η, θα ίλγκτθ α σλδα : i ii έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : ΰδα εϊγ, εαδ Να ίλέ κ σλδκ : **έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ :, θα ίλγκτθ α σλδα : i ii iii **έθαδ Ϊλδα υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : η θα ίλγκτθ α σλδα : i ii iii iv **έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ :, θα ίλγκτθ α σλδα : i ii ** κ δπζαθσ ξάηα κ λέΰπθκ Γ έθαδ κλγκΰυθδκ η Να υπκζκΰέ α σλδα : Γ i ii iii α θ = ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 77

81 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 6 ΜΗΝΙΚΗ ΠΙ ΦΡΓΜΝΗ θ = εαδ ΰδα β υθϊλββ g δξτδ σδ σ g = g Η απσδιβ πλκετπδ απσ κ ελδάλδκ παληίκζάμ ΠλΪΰηαδ, έθαδ : g πσ κ ελδάλδκ παληίκζάμ πλκετπδ κ αβκτηθκ υηπϋλαηα : ηβθδεά υθϊλββφλαΰηϋθβ υθϊλββ=ηβθδεά υθϊλββ Χαλαεβλδδεσ βμ πλέππβμ «ηβθδεά πέ φλαΰηϋθβ» έθαδ β τπαλιβ κ σλδκ :, εαδ ΰθδεΪ, η g g g ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Να υπκζκΰέ α σλδα : i ii Λτβ : i aaa Έξπ, Ϊλα φαλησαπ επ εαδ, Ϊλα απσ επ ii Παλαβλυ σδ ηβθδεά εαδ φλαΰηϋθβ Άλα Ϋξπ σλδκ βμ ηκλφάμ «ηβθδεά πέ φλαΰηϋθβ», Ϊλα φαλησαπ επ εαδ, Ϊλα απσ επ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: 7 Να απκέι σδ : i ii iii iv v ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 78

82 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 8 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα i ii iii iv v vi ΜΘΟΟΛΟΓΙ 7 : Η ΝΙΟΣΗΣ Γθπλέακυη σδ, ΰδα εϊγ εαδ β δσβα δξτδ ησθκ ΰδα πσ βθ αθδσβα πλκετπδ σδ : Γδα ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ: 9 Να ίλέ α πέα κλδηκτ : i ii ln iii ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 79

83 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΤΝΤΣΙΚ ΘΜΣ 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 7 Να ίλέ α σλδα : i ii iii 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i ii iii 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : η εαδ ΰδα εϊγ Να ίλέ κ σλδκ : 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : η εαδ i ii 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i ii 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : η εαδ 7 ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i ii ii 66 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i ii 67 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i ii ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

84 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής,,, ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: α β γ Αν δ Αν, τότε κοντά στο, ενώ αν, τότε, ενώ αν, τότε κοντά στο, τότε ε Αν ή, τότε στ Αν και κοντά στο, τότε, ενώ αν και κοντά στο, τότε ζαν ή, τότε η Αν, τότε k θ i και γενικά *, N ii ν, N και, N 6 Να γράψετε τα Θεωρήματα του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα : ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο αθροίσματος Αν στο R το όριο της είναι: α R α R - - και το όριο της g είναι: τότε το όριο της είναι: g - - ; ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

85 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γινομένου Αν στο R, το όριο της είναι: α> α< α> α< και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: ; ; Πράξεις στο σύνολο, Με βάση τις ιδιότητες των απείρων ορίων, επεκτείνουμε τις πράξεις του στο σύνολο, και και, για κάθε και και, και,, για κάθε,, Σχόλιο Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο αν υπάρχει εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι : και Επειδή g g και, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς g g και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι :,,,,, Για παράδειγμα: αν πάρουμε τις συναρτήσεις και g, τότε έχουμε:, g και g ενώ, αν πάρουμε τις συναρτήσεις και g, τότε έχουμε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

86 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, g και g Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Με το συμβολισμό εννοούμε ότι έχουμε όριο της μορφής με g g και, Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής : παραγοντοποιώ τον παρανομαστή και απομονώνω τον παράγοντα που τον μηδενίζει δηλ " " v g υπολογίζω το όριο του περισσεύματος υπολογίζω το v v α αν κοντά στο τότε : v β αν κοντά στο τότε : γ αν v αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του v v, κάνουμε χρήση πλευρικών ορίων και διαπιστώνουμε ότι το δεν υπάρχει, αφού τα πλευρικά v θα είναι το ένα και το άλλο Υπολογίζουμε το όριο από την εκτελώντας τις πράξεις g Συμπέρασμα : όριο της μορφής είναι είτε, είτε, είτε δεν υπάρχει ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΕΦΑΡΜΟΓΗ σελ 8 σχολικό βιβλίο Να βρεθούν τα όρια : 6 i ii Λύση i 6 6 έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

87 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ii και κοντά στο, άρα 6 Άρα 6 έχω : και κοντά στο, άρα Άρα ΕΦΑΡΜΟΓΗ σελ 8 σχολικό βιβλίο Δίνεται η συνάρτηση Να εξετάσετε αν υπάρχει το Λύση : αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε και άρα Αν τότε και άρα Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα αφού, Άρα το δεν υπάρχει Να βρείτε αν υπάρχει το 6 Λύση : 6 6 αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε και άρα 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

88 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Αν τότε και 8 άρα Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: δεν υπάρχει Να βρεθούν τα όρια : i Απ ii Απ iii iv Απ v vi vii viii 6 9 i Απ Απ Δίνεται η συνάρτηση : Να βρεθεί το Απ 6 Δίνεται η συνάρτηση : Να βρεθεί το Απ Δεν υπάρχει 7 Να βρείτε αν υπάρχει το όριο της στο όταν: i, ii, iii, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

89 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Να βρείτε αν υπάρχει το όριο της στο, όταν : i, ii, iii, 9 Να βρεθούν αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια i Απ Δεν υπάρχει ii 7 Απ Δεν υπάρχει iii 6 Απ Δεν υπάρχει iv v vi vii Να βρείτε εφόσον υπάρχει το 9 8 Να αποδείξετε ότι: i Η συνάρτηση εφ δεν έχει όριο στο ii Η συνάρτηση σφ δεν έχει όριο στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 86

90 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Ζητείται πλήρης διερεύνηση για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων Όπως και στα μη παραμετρικά παραγοντοποιώ τον παρανομαστή και απομονώνω τον παράγοντα που τον μηδενίζει δηλ " " και υπολογίζω το όριο για τις v g διάφορες τιμές των παραμέτρων ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο για τις διάφορες τιμές του Διερεύνηση Λύση : Έχω, πρέπει να ξέρω το πρόσημο του «περισσεύματος» καθώς θα επηρεάσει το τελικό όριο, γι' αυτό διακρίνω περιπτώσεις : Αν,, άρα Αν,, άρα Αν, τότε αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε και Αν τότε και Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το δεν υπάρχει Άσκηση σελ 8 σχολικό βιβλίο Β Ομάδας Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το ώστε να υπάρχει στο το Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 87

91 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έχω, πρέπει να ξέρω το πρόσημο του «περισσεύματος» καθώς θα επηρεάσει το τελικό όριο, για αυτό διακρίνω περιπτώσεις : Αν, τότε : αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε, άρα Αν τότε, άρα Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το δεν υπάρχει Αν, τότε : αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε, άρα Αν τότε, άρα Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το δεν υπάρχει Αν τότε Άρα το υπάρχει στο μόνο αν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων, να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i, ii iii iv Αν, να βρεθεί το α 6 Αν, να βρεθεί το α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 88

92 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Όταν γνωρίζουμε το όριο μιας παράστασης που περιέχει μια συνάρτηση και θέλουμε να βρούμε το, τότε εργαζόμαστε ως εξής : θέτουμε με g την παράσταση του ορίου που γνωρίζουμε, λύνουμε ως προς και υπολογίζουμε το ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Άσκηση σελ 8 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε το, όταν : i ii iii [ ] Λύση : i Έστω g, άρα g, έχω g g g κοντά στο g αφού g Άρα g ii Έστω h, άρα h, έχω h h Άρα [ h ] iii Έστω, άρα Άρα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: κοντά στο 8 Έστω συνάρτηση με Να βρείτε το Απ 9 Έστω η συνάρτηση : όρια : i ii για την οποία ισχύει : iii να βρείτε τα **Έστω η συνάρτηση : βρείτε τα όρια: i Απ για την οποία ισχύει ii Απ να ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 89

93 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii Απ iv Απ Έστω η συνάρτηση : βρείτε τα όρια: i ii για την οποία ισχύει να Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει όρια: i ii 7 να βρείτε τα **Αν :, με ** Αν :, με,, να βρείτε το,, να βρείτε το **Αν για κάθε, να βρείτε το 6 **Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει όρια: i ii iii να βρείτε τα 7 **Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει υπάρχει το όριο: κοντά στο ενώ αν να βρείτε αν υποδ αν, τότε, τότε κοντά στο Απ 8 **Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει υπάρχει το όριο: Απ να βρείτε αν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

94 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9 **Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε Να βρείτε το Απ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν ισχύει g κοντά στο και g, τότε ισχύει Αποδ Είναι g, άρα κοντά στο ισχύει ότι g Από τη σχέση g προκύπτει ότι ισχύει κοντά στο Έτσι κοντά στο έχουμε : g Όμως, άρα από το κριτήριο g g παρεμβολής ισχύει ότι Άρα είναι :, διότι και κοντά στο Αν ισχύει g κοντά στο και Αποδ Όμοια με παραπάνω g, τότε ισχύει Αυτές τις δυο προτάσεις, για να τις χρησιμοποιήσουμε πρέπει να τις αποδείξουμε **Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει 6 9 για κάθε Να βρείτε το **Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε Να βρείτε τα όρια : i Απ ii Απ **Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε Να βρείτε τα όρια : i Απ ii Απ 7 **Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να βρείτε τα όρια: ii Απ ii Απ iii Απ iv Απ v ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

95 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 7 OΡΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ ΣΟ ΑΠΕΙΡΟ 7 Να ΰλΪο δμ δδσβμ ΰδα ο σλδο ο Ϊπδλο πϊθββ : α Γδα κθ υπκζκΰδησ κυ κλέκυ κ ά θσμ ηΰϊζκυ αλδγηκτ υθαλάωθ χλδαασηα α παλαεϊω ίαδεϊ σλδα: ν * εαδ, N ν ν, αν ν άτιο -, αν ν πειττό εαδ *, ν ί Γδα βθ πκζυωθυηδεά υθϊλββ P, η δχτδ: P εαδ P ΰ Γδα β λβά υθϊλββ εαδ,, δχτδ: Γδα κ σλδκ εγδεάμ - ζκΰαλδγηδεάμ υθϊλββμ δχτδ σδ θ χ 6, σ, log, log y y=a y=log a 6 O θ χ 6, σ, log, log y=a y 6 O ξσζδα Γδα θα αθααβάκυη κ σλδκ ηδαμ υθϊλββμ κ, πλϋπδ β θα έθαδ κλδηϋθβ δϊβηα βμ ηκλφάμ, Γδα θα αθααβάκυη κ σλδκ ηδαμ υθϊλββμ κ πλϋπδ β θα έθαδ κλδηϋθβ δϊβηα βμ ηκλφάμ, Γδα α σλδα κ, δχτκυθ κδ ΰθωΫμ δδσβμ ωθ κλέωθ κ η βθ πλκςπσγβ σδ: κδ υθαλάδμ έθαδ κλδηϋθμ εαϊζζβζα τθκζα εαδ θ εααζάΰκυη απλκδσλδβ ηκλφά ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9 y=log a

96 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 8 Να υ οθ ολδησ βμ αεοζουγίαμ πϊθββ : εοζουγία κθκηϊααδ εϊγ πλαΰηαδεά υθϊλββ : * 9 Σδ θθοοτη σαθ ζϋη σδ ηδα αεοζουγία Ϋξδ σλδο ο l ; πϊθββ : Θα ζϋη σδ β αεκζκυγέα α ν Ϋχδ σλδκ κ l εαδ γα ΰλΪφκυη α ν ν * ε, υπϊλχδ Ϋκδκ, υ ΰδα εϊγ ν ν θα δχτδ ε N α ν, σαθ ΰδα εϊγ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟ ΣΟ ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚ ΡΣ ΤΝΡΣ ΚλαΪη κυμ ηΰδκίϊγηδκυμ σλκυμ ΛΤΜΝ ΚΙ : Άεββ ζ 86 χ ίδίζέκ ΟηΪαμ Να ίλέ α σλδα : i iv vii Λτβ : iii 8 v vi viii ii i ii iii 8 iv v vi 9 vii ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

97 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ viii ΚΙ ΓΙ ΛΤ: Να ίλγκτθ α σλδα : i iii π π ii Να ίλγκτθ α σλδα : 6 i π ii π 6 iii π 6 iv π 6 v π vi π π ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟ ΣΟ ΤΝΡΣΩΝ ΛΤΜΝ ΚΙ : εάδμ, ζ 87 χ ίδίζέκ ΟηΪαμ Να ίλγκτθ α σλδα : i ΡΡΣΩΝ Γδα θα υπκζκΰέκυη σλδα πκυ πλδϋχκυθ παλαϊδμ βμ ηκλφάμ : g ά g λΰαασηα ωμ ιάμ : εϊγ υπσλδακ ίΰϊακυη εκδθσ παλϊΰκθα β ηΰαζτλβ τθαηβ κυ, Χωλέακυη δμ λέαμ εαδ ηφαθέααδ :, ΰΪακυη εκδθσ παλϊΰκθα κ θ εαϊ β δαδεαέα ηφαθδέ απλκδκλδέα βμ ηκλφάμ, σ κ αλχδεσ σλδκ πκζζαπζαδϊακυη εαδ δαδλκτη η β υαυΰά παλϊαβ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

98 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ii 9 iii iv v vi vii viii Λτβ : i ii iii iv v ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9 9

99 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 96 vi δαπδυθω βθ αθαηθσηθβ απλκδκλδέα, ΰδ αυσ πκζζαπζαδϊαω αλδγηβά εαδ παλαθκηαά η β υαυΰά παλϊαβ: vii δαπδυθω βθ αθαηθσηθβ απλκδκλδέα, ΰδ αυσ πκζζαπζαδϊαω αλδγηβά εαδ παλαθκηαά η β υαυΰά παλϊαβ: viii δαπδυθω βθ αθαηθσηθβ απλκδκλδέα, ΰδ αυσ πκζζαπζαδϊαω αλδγηβά εαδ παλαθκηαά η β υαυΰά παλϊαβ: ] ][ [ ΚΙ ΓΙ ΛΤ: Να ίλγκτθ α σλδα : i π ii π iii π iv 7 π v 7 π

100 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 97 vi 6 π 6 Η υθϊλββ έθαδ κλδηϋθβ κ R εαδ ΰδα εϊγ χ> δχτδ : 6 Να ίλέ κ π 7 Να ίλγκτθ α σλδα : i 7 π ii 7 7 iii iv ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 Να ίλγέ κ σλδκ : Λτβ : δαπδυθω βθ αθαηθσηθβ απλκδκλδέα, ΰδ αυσ χωλέαω εαϊζζβζα βθ παλϊαβ εαδ πκζζαπζαδϊαω αλδγηβϋμ εαδ παλαθκηαϋμ η β υαυΰά παλϊαβ: ΚΙ ΓΙ ΛΤ: 9 Να ίλγκτθ α σλδα : i 7 9 ii 9 iii 6 9 iv 9 ΟΡΙΟ ΣΟ Μ ΠΟΛΛ ΡΙΙΚ

101 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟ ΣΟ ΛΤΜΝ ΚΙ : Άεββ ζ 87 χ ίδίζέκ B ΟηΪαμ Να ίλγκτθ α σλδα : i iii Λτβ : i, Ϊλα σαθ Ϊλα, iii, Ϊλα σαθ Ϊλα, ΚΙ ΓΙ ΛΤ: Μ ΠΟΛΤΣ θ ηϋα κ σλδκ υπϊλχδ g σ υπκζκΰέαω ιχωλδϊ κ g θ g σ εαδ g σαθ, θυ αθ g σ εαδ g σαθ Οπσ απαζζϊκηαδ απσ α απσζυα εαδ υπκζκΰέαω εαθκθδεϊ κ σλδκ Να υπκζκΰέ α παλαεϊω σλδα : 7 i π ii 6 6 π - έθαδ β υθϊλββ : i π ii 7 π 7 Να ίλγκτθ α σλδα : έθαδ β υθϊλββ : Να ίλγκτθ α σλδα : i π ii π ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 98

102 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟ ΣΟ Μ ΠΡΜΣΡΟ ΛΤΜΝ ΚΙ : Άεββ ζ 87 χ ίδίζέκ B ΟηΪαμ Γδα δμ δϊφκλμ πλαΰηαδεϋμ δηϋμ κυ η, θα υπκζκΰέ α παλαεϊω σλδα : i ii 6 Λτβ : i, πδά, γα δαελέθκυη πλδπυδμ ΰδα κ θ σ θ σ θ σ ii, 6 πδά :, γα δαελέθω πλδπυδμ ΰδα κ θ,, Γδαέ : Ϋχω,, η πδά γϋζω,, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 99

103 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Σσ 6 θ, σ 6 θ σ θ σ 6 ΚΙ ΓΙ ΛΤ: Να υπκζκΰέ α σλδα ΰδα δμ δϊφκλμ δηϋμ ωθ παλαηϋλωθ α, ί i a ii a iii iv a a a a a v a vi a vii a 6 θ a, θα ίλγκτθ κδ α,ί υ απ α=-, ί= 7 θ 9, θα ίλγκτθ κδ α,ί υ 8 θ, θα ίλγέ κ ζ, υ κ 6 θα έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ 9 Να υπκζκΰδέ κ παλαεϊω σλδκ ΰδα δμ δϊφκλμ δηϋμ κυ ζ έθαδ β υθϊλββ : 7 θα ίλγέ κ σλδκ Γδα δμ δϊφκλμ δηϋμ κυ ζ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

104 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟ ΣΟ ΟΡΟΤ Σα σλδα Μ ΣΡΙΓΩΝΟΜΣΡΙΚΟΤ εαδ θ υπϊλχκυθ θ εϊπκδκ σλδκ παλκυδϊακθαδ κδ σλκδ βη εαδ υθ, σ δαδλκτη κυμ σλκυμ αυκτμ η εϊπκδα γδεά τθαηβ κυ, υ χλβδηκπκδυθαμ κ ελδάλδκ παληίκζάμ θα κυμ ηβθέκυη ΠΡΣΡ : θυ :, κηκέωμ εαδ α κπκέα απκδεθτκθαδ η ελδάλδκ παληίκζάμ εαδ,, ΠΡΣΡ : βθ θσβα έαη σδ Μβθδεά πέ φλαΰηϋθβ πκυ απκδεθταδ ωμ ιάμ : aaa Έχω, Ϊλα φαλησαω επ εαδ, Ϊλα απσ επ Όηωμ ΰδαέ : u u u u u ΠΡΣΡ : θ Ϋχω σλδκ σπκυ, πκυ πλδϋχδ ά, σ δαδλυ εϊγ σλκ αλδγηβά εαδ παλαθκηαά η β ηΰδκίαγηδα τθαηβ κυ θ χλδαέ εϊθω δαχωλδησ κυ εζϊηακμ ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλγκτθ α σλδα : i ii 6 iii ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

105 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία Λτβ : i : *, *, ii : * *, εαδ, iii : * * παλαπϊθω έιαη σδ εαδ, κηκέωμ :, ΚΙ ΓΙ ΛΤ: Να ίλγκτθ α σλδα : i ii iii

106 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ iv v vi Να ίλγκτθ α σλδα : i π ii 6 7 π iii π iv v π vi vii viii i i ii ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

107 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i ii iii Λτβ : i Έχω :, Ϊλα σαθ σ Ϊλα Έχω : εαδ Ϊλα απσ επ ii Έχω :, Ϊλα σαθ σ Ϊλα Έχω : εαδ Ϊλα απσ επ iii Έχω : 6 6 Έχω : 6 6 εαδ 6 6 Ϊλα απσ επ ΚΙ ΓΙ ΛΤ: έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i π ii π ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΟΡΙΟ ΣΟ ΚΙ ΚΡΙΣΡΙΟ ΠΡΜΟΛ

108 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i π π ii 7 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ α σλδα : i π ii π iii π iv π 8 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ κ π ΜΘΟΟΛΟΓΙ 7 : ΟΡΙΟ ΣΟ ΚΙ ΟΘΣΙΚ ΤΝΡΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : 9 έθαδ β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δχτδ : 7 Να ίλέ α σλδα : i ii Λτβ : i ΘΫω g, η, σ g 7 Έχω : : g g g g Γδα Ϊλα : g g g 7 g ii g g g ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

109 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΙ ΓΙ ΛΤ: 6 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : Να ίλέ α σλδα : i π ii π έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : Να ίλέ κ π 7 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : Να ίλέ κ π έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : Να ίλέ α σλδα : i π ii π Έω β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δχτκυθ : εαδ Να ίλέ κ, υ π 9 Έω β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δχτκυθ : * Να ίλέ κ, υ 6 Να ίλέ κ, σαθ : εαδ 7 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δχτδ : Να ίλέ α σλδα : i π ii Να ίλέ βθ δηά κυ ΰδα βθ κπκέα δχτδ : π 7 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

110 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 8 : ΟΡΙΟ ΚΘΣΙΚΩΝ ΛΟΓΡΙΘΜΙΚΩΝ ΤΝΡΣΩΝ ΠΡΙΠΣΩ : Ιχτκυθ : ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 Να ίλγκτθ α σλδα : i ln ii ln iii ln iv ln Λτβ : i ln ii ln iii ln iv ln ΚΙ ΓΙ ΛΤ: 9 Να ίλγκτθ α σλδα : i ln π ii ln iii ln π iv ln π v ln vi ln vii ln viii ln i ** ln ln ** ln ln π π π π,, ln εαδ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7 ln ΓθδεΪ : θ σ :, εαδ log, log θ σ :, υξθϊ : εαδ

111 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλγκτθ α σλδα : i ii iii Λτβ : i ii, πδά, σ, Ϊλα γα έθαδ : iii πδά, σ, Ϊλα γα έθαδ : ΚΙ ΓΙ ΛΤ: Να ίλγκτθ α σλδα : i π ii ΠΡΙΠΣΩ : θ Ϋχω ηδα εγδεά πχ ησθκ, σ β ίΰϊαω εκδθσ παλϊΰκθα θ Ϋχω ά πλδσλμ εγδεϋμ, σ ίΰϊαω εκδθσ παλϊΰκθα αυά η β ηΰαζτλβ ίϊβ αθ θ εκδθσ παλϊΰκθα ίΰϊαω βθ εγδεά η β ηδελσλβ ίϊβ

112 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ iii iv 7 v 8 vi 6 vii π - viii, i, ΤΝΤΣΙΚ ΘΜΣ έθαδ β υθϊλββ ln Να ίλέ α σλδα : i ii έθαδ β υθϊλββ ln i Να ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να ίλέ α σλδα : α ί ΰ Να ίλέ κ σαθ : i ii, ΰδα εϊγ :, εαδ ln, ΰδα εϊγ Να ίλέ κ σαθ : i, ΰδα εϊγ ii, ΰδα εϊγ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

113 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 8 ΤΝΕΧΕΙ ΤΝΡΣΗΗ A ΤΝΧΙ ΤΝΡΣ Πσ ηδα υθϊλββ ζϋΰαδ υθχάμ Ϋθα βηέκ κυ πέκυ κλδηκτ o βμ ; πϊθββ : ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9, ΟΜΟΓ, Έπ ηδα υθϊλββ εαδ Ϋθα βηέκ κυ πέκυ κλδηκτ βμ Θα ζϋη σδ β έθαδ υθξάμ κ, σαθ Για παράιγμα, β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ, αφκτ χσζδα : α Έπ κδ υθαλάδμ, g, h πθ κπκέπθ κδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ έθκθαδ α παλαεϊπ ξάηαα y y y C h 6 C g C g O a O Παλαβλκτη σδ: Η υθϊλββ έθαδ κλδηϋθβ κ εαδ δξτδ : Η υθϊλββ g έθαδ κλδηϋθβ κ αζζϊ g g O Η υθϊλββ h έθαδ κλδηϋθβ κ αζζϊ θ υπϊλξδ κ σλδσ βμ πσ δμ λδμ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ κυ ξάηακμ ησθκ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ δαεσπαδ κ έθαδ, πκηϋθπμ, φυδεσ θα κθκηϊκυη υθχά κ ησθκ β υθϊλββ ί τηφπθα η κθ παλαπϊθπ κλδησ, ηδα υθϊλββ θ έθαδ υθξάμ Ϋθα βηέκ κυ πέκυ κλδηκτ βμ σαθ: i θ υπϊλξδ κ σλδσ βμ κ ά ii ΤπΪλξδ κ σλδσ βμ κ, αζζϊ έθαδ δαφκλδεσ απσ βθ δηά βμ,, κ βηέκ Για παράιγμα,, α Η υθϊλββ θ έθαδ υθξάμ κ, αφκτ, α, θυ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

114 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ, κπσ θ υπϊλξδ κ σλδκ βμ κ Η υθϊλββ, α θ έθαδ υθξάμ κ, αφκτ, α, θυ ΰ Μέα υθϊλββ πκυ έθαδ υθξάμ σζα α βηέα κυ πέκυ κλδηκτ βμ, γα ζϋΰαδ, υθξάμ υθϊλββ ΚΪγ πκζυπθυηδεά υθϊλββ Ρ έθαδ υθξάμ, αφκτ ΰδα εϊγ R δξτδ P P ΚΪγ λβά υθϊλββ P έθαδ υθξάμ, αφκτ ΰδα εϊγ κυ πέκυ κλδηκτ βμ Q δξτδ P P Q Q Οδ υθαλάδμ ημ εαδ g συν έθαδ υθξέμ, αφκτ ΰδα εϊγ R δξτδ ημ ημ εαδ συν συν Οδ υθαλάδμ α εαδ log g, α α έθαδ υθξέμ Να δαυπυ πλσαβ πκυ αφκλϊ β υθϋχδα εαδ δμ πλϊιδμ υθαλάωθ πϊθββ : Γδα β υθϋξδα εαδ δμ πλϊιδμ υθαλάπθ δξτδ κ παλαεϊπ γυλβηα : θ κδ υθαλάδμ εαδ g έθαδ υθξέμ κ, σ έθαδ υθξέμ κ εαδ κδ υθαλάδμ: g, c, σπκυ c R Ϋθα δϊβηα πκυ πλδϋξδ κ, g,, εαδ η βθ πλκςπσγβ σδ κλέακθαδ g Για παράιγμα, Οδ υθαλάδμ εφ εαδ g σφ έθαδ υθχέμ πμ πβζέεα υθξυθ υθαλάπθ Η υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ πέκ κλδηκτ βμ,, αφκτ β υθϊλββ g έθαδ υθξάμ Η υθϊλββ η έθαδ υθξάμ, αφκτ έθαδ βμ ηκλφάμ g, σπκυ g η β κπκέα έθαδ υθξάμ υθϊλββ πμ ΰδθσηθκ πθ υθξυθ υθαλάπθ εαδ η ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

115 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Να δαυπυ πλσαβ πκυ αφκλϊ β υθϋχδα τθγβμ υθϊλββμ πϊθββ : Γδα β υθϋξδα τθγβμ υθϊλββμ δξτδ κ παλαεϊπ γυλβηα : θ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ εαδ β υθϊλββ g έθαδ υθξάμ κ, σ β τθγά κυμ go έθαδ υθξάμ κ Για παράιγμα, β υθϊλββ φ η έθαδ υθξάμ εϊγ βηέκ κυ πέκυ κλδηκτ βμ πμ τθγβ πθ υθξυθ υθαλάπθ εαδ g η g g y= Πσ ηδα υθϊλββ ζϋΰαδ υθχάμ Ϋθα αθκδεσ δϊβηα εαδ, πσ κ εζδσ δϊβηα [, ] πϊθββ : ΟΜΟΓ, 8,, Π, 7 Μδα υθϊλββ ζϋη σδ έθαδ υθξάμ Ϋθα αθκδεσ δϊβηα αβ,, σαθ έθαδ υθξάμ εϊγ βηέκ κυ, Μδα υθϊλββ γα ζϋη σδ έθαδ υθξάμ Ϋθα εζδσ δϊβηα [ αβ, ], σαθ έθαδ υθξάμ εϊγ βηέκ κυ, εαδ πδπζϋκθ : εαδ χσζδκ θϊζκΰκδ κλδηκέ δαυπυθκθαδ ΰδα δαάηαα βμ ηκλφάμ, ], [, ω=ηy=η ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΝΧ ΤΝΡΣ - ΟΡΙΜΟ Όαθ γϋζκυη θα ιϊκυη πμ πλκμ β υθϋξδα ηδα υθϊλββ πκζζαπζκτ τπκυ, λΰαασηα πμ ιάμ : ιβΰκτη ΰδαέ έθαδ υθξάμ εϊγ εζϊκμ βμ υθϊλββμ ιξπλδϊ, α αθκδξϊ δαάηαα πκυ κλέααδ ιϊακυη η κθ κλδησ β υθϋξδα α βηέα πκυ αζζϊαδ κ τπκμ θ σ β έθαδ υθξέμ κ, αζζδυμ σξδ Σκθέακυη σδ ΰδα βθ τλβ κυ λΰαασηα η πζυλδεϊ σλδα Η θ έθαδ υθξέμ κ, αθ : θ υπϊλξδ εϊπκδκ απσ α πζυλδεϊ σλδα ά Σα πζυλδεϊ σλδα κ υπϊλξκυθ αζζϊ έθαδ δαφκλδεϊ ά Σα πζυλδεϊ σλδα κ έθαδ έα, σξδ σηπμ έα η κ ΛΤΜΝ ΚΙ : Άεββ ζ 97 ΟηΪαμ ξκζδεσ ίδίζέκ Να ηζά πμ πλκμ β υθϋξδα κ δμ παλαεϊπ υθαλάδμ :, i αθ =, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

116 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ, ii αθ =,, iii αθ =-, Λτβ : i έθαδ : 8, 8, Άλα 8 Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ ii έθαδ :,, Άλα Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ i έθαδ :, Άλα Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ Άεββ ζ 98 ΟηΪαμ ξκζδεσ ίδίζέκ Να ηζά πμ πλκμ β υθϋξδα δμ υθαλάδμ :, i,, ii, Λτβ : i θ, έθαδ υθξάμ πμ πκζυπθυηδεά θ, έθαδ υθξάμ πμ πβζέεκ υθξυθ Θα ιϊπ υλα αθ β έθαδ υθξάμ κ βηέκ αζζαΰάμ τπκυ Άλα β θ έθαδ υθξάμ κ ii θ, έθαδ υθξάμ πμ πβζέεκ υθϋξπθ θ, έθαδ υθξάμ Θα ιϊπ υλα αθ β έθαδ υθξάμ κ βηέκ αζζαΰάμ τπκυ Άλα β έθαδ υθξάμ κ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

117 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία ΚΙ ΓΙ ΛΤ: α παλαεϊπ ξάηαα έθκθαδ κδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ υκ υθαλάπθ Να ίλέ α βηέα α κπκέα αυϋμ θ έθαδ υθξέμ Να ηζά πμ πλκμ β υθϋξδα β υθϊλββ :,, ln Να ηζά πμ πλκμ β υθϋξδα β υθϊλββ : 6 Να ηζά πμ πλκμ β υθϋξδα κ δμ παλαεϊπ υθαλάδμ : i κ = ii κ =- 7 Να ηζά πμ πλκμ β υθϋξδα δμ παλαεϊπ υθαλάδμ εαδ ηϊ θα ξαλϊι β ΰλαφδεά κυμ παλϊαβ, αθ i,, ii,, 6 iii, ln, iv,,,,,,,,, O y O, y

118 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6 8 Να ιϊ πμ πλκμ β υθϋξδα δμ παλαεϊπ υθαλάδμ : i ii iii,, ln iv,, v,, 9 έθαδ β υθϊλββ,,, i Να ηζά β υθϊλββ πμ πλκμ β υθϋξδα ii Να ίλέ α σλδα εαδ θ β υθϊλββ : έθαδ υθξάμ κ ξ = η =, θα απκέι σδ εαδ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ έθαδ β υθϊλββ ln i Να έι σδ β έθαδ υθξάμ ii Να ίλέ α σλδα : α ί Να ζϋΰι αθ έθαδ υθξέμ κ πέκ κλδηκτ κυμ κδ παλαεϊπ υθαλάδμ Γδα αυϋμ πκυ θ έθαδ θα ίλέ α βηέα αυθϋξδαμ i ii iii iv v vi,,,,,, g ln

119 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΠΡΜΣΡΩΝ θ ηδα υθϊλββ ηαμ έθαδ σδ έθαδ υθξάμ Ϋθα βηέκ κυ πέκυ κλδηκτ βμ εαδ αβέαδ θα πλκδκλέπ εϊπκδμ παλαηϋλκυμ σ εϊθπ ξλάβ κυ κλδηκτ : H έθαδ υθξέμ κ σ θ ξλδαέ εϊθπ ξλάβ κυ κλδηκτ η α πζυλδεϊ σλδα :H έθαδ υθξέμ κ σ : ΛΤΜΝ ΚΙ : Άεββ ζ 99 B ΟηΪαμ ξκζδεσ ίδίζέκ, θ, θα πλκδκλέ κ ε, υ β, θα έθαδ υθξάμ κ Λτβ : Η έθαδ υθξάμ κ Άλα Άεββ ζ 99 B ΟηΪαμ ξκζδεσ ίδίζέκ, θ,, θα ίλέ δμ δηϋμ πθ,, ΰδα δμ κπκέμ β, θα έθαδ υθξάμ κ Λτβ : Η έθαδ υθξάμ κ,, Γδα, : Γδα, : 8, Άλα, : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

120 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΙ ΓΙ ΛΤ:, έθαδ β υθϊλββ, Να ίλέ βθ δηά πθ α, ί υ β θα a, έθαδ υθξάμ, 6 έθαδ β υθϊλββ, Να ίλέ βθ δηά πθ ln, α, ί υ β θα έθαδ υθξάμ 7 Να ίλγέ β δηά βμ παλαηϋλκυ α υ θα έθαδ υθξάμ κδ υθαλάδμ :, i ii,,,, a ln, 8 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ α, a ln, υ β θα έθαδ υθξάμ κ πέκ κλδηκτ βμ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΡ ΣΙΜ Ή ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ Σ Όαθ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ D, σ Άλα αθ ηαμ αβέαδ β δηά αθ ηαμ αβέαδ κ, σ αλεέ θα ίλκτη κ αθ β έθαδ υθξάμ κ εαδ ηαμ έθαδ ηδα αθδκδεά ξϋβ, σ κ κ λέεκυη ξλβδηκπκδυθαμ πζυλδεϊ σλδα εαδ εααζάΰκθαμ δμ ξϋδμ,, κπσ, σ αλεέ θα ίλκτη κ ΛΤΜΝ ΚΙ : 9 Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 6 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ δηά β υθϋξδα θα ίλέ κθ τπκ βμ Λτβ : έθαδ 6 ΰδα εϊγ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

121 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 6 θ σ 6 Γδα θα ίλκτη κ γα ξλβδηκπκδάκυη βθ υθϋξδα βμ βζ Η έθαδ υθξάμ ΰδα εϊγ, Ϊλα β υθξάμ εαδ κ Ϊλα δξτδ : 6 6, Άλα ΰδα κθ τπκ βμ δξτδ :, Έπ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ κ Λτβ : πδά β έθαδ υθξάμ ΰδα εϊγ, Ϊλα β υθξάμ εαδ κ Ϊλα δξτδ : Γδα Ϋξπ : Άλα * u u * ό :, u u Γδα Ϋξπ : Άλα * Άλα απσ εαδ Ϋξπ σδ θ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ θα ίλγέ β δηά σαθ Λτβ : Έπ : g η [,, εαδ g Ϋδ : g g g, Ϊλα έθαδ ό: u g ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

122 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ g * g * g g πδά σηπμ β έθαδ υθξάμ κ, δξτδ : u u * ό :, u u ό: u έθαδ β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να έι σδ β έθαδ υθξάμ κ Λτβ : Γδα εϊγ Ϋξκυη ΰδα εϊγ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία έθαδ : ΰδα εϊγ βζ Έδ : απσ ελδάλδκ παληίκζάμ : πέβμ :, Ϊλα, Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ ΚΙ ΓΙ ΛΤ: θ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ, θα ίλέ β δηά δμ παλαεϊπ πλδπυδμ : i ΰδα εϊγ εαδ = ii ΰδα εϊγ εαδ = iii ΰδα εϊγ εαδ = iv * εαδ = Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 7 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ δηά έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ, ΰδα εϊγ θ β έθαδ υθξάμ κ, θα ίλέ κ 6 Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ κθ τπκ βμ

123 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 7 Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ κθ τπκ βμ 8 έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ, ΰδα εϊγ θ =, θα έι σδ β έθαδ υθξάμ κ 9 Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ κ Έπ υθϊλββ : η βθ δδσβα : ΰδα εϊγ i Να ίλέ κ ii Να ίλέ κ εαδ θα ιϊ αθ β έθαδ υθξάμ κ Μδα υθϊλββ : Ϋξδ βθ δδσβα : ΰδα εϊγ θ υθξάμ κ, θα ίλγέ β δηά Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ κ Έπ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εϊγ * Να ίλέ κ ΰδα έθαδ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να απκέι σδ β έθαδ υθξάμ κ ΰδα εϊγ θ β υθϊλββ :[, έθαδ υθξάμ κ, θα ίλγέ β δηά σαθ ΰδα εϊγ, δξτδ : 8 6 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να ίλγέ κ 7 έθαδ υθϊλββ : θ β έθαδ υθξάμ κ, εαδ δξτδ : θα ίλγέ κ 8 έθαδ υθϊλββ : βμ κπκέαμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ Μ, θ πδπζϋκθ δξτδ : έθαδ υθξάμ κ 9 6 θα απκέι σδ β ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

124 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 9 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 Να ίλέ πκδκ βηέκ Ϋηθδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ κθ Ϊικθα y y θ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ θα ίλγέ β δηά σαθ έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εϊγ i Να ίλέ κ ii Να ίλέ κ, υ β υθϊλββ : υθξάμ κ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία ΰδα, g, θα έθαδ έθαδ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ 6 9 ΰδα εϊγ Να απκέι σδ β έθαδ υθξάμ κ έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ i Να απκέι σδ β έθαδ υθξάμ κ ii Να ίλέ κ Έπ :, ηδα υθϊλββ, υ ln, ΰδα εϊγ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ κ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η i Να ίλέ κ ii Να ίλέ κ α υ 6 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η i Να ίλέ κ εαδ κ ii Να ίλέ κ ζ υ 7 έθαδ β υθϊλββ : β κπκέα έθαδ υθξάμ κ, πλδά εαδ i Να ίλέ κ, ii θα έι σδ β έθαδ υθξάμ κ iii Να ίλέ κ

125 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ ΧΙ : ΤΝΧΙ ΚΙ ΤΝΡΣΙΚ Όαθ ηδα υθϊλββ έθαδ ηϋα απσ ηδα υθαλβδαεά ξϋβ εαδ ΰθπλέακυη σδ έθαδ υθξάμ Ϋθα βηέκ α, σ ΰδα θα έικυη σδ έθαδ υθξάμ σζκ κ πέκ κλδηκτ, απκδεθτκυη σδ έθαδ υθξάμ υξαέκ βηέκ, ξλβδηκπκδυθαμ β υθαλβδαεά ξϋβ η αζζαΰά ηαίζβάμ βθ τλβ κυ κλέκυ Ιξτδ σδ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ, αθ εαδ ησθκ αθ : ά h h h h κ σλδκ γϋπ κ σλδκ γϋπ h ά h ΚΙ ΓΙ ΛΤ: 8 έθαδ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y ΰδα εϊγ, y i Να ίλέ κ ii θ β έθαδ υθξάμ κ, θα απκέι σδ : α β έθαδ υθξάμ κ, ί β έθαδ υθξάμ κ 9 έθαδ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y ΰδα εϊγ, y,, θα έι σδ : i θ β έθαδ υθξάμ κ, σ β έθαδ υθξάμ κ, ii θ β έθαδ υθξάμ κ α η, σ β έθαδ υθξάμ κ, έθαδ υθϊλββ :, β κπκέα έθαδ υθξάμ Να ίλέ βθ δηά : h i, σαθ εαδ β υθϋξδα θα ίλέ κ σλδκ : h h h ii, σαθ 6 εαδ β υθϋξδα θα ίλέ α σλδα : h h α εαδ ί 7 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

126 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 8 ΤΝΕΧΕΙ ΤΝΡΣΗΗ ΘΩΡΜ BOLZANO Να δαυπυ κ γυλβηα κυ Bolzano πϊθββ : ΟΜΟΓ, Π Έπ ηδα υθϊλββ, κλδηϋθβ Ϋθα εζδσ δϊβηα [, ] θ: β έθαδ υθξάμ κ [, ] εαδ, πδπζϋκθ, δξτδ, σ υπϊλξδ Ϋθα, κυζϊξδκθ,, Ϋκδκ, υ βζαά, υπϊλξδ ηδα, κυζϊξδκθ, λέαα βμ ιέπβμ κ αθκδεσ δϊβηα, χσζδα : θ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ Ϋθα δϊβηα εαδ ηβθέααδ αυσ, σ αυά ά έθαδ γδεά ΰδα εϊγ ά έθαδ αλθβδεά ΰδα εϊγ, βζαά δαβλέ πλσβηκ κ δϊβηα y y > O a O a < β α Μδα υθξάμ υθϊλββ δαβλέ πλσβηκ εαγϋθα απσ κ δαάηαα α κπκέα κδ δακξδεϋμ λέαμ βμ ξπλέακυθ κ πέκ κλδηκτ βμ y β ρ + ρ ρ + ρ + ρ υσ ηαμ δυεκζτθδ κθ πλκδκλδησ κυ πλκάηκυ βμ ΰδα δμ δϊφκλμ δηϋμ κυ Να ληβθτ ΰωηλδεΪ κ γυλβηα κυ Bolzano πϊθββ : κ δπζαθσ ξάηα Ϋξκυη β ΰλαφδεά παλϊαβ ηδαμ υθξκτμ υθϊλββμ κ [ α, β] πδά α βηέα A α, α εαδ B β, β ίλέεκθαδ εαϋλπγθ κυ Ϊικθα, β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ Ϊικθα Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ y β O a 6 Bβ,β β a Αα,α ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

127 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΘΩΡΜ BOLZANO ΚΙ ΤΠΡΞ ΡΙ Έπ ηδα υθϊλββ, κλδηϋθβ Ϋθα εζδσ δϊβηα [ α, β] θ: β έθαδ υθξάμ κ [ α, β] εαδ, πδπζϋκθ, δξτδ α β, σ υπϊλξδ Ϋθα, κυζϊξδκθ, α, Ϋκδκ, υ β βζαά, υπϊλξδ ηδα, κυζϊξδκθ, λέαα βμ ιέπβμ κ αθκδεσ δϊβηα α, β ΠΡΙΠΣΩ Γδα θα απκέικυη σδ ηδα ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊχδκθ λέαα Ϋθα δϊβηα α,ί αεκζκυγκτη α ιάμ ίάηαα : φϋλθκυη σζκυμ κυμ σλκυμ κ α ηϋζκμ γπλκτη κ α ηϋζκμ πμ ηδα υθϊλββ ιαφαζέακυη ΰδα βθ δμ πλκςπκγϋδμ κυ γπλάηακμ Bolzano κ [α,ί] Τπκπλέπωβ : θ γϋζπ θα έιπ σδ β ιέπβ g ά Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ α,ί γπλυ θϋα υθϊλββ h g ά h αθέκδξα εαδ φαλησαπ ΘBolzano βθ h ΛΤΜΝ ΚΙ : Να έι σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ δϊβηα,π Λτβ : Έξπ, Ϋπ, D, γα έιπ σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ,π φαλησαπ Θ Bolzano ΰδα βθ κ [,π] υθξάμ κ [,π] πμ πλϊιδμ υθϋξπθ π, Άλα εαδ Ϊλα απσ Θ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ,π ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να δξγέ σδ Ϋξκυθ ηδα κυζϊξδκθ λέαα, κ αθέκδξκ δϊβηα, κδ παλαεϊπ ιδυδμ : i κ, ii ln κ, iii ln ln κ, iv κ, Να έι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ Ϋηθδ κθ Ϊικθα Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ η ηβηϋθβ κ δϊβηα,π Τπκ H Ϋηθδ κθ Ϊικθα Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ Ϊλα β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία C

128 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Να έι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ 6 Ϋηθδ κθ Ϊικθα Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ η ηβηϋθβ κ δϊβηα, Να έι σδ αθ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ, υ εαδ, σ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα ζτβ κ, 6 έθκθαδ κδ υθαλάδμ ln εαδ g Να δξγέ σδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ πθ πθ, g Ϋξκυθ κυζϊξδκθ Ϋθα εκδθσ βηέκ η ηβηϋθβ πκυ αθάεδ κ δϊβηα, Τπκ Οδ C εαδ C Ϋξκυθ κυζϊξδκθ Ϋθα εκδθσ βηέκ αθ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα Θπλυ β υθϊλββ h g εαδ φαλησακθαμ Θ Bolzano ΰδα βθ h έξθπ σδ β ιέπβ h g g Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα 7 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g ln Να δξγέ σδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ πθ πθ, g Ϋξκυθ κυζϊξδκθ Ϋθα εκδθσ βηέκ η ηβηϋθβ πκυ αθάεδ κ δϊβηα, 8 **Η υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ εαδ ΰδα εϊγ δξτδ Να δξγέ σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ, 9 **Έπ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 6 ΰδα εϊγ, σπκυ, η Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα, Παθζζάθδμ 6 **έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g υθξάμ κ [α,ί] Η έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα εαδ δξτδ g ΰδα εϊγ [, ] Να απκέι σδ β ιέπβ g g Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ ζτβ κ δϊβηα α,ί g ΠΡΙΠΣΩ θ γϋζκυη θα απκέικυη σδ β ιέπβ Ϋξδ πλδσλμ λέαμ, σ φαλησακυη βθ παλαπϊθπ δαδεαέα πλδσλα δαάηαα, έ ξπλέακθαμ κ αλξδεσ δϊβηα, έ θκπέακθαμ θϋα δαάηαα Σα δαάηαα θ πλϋπδ θα Ϋξκυθ εκδθϊ πλδεϊ κδξέα ΛΤΜΝ ΚΙ : 6 Να έι σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ υκ λέαμ κ δϊβηα -, Λτβ : Έξπ, Ϋπ, D, γα έιπ σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ υκ λέαμ κ -, φαλησαπ ΘBolzano ΰδα βθ α [-,] & [,] ΘBolzano ΰδα βθ α [-,] υθξάμ κ [-,] πμ πκζυπθυηβεά, Άλα εαδ Ϊλα απσ Θ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ -, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

129 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΘBolzano ΰδα βθ α [,] υθξάμ κ [,] πμ πκζυπθυηβεά, Άλα εαδ Ϊλα απσ Θ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, Άλα ζδεϊ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ υκ λέαμ κ -, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 Να δξγέ σδ Ϋξκυθ υκ κυζϊξδκθ λέαμ κδ πσηθμ ιδυδμ : i 8 6 κ, ii 6 κ -, iii κ, iv ln κ, 6 **έθαδ β υθϊλββ η i Να απκέι σδ ii Να ίλέ α σλδα εαδ iii Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ υκ κυζϊξδκθ ζτδμ 6 Να έι σδ β υθϊλββ i ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα, ii υκ κυζϊξδκθ λέαμ αθέγμ Ϋξδ : ΠΡΙΠΣΩ Γ θ β ιέπβ πλδϋξδ παλαθκηαϋμ εαδ β υθϊλββ θ κλέααδ εϊπκδκ Ϊελκ, σ πλυα απαζέφκυη κυμ παλαθκηαϋμ εαδ ηϊ γϋκυη υθϊλββ ΛΤΜΝ ΚΙ : 6 Άεββ ί ζ ΟηΪαμ ξκζδεκτ ίδίζέκυ ln Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, Λτβ : θ γϋκυη πμ υθϊλββ κ κ ηϋζκμ βμ ιέπβμ θ γα κλέακθαδ α, η απκϋζηα θα ηβθ ηπκλυ θα φαλησπ Θ Γδ αυσ εϊθπ πλυα ln απαζκδφά παλαθκηαυθ : ln, Ϋπ ln, D,, γα έιπ σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, φαλησαπ Θ Bolzano ΰδα βθ κ [,] υθξάμ κ [,] πμ π, ln Άλα εαδ Ϊλα απσ Θ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

130 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 66 Να δξγέ σδ Ϋξκυθ ηδα κυζϊξδκθ λέαα, κ αθέκδξκ δϊβηα, κδ παλαεϊπ ιδυδμ : : i κ, ii κ, ΠΡΙΠΣΩ θ αβέαδ θα έικυη σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ [α,ί] βζ σδ υπϊλξδ [, ] Ϋκδκ υ σ αλεέ θα έικυη σδ εαδ δαελέθπ δμ πλδπυδμ αθ, σ γπλκτη ά αθ σ δξτδ κ Bolzano ΛΤΜΝ ΚΙ : 67 Μδα υθϊλββ έθαδ κλδηϋθβ εαδ υθξάμ Ϋθα δϊβηα [-,] εαδ ΰδα εϊγ [,] δξτδ Να απκδξέ σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ [-,] Λτβ : Έξπ, Ϋπ g, D [,], γα έιπ σδ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ [-,] φαλησαπ ΘBolzano ΰδα βθ g κ [-,] g υθξάμ κ [-,] πμ π πσ εφυθββ : ΰδα εϊγ [,] Άλα g πσ : 6 Καδ g πσ : 6 Άλα g g θ g g g κ - έθαδ λέαα βμ ιέπβμ g ά g κ έθαδ λέαα βμ ιέπβμ g θ g g απσ Θ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ -, Άλα εϊγ πλέππβ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ [-,] ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 68 Έπ υθξάμ υθϊλββ κ [α,ί] η Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ [α,ί] 69 Έπ : υθξάμ υθϊλββ η 7 Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ [,] 7 Έπ : [,6] υθξάμ υθϊλββ Να απκέι σδ β ιέπβ 6 9 Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ [,] g ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

131 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΠΡΙΠΣΩ θ εϊπκδκ Ϊελκ ά εαδ α υκ θ κλέααδ β σ ηπκλκτη θα πλκδκλέκυη κ πλσβηκ βμ δηάμ βμ απσ σλδκ : αθ l, σ υπϊλξδ α εκθϊ κ Ϋκδκ υ αθ l, σ υπϊλξδ α εκθϊ κ Ϋκδκ υ αθ αθ, σ υπϊλξδ α εκθϊ κ Ϋκδκ υ, σ υπϊλξδ α εκθϊ κ Ϋκδκ υ ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 Να έι σδ β ιέπβ ln Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα, Λτβ : Έπ ln, D,,, γα έικυη σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ, ln Ϋκδκ, υ, κπσ υπϊλξδ α εκθϊ κ ln, κπσ υπϊλξδ ί εκθϊ κ Ϋκδκ, υ Η έθαδ υθξάμ κ [, ], εαδ πδπζϋκθ, Ϊλα απσ Θ Bolzano β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ,, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 7 Να έι σδ β ιέπβ ln Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα, 7 Να απκέι σδ β ιέπβ ln Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ ζτβ κ, 7 Να έι σδ β ιέπβ ln, Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

132 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΠΡΞ, ΠΟΤ ΙΚΝΟΠΟΙΙ ΜΙ ΙΟΣΣ Γδα θα απκέικυη σδ υπϊλξδ, ά, πκυ θα δεαθκπκδέ ηδα δσβα, λΰαασηα πμ ιάμ : βθ δσβα πκυ έθαδ, αθ ξλδϊααδ εϊθκυη απαζκδφά παλαθκηαυθ ηαφϋλκυη σζκυμ κυμ σλκυμ κ πλυκ ηϋζκμ εαδ γϋκυη σπκυ κ Θπλκτη υθϊλββ g κ πλυκ ηϋζκμ φαλησακυη Θ Bolzano ΰδα βθ g κ [α,ί] εαδ έξθκυη σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ g πσ βθ δσβα g κβΰκτηα β αβκτηθβ δσβα ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : [, ], βμ κπκέαμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, Να απκδξέ σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ,, υ : Λτβ : Θα έιπ σδ β ιέπβ α,ί Έπ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ g, D [, ], Ϊλα γα έιπ σδ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ α,ί Θ ΰδα β g κ [α,ί] g υθξάμ κ [, ] πμ π Η ΰλαφδεά παλϊαβ βμ δϋλξαδ απσ κ, Ϊλα, g Ϊλα εαδ g Άλα Ϋξπ g g εαδ Ϊλα απσ Θ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ α,ί 76 θ β υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ [, ] εαδ ΰδα εϊγ δξτδ Να απκδξέ σδ υπϊλξδ [, ] υ θα έθαδ g Λτβ : Θα έιπ σδ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, Έπ g, D, Ϊλα γα έιπ σδ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ [, ] Θ ΰδα β g κ [, ] g υθξάμ κ [, ] πμ π g g g [ ] Άλα Ϋξπ g g [ ] θ g g g κ α- έθαδ λέαα βμ ιέπβμ g ά g κ α+ έθαδ λέαα βμ ιέπβμ g θ g g απσ Θ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, Άλα εϊγ πλέππβ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ [, ] ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

133 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 77 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ :[,] [,] Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα 6 κυζϊξδκθ [,] Ϋκδκ υ : 78 **Έπ : υθξάμ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να απκέι σδ : i ii ΤπΪλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ [,] Ϋκδκ υ : 79 **έθαδ β υθϊλββ η εαδ Να απκέι σδ υπϊλξδ,, υ : 8 **Οδ υθαλάδμ,g έθαδ υθξάμ κ [α,ί], β έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα εαδ δξτδ g ΰδα εϊγ [, ] Να απκέι σδ υπϊλξδ, υ g g 8 Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ, Ϋκδκ υ : 8 έθκθαδ κδ υθαλάδμ, g πκυ έθαδ υθξέμ κ [α,ί] θ g εαδ g, θα απκδξγέ σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ g 8 **Έπ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να απκέι σδ υπϊλξδ κυζϊξδκθ Ϋθα, υ 8 **έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτκυθ εαδ Να έι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ Ϋκδκ υ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΜΟΝΙΚ ΡΙ ΣΟ α,ί Γδα θα έιπ σδ β ιέπβ = Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα κ α,ί: κ άηα : έξθπ σδ β ιέπβ = Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ α,ί η Θ Bolzano κ άηα : πκδεθτκυη σδ β έθαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ κ α,ί, κπσ β παλαπϊθπ λέαα έθαδ ηκθαδεά ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 Να απκέι σδ β ιέπβ : Ϋξδ ηκθαδεά λέαα κ, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

134 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Λτβ : Έξπ :, Ϋπ, D, γα έιπ σδ β ιέπβ Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα κ, κ άηα : γκ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, Θ ΰδα βθ κ [,] υθξάμ κ [,] πμ π, Ϊλα εαδ Ϊλα απσ Θ β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, κ άηα : γκ β έθαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ Έπ, η :, πλκγϋπ εαϊ ηϋζβ δμ εαδ εαδ Ϋξπ : Ϊλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα κπσ β ιέπβ Ϋξδ κ πκζτ ηδα λέαα Άλα ζδεϊ β ιέπβ Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα κ, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 86 Να απκέι σδ β ιέπβ : Ϋξδ ηκθαδεά λέαα κ, 87 Να απκέι σδ β ιέπβ : Ϋξδ ηκθαδεά λέαα κ -, 88 έθαδ β υθϊλββ ln Να απκέι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ Ϊικθα Ϋθα ησθκ βηέκ, κυ κπκέκυ β ηβηϋθβ αθάεδ κ, 89 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g Να απκέι σδ κδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ πθ,g Ϋηθκθαδ Ϋθα ησθκ βηέκ κυ κπκέκυ β ηβηϋθβ αθάεδ κ δϊβηα, ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΛΜΣ Μ Θ BOLZANO 9 Έθαμ πακπσλκμ ιεϊθδ απσ Ϋθα ξπλδσ δμ 6 πη εαδ φϊθδ Ϋθα Ϊζζκ ξπλδσ δμ πη Σβθ πσηθβ ηϋλα ιεϊθδ απσ κ ξπλδσ δμ 6 πη εαδ φϊθδ κ ξπλδσ δμ πη, εϊθκθαμ βθ έδα δαλκηά Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ βμ δαλκηάμ κ κπκέκ ίλέεαδ βθ έδα υλα εαδ δμ υκ βηϋλμ 9 Έθα αυκεέθβκ ιεϊθδ δμ 7 πη απσ ηδα πσζβ εαδ φϊθδ δμ ηη ηδα πσζβ Σβθ πσηθβ ηϋλα ιεϊθδ δμ 7 πη απσ βθ πσζβ εαδ φϊθδ δμ ηη βθ πσζβ αεζκυγυθαμ βθ έδα δαλκηά Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ βμ δαλκηάμ κ κπκέκ ίλέεαδ βθ έδα υλα εαδ δμ υκ βηϋλμ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

135 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 8Γ ΤΝΕΧΕΙ ΤΝΡΣΗΗ Γ ΤΝΠΙ ΘΩΡΜΣΟ BOLZANO 6 Να δαυπυ εαδ θα απκέι κ γυλβηα κυ θδαηϋωθ δηυθ δατπωβ : Έπ ηδα υθϊλββ, β κπκέα έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα εζδσ δϊβηα [, ] θ: β έθαδ υθξάμ κ [, ] εαδ σ, ΰδα εϊγ αλδγησ β ηαιτ πθ εαδ υπϊλξδ Ϋθαμ, κυζϊξδκθ, Ϋκδκμ, υ πσδιβ : ΟΜΟΓ,, Π, Π, μ υπκγϋκυη σδ Σσ γα δξτδ ξ 67 θ γπλάκυη β υθϊλββ g, [, ], παλαβλκτη σδ: β g έθαδ υθξάμ κ [, ] εαδ g g, φκτ g εαδ g πκηϋθπμ, τηφπθα η κ γυλβηα κυ Bolzano, υπϊλξδ, Ϋκδκ, υ g, κπσ y η a α,α 67 B, y=η O a Γωηλδεά ληβθέα θ β έθαδ υθξάμ υθϊλββ κ [α,ί] εαδ α βηέα, εαδ, ίλέεκθαδ εαϋλπγθ βμ υγέαμ y, σ β C Ϋηθδ βθ υγέα y Ϋθα κυζϊξδκθ βηέκ, η ηβηϋθβ, χσζδα : α θ ηδα υθϊλββ θ έθαδ υθξάμ κ δϊβηα [α,ί], σ θ παέλθδ υπκξλπδεϊ σζμ δμ θδϊημ δηϋμ ί Η δεσθα θσμ δαάηακμ ηϋπ ηδαμ υθξκτμ εαδ ηβ αγλάμ υθϊλββμ έθαδ δϊβηα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

136 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ y y O a α O a β β y y Μ O [ a m O Μ m [ ] a δ 7 Να δαυπυ κ γυλβηα ηϋΰδβμ εαδ ζϊχδβμ δηάμ πϊθββ : βθ δδεά πλέππβ πκυ κ Δ έθαδ Ϋθα εζδσ δϊβηα [ α, β], δξτδ κ παλαεϊπ γυλβηα : θ έθαδ υθξάμ υθϊλββ κ [, ], σ β παέλθδ κ [, ] ηδα ηϋΰδβ δηά Μ εαδ ηδα ζϊξδβ δηά m βζαά, υπϊλξκυθ, [, ] Ϋκδα, υ, αθ m εαδ M m M, ΰδα εϊγ [ αβ, ], θα δξτδ χσζδκ : πσ κ παλαπϊθπ γυλβηα εαδ κ γυλβηα θδϊηπθ δηυθ πλκετπδ σδ κ τθκζκ δηυθ ηδαμ υθξκτμ υθϊλββμ η πέκ κλδηκτ κ [, ] έθαδ κ εζδσ δϊβηα [ mm, ], σπκυ m β ζϊξδβ δηά εαδ Μ β ηϋΰδβ δηά βμ Για παράιγμα, β υθϊλββ η, [, ] Ϋξδ τθκζκ δηυθ κ [,], αφκτ έθαδ υθξάμ κ [, ] η m εαδ y O π/ π π/ π ΣΫζκμ, απκδεθταδ σδ: Aθ ηδα υθϊλββ έθαδ ΰθβέωμ ατικυα εαδ υθχάμ Ϋθα αθκδεσ δϊβηα,, σ κ τθκζκ δηυθ βμ κ δϊβηα αυσ έθαδ κ δϊβηα, ξ 7α, σπκυ εαδ θ, σηπμ, β έθαδ ΰθβέωμ φγέθκυα εαδ υθχάμ κ,, σ κ τθκζκ δηυθ βμ κ δϊβηα αυσ έθαδ κ δϊβηα, ξ 7ί ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

137 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ B y y 7 A O a α O a Για παράιγμα, Σκ τθκζκ δηυθ βμ ln,,, β κπκέα έθαδ ΰθβέπμ ατικυα εαδ υθξάμ υθϊλββ ξ 7, έθαδ κ δϊβηα,, αφκτ εαδ y 7 y 7 O Σκ τθκζκ δηυθ βμ,,, β κπκέα έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα εαδ υθξάμ υθϊλββ, ξ 7 έθαδ κ δϊβηα,, αφκτ εαδ θϊζκΰα υηπλϊηαα Ϋξκυη εαδ σαθ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ εαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ δαάηαα βμ ηκλφάμ [, ], [, εαδ, ] O ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

138 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΘΣ ΘΩΡΜ ΜΓΙΣ & ΛΧΙΣ ΣΙΜ Έπ ηδα υθϊλββ, β κπκέα έθαδ κλδηϋθβ Ϋθα εζδσ δϊβηα [ α, β] θ: β έθαδ υθξάμ κ [ α, β] εαδ α β σ, ΰδα εϊγ αλδγησ β ηαιτ πθ α εαδ β υπϊλξδ Ϋθαμ, κυζϊξδκθ α, β Ϋκδκμ, υ : η Όαθ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ Ϋθα δϊβηα εαδ παέλθδ υκ δηϋμ δαφκλδεϋμ ηαιτ κυμ, σ β παέλθδ εαδ σζμ δμ θδϊημ ΘΣ Άλα αθ β θ έθαδ αγλά, σ κ τθκζκ δηυθ βμ έθαδ πέβμ δϊβηα θ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ [α,ί], σ β παέλθδ εαδ ηϋΰδβ εαδ ζϊξδβ δηά υσ βηαέθδ σδ υπϊλξκυθ, [, ] υ : ΰδα εϊγ [, ] πκυ βηαέθδ σδ α η, Μ έθαδ αθέκδξα β ζϊξδβ εαδ β ηϋΰδβ δηά βμ κ [, ] Γ Έθα γπλβδεσ υηπϋλαηα πκυ πλκετπδ απσ α παλαπϊθπ γπλάηαα έθαδ σδ «θ β έθαδ υθξέμ εαδ - δϊβηα, σ έθαδ εαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ κ» ΛΤΜΝ ΚΙ : 9 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ κμ Σλσπκμ : φαλησαπ ΘΣ ΰδα βθ υθξάμ κ [,] πμ πκζυπθυηδεά αφκτ, 8 Άλα απσ ΘΣ, αφκτ, β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, κμ Σλσπκμ : Έπ g, γκ β ιέπβ g Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, φαλησακθαμ Θolzano β g κ [,] 9 Η υθϊλββ έθαδ υθξάμ εαδ ΰθβέπμ ατικυα κ [,] θ = εαδ = θα έι σδ : i Η υγέα y=, Ϋηθδ β C, Ϋθα αελδίυμ βηέκ η ηβηϋθβ, ii ΤπΪλξδ, Ϋκδκ υ : Παθζζάθδμ Ο ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

139 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Λτβ : i λεέ θκ β ιέπβ Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα κ, κμ Σλσπκμ : φαλησαπ ΘΣ ΰδα βθ υθξάμ κ [,] αφκτ, Άλα απσ ΘΣ, αφκτ, β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, εαδ πδά β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα γα έθαδ εαδ ηκθαδεά κμ Σλσπκμ : Έπ g, γκ β ιέπβ g Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα κ, Θ β g κ [,] εαδ ηκθκκθέα ii πδά β έθαδ υθξάμ κ [,], απσ ΘΜΣ γα Ϋξδ ηϋΰδβ δηά Μ εαδ ζϊξδβ δηά η πκηϋθπμ γα δξτδ ΰδα εϊγ [, ] Άλα : θ πλκγϋπ εαϊ ηϋζβ δμ,,, Ϋξπ : θ σ β έθαδ αγλά κπσ ΰδα εϊγ,, δξτδ : θ σ κ τθκζκ δηυθ βμ έθαδ [η,μ] εαδ κ αλδγησμ [, ], κπσ απσ ΘΣ υπϊλξδ κυζϊξδκθ Ϋθα, Ϋκδκ υ : εαδ πδά β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα, έθαδ εαδ ηκθαδεσ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 9 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ 9 Έπ β υθξάμ υθϊλββ :[,] η εαδ Να έι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ ζτβ κ, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

140 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 96 Έπ : ηδα υθξάμ υθϊλββ η Να απκέι σδ υπϊλξκυθ,, υ εαδ 97 έθαδ υθξάμ υθϊλββ :[,] Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ [,] 7, Ϋκδκ υ : 98 Μδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ [,] Να απκδξγέ σδ υπϊλξδ [,] Ϋκδκ υ 9 99 Μδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ κ [,] Να απκδξγέ σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ 6 Έπ υθϊλββ υθξάμ εαδ [, ] Να απκέι σδ υπϊλξδ ηκθαδεσ, Ϋκδκ υ Έπ υθξάμ εαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ κ [,] η εαδ 7 i Να ίλγέ κ έκμ ηκθκκθέαμ βμ ii θ [,7] θα έι σδ β Ϋξδ ηκθαδεά λέαα κ [,] iii Να έι σδ υπϊλξδ ηκθαδεσ, Ϋκδκ υ : 9 ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΡ ΠΡΟΜΟΤ ΤΝΡΣ Μδα υθξάμ υθϊλββ δαβλέ πλσβηκ εϊγ Ϋθα απσ α δαάηαα, α κπκέα ξπλέακυθ κ πέκ κλδηκτ κδ δακξδεϋμ λέαμ βμ Η δαδεαέα έθαδ : Λτθκυη βθ ιέπβ =, D πέθαεα πλσβηκυ ξπλέακυη κ πκ δαάηαα, κπκγυθαμ δμ λέαμ εαδ α αθκδεϊ Ϊελα κυ πκ λέεπ κ πλσβηκ βμ εϊγ δϊβηα ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ κ πλσβηκ βμ υθϊλββμ : η συ, [, ] Λτβ : λξδεϊ υπκζκΰέακυη δμ λέαμ βμ κ [, ] Έξκυη η συ η συ εφ ά Έδ κδ λέαμ βμ ξπλέακυθ κ πέκ κλδηκτ βμ α δαάηαα,,, εαδ, Ο παλαεϊπ πέθαεαμ έξθδ α απκζϋηαα κυ ζϋΰξκυ κυ πλκάηκυ βμ εϊγ δϊβηα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

141 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ δϊβηα,,, πδζΰηϋθκμ αλδγησμ Πλσβηκ πκηϋθπμ, α δαάηαα, έθαδ,,, έθαδ, θυ κ δϊβηα Να ίλγέ κ πλσβηκ βμ υθϊλββμ Λτβ : 6, πλϋπδ εαδ 6 [,] Ϊλα απσ εαδ [,] D εά ά 6 6 εά ά απκλ Άλα : ΰδα εϊγ [,, ΰδα εϊγ, εαδ σαθ,, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η : 9 ΰδα εϊγ i Να ίλγέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να ίλγκτθ κδ λέαμ βμ = iii Να απκδξγέ σδ β δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ δϊβηα -, Να ίλέ κ πλσβηα βμ υθϊλββμ ΰδα σζμ δμ πλαΰηαδεϋμ δηϋμ κυ, σαθ: i εφ,, ii η συ, [, ] 6 έθαδ β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δξτκυθ : 7 6 εαδ ΰδα εϊγ Να απκέι σδ β θ έθαδ υθξάμ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

142 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα, ii Να ζτ βθ ιέπβ κ [,π] iii Να ίλέ κ πλσβηκ βμ κ [,π] 8 **έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εαδ β ιέπβ Ϋξδ ηκθαδεϋμ λέαμ δμ - εαδ Να ίλέ : i Σβθ δηά ii Σκ σλδκ ln iii Σκ σλδκ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΡ ΣΤΠΟΤ ΤΝΧΟΤ ΤΝΡΣ ΠΟ ΤΝΧ ΚΙ Όαθ ηδα υθϊλββ έθαδ υθξάμ Ϋθα δϊβηα εαδ ηβθέααδ αυσ, σ β δαβλέ αγλσ πλσβηκ αυσ υά β δαπέπβ ηαμ ίκβγϊδ θα ίλκτη κθ τπκ ηδαμ υθξκτμ υθϊλββμ β κπκέα δεαθκπκδέ ηδα κηϋθβ ξϋβ ΛΤΜΝ ΚΙ : 9 Άεββ 7 ζ ΟηΪαμ ξκζδεσ ίδίζέκ Έπ ηδα υθξά υθϊλββ κ δϊβηα [-,], ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ [, ] i Να ίλέ δμ λέαμ βμ ιέπβμ ii Να απκέι σδ β υθϊλββ δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ -, iii Να ίλγέ κ τπκμ βμ υθϊλββμ Λτβ : i Έξπ,,, ii κ δϊβηα -, β έθαδ υθξάμ εαδ θ ηβθέαδ αφκτ κδ ησθμ λέαμ βμ έθαδ κδ,, Ϊλα β δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ -, iii Η δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ -, Ϊλα ΰδα εϊγ, ά ΰδα εϊγ, Όηπμ, κπσ, θ, σ,, [, ] θ, σ,, [, ] ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

143 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η ΰδα εϊγ i Να ίλγέ κ πέκ κλδηκτ ii Να ζτ βθ ιέπβ iii θ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ y y κ βηέκ η αΰηϋθβ -, θα ίλγέ κ τπκμ βμ υθϊλββμ Λτβ : i Γδα εϊγ έθαδ :, σηπμ Ϊλα πλϋπδ [,] κπσ : [, ] ii iii Η ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ y y κ βηέκ η αΰηϋθβ -, βζ κ βηέκ, C πέβμ : Όηπμ β έθαδ υθξάμ κ, εαδ ΰδα εϊγ,, Ϊλα β δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ δϊβηα, εαδ Ϊλα ΰδα εϊγ, πέβμ έθαδ, κπσ : ΰδα εϊγ [, ] Έδ Ϋξκυη : [,] ΰδα εϊγ Να ίλέ σζμ δμ υθξέμ υθαλάδμ : ΰδα δμ κπκέμ δξτδ σδ : ΰδα εϊγ Λτβ : Έξκυη :,, βζ Η υθϊλββ κ δϊβηα, έθαδ υθξάμ εαδ ηβθέααδ αυσ Ϊλα β δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ, θ κ, σ : θ κ, σ : Οηκέπμ β υθϊλββ κ δϊβηα, έθαδ υθξάμ εαδ ηβθέααδ αυσ Ϊλα β δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ, θ κ, σ : θ κ, σ : υθυϊακθαμ α παλαπϊθπ β : Ϋξδ Ϋθαθ απσ κυμ παλαεϊπ τπκυμ : κθ, απσ, αφκτ ΰδα,, κθ, απσ, ΰδα εϊγ αφκτ ΰδα,, ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

144 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ κθ, απσ, ΰδα εϊγ αφκτ ΰδα,, κθ, απσ, αφκτ ΰδα,, έθαδ β υθϊλββ g, β κπκέα παλκυδϊαδ κζδεσ ζϊξδκ κ Να ίλέ σζμ δμ υθξέμ υθαλάδμ : πκυ δεαθκπκδκτθ βθ ξϋβ : ΰδα εϊγ ΘΜ Γ 6 Λτβ : Η g παλκυδϊαδ κζδεσ ζϊξδκ κ, κ g, βζ g g g ΰδα εϊγ εαδ κ «=» δξτδ ησθκ ΰδα έθαδ : Γδα έθαδ : Γδα έθαδ : Ϊλα g Ϊλα εαδ υθξάμ, Ϊλα β δαβλέ πλσβηκ κ, θ σ g θ σ g Γδα έθαδ : Ϊλα g Ϊλα εαδ υθξάμ, Ϊλα β δαβλέ πλσβηκ κ, θ σ g θ σ g ΣζδεΪ : g g g g g κθ απσ,, αφκτ ΰδα,, κθ απσ, αφκτ ΰδα,,, κθ απσ, αφκτ ΰδα,, κθ απσ,, αφκτ ΰδα, έθαδ υθξάμ υθϊλββ :[,] η ΰδα εϊγ [,], βμ κπκέαμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,- i Να απκέι σδ β ιέπβ 6 Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα -, ii Να ίλγέ κ σλδκ Λτβ : i Η ΰλαφδεά παλϊαβ βμ δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,-, Ϊλα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

145 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ πέβμ β έθαδ υθξάμ κ [,] εαδ ΰδα εϊγ [,], Ϊλα β δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ [,] Όηπμ, Ϊλα ΰδα εϊγ [,] Έπ g 6 η [,], γα έιπ σδ β ιέπβ g Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα -, ΘBolzano ΰδα β g κ [,] Η g έθαδ υθξάμ κ [,], πμ πλϊιδμ υθξυθ υθαλάπθ g 6 g εαγυμ ΰδα εϊγ [,] Άλα g g Οπσ απσ ΘBolzano β ιέπβ g Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα -, ii εαγυμ εαδ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η ΰδα εϊγ i Να ίλγέ κ πέκ κλδηκτ ii Να ζτ βθ ιέπβ iii Να απκέι σδ β υθϊλββ δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ -, iv Να ίλγέ κ τπκμ βμ υθϊλββμ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η 9 ΰδα εϊγ i Να ίλγέ κ πέκ κλδηκτ ii Να ζτ βθ ιέπβ iii Να απκέι σδ β υθϊλββ δαβλέ αγλσ πλσβηκ κ -, iv Να ίλγέ κ τπκμ βμ υθϊλββμ 6 Να ίλγκτθ σζμ κδ υθξέμ υθαλάδμ : κδ κπκέμ δεαθκπκδκτθ β ξϋβ : ΰδα εϊγ 7 Να ίλγκτθ σζμ κδ υθξέμ υθαλάδμ : κδ κπκέμ δεαθκπκδκτθ β ξϋβ : ΰδα εϊγ 8 Να ίλγκτθ σζμ κδ υθξέμ υθαλάδμ : κδ κπκέμ δεαθκπκδκτθ β ξϋβ : ΰδα εϊγ i θα απκέι σδ ii θα απκέι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ θ Ϋηθδ κθ ξ ξ iii θα έι σδ β δαβλέ αγλσ πλσβηκ iv θα ίλέ κθ τπκ βμ 9 Να ίλέ σζμ δμ υθξέμ υθαλάδμ : ΰδα δμ κπκέμ δξτδ σδ : ΰδα εϊγ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

146 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ έθαδ υθξάμ υθϊλββ : [,] η ΰδα εϊγ [, ] Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ, έθαδ υθξάμ υθϊλββ :[, ] η ΰδα εϊγ [, ] Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ,, υ : έθαδ υθξάμ υθϊλββ :, η ΰδα εϊγ ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : 8 i Να ίλέ βθ δηά ii Να ίλέ κ σλδκ έθαδ υθξάμ υθϊλββ :, η ΰδα εϊγ ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : 6 i Να ίλέ βθ δηά ii Να ίλέ κ σλδκ έθαδ υθξάμ υθϊλββ :[,] η ΰδα εϊγ [, ], βμ κπκέαμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, i Να απκέι σδ β ιέπβ 6 Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ δϊβηα, ii Να ίλγέ κ σλδκ έθαδ υθξάμ υθϊλββ :, η ΰδα εϊγ Να απκέι σδ β ιέπβ : -, Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ ζτβ κ δϊβηα 6 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : ΰδα εϊγ i Να ίλέ κ ii Να απκέι σδ ΰδα εϊγ 7 **έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : ΰδα εϊγ πέβμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ Μ,- i Να απκέι σδ β ΰδα εϊγ ii Να ίλέ κθ τπκ βμ iii Να ίλγέ κ σλδκ 8 **έθαδ υθξάμ υθϊλββ :, η ΰδα εϊγ πέβμ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, Να απκέι σδ : i, ΰδα εϊγ ii υπϊλξδ, Ϋκδκ υ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

147 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ * 9 **έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : 6 ΰδα εϊγ Να ίλέ : i βθ δηά ii κθ τπκ βμ iii Να ίλέ β υθξά υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτκυθ : ΰδα εϊγ εαδ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : η βθ δδσβα : ΰδα εϊγ i θα έι σδ β υθϊλββ g= - δαβλέ αγλσ πλσβηκ ii αθ =, σ α θα ίλέ κθ τπκ βμ ί θα υπκζκΰέ κ σλδκ = ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΝΟΛΟ ΣΙΜΩΝ Γδα θα ίλκτη κ τθκζκ δηυθ ηδαμ υθϊλββμ Ϋθα δϊβηα =α,ί εϊθπ α ιάμ : δαπδυθπ σδ β έθαδ υθξάμ εαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ κ δϊβηα =α,ί λέεπ α σλδα : εαδ κπσ : =,, αθ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα ά =,, αθ β έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα θ εϊπκδκ απσ α Ϊελα κυ έθαδ εζδσ, σ εαδ κ αθέκδξκ κυ γα έθαδ εζδσ ΜΟΡΦΗ ΙΣΗΜΣΟ ΜΟΝΟΣΟΝΙ ΣΗ ΤΝΟΛΟ ΣΙΜΩΝ ΣΗ [α,ί] Γθβέπμ τικυα, [α,ί] Γθβέπμ Φγέθκυα, α,ί] Γθβέπμ τικυα, α,ί] [α,ί [α,ί α,ί α,ί Γθβέπμ Φγέθκυα Γθβέπμ τικυα Γθβέπμ Φγέθκυα Γθβέπμ τικυα Γθβέπμ Φγέθκυα,,,,, ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ ln Να ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία

148 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ Λτβ : ΠλΫπδ εαδ Ϊλα, ],], Ϋπ, ] η :, πλκγϋπ εαϊ ηϋζβ δμ, εαδ εαδ Ϋξπ: ln ln Ϊλα β έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα Η έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα εαδ υθξάμ κ, ] Ϊλα [,, ln Ϊλα [, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : έθαδ β υθϊλββ ln i Να ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να ηζά βθ πμ πλκμ β ηκθκκθέα iii Να ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ έθαδ β υθϊλββ ln i Να ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να ηζά βθ πμ πλκμ β ηκθκκθέα iii Να ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ έθαδ β υθϊλββ i Να ίλέ κ πέκ κλδηκτ βμ ii Να ηζά βθ πμ πλκμ β ηκθκκθέα iii Να ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ 6 Να ίλγέ κ τθκζκ δηυθ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ κ αθέκδξκ δϊβηα i κ [-,] ii, κ [,] iii κ [, ln ln ln ln ln ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 6

149 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΓΙ ΝΟ ΞΙΩ = ΧΙ ΜΙ ΣΟΤΛΧΙΣΟΝ ΡΙ κμ Σλσπκμ Μ πλκφαθά λέαα κμ Σλσπκμ θ αβέαδ θα έιπ σδ β = Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ α,ί σ φαλησαπ κ ΘBolzano ΰδα βθ Τπκπλέπωβ : θ γϋζπ θα έιπ σδ β ιέπβ g ά Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα κ α,ί γπλυ θϋα υθϊλββ h g ά h αθέκδξα εαδ φαλησαπ ΘBolzano βθ h κμ Σλσπκμ Μ β ίκάγδα κυ υθσζκυ δηυθ θ κ σ β ιέπβ = Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα Γθδεσλα αθ κ σ β ιέπβ =ε, Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα Τπκπλέπωβ : θ γϋζπ θα έιπ σδ β ιέπβ g Ϋξδ ηδα κυζϊξδκθ λέαα γπλυ θϋα υθϊλββ h g εαδ ίλέεπ κ h ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΓΙ ΝΟ ΞΙΩ = ΧΙ ΚΡΙΩ ΜΙ ΡΙ κ άηα έξθπ σδ β = Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα η Ϋθαθ απσ κυμ παλαπϊθπ λσπκυμ κ άηα έξθπ σδ β = Ϋξδ κ πκζτ ηδα λέαα υθάγπμ η ηκθκκθέα κπσ υηπλαέθπ σδ Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 Να απκέι σδ β ιέπβ ln Ϋξδ ηδα ησθκ λέαα β υθϋξδα θα ίλγέ β λέαα αυά Λτβ : ln ln, Ϋπ ln η,, γα έιπ σδ β ιέπβ Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα κ, Ϋπ,, η : ln ln πλκγϋπ εαϊ ηϋζβ δμ εαδ εαδ Ϋξπ: ln ln Ϊλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα Η έθαδ ΰθβέπμ ατικυα εαδ υθξάμ κ, Ϊλα, Γδα θα ίλκτη β λέαα γα οϊικυη θα ίλκτη βθ πλκφαθά λέαα Παλαβλυ σδ ΰδα, Ϋξπ ln ln, Ϊλα β λέαα βμ εαδ πδά β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα έθαδ εαδ ηκθαδεά ln, ln Ϊλα, Σκ Ϊλα β ιέπβ Ϋξδ κυζϊξδκθ ηδα λέαα κ, εαδ πδά β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα έθαδ εαδ ηκθαδεά ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

150 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 8 ΙΚΟ ΘΩΡΗΣΙΚΟ ΘΜ θ β υθϊλββ :, έθαδ υθξάμ εαδ -, σ β έθαδ ΰθβέπμ ηκθσκθβ 9 έθαδ β υθϊλββ ln i Να απκδξγέ σδ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα ii Να ίλγέ κ τθκζκ δηυθ βμ iii Να απκέι σδ β ιέπβ ln Ϋξδ ηδα ησθκ λέαα iv Να ίλγέ β λέαα βμ παλαπϊθπ ιέπβμ έθαδ β υθϊλββ i Να απκδξγέ σδ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα ii Να ίλγέ κ τθκζκ δηυθ βμ iii Να απκέι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα ησθκ λέαα Γδα εϊγ έθαδ β υθϊλββ : i θ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα κ,] θα ίλέ κ ii Γδα εϊγ, θα έι σδ β ιέπβ Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα έθαδ β υθϊλββ ln i Να έι σδ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα ii Να έι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα αελδίυμ γδεά λέαα έθαδ β υθϊλββ ln9 i Να έι σδ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα ii Να έι σδ β ιέπβ Ϋξδ ηδα αελδίυμ λέαα έθαδ β υθϊλββ ln i Να έι σδ β έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα ii Να έι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ Ϊικθα ησθκ Ϋθα βηέκ έθαδ β υθϊλββ ln i Να έι σδ β έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα ii Να έι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ Ϊικθα ησθκ Ϋθα βηέκ 6 έθαδ β υθϊλββ i Να έι σδ β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα ii Να έι σδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Ϋηθδ κθ Ϊικθα ησθκ Ϋθα βηέκ iii Να απκέι σδ β ιέπβ : Ϋξδ αελδίυμ ηδα λέαα ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

151 ΕΑΑ : ΕΕΑ ΑΗΗ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 7 : ΟΡΙΟ ΠΟ ΓΝΩΣΟ ΤΝΟΛΟ ΣΙΜΩΝ θ ηδα υθϊλββ :, έθαδ υθξάμ εαδ ΰθβέπμ ατικυα η,, η,,,,, σ εαδ θ ηδα υθϊλββ :, έθαδ υθξάμ εαδ ΰθβέπμ φγέθκυα η,, η,,,,, σ εαδ ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 Έπ : ηδα υθξάμ υθϊλββ β κπκέα έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα θ β Ϋξδ τθκζκ δηυθ κ δϊβηα,, θα ίλέ κ σλδκ : 6 Λτβ : H έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα εαδ υθξάμ κ, κπσ Ϋξδ τθκζκ δηυθ,,, Ϊλα εαδ ΣζδεΪ : ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 8 Έπ : ηδα υθξάμ υθϊλββ β κπκέα έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα θ β Ϋξδ τθκζκ δηυθ κ δϊβηα,, θα ίλέ κ σλδκ : 9 Έπ :, ηδα υθϊλββ η i Να ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να έι σδ υπϊλξδ αθέλκφβ υθϊλββ εαδ σδ έθαδ ΰθβέπμ φγέθκυα iii Να ίλέ α, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ υθξάμ Έπ :, ηδα υθϊλββ η i Να ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να έι σδ υπϊλξδ αθέλκφβ υθϊλββ εαδ σδ έθαδ ΰθβέπμ ατικυα iii Να ίλέ α, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ υθξάμ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

152 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ, Δίνεται η συνάρτηση ln, i Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να δείξετε ότι η συνάρτηση έχει ακριβώς δυο ρίζες iii Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, για κάθε, iv Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, για τις διάφορες τιμές του, Δίνεται η συνάρτηση ln, i Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να δείξετε ότι η συνάρτηση έχει ακριβώς δυο ρίζες ετερόσημες iii Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο * διάστημα, για κάθε, iv Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, για τις διάφορες τιμές του Δίνεται η συνάρτηση ln ln i Να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να δείξετε ότι η εξίσωση ln ln έχει μια ακριβώς λύση στο διάστημα, για κάθε θετικό αριθμό α Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, με και, να δείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει : ln Δίνεται η συνάρτηση ln i Να υπολογίσετε τα όρια, ii Να αποδείξετε ότι για κάθε η εξίσωση έχει μια μόνο ρίζα iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να βρείτε το ώστε να ισχύει : ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

153 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [,] συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό i Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου ii Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C τέμνει και τις δύο διαγώνιες y Γ, Ο, Β, Α, 7 Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η y Bβ,β γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι Μ,y συνεχής στο [ α, β] και το Μ, y είναι ένα σημείο του επιπέδου Μ, i Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d MM Αα,α του σημείου M, y από το σημείο M, της C για κάθε [ α, β] O a β ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [ α, β] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της C που απέχει από το M λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της C που απέχει από το M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της 8 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια : α β γ δ ε Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας iii Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια α β γ 6 8 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας iv Να βρείτε τα σημεία στα οποία η δεν είναι συνεχής και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ΘΕΜΑ Β ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

154 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,9] για την οποία ισχύει ότι : 9 7 για κάθε [,9 ] Να αποδείξετε ότι : i για κάθε [,9 ] ii υπάρχει ένα τουλάχιστον [,9] τέτοιο, ώστε iii η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,9 ] 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ii Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει μοναδική ρίζα g 6 v Αν για τη συνάρτηση g :, ισχύει : g ln, για κάθε, να αποδείξετε ότι ο τύπος της g είναι g ln και να βρεθεί η αντίστροφη της ΘΕΜΑ Β ΟΕΦΕ 6 Α ΦΑΣΗ 6 Δίνεται η συνάρτηση :, με τύπο : ln i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης iii Να αποδείξετε ότι για κάθε, η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει : ln ΘΕΜΑ Β studyams 6 Δίνεται η συνάρτηση ln,, Να βρείτε : i Το πρόσημο της τιμής ii Το σύνολο τιμών της iii Να αποδείξετε ότι :, 6, 7 iv Να συγκρίνετε τους θετικούς αριθμούς α και β αν ισχύει η ισότητα : ln ln 6 Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύουν : για κάθε Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο, και είναι δυο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης g i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ii Να αποδείξετε ότι g για κάθε, iii Να αποδείξετε ότι g ΘΕΜΑ Β studyams ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

155 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει η σχέση : για κάθε i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ii Αν το σύνολο τιμών της είναι το, να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και ΘΕΜΑ Γ studyams 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : * για κάθε, i Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ii Αν να βρείτε τον τύπο της iii Να υπολογίσετε το όριο :, iv Να υπολογίσετε το όριο :, ΘΕΜΑ Γ studyams 66 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση : για την οποία ισχύουν : y y για κάθε, y για κάθε i Να αποδείξετε ότι ii Να αποδείξετε ότι για κάθε iii Να αποδείξετε ότι για κάθε iv Αν η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το τότε να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και ισχύει y y 67 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδείξετε ότι : και ii Να βρείτε το όριο : iii Να βρείτε το όριο : iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ΘΕΜΑ Γ studyams ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

156 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 68 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με i Να βρείτε τα κ,λ ii Να υπολογίσετε το όριο : iii Να υπολογίσετε το όριο :,, 8 6, iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln8 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, ΘΕΜΑ Γ studyams 69 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν :, για κάθε 6, για κάθε i Να βρείτε το όριο ii Να βρείτε το iii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ΘΕΜΑ Γ studyams 7 Έστω συνεχής συνάρτηση :[,8] η οποία ικανοποιεί τη σχέση : για κάθε [,8] Να αποδείξετε ότι : i Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii 8 iii Η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε τη συνάρτηση iv Οι γραφικές παραστάσεις και C των συναρτήσεων και αντίστοιχα, C έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και να βρείτε τις συνταγμένες του ΘΕΜΑ Γ ΕΜΕ 7 Έστω η συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση : για κάθε με i Να αποδείξετε ότι για κάθε ii Να αποδείξετε ότι για κάθε iii Αν η έχει με τον άξονα δυο μόνο κοινά σημεία, τότε να αποδείξετε ότι για C η παίρνει μέγιστη τιμή ΘΕΜΑ Γ ΕΜΕ 8 7 Έστω συνεχής συνάρτηση :, με η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση : 6 i Να βρείτε τις τιμές και ii Να αποδείξετε ότι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

157 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii Αν, να βρείτε το iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, ΘΕΜΑ Γ ΕΜΕ έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση : η οποία για κάθε ικανοποιεί τη 6 σχέση : i Να λύσετε την εξίσωση ii Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα, και, iii Αν και, να αποδείξετε ότι iv Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την v Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και ΘΕΜΑ Γ ΕΜΕ 7 Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα,, για την οποία ισχύει :, για κάθε,, με 6 6 i Να δείξετε ότι,, ii,, Δίνεται η συνάρτηση g, με Να βρείτε την, παράμετρο, ώστε η g να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της iii Για, να αποδείξετε ότι η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα, iv Για, να δείξετε ότι η συνάρτηση g δεν είναι - ΘΕΜΑ Γ ΟΕΦΕ 6 ΦΑΣΗ Α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

158 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α,Β αντίστοιχα, τότε η g ορίζεται αν Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη Μία συνάρτηση : Α ΙR είναι συνάρτηση,αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε = Αν, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy 6 Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει: < 7 Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 8 Αν για δύο συναρτήσεις, g ορίζονται οι og και go, τότε είναι υποχρεωτικά og go 9 Μία συνάρτηση : Α ΙR λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ο A ολικό ελάχιστο, το ο, όταν : < ο για κάθε A Μια συνάρτηση : Α IR είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς Μια συνάρτηση είναι -, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία παράλληλη στον τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h g, τότε ορίζεται και η h g h g = h g και ισχύει Αν μια συνάρτηση :A IR είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση ισχύει:, A και y y, y A 6 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες 7 Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, όταν για κάθε A 8 Η συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο 9 Αν ορίζονται οι συναρτήσεις og και go, τότε πάντοτε ισχύει og = go Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης Για κάθε συνάρτηση η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

159 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο το, όταν για κάθε A Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και στο διάστημα αυτό 6 Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς 7 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της 8 Αν μια συνάρτηση είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τεταγμένη 9 Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει : hogo = hogo Αν η συνάρτηση : A R είναι τότε ισχύει :, A Αν η είναι - και το σημείο Μ α, β ανήκει στην γραφική παράσταση C της, τότε το M'β, α θα ανήκει στην γραφική παράσταση C' της και αντιστρόφως ΟΡΙΑ Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο και τότε Αν τότε > κοντά στο Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο o, τότε ισχύει: g g o o o Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο o, τότε ισχύει: o g g 6 Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε ισχύει :, εφόσον g g g 7 l, αν και μόνο αν o l 8 Αν υπάρχει το όριο της στο, τότε k k, εφόσον κοντά στο, µε k ΙΝ και k g 9 Αν υπάρχει το o τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα και g Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο ο και ισχύει g κοντά στο ο, τότε : > g Αν, τότε ισχύει Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο ΙR, τότε: k k κάθε σταθερά k ΙR Αν υπάρχει το τότε κοντά στο o o για ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

160 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και Δ Έστω επίσης για κάθε Δ Αν τότε Αν α > τότε 6 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο R και, τότε < κοντά στο 7 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής α,, β και ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία: 8 Ισχύει : 9 Αν και < κοντά στο o τότε Ισχύει : Αν, τότε < κοντά στο Αν ή, τότε Αν τότε < κοντά στο Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο o, και ισχύει g κοντά στο o, τότε ισχύει: g Ισχύει ότι: 6 Αν και > κοντά στο, τότε 7 Αν είναι, τότε < κοντά στο 8 Αν είναι < α < τότε 9 Αν είναι, τότε < κοντά στο 6 Για την πολυωνυμική συνάρτηση P=α ν ν +α ν- ν- + α + α με α ν ισχύει: P 6 Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων : και g :, αν g, τότε g 6 Ισχύει ότι: για κάθε R 6 Ισχύει ότι: 6 Αν, τότε 6 Αν είναι τότε 66 Αν τότε ή και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

161 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 67 Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο α,β], τότε η παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή 68 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και υπάρχει α, β τέτοιο ώστε =, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει αβ 69 Αν είναι συνεχής στο [α, β] με α< και υπάρχει ξ α,β ώστε ξ=, τότε κατ ανάγκη β> 7 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ 7 H εικόνα Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα 7 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 7 Η εικόνα Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα 7 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α,β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα Α,Β όπου Α= και Β= 7 Aν είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m 76 Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 77 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α,β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα Α,Β, όπου A και 78 Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της 79 Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 8 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

162 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με Δηλαδή: Σχόλια : α Αν, τώρα, στην ισότητα h h h h Πολλές φορές το συμβολίζεται με Δ, ενώ το συμβολίζεται με Δ, οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: θέσουμε h, τότε έχουμε h Δ Δ Δ Δ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Libniz να συμβολίσει την παράγωγο στο με d d Ο συμβολισμός είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrang β Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια :, και είναι ίσα d ή d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

163 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A, Β Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να γράψετε την εξίσωση της o εφαπτομένης της C στο σημείο της A, Απάντηση : Α Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Β Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της C στο σημείο της A, είναι: y Σχόλια : Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C στο σημείο C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, είναι η παράγωγος της στο Δηλαδή, είναι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι : y Την κλίση της εφαπτομένης ε στο A, θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης St τη χρονική στιγμή t Δηλαδή, είναι υ t S t Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό,, 7 Β, Β, 7 Σ-Λ με εξήγηση Απόδειξη : Για έχουμε, οπότε θα είναι : [ ], αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως,, δηλαδή η είναι συνεχής στο Σχόλιο : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού :, ενώ 7 Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ αυτό Αν, όμως, η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι και συνεχής στο, Ισχύει όμως ότι : Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

164 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο υπάρχει το όριο του πεδίου ορισμού της, αν, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Αν ' ' Δηλ = είναι σημείο του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης και η δίνεται αριστερά του και δεξιά του με διαφορετικό τύπο σε κλάδους, τότε είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν, τα πλευρικά όρια : = =α όπου α πραγματικός αριθμός ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ' Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν h υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο h h αυτό συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ = ' ' h h h ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΤΙ ΕΚΦΡΑΖΕΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Το ρυθμό μεταβολής του y= ως προς, όταν Το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της, στο σημεία επαφής Α δηλαδή, Την ταχύτητα t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t, τη χρονική στιγμή t Είναι t Την επιτάχυνση t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα t, τη χρονική στιγμή t Είναι t t t ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

165 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος στο συνάρτησης απλού τύπου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την παράγωγο της στο σημείο Λύση : άρα D Έχουμε : Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της στο σημείο Λύση : και D [, Έχουμε : Το παραπάνω όριο υπάρχει, αλλά δεν είναι πραγματικός αριθμός, άρα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος και συνέχεια παράγωγος στο συνάρτησης πολλαπλού τύπου Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση σημείο = Λύση : Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, Άρα η δεν είναι συνεχής στο και άρα η δεν είναι και παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

166 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Λύση : Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με, Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Λύση : Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο έ : u u Ό : u u ό : u Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Παρατηρώ δηλαδή ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε ένα σημείο αλλά να μην είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 6 Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και g να βρεθεί η τιμή Λύση : Η g είναι συνεχής στο άρα g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

167 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g g g Επίσης : g g Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος στο συνάρτησης με απόλυτη τιμή Αν έχουμε συνάρτηση που περιέχει απόλυτες τιμές και θέλουμε να βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο, βρίσκουμε τα πρόσημα των παραστάσεων που περιέχονται στην απόλυτη τιμή κατασκευάζοντας πίνακα προσήμων και με βάση τα πρόσημα βγάζουμε τις απόλυτες τιμές Αν χρειαστεί γράφουμε τη συνάρτηση με πολλαπλό τύπο και κάνουμε χρήση πλευρικών ορίων τόσο για την συνέχεια όσο και για την παραγωγισιμότητα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Λύση : Έχω : - - +, Άρα η γίνεται :, Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο,, Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

168 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Καθορισμός παραμέτρων ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο Βρίσκουμε αρχικά τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων πχ α,β ώστε η να είναι συνεχής στο Έπειτα βρίσκουμε τα όρια l, l και ζητάμε να ισχύει l Από τις σχέσεις και l προσδιορίζουμε τις παραμέτρους α,β ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α και β ώστε η συνάρτηση, να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, Λύση : Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Δηλαδή ισχύει : Άρα Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει : Από και και λόγο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 66

169 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός από ανισοτική σχέση κριτήριο παρεμβολής Αρχικά θέτουμε όπου το και βρίσκουμε την τιμή Έπειτα μορφοποιούμε την ανισότητα ώστε να έχουμε στη μέση κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε το και τέλος εφαρμόζοντας το ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Αν για κάθε ισχύει : να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο Λύση : Για η σχέση γίνεται : Άρα Η παράγωγος στη θέση είναι : Άρα έχω : Για : 7 7 Είναι άρα από κριτήριο παρεμβολής έχω : Για : 7 7 Είναι άρα από κριτήριο παρεμβολής έχω : 9 Άρα από και ισχύει : 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 67

170 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : Προσδιορισμός ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : από γνωστό όριο Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : i Να βρείτε το ii Νδο η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το Λύση : i Η είναι συνεχής στο άρα : Θέτω g, άρα g Έχω : g g g Άρα : [ g ], άρα από ii Για να δείξω ότι η είναι παρ/μη στο, αρκεί να δείξω ότι το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός g Έχω : g g g, άρα η είναι παρ/μη στο και Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : Αν η είναι παραγωγίσιμη στο να βρείτε το Λύση : Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο δηλαδή : Θέτω g με g Λύνοντας ως προς έχω : g g άρα : g άρα από : Επίσης : η είναι παραγωγίσιμη στο άρα : Το όριο που δίνεται γράφεται : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 68

171 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται συνάρτηση : η οποία είναι συνεχής στο και 8 Να δείξετε ότι και ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με Λύση : έ u u u u Έχουμε : u u u u u u u 8 u u u u Έστω : g, και g Είναι : g Επειδή η είναι συνεχής στο g Έτσι, άρα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : Ισοδύναμος ορισμός για το Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο h υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό h h συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ = ' ' h h h ' του πεδίου ορισμού της, αν ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ Β ομάδας σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης Αν για μια συνάρτηση ισχύει h h h h, για κάθε h, να αποδείξετε ότι : i ii η είναι παραγωγίσιμη στο και ότι Λύση : i Για να βρω το, στη σχέση h h h h, θα βάλω όπου h και έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 69

172 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 ii Για να είναι η παραγωγίσιμη στο αρκεί το όριο h h h να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός Έχω h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h Άρα η παρ/μη στο με h h h Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να δείξετε ότι h h h h Λύση : H είναι παραγωγίσιμη στο άρα h h h Έχουμε : h h h h h h h h * h h h h h h * είναι u h u h έ u h h h h u u u u u u ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Λύση : i Στη σχέση θέτω για και έχω : ii Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα Όμως : καθώς η παράσταση είναι τριώνυμο ως προς με άρα για κάθε Έτσι έχουμε : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : Παράγωγος και συναρτησιακές σχέσεις

173 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 καθώς η είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο, οπότε 6 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Λύση : i Στη σχέση θέτω για και έχω : ii Είναι Διαιρώ τη σχέση : με και έχουμε : άρα παίρνοντας όριο έχουμε : 7 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : για κάθε Να δείξετε ότι : i η είναι συνεχής στο και ii ότι Λύση : i Για κάθε έχουμε Είναι : για κάθε Δηλ Έτσι : από κριτήριο παρεμβολής : Επίσης :, άρα, άρα η είναι συνεχής στο ii καθώς

174 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με και για κάθε, y είναι y y με, να δείξετε ότι για κάθε Λύση : Για y είναι : καθώς h h h Επίσης : h h h h h h h h h ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Αν, να βρείτε το ' Αν να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Υποδ για να βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο μιας συνάρτησης που περιέχει απόλυτα, πρώτα βγάζουμε τα απόλυτα και η συνάρτηση γίνεται πολλαπλού τύπου Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο, Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Υποδ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, είναι συνεχής και Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, είναι συνεχής και 6 Να βρείτε τα α,β ώστε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, να είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

175 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =7 και 7=, να βρείτε το 7 8 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 9 Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής στο και 7 i ii 7 να αποδείξετε : 7 Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής και i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το iii Να υπολογίσετε το Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής και i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το iii Να υπολογίσετε το Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :,για την οποία ισχύει i Να δείξετε ότι = ii Να δείξετε ότι = λ iii Να βρείτε το λ IR έτσι, ώστε: Πανελλήνιες Αν για μια συνάρτηση : ισχύει : για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το Δίνεται συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Αν και να υπολογίσετε το όριο : Αν η συνάρτηση : είναι συνεχής στο και 7 i να αποδείξετε ότι ii να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

176 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii να υπολογίσετε το όριο : 9 6 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει Να υπολογίσετε τα όρια : i ii 7 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει Να υπολογίσετε τα όρια : i 7 ii 8 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το 9 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : y y y για κάθε, y Επίσης η είναι παραγωγίσιμη στο με Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Αν επιπλέον η, συνάρτηση : g είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να βρείτε :, i τα και ii το όριο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

177 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ-ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΤΝΑΡΣΗΗ ΟΡΙΜΟΙ Πσ ηδα υθϊλββ ζϋΰαδ : α Παλαΰπΰέδηβ κ τθκζκ ί Παλαΰπΰέδηβ κ αθκδεσ δϊβηα αβ, ΰ Παλαΰπΰέδηβ κ εζδσ δϊβηα [ αβ, ], Σδ κθκηϊακυη πλυβ, τλβ εαδ ΰθδεΪ θδκά παλϊΰπΰκ ηδαμ υθϊλββμ ; πϊθηη : Έπ ηδα υθϊλββ η πέκ κλδηκτ Ϋθα τθκζκ Θα ζϋη σδ: α H έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ ά, απζϊ, παλαΰωΰέδηη, σαθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ εϊγ βηέκ A ί Η έθαδ παλαΰωΰέδηη Ϋθα αθκδεσ δϊηηα αβ, κυ πέκυ κλδηκτ βμ, σαθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ εϊγ βηέκ, ΰ Η έθαδ παλαΰωΰέδηη Ϋθα εζδσ δϊηηα [ αβ, ] κυ πέκυ κλδηκτ βμ, σαθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, εαδ πδπζϋκθ δξτδ: R εαδ R Έπ ηδα υθϊλββ η πέκ κλδηκτ εαδ o τθκζκ πθ βηέπθ κυ α κπκέα αυά έθαδ παλαΰπΰέδηβ θδκδξέακθαμ εϊγ κ, κλέακυη β υθϊλββ A R :, β κπκέα κθκηϊααδ πλυη παλϊΰωΰκμ ημ ά απζϊ παλϊΰωΰκμ ημ H πλυβ d παλϊΰπΰκμ βμ υηίκζέααδ εαδ η πκυ δαίϊααδ θ φ πλκμ θ ξδ Γδα d πλαεδεκτμ ζσΰκυμ βθ παλϊΰπΰκ υθϊλββ y γα β υηίκζέακυη εαδ η y θ υπκγϋκυη σδ κ έθαδ δϊβηα ά Ϋθπβ δαβηϊπθ, σ β παλϊΰπΰκμ βμ, αθ υπϊλξδ, ζϋΰαδ τλη παλϊΰωΰκμ ημ εαδ υηίκζέααδ η ν παΰπΰδεϊ κλέααδ β θδκά παλϊΰωΰκμ ημ, η ν, εαδ υηίκζέααδ η βζαά ν ν [ ], ν Η πααου υ, ο ο που α, α πα ο Σ υχα α ο α ππ παα υαω, που α χοποο πααου υαω α α χοποο ο ο φο Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 7

178 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Να απκέι σδ : α θ c, σ ί θ, σ ΰ θ, η N {,}, σ θ, σ, πσδιη : α Γδα δξτδ: cc πκηϋθπμ,, βζαά c ί Γδα δξτδ σδ : πκηϋθπμ,, βζαά ΰ θ έθαδ Ϋθα βηέκ κυ R, σ ΰδα δξτδ: πκηϋθπμ : θ έθαδ Ϋθα βηέκ κυ,, σ ΰδα δξτδ:, βζαά,, κπσ : Παλαάλββ : β Ϋξδ πέκ κλδηκτ κ [,, σηπμ : χσζδα Στπκδ :, Ϊλα β θ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ,βζαά Έπ υθϊλββ ημ Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ συν, βζαά ημ συν Έπ β υθϊλββ συν Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ ημ, βζαά συν ημ Έπ β υθϊλββ, βζαά πκδεθταδ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ Έπ β υθϊλββ ln πκδεθταδ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, δξτδ, βζαά ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 76

179 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΗ ΘΩΡΜ Παωο αοαο θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ, σ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ: g g πσδιη : g g g g g g Γδα, δξτδ: πδά κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ, Ϋξκυη: g g g g g, g g βζαά ηηέωη : θ κδ υθαλάδμ, g έθαδ παλαΰπΰέδημ Ϋθα δϊβηα Δ, σ ΰδα εϊγ Δ δξτδ: g g Σκ παλαπϊθπ γυλβηα δξτδ εαδ ΰδα πλδσλμ απσ τκ υθαλάδμ βζαά, αθ,,, k, έθαδ παλαΰπΰέδημ κ Δ, σ : k k Γα παα, η η συ ΘΩΡΜ Παωο οου θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ, σ εαδ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ: g g g ηηέωη : θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ Ϋθα δϊβηα, σ ΰδα εϊγ δξτδ: g g g Γδα παλϊδΰηα, ln ln ln ln, Σκ παλαπϊθπ γυλβηα πεέθαδ εαδ ΰδα πλδσλμ απσ τκ υθαλάδμ Έδ, ΰδα λδμ παλαΰπΰέδημ υθαλάδμ δξτδ: g h [ g h ] g h g h Γα παα : [ g g ] h g h g h g h g h η ln η ln η ln η ln η ln συ ln η, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 77

180 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ θ έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ Ϋθα δϊβηα εαδ c R, πδά c, τηφπθα η κ γυλβηα Ϋξκυη: c c Γα παα : ΘΩΡΜ Παωο που θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ εαδ g, σ εαδ β υθϊλββ g g g g [g ] έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ: ηηέωη : θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ Ϋθα δϊβηα εαδ ΰδα εϊγ δξτδ g g g, σ ΰδα εϊγ Ϋξκυη: g [ g ] Έπ β υθϊλββ *, N Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R* εαδ δξτδ, βζαά πσδιη ΠλΪΰηαδ, ΰδα εϊγ N * Ϋξκυη: Έπ β υθϊλββ εφ Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R { συν } εαδ δξτδ, βζαά εφ συν συν πσδιη: ΠλΪΰηαδ, ΰδα εϊγ R { συν } Ϋξκυη: ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ συν ημ εφ συν συν συν συν συν Έπ β υθϊλββ δξτδ, βζαά σφ ημ ημ σφ Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R { ημ } εαδ 6 ΘΩΡΜ θ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ g, σ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ g g g χσζδα : ΓθδεΪ, αθ ηδα υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ Ϋθα δϊβηα εαδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ g, σ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ g g g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 78

181 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ βζαά, αθ u g, σ u u u Μ κ υηίκζδησ κυ Libniz, αθ y u dy dy du εαδ u g, Ϋξκυη κθ τπκ d du d αζυέαμ πκυ έθαδ ΰθπσμ πμ εαθσθαμ ημ 7 ΘΩΡΜ Να απκέι σδ : α Η υθϊλββ, a Z έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, εαδ δξτδ, ί Η υθϊλββ, έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ ln ΰ Η υθϊλββ ln, R * έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R * εαδ δξτδ 8 πσδιη : ln ln u α ΠλΪΰηαδ, αθ y εαδ γϋκυη u ln, σ Ϋξκυη y πκηϋθπμ, u u ln y u ln ί ΠλΪΰηαδ, αθ y u εαδ γϋκυη u ln, σ Ϋξκυη y πκηϋθπμ, u u ln y u ln ln ΰ ΠλΪΰηαδ αθ, σ ln ln, θυ αθ, σ ln ln, κπσ, αθ γϋκυη y ln εαδ u, Ϋξκυη y lnu πκηϋθπμ, y lnu u u εαδ Ϊλα ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 79

182 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΙΚΩΝ ΤΝΡΣΩΝ ΤΝΡΣΗΗ ΠΡΓΩΓΟ,,,,,,, πέημ δχτκυθ κδ ιάμ εαθσθμ παλαΰυΰδημ :, c c c ln ln ln g g c c c g g g g g g g ΠΡΓΩΓΟΙ

183 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ i ii iii 7 iv 9 v ln vi vii ln viii, Λτβ : i ii iii iv 9 9 v ln ln ln vi vii ln ln ln viii έθαδ, Άλα : Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ i ln ii 7 iii ln iv v vi vii

184 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Λτβ : i ii iii iv ln ln ln 6 ln 6 ln η ln η ln η ln η ln η ln συ ln η, [ ] 8 [6 ] v vi vii, Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ παλαεϊπ υθϊλββμ :, Λτβ : Γδα Ϋξπ Ϊλα Γδα Ϋξπ Ϊλα κ γα πλϋπδ θα ιϊπ η κθ κλδησ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ : Πλυα γα ιϊπ αθ έθαδ υθξάμ κ : υλα αθ έθαδ εαδ παλαΰπΰέδηβ κ : Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 Θα ιϊπ

185 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ παλαΰπΰέδηβ κ η Ϊλα :,, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ υθαλάπθ i ii κ =- iii 7 iv v 6ln =6 vi vii viii ln = Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ υθαλάπθ i ln ii iii iv v vi vii viii i ln t ln t t t 6 Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ υθαλάπθ : i ii iii ln ln iv v vi 7 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ Ϊλα β έθαδ,,, ά Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8

186 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 8 Να ίλέ, σπκυ κλέααδ, βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ : i,, ii,, 9 έθαδ β υθϊλββ,, Να έι σδ β έθαδ υθξάμ β υθϋξδα θα ίλέ βθ παλϊΰπΰκ εαδ θα ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ βηέκ = έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ α σλδα : i ii ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ : i ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΤΝΘΣΩΝ ΤΝΡΣΩΝ Ιξτδ : ln g g g ln

187 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 ii ln iii iv ln v vi vii viii i i Λτβ : i ii ln ln ln ln ln iii iv ln v vi vii viii i i Τπκ Γδα εϊγ δξτδ : ln a Μδα υθϊλββ h g, β κπκέα κλέααδ σαθ g, ΰδα θα ίλκτη βθ ΰλΪφκυη κθ τπκ βμ πμ Ϋιβμ : ln ln g h g h g h εαδ β υθϋξδα παλαΰπΰέακυη, η, εαδ έθαδ : ln ln Ϋδ Ϋξκυη : ln ln ln ln έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ g Λτβ : g

188 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ : i ii iii iv ln v ln vi vii viii i i ii Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ i ii iii iv v vi vii / viii η i ln ln i ii iii iv v ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 86

189 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ : i ii ln iii iv v vi ln vii viii ln i 6 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ κ βηέκ σαθ : i ii, / /, iii η, iv 6, 7 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ : ln i ii iii iv ln, η συ 8 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ i ii 9 έθαδ υθϊλββ παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 6, Να ίλέ κ 6 έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ :, Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ g ln ΰδα εϊγ β υθϋξδα αθ έθαδ σδ, θα ίλέ βθ δηά g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 87

190 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΝΩΣΡ ΣΞ ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ, Να ίλγκτθ κδ δηϋμ πθ παλαηϋλπθ,, υ θα δξτδ : ΰδα εϊγ Λτβ : Άλα ΚΙ ΓΙ ΛΤ : έθαδ υθϊλββ, υκ φκλϋμ παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ln ln, ΰδα εϊγ Να ίλέ κ Να ίλγέ πκζυυθυηκ Ϋκδκ υ ΰδα εϊγ θα έθαδ Υπόιη : Α ο πουυο χ α, ο χ α Να ίλγέ πκζυυθυηκ Ϋκδκ υ εαδ ΰδα εϊγ θα έθαδ Να ίλέ πκζυυθυηκ λέκυ ίαγηκτ Ϋκδκ, υ,, εαδ 6 6 έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ ΰδα εϊγ 7 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ δηά κυ ζ υ θα δξτδ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 88

191 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΚΙ ΤΝΡΣΙΚ ΧΙ ΠΡΓΩΓΟ ΝΣΙΣΡΟΦ ΤΝΡΣ ΤΝΙΣΙΚ ΘΜΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 έθαδ παλαΰωΰέδηη υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ Λτβ : β ξϋβ : 8 γϋπ εαδ Ϋξπ : 8 Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πλϊιδμ παλαΰπΰδδηπθ, κηκέπμ εαδ β υθϊλββ 8 έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πκζυπθυηδεά πκηϋθπμ παλαΰπΰέαπ εαδ α ηϋζβ βμ εαδ Ϋξπ : 8 8 β ΰδα Ϋξπ : 8 Πρσχή : Σ πααπω πααωα υαα χ φαοα α πααω, α χα ποφοα α πααω ο Α ωα α πααω ο ο α ποοα α πααωου χ α α ππ α ο ο ο ο Σ 9 9 έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : * ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y y ΰδα εϊγ y y y *, y Να έι σδ ΰδα εϊγ *, y δξτδ : Λτβ : Παλαΰπΰέακυη β ξϋβ y y y πμ πλκμ, γπλυθαμ κ y αγλϊ : y y y y y y y y y y y, πέβμ η παλαΰυΰδβ β ξϋβ Ϋξκυη : y y y y y y y y y y y y y y y y y Συλα παλαΰπΰέακυη βθ πμ πλκμ y, γπλυθαμ κ αγλϊ : y y y y y y y y y y, πέβμ η παλαΰυΰδβ β ξϋβ Ϋξκυη : y y y y y y y y y y πσ εαδ Ϋξκυη : y y y y y y Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 89

192 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ ii Να ίλέ βθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β Λτβ : i Έξπ : D, Έπ, D, η πέβμ : ΠλκγΫπ εαϊ ηϋζβ δμ εαδ εαδ Ϋξπ : Άλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα, Ϊλα β έθαδ «-» εαδ Ϊλα β αθδλϋοδηβ πέβμ,, Άλα D ii Γδα εϊγ, σηπμ βθ ΰδα Ϋξπ : ΚΙ ΓΙ ΛΤ : δξτδ σδ κπσ : Ϊλα : έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ έθαδ υθϊλββ : παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ ΰδα εϊγ έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ αθ ΰθπλέακυη σδ β έθαδ : i παλαΰπΰέδηβ κ ii παλαΰπΰέδηβ κ έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : a ΰδα εϊγ iνα ίλέ κ α ii Να εφλϊ βθ πμ υθϊλββ βμ iii Να ίλέ κ θ β C δϋλξαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ : 6 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ : iσκ ii Σκ σλδκ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

193 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 7 έθαδ παλαΰπΰέδηβ εαδ πλδά υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 7 7 i Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ ii θ g, θα ίλέ β g 8 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ ii Να ίλέ βθ 9 **έθαδ υθϊλββ : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ εαδ ΰδα εϊγ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ i Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ ii Να απκέι σδ iii Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ, Ϋκδκ, υ έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ θ β C δϋλξαδ απσ κ,, θα ίλέ : iσκ βηέκ κηάμ βμ ii Σκ iii Σκ σλδκ : C η κθ Ϊικθα y y έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y ΰδα εϊγ, y Να απκέι σδ ΰδα εϊγ, y δξτδ : y y [ ] [ y y] έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y ΰδα εϊγ, y, y y, y, δξτδ : y y y Να απκέι σδ ΰδα εϊγ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

194 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΦΠΣΟΜΝ ΚΜΠΤΛ ΠΡΟΟΧ ΙΧΤΟΤΝ Σ Ξ : θ ηδα υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, σ β C Ϋξαδ φαπκηϋθβ Η ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ κ έθαδ : Σκ αθέλκφκ σηπμ θ δξτδ βζαά αθ ηδα υθϊλββ Ϋξαδ φαπκηϋθβ κ,, σ θ έθαδ πϊθα παλαΰπΰέβηβ κ, αφκτ ηπκλέ θα Ϋξαδ εαδ εααεσλυφβ φαπκηϋθβ κ υθζάμ δτγυθβμ θ κλέααδ Ϊλα εαδ κ θ σηπμ Ϋξαδ φαπκηϋθβ σξδ εααεσλυφβ σ έθαδ παλαΰπΰέδηβ Οδ Ϋθθκδμ φαπκηϋθβ κ έθαδ αυσβημ θ ηδα παλαΰπΰέβηβ υθϊλββ Ϋξαδ φαπκηϋθβ κ βηέκ βμ β κπκέα ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα π, σ : o π κιέα o π αηίζέα o π= // κ βηέκ, Ο υθζάμ δτγυθβμ βμ φαπκηϋθβμ έθαδ σπκυ π β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ β φαπκηϋθβ η κθ Ϊικθα y,,, εαδ παλϊΰπΰκμ κ ΦΠΣΟΜΝ ΓΝΩΣΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Ο ΣΣΡΣΜΟΡΙΟ Ο ΣΣΡΣΜΟΡΙΟ 8 ά ά ά ά ά ά 9 ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΞΙΩ ΦΠΣΟΜΝ ΟΣΝ ΓΝΩΡΙΟΤΜ ΣΟ ΜΙΟ ΠΦ, C Γδα θα ίλκτη βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ ΰθπσ βηέκ, ξλβδηκπκδκτη κθ τπκ y λέεκυη κ Ϊλα κ βηέκ παφάμ, β υθϋξδα ίλέεπ βθ εαδ κ εϊθπ αθδεαϊαβ κθ παλαπϊθπ τπκ εαδ πλκετπδ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

195 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ, Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ παφάμ, Ϊλα κ βηέκ παφάμ,,7, σ : y Έξπ 7 Έξπ : Ϊλα Ιξτδ : : y y 7 y 7 6 y Άλα : : y έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ βμ : y κ βηέκ βμ, C κ βηέκ παφάμ,, σ β ξϋβ : 8 γϋπ εαδ Ϋξπ : 8 Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πλϊιδμ παλαΰπΰδδηπθ, κηκέπμ εαδ β υθϊλββ 8 έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πκζυπθυηέα πκηϋθπμ παλαΰπΰέαπ εαδ α ηϋζβ βμ εαδ Ϋξπ : 8 8 β ΰδα Ϋξπ : 8 Ιξτδ : : y y y Άλα : : y έθαδ β υθϊλββ βμ, C κ βηέκ Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ βμ, Να ίλγέ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ, C κ βηέκ παφάμ,, σ : y Έξπ Ϊλα κ βηέκ παφάμ,, πέβμ πλϋπδ θα ίλπ κ Ϊλα παλαΰπΰέδηβ κ Ιξτδ : : y y 9 y 9 8 y 9 Άλα : : y 9 Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

196 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : C κ,,,,,,, Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ i 6 ii iii iv, v ln,,, δμ παλαεϊπ πλδπυδμ :, έθαδ β υθϊλββ : Να ίλέ, αθ υπϊλξδ, βθ ιέπβ 6, βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ a, 6 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : a a, iνα ίλέ κ α ii Να απκέι σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ θα ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ 7 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : a, a, βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ a, Να ίλέ 8 θ, θα πλκδκλδκτθ α α,ί υ β φαπκηϋθβ βμ κ Μ, θα Ϋξδ εζέβ ζ= 9 έθαδ β παλαΰπΰέβηβ υθϊλββ : η βθ δδσβα : 7 ΰδα εϊγ Να έι σδ εαδ β υθϋξδα θα ίλγέ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ έθαδ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 ΰδα εϊγ Να απκέι σδ ΰδα β C κλέααδ φαπκηϋθβ κ βηέκ βμ,, βμ κπκέαμ εαδ θα ίλέ βθ ιέπβ έθαδ υθϊλββ : υκ φκλϋμ παλαΰπΰέδηβ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ θ g, σ θα ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ Cg κ βηέκ πκυ αυά Ϋηθδ κθ Ϊικθα y y έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

197 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ έθαδ υθϊλββ : παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ κ βηέκ βμ, Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ 6 έθαδ β υθϊλββ 6ln Να ίλέ : i Σκ πέκ κλδηκτ εαδ βθ ii Σκ πλσβηκ βμ iii Σβθ εζέβ βμ βμ C κ, C κ η κθ Ϊικθα, εαγυμ εαδ β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ β φαπκηϋθβ 7 Έπ : ηδα παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτκυθ : h h 8 εαδ Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ h h 8 Έπ ηδα υθϊλββ, παλαΰπΰέδηβ κ δϊβηα,, ΰδα βθ κπκέα δξτδ :, ΰδα εϊγ, Να απκέι σδ β φαπκηϋθβ βμ C κ, ξβηαέαδ η κυμ Ϊικθμ δκεζϋμ λέΰπθκ βηέκ 9 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να απκέι σδ ΰδα β C κλέααδ φαπκηϋθβ κ βηέκ βμ, βμ κπκέαμ θα ίλέ βθ ιέπβ έθαδ β υθϊλββ Έπ σδ β C δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,- εαδ β φαπκηϋθβ βμ κ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα i Να ίλέ α α,ί ii Γδα εαδ 8 θα ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ ξ κ βηέκ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

198 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΞΙΩ ΦΠΣΟΜΝ ΟΣΝ ΓΝΩΡΙΟΤΜ ΣΝ ΚΛΙ Σ Όαθ ηαμ έθαδ κ βηέκ παφάμ αζζϊ Ϋθα κδξέκ ΰδα βθ εζέβ βμ φαπκηϋθβμ, σ ιεδθϊη γπλυθαμ κ βηέκ παφάμ, κ κπκέκ πλϋπδ εαδ θα υπκζκΰέκυη ξλβδηκπκδυθαμ κ κδξέκ ΰδα βθ εζέβ βμ φαπκηϋθβμ Πδκ υΰεελδηϋθα δαελέθκυη δμ πλδπυδμ : ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ Ϋξδ υθζά δτγυθβμ ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : y, σαθ ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ έθαδ εϊγβ βθ υγέα : y, σαθ ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ έθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα, σαθ C, C ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ ξβηαέαδ ΰπθέα 9 η κθ Ϊικθα, σαθ δξτδ σδ φκτ ίλκτη κ βηέκ παφάμ, εϊθκυη αθδεαϊαβ κθ τπκ : : y, C, C εαδ ίλέεκυη βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ, C,, ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ, Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ i Έξδ υθζά δτγυθβμ ii έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : y iii έθαδ εϊγβ βθ υγέα : y iv έθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα v ξβηαέαδ ΰπθέα η κθ Ϊικθα Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ πκυ οϊξθπ η βηέκ παφάμ κ,, σ : y πέβμ i Η Ϋξδ υθζά δτγυθβμ Ϊλα Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : : y y y y Άλα : : y ii Η // : y Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 96

199 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ : y y y y Άλα : : y iii : y Όαθ υκ υγέμ έθαδ εϊγμ κδ υθζϋμ δτγυθβμ κυμ έθαδ αθδγκαθδλκφκδ 6 Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : : y y y 9 Άλα : : y 9 iv 9 // Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ 9,, Ιξτδ : : y y y Άλα : : y Θα ηπκλκταη θα πκτη σδ πδά // Ϊλα γα έθαδ βμ ηκλφάμ y y εαδ 9 9 αφκτ ίλκτη κ βηέκ παφάμ,, θα πκτη εαυγέαθ : y v Η ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα Ϊλα Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : : y y y Άλα : : y ΚΙ ΓΙ ΛΤ : έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ iέξδ υθζά δτγυθβμ ii έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : y 7 iii έθαδ εϊγβ βθ υγέα : 7y ivέθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα vξβηαέαδ ΰπθέα η κθ Ϊικθα viξβηαέαδ ΰπθέα η κθ Ϊικθα Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ ln πκυ έθαδ παλϊζζβζμ β δξκσηκ βμ ΰπθέαμ ˆ y Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ παλϊζζβζμ κθ Ϊικθα πκυ έθαδ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 97

200 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 6 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ α βηέα βμ εαηπτζβμ βμ α κπκέα κδ φαπκηϋθμ έθαδ παλϊζζβζμ βθ υγέα : y β υθϋξδα θα ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ 7 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ θ υπϊλξκυθ βηέα βμ εαηπτζβμ βμ υ κδ φαπκηϋθμ αυϊ θα έθαδ παλϊζζβζμ βθ υγέα : y 8 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ θ υπϊλξκυθ βηέα βμ εαηπτζβμ βμ υ κδ φαπκηϋθμ αυϊ θα έθαδ παλϊζζβζμ κθ Ϊικθα 9 Να ίλέ α βηέα βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ : η η, [, ], α κπκέα β φαπκηϋθβ βμ έθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα πθ Να απκέι σδ β φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ κπκδκάπκ βηέκ βμ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα αηίζέα ΰπθέα ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΞΙΩ ΦΠΣΟΜΝ ΠΟΤ ΙΡΧΣΙ ΠΟ ΓΝΩΣΟ ΜΙΟ ΠΟΤ Ν ΝΚΙ Σ C Γδα θα ίλκτη βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, πκυ θ αθάεδ β C, λΰαασηα πμ ιάμ : γπλκτη κ βηέκ παφάμ, πκυ δϋλξαδ απσ Ϋθα βηέκ ΰλΪφκυη κθ τπκ βμ φαπκηϋθβμ : y β δϋλξαδ απσ κ βηέκ,, Ϊλα κδ υθαΰηϋθμ κυ γα παζβγτκυθ βθ ιέπβ βμ, βζ απσ βθ παλαπϊθπ ιέπβ ίλέεκυη βθ δηά ά δμ δηϋμ κυ εαδ β υθϋξδα βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ Πλκκξά : εαηέα πλέππβ θ πλϋπδ θα ηπλτκυη κ βηέκ παφάμ η κ βηέκ δϋζυβμ C Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 98

201 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ πκυ δϋλξκθαδ απσ κ βηέκ, Λτβ : Έπ, σ, β φαπκηϋθβ πκυ οϊξθπ η βηέκ παφάμ κ : y πέβμ 6 Άλα : : y y 6 Όηπμ β δϋλξαδ απσ κ βηέκ, Ϊλα κδ υθαΰηϋθμ κυ παζβγτκυθ βθ y : y ά ιέπβ βμ βζαά : Γδα, εαδ Ϊλα : y y y Ϊλα : y Γδα, εαδ Ϊλα : y y y y 7 Ϊλα : y 7 ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ πκυ δϋλξκθαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ υγέαμ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ δϋλξαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ κπκέα δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,- β 7 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C πκυ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, 6 έθαδ β υθϊλββ 6 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C πκυ δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,- 7 έθαδ β υθϊλββ, ζ> Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C πκυ δϋλξαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ Ικτθδκμ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 99

202 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΝΘΚ ΓΙ Ν ΦΠΣΣΙ ΜΙ ΤΘΙ Σ Η υγέα : y φϊπαδ β C, αθ εαδ ησθκ αθ υπϊλξδ D, υ θα δξτδ : ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 θ β υγέα y 6 φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, i Να ίλέ α α,ί ii Να απκέι σδ β υγέα y φϊπαδ β C Λτβ : i Έπ β φαπκηϋθβ πκυ οϊξθπ η βηέκ παφάμ κ, πέβμ Η υγέα y 6 φϊπαδ β C κ 6 8, ii Γδα εαδ 6 κ τπκμ βμ ΰέθαδ : 6 Ϊλα Η υγέα y φϊπαδ β C, αθ εαδ ησθκ αθ υπϊλξδ βηέκ, βμ 6 C, υ θα δξτκυθ : Άλα β υγέα y 6 φϊπαδ β,,6 C κ βηέκ C, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 9 Να απκέι σδ β υγέα : y 6 φϊπαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ 7 Να απκέι σδ β υγέα : y φϊπαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ Έπ : παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ η : εαδ g, ΰδα εϊγ iνα ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, ii Να ίλέ κ g iii Να απκέι σδ β φϊπαδ βμ C κ g, g C κ βηέκ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

203 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ έθαδ β υθϊλββ η, Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ : y 9 i Να ίλέ α, ii Να απκέι σδ εαδ β υγέα : y φϊπαδ βμ C έθαδ β υθϊλββ η, Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ : y 7 i Να ίλέ α, iiνα απκέι σδ εαδ β υγέα : y φϊπαδ βμ C θ β υγέα y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, θα ίλέ α α,ί θ β υγέα y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, θα ίλέ α α,ί 6 θ β υγέα y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ, θα ίλέ κ βηέκ παφάμ εαδ β υθϋξδα βθ υγέα 7 θ β δξκσηκμ βμ ΰπθέαμ ˆ y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ,, θα ίλέ κ βηέκ παφάμ 8 έθκθαδ κδ υθαλάδμ ln εαδ g iνα ίλέ βμ φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ κ εαδ β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ii Να απκέι σδ β παλαπϊθπ φαπκηϋθβ, φϊπαδ εαδ βθ εαηπτζβ βμ g 9 έθαδ υθϊλββ : βμ κπκέαμ β φαπκηϋθβ βθ υγέα y Να ίλέ κ σλδκ : C κ βηέκ, 9 Ϋξδ έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : εαδ γπλκτη εαδ β υθϊλββ g, ΰδα εϊγ Η υγέα y 76 φϊπαδ β Cg κ βηέκ βμ, g Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, έθκθαδ κδ παλαΰπΰδδημ υθαλάδμ, g : ΰδα δμ κπκέμ δξτδ : g ΰδα εϊγ θ β υγέα : y φϊπαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ κ βηέκ βμ,, σ θα ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, g g έθαδ Ϊλδα εαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ y iνα απκέι σδ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

204 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ iiθπλκτη β υθϊλββ g Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, g g έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να απκέι σδ β υγέα η ιέπβ y φϊπαδ β C εαδ θα ίλέ κ βηέκ παφάμ Έπ ηδα παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ κ ΰδα βθ κπκέα δξτδ εαδ g β υθϊλββ πκυ κλέααδ απσ βθ δσβα g, Να απκέι σδ β φαπκηϋθβ βμ C κ, φϊπαδ βμ C g κ, g a, έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : εαδ β υθϊλββ, g η a,, i Να ίλέ κ α ii Να ίλέ βθ ii θ β φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, φϊπαδ εαδ β C g κ βηέκ, g, σ θα ίλέ α ί,ΰ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΚΟΙΝ ΦΠΣΟΜΝ ΤΟ ΓΡΦΙΚΩΝ ΠΡΣΩΝ ΚΟΙΝΟ ΜΙΟ ΣΟΤ Οδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ C, υκ υθαλάπθ,g Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ ά C g αζζδυμ φϊπκθαδ ηαιτ κυμ κ εκδθσ βηέκ κυμ, y, αθ δξτδ : g εαδ g ΛΤΜΝ ΚΙ : 6 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g Να ίλγκτθ α,, Ϋδ υ κδ C, Cg θα Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ Λτβ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

205 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ g Οδ C, C Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ η, Ϊλα δξτδ : g g εαδ g Έξπ g Καδ g, Ϊλα απσ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 7 έθκθαδ κδ υθαλάδμ ίλέ δμ δηϋμ πθ α,ί υ κδ η ηβηϋθβ ln εαδ g, η, Να C, C θα Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ κυμ βηέκ g 8 έθκθαδ κδ υθαλάδμ 7 7 εαδ g Να απκέι σδ κδ C, C κ εκδθσ βηέκ κυμ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ, βμ κπκέαμ θα ίλέ εαδ βθ ιέπβ g 9 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g Να απκέι σδ κδ C, C κ εκδθσ βηέκ κυμ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ, βμ κπκέαμ θα ίλέ εαδ βθ g ιέπβ 6 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ i Να ίλέ α εκδθϊ βηέα πθ C, ii Να ίλέ κ δϊβηα σπκυ β C g iii Να έι σδ κ εκδθσ βηέκ κυμ κδ g C έθαδ εϊπ απσ β C, C g C Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

206 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΚΟΙΝ ΦΠΣΟΜΝ ΤΟ ΓΡΦΙΚΩΝ ΠΡΣΩΝ Μ ΚΟΙΝΟ ΣΟΤ ΜΙΟ Γδα θα ίλκτη, αθ υπϊλξδ, εκδθά φαπκηϋθβ πθ, C ηβ εκδθσ βηέκ κυμ, C g λΰαασηα πμ ιάμ : γπλκτη, εαδ, g α βηέα παφάμ βμ η δμ C εαδ αθέκδξα β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, έθαδ : y y θυ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, g έθαδ : g y g g y g g g ΰδα θα παλδϊθκυθ κδ εαδ βθ έδα υγέα πλϋπδ : g g g απσ κ παλαπϊθπ τβηα ίλέεκυη α α,ί Cg ΛΤΜΝ ΚΙ : 6 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g 7 6 Να ίλγκτθ κδ εκδθϋμ φαπκηϋθμ πθ C, C g Λτβ : η D εαδ εαδ g 7 6 η D εαδ g 7 λξδεϊ γα ιϊκυη αθ κδ C, C g Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ Γδα θα ίλκτη εκδθϊ βηέα πθ C, C g, ζτθκυη βθ ιέπβ : g 7 6, Ϊλα κ εκδθσ βηέκ πθ C, C g έθαδ κ,, Γδα θα Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ Μ πλϋπδ θα δξτδ : g πκυ δξτδ, εαδ g πκυ θ δξτδ Άλα κδ C, C θ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ g Θα ιϊκυη υλα αθ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ ηβ εκδθσ βηέκ Έπ β εκδθά φαπκηϋθβ πθ C, C εαδ, εαδ, g α βηέα παφάμ βμ η δμ C εαδ C αθέκδξα g g g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

207 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Η ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, έθαδ : y y θυ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, g έθαδ : y g g y g g g g Γδα θα παλδϊθκυθ κδ εαδ βθ έδα υγέα πλϋπδ : g g g , β ζσΰκ βμ ΰέθαδ, 6 εαδ απσ Άλα α βηέα παφάμ έθαδ,, εαδ, g,, θυ β ιέπβ βμ εκδθάμ φαπκηϋθβμ έθαδ : : y y y βζαά : y ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 Να ίλέ δμ εκδθϋμ φαπκηϋθμ πθ C, g C αθ εαδ g 6 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ εκδθάμ φαπκηϋθβμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ εαδ g 6 Να ίλέ δμ εκδθϋμ φαπκηϋθμ πθ C, g 6 C αθ εαδ g 6 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ εκδθάμ φαπκηϋθβμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ εαδ g 8 ΜΘΟΟΛΟΓΙ 7 : ΤΠΡΞ ΜΙΟΤ ΠΦ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 66 Να έι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ,, υ β φαπκηϋθβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, θα έθαδ εϊγβ βθ υγέα : : y 7 Λτβ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

208 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Έξκυη εαδ Έπ β φαπκηϋθβ βμ C κ, η : y σ βζ Έπ g, Θα έιπ σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ g φαλησαπ Θ Bolzano ΰδα β g κ [,] Η g έθαδ υθξάμ κ [,] πμ πλϊιδμ υθξυθ υθαλάπθ g g g g Άλα απσ Θ Bolzano υπϊλξδ, Ϋκδκ υ g ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 67 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ υπϊλξδ : i Έθα κυζϊξδκθ βηέκ βμ C η ηβηϋθβ,, υ β φαπκηϋθβ βμ C κ θα έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : : y ii Έθα κυζϊξδκθ βηέκ βμ C η ηβηϋθβ,, υ β φαπκηϋθβ βμ C κ θα Ϋηθδ κθ Ϊικθα y y κ Να έι σδ υπϊλξδ αελδίυμ Ϋθα,, υ β φαπκηϋθβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ βθ αλξά πθ αισθπθ ln κ βηέκ, h, θα δϋλξαδ απσ 69 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g ln Να έι σδ κδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ πθ υθαλάπθ,g Ϋξκυθ ηκθαδεά εκδθά φαπκηϋθβ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 8 : ΦΠΣΟΜΝ ΝΣΙΣΡΟΦ ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ εαδ θα ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ Λτβ : i Έξπ : D, Έπ, D, η πέβμ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 6 ΠλκγΫπ εαϊ ηϋζβ δμ εαδ εαδ Ϋξπ : Άλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα, Ϊλα β έθαδ «-» εαδ Ϊλα β αθδλϋοδηβ πέβμ,, Άλα D

209 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ii Έπ β φαπκηϋθβ βμ : y C κ βηέκ, σ : Γδα έθαδ : Άλα Γδα εϊγ δξτδ σδ κπσ :, σηπμ Ϊλα : βθ ΰδα Ϋξπ : Άλα : : y y ΚΙ ΓΙ ΛΤ : y 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ εαδ θα ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ εαδ θα ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 7

210 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Γ ΚΝΟΝ DE L HOSPITAL ΣΟΙΧΙ ΘΩΡΙ ΘΩΡΜ κ θ, g, R {, }, g' πλδκξά κυ η ιαέλβ έπμ κ εαδ υπϊλξδ κ ππλαηϋθκ ά Ϊπδλκ, σ: ΘΩΡΜ κ θ, g, R {, }, g' πλδκξά κυ η ιαέλβ o g έπμ κ εαδ υπϊλξδ κ ππλαηϋθκ ά Ϊπδλκ, σ: o ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ g φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, φαλησαπ κ Θ D L Hospital παλαΰπΰέαπ αλδγηβά εαδ παλαθκηαά θ Ϋξκυη εαδ πϊζδ απλκδκλδέα παθαζαηίϊθκυη α πλκβΰκτηθα o g o g g g πξ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : ln i ii iii iv v vi vii viii i ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, φαλησαπ κ Θ D L Hospital παλαΰπΰέαπ αλδγηβά εαδ παλαθκηαά θ Ϋξκυη εαδ πϊζδ απλκδκλδέα παθαζαηίϊθκυη α πλκβΰκτηθα πξ ln ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8

211 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : 6 ln ln i ii iii iv ln ln ln ln ln v vii viii i ln ln ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ g φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, ΰλΪφπ g ά κπσ Ϋξπ απλκδκλδέα ά εαδ ζδκυλΰυ σππμ παλαπϊθπ πξ πξ ln ln ln g g ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ln ii ln iii iv v ln vi ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

212 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ Όλδκ [ g ] φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, ΰλΪφκυη κθ g g τπκ η β ηκλφά ά g Γδα κ ά Ϋξκυη g g απλκδκλδέα βμ ηκλφάμ, εαδ φαλησακυη Θ D L Hospital πξ σηπμ ln ln ln l ln πέβμ : ln Άλα : ln πξ **δδεά πλέππβ!! σλδα αυάμ βμ ηκλφάμ, αθ κυζϋοκυη τηφπθα η β ηγκκζκΰέα εαδ κ πξ γα κβΰβγκτη απλκδκλδέα, ΰδα αυσ ξλβδηκπκδυ κ ιάμ Ϋξθαηα : ln l ln ln ln Έξκυη : Όηπμ ln ln Άλα : Όαθ κ τπκμ έθαδ δαφκλϊ, η Ϋθα κυζϊξδκθ σλκ εζϊηα, εαδ Ϋξκυη απλκδκλδέα βμ ηκλφάμ, εϊθκυη κηυθυηα εαδ ηϊ ίλέεκυη κ Όλδκ πξ DLH DLH Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

213 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii ln iii ln iv ln v vi vii** viii ** ln i** ln ** ln ln Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii ln ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ,, g ln[ ] g ln g φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, ΰλΪφπ l υθϋξδα ίλέεπ κ σλδκ [ g ln ] Σκ αβκτηθκ σλδκ έθαδ l β πξ ln, Ϋξκυη : ln ln ln ln Άλα : ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

214 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 7 Να ιϊ αθ έθαδ υθξέμ β γϋβ = β υθϊλββ : 8 Να ιϊ αθ έθαδ υθξέμ β γϋβ = β υθϊλββ : 9 Να ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β γϋβ = β υθϊλββ : Να ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β γϋβ = β υθϊλββ : Να ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β γϋβ = β υθϊλββ : έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : h h h h ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : i Να ίλέ βθ δηά ii Να απκέι σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ iii θ h, θα απκέι σδ κδ φαπκηϋθμ πθ C εαδ h C α βηέα, εαδ, h έθαδ παλϊζζβζμ ΘΫηα παθζζβθέπθ,,, ln ln,, ln,,,, ln, ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΦΡΜΟΓ ΣΟΤ Θ HOSPITAL Σ ΤΝΧΙ ΚΙ ΠΡΓΩΓΙΙΜΟΣΣ ΤΝΡΣ

215 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο Σχόλια : Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v t, της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v t λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με t Είναι δηλαδή : t v t S t Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i Πρώτα καταγράφουμε όλους τους αγνώστους, καθώς και τις σχέσεις που τους συνδέουν Αν η σχέση που συνδέει τους αγνώστους δε δίνεται στην εκφώνηση, τότε την φτιάχνουμε μέσα από τα δεδομένα της εκφώνησης είτε με σχήμα, είτε με τη λογική σκέψη ii Έπειτα μετατρέπουμε τη σχέση που συνδέει τους αγνώστους σε συνάρτηση ως προς τον ανεξάρτητο άγνωστο iii Υπολογίζουμε τις τιμές των αγνώστων όταν που ζητείται ο ρυθμός μεταβολής iv Τέλος παραγωγίζουμε τη συνάρτηση που φτιάξαμε και με αντικατάσταση προκύπτει ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

216 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Υπενθύμιση : Εμβαδόν σφαίρας : R, Όγκος σφαίρας : V R Εμβαδόν κώνου : R R, Όγκος κώνου : V R, Όγκος πυραμίδας : V ά Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v t, της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v t λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με t Είναι δηλαδή : t v t S t Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος δηλ,, Έτσι, η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο Η βασική σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις,, είναι Το μέσο κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος συμβολίζεται με και είναι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α, και Β, ως προς, όταν = Λύση : Η Απόσταση δυο σημείων, y και, y Δίνεται από τον τύπο : y Άρα 6 y Άρα η συνάρτηση που δίνει την απόσταση ως προς είναι 6 με D Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής της όταν =, δηλ το Βρίσκω πρώτα την Άρα Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις t t 9t και y t 6t 8, όπου t ο χρόνος σε sc Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

217 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ y άρα t t y t t 9t6t 8 8t t t 6t 8t 8t 6t Τη χρονική στιγμή που το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο θα ισχύει y t t 9t 6t 8 t t 8 t t 6 t, ή, t απορ t Η συνάρτηση του εμβαδού είναι t 8t 8t 6t Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο δηλ το Βρίσκω πρώτα t t 6t 6 Άρα τετραγωνικές μονάδες/sc Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο t t 6t 9t, όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το σε μέτρα iνα βρεθεί η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t ii Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο s και ποια σε χρόνο s; iii Πότε το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο; ivπότε το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; vνα βρεθεί το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων s Λύση : i Η ταχύτητα είναι : υ t t t 6t 9t t t 9 ii Η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο και σε χρόνο t s είναι υ 9 9 m/s iii Το σημείο είναι ακίνητο, όταν t t s είναι υ 9 m/s t ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα t t 9 t t t ή Άρα, το σημείο είναι ακίνητο ύστερα από s και ύστερα από s ivτο σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση, όταν t t t 9 t t t t t ή t Άρα, το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση στα χρονικά διαστήματα t και t και στην αρνητική κατεύθυνση όταν t Σχηματικά η κίνηση του υλικού σημείου μπορεί να παρασταθεί ως εξής:

218 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ t= t= t= =t vη απόσταση που διανύθηκε από το κινούμενο σημείο είναι: Στη διάρκεια του πρώτου δευτερόλεπτου Από t μέχρι t S m Από t μέχρι t S m S m Άρα, το ολικό διάστημα S που διάνυσε το σημείο σε χρόνο s είναι S S S S 8m Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r t, όπου t ο χρόνος σε sc Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t sc Θυμηθείτε ότι E r και V r Ασκ Α ομάδας σελ σχολικό Λύση : Επειδή r και η ακτίνα r μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t, έχουμε : t r t και r t t t 8 r t r t με r t t Έτσι : 8r r 8 8 cm / s Ομοίως r V t t, V t r t r t Έτσι : V r r 9 7 cm / s Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sc, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r 8cm Ασκ Β ομάδας σελ σχολικό Λύση : Είναι r rt η ακτίνα της σφαίρας ως συνάρτηση του χρόνου t Η επιφάνεια της σφαίρας είναι t r t και ο όγκος V t r t Οπότε : t 8 r t r t και V t r t r t Τη χρονική στιγμή t η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sc δηλ t cm / s και η ακτίνα της είναι r t 8 cm ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

219 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Άρα t cm / s 8r t r t 8 8r t r t Έτσι : V t r t r t 8 cm / s 68 cm / s 68 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι t για κάθε t Ασκ Α ομάδας σελ σχολικό Λύση : Έστω, y σημείο της καμπύλης y Επειδή η τετμημενη και η τεταγμένη του σημείου Μ μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t είναι t, y y t με y t t O ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της t τεταγμένης του y άρα : t y t t t t t t t t Και y t t y t y t Δηλ, 7 Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση y Καθώς περνάει από το σημείο,, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α Ασκ 8 Β ομάδας σελ σχολικό Λύση : Έστω t, y y t οι συντεταγμένες του κινητού, την τυχαία χρονική στιγμή t Τη χρονική στιγμή t που το κινητό βρίσκεται στη θέση, είναι t, y t Επίσης y t Όμως το κινητό κινείται στον κύκλο y δηλ t y t Παραγωγιζοντας και τα δυο μέλη έχουμε : t y t t t y t y t ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

220 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έτσι η για t t γίνεται : t t y t y t t t ά / s 8 Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός Σχήμα Αν ο ρυθμός a A a, μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο t t να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη Ασκ 6 Β ομάδας σελ σχολικό Λύση : B M Ακτή Ο Ο προβολέας του περιπολικού φωτίζει κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της στο σημείο,, καθώς αυτό κινείται κατά μήκος της καμπύλης Είναι y, με Έστω ε η εφαπτομένη της C στο σημείο, τότε : y : y : y Το σημείο Μ είναι το σημείο που η εφαπτομένη τέμνει τον y Έτσι : Άρα το σημείο Μ έχει τετμημενη t t t t, έτσι t, όμως τη χρονική στιγμή t το περιπολικό, δηλ το σημείο Α, έχει τετμημενη άρα t Τελικά t ή t ό 9 Ένα υλικό σημείο, y κινείται κατά μήκος της καμπύλης C : y, με t, y y t t Τη χρονική στιγμή t που το Μ περνάει από το σημείο, η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό μονάδες/sc Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης l τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α Λύση : Έστω t, y y t οι συντεταγμένες του σημείου Μ Ισχύει ότι y t t t Τη χρονική στιγμή t το Μ παίρνει από το,, άρα : t, y t και από εκφώνηση t / s Επίσης : l y l Όμως η απόσταση y χρόνου t, έτσι έχω : l t t y t y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8 C l είναι συνάρτηση του y

221 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη της έχω : l t l t t t y t y t Επίσης η για t t γίνεται : l t t y t l t l t t Ακόμα : y t t t t t t, Δηλαδή : y t t t t t y t Τελικά η για t t γίνεται : l t l t t t y t y t l t l t 8 l t / s ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα m/min Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται σε ύψος m A Π θ Ασκ Β ομάδας σελ σχολικό Λύση : Το ύψος h και η γωνία μεταβάλλονται ως συνάρτηση του χρόνου t Έτσι : h ht και t Τη χρονική στιγμή t από δεδομένα έχουμε : h t m και h t m / min Το τρίγωνο του σχήματος είναι ορθογώνιο έτσι : ά h h t t Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε : ά h t t t h t t t t t t h t m t t h t t t h t t H για t t γίνεται : t t h t h t Όμως t Άρα η γίνεται : t t h t t t rad / min h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

222 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΣΚΑΛΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Μία σκάλα μήκους m είναι τοποθετημένη σ έναν τοίχο Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστρά στο δάπεδο με ρυθμό,m/sc Τη χρονική στιγμή t, που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο,m, να βρείτε: i Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας ii Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ Σχήμα Ασκ 7 Β ομάδας σελ σχολικό Λύση : i Τα μεγέθη, y, είναι συναρτήσεις του χρόνου t έτσι : t, y y t, t Από δεδομένα έχουμε ότι τη χρονική στιγμή t είναι t,m / s, y t, m Ψάχνουμε την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας δηλ το y t Επειδή το τρίγωνο του σχήματος είναι ορθογώνιο έχουμε : y t y t 9 tt Επίσης t y t 9 t y t 9 t 6, 9 t, 7m Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε : t t y t y t H για t t γίνεται : t t y t y t,7 y t m / s ii Είναι : ά ά y t t t t t t t t t t H για t y,7,, y t t y t t y t t t t t y t t y t t t t t y t t t y t Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε t y t t t γίνεται : t t y t, Όμως t t,7 y t t y t t A y Ο t y t t y t t t m θ Β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

223 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Άρα η γίνεται : t t y t t y t t,7,7,, 6, 9 t,7,7,7 t, 6 t, rad / s 9 t t,7,,7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΣΚΙΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Mία γυναίκα ύψους,6m απομακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8m με ταχύτητα,8m/s Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της; Φ 8 Κ Ο,6 Π s Σ σχολικό Ασκ Β ομάδας σελ Λύση : Επειδή τα τρίγωνα ΦΟΣ και ΚΠΣ είναι όμοια ισχύει :,6 s 8 s s s s s s s Τα μεγέθη, s είναι συναρτήσεις του χρόνου t έτσι : t, s s t, t,8 m / s και ψάχνουμε το s t που είναι η ταχύτητα με την οποία αυξάνει ο ίσκιος της Η γίνεται s t t άρα s t t st, 8 s t, m / s ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

224 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν το συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος είναι και η συνολική είσπραξη είναι, τότε το συνολικό κέρδος είναι και το μέσο κόστος είναι i Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους είναι ισος με το ρυθμό μεταβολής της είσπραξης ii Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστος είναι ισο με το οριακό κόστος Λύση : i Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι Άρα ii Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι Άρα Ένα εργοστάσιο για την κατασκευή χιλιάδων μονάδων ενός προϊόντος έχει κόστος 6 χιλ ευρώ Η είσπραξη από την πώληση των προϊόντων δίνεται από τον τύπο : 7 χιλ ευρώ Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι θετικός Λύση : Το κέρδος του εργοστασίου δίνεται από τον τύπο Οπότε : 8 8 Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι θετικός όταν : 8 8, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α, και Β, ως προς, όταν = 6 Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης του τυχαίου σημείου Μ που ανήκει στην καμπύλη της συνάρτησης από την αρχή των αξόνων ως προς, όταν = 7 Έστω τα σημεία, και, Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής, i Της απόστασης των σημείων Α και Β ως προς όταν = ii Του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ ως προς όταν = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

225 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Δίνεται το σημείο Μ,y ανήκει στην καμπύλη της συνάρτησης,,, να βρείτε : i Το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΜΟΑ ως συνάρτηση του ii Τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου ΜΟΑ ως προς όταν = 9 Δίνεται η συνάρτηση ln και ε η εφαπτομένη ευθεία στην καμπύλη της στο σημείο,, Να βρείτε : i Την εξίσωση της ε ii Τα σημεία τομής Α, Β της ε με τους άξονες και y y αντίστοιχα iii Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ ως προς α όταν α= Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και ως προς όταν = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Αν Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο t t t 6t όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το σε μέτρα i Να βρείτε την ταχύτητα και στη συνέχεια την ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=s ii Να βρείτε την επιτάχυνση και στη συνέχεια την επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=s iii Πότε το σημείο είναι ακίνητο; iv Πότε το σημείο κινείται στη θετική και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; v Να βρείτε το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων 7s Δίνεται η συνάρτηση a i Να βρείτε το α ώστε ο ρυθμός μεταβολής της ως προς να μηδενίζει για ii Για α=, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας ε στην καμπύλη της στο σημείο Α, Από ένα σφαιρικό μπαλόνι εκλύεται αέριο με ρυθμό και η ακτίνα του δίνεται από τον τύπο ρt=-t, t, t σε ώρες και ρ σε cm Να βρείτε : i Σε πόσο χρόνο η μπάλα θα λιώσει τελείως ii Τον μέσο ρυθμό μεταβολής του εμβαδού της όταν t [, ] iii Τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής του εμβαδού της όταν t h Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός τετραγώνου ως προς την πλευρά του τη στιγμή που αυτό είναι ίσο με 6 m Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / sc, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό cm / sc Να βρείτε : i Τον ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου, ii Τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, όταν : ΑΒ=cm και ΒΓ=6cm 6 Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ=6cm μεταβάλλεται με ρυθμό cm / sc Αν τη χρονική στιγμή t το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6 cm, να βρείτε : i Τον ρυθμό μεταβολής των ίσων πλευρών, ii Τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ

226 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Δυο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται κατά μήκος δυο κάθετων οδών ΑΓ και ΒΓ με ταχύτητα km/h και km/h αντίστοιχα Να βρεθεί : i Μια συνάρτηση που δίνει την απόσταση των δυο αυτοκινήτων σε σχέση με τις αποστάσεις των οχημάτων από το σημείο Γ ii Η απόσταση των δυο οχημάτων τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το πρώτο όχημα απέχει από τη διασταύρωση 8m και το δεύτερο 6m iii Ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης ΑΒ ως προς τον χρόνο την παραπάνω χρονική στιγμή t 8 Το συνολικό κόστος μονάδων ενός προϊόντος είναι και η συνολική είσπραξη 6 σε χιλ Να βρείτε τον αριθμό των μονάδων του προϊόντος που πρέπει να παραχθεί ώστε να έχουμε θετικό ρυθμό μεταβολής του κέρδους κερδοφόρα επιχείρηση 9 Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται με ρυθμό cm /sc Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή t, που αυτή είναι ίση με 9cm; Δύο πλοία και αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ Το πλοίο κινείται ανατολικά με ταχύτητα km/h και το βόρεια με ταχύτητα km/h Π Βορράς d=dt Λ Π Ανατολή i Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των και ii Να αποδείξετε ότι η απόσταση d των δυο πλοίων αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε Μια κάμερα είναι τοποθετημένη στην κορυφή ενός στύλου ύψους m Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ υπό την οποία η κάμερα παρακολουθεί ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα km/h, όταν αυτό : i έχει απομακρυνθεί από το στύλο κατά m, ii Σε m θα έχει διέλθει από το στύλο Έστω Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία O,, A, και B, ln, με Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό cm/sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ, όταν cm Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράμπα του διπλανού σχήματος και το κουτί κινείται με ταχύτητα m/s Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί, δηλαδή το ρυθμό μεταβολής του y s y m ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

227 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Α ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 9ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 7 B, Β Να διατυπώσετε το θεώρημα του Roll και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Απάντηση : Το θεώρημα του Roll διατυπώνεται ως εξής : Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, και τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M, να είναι παράλληλη στον άξονα των y Μξ,ξ Αα,α 8 Ββ,β O α ξ ξ β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΑΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ [α,β] ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Roll στο διάστημα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα, για τα οποία ισχύει i 6, [,7] ii, 8, [,] Λύση : i Θ Roll για την 6 στο [,7] έχω : Η είναι συνεχής στο [,7] ως πολυωνυμική Η είναι παραγωγίσιμη στο,7 με 6 9 και 7 9 άρα 7 Άρα από Θ Roll η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο,7 Πράγματι : 6,7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

228 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii Πρώτα πρέπει να εξετάσω ως προς τη συνέχεια και την παραγωγισιμοτητα της στο Έχω : , άρα η είναι συνεχής στο Επίσης : Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο Οπότε Θ Roll για την, στο [,] έχω : 8, Η είναι συνεχής στο [,] Η είναι παραγωγίσιμη στο, 6 και 6 άρα Άρα από Θ Roll η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Πράγματι : Για άρα :, Για 8 άρα : 8, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Roll στο διάστημα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα, για τα οποία ισχύει i, [-,] ii ln, [,] iii, [,π] iv, [,] v 6,, [ 6,] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση και Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον Β Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

229 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω ε η εφαπτομένη της, Για να είναι // Άρα Θ Roll για την στο [,] C στο σημείο συνεχής ως πηλίκο συνεχών παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγισιμων 6, άρα Οπότε από ΘRoll υπάρχει, τέτοιο ώστε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση : a a, με, a Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Δίνεται η συνάρτηση : ln Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο,, με,, στο οποίο η γραφική παράσταση της έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα, 6 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τα α,β,γ ώστε για την να, ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Roll στο [-,] 7 Δίνεται η συνάρτηση ln Να δείξετε ότι : i Υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο,, να είναι παράλληλη στον χ χ η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, ii Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση στο, 8 Αν, να δείξετε ότι υπάρχει στο διάστημα -, σημείο τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C, όπου στο σημείο με τετμημένη είναι παράλληλη στον άξονα των ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

230 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘROLLE ΣΕ ΜΙΑ ΑΡΧΙΚΗ F ΤΗΣ Η = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β τρόποι : i Η εξίσωση έχει μια προφανή ρίζα ή ii Θ Bolzano για την στο [α,β] ή iii Σύνολο τιμών της περιέχει το ή iv Θ Roll για την F παράγουσα της στο [α,β] Η = έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο α,β τρόποι : Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano για την στα,, Ή Εφαρμόζουμε το Θ Roll για την F στα,,,, ΓΕΝΙΚΑ Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής έχει μια τουλάχιστον λύση σε διάστημα Δ και δεν εφαρμόζεται το ΘBolzano, προφανής ρίζα ή σύνολο τιμών, τότε μπορούμε να βρούμε μια αρχική ή παράγουσα συνάρτηση της δηλ μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F και στη συνέχεια να εφαρμόσουμε ΘRoll για την F στο Δ Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι υπάρχει,, ώστε να ισχύει μια σχέση, εργαζόμαστε ως εξής : Βάζουμε όπου το μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και θεωρώ καινούρια συνάρτηση g, ώστε να έχουμε εξίσωση g Αν δεν εφαρμόζεται το Θ Βolzano για τη g στο [, ] τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση g, δηλαδή μια συνάρτηση G τέτοια ώστε G g Εφαρμόζουμε Θ Roll για τη G στο [, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

231 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Στην προσπάθεια να βρούμε την αρχική συνάρτηση, πρέπει να ελέγχουμε αν εμφανίζεται παράγωγος γινομένου, πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Ιδιαίτερα χρήσιμες είναι οι εξής παρατηρήσεις : c c c, ln,, lna ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

232 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g g g g g g v v πχ v ln g ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Να δείξετε ότι η εξίσωση : 8 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Λύση : Έχω 8 8 έστω 8 θα δείξω ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Αρχικά εξετάζω αν εφαρμόζεται το ΘBolzano για την, έχω : συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική, άρα 7 Άρα δεν εφαρμόζεται το ΘBolzano συνεπώς θα εφαρμόσω ΘRoll σε μια αρχική της Έχω : F είναι αρχική της αφού ισχύει : F Δηλαδή θα δείξω ότι η εξίσωση F έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, ΘRoll για την F στο [,] F συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική F παραγωγίσιμη στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

233 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ F, F, άρα από ΘRoll η εξίσωση F έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Αν 8 να δείξετε ότι η εξίσωση : έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Λύση : Έχω έστω θα δείξω ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Αρχικά εξετάζω αν εφαρμόζεται το ΘBolzano για την, έχω : συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική 6, 6 9 παρατηρώ ότι δεν μπορώ να βγάλω κάποιο συμπέρασμα για το πρόσημο των τιμών, αλλά ούτε και για το γινόμενο τους Άρα δεν εφαρμόζεται το ΘBolzano συνεπώς θα εφαρμόσω ΘRoll σε μια αρχική της Έχω : F είναι αρχική της αφού ισχύει : F Δηλαδή θα δείξω ότι η εξίσωση F έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, ΘRoll για την F στο [,] F συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική F παραγωγίσιμη στο, F, F 8 8 6, πρέπει F F 6 8 που ισχύει από εκφώνηση Άρα από ΘRoll η εξίσωση F έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να δειχθεί ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μια τουλάχιστον ρίζα στο αντίστοιχο διάστημα : i 9 στο -, ii στο, Να δείξετε ότι η εξίσωση 8 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο -, Αν 6α+βln=, να δείξετε ότι η εξίσωση : έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 6 Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

234 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Αν στη σχέση υπάρχει μόνο με κάποιο όρο δίπλα της ως συντελεστή, τότε διαιρώ όλα με τον ορό αυτό, ώστε να έχω μόνο, τα πηγαίνω όλα στο ο μέλος και το θέτω συνάρτηση g Αν δεν εφαρμόζεται το Θ Bolzano στη g, τότε βρίσκω με αντιπαραγωγιση μια αρχική G της g τέτοια ώστε G g και εφαρμόζω Θ Roll στην αρχική G Αν η εκφώνηση μας δίνει εξίσωση που περιέχει και δεν μας δίνει πληροφορία ότι η είναι συνεχής, τότε δεν μπορώ να εφαρμόσω Θ Bolzano και θα πρέπει να εφαρμόσω Θ Roll Αν στη σχέση υπάρχει και και, τότε μεταφέρω όλους τους όρους στο ο μέλος και προσπαθώ να φτιάξω με αντιπαραγωγιση παράγωγο γινομένου ή πηλίκου ή παράγωγο σύνθετης συνάρτησης ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνεται μια συνάρτηση συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο, με ln Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τέτοιο ώστε Λύση : Θέτουμε όπου ξ το και έτσι έχουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Θέτω g και θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,, όμως δεν μπορώ να εφαρμόσω Θ Bolzano στη g γιατί δεν γνωρίζω αν η είναι συνεχής ώστε και η g συνεχής στο [,] Έτσι θα βρω μια αρχική G της g Έχω G ln Θ Roll για τη G στο [,] G συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών G παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων με G g G, G 6 ln ln Πρέπει G G ln ln που ισχύει από εκφώνηση Άρα από Θ Roll η εξίσωση G g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, 7 Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο, με Να δείξετε η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Λύση : Θέτω g, θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο,, Θ Roll για τη g στο [,] g συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

235 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g, g Πρέπει g g που ισχύει από εκφώνηση Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, 8 Έστω μια συνάρτηση, συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο, με Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο, να διέρχεται από το σημείο Α, Λύση : Έστω ε η εφαπτομένη της C στο σημείο της, y Όμως η ε διέρχεται από το, Τότε : : συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση της Δηλαδή : y αν οι : y Δηλ αρκεί να δείξω ότι υπάρχει, τω Όμοια αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Έστω g,, Θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Εφαρμόζουμε Θ Roll για τη g στο, g συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμες συναρτήσεων g, g Πρέπει g g που ισχύει από εκφώνηση Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[, ] η όποια είναι και παραγωγίσιμη στο, Αν, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ln Αν η συνάρτηση συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο, με ln, να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τέτοιο ώστε Έστω η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, με Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

236 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : [,] για την οποία ισχύει ότι : ln Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Δίνεται η συνεχής συνάρτηση στο [,] και παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι : 6, τέτοιο ώστε : Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο,, με και Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, 6 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο,, με και Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : και Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε : 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 9 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : 6,6 τέτοιο ώστε : Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε : Έστω μια συνάρτηση, συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο, με Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής, να διέρχεται από την αρχή των αξόνων παράστασης της στο **Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι : i Η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g για κάθε δεν είναι γνησίως μονότονη, τέτοιο ώστε ii Υπάρχει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

237 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΜΕ G Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής g έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα α,β τότε : ον βρίσκουμε μια αρχική παράγουσα της g τέτοια ώστε G g G ον πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με και ισοδύναμα έχουμε : G G G g G G G G G ον εφαρμόζουμε ΘRoll για την h G στο [α,β] Ειδικά αν έχουμε : πολλαπλασιάζουμε με πολλαπλασιάζουμε με πολλαπλασιάζουμε με ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε Λύση : Θέτουμε όπου ξ το και έτσι έχουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση : g G ά έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Έστω g, άρα θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Θ Roll για τη g στο [,] g συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων 6 g, g άρα ισχύει g g Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

238 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θέτουμε όπου ξ το και έτσι έχουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση : έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Έστω g, άρα θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Θ Roll για τη g στο [,] g συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων g, g άρα ισχύει g g Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : g ά G Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε : i ii iii iv v vi 6 6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία με τετμημενες και Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε 8 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, με και, για τα οποία ισχύει ln ln Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 9 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

239 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΡΙΖΕΣ Α Η = έχει μια το πολύ ρίζα στο α,β ΕΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ κ ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ : Δείχνουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη, ή ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ : Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει και δεύτερη ρίζα, και εφαρμόζουμε το Θ Roll για την στο [, ] άτοπο! Β Η = έχει δυο το πολύ ρίζες στο α,β Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει και τρίτη ρίζα Δηλαδή έχει ρίζες τις με πχ, οπότε εφαρμόζουμε το Θ Roll για την στα δυο διαστήματα που εμφανίζονται : [, ],[, ] άτοπο!,, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται μια συνάρτηση με για κάθε Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα Λύση : Έχω την εξίσωση Έστω η συνάρτηση g Θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει το πολύ μια ρίζα Επειδή δεν γνωρίζω τον τύπο της δεν μπορώ να βρω τη μονοτονία της άρα ούτε και της g Άρα θα χρησιμοποιήσω τον ο τρόπο Έστω ότι η εξίσωση g έχει ρίζες, με, εφαρμόζω Θ Roll για τη g στο [, ] g συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων με g g, g, είναι ρίζες της g άρα ισχύει g g Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Άτοπο γιατί για κάθε Άρα η εξίσωση g έχει το πολύ μια ρίζα Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι - και αντιστρέψιμη ii Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : i Θα υποθέσουμε ότι η δεν είναι -, άρα θα υπάρχουν, με τω Αν, τότε εφαρμόζω ΘRoll για την στο [, ] Η είναι συνεχής στο, Η είναι παραγωγίσιμη στο, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

240 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii Άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε, που είναι άτοπο καθώς για κάθε Άρα η είναι - και άρα είναι και αντιστρέψιμη 6 ή : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να δειχθεί ότι εξίσωση : a με, έχει το πολύ δυο ρίζες στο Να δειχθεί ότι εξίσωση : a με, έχει το πολύ δυο ρίζες στο Δίνεται μια συνάρτηση με για κάθε Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα Δίνεται μια συνάρτηση με για κάθε Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα 6 Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : για κάθε Να λύσετε την εξίσωση : 7 Δίνεται μια συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο R και η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της δεν είναι παράλληλη στην ευθεία ε : -y+= Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της και η ευθεία η : y= έχουν ένα το πολύ κοινό σημείο 8 Αν για τη συνάρτηση :, ισχύει για κάθε, και είναι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο 9 Αν για τη συνάρτηση :, ισχύει για κάθε, και είναι παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

241 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΡΙΖΕΣ ΕΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ κ Η = έχει μια ακριβώς ρίζα στο α,β Βήμα ο : Η = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β με προφανή ή Θ Bolzano ή σύνολο τιμών ή Θ Roll Βήμα ο : ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Μονοτονία για την στο [α,β] ή ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι η = έχει και δεύτερη ρίζα, με πχ < Θ Roll για την στο [, ] άτοπο! Η = δυο ακριβώς ρίζες στο α,β Βήμα ο : Εργαζόμαστε όπως στην προηγούμενη περίπτωση για την στα [α,γ], [γ,β] η έχει δυο τουλάχιστον ρίζες :, και, Βήμα ο : ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Δείχνουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στα [α,γ] και [γ,β] υπάρχουν δυο ακριβώς ρίζες ή ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι η = έχει και τρίτη ρίζα με πχ Στη συνέχεια : εφαρμόζω το Θ Roll για την στα [, ],[, ] άτοπο! Η = έχει ν ακριβώς ρίζες Ρ πολυώνυμο του Ειδικά αν η συνάρτηση είναι πολυώνυμο Ρ, εκτός από τη μέθοδο της περίπτωσης, αν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση Ρ= έχει ν ακριβώς ρίζες, τότε : i Με το Θ Bolzano Δείχνουμε ότι η εξίσωση έχει ν τουλάχιστον ρίζες ii Επειδή Ρ είναι πολυώνυμο ν βαθμού, έχει το πολύ ν ρίζες οπότε από και η εξίσωση έχει ν ακριβώς ρίζες ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο [,] με για κάθε [, ] και για κάθε, Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε, Υπόδειξη : Για τουλ μια ΘBolzano στην g και για το πολύ μια ΘRoll για τη g με άτοπο Λύση : Θέτουμε όπου το και έτσι έχουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Έστω g Βήμα ο Αρχικά θα δείξουμε ότι η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Θ Bolzano για τη g στο [, ] g συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών η παραγωγίσιμη στο [,] άρα και συνεχής στο [,] άρα και η g συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

242 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g αφού για κάθε [, ] άρα και g αφού για κάθε [, ] άρα και Δηλαδή g g άρα από Θ Bolzano η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Βήμα ο Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η εξίσωση g έχει το πολύ μια ρίζα στο, Επειδή δεν γνωρίζω τον τύπο της δεν μπορώ να βρω τη μονοτονία της άρα ούτε και της g Άρα θα χρησιμοποιήσω τον ο τρόπο Έστω ότι η εξίσωση g έχει ρίζες, με, εφαρμόζω Θ Roll για τη g στο [, ] g συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων με g g, g, είναι ρίζες της g άρα ισχύει g g Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Άτοπο γιατί για κάθε, Άρα η εξίσωση g έχει το πολύ μια ρίζα Τελικά από βήμα ο και βήμα ο συμπεραίνω ότι η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει ότι και για κάθε Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός, τέτοιος ώστε Λύση : Θέτουμε όπου το και έτσι έχουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Θέτω g Βήμα ο Αρχικά θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,, όμως δεν μπορώ να εφαρμόσω Θ Bolzano στη g γιατί δεν έχω κάποια πληροφορία για το πρόσημο της Έτσι θα βρω μια αρχική G της g Έχω G Θ Roll για τη G στο [,] G συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών η παραγωγίσιμη άρα και συνεχής άρα και η G συνεχής ως πράξεις συνεχών G παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων με G g G, G Πρέπει G G που ισχύει από εκφώνηση Άρα από Θ Roll η εξίσωση G g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Βήμα ο Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η εξίσωση g έχει το πολύ μια ρίζα στο, Επειδή δεν γνωρίζω τον τύπο της δεν μπορώ να βρω τη μονοτονία της άρα ούτε και της g Άρα θα χρησιμοποιήσω τον ο τρόπο Έστω ότι η εξίσωση g έχει ρίζες, με, εφαρμόζω Θ Roll για τη g στο [, ] g συνεχής στο, ] ως πράξεις συνεχών [ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

243 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων με g g, g, είναι ρίζες της g άρα ισχύει g g Άρα από Θ Roll η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Άτοπο γιατί για κάθε Άρα η εξίσωση g έχει το πολύ μια ρίζα Τελικά από βήμα ο και βήμα ο συμπεραίνω ότι η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να δειχθεί ότι έχουν ακριβώς μια ρίζα στο αντίστοιχο διάστημα οι παρακάτω εξισώσεις i στο, ii στο, Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς ρίζες στο, Δίνεται η συνάρτηση με για κάθε Αν για κάθε [,], να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Υπόδειξη : Για τουλ μια ΘBolzano στην g και για το πολύ μια ΘRoll για τη g με άτοπο Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη με και για κάθε Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε 6 Δίνεται η συνάρτηση : [,] παραγωγίσιμη με και για κάθε [,] Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y σε ακριβώς ένα σημείο 7 Δίνεται η συνάρτηση 8 i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο -, ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζες στο -, 8 Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύει και για κάθε Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός, τέτοιος ώστε Υπόδειξη : Ύπαρξη ρίζας με Θ Roll για την F και για το πολύ μια ρίζα ΘRoll για τη g με άτοπο 9 Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύει και για κάθε Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός, τέτοιος ώστε Υπόδειξη : Όμοια με παραπάνω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

244 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘROLLE Ισχύει η εξής πρόταση : Ανάμεσα σε δυο ρίζες της υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε, πρέπει να εφαρμόσουμε το ΘRoll για την σε κάποιο διάστημα [, ] Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δυο αριθμούς με Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή του ΘR σε δυο διαστήματα ξένα μεταξύ τους ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη για την όποια ισχύει ότι Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Λύση : Θ Roll για την στο [,] συνεχής στο [,] παραγωγίσιμη στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

245 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε Θ Roll για την στο [,] συνεχής στο [,] παραγωγίσιμη στο, Άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε Θ Roll για την στο [, ] [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Άρα υπάρχει,, τέτοιο ώστε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγισιμη για την όποια ισχύει ότι Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε 6 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία με τετμημενες,, Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε 6 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη για την όποια ισχύει ότι και Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε 6 6 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη για την όποια ισχύει ότι, και Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g i Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο τουλάχιστον σημεία της με τετμημενες στο διάστημα, στα όποια η C g δέχεται οριζόντια εφαπτομένη ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε C g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

246 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 6 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει, και για κάθε i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της, ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε 66 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, με για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι - ii Αν η γραφική παράσταση της λύσετε την εξίσωση : διέρχεται από τα σημεία 6, iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε και,, τότε να 67 Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο και Η εφαπτομένη της, είναι παράλληλη στην ευθεία : C στο σημείο της : y 7 Να αποδείξετε ότι : i, ii υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε, iii η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 68 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει 6, 9 και i Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της, C στο σημείο της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση στο, 69 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, με σύνολο τιμών το, για την οποία ισχύει για κάθε Ορίζουμε τη συνάρτηση g, i Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση ii Αν η γραφική παράσταση της της διέρχεται από τα σημεία 9, και,, τότε να λύσετε την εξίσωση iii Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε g iv Αν επιπλέον η είναι συνεχής και η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα στο σημείο,, τότε να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της σχηματίζει με τον άξονα γωνία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

247 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Β ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΜΤ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ, 8 Β,, 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Απάντηση : Το θεώρημα της μέσης τιμής διατυπώνεται ως εξής : Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M, να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y Ο Mξ,ξ a Aa,a ξ ξ β Ββ,β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΑΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ [α,β] ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση με [,] i Να δείξετε ότι η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [,] ii Να βρείτε το, Λύση : iii ΘΜΤ για την στο [,] έχω : Η είναι συνεχής στο [,] Η είναι παραγωγίσιμη στο, με Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε iv Έχω : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση με [,] i Να δείξετε ότι η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

248 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii Να βρείτε το, Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα, για τα οποία ισχύει i, [,] ii ln, [,] iii ln Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι : i ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ, για την στο διάστημα [, ] ii Υπάρχει τουλάχιστον ένα, τω iii,, [,] 6, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ Γενικά για να δείξω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε τότε : ος ΘΜΤ για την στο [α,β] ος Θ Roll για τη g k ος Θ Bolzano για την h k ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω :[,] παραγωγίσιμη συνάρτηση, με, Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο, να είναι παράλληλη στην ευθεία y=+ Πανελλήνιες Λύση : Έστω ε η εφαπτομένη της C στο σημείο, Η // y Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ΘΜΤ για την στο [,] Η είναι συνεχής στο [,] η είναι παραγωγισιμη άρα και συνεχής Η είναι παραγωγισιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

249 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία,,, i Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο, με,, στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ ii Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ 7 Αν για κάθε [, ] να δειχτεί ότι η συνάρτηση είναι «-» στο διάστημα [α,β] 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει και Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε 9 Έστω : μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία, και, Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ της C, στο οποίο η εφαπτομένη της C να είναι κάθετη στην ευθεία : y Έστω : μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία,6 και, Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ της C, στο οποίο η εφαπτομένη της C να είναι κάθετη στην ευθεία : y Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να,, με,, στο οποίο η εφαπτομένη της αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο C σχηματίζει γωνία με τον άξονα Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : [, ] για την οποία ισχύει 6 και Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

250 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ,, Όταν μας ζητούν να δείξουμε ότι υπάρχουν,,,, για τα οποία ισχύει, τότε χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν υποδιαστηματα και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ σε κάθε ένα από αυτά Υποπερίπτωση : Αν θέλουμε να δείξουμε ότι ότι υπάρχουν,,, για τα οποία ισχύει τότε βρίσκουμε το άθροισμα και παίρνουμε αντίστοιχα σημεία γ,δ τέτοια ώστε :, και και στη συνέχεια εφαρμόζουμε ΘΜΤ στα διαστήματα [αγ], [γ,δ], [δ,β] ξ ξ ξ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω μια συνάρτηση :[,] η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα Αν η έχει σύνολο τιμών το [,] και είναι παραγωγίσιμη στο,, να δείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε Λύση : Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ] άρα θα έχει σύνολο τιμών : [, ] όμως από εκφώνηση [,] άρα και Για να δείξουμε ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε θα εφαρμόσουμε ΘΜΤ για την ΘΜΤ για την στο [,] συνεχής στο [,] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε ΘΜΤ για την στο [,] συνεχής στο [,] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε Άρα τελικά Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο, και ισχύει Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε Λύση : Είναι Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε [, ],[,] ώστε ΘΜΤ για την στο [,] συνεχής στο [,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

251 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε ΘΜΤ για την στο [,] συνεχής στο [,] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε Τελικά : Αν για τη συνάρτηση ισχύουν οι υποθέσεις του Θ Roll στο [, ] να δείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε Λύση : Αφού για την ισχύουν οι υποθέσεις του Θ Roll στο [, ] τότε η είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο, και Είναι Χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε [, ],[, ] ώστε, ΘΜΤ για την στο [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε ΘΜΤ για την στο [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε Τελικά : καθώς ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

252 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του ΘRoll στο [,] Να δείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε 7 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει για κάθε Αν δείξετε ότι υπάρχουν,,, τέτοια ώστε 9 8 Δίνεται η παραγωγισιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει, και Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο τουλάχιστον,, διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε οι εφαπτομένες της C στα σημεία και να είναι μεταξύ τους κάθετες 9 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγισιμη, για την οποία ισχύει και Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχουν,, με, ώστε ii Υπάρχει, ώστε Αν για τη συνάρτηση ισχύουν οι υποθέσεις του Θ Roll στο [,] να δείξετε ότι υπάρχουν, τέτοια ώστε,,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΜΤ & ΘBolzano, ΘΜΤ & ΘET, Αν θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν,, ώστε να ισχύει μια σχέση της μορφής g, ή g, ή, τότε χωρίζουμε το διάστημα, σε δυο υποδιαστήματα, και,, όπου το μπορεί να προκύψει από το ΘBolzano ή από το ΘΕΤ και μετά εφαρμόζουμε ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα, ], [, ] [ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται συνάρτηση : [, ], η οποία είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο α,β και ισχύει και Να αποδείξετε ότι : i Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β ii Υπάρχουν,, τέτοια ώστε ο Επαναληπτικές Πανελλήνιες Λύση : i Θα δείξω ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β Έστω g θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β Εφαρμόζω Θ Bolzano για τη g στο [α,β] g συνεχής στο [α,β] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

253 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g δηλ g g Οπότε από Θ Bolzano η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο α,β, δηλ υπάρχει, τέτοιο ώστε g ii Για να δείξω ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε, θα πρέπει να διασπάσω το διάστημα α,β ώστε να εφαρμόσω δυο ΘΜΤ ΘΜΤ για την στο, ] [ συνεχής στο, ] [, παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει ΘΜΤ για την στο [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, τέτοιο ώστε : Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε : Τελικά : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : [, ], με α> για την οποία ισχύει και Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει, τέτοιο ώστε ii Υπάρχουν,, διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και 8 Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει τέτοιο ώστε 6 ii Υπάρχουν,, διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και 6 Να αποδείξετε ότι : i Υπάρχει τέτοιο ώστε 8 ii Υπάρχουν,, διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

254 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΜΤ & ΘRoll ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ξ - ΠΡΟΣΗΜΟ ξ, ξ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε :, ή ή τότε εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την στα, ] και [, ] όπου, και βρίσκουμε τις τιμές, όπου, και, Αν, τότε εφαρμόζουμε ΘRoll για την στο [, ] και αποδεικνύουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε Αν, τότε εφαρμόζουμε ΘΜΤ στην στο [, ] και αποδεικνύουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε o o, αν, αν ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : [ Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο α,β Αν ισχύει α=β= και υπάρχουν αριθμοί γα,β, δα,β, έτσι ώστε γ δ<, να αποδείξετε ότι: i Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης = στο διάστημα α,β ii Υπάρχουν σημεία ξ, ξ α,β τέτοια ώστε ξ > και ξ < iii Υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε ο Πανελλήνιες Λύση : i Προφανώς γ δ Αν ήταν γ=δ τότε γ< άτοπο Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτω γ<δ, συνεχής στο [γ,δ] [α,β] γδ< Άρα από θ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ρίζα γ,δ της δηλ =, ii α γ δ β Επειδή γδ< υποθέτω: γ< και δ> Σε αντίθετη περίπτωση η απόδειξη είναι όμοια, [, ] ά ά a ή a, ή [,, ή [,, ] ] ά ά, ά ά, ά, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

255 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Όμοια με ΘΜΤ στα [δ,β], [,δ] εξασφαλίζω την ύπαρξη σημείων: δ,β: <,δ: > οπότε με ΘΜΤ στο [, ] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, και άρα ξ α,β: iii Από το ii διαπιστώνω ότι: συνεχής στο [, ] και ξ ξ < Άρα από Θ Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, τω, 6 Η συνάρτηση είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο Αν τα σημεία,,,, με, είναι συνευθειακά, να δείξετε ότι υπάρχει, ώστε να είναι Λύση : Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακα άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι ισος με το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ Δηλ y y y y, ΘΜΤ για την στο [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε ΘΜΤ για την στο [, ] συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε Δηλ λόγο της ισχύει ΘRoll για την στο [, ] [, ] συνεχής στο [, ] [, ] παραγωγίσιμη στο,, Άρα από ΘRoll υπάρχει,, τέτοιο ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

256 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει, και, με, Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε Υποδ Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε, πρέπει να εφαρμόσουμε το ΘRoll για την σε κάποιο διάστημα [, ] Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δυο αριθμούς με Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή του ΘΜΤ σε δυο διαστήματα ξένα μεταξύ τους 8 Έστω μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο με και Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο, να είναι παράλληλη στην ευθεία : y 7 9 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία,,,,, Να αποδείξετε ότι : i υπάρχουν,,, ώστε : ii υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

257 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισοτική σχέση που περιέχει και μας ζητείται να αποδείξουμε μια ανισοτική σχέση για την, τότε η απόδειξη ενδεχομένως μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ΘΜΤ υπάρχουν και άλλοι τρόποι όπως θα μάθουμε Μετασχηματίζω την ανισότητα έτσι ώστε να δημιουργηθεί στο κέντρο η διαφορά Εφαρμόζω ΘΜΤ για την στο [α,β] οπότε έχω : Αφού,, μορφοποιώ την παράσταση και έχω ανισότητα της μορφής η οποία λόγο της αποδεικνύει την ζητούμενη ανισότητα Μπορούμε να αποδείξουμε μια διπλή ανισότητα δυο μεταβλητών α,β χρησιμοποιώντας το ΘΜΤ Πρώτα βρίσκουμε συνάρτηση, ώστε η ανισότητα να πάρει τη μορφή : Μετά εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την στο [α,β] έτσι υπάρχει, ώστε Τέλος ξεκινάμε από ανισότητα και καταλήγουμε σε ανισότητα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [,] με = και για κάθε, να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα 9 Λύση : Θα εφαρμόσουμε ΘΜΤ για την στο [,] συνεχής στο [,] παραγωγίσιμη στο, Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε Όμως επειδή από εκφώνηση ισχύει για κάθε, άρα θα είναι : 8 9 Αν με,,, να δείξετε ότι Λύση : Έχουμε να δείξουμε ότι για κάθε,, με ισχύει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

258 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θεωρούμε τη συνάρτηση,, Θα εφαρμόσουμε ΘΜΤ για την στο [, ], συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο,, με Άρα υπάρχει,, ώστε Δηλαδή έχουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η σχέση που γίνεται Η είναι γνησίως φθίνουσα στο, Έτσι :,,, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,] και ισχύουν = και για κάθε να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,] με = και για κάθε, να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα i Να αποδείξετε ότι για κάθε ii Αν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, με για όλα τα, ισχύει, να αποδείξετε ότι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

259 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΘΜΤ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ln, Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει :, ο Πανελλήνιες 8 Λύση : Για κάθε είναι ln Θα εφαρμόσω ΘΜΤ για την στο [, ] Η είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών Η είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγισιμων με ln Άρα από ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο ώστε Όμως, άρα Θα πρέπει να πάρω και στα δυο μέλη της, πρέπει όμως να γνωρίζω τη μονοτονία της Έστω,, με ln ln ln ln άρα η είναι γνησίως αύξουσα Έτσι η σχέση θα γίνει : : 6 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και η είναι γνησίως φθίνουσα στο R Να δείξετε ότι για κάθε Λύση : Για κάθε είναι : Θα εφαρμόσω ΘΜΤ για την στο [, ] και στο [, ] ή [, ] άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε /, Επίσης : ή [, ] άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε /, Έτσι ισχύει ότι : Δηλαδή η σχέση που θέλαμε να αποδείξουμε ισχύει για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

260 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Να αποδείξετε ότι: ln ln, ο Επαναληπτικές Πανελλήνιες 6 Λύση : ln ln Για κάθε έχουμε : ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση ln, Εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την ln στο [, ] ή [, ] άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε /, και Για κάθε, είναι, Έτσι ισχύει, ln ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [,7] και παραγωγίσιμη στο,7 Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο,7 να δείξετε ότι 7 για κάθε 9 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και η είναι γνησίως φθίνουσα στο R Να δείξετε ότι για κάθε Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και η είναι γνησίως αύξουσα στο [, Να δείξετε ότι για κάθε >α Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και η είναι γνησίως φθίνουσα στο, ] Να δείξετε ότι για κάθε <α Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, Αν ισχύει να δείξετε ότι για κάθε > ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

261 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΜΤ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση 6 σελ σχολικό βιβλίο Β ομάδας Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [-,] και ισχύει, Αν και, να αποδείξετε ότι Λύση : Θα εφαρμόσουμε ΘΜΤ για την στα διαστήματα [,] και [,] ή [,] /, άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε ή [,] /, άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε Όμως : για κάθε,, αρα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : για κάθε Δίνεται η συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο IR με για κάθε IR i Να δείξετε ότι η είναι - ii Αν η γραφική παράσταση C της διέρχεται από τα σημεία Α, και Β-,, να λύσετε την εξίσωση - 8 iii Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της C, στο οποίο η εφαπτομένη της C είναι κάθετη στην ευθεία ε: y 668 ο Επαναληπτικές Πανελλήνιες Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει για κάθε Να αποδείξετε ότι : i ii 8 υπάρχει σημείο, με,, στο οποίο η εφαπτομένη της C να είναι παράλληλη στην ευθεία : y iii υπάρχει, ώστε iv υπάρχουν,,, ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

262 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6Α ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Α ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΜΤ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ Β, 9, Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Απόδειξη : Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει Πράγματι Αν, τότε προφανώς Αν, τότε στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει,οπότε, λόγω της, είναι Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συναρτήσεις,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι,g είναι συνεχείς στο Δ και g για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: g c Απόδειξη : Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει g g Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει g c, οπότε g c y y=g+c y=g O Σχόλιο : Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμα του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων, Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση Παρατηρούμε ότι, αν και, για κάθε,,, εντούτοις η δεν είναι σταθερή στο,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

263 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕΛ Αν για μια συνάρτηση ισχύει ότι για κάθε R,τότε c για κάθε R Αντί του R μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα Δ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε Όταν μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ, τότε ισχύει ότι c για κάθε Αν μπορούμε να βρούμε μια τιμή σε κάποιο, τότε είναι c οπότε θα ισχύει : για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : [, για την οποία ισχύει και : για κάθε, i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή στο, ii Να βρείτε τον τύπο της Λύση : i Η g είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνέχων Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή στο,, αρκεί να δείξουμε ότι g για κάθε, Έχω : g Επίσης από εκφώνηση : Άρα η σχέση γίνεται : g g g g Άρα η g είναι σταθερή στο, ii Η g είναι σταθερή στο, άρα ισχύει : g c για κάθε, Άρα και g c c 6 6 c c 6 Άρα 6 g 6 6,, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Έστω η συνεχής συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει : για κάθε > i Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, >, είναι σταθερή ii Αν να βρείτε τον τύπο της Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και : για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

264 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή στο [, ii Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει :, y Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή y y για κάθε Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : y 6 ln ln y y για κάθε, y, Να δείξετε ότι η συνάρτηση g ln, είναι σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της, αν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΥΠΟΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ c c c, ln,, ln g g g g g g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

265 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ v v πχ v ln ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : αν ισχύει : όταν, και Λύση : Έχω : ln ln c Για έχουμε : ln c c c Άρα ln, D, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i όταν και ii όταν και iii όταν, και iv όταν και v όταν, και vi όταν και 7 και vii 6 όταν και και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

266 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΗΛΙΚΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : αν ισχύει : ln, και Λύση : Έχω : ln ln ln ln c Για έχω : ln c c c άρα ln ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ln με, και άρα D, 9 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i, και ii, και iii, και iv όταν και v όταν με ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση : για κάθε και Να δειχθεί ότι : ln ο Πανελλήνιες Λύση : Για κάθε έχω : c Για έχω : c c c Άρα ln ln ln, D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

267 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Έστω μια συνάρτηση : για την oποία ισχύει : για κάθε Αν, να βρείτε τον τύπο της Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση : για κάθε και ln Να βρείτε τον τύπο της Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i, και ii,, και iii,, και iv,, και v,, και Έστω μια συνάρτηση : για την oποία ισχύει : Αν =, να βρείτε τον τύπο της Έστω μια συνάρτηση :, για την όποια ισχύει : για κάθε > Αν =, να βρείτε τον τύπο της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΜΕ Αν έχουμε ισότητα της μορφής : g g G πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με και ισοδύναμα έχουμε : G G G G G g G G G Ειδικότερα ισχύει η ισοδυναμία : c ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνεται η συνάρτηση :, παραγωγίσιμη, με Αν ισχύει : να βρείτε τον τύπο της Λύση : Για κάθε έχω : g ά G ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

268 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ c c Άρα,, για έχω : 7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει και : για κάθε Λύση : Για κάθε c Να βρείτε τον τύπο της έχουμε :, άρα από συνέπειες ΘΜΤ ισχύει : c Για η γίνεται : c c, άρα η γίνεται :, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i όταν και ii, όταν και 9 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις : i : με και ii : με και iii :, με και iv : με και,, Έστω : μια συνάρτηση με η οποία είναι συνεχής και ισχύει ln, για κάθε και Να βρείτε τον τύπο της Έστω :[, μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και ισχύει, για κάθε και Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει :, και για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει :, και 6 για κάθε, Να βρείτε τον τύπο της D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 66

269 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με για κάθε, και Να αποδείξετε ότι : i Η συνάρτηση g είναι σταθερή, ii για κάθε, iii ο τύπος της είναι Πανελλήνιες ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ Αν στην ίδια ισότητα περιέχονται οι συναρτήσεις : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν :, για κάθε και, βρείτε τον τύπο της Λύση : [στη σχέση που δίνεται εμφανίζεται : και ] Για κάθε έχω :, έστω ος Τρόπος Άρα η δοσμένη σχέση γίνεται : g g για κάθε g Να H g είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και g καθώς άρα η g διατηρεί πρόσημο για κάθε και g άρα g για κάθε Έχουμε : συνέπειες ΘΜΤ g g g c g g Για είναι : g c c c, άρα : g g g ος Τρόπος Άρα η δοσμένη σχέση γίνεται : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 67 g άρα από, g g g g H g είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και g καθώς άρα η g διατηρεί πρόσημο για κάθε και g άρα g για κάθε g g Τελικά : g g ln g άρα από συνέπειες ΘΜΤ g ισχύει : Άρα : ln g c, και για, ln g c ln c c ln g g ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ g και g ή g και g, όπου g γνωστή συνάρτηση και ζητείται να βρούμε τον τύπο της, τότε θέτω h g και με αντιπαραγώγιση βρίσκω την h και στη συνέχεια την,

270 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :,, για την οποία ισχύουν : ln, για κάθε και Να βρείτε τον τύπο της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6 : ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει και : για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Λύση : Για κάθε, έχουμε : άρα από συνέπειες ΘΜΤ ισχύει : c Για η γίνεται : c c άρα η γίνεται : άρα από συνέπειες ΘΜΤ ισχύει c, Για η γίνεται : c c : Άρα η γίνεται τελικά :, Η είναι συνεχής για κάθε για κάθε έστω ότι υπάρχει τέτοιο ώστε αδύνατο Άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε κάθε Έτσι : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 68 και, άρα για, 8 Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι δυο φόρες παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :,, Να βρείτε τη συνάρτηση 9 Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι δυο φόρες παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :,,

271 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, είναι σταθερή ii Να βρείτε τη συνάρτηση Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι δυο φόρες παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :, ln, Να βρείτε τη συνάρτηση Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι δυο φόρες παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :,,, Να βρείτε τη συνάρτηση Δίνεται η συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με, η για κάθε Να οποία ικανοποιεί τη σχέση: αποδείξετε ότι : ln, Θέμα Γ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7 : ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕ ΚΑΙ g ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω, g :, δυο συναρτήσεις οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ικανοποιούν τις συνθήκες : g, g, για κάθε g Να δείξετε ότι g και στη συνέχεια να βρείτε τις συναρτήσεις :, g Λύση : Για κάθε, g g είναι :, ομοίως : g g Άρα από και είναι : g g g g g g g, άρα από συνέπειες ΘΜΤ η g g γίνεται : : c Για η γίνεται : c c g Άρα : g για κάθε g Άρα η δοσμένη σχέση γίνεται : άρα από συνέπειες ΘΜΤ c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 69

272 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για η γίνεται : c c, άρα ln Aρα τελικά : g ln, με ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Έστω, g : δυο συναρτήσεις οι οποίες είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιούν τις συνθήκες :, g, για κάθε g g, g, για κάθε Να βρείτε τις συναρτήσεις :, g ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8 : ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι ag,, τότε θεωρούμε συνάρτηση h ag, και αποδεικνύουμε ότι είναι σταθερή, δηλ h c και στη συνέχεια δείχνω ότι c σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να συμφέρει περισσότερο να θέσω h, g g, και να δείξω ότι ότι είναι σταθερή, δηλ h ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω : συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :, για κάθε και Να δείξετε ότι, Λύση : Έστω : g, θα δείξω ότι g σταθερή, άρα g c και μετά c H g είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και επιπλέον g g Στη σχέση : αν θέσω όπου το έχω : Άρα : g g, άρα g είναι σταθερή για κάθε, δηλ g c, Όμως g, άρα g c c Άρα : g, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Έστω : συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :, για κάθε και i Να δείξετε ότι, ii Να δείξετε ότι, iii Να βρείτε τον τύπο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

273 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 9 : ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Έστω : συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :, για κάθε και, Να βρείτε τον τύπο της Λύση : Για κάθε, με,, c c, Άρα :, δηλαδή : c, c, Όμως c c και c c Τελικά :,, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΚΑΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ Αν, διαστήματα με και έχουμε : g, για κάθε,, τότε Αν Αν, τότε g c, τότε g c g c, Δηλαδή : g c, 8 Έστω : συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες :, για κάθε και, Να βρείτε τον τύπο της 9 Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση : η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες :, για κάθε και Να βρείτε τον τύπο της Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση : η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες :, για κάθε και Να βρείτε τον τύπο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

274 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6Β ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Β ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ, 6,, 7 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Απόδειξη : Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι Έστω, με Θα δείξουμε ότι Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε οπότε έχουμε Επειδή και, έχουμε, οπότε Στην περίπτωση που είναι εργαζόμαστε αναλόγως Σχόλιο : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η είναι γνησίως αύξουσα αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική αντιστοίχως αρνητική στο εσωτερικό του Δ Για παράδειγμα, η συνάρτηση, αν και είναι γνησίως αύξουσα στο, εντούτοις έχει παράγωγο η οποία δεν είναι θετική σε όλο το, αφού Ισχύει όμως για κάθε, y O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

275 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της και εξετάζουμε αν είναι συνεχής ii Βρίσκουμε την ' χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης iii Λύνουμε την εξίσωση ' iv Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της στον οποίο πρέπει να περιέχονται το ΠΟ της καθώς και οι ρίζες της v Βρίσκουμε το πρόσημο της ' είτε λύνοντας τις ανισώσεις ' και ' είτε βρίσκοντας το πρόσημο μιας τιμής της ' σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της vi Συμπληρώνουμε το είδος της μονοτονίας της ανάλογα με το πρόσημο της ' Ισχύει : Αν ' τότε η γνησίως αύξουσα Αν ' τότε η γνησίως φθίνουσα D ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις : i 6 ii 9 7 iii iv ln Λύση : i 6, D, 6, γν γν αύξουσα φθίνουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις, δηλ δεξιά του ομόσημο του α δηλ του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε,] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, ii 9 7, D, 6 9, 6 9, ή, γν αύξουσα γν φθίνουσα γν αύξουσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

276 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες ανισώσεις, δηλ όταν Δ> και η εξίσωση έχει ρίζες, τότε για τα πρόσημα ισχύει ότι εντός των ριζών είναι ετερόσημο του α δηλ του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] iii, D,, γν γν αύξουσα φθίνουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, iv ln ln, D,,, ln ln ln ln ln γν αύξουσα γν φθίνουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και ln ln ln ln ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 ά ά ln ln ln ln ln ln Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [,

277 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις : i ii iii Λύση : i, D, για κάθε D, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D ii iii, D [,], για κάθε D [,], άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο D [,], D,, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο γν αύξουσα γν αύξουσα D Δίνεται η συνάρτηση i Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της Λύση : i D, ii, παρατηρώ ότι η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης και επειδή η είναι και μοναδική Για το πρόσημο της έχουμε : για για ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

278 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΠΡΙΠΤΩΣΗ SOS : Αν δεν μπορώ να λύσω την εξίσωση, τότε βρίσκω την, στη συνέχεια βρίσκω το πρόσημο της, άρα και τη μονοτονία της και από τη μονοτονία της προσδιορίζω το πρόσημο της και άρα τη μονοτονία της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις : i ii ln iii 6 6 Λύση : i, D,, Η τελευταία εξίσωση δεν λύνεται με αλγεβρικούς τρόπους, για αυτό θα βρω την, άρα η είναι γνησίως αύξουσα Για την εξίσωση έχω για,, άρα η προφανής ρίζα της και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, είναι και μοναδική γν γν αύξουσα φθίνουσα Τα πρόσημα για την προκύπτουν ως εξής : Επειδή δεν μπορώ να λύσω την εξίσωση με αλγεβρικούς τρόπους, δε θα μπορώ να λύσω και την ανίσωση ή, οπότε ξεκινώ ανάποδα : : άρα : άρα για κάθε,] για κάθε [, ii ln ln, D,, ln ln, ln Η τελευταία εξίσωση δεν λύνεται με αλγεβρικούς τρόπους, για αυτό θα βρω την, γν αύξουσα - γν φθίνουσα Το παραπάνω πινακάκι συμπληρώνεται ως εξής : γν φθίνουσα - γν φθίνουσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 76

279 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ψάχνω πρώτα το πρόσημο της, αφού μπορώ να λύσω την εξίσωση με αλγεβρικούς τρόπους, θα μπορώ να λύσω και τις ανισώσεις :,, άρα στο, ], άρα στο [, Επειδή δεν μπορώ να λύσω την εξίσωση με αλγεβρικούς τρόπους, δε θα μπορώ να λύσω και την ανίσωση ή, οπότε ξεκινώ ανάποδα : : άρα : άρα Τελικά η για κάθε D, για κάθε, ] για κάθε [, iii 6 6, D, 6 6 6, Αυτή η εξίσωση δεν λύνεται με αλγεβρικούς τρόπους άρα θα βρω την 6 6 6, αλλά και αυτή η εξίσωση δεν λύνεται άρα θα βρω την 6 6 Άρα η για κάθε Για την εξίσωση έχω για, 6 6 άρα η προφανής ρίζα της και επειδή η για κάθε, θα είναι και μοναδική γν αύξουσα - γν αύξουσα γν φθίνουσα γν αύξουσα + + γν αύξουσα γν αύξουσα Το παραπάνω πινακάκι συμπληρώνεται ως εξής : Επειδή δεν μπορώ να λύσω την εξίσωση με αλγεβρικούς τρόπους, δε θα μπορώ να λύσω και την ανίσωση ή, οπότε ξεκινώ ανάποδα : : άρα : άρα + για κάθε,] για κάθε [, Επειδή δεν μπορώ να λύσω την εξίσωση με αλγεβρικούς τρόπους, δε θα μπορώ να λύσω και την ανίσωση ή, οπότε ξεκινώ ανάποδα : : άρα : άρα Τελικά η για κάθε D για κάθε,] για κάθε [, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 77

280 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΠΕΡΙΠΤΩΣΗ SOS : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης και έχουμε : g h ή h g και η g διατηρεί σταθερό πρόσημο, τότε βρίσκουμε το πρόσημο της h, άρα και της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση : στο διάστημα, Λύση : Για κάθε, είναι Επειδή για κάθε, με ενδιαφέρει αποκλειστικά το πρόσημο το αριθμητή της Έστω η συνάρτηση g, [, τότε g, για κάθε, και επειδή g είναι συνεχής στο έχουμε g [, Άρα για κάθε, έχω : g g g, και άρα τελικά, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv v 7 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv ln Ομογενείς v vi ln vii viii i g άρα και για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 78

281 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ln i ln ii ln iii ln iv ln Ομογενείς v 6 8 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα 9 Να αποδείξετε ότι : i H συνάρτηση ημ συν είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ii ημ συν, για κάθε, iii ημ H συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : ln ln Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : 7 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : ln Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : ln 6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : 7 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : ln 8 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : 6 ln 6 9 Να βρείτε τη μονοτονία και το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων : i ln,,] ii ln ln,, iii ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 79

282 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να δείξετε ότι η είναι - και μετά να βρείτε την αντίστροφη της ΠΟΛΥ ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕ ΘΜΤ Αν γνωρίζουμε τη μονοτονία της παραγώγου μιας συνάρτησης :[, ], τότε μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης g, με,, στα διαστήματα [, ] και [, ] με τη βοήθεια του ΘΜΤ για την στα, ] και [, ] [ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνεται μια συνάρτηση, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [, με και για κάθε, Να δείξετε ότι η συνάρτηση g,, είναι γνησίως αύξουσα στο, Λύση : Για κάθε η g είναι παραγωγίσιμη με g Για να δείξω ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, αρκεί να δείξω ότι g για κάθε Θα εφαρμόσω ΘΜΤ για την στο [, ] ή [, ] άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε /,, Όμως, για κάθε Άρα g για κάθε, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται μια συνάρτηση :[, ], η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με για κάθε, Να δείξετε ότι η συνάρτηση g,, είναι γνησίως αύξουσα στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

283 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει τύπο, αλλά δεν χρειάζεται να εξετάσω αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, καθώς δεν επηρεάζει τη μονοτονία της Βρίσκουμε την για και την για Βρίσκουμε το πρόσημο της για και της για Σχηματίζω πίνακα με το πρόσημο της και την μονοτονία της Στην πρώτη γραμμή του πινάκα γραφώ τις ρίζες της = και τα σημεία αλλαγής τύπου της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης :, 6, Λύση : Πρώτα εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο Έχω : 6 7 Άρα η δεν είναι συνεχής στο Για, είναι, Για, είναι 6 6, 6 Άρα τελικά : γν φθίνουσα γν αύξουσα γν φθίνουσα γν αύξουσα Η είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα,] και,] Η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [, και [, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

284 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν μας ζητούν να βρούμε τις τιμές των παραμέτρων ώστε η συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα τότε θέτουμε : αν είναι γνησίως αύξουσα αν είναι γνησίως φθίνουσα να είναι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση ln να είναι γνησίως φθίνουσα στο Λύση : Είναι ln και με : Για να είναι γνησίως φθίνουσα στο θα πρέπει για κάθε να ισχύει για κάθε Για να ισχύει αυτό πρέπει : και, ] [, Επιπλέον άρα τελικά, ] Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο μόνο όταν, ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 66 Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα a στο 67 Ομοίως για τη συνάρτηση : a 9 ώστε να είναι γνησίως αύξουσα στο 68 Ομοίως για τη συνάρτηση : 8 6 ώστε να είναι γνησίως αύξουσα στο 69 Ομοίως για τη συνάρτηση : a ώστε να είναι γνησίως φθίνουσα στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

285 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ισχύει ότι : Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα Για να επιλύσουμε μια εξίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή ή βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα προφανής της εξίσωσης ή αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση ή έχει το πολύ μια ρίζα που είναι η προφανής Υπόδειξη : αν δεν είναι εύκολο να βρω το πρόσημο της, βρίσκω την μετά το πρόσημο της δηλ τη μονοτονία της από εκεί το πρόσημο της άρα τη μονοτονία της ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Έστω ότι έχουμε μια εξίσωση της μορφής, της οποίας έχουμε βρει μια προφανή ρίζα ρ Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική, χωρίς η να είναι γνησίως μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού της Αρκεί η να αλλάζει μονοτονία στο ρ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την εξίσωση ln Λύση : i D,, για κάθε,, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο D, ii ln ln Παρατηρώ ότι, άρα η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα είναι μοναδική 7 Να λύσετε την εξίσωση : ln Λύση : Για κάθε είναι ln ln Έστω ln, D, Έχω να λύσω την εξίσωση ln, παρατηρώ ότι, άρα η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης Για κάθε,, γν αύξουσα γν φθίνουσα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

286 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αν Αν Οπότε είναι για κάθε,,, δηλ η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την 7 Δίνεται η συνάρτηση ln, i Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ii Να λυθεί η εξίσωση : ln Θέμα Γ Πανελλήνιες Λύση : i ln, και για κάθε, αφού ισχύει για κάθε, καθώς και Άρα για κάθε, δηλ η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε ln 6 ln ln ln 6 ln ii ln ln ή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i 6ln ii iii ln 7 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i ii ln iii 7 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την εξίσωση ln 76 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii ln Να λύσετε την εξίσωση " " ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

287 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Για να επιλύσουμε μια ανίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση οπότε η ανίσωση έχει τη μορφή ή αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα προφανής της εξίσωσης ή έτσι η ανίσωση γίνεται εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της για να λύσουμε την ανίσωση που προέκυψε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 77 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση 6 iii Να λύσετε την ανίσωση 6 Λύση : i D, για κάθε, άρα η είναι γνησίως αύξουσα ii iii στο D Παρατηρώ ότι, άρα από έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα , έχω 6, ή, Επειδή θέλω 6,, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 78 Δίνεται η συνάρτηση 7 i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση 7 iii Να λύσετε την ανίσωση 79 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις : i ln ii iii 7 7 ln

288 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι : Λύση : i D,,, ή, ii γν αύξουσα γνφθινουσα γν αύξουσα Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [,] iii Πρέπει να αποδείξω ότι ισχύει η σχέση : Τα,, στο οποίο η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα θα ισχύει : ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής : g ή g, με εργαζόμαστε ως εξής : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση h g μελετάμε την h ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω ιδιότητες για την κατάλληλη τιμή του α μας οδηγούν στη ζητούμενη ανισότητα : a h h a ή a h h h h a 8 Να αποδείξετε ότι : ln, για κάθε, Λύση : Για κάθε, έχουμε ln ln Έστω ln με, Θα δείξουμε ότι για κάθε, ή, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 86

289 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για γν αύξουσα γνφθινουσα Για Συνεπώς για κάθε, ισχύει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισώσεις : i ln, για κάθε >, ii ln, για κάθε, 8 Να αποδείξετε ότι : i H συνάρτηση ημ εφ,, είναι γνησίως αύξουσα ii ημ εφ, για κάθε, 8 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Αν, να αποδείξετε ότι ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Δίνεται συνάρτηση :, με και ln για κάθε Να δείξετε ότι : ln για κάθε Λύση : ln Για κάθε έχουμε : ln ln ln ln ln ln Έστω η συνάρτηση g ln, Τότε ισχύει : g για κάθε άρα g, Οπότε για g g g g ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 87

290 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 86 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και για κάθε i Να αποδείξετε ότι ln για κάθε ii Να λύσετε την εξίσωση ln 87 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε και Να δείξετε ότι για κάθε Θέμα ο Επαναληπτικές ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F c ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 88 Δίνεται συνάρτηση : με 7 και Να λύσετε : i την εξίσωση : 6 ii την ανίσωση : 6 Λύση : i Έστω F 6, Έχω να λύσω την εξίσωση 6 F παρατηρώ ότι F 6, δηλ έχω να λύσω την εξίσωση F F F αρκεί νδο F F :" " Είναι : F 6, Άρα : για F και F συνεχής στο ως πράξεις συνεχών, άρα F F :" " F" " Τελικά F F F ii 6 6 F F F F 89 Δίνεται συνάρτηση, i Να μελετήσετε τις συναρτήσεις και ως προς τη μονοτονία, όταν [, ii Να λυθεί η εξίσωση : Θέμα Γ Πανελλήνιες 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 88

291 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Λύση : i, η είναι παραγωγίσιμη για κάθε με Το πρόσημο της εξαρτάται μόνο από το ή που ισχύει για κάθε Άρα : Άρα,] και [, καθώς γν φθίνουσα γν αύξουσα Ακόμα : η παραγωγίσιμη στο με * για κάθε και το = ισχύει μόνο για, όπου είναι συνεχής, άρα η * για κάθε είναι από πριν και για κάθε ii Έστω h, [,, h παραγωγίσιμη στο [, με : h Για έχουμε h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 89 και h συνεχής στο [, ως πράξεις συνεχών άρα h γνησίως αύξουσα στο [, άρα «-» στο [, Έτσι : h h Καθώς : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : για κάθε και το «=» ισχύει μόνο για 9 Δίνεται συνάρτηση : με και Να λύσετε : i την εξίσωση : ii την ανίσωση : iii την εξίσωση : 9 Δίνεται συνάρτηση, i Να μελετήσετε τις συναρτήσεις και ως προς τη μονοτονία ii Να λυθεί η εξίσωση : iii Να λυθεί η ανίσωση :

292 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΡΙΖΑ Η ΜΙΑ ΑΚΡΙΒΩΣ ΡΙΖΑ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει : Το πολύ μια ρίζα, αρκεί να δείξουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη Το πολύ δυο ρίζες, αρκεί να δείξουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Να δείξετε ότι η εξίσωση : ln έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Λύση : ln ln, έστω ln με,, θα δείξω ότι η εξίσωση, Βήμα : Τουλάχιστον Θ Bolzano για την στο [,] Η είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνέχων, ln ln, άρα Από Θ Bolzano η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [,] Βήμα : Το πολύ ln γιατί το τριώνυμο έχει, άρα ισχύει Δηλαδή για κάθε D, και η είναι γνησίως αύξουσα στο D, Άρα η ρίζα από το Θ Bolzano είναι μοναδική έχει ακριβώς μια ρίζα στο 9 Δίνεται η συνάρτηση ln,, i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 έχει ακριβώς μια ρίζα iii Να λυθεί η εξίσωση Λύση : i Είναι, και για κάθε, Άρα, ii H είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο,, άρα *, *, ln Το και ln 7, άρα η εξίσωση 7 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, και επειδή, θα είναι και μοναδική iii Έχουμε να λύσουμε την εξίσωση ln Παρατηρούμε ότι, άρα η είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης, και επειδή, θα είναι και μοναδική ΕΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑ Για να δείξω ότι η εξίσωση έχει ακριβώς ρίζα δείχνω πρώτα ότι έχει τουλάχιστον ρίζα με προφανή ή με Βolzano ή με σύνολο τιμών κτλ και μετά ότι η είναι γνησίως μονότονη D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

293 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα Δ i ln ii στο Δ=, iii ln στο Δ=, iv στο, 9 Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μια το πολύ ρίζα i * ii, 96 Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα Δ i ln στο Δ=, ii, στο 97 Έστω η συνάρτηση ln Να αποδείξετε ότι υπάρχει εν μόνο σημείο Μ της C με τετμημένη, ώστε η εφαπτομένη της C σ αυτό το σημείο να είναι παράλληλη στον άξονα ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 98 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία Λύση : Έχω : Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμες, ομοίως και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της και έχω : για κάθε, και η είναι συνεχής στο, άρα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 99 Έστω η συνάρτηση : η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει για κάθε i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii Να λυθεί η εξίσωση : ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

294 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 8 για κάθε i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, iii Να λύσετε την ανίσωση : ln Δίνεται μια συνάρτηση, ορισμένη στο R, με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις : και για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα iii Έστω η συνάρτηση g Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g, στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία Πανελλήνιες Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει :, για κάθε i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την εξίσωση : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : και για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να λύσετε την εξίσωση : Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 g και και g, για κάθε i Να βρείτε τους τύπους των και g, ii Να μελετήσετε τη συνάρτηση h g ως προς τη μονοτονία iii Να λύσετε την ανίσωση : [ln ] Δίνεται συνάρτηση :[, για την οποία ισχύουν, και για κάθε [, i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει,, ώστε : 6 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε και i Να βρείτε τον τύπο της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii ln ln Να λύσετε την ανίσωση :

295 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ;, Απάντηση : α Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, y 9 όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε : για A, κάθε A, Το λέγεται θέση ή C σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το τοπικό μέγιστο της O β Μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε :, για κάθε A, Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το τοπικό ελάχιστο της a y β C O a β Σχόλια : Αν η ανισότητα ισχύει για κάθε A, τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο, η παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το Αν η ανισότητα ισχύει για κάθε A, τότε, όπως είδαμε στην παράγραφο, η παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων Το μέγιστο και το ελάχιστο της λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής Για παράδειγμα, η συνάρτηση y, αν, αν C παρουσιάζει: i στο τοπικό ελάχιστο, το, το οποίο είναι και ολικό ελάχιστο και O ii στο τοπικό μέγιστο, το Η συνάρτηση αν και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, εντούτοις δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

296 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο Σχα y y O a ma min a O β β Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα Σχ β Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης Σχ α ΘΕΩΡΗΜΑ Frmat,, Β μόνο διατύπωση, 6 Β 6 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι : Απόδειξη : Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε:, και, για κάθε, Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, αν,, τότε, λόγω της, θα είναι αν,, τότε, λόγω της, θα είναι Έτσι, από τις και έχουμε Γεωμετρική ερμηνεία :, οπότε θα έχουμε, οπότε θα έχουμε Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη Αν η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο, και είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η εφαπτομένη της παράλληλη στον άξονα C στο σημείο είναι, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

297 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 α Ποια λέγονται κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Β β Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : α Κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ λέγονται τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ, στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν β Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακοτάτων μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται Τα άκρα του Δ αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της Τα άκρα των κλειστών διαστημάτων 8 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής i Αν στο, και στο,, τότε το είναι τοπικό μέγιστο της 6 ii Αν στο, και στο,, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της iii Aν η διατηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο, Β Απόδειξη : i Επειδή για κάθε, και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο, ] Έτσι έχουμε, για κάθε, ] Επειδή για κάθε, και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, Έτσι έχουμε:, για κάθε [, y > < y > < a O a β O a β Επομένως, λόγω των και, ισχύει:, για κάθε,, που σημαίνει ότι το είναι μέγιστο της στο, και άρα τοπικό μέγιστο αυτής ii Εργαζόμαστε αναλόγως ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 96

298 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii Έστω ότι, για κάθε,, y > y > γ > > O a β O a β Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα, ] και [, Επομένως, για ισχύει Άρα το δεν είναι τοπικό ακρότατο της Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, Πράγματι, έστω,, με Αν,, ], επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο, ], θα ισχύει Αν, [,, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [,, θα ισχύει Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο, Ομοίως, αν για κάθε,, Παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση που είναι ορισμένη στο Η είναι παραγωγίσιμη στο, με Οι ρίζες της είναι διπλή ή, το δε πρόσημο της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: ΟΕ Σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, ], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, και παρουσιάζει ένα μόνο τοπικό ακρότατο, συγκεκριμένα ολικό ελάχιστο για, το 7 Παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση,, Η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο { }, με :,, y O C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 97

299 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Οι ρίζες της είναι οι και ΤΜ ΤΕ Επειδή η μηδενίζεται στα σημεία και, ενώ δεν υπάρχει στο, τα κρίσιμα σημεία της είναι οι αριθμοί, και Όμως, όπως φαίνεται στο σχήμα, τα σημεία και είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων, ενώ το σημείο δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιμα σημεία θέσεις τοπικών ακροτάτων της Σχόλια : Οπως είδαμε στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος στην πρώτη περίπτωση το είναι η μέγιστη τιμή της στο α, β, ενώ στη δεύτερη περίπτωση το είναι η ελάχιστη τιμή της στο α, β Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα κλειστό διάστημα [ α, β], όπως γνωρίζουμε Θεώρημα 8, η παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της Υπολογίζουμε τις τιμές της στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 98

300 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Frmat Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε : Οι πιθανές θέσεις που μπορεί να παρουσιάσει ακρότατα μια συνεχής συνάρτηση είναι : Τα σημεία που η παράγωγος της είναι ίση με Τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν είναι παραγωγίσιμη συνήθως τα σημεία αλλαγής τύπου δικλαδης συνάρτησης Τα άκρα των κλειστών διαστημάτων που περιέχονται στο πεδίο ορισμού της Αν πχ το πεδίο ορισμού της είναι [α,β] και η είναι γνησίως αύξουσα τότε : a τοπικό ελάχιστο στο α το α b τοπικό μέγιστο στο β το β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση a, να παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο το - Λύση : Έχω : a με D και a a το είναι εσωτερικό του D η παρουσιάζει ακρότατο στο η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : 6 Επίσης επειδή η παρουσιάζει ακρότατο στο το -, είναι Από και έχω : 9 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 99

301 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση a, να παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία και Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση a ln, να παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία και Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση a, να παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο το = - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Η ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν έχει ακρότατα τότε δουλεύουμε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Υποθέτουμε δηλαδή ότι παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο οπότε από Θ Frmat ισχύει από όπου καταλήγουμε σε άτοπο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται παραγωγισιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : Λύση : Έχω : για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα Έστω ότι η παρουσιάζει ακρότατο στο και η είναι παραγωγίσιμη στο, άρα από Θ Frmat ισχύει : Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισιμων, ομοίως και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της και έχω : Στη για έχω : αδύνατη Άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα 7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ακρότατα 6 για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν έχει 8 Δίνεται η συνάρτηση με,, Αν ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

302 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΟΙΣΟΤΗΤΑ FERMAT ΚΡΥΦΟ FERMAT Όταν μας δίνεται δεδομένη μια ανισότητα της μορφής g για κάθε, τότε : ον μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και έχουμε : g για κάθε ον θεωρούμε συνάρτηση h g,, οπότε h, ον βρίσκουμε ένα για το οποίο ισχύει h, οπότε έχουμε : h h, ον άρα η παρουσιάζει μέγιστο στο και αν ισχύουν οι υποθέσεις του h Θ Frmat έχουμε : h ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει ότι : ln για κάθε Να αποδείξετε ότι α= Λύση : Για κάθε είναι ln ln Έστω ln,, με Η γίνεται ln όμως παρατηρούμε ότι Άρα για κάθε : Επομένως : η παρουσιάζει μέγιστο στο, το είναι εσωτερικό του η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : Δίνεται η συνάρτηση ln,, όπου και Αν για κάθε, να αποδείξετε ότι Θέμα ο Πανελλήνιες 9 Λύση : Είναι ln,, και ln Για κάθε είναι όμως παρατηρούμε ότι Άρα για κάθε : Επομένως : η παρουσιάζει ελάχιστο στο, το είναι εσωτερικό του, η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : ln ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : a Αν για κάθε > ισχύει ln a, να βρείτε το α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

303 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : ln, για κάθε Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο της Α, Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει :, για κάθε Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο της Α, Αν για τη συνάρτηση ln, ισχύει για κάθε >, να βρείτε το α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω :, μια συνάρτηση, με [, ] και [,] Αν επιπλέον ισχύει, και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Λύση : Η είναι συνεχής στο [, ], άρα σύμφωνα με το ΘΜΕΤ έχει μέγιστο και ελάχιστο Όμως [,] για κάθε [, ] Όμως, άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα, του [,] Δηλαδή η παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο σε εσωτερικά σημεία του [,] Έστω,, με τα σημεία που η παρουσιάζει ακρότατα μέγιστο και ελάχιστο Τότε : η παρουσιάζει ακρότατα στα, τα, είναι εσωτερικά του [, ] η είναι παραγωγίσιμη στα, Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘFrmat οπότε : Επομένως για να δείξω ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε, θα εφαρμόσω ΘRoll για την στο [, ] η είναι συνεχής στο [, ] η είναι παραγωγίσιμη στο, Επομένως από ΘRoll υπάρχει, τέτοιο, ώστε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Έστω :, μια συνάρτηση, με [,] και [,] Αν επιπλέον ισχύει, και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

304 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Για να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της ii Βρίσκουμε την ' χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης iii Λύνουμε την εξίσωση ' iv Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της στον οποίο πρέπει να περιέχονται το ΠΟ της καθώς και οι ρίζες της v Βρίσκουμε το πρόσημο της ' είτε λύνοντας τις ανισώσεις ' και ' είτε βρίσκοντας το πρόσημο μιας τιμής της ' σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της vi Συμπληρώνουμε το είδος της μονοτονίας της ανάλογα με το πρόσημο της ' Ισχύει : Αν ' τότε η γνησίως αύξουσα Αν ' τότε η γνησίως φθίνουσα i Αν η ' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της ', τότε η παρουσιάζει ακρότατο ii Αν η δεν έχει ρίζες, διαστήματα μονοτονίας είναι τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i 6 ii 9 7 iii iv ln Λύση : i 6, D, 6, γν ΟΕ γν αύξουσα φθίνουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις, δηλ δεξιά του ομόσημο του α δηλ του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε,] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα D

305 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii 9 7, D, 6 9, γν γν αύξουσα ΤΜ φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες ανισώσεις, δηλ όταν Δ> και η εξίσωση έχει ρίζες, τότε για τα πρόσημα ισχύει ότι εντός των ριζών είναι ετερόσημο του α δηλ του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, το iii,,, D γν ΟΕ γν αύξουσα φθίνουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι + Με τη βοήθεια αυτών Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το, ή, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

306 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ln ln iv, D,,, ln ln ln ln ln γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και ln ln ln ln ln ln Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i 6 ii iii iv v vii 9 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i 6 9 ii iii 6 iv v Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i ii 7 iii iv ά ln ln ln ln ln ln 6 v ln vi ln8 vii ln ά 7 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

307 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ viii i ln ln Δίνεται η συνάρτηση Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δίνεται η συνάρτηση g i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της g ii Για τη συνάρτηση να αποδείξετε ότι g και ότι δεν υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη στη καμπύλη της Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο αντίστοιχο διάστημα οι παρακάτω συναρτήσεις : i στο [,] ii στο [-,] iii 7 στο [,] iv ln στο[,] v 6 vi vii Δίνετε η συνάρτηση 9,, Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ, αν είναι γνωστό ότι το τοπικό ελάχιστο της είναι αντίθετο από το τοπικό της μέγιστο 6 Δίνεται η συνάρτηση,, Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου λ, αν είναι γνωστό ότι το τοπικό μέγιστο της είναι τριπλάσιο από το τοπικό ελάχιστο 7 Δίνεται η συνάρτηση : 6, με, Η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι 98 i Να αποδείξετε ότι 6 και ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα -, ΕΣΠΕΡΙΝΑ 8 Δίνεται η συνάρτηση g ln i Να βρείτε το ελάχιστο της g ii ln g Για τη συνάρτηση να δείξετε ότι και ότι η δεν έχει ακρότατα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

308 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει τύπο, αλλά δεν χρειάζεται να εξετάσω αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, καθώς δεν επηρεάζει τη μονοτονία της Βρίσκουμε την για και την για Βρίσκουμε το πρόσημο της για και της για Σχηματίζω πίνακα με το πρόσημο της και την μονοτονία της Στην πρώτη γραμμή του πινάκα γραφώ τις ρίζες της = και τα σημεία αλλαγής τύπου της ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης :, 6 7, Λύση : Πρώτα εξετάζουμε αν η είναι συνεχής στο Έχω : 6 7 Άρα η είναι συνεχής στο Για, είναι, Για, είναι 6 7 6, 6 Άρα τελικά : γν γν φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα ΤΜ ΤΕ γν αύξουσα φθίνουσα Η είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, ] και [, ] Η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [,] και [, Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο το 7 και στο το Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο το ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις :,, i ii 6 7, 8, iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

309 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το, δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε το θα είναι και η μοναδική ρίζα και για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : είναι Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το, δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε το θα είναι και η μοναδική ρίζα και για κάθε είναι Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση Λύση : i ln με D,, έχω ln ln ln ln ln ln ln γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα ln ln ln ln ln ln ln ln Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το ln ii Από το i ισχύει ότι άρα η είναι λύση της εξίσωσης και επειδή η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το, η είναι και μοναδική λύση της εξίσωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση iii Αν ισχύει, να βρείτε τα α,β Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να λύσετε την εξίσωση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

310 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΠΡΟΣΗΜΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, τότε ισχύει ότι για κάθε Αν μια συνάρτηση : παρουσιάζει ολικό μέγιστο, τότε ισχύει ότι για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να βρείτε το πρόσημο της ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα Λύση : i Έχω : με D, έχω Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το Άρα ισχύει για κάθε D, οπότε και για κάθε D ii Έχω : g με, επίσης έχω : g για κάθε D ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : g άρα είναι γνησίως αύξουσα 6 Δίνεται η συνάρτηση Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της Στη συνέχεια να μελετήσετε τη ως προς τη μονοτονία γν ΟΕ γν αύξουσα φθίνουσα 7 Δίνεται η συνάρτηση ln Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της D g g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

311 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ln είναι γνησίως φθίνουσα 9 i Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της ii Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση και να βρείτε το πρόσημο της iii Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν κοινή εφαπτόμενη ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9Α : ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο όταν για κάθε σε μια περιοχή του Αντίστοιχα μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο όταν για κάθε Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο όταν για κάθε σε μια περιοχή του Αντίστοιχα μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο όταν για κάθε Αν θέλω να αποδείξω ότι ισχύει μια ανισότητα της μορφής g : ον Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος ον Θεωρούμε το πρώτο μέλος συνάρτηση h g ον Βρίσκω τη μονοτονία της h και την εφαρμόζω στο αντίστοιχο διάστημα ώστε να αποδεδειχθεί η ανίσωση ή ον Βρίσκουμε το ολικό μέγιστο ή ελάχιστο της h ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση ln i Να βρείτε τα ακρότατα της ii Να αποδείξετε ότι : ln για κάθε Λύση : i D,,,, ή, απορρίπτεται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

312 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα, * Επειδή όμως πρέπει, άρα,,, * Επειδή όμως πρέπει, άρα, *Για την ανίσωση, έχω Άρα η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ii Επειδή η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το, τότε ισχύει : ln ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες για τις διάφορες τιμές του i για ii για iii ln για iv ln για χ> v ln για vi για υπόδειξη : αν δεν είναι εύκολο να βρω το πρόσημο της, βρίσκω την μετά το πρόσημο της δηλ τη μονοτονία της από εκεί το πρόσημο της άρα τη μονοτονία της Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες για τις διάφορες τιμές του i για ii για χ< iii ln για χ> iv ln για χ> v για χ> υπόδειξη : πρώτα λογαριθμίζω και τα μέλη Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε τα ακρότατα της ii Να αποδείξετε ότι :, για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

313 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ v * Δίνεται η συνάρτηση, v N, i Να βρείτε τα ακρότατα της ii v v v * Να αποδείξετε ότι : v, v N, ln Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε τα ακρότατα της ii Να αποδείξετε ότι :, για κάθε 6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ln i τη συνάρτηση ii Έστω :, μια συνάρτηση με, η οποία είναι συνεχής και ισχύει ln, Να βρείτε τον τύπο της 7 Έστω : μια συνάρτηση με, η οποία είναι συνεχής και ισχύει, Να βρείτε τον τύπο της 8 Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του για την οποία ισχύει : για κάθε 9 Δίνεται η συνάρτηση : ln, i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, όπου η θέση ελαχίστου της iii Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει : ln για κάθε iv Για την τιμή του λ που βρήκατε, να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g ln Δίνεται η συνάρτηση :, i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του λ για την οποία ισχύει : για κάθε iii Για την τιμή του λ που βρήκατε, να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

314 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9Β : ΒΑΣΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ln Η ανισότητα ln ισχύει για κάθε και μπορούμε να τη χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη για να βρίσκουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης Στην παραπάνω ανισότητα το = ισχύει μόνο για Όπως μπορούμε να δούμε στην παρακάτω γραφική παράσταση, ισχύει ακόμα η παρακάτω ανίσωση χρειάζεται απόδειξη : ln για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να δείξετε ότι ln για κάθε Λύση : Αρκεί να δείξουμε ότι ln για κάθε Έστω ln, Έχουμε,, Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα, την Η μονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: y O y= y=ln + + επειδή η για παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε, ισχύει: ln ln Η ισότητα ισχύει μόνο όταν min Να δείξετε ότι : i ln για κάθε ii για κάθε iii για κάθε iv για κάθε Λύση : i Είναι ln για κάθε Επίσης για κάθε, τελικά : ln για κάθε ii Είναι ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για Άρα για κάθε καθώς για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

315 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii Είναι ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για iv ln Είναι ln για κάθε Άρα ln, Επίσης γνωρίζουμε ότι : για κάθε και το = ισχύει μόνο για Άρα για είναι Τελικά για κάθε είναι : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : ln ln Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : 6 Να αποδείξετε ότι : i ln, ii, iii, 7 Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και ισχύει για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 8 Να λύσετε τις εξισώσεις : i ln ii ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

316 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗΣ = ΕΥΡΕΣΗ ΠΛΗΘΟΥΣ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ Για να βρούμε το πλήθος ριζών της ον Βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της,,,, και μετά τα αντίστοιχα σύνολα τιμών : ον,,, Αν, τότε στο η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα ον Αν, τότε στο η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα Ομοίως αν έχω την εξίσωση =κ ον Αν, τότε στο η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα ον Αν, η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Έστω οι συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το ΙR Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είναι - i Να δείξετε ότι η g είναι - ii Να δείξετε ότι η εξίσωση : g g έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα ο Θέμα Πανελλήνιες Λύση : i Έστω, D g με g g g g g g Άρα η g είναι - g '' ii g:' ' g g Έστω h, θα δείξω ότι η εξίσωση h έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα h, με D, h h h h γν αύξουσα ΤΜ h γν φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : h για κάθε,, άρα η h γνησίως αύξουσα στο, ] και στο [, h για κάθε, άρα η h γνησίως φθίνουσα στο [, ] Η h γνησίως αύξουσα και συνεχής στο, ] άρα h h, h ], h, h Άρα h,] Το h άρα η εξίσωση h έχει ακριβώς μια ρίζα στο, ] που είναι αρνητική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

317 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η h γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [,] άρα h [ h, h ] [,], Το h άρα η εξίσωση h έχει ακριβώς μια ρίζα στο [,] σε αυτή τη ρίζα δεν γνωρίζω το πρόσημο, μπορεί να είναι αρνητική αν ανήκει στο, ή θετική αν ανήκει στο, Η h γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [, άρα h [ h, h, h, h Άρα h [, Το h άρα η εξίσωση h έχει ακριβώς μια ρίζα στο [, που είναι θετική Το μόνο που απομένει είναι να δείξω ότι ρίζα του [,] είναι θετική, δηλαδή πρέπει να δείξω ότι ανήκει στο διάστημα, Θ Bolzano για την h στο [,] Η h είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική, h, h άρα h h από Θ Bolzano η εξίσωση h έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Δηλαδή η ρίζα του [,] είναι θετική και τελικά η εξίσωση h έχει ακριβώς δυο θετικές και μια αρνητική ρίζα ln, 6 Δίνεται η συνάρτηση, i Με δεδομένο ότι η είναι συνεχής στο, να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α ο Θέμα Πανελλήνιες 8 Λύση : i Για κάθε έχουμε ln ln, ln ln ln ln ln ln γνφθινουσα οε γν αύξουσα Άρα για, και συνεχής στο, άρα για, δηλ,, Για το σύνολο τιμών έχουμε : γν φθίνουσα και συνεχής στο,, άρα,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

318 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ γν αύξουσα και συνεχής στο,, άρα καθώς,, ln Τελικά το σύνολο τιμών είναι :, ii Για κάθε είναι : ln ln ln ln Άρα έχουμε να βρούμε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωση για όλες τις πραγματικές τιμές του α Tο σύνολο τιμών είναι : αν, τότε η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα αν, τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα αν τότε η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα την, καθώς στο η παρουσιάζει ελάχιστο το αν τότε η εξίσωση ln ή ln ή έχει ακριβώς μια ρίζα την ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε : i Τη μονοτονία της ii Το σύνολο τιμών της iii Το πλήθος ριζών της = 6 Να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων : ii 6 iii 6 Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση να έχει μια ακριβώς ρίζα στο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

319 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Για τις διάφορες τιμές του α να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : 6 Για τις διάφορες τιμές του α να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : 66 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισμού της 67 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισμού της 68 Δίνεται η συνάρτηση ln - i Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της ο Θέμα Πανελλήνιες 6 69 Δίνεται συνάρτηση, i Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ii Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του, για την οποία ισχύει, για κάθε iii Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα ii να αποδείξετε ότι η ευθεία : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g 7 Δίνεται συνάρτηση ln, i Να βρείτε την μέγιστη τιμή της ii Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του, για την οποία ισχύει ln, για κάθε, iii Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα ii να αποδείξετε ότι η ευθεία : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g ln π 7 Δίνεται η συνάρτηση= ημ θ όπου θ ε IR μια σταθερά με θ κπ+, κ ε Z i Να αποδειχθεί ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο ii Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση = έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες ο Θέμα Πανελλήνιες 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

320 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι η έχει δυο, ακριβώς, τοπικά ακρότατα, και στη συνέχεια να βρείτε το είδος τους Λύση : Αρχικά πρέπει που ισχύει για κάθε Αυτό αποδεικνύεται από τη βασική ανισότητα : ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για Άρα για κάθε καθώς για κάθε Τελικά και Για να δείξω ότι η έχει δυο, ακριβώς, τοπικά ακρότατα, αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δυο ρίζες όπου και αλλάζει το πρόσημο της Έστω g, Επειδή για κάθε, αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση g έχει ακριβώς δυο ρίζες εύρεση πλήθους ριζών για τη g g, g + g g + - γν αύξουσα ομ γνφθίνουσα Άρα για, και συνεχής στο, άρα για, δηλ g, g g, g Για το σύνολο τιμών έχουμε : γν αύξουσα και συνεχής στο, άρα g g g g, g καθώς DLH Άρα : g,, το g,, άρα η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα, τέτοιο ώστε g g γν φθίνουσα και συνεχής στο [,, άρα g g, g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

321 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g ] Άρα : g,, το g, ], άρα η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο [, Δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα [, τέτοιο ώστε g Τελικά έχουμε : Αν, Τότε για κάθε : g g g g g g g g Αν, Τότε για κάθε : g g g g g g g g γν φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα γν αύξουσα ΤΜ γν φθίνουσα Τελικά όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα η παρουσιάζει ακριβώς δυο τοπικά ακρότατα, στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Δίνεται η συνάρτηση με Να δείξετε ότι η έχει ακριβώς ένα τοπικό ακρότατο, και στη συνέχεια να βρείτε το είδος του 7 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,, τέτοιο, ώστε η να παρουσιάζει ελάχιστο ln 7 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,, τέτοιο, ώστε η να παρουσιάζει ελάχιστο και στη συνέχεια ότι η ελάχιστη τιμή της είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

322 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Για να υπολογίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i Αν το πρόβλημα έχει γεωμετρική φύση, κατασκευάζουμε το σχήμα ii βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους που αναφέρεται το ακρότατο Αν η συνάρτηση περιέχει δυο μεταβλητές, βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει από την εκφώνηση του προβλήματος ή από το σχήμα και αντικαθιστούμε τη μια συνάρτηση της άλλης iii Από την εκφώνηση του προβλήματος βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή, οι οποίοι καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης iv Τέλος κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακρότατων της συνάρτησης, απ όπου προκύπτει και το αποτέλεσμα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 76 Θέλουμε να τυπώσουμε σελίδες εμβαδού 8cm έτσι, ώστε τα περιθώρια του κειμένου να είναι cm πάνω και κάτω και cm δεξιά και αριστερά Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει κάθε σελίδα, ώστε το κείμενο να καταλαμβάνει τον μεγαλύτερο δυνατό χώρο της σελίδας Λύση : Έστω ότι οι διαστάσεις της σελίδας είναι,y Τότε θα είναι 8 ί 8 y 8 y Οι διαστάσεις του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι ή και ύ y y 6 Άρα το εμβαδόν του χώρου που καταλαμβάνει το κείμενο είναι : y 6 Ψάχνουμε τις τιμές των,y ώστε το να γίνεται μέγιστο έ έ έ Το πεδίο ορισμού προκύπτει ως εξής : το μικρότερο μήκος είναι min Για να βρω τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το μήκος θα πρέπει να λάβω υπόψη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

323 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ότι y 8 y Άρα όσο μεγαλώνει το τόσο μικραίνει το y Άρα το μέγιστο 8 το βρίσκω θέτοντας το μικρότερο y που είναι ymin 6 Άρα 6 ma 6 ma Άρα,6 D έ Θέλω να βρω τις τιμές του για τις οποίες το παίρνει τη μέγιστη τιμή του έ 8 6 6, έ , ή, 6 απορ 6 6 έ έ + - γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα έ ,6 *, όμως D,6 άρα, έ , 6 6, *, όμως D,6 άρα 6,6 *Για την ανίσωση 6, έχω Από το πινακάκι βλέπουμε ότι το παίρνει τη μέγιστη τιμή όταν 6 την 6 6 έ cm 6 8 6cm και y cm 6 Άρα οι ζητούμενες διαστάσεις είναι 77 Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο Π 6 Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι ευρώ Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο ευρώ για κάθε μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος Λύση : Η είσπραξη από την πώληση μονάδων παραγωγής είναι E 6 6 Το κόστος από την παραγωγή μονάδων είναι K Το ολικό κόστος μετά την πληρωμή του φόρου είναι : K Επομένως, το κέρδος της βιομηχανίας είναι έ έ έ έ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

324 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ P E K Έχουμε P 8, οπότε η P έχει ρίζα την 9 Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ στο, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: P ma P Επομένως, το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 9 μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 6 χιλιάδες ευρώ y 78 Να βρεθεί το [, ] έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να έχει μέγιστο εμβαδό Λύση : Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι E AB A 6 Έχουμε E Οι ρίζες της E είναι οι, Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + E E min ma 6 Γ Δ O B, A, y= min Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με και παρουσιάζεται όταν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 79 Να βρείτε το σημείο της ευθείας y = χ- που είναι πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων 8 Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 6 9 η εφαπτομένη έχει τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης; 8 Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ln η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 8 Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης,, η εφαπτομένη έχει τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης; 8 Να βρείτε δυο αριθμούς,y με σταθερό άθροισμα, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

325 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδό τμ να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει τη μικρότερη περίμετρο 8 Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο μ να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν 86 Ένα σύρμα μήκους m κόβεται σε δυο τμήματα με τα οποία σχηματίζουμε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο Να βρείτε τη πλευρά του τετραγώνου και τη διάμετρο του κύκλου, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δυο σχημάτων να είναι ελάχιστο 87 Με συρματόπλεγμα μήκους 8m θέλουμε να περιφράξουμε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν 88 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά cm Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ, i να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του ii να βρείτε το έτσι, ώστε το εμβαδόν E του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο 89 Να βρείτε το σημείο της καμπύλης y που έχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Α, 9 Να βρείτε το σημείο της καμπύλης της που η απόσταση του από το σημείου, να είναι ελάχιστη 9 Ένας ιχθυοκαλλιεργητικής πήρε άδεια να χρησιμοποιήσει μια θαλάσσια περιοχή σχήματος ορθογωνίου την οποία θα περιφράξει με δίχτυ μήκους 6 μέτρων Μόνο οι τρεις πλευρές πρόκειται να περιφραχτούν με δίχτυ i Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε της θαλάσσιας περιοχής που θα περιφραχτεί δίνεται από τον τύπο : 6 υποθέσουμε ii Να υπολογίσετε την τιμή, ώστε το εμβαδόν της περιοχής να γίνεται μέγιστο iii Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού 9 Η τιμή Ρ σε χιλιάδες ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά t 6 δίνεται από τον τύπο : t t i Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του ii Να βρείτε το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του συνεχώς αυξάνεται iii Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μεγίστη iv Να δείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται χωρίς όμως να γίνει μικρότερη από την τιμή του τη στιγμή της εισαγωγής του 9 Δίνεται η συνάρτηση 9 και το σημείο, i Να βρείτε το σημείο Μ της C που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση ii Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Δ Θ A H Ε Ε Γ Ζ B

326 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα t μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α μιας ευθύγραμμης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται t μακρυά από το σημείο Α Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμβήσει με ταχύτητα t/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα t/s i Να αποδείξετε οτι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανού σχήματος ii χρειάζεται χρόνο t Για ποια τιμή του o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του A Κ M t Σ 9 Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος Υποθέτουμε οτι τη χρονική στιγμή t είναι r cm και r cm και ότι για t η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό,cm/s, ενώ η ακτίνα r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, cm/s Να βρείτε: i πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και ii πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου r r 96 Μία ώρα μετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T, Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς, να γίνει μέγιστος 97 Τη χρονική στιγμή t= χορηγείται σε έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του t φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση : t, t t όπου α και β είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετριέται σε ώρες Η μεγίστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ιση με μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου i Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β ii Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική όταν η συγκέντρωση είναι τουλάχιστον ιση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά 98 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι K 6 χιλιάδες δραχμές, Η είσπραξη από την πώληση των μονάδων είναι E χιλιάδες δραχμές Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου, για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο t =,8 cm ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

327 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 99 Το κόστος C της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος από μια βιομηχανία που απασχολεί ν εργάτες δίνεται από τον τύπο : C 9v v σε δεκάδες ευρώ, > Το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος είναι -ν δεκάδες ευρώ Να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον ατόμων Αν δηλώνουν ακριβώς άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε χιλιάδες δραχμές το άτομο Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά δρχ Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε να έχουμε τα περισσότερα έσοδα Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, g σ ένα διάστημα [, ] Το σημείο, είναι το σημείο στο οποίο η καρακόρυφη απόσταση μεταξύ των C και C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C και C g στα σημεία A, και, g είναι παράλληλες g y ξ gξ O Α Β C C g α ξ β Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια Αν η περίμετρος του στίβου είναι m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου μέρους να γίνει μέγιστο E Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ φαίνεται στο διπλανό σχήμα i Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής ΑΒΓΔ είναι ίσο με ημ συν ii Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται; Δ m θ Α m Β Γ m θ Ένας εργολάβος επιθυμεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόμο που συνδέει δύο εργοστάσια E και E τα οποία βρίσκονται σε απόσταση km και εκπέμπουν καπνό με Ε Σ Ε παροχές Ρ και 8 P αντιστοίχως Αν km η πυκνότητα του καπνού σε μια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση από το εργοστάσιο E πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στη μονάδα του χρόνου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

328 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ΟΡΙΣΜΟΣ 6,, Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Σχόλιο : Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση είναι κυρτή αντιστοίχως κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω αντιστοίχως πάνω από τη γραφική της παράσταση Σχ 9, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους ΘΕΩΡΗΜΑ Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά τα κοίλα και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της Απάντηση : Έστω μια συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αν για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι κυρτή στο Δ Αν για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι κοίλη στο Δ Σχόλιο : Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση Σχ Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο R, η είναι κυρτή στο R Εντούτοις, η δεν είναι θετική στο R, αφού y y= O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

329 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Πότε το σημείο, λέγεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης ; Απάντηση : Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η είναι κυρτή στο, και κοίλη στο,, ή αντιστρόφως, και η C έχει εφαπτομένη στο σημείο,, τότε το σημείο, ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της Σχόλιο : Όταν το A, είναι σημείο καμπής της C, τότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο καμπή και το λέγεται θέση σημείου καμπής Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C διαπερνά την καμπύλη ΘΕΩΡΗΜΑ Ποιο θεώρημα αφορά τα σημεία καμπής μιας δυο φορές παραγωγίσιμης συνάρτησης ; Απάντηση : Αν το, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι: iτα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η μηδενίζεται iiτα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η Μέθοδος Κριτήριο : Πως καταλήγουμε στο ποιες από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης αποτελούν τελικά σημεία καμπής της ; Απάντηση : Έστω μια συνάρτηση oρισμένη σ ένα διάστημα, και, Αν η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και ορίζεται εφαπτομένη της C στο A,, τότε το A, είναι σημείο καμπής της C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

330 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΚΥΡΤΩΝ ΚΟΙΛΩΝ & ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΜΠΗΣ i Βρίσκω το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii Βρίσκω την iii Λύνω την εξίσωση και iv Κάνω πίνακα με το πρόσημο της κυρτότητα της και βρίσκω τα πρόσημα της, στον οποίο θα συμπληρώσουμε την v Σε κάθε ένα από τα διαστήματα i στα οποία χωρίζεται το πο της από τις ρίζες της, ισχύει ότι : Αν στο εσωτερικό του τότε η είναι κυρτή στο συμβ Αν στο εσωτερικό του τότε η είναι κοίλη στο συμβ vi Αν η κυρτότητα της αλλάζει σε ένα σημείο, δηλαδή αν η αλλάζει πρόσημο στο, τότε η έχει σημείο καμπής στο i i i i ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής i ii, iii, Λύση : i, με,, D έχω : 6 6 ή ΣΚ + Η είναι κοίλη στο,], κυρτή στο [, και έχει σημείο καμπής το,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

331 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii με,, D, έχω : ΣΚ + Για τα πρόσημα της έχω : Άρα όπως φαίνεται και από το πινακάκι η είναι κοίλη στο,], κυρτή στο [, και έχει σημείο καμπής το,, iii,, Για,, 6, 6 Για,, 6, 6 6, 6 6 Θα εξετάσουμε αν η έχει εφαπτομένη στο, δηλαδή αν η είναι παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμη στο άρα η είναι ΣΚ ΣΚ + Άρα όπως φαίνεται και από το πινακάκι η είναι κοίλη στο,] και στο [,, κυρτή στο [,] και έχει σημεία καμπής τα,, και,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

332 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών κοίλων και τα σημεία καμπής των συναρτήσεων i ii iii iv Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών κοίλων και τα σημεία καμπής των συναρτήσεων i ii iii iv Να βρεθούν τα διαστήματα κυρτών κοίλων και τα σημεία καμπής των συναρτήσεων i ii ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ 79 Β ομάδας σχολικού βιβλίου Έστω μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι η δεν έχει σημεία καμπής Λύση : Η δυο φορές παραγωγίσιμη άρα παραγωγίζω και τα δυο μέλη της και έχω : παραγωγίζω και τα δυο μέλη της και έχω : Έστω ότι η έχει σημείο καμπής στη θέση, δηλ το σημείο σημείο καμπής, και η δυο φορές παραγωγίσιμη άρα ισχύει :, στην για έχω : που είναι άτοπο, άρα η δεν έχει σημεία καμπής 6 ln ln, 6,, 9, 6,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Η ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Για να δείξω ότι η συνάρτηση δεν έχει σημεία καμπής, υποθέτω ότι υπάρχει που είναι θέση σημείο καμπής, οπότε αν η είναι και δυο φορές παραγωγίσιμη, από Θεώρημα σελ 7 θα ισχύει και με συνεπαγωγές καταλήγω σε άτοπο

333 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται η συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει ότι : για κάθε όπου Να αποδείξετε ότι η C δεν έχει σημεία καμπής 7 Έστω μια συνάρτηση :, η οποία είναι φορές παραγωγισιμη και ισχύει για κάθε, Να αποδείξετε ότι η δεν παρουσιάζει καμπή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και στο η έχει σημείο καμπής τότε ισχύει : Επειδή όμως αυτή η συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή, πρέπει για κάθε τιμή της παραμέτρου που θα βρούμε, να εξετάσουμε αν πράγματι το είναι θέση σημείου καμπής Έστω η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ Για να είναι: η κυρτή στο Δ αρκεί να ισχύει για κάθε η κοίλη στο Δ αρκεί να ισχύει για κάθε και η ισότητα και στις δυο περιπτώσεις να ισχύει για διακεκριμένες τιμές ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Δίνεται η συνάρτηση με, Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η C να έχει σημείο καμπής το, Λύση :, 6 Η έχει σημείο καμπής στη θέση άρα : Το σημείο καμπής, είναι σημείο της C άρα : 6 και : 6 Τέλος επειδή η συνθήκη για το σκ είναι απαραίτητη όχι όμως και ικανή, πρέπει να ελέγξω αν οι παραπάνω τιμές είναι δεκτές Έχω : 6 6 6, 6 6 6, ή,, ή, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

334 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΚ ΣΚ ΣΚ Άρα όπως φαίνεται και από το πινακάκι η έχει σημείο καμπής στη θέση και άρα οι τιμές των α,β είναι δεκτές 9 Δίνεται η συνάρτηση 6 με Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου α, η συνάρτηση είναι κυρτή στο Λύση : 6, Για να είναι η κυρτή στο, πρέπει να ισχύει για κάθε Άρα, για το τριώνυμο που πρόεκυψε πρέπει να ισχύει : [,] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση με, Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η C να έχει σημείο καμπής το, Δίνεται η συνάρτηση 6 με, Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η C να έχει σημείο καμπής το, Δίνεται η συνάρτηση 6, με Να βρείτε για ποιες τιμές του α η C έχει σημείο καμπής στο Δίνεται η συνάρτηση με,, Να βρείτε τις τιμές των α, β και γ, ώστε η C να έχει στο ακρότατο το και στο να έχει σημείο καμπής 6 Δίνεται η συνάρτηση 9 7 με Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου λ, η συνάρτηση είναι κυρτή στο R Δίνεται η συνάρτηση 6 με Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου λ, η συνάρτηση είναι κοίλη στο R + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

335 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ Αν η συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε η εφαπτομένη : y της C στο, βρίσκεται κάτω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : Αν η συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε η εφαπτομένη : y της C στο, βρίσκεται πάνω από τη C, με εξαίρεση το σημείο επαφής Δηλαδή για κάθε ισχύει ότι : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της, iii Να αποδείξετε ότι ln για κάθε Λύση : i ln, με D,,, για κάθε D,, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο, συνεπώς η είναι κυρτή στο, ii Έστω ε η εφαπτομένη της C στο,, τότε 7 Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη εκτός του σημείου επαφής 8 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της, iii Να αποδείξετε ότι για κάθε 9 Δίνεται η συνάρτηση 6 i Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της, : y y y y iii Η είναι κυρτή στο,, άρα η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη : y, με εξαίρεση το σημείο επαφής, Δηλαδή για κάθε, ισχύει : y ln ln ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : iii Να αποδείξετε ότι για κάθε 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα C

336 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της, iii Να αποδείξετε ότι ln 6 για κάθε Δίνεται η συνάρτηση aln, με Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο της, είναι παράλληλη στην ευθεία : : 8 y i Να βρείτε τον αριθμό α και την εξίσωση της ε ii Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα iii Να αποδείξετε ότι ln για κάθε Δίνεται η συνάρτηση : ln ln i Να δείξετε ότι η είναι κοίλη ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο iii Να δείξετε ότι ln ln για κάθε, iv Να λυθεί η εξίσωση ln στο διάστημα, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΜΠΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση ln Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει δυο, ακριβώς, σημεία καμπής Λύση : Αρχικά πρέπει που ισχύει για κάθε Αυτό αποδεικνύεται από τη βασική ανισότητα : ln για κάθε Αν θέσουμε όπου το, για κάθε, έχουμε : ln, για κάθε, και το = ισχύει μόνο για Άρα για κάθε καθώς για κάθε Τελικά και, Για να δείξω ότι η έχει δυο, ακριβώς, σημεία καμπής, αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δυο ρίζες όπου και αλλάζει το πρόσημο της Έστω g, Επειδή για κάθε, αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση g έχει ακριβώς δυο ρίζες εύρεση πλήθους ριζών για τη g g, g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

337 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ + g g + - γν αύξουσα ομ γνφθίνουσα Άρα για, και συνεχής στο, άρα για, δηλ g, g g, g Για το σύνολο τιμών έχουμε : g γν αύξουσα και συνεχής στο, άρα g καθώς DLH Άρα : g,, το g,, άρα η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο, Δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα, τέτοιο ώστε g g γν φθίνουσα και συνεχής στο [,, άρα g g, g g ] Άρα : g,, το g, ], άρα η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο [, Δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένα [, τέτοιο ώστε g Τελικά έχουμε : Αν, Τότε για κάθε : g g g g g g, g g g g g Αν, Τότε για κάθε : g g g g g g g g κοίλη ΣΚ κυρτή κυρτή ΣΚ κοίλη Τελικά όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα η σημεία καμπής, στο και στο παρουσιάζει ακριβώς δυο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

338 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα στο οποίο συνάρτηση παρουσιάζει καμπή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω μια κυρτή συνάρτηση Να αποδείξετε ότι : i για κάθε ii Λύση : i Αν, τότε όπου ισχύει η ισότητα Αν τότε εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την στα διαστήματα, ΘΜΤ για την στο συνεχής στο παραγωγίσιμη στο Άρα από ΘΜΤ υπάρχει τέτοιο ώστε ln ln ln, :,,,,,,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΘΜΤ

339 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8 ΘΜΤ για την στο συνεχής στο παραγωγίσιμη στο Άρα από ΘΜΤ υπάρχει τέτοιο ώστε Όμως η κυρτή στο, άρα η είναι γνησίως αύξουσα, άρα : Αν η απόδειξη είναι ανάλογη Άρα για κάθε ισχύει : ii Θα εφαρμόσω ΘΜΤ για την στο Η είναι συνεχής στο Η είναι παραγωγίσιμη στο Άρα από ΘΜΤ υπάρχει τέτοιο ώστε Όμως άρα Θα πρέπει να πάρω και στα δυο μέλη της, πρέπει όμως να γνωρίζω τη μονοτονία της Όμως η κυρτή στο, άρα η είναι γνησίως αύξουσα Έτσι η σχέση θα γίνει : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Έστω μια κοίλη συνάρτηση Να αποδείξετε ότι : i για κάθε ii για κάθε,,,,, ], [ ], [,,, : :,

340 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Έστω :[, μια συνάρτηση, η οποία είναι κυρτή Να δείξετε ότι, για κάθε, 7 Έστω μια συνάρτηση :,, η οποία είναι κοίλη Να δείξετε ότι, για κάθε 8 Έστω μια συνάρτηση :[,, η οποία είναι κυρτή και ισχύει και για κάθε Να δείξετε ότι, για κάθε 9 Έστω μια κυρτή συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι : i για κάθε, ii Δίνεται η συνάρτηση ln Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα iii ln ln Να αποδείξετε ότι : ln για κάθε, ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης στο διάστημα [,] Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως St ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα Αν η C παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές και t, να βρείτε: t - y O y= =St =St i Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά ii Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη O t t t t ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

341 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να αποδείξετε ότι ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της, iii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα iv Να αποδείξετε ότι για κάθε v Να αποδείξετε ότι υπάρχει,, ώστε : i Να μελετήσετε τη συνάρτηση ln ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να δείξετε ότι η συνάρτηση g ln ln είναι κυρτή στο, iii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο iv Να δείξετε ότι : ln για κάθε > Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να δείξετε ότι η είναι κοίλη g i Έστω η συνάρτηση ln Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο, ii Να δείξετε ότι υπάρχει στο οποίο η συνάρτηση παρουσιάζει καμπή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

342 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 9 ΑΤΜΠΣΩΣΕ ΚΑΝΟΝΕ DE L HOSPITAL Πσ ζϋη σδ β υγέα έθαδ εααεσλυφβ ατηππβ βμ C ;, πϊθββ : Η υγέα ζϋΰαδ εααεσλυφβ ατηπωβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ, αθ Ϋθα κυζϊξδκθ απσ α σλδα, έθαδ ά Πσ ζϋη σδ β υγέα y l ζϋΰαδ κλδασθδα ατηππβ βμ C κ αθδκέξπμ κ ; 7, 6 πϊθββ : Η υγέα y ζϋΰαδ ολδασθδα ατηπωβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ κ αθδκέξπμ κ, σαθ αθδκέξπμ 6 Πσ β υγέα y ζϋΰαδ ατηπωβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ κ, αθδκέξπμ κ ;,, πϊθββ : Η υγέα y ζϋΰαδ ατηπωβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ κ, αθδκέξπμ κ, αθ [ ], αθδκέξπμ αθ [ ] 7 Μ πκδμ ξϋδμ τπκυμ ίλέεκυη δμ ατηππμ βμ ηκλφάμ y ; πϊθββ : Ιξτδ κ παλαεϊπ γυλβηα : Η υγέα y έθαδ ατηππβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ κ, αθδκέξπμ κ, αθ εαδ ησθκ αθ [ ] R Χλάδηα χσζδα : R εαδ [ ] R,αθδκέξπμ : R εαδ πκδεθταδ σδ: Οδ ποζυωθυηδεϋμ υθαλάδμ ίαγηοτ ηΰαζτλου ά έου ου θ Ϋχουθ ατηπωμ Οδ λβϋμ υθαλάδμ P, η ίαγησ ου αλδγηβά P ηΰαζτλο ουζϊχδοθ Q εαϊ το ου ίαγηοτ ου παλοθοηαά, θ Ϋχουθ πζϊΰδμ ατηπωμ τηφπθα η κυμ παλαπϊθπ κλδηκτμ, ατηππμ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ ηδαμ υθϊλββμ αθααβοτη: α Ϊελα ωθ δαβηϊωθ κυ πέκυ κλδηκτ βμ α κπκέα β θ κλέααδ α βηέα κυ πέκυ κλδηκτ βμ, α κπκέα β θ έθαδ υθχάμ κ,, φσκθ β υθϊλββ έθαδ κλδηϋθβ δϊβηα βμ ηκλφάμ,, αθδκέξπμ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

343 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 8 Να δαυπυ α γπλάηαα κυ d L Hospital πϊθββ : ΘΩΡΜ ο θ, εαδ υπϊλξδ κ o ΘΩΡΜ ο θ, g, R {, },g' g έπμ κ εαδ υπϊλξδ κ o ππλαηϋθκ ά Ϊπδλκ, σ: πλδκξά κυ η ιαέλβ έπμ κ o g g g, R {, },g' πλδκξά κυ η ιαέλβ o g ππλαηϋθκ ά Ϊπδλκ, σ: g g χσζδο : Σκ γυλβηα δξτδ εαδ ΰδα δμ ηκλφϋμ,, Σα παλαπϊθπ γπλάηαα δξτκυθ εαδ ΰδα πζυλδεϊ σλδα εαδ ηπκλκτη, αθ ξλδϊααδ, θα α φαλησκυη πλδσλμ φκλϋμ, αλεέ θα πζβλκτθαδ κδ πλκςπκγϋδμ κυμ ΛΤΜΝ ΚΙ : ΤΜΠΣΩΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΚΣΚΟΡΤΦ ΤΜΠΣΩΣ Γδα θα ίλκτη δμ εααεσλυφμ ατηππμ ηδαμ υθϊλββμ πλυα ίλέεκυη κ πέκ κλδηκτ, αθ υπϊλξδ Ϊελκ αθκδξκτ δαάηακμ εσμ, σ ΰδα εααεσλυφβ ατηππβ γα οϊιπ κ λέεπ κ, ά ά, αθ εϊπκδκ απσ αυϊ α σλδα έθαδ σ β υγέα έθαδ εααεσλυφβ C ατηππβ βμ Άλα ΰδα εααεσλυφμ ατηππμ οϊξθπ α αθκδξϊ Ϊελα κυ πέκυ κλδηκτ βμ εαδ α βηέα κυ πέκυ κλδηκτ βμ, α κπκέα β θ έθαδ υθξάμ Να ίλέ αθ υπϊλξκυθ δμ εααεσλυφμ ατηππμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ : ln i ii Λτβ : i, D,, ΰδα εααεσλυφβ ατηππβ γα οϊιπ κ Έξπ : Ϊλα β υγέα : έθαδ εααεσλυφβ ατηππβ βμ C Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

344 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ii ln, D,, ΰδα εααεσλυφβ ατηππβ γα οϊιπ κ εαδ κ Έξπ : ln Ϊλα β υγέα : έθαδ εααεσλυφβ ατηππβ βμ C ln πέβμ : Ϊλα β υγέα έθαδ εαδ αυά : εααεσλυφβ ατηππβ βμ αθ β υθϊλββ κλέααδ εαδ απσ α ιδϊ εαδ απσ α αλδλϊ κυ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : C θ παέαδ λσζκ πδκ απσ α υκ πζυλδεϊ σλδα γα πϊλπ Να ίλέ αθ υπϊλξκυθ δμ εααεσλυφμ ατηππμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ : i ii v 6 iii iv vi, vii viii i 6 ln, ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΡΙΟΝΣΙ ΤΜΠΣΩΣ Γδα θα ίλκτη δμ κλδασθδμ ατηππμ ηδαμ υθϊλββμ πλυα ίλέεκυη κ πέκ κλδηκτ βμ Γδα κλδασθδα ατηππβ γα οϊιπ κ, φσκθ αθάεκυθ κ πέκ κλδηκτ θ l σ β υγέα : y l ζϋΰαδ κλδασθδα ατηππβ βμ C κ θέκδξα αθ l σ β υγέα : y l ζϋΰαδ κλδασθδα ατηππβ βμ C κ ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ αθ υπϊλξκυθ δμ κλδασθδμ ατηππμ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ : Λτβ :, D,, ΰδα κλδασθδα ατηππβ οϊξθπ κ εαδ κ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

345 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Έξπ : Άλα β υγέα έθαδ : y κλδασθδα ατηππβ βμ C κ Έξπ : Άλα β υγέα έθαδ : y κλδασθδα ατηππβ βμ C εαδ κ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλγκτθ αθ υπϊλξκυθ κδ κλδασθδμ ατηππμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ : 7 i ii iii ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

346 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΛΓΙ - ΟΡΙΟΝΣΙ ΤΜΠΣΩΣ Η υγέα y έθαδ ατηππβ βμ C κ αθ εαδ ησθκ αθ : σξδ εαδ [ ] σξδ Η υγέα y έθαδ ατηππβ βμ C κ αθ εαδ ησθκ αθ : ΠΡΣΡΙ : σξδ εαδ [ ] σξδ Η ατηππβ : y έθαδ ολδασθδα αθ ζ=, θυ αθ ζϋΰαδ πζϊΰδα ατηππβ υσ βηαέθδ σδ ΰδα πζϊΰδμ κλδασθδμ ηπκλυ θα οϊξθπ αυσξλκθα, αθ κλδασθδα, αθ πζϊΰδα Γδα πζϊΰδμ κλδασθδμ ατηππμ οϊξθπ κ, φσκθ αθάεκυθ κ πέκ κλδηκτ θ β C Ϋξδ κλδασθδα ατηππβ κ ά, σ ΰδα βθ C θ αθααβκτη πζϊΰδα ατηππβ κ ά αθέκδξα θ β υγέα : y έθαδ ατηππβ βμ C κ ά κ, σ β ηπκλέ θα βθ Ϋηθδ Ϋθα ά πλδσλα βηέα Οδ πκζυπθυηδεϋμ υθαλάδμ ίαγηκτ ηΰαζυϋλκυ ά έκυ κυ θ Ϋξκυθ ατηππμ P Οδ λβϋμ υθαλάδμ η ίαγησ κυ αλδγηβά Ρ ηΰαζτλκ εαϊ Q ίαγηκτμ κυ παλαθκηαά, θ Ϋξκυθ πζϊΰδμ ά κλδασθδμ ατηππμ ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλγκτθ αθ υπϊλξκυθ κδ πζϊΰδμ κλδασθδμ ατηππμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ : 9 i ii 6 Λτβ : 9 i, D Γδα πζϊΰδμ,,,, 6 κλδασθδμ ατηππμ γα οϊιπ κ εαδ κ Η υγέα : y ατηππβ βμ C κ η : [ ] Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

347 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 6 Άλα β υγέα έθαδ πζϊΰδα ατηππβ βμ κ Μ κθ έδκ λσπκ ίλέεκυη σδ β έθαδ πζϊΰδα ατηππβ βμ κ ii, Γδα πζϊΰδμ κλδασθδμ ατηππμ γα οϊιπ κ εαδ κ Η υγέα ατηππβ βμ κ η : Άλα β υγέα έθαδ πζϊΰδα ατηππβ βμ κ Η υγέα ατηππβ βμ κ η : Άλα β υγέα έθαδ πζϊΰδα ατηππβ βμ κ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 Να ίλγκτθ αθ υπϊλξκυθ κδ ατηππμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ : i ii iii iv : y C : y C, D y : C ] [ ] [ : y C y : C ] [ ] [ : y C 6 ln9

348 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 7 Να ίλέ δμ ατηππμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ : i ln ii 6 7 iii iv v 7, 8 Να ίλγκτθ κδ ατηππμ βμ υθϊλββμ : 6, 9 Να ίλγκτθ κδ ατηππμ βμ υθϊλββμ :,, Να ίλγκτθ κδ ατηππμ βμ υθϊλββμ : ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΘΙ : y ΤΜΠΣΩΣ Σ - ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΠΡΜΣΡΩΝ C θ γϋζκυη θα έικυη σδ β υγέα : y έθαδ ατηππβ βμ C κ ά κ, αλεέ θα έικυη σδ: κμ λσπκμ : ά αθέκδξα κμ λσπκμ : εαδ [ ] ά αθέκδξα εαδ [ ] ΛΤΜΝ ΚΙ : 6 Να έι σδ β υγέα : y έθαδ πζϊΰδα ατηππβ βμ σαθ Λτβ : κμ λσπκμ : Η υγέα : y, έθαδ ατηππβ βμ C κ αθ εαδ ησθκ αθ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 7

349 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Έξπ : 6 9 Άλα β υγέα κμ λσπκμ : Η υγέα : y, έθαδ ατηππβ βμ C κ αθ εαδ ησθκ αθ εαδ [ ] 6 Έξπ : πέβμ : [ ] Άλα β υγέα έθαδ ατηππβ βμ : y κ 9 έθαδ β υθϊλββ Να ίλγκτθ κδ δηϋμ πθ, υ β υγέα : y θα έθαδ πζϊΰδα ατηππβ βμ C σαθ Λτβ : φκτ β C Ϋξδ πζϊΰδα ατηππβ κ βθ υγέα : y σ : 6 έθαδ ατηππβ βμ C κ C εαδ [ ] [ ] : y Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8

350 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9 ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να έι σδ κδ παλαεϊπ υθαλάδμ Ϋξκυθ πζϊΰδμ ατηππμ δμ αθέκδξμ υγέμ : i βθ σαθ ii βθ σαθ iii βθ σαθ έθαδ β υθϊλββ, η Να ίλέ δμ δηϋμ πθ α,ί αθ β υγέα έθαδ ατηππβ βμ κ έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ : i δμ δηϋμ πθ α,ί αθ β υγέα έθαδ ατηππβ βμ κ ii κ πέκ κλδηκτ βμ iii βθ ατηππβ βμ κ 6 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ : i κ α αθ β ατηππβ βμ κ έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα ii δμ ατηππμ βμ ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 θ β υγέα έθαδ ατηππβ βμ κ θα ίλγέ κ σλδκ : Λτβ : φκτ β Ϋξδ πζϊΰδα ατηππβ κ βθ υγέα σ : εαδ Έξπ : : y 7 : y : y, : y C 6 : y C C C : y C 6 : y C C 6 : y 6 ] [ 6 ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΜΠΣΩΣ ΚΙ ΟΡΙ

351 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 8 θ β υγέα : y έθαδ ατηππβ βμ C κ θα ίλγέ β δηά βμ παλαηϋλκυ, υ θα δξτδ : Λτβ : φκτ β C Ϋξδ πζϊΰδα ατηππβ κ βθ υγέα : y σ : ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 9 θ β υγέα : y έθαδ ατηππβ βμ C κ θα ίλγέ κ σλδκ : Έπ β υγέα : y έθαδ ατηππβ βμ C κ i Να ίλέ α σλδα : εαδ ii Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ η, αθ ΘΫηα Παθζζβθέπθ εαδ [ ] Έξπ : θ β υγέα : y έθαδ ατηππβ βμ C κ θα ίλγέ : i κ σλδκ : ii κ αλδγησμ, υ θα δξτδ : 7 έθαδ β υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να ίλέ βθ ατηππβ βμ C κ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να απκέι σδ β C Ϋξδ πζϊΰδα ατηππβ κ, βμ κπκέαμ θα ίλέ βθ ιέπβ ΚΝΟΝ DE L HOSPITAL Ο οοογς α ο ας γα ους ας D L Ηospital ααα ς ς : 8 Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

352 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΕΛΕΣΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΜΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ 9 Μ β ίκάγδα πθ πζβλκφκλδυθ πκυ απκεάαη ηϋξλδ υλα, ηπκλκτη θα ξαλϊικυη β ΰλαφδεά παλϊαβ ηδαμ υθϊλββμ η δεαθκπκδβδεά αελέίδα Η πκλέα πκυ αεκζκυγκτη ζϋΰαδ ηζϋβ υθϊλββμ Πκδα ίάηαα πλδζαηίϊθδ ; πϊθββ : ο λέεκυη κ πέκ κλδηκτ βμ o ιϊακυη β υθϋξδα βμ κ πέκ κλδηκτ βμ ο λέεκυη δμ παλαΰυΰκυμ εαδ εαδ εααευϊακυη κυμ πέθαεμ πθ πλκάηπθ κυμ Μ β ίκάγδα κυ πλκάηκυ βμ πλκδκλέακυη α δαάηαα ηκθκκθέαμ εαδ α κπδεϊ αελσαα βμ, θυ η β ίκάγδα κυ πλκάηκυ βμ εαγκλέακυη α δαάηαα α κπκέα β έθαδ ευλά ά εκέζβ εαδ ίλέεκυη α βηέα εαηπάμ ο Μζκτη β υηπλδφκλϊ βμ υθϊλββμ α Ϊελα πθ δαβηϊπθ κυ πέκυ κλδηκτ βμ κλδαεϋμ δηϋμ, ατηππμ, εζ ο υΰεθλυθκυη α παλαπϊθπ υηπλϊηαα Ϋθα υθκπδεσ πέθαεα πκυ ζϋΰαδ εαδ πέθαεαμ ηαίοζυθ βμ εαδ η β ίκάγδϊ κυ ξαλϊκυη β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ Γδα εαζτλβ ξέαβ βμ C εααευϊακυη Ϋθαθ πέθαεα δηυθ βμ χσζδο : Όππμ έθαδ ΰθπσ, αθ ηδα υθϊλββ η πέκ κλδηκτ κ Α έθαδ Ϊλδα, σ β C Ϋξδ Ϊικθα υηηλέαμ κθ Ϊικθα y y, θυ αθ έθαδ πλδά, β C Ϋξδ εϋθλκ υηηλέαμ βθ αλξά πθ αισθπθ Ο πκηϋθπμ, ΰδα β ηζϋβ ηδαμ Ϋκδαμ υθϊλββμ ηπκλκτη θα πλδκλδκτη α A, η θ ηδα υθϊλββ έθαδ πλδοδεά η πλέκκ Τ, σ πλδκλέακυη β ηζϋβ βμ C Ϋθα δϊβηα πζϊκυμ Τ ΦΡΜΟΓE Να ηζβγέ εαδ θα παλααγέ ΰλαφδεΪ β υθϊλββ ΛΤ H Ϋξδ πέκ κλδηκτ κ R Η έθαδ υθξάμ κ R πμ πκζυπθυηδεά Έξκυη Οδ λέαμ βμ έθαδ κδ, δπζά εαδ κ πλσβησ βμ έθκθαδ κ δπζαθσ πέθαεα, απσ κθ κπκέκ πλκδκλέακυη α δαάηαα ηκθκκθέαμ εαδ α κπδεϊ αελσαα Έξκυη πέβμ Ε Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

353 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Οδ λέαμ βμ έθαδ κδ, εαδ κ πλσβησ βμ έθκθαδ κ δπζαθσ πέθαεα, απσ κθ κπκέκ πλκδκλέακυη α δαάηαα α κπκέα β έθαδ ευλά ά εκέζβ εαδ ίλέεκυη α βηέα εαηπάμ Η υθϊλββ θ Ϋξδ ατηππμ κ εαδ, αφκτ έθαδ πκζυπθυηδεά Ϋαλκυ ίαγηκτ έθαδ σηπμ: εαδ ξβηαέακυη κθ πέθαεα ηαίκζυθ βμ εαδ ξαλϊκυη β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ y O Κ - Κ 6 Ε Κ Κ Να ηζβγέ εαδ θα παλααγέ ΰλαφδεΪ β υθϊλββ ΛΤ H Ϋξδ πέκ κλδηκτ κ R { } Η έθαδ υθξάμ πμ λβά Έξκυη Οδ λέαμ βμ έθαδ, εαδ κ πλσβησ βμ έθκθαδ κ δπζαθσ πέθαεα, απσ κθ κπκέκ πλκδκλέακυη α δαάηαα ηκθκκθέαμ εαδ α αελσαα Έξκυη πέβμ 8 Η θ Ϋξδ λέαμ εαδ κ πλσβησ βμ έθαδ κ δπζαθσ πέθαεα, απσ κθ κπκέκ πλκδκλέακυη α δαάηαα α κπκέα β έθαδ ευλά ά εκέζβ ΤΜ ΤΕ + + Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

354 ΑΑ : ΑΣ ΣΣ πδά, C ιϊακυη υλα αθ υπϊλξδ κ ατηππβ βμ ηκλφάμ, β υγέα έθαδ εααεσλυφβ ατηππβ βμ y, κπσ Καδ, κπσ πκηϋθπμ, β υγέα θϊζκΰα ίλέεκυη σδ β υγέα πέβμ Ϋξκυη: y έθαδ ατηππβ βμ C κ y έθαδ ατηππβ βμ C εαδ κ εαδ Έξκυη: ξβηαέακυη κθ πέθαεα ηαίκζυθ βμ εαδ ξαλϊκυη β ΰλαφδεά βμ παλϊαβ ΤΜ ΤΕ y 8 - O y= - - = Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

355 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Αν η ευθεία y=- είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο, να βρείτε το λ ώστε Αν η ευθεία y=- είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο, να βρείτε το όριο : Έστω η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να λύσετε την ανίσωση ln Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε i Να δείξετε ότι για κάθε ii Να βρείτε το iii Να δείξετε ότι ln Δίνεται η συνάρτηση i Να βρείτε τις ασύμπτωτες της ii Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο α να είναι παράλληλη στον C 6 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iv Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

356 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ln, 7 Δίνεται η συνάρτηση :, i Να δείξετε ότι είναι συνεχής ii Να βρείτε την iii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iv Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής v Να βρείτε το σύνολο τιμών της vi Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης ln 8 Δίνεται η συνάρτηση ln i Να βρείτε τα α,β ώστε το Α, να είναι σημείο καμπής της Για α= και β=-, ii Να βρείτε τα διαστήματα που η είναι κυρτή ή κοίλη iii Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο καμπής της C iv Να δείξετε ότι ln για κάθε 9 Έστω η παραγωγισιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε και Να αποδείξετε ότι : i Η συνάρτηση h είναι σταθερή στο R ii Να δείξετε ότι ο τύπος της είναι για κάθε ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 7 Δίνεται η συνάρτηση, παραγωγισιμη στο R, για την οποία ισχύει : 8 8 για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι συνάρτηση - ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο, iii Αν για τη g : ισχύει : g για κάθε, να βρείτε το στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο ΕΣΠΕΡΙΝΑ 7 C ln, Δίνεται η συνάρτηση, i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ii Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α iv Να αποδείξετε ότι ισχύει +>+, για κάθε > ο Πανελλήνιες 8 Δίνεται παραγωγισιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : και : για κάθε i Να δείξετε ότι ο τύπος της είναι ii Να μελετήσετε την ln ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

357 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής C iv Να βρείτε τις ασύμπτωτες της a v Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης, για τις διάφορες τιμές του Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : και : για κάθε i Να δείξετε ότι ο τύπος της είναι iv Να βρείτε τις ασύμπτωτες της v Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης, για τις διάφορες τιμές του ln ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής C a Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : και : για κάθε i Να δείξετε ότι ο τύπος της είναι ii Να μελετήσετε την iii Να μελετήσετε την iv Να βρείτε τις ασύμπτωτες της ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής C Για μια πραγματική συνάρτηση, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ισχύει ότι: χ + β + γ = + 6 για κάθε πραγματικό αριθμό, όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β <γ i Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα ii Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα iii Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης = στο ανοικτό διάστημα, Θέμα ο Πανελλήνιες 6 Δίνεται η συνάρτηση α ln, - όπου α και α i Αν ισχύει για κάθε -, να αποδείξετε ότι α= ii να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή iii να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα -, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + iv αν β, γ -,,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση β - γ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, - ο Θέμα Πανελλήνιες 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

358 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη, η οποία σε σημείο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το και ικανοποιεί τη σχέση : για κάθε i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση : g είναι κυρτή στο R ii Να αποδείξετε ότι για κάθε Θέμα Πανελληνίων 8 Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε και η συνάρτηση g, i Να δείξετε ότι η g είναι κοίλη στο R ii Αν η C εφάπτεται στον άξονα, να δείξετε ότι για κάθε 9 Δίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση, για την οποία ισχύει :, για κάθε, i Να δείξετε ότι ii Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο, είναι η iii g C : y Αν ένα σημείο κινείται πάνω στην ευθεία ε και η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό cm/sc να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Θέμα Β studyams Να δείξετε ότι : i ln για κάθε ii Η συνάρτηση g ln έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, Επιπλέον : iii να μελετήσετε τη συνάρτηση ln ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της iv Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Θέμα Γ studyams Δίνεται η συνάρτηση ln i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να λύσετε την εξίσωση iv Αν για τους αριθμούς, με και ισχύει ln ln, να υπολογίσετε τους, Θέμα Γ studyams Δίνεται η συνάρτηση ln, i Να δείξετε ότι ln για κάθε ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να λύσετε την εξίσωση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

359 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε το σημείο, να είναι σημείο καμπής της iv Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Θέμα Γ studyams Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση : για την οποία ισχύει 6 i Να αποδείξετε ότι και 6 ii Να υπολογίσετε το όριο iii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h 7,, τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο iv Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g :, για την οποία ισχύει 6 g, για κάθε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g, έχει το πολύ μια ρίζα μεγαλύτερη του Θέμα Γ ΕΜΕ Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα,] και παραγωγίσιμη στο,, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις :, για κάθε, i Να δείξετε ότι ln,,] ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της iii Να βρείτε το όριο iv Να αποδείξετε ότι η έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής, με, v Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις και C των συναρτήσεων και στο ίδιο σύστημα αξόνων C C C C, Θέμα Γ ΕΜΕ Έστω η συνάρτηση :[, με, η οποία είναι συνεχής στο [, και κυρτή στο, i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο, ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 6 Αν επιπλέον ισχύει : 6 iii Να βρείτε τις τιμές των και iv Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα v Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης Θέμα Γ ΕΜΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8

360 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ * 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και * ικανοποιεί τη σχέση, για κάθε Να αποδείξετε ότι : i,, ii Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ότι η ευθεία : y εφάπτεται της γραφικής παράστασης της στο κοινό της σημείο με τον άξονα y y iii Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο iv Η συνάρτηση είναι κυρτή στο Θέμα Γ ΕΜΕ 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής iii Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C iv Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο, C v Να αποδείξετε την ανισότητα : 7, για κάθε Θέμα Γ studyams 8 Δίνεται συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα διάστημα Δ i Να δείξετε ότι :, για κάθε, Επιπλέον : ii Δίνεται η συνάρτηση g, Να μελετήσετε την g ως προς την κυρτότητα ln ln ln iii Αν, να δείξετε ότι : ln ln ln Θέμα Γ studyams ln 9 Δίνεται η συνάρτηση, με i Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Αν η τετμημενη του σημείου, μεταβάλλεται με ρυθμό μ/sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού t του τριγώνου ΑΟΒ, όπου,,,,,, τη χρονική στιγμή t κατά την οποία είναι t iii Αν τη χρονική στιγμή t το σημείο Μ βρίσκεται στη θέση,, τότε να αποδείξετε ότι : t t και ότι η συνάρτηση t είναι κοίλη στο διάστημα [, Θέμα Γ ΕΜΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

361 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο Αν η δεν είναι συνεχής στο,τότε η είναι παραγωγίσιμη στο Αν η έχει δεύτερη παράγωγο στο,τότε η είναι συνεχής στο Η συνάρτηση με = ημ+ διάστημα αυτό +, όπου,π είναι γνησίως αύξουσα στο Αν = g + για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση h= g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 6 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο IR και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll 7 Έστω συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και σημείο [α, β] στο οποίο η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντα ισχύει ότι = 8 Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο o, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό 9 Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σ' ένα σημείο o, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει = σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Έστω μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Aν > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι κυρτή στο Δ Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η είναι παραγωγίσιμη στο και =, τότε η παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα α, β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν > στο α, και < στο, β, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της 6 Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y =, όταν είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο 7 Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα α, β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν > στο α, και < στο, β, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της 8 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : g = g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

362 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Αν µία συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Αν οι, g είναι συνεχείς στο και = g για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: = g + c Έστω η συνάρτηση = H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο,+ και ισχύει Ο συντελεστής διεύθυνσης λ, της εφαπτομένης στο σημείο Α,, της γραφικής παράστασης C μιας συνάρτησης, παραγωγίσιμης στο σημείο του πεδίου ορισμού της είναι λ = Έστω η συνάρτηση = συν, όπου IR H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και ισχύει = ημ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν : η είναι συνεχής στο Δ και = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ 6 Έστω μία συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ 7 Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το, λέγονται κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ 8 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα α,β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o Αν η είναι κυρτή στο α, o και κοίλη στο o,β ή αντιστρόφως, τότε το σημείο Α o o είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 9 Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α,β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ α,β τέτοιο, ώστε: ξ = β Έστω συνάρτηση = εφη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ΙR =ΙR {/συν = } και ισχύει: συν Ισχύει ο τύπος, για κάθε IR Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο ο και g ο, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ο και ισχύει: g o α og o ogo g o ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

363 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Για κάθε ισχύει ln Αν μια πραγματική συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο Έστω η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Δ = [, +, τότε κάθε, + για 6 Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια, είναι + ή, τότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 7 Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι, g είναι συνεχείς στο Δ και = g για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ ισχύει: = g + c 8 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο τότε > σε κάθε εσωτερικό σημείο του 9 Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι, g είναι συνεχείς στο Δ και = g για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει = g για κάθε Δ Έστω η συνάρτηση = ημ με πεδίο ορισμού το R, τότε = συν, για κάθε R Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του έχουν ασύμπτωτες Αν μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει : > για κάθε πραγματικό αριθμό Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους Για κάθε IR ισχύει: ημ = συν Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα α, β και α = β τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ α, β τέτοιο, ώστε: ξ = 6 Κάθε συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 7 Έστω η συνάρτηση = εφ H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R R { / } και ισχύει : 8 Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α,β, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α, β τέτοιο, ώστε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

364 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Ισχύει : συν = ημ, R Αν = α, α >, τότε ισχύει α = α Για κάθε συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι: c, για κάθε Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο o και g o, τότε και η συνάρτηση g g είναι παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: g g g P Έστω P, Q πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού Οι ρητές συναρτήσεις, με Q βαθμό του αριθμητή P μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρανομαστή, έχουν πλάγιες ασύμπτωτες Για κάθε R = R {/συν=} ισχύει: 6 Κάθε συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 7 Ισχύει :, R { / ημ } 8 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 9 Αν δύο συναρτήσεις, g είναι ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ότι = g για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει πάντα = g για κάθε Δ 6 Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο 6 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α, β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν > στο α, και < στο, β, τότε το είναι τοπικό μέγιστο της 6 Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: g g g 6 Αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό 6 Έστω µια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του 6 Η συνάρτηση = ln, ϵ R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει : ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

365 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 66 Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο Δ τότε, για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ 67 Αν και g, όπου R, τότε : g g 68 Αν A, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε 69 Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη 7 Κάθε συνάρτηση, για την οποία ισχύει για κάθε,,, είναι σταθερή στο,, 7 Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού, η οποία έχει ασύμπτωτη 7 Αν ln για κάθε, τότε για κάθε 7 Για κάθε συνάρτηση : που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

366 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F', για κάθε Σχόλια : Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό 6 Θεώρημα Β,, Β Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c R,είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c R Απόδειξη : Κάθε συνάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είναι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G' F c' F ', για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε, για κάθε ισχύουν οι σχέσεις F και G, οπότε : G' F', για κάθε Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G F c, για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

367 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Πίνακας των παραγουσών βασικών συναρτήσεων Απάντηση : Συνάρτηση Παράγουσα F c, c F c, c F ln c, c F c, c, F c, c F c, c F c, c F c, c, c F c, c ln F c Σχόλια : Οι τύποι αυτού του πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του που εμφανίζονται έχουν νόημα Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των και g αντιστοίχως και ο λ είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε : i Η συνάρτηση F+G είναι μια παράγουσα της συνάρτησης +g ii Η συνάρτηση λf είναι μια παράγουσα της συνάρτησης λ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 66

368 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F', για κάθε ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c R,είναι παράγουσες της στο Δ Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G F c, c R ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ c c c, ln,, lna ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 67

369 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 68 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, Λύση : Είναι : c c c c F,, H F C διέρχεται από το, άρα : c c F Άρα : F, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Βασικών Συναρτήσεων i 6 ii, iii,, g g g g g g g ln v v v πχ

370 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 69 iv, Λύση : i c F 6 c F,, c ii c F ln c F ln, ln c F, c : ή iii c F c F c F 6,, c : ή iv Είναι :, άρα : c F c F ln ln, c Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Συναρτήσεων με εφαρμογή κανόνων παραγώγισης i ii, iii ln, Λύση : i Άρα : c F,, c ii Άρα : c F, c

371 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii ln ln Άρα : F ln c, c ln ln ln Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : Παράγουσες Σύνθετων Συναρτήσεων i ii 6 iii 7 iv Λύση :, άρα : F c, c i ii iii iv Άρα : F 7 c 7, c 7 ln Άρα : F ln 7 c, c Άρα : F c, c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, 6 Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης και μετά, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, 7 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : v vi, vii, viii, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

372 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii, iii iv 9 Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,, iii, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii,, iii,, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i, ii, iii,, Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii, iv v ln vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

373 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv v vi vii viii i i ii iii iv v vi vii,, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΛΕΤΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ Α ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δίνεται συνάρτηση :,, με 7 και F μια αρχική της στο,, για την οποία ισχύει : για κάθε F Να βρείτε τον τύπο της Δίνεται συνάρτηση :, με F όπου F μια αρχική της, για την οποία ισχύει : F για κάθε i Να βρείτε τον τύπο της ii Να βρείτε την ασύμπτωτη της C στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

374 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Β ΜΕΛΕΤΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ 6 Δίνεται η συνάρτηση και F μια αρχική της στο με F i Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση F F έχει μοναδική ρίζα iii Να δείξετε ότι η F είναι κυρτή iv Να δείξετε ότι : F F F για κάθε 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : και F μια αρχική της, για την οποία ισχύει : F F για κάθε i Να βρείτε τις τιμές, ii Να αποδείξετε ότι η C τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο,, με, iii Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,,, με, ώστε : 8 Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και F μια παράγουσα της F Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : F στο [,] με έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 9 Έστω :, μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής και F μια παράγουσα της στο, με F Αν ισχύει F ln C διέρχεται από το σημείο,, για κάθε, να δείξετε ότι Γ ΟΡΙΑ Έστω : μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής με και Αν F μια παράγουσα της στο με F, να βρείτε τα όρια : F i F ii F iii F iv ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

375 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 Να υ κθ κλδησ κυ κλδηϋθκυ κζκεζβλυηακμ ηδαμ υθξκτμ υθϊλββμ Ϋθα εζδσ δϊβηα [α,ί] πϊθββ : Έπ ηδα υθϊλββ υ θ ξ ά μ κ [, ] Μ α βηέα ξπλέακυη κ δϊβηα [, ] θ δκηάεβ υπκδαάηαα ηάεκυμ ξk β υθϋξδα O a= ξ ξ πδζϋΰκυη αυγαέλα Ϋθα [, ], ΰδα εϊγ {,,, }, εαδ ξβηαέακυη κ Ϊγλκδηα S κ κπκέκ υηίκζέααδ, τθκηα, πμ ιάμ: S Σκ σλδκ κυ αγλκέηακμ S, βζαά κ κ κ Δ υπϊλξδ κ R εαδ έθαδ αθιϊλβκ απσ βθ πδζκΰά πθ θδϊηπθ βηέπθ Σκ παλαπϊθπ σλδκ κθκηϊααδ κλδηϋθκ κζκεζάλωηα βμ υθξκτμ υθϊλββμ απσ κ α κ ί, υηίκζέααδ η d εαδ δαίϊααδ κζκεζάλπηα βμ απσ κ α κ ί βζαά : d χσζδκ : Σκ τηίκζκ κφέζαδ κθ Libniz εαδ κθκηϊααδ τηίκζκ κζκεζάλπβμ υσ έθαδ πδηάευθβ κυ αλξδεκτ ΰλΪηηακμ S βμ ζϋιβμ Summa Ϊγλκδηα Οδ αλδγηκέ α εαδ β κθκηϊακθαδ σλδα βμ κζκεζάλπβμ Η Ϋθθκδα σλδα υ θ Ϋξδ βθ έδα Ϋθθκδα κυ κλέκυ κυ κυ εφαζαέκυ y y= v- ξv v βθ Ϋεφλαβ d κ ΰλΪηηα έθαδ ηδα ηαίζβά εαδ ηπκλέ θα αθδεαααγέ η κπκδκάπκ Ϊζζκ ΰλΪηηα Έδ, ΰδα παλϊδΰηα, κδ εφλϊδμ d, t dt υηίκζέακυθ κ έδκ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα εαδ έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ Γωηλδεά ληβθέα κλδηϋθκυ κζκεζβλυηακμ : θ ΰδα εϊγ [, ], σ κ κζκεζάλπηα d έθδ κ ηίασθ κυ ξπλέκυ Ω πκυ πλδεζέαδ απσ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ κθ Ϊικθα εαδ δμ υγέμ εαδ ξ βζαά : α β d E Ω πκηϋθπμ, y y= Ω O α β θ, σ d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

376 ΕΑΑ : ΗΩ Γ 6 Να ΰλΪο δμ δδσβμ κυ κζκεζβλυηακμ d πϊθββ : α Ιξτδ σδ : d d d θ ΰδα εϊγ [, ], σ d ί Έπ,g υθχέμ υθαλάδμ κ [, ] εαδ, R Σσ δξτκυθ: d d [ g]d d gd εαδ ΰθδεΪ [ g]d d gd ΰ θ β έθαδ υθχάμ δϊβηα εαδ,,, σ δξτδ : d d d Γδα παλϊδΰηα, αθ d εαδ d 7, σ d d d d d 7 βηέωβ : θ εαδ ξ, β παλαπϊθπ δδσβα βζυθδ σδ: αφκτ εαδ d, d d y O α Ω y= Ω Έπ ηδα υθχάμ υθϊλββ Ϋθα δϊβηα [, ] θ ΰδα εϊγ [, ] εαδ β υθϊλββ θ έθαδ παθκτ ηβϋθ κ δϊβηα αυσ, σ d θ c, σ κ cd εφλϊαδ κ ηίασθ θσμ κλγκΰπθέκυ η ίϊβ εαδ τοκμ c ξ y y=c βζ α β c d c β α O α β ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 7

377 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6 Έπ F t dt,, σπκυ έθαδ υθξάμ υθϊλββ κ δϊβηα a Πκδα έθαδ β ξϋβ βμ F η βθ ; πϊθββ : Η υθϊλββ F t dt,, έθαδ υθξάμ εαδ έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ a 66 ΘΩΡΗΜ Θηζδυβμ γυλβηα κυ κζκεζβλωδεκτ ζκΰδηκτ, 8,, Έπ ηδα υθξάμ υθϊλββ Ϋθα δϊβηα [, ] θ G έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ [, ], θα απκέι σδ : tdt G G πσδιβ : τηφπθα η ΰθπσ γυλβηα, β υθϊλββ F tdt έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ [, ] πδά εαδ β G έθαδ ηδα παλϊΰκυα βμ κ [, ], γα υπϊλξδ c Ϋκδκ, υ : G F c πσ βθ, ΰδα, Ϋξκυη G F c tdt c c, κπσ c G πκηϋθπμ, G F G, κπσ, ΰδα, Ϋξκυη : G F G tdt G εαδ Ϊλα tdt G G 67 Να ΰλΪο κυμ τπκυμ βμ παλαΰκθδεάμ κζκεζάλπβμ εαδ βμ αθδεαϊαβμ ΰδα κ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα πϊθββ : α Ιξτδ σδ : gd [g] gd, σπκυ,g έθαδ υθξέμ υθαλάδμ κ [, ] u ί Ιξτδ σδ: ggd udu, σπκυ,g έθαδ υθξέμ υθαλάδμ, u g, u du gd εαδ u g, u g ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 76

378 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ ΙΚΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ υηφυθα η κ Θηζδυμ Θυλβηα κυ Οζκεζβλπδεκτ Λκΰδηκτ ΘΘΟΛ δξτδ : I d II d III d ln IV d V d VI d VII d d VIII F F F d ΛΤΜΝ ΚΗΙ : θ d, d εαδ d, θα ίλέ α κζκεζβλυηαα : i d ii iii iv 7 7 d d d Λτβ : i d d ii iii iv d d d d d d d d 7 d d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 77

379 ΕΑΑ : ΗΩ Γ Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d Λτβ : i d ii d iii iv d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : d d θ d, d εαδ d, θα ίλέ α κζκεζβλυηαα : 7 i d ii iii d d 7 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d 8 viii d i d d i d ln ii d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii t dt iii d iv d v d vi d vii d i d d i d viii d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 78

380 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΠΡΜΣΡΩΝ - ΘΩΡΗΣΙΚ ΦΡΜΟΓ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ α, υ θα δξτδ : d Λτβ : 9 d ή Άλα 7 έθαδ υθϊλββ Λτβ : I d d * : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ Να υπκζκΰέ βθ παλϊαβ : d I d d d d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 9 8 Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ ε, υ θα δξτδ : d d 9 Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ ε, υ θα δξτδ : d d d Να ίλέ κθ πλαΰηαδεσ αλδγησ α, υ θα δξτδ : d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 79

381 ΕΑΑ : ΗΩ Γ έθαδ β υθϊλββ η,,, ΰδα βθ κπκέα δξτδ d, θυ β φαπκηϋθβ βμ : y Να ίλέ α α,ί,ΰ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ έθαδ υθϊλββ : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εαδ d Να ίλέ : i βθ δηά ii κ κζκεζάλπηα d έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : εαδ d Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ Γ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ Μ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ Θα πλϋπδ θα γυησηα σδ κ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : έθαδ υθξάμ υθϊλββ : Να ίλέ α κζκεζβλυηαα : i t dt ii t d dt Λτβ : i Έξπ t dt d ii Έπ t dt d ΰδα βθ κπκέα δξτδ : t dt d t dt σ : Η ΰέθαδ : t dt d d βζ t dt t d dt t d dt i t 6t dt t 6 dt ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

382 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : έθκθαδ κδ υθξέμ υθαλάδμ, g : i θ δξτδ σδ : d dt ii θ πδπζϋκθ δξτδ σδ d 6 θ δξτδ σδ d t, σ θα ίλέ κ d g, σ θα ίλέ κ : t g dt d, σ θα υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : I t dt d 7 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : I dt d εαδ I 6t dt d 8 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y dy d 6 d 9 Να ίλέ α κζκεζβλυηαα : i d ii t dt d ΠΡΟΙΟΡΙΜΟ ΣΤΠΟΤ ΤΝΡΣΗΗ Θα πλϋπδ θα γυησηα σδ κ κλδηϋθκ κζκεζάλπηα έθαδ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 9 Έπ ηδα υθϊλββ υθξάμ κ ΰδα βθ κπκέα δξτδ t dt Να απκέι σδ = +6 κ 8 Λτβ : Έπ t dt, σ Άλα d d 6 9 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 6 Άλα ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : t dt ΰδα εϊγ Να ίλέ κθ τπκ βμ έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 t dt ΰδα εϊγ Να ίλέ κθ τπκ βμ

383 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΤΝΡΣΗΗ ΠΟΛΛΠΛΟΤ ΣΤΠΟΤ Όαθ Ϋξκυη ηδα υθϊλββ βμ ηκλφάμ : ΛΤΜΝ ΚΗΙ :, έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ εαδ β, υθϋξδα θα υπκζκΰέ κ d Λτβ : Γδα β έθαδ υθξάμ πμ πκζυπθυηδεά, Γδα β έθαδ υθξάμ πμ λδΰπθκηλδεά, κ έθαδ :, εαδ Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ Έδ : πκηϋθπμ β έθαδ υθξάμ ΰδα εϊγ Ϊλα εαδ κ [-π,π] d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : d d d, έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ εαδ, β υθϋξδα θα υπκζκΰέ κ d, έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ β έθαδ υθξάμ εαδ 6 8, β υθϋξδα θα υπκζκΰέ κ d,, υπκζκΰέκυη Ϋθα κζκεζάλπηα d η, λΰαασηα πμ ιάμ : σ ΰδα θα ιϊακυη αθ β έθαδ υθξάμ κ, εαγυμ ΰδα θα Ϋξδ θσβηα κ d, πλϋπδ β θα έθαδ υθξάμ κ [α,ί] Ϊλα εαδ κ β υθϋξδα Ϋξκυη : d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

384 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : d Έξπ : - + Άλα : Ϋπ,, θ ξλδϊααδ θα ιϊκυη αθ β έθαδ υθξάμ, εαγυμ απσ βθ αλξδεά βμ ηκλφά β, έθαδ υθξάμ πμ πλϊιδμ ηαιτ υθξυθ υθαλάπθ Άλα : d d d d d 8 ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 6 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d ii d iv d ln v d Σ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ Μ ΠΟΛΤΣ ΣΙΜ υθάγπμ υθαθϊη β ηκλφά d λξδεϊ ζτθπ βθ ιέπβ, ίλέεκυη κ πλσβηκ βμ η πδθαεϊεδ, ίΰϊακυη βθ απσζυβ δηά, αθ έθαδ απαλαέβκ ξπλέακυη κ [α,ί], εαδ υπκζκΰέακυη κ κζκεζάλπηα

385 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8 ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d Λτβ : i d d 6 d ii d d d iii d d 7 ln ln ln d iv d d 8 d v d d d ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΤΝΘΣΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ I d II d III ln d IV d V d ΜΘΟΟΛΟΓΙ θ κ κζκεζάλπηα ηαμ γυηέαδ εϊπκδα απσ δμ παλαπϊθπ ηκλφϋμ κζκεζβλπηϊπθ τθγπθ υθαλάπθ, σ φαλησακυη απυγέαμ κθ αθέκδξκ τπκ υθάγπμ σηπμ κδ υθαλάδμ ηκδϊακυθ πκζτ αζζϊ θ έθαδ έδμ Σσ φδϊξθκυη βθ η εϊπκδα απζά πλϊιβ πξ πκζζαπζαδϊακθαμ εαδ δαδλυθαμ η Ϋθα αλδγησ υ θα αθαξγκτη ηδα απσ δμ παλαπϊθπ πλδπυδμ

386 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 8 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d viii d i d d 9 i d ii d ΜΘΟΟΛΟΓΙ A : ΠΡΓΟΝΣΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ σπκυ εαδ g g g d g d έθαδ υθξάμ υθαλάδμ κ [α,ί] Γδα θα φαλησκυη παλαΰκθδεά κζκεζάλπβ, πλϋπδ κ κζκεζάλπηα θα Ϋξδ β ηκλφά g d ά θα κ φϋλκυη ηέμ β ηκλφά αυά β πλκμ κζκεζάλπβ υθϊλββ θα ηπκλέ θα πϊλδ β ηκλφά ΰδθκηΫθκυ υκ υθαλάπθ εαδ β υθϋξδα β ηδα απσ δμ υκ υθαλάδμ θα ΰλαφέ η β ηκλφά παλαΰυΰκυ ΟυδαδεΪ ξλδαασηα βθ παλϊΰκυα ηδαμ ε πθ υκ υθαλάπθ υ κ κζκεζάλπηα θα πϊλδ βθ πδγυηβά ηκλφά Μ παλαΰκθδεά κζκεζάλπβ υπκζκΰέακθαδ κζκεζβλυηαα βμ ηκλφάμ : β Πλέπωβ : d υ ξλβδηκπκδκτη βθ παλϊΰκυα βμ β Πλέπωβ : d, d παλϊΰκυα βμ εαδ βμ αθέκδξα υ ξλβδηκπκδκτη βθ β Πλέπωβ : ln d υ ξλβδηκπκδκτη βθ παλϊΰκυα βμ β Πλέπωβ : d, d υ ξλβδηκπκδκτη βθ παλϊΰκυα βμ αυά βθ πλέππβ ηφαθέααδ β δδκηκλφέα σδ εαϊ κθ υπκζκΰδησ κυ κζκεζβλυηακμ ηφαθέααδ εϊπκδκ Ϊδκ ιαθϊ κ αλξδεσ κζκεζάλπηα Έδ γϋκυη κ αλξδεσ κζκεζάλπηα η Ϋθα ΰλΪηηα πξ Ι εαδ ζτθκυη βθ ιέπβ πκυ πλκετπδ πμ πλκμ Ι ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 8

387 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 9 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d Λτβ : i d d d d ii d d d d d d d d Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : d d d d d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i ln d ii d ln Λτβ : ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 86 i ln d ln d ln ln d ii 8 ln d ln d ln ln ln ln d ln d ln ln d ln ln d d Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Λτβ : Έξπ : I d d d d d d d d I Άλα : I I I I

388 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d v d vi d vii d viii Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : α d ί d d ΰ d iv d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : α ln d ί ln d ΰ ln d ln d 6 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : α d ί d ΰ d d B ΦΡΜΟΓ ΠΡΓΟΝΣΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 7 έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : d πέβμ β φαπκηϋθβ βμ Ϋξδ ιέπβ : y Να ίλέ : i δμ δηϋμ, εαδ ii κ κζκεζάλπηα : d C κ βηέκ βμ, Λτβ : i Η υγέα : y : y έθαδ φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, αθ : πέβμ : κμ λσπκμ : d d d d d d d d d d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 87

389 ΕΑΑ : ΗΩ Γ d d d d κμ λσπκμ : d d d d d d d d ii d d d 8 Έπ F ηδα παλϊΰκυα κ βμ υθϊλββμ υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : Λτβ : έθαδ : F, Έξκυη :, η F Να F d οωα αάγουα F F d F d F F d F d d d d ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 9 έθαδ β υθϊλββ : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ εαδ d Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : d Έπ κδ υθαλάδμ, g, η, g υθξέμ κ [, ] θ g εαδ g, θα απκέι σδ : g g d g g Έπ F ηδα παλϊΰκυα κ βμ υθϊλββμ υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : F d, η F Να ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 88

390 ΕΑΑ : ΗΩ Γ έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ Οδ φαπκηϋθμ βμ C α βηέα βμ, εαδ,9 Ϋηθκθαδ κ βηέκ Γ, Να ίλέ : i δμ δηϋμ, ii κ κζκεζάλπηα : d έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : t dtd πέβμ β φαπκηϋθβ βμ ιέπβ : y Να υπκζκΰέ : i δμ δηϋμ, ii κ d iii κ d έθαδ κ κζκεζάλπηα : ln d η ζ> i Να υπκζκΰέ κ ii Να ίλέ κ σλδκ Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : ln d C κ βηέκ βμ, ln 6 έθαδ κ κζκεζάλπηα : d η ζ> i Να υπκζκΰέ κ ii Να ίλέ κ σλδκ Ϋξδ Γ ΝΓΩΓΙΚΟΙ ΣΤΠΟΙ ΣΟ ΟΡΙΜΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 7 Θπλκτη κ κζκεζάλπηα d, η * v N i Να απκέι σδ ΰδα εϊγ ii Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα d εαδ 8 Θπλκτη κ κζκεζάλπηα d, η d * v N i Να απκέι σδ ΰδα εϊγ ii Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα d t 9 θ I dt, Ν, t i Να υπκζκΰέ κ Ϊγλκδηα I, Ν ii Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα I, I, I ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 89

391 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΣ ΡΗΣΩΝ ΤΝΡΣΗΩΝ I d Q β πλδπωβ : θ Q σ : I ln Q β πλδπωβ : θ Q σ : θ Q Ϋξκυη : ln I d θ Q η Q εαδ, σ : I d d d d β πλδπωβ : θ Q σ εζκτη βθ υεζέδα δαέλβ : Q εαδ Ϋδ Ϋξκυη : Q ΛΤΜΝ ΚΗΙ : Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iiii d iv 6 Λτβ : i d ln ln ln d ln 7 d 6 ii d d d ln ln ln ln iii d 6 Έξπ 6 6 Ϊλα 7 εαδ 7 Άλα d 6 d 7 d ln 7ln ln ln 7ln ln ln ln 7ln ln ln ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

392 ΕΑΑ : ΗΩ Γ iv 7 d 6 εζκτη β δαέλβ : 7 : 6 εαδ Ϋξπ : 7 6 Έδ : d d 6 d 6 d 6 i d ln ln ln ln 6 d 6 ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv ln d Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d iii d iv d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

393 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ Μ ΝΣΙΚΣΣΗ g g d ΛΤΜΝ ΚΗΙ : u u u du, du g d εαδ u g, u g σπκυ εαδ g έθαδ υθξάμ υθαλάδμ, u g Μ β ηϋγκκ αυά υπκζκΰέακυη κζκεζβλυηαα πκυ Ϋξκυθ ά ηπκλκτθ θα πϊλκυθ β ηκλφά g g d ΙΚ ΝΣΙΚΣΣΙ : θ d,, γϋκυη u θ, g d, γϋκυη u g θ,, d, γϋκυη u κπκτ, a θ d γϋκυη a u Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i 6 d ii d iii d Λτβ : iv ln d i d γϋπ u Ϊλα du d Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u Άλα : 6 u u 6 uu d u du u u du u u du ii d γϋπ u u Ϊλα udu d Γδα έθαδ u u u Ϊλα u Γδα έθαδ u u Άλα : d udu u du u u u u du u 8 iii 6 d γϋπ u 6 Ϊλα u, Γδα έθαδ u u εαδ u 6 Ϊλα 6 u du d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

394 ΕΑΑ : ΗΩ Γ Γδα 6 έθαδ u Άλα : 6 9 u u 6 9 d u u u 6 8 6u du 6u u u du 6u 6u du iv ln du d γϋπ u Ϊλα du d d Γδα έθαδ u ln Γδα ln έθαδ u ln u du u du u Άλα : d u du u u u u εζυ β δαέλβ : u : u u εαδ ξπ : u u u u u u u u u u u Άλα : I du u u du u u du u u du u u u du du u u u u u du du u u u u u Γδα κ κζκεζάλπηα I du Ϋξπ : u u u u u u u u u u u u u Άλα : I u du u u du du ln u ln u u u u u 9 ln ln ln ln 9 ln ln ln 9 ΣζδεΪ : I I ln υθυαδεσ παλαΰκθδεάμ αζζαΰάμ ηαίζβάμ Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : Λτβ : ln 9 d γϋπ u Γδα έθαδ u 9 9 Ϊλα ln 9 d du d d du Γδα έθαδ u Ϊλα Ϋξπ : ln 9 d ln u ln udu 9 u ln udu 9 du u ln u uln u du ln 9ln 9 du ln 9ln 9 u ln 9ln ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

395 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 6 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : 6 i d ii d iii d iv d ln v d vi d vii d viii d 7 Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : 99 i d ii d iii d iv d 6 v d vi 6 d vii d viii Να υπκζκΰέ α παλαεϊπ κζκεζβλυηαα : i d ii d ln iii d iv d v d vi d vii d 6 ln 9 d i d viii d ii ln d iii 6 i d d 9 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : 6 / i d ii [ησυ η ησυ ] d iii d 6 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ σδ : d 6 Να υπκζκΰέ κ I d 6 έθαδ υθϊλββ :,, η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ, βμ κπκέαμ β ΰλαφδεά παλϊαβ δϋλξαδ απσ α βηέα, εαδ,9 Να υπκζκΰέ κ κζκεζάλπηα : I d 6 έθαδ υθϊλββ :, η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, β κπκέα παλκυδϊαδ αελσακ κ εαδ β ΰλαφδεά βμ παλϊαβ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, θ δξτδ : d 6 σ : i Να ίλέ βθ δηά ii Να ίλέ κ d iii Να απκέι σδ υπϊλξδ,, υ d 9 ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

396 ΕΑΑ : ΗΩ Γ ΝΣΙΚΣΣΗ u θ Ϋξκυη κζκεζάλπηα d κ κπκέκ θ υπκζκΰέααδ η εϊπκδα απσ δμ ΰθπΫμ ηγσκυμ, σ έπμ ηπκλέ θα υπκζκΰδέ η αθδεαϊαβ : u ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Να έι σδ d d εαδ β υθϋξδα θα υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : i I d ii I ln d Λτβ : κ d γϋπ u, Ϊλα d u du d du Γδα Γδα Άλα : έθαδ u u έθαδ u u d u du d i κ I d γϋπ u u, Ϊλα d du Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u u u u u Άλα : I d du du du u u d u Έδ : I I d d I d I d I d I I ii κ I ln d γϋπ u u, Ϊλα d du Γδα έθαδ u Γδα έθαδ u u Άλα : u I ln d ln du ln du u u ln d Έδ : I I ln d ln d ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 9

397 ΕΑΑ : ΗΩ Γ I I ln d ln d ln d ln d I I ΚΗΙ ΓΙ ΛΤΗ : 6 Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : i d ii ln d iii d 6 Γ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜ ΡΣΙ ΠΡΙΣΣΗ ΤΝΡΣΗΗ Χαλαεβλδδεσ ΰθυλδηα βμ υΰεελδηϋθβμ πλέππβμ έθαδ β κζκεζάλπβ υηηλδεσ δϊβηα :,, d, βζ κ κζκεζάλπηα Ϋξδ αθεα άα Θα απκέικυη σδ : θ β έθαδ Ϊλδα, σ : d d θ β έθαδ πλδά, σ : d ΛΤΜΝ ΚΗΙ : 6 Έπ ηδα υθξάμ υθϊλββ κ δϊβηα [, ] i θ β έθαδ πλδά, σ θα έι σδ δξτδ : d ln ii Να υπκζκΰέ α κζκεζβλυηαα : d Λτβ : i H :[, ] έθαδ πλδά, Ϊλα ΰδα εϊγ [, ] δξτδ σδ : κ Γδα Γδα d, γϋπ u, Ϊλα d du έθαδ u έθαδ u Έδ : I d u du a a u du a a u du a a d I ΕΕΕΑ : ΑΑΓ Α wwwpittragonogr λία 96